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NOTAS DE AULA 2 C ALCULO NUM ERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI MAT 012Calculo NumericoData22092022 1 OBJETIVO Apresentar as ideias basicas fundamentais sobre metodos numericos que permitem obter aproximacoes para raızes de funcoes reais Hoje em dia sao conhecidos varios metodos numericos os quais se ori ginaram como melhoramentos dos metodos tradicionais ja conhecidos Metodo da Bisseccao Metodo de Newton Metodo da secante e Metodo da falsa posicao Mais detalhes sobre outros metodos po dem ser vistos em httpswwwcfmbrownedupeopledobrusham33Mathematicach3 secanthtml Portanto e importante estudar primeiro os metodos tradicionais para entender me lhor os princıpios que sao adotados em metodos mais sofisticados O conteudo dessas notas de aula e baseado nas referˆencias 1 2 3 Demais informacoes podem ser encontradas nas bibliografias complementares 4 5 6 7 8 2 INTRODUC AO Um dos problemas que ocorrem mais frequˆencia em pesquisa e calcular com certa precisao as raızes de equacoes da forma hx 0 onde hx e geralmente uma funcao contınua que pode ser um polinˆomio em x como por exemplo x5 3x4 x2 2 0 ou uma equacao transcendente por exemplo hx ex x 0 Alguns exemplos classicos incluem 1 A equacao xtanx 0 que aparece na difracao da luz 2 A equacao de Kepler xbsinx 0 usada para calcular orbitas planetarias O problema de encontrar zeros de funcoes aparece naturalmente quando queremos encontrar valores de x para os quais tenhamos fx gx onde f e g representam duas quantidades especıficas Assim se denotarmos hx fxgx vamos obter hx 0 fxgx 0 fx gx e portanto devemos encontrar os zeros da funcao hx em algum intervalo Raramente e possıvel obter as raızes exatas de fx 0 sendo que isto ocorre somente em casos muitos especıficos como no caso em que se supoe que fx e um polinˆomio fatoravel Atraves de metodos numericos e possıvel obter solucoes aproximadas e em alguns casos dentro de uma tolerˆancia especıfica A maioria dos procedimentos numericos possui uma sequˆencia que gera aproximacoes geralmente usandose uma formula do tipo xk1 ϕxk e esperase que estas iteracoes gerem valores cada vez mais proximos do valor verdadeiro e com erro cada vez menor Estes procedimentos sao muito analogos ao conceito de limite da analise matematica Vamos considerar varios metodos iterativos para a determinacao de aproximacoes para raızes isoladas de uma equacao da forma fx 0 Em varios exemplos usaremos as funcoes polinomiais em virtude da importˆancia que estas possuem em aplicacoes praticas e pelo fato que toda funcao contınua em um intervalo ab pode ser aproximada uniformemente por funcoes 1 2 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI polinomiais Teorema de StoneWeierstrass1 e localmente em torno de um ponto por um polinˆomio de Taylor ou serie de Taylor Existem varias razoes para comecar o estudo de calculo numerico com problemas desse tipo pois Tais problemas ocorrem com frequˆencia ou seja os metodos sao uteis Ilustram o metodo iterativo de solucao que e um tecnica numerica comum Os resultados de convergˆencia sao faceis de obter Veremos que quando muitos metodos estao disponıveis a selecao do metodo mais adequado depende do problema em especıfico 3 METODO DA BISSECC AO A primeira tecnica baseada no Teorema do Valor Intermediario TVI e chamado de Metodo da Bisseccao 2 Teorema 1 Teorema do Valor Intermediario Suponha que f e uma funcao contınua definida no intervalo ab com fa fb 0 Entao existe x ab pelo menos um tal que fx 0 Podemos pensar entao que o metodo da bisseccao surgiu somente apos a descoberta do TVI para mais detalhes veja httpssitesgooglecomsiteknowyourrootsmaximaintroduction bisectionmethod Embora o procedimento funcione quando ha mais de uma raiz no intervalo ab assumimos para simplificar que a raiz neste intervalo e unica O metodo exige uma divisao repetida pela metade ou bissetriz dos subintervalos de ab e em cada etapa localizando a metade contendo x O algoritmo para o metodo da bissecao e dado da sequinte forma 1 Encontrar a e b tais que fafb 0 Pelo T V I existe a x b tal que fx 0 2 Defina a0 a b0 b k 0 3 Defina xk akbk 2 4 Se fxkfak 0 entao defina ak1bk1 xkbk 5 Caso contrario defina ak1bk1 akxk 6 Se bkak 2 ε STOP Pois neste caso teremos que xk x ε Isso sera uma consequˆencia do Teorema 2 7 Caso contrario realize mais uma etapa k k 1 retornando a etapa 3 Terminar quando atingir a precisao pedida Portanto para comecar definimos a0 a e b0 b com x0 sendo o ponto medio do intervalo ab x0 a0 b0 2 ab 2 a Se fx0 0 entao x x0 e o processo termina b Se fx0 0 entao fx0 tem o mesmo sinal que fa0 ou fb0 c Se fa0fx0 0 entao x x0b0 Defina a1 x0 e b1 b0 d Se fa0fx0 0 entao x a0x0 Defina a1 a0 e b1 x0 Entao repita o processo para o intervalo a1b1 Estipulado uma tolerˆancia ε 0 podemos considerar uma certa sequˆencia x0x1x2xN ate que uma das seguintes condicoes ocorra xN xN1 ε 1O teorema de aproximacao de StoneWeierstrass afirma que toda funcao real contınua cujo domınio e um intervalo compacto ou seja fechado e limitado pode ser aproximado uniformemente por polinˆomios 2Em ciˆencia da computacao o processo de dividir um conjunto continuamente em metade para procurar a solucao para um problema como o metodo de bisseccao faz e conhecido como procedimento de pesquisa binaria NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 3 xNxN1 xN ε xN 0 ou fxN ε Entretanto em alguns metodos e possıvel estipular um criterio de parada que no caso do metodo da bissecao sera dado utlizandose a etapa 6 do algoritmo acima Infelizmente podem surgir di ficuldades usando qualquer um desses criterios de parada Por exemplo existem sequˆencias xk k0 com a propriedade de que as diferencas xk xk1 convergem para zero enquanto a propria sequˆencia diverge Veja o Exercıcio 5 Tambem e possıvel que fxk estar proximo de zero enquanto xk difere significativamente de xVeja o Exercıcio 4 Sem informacoes adicionais sobre f ou x o segundo criterio e o melhor para se aplicar porque ele chega mais perto de testar o erro relativo Ao usar um computador para gerar aproximacoes e uma boa pratica definir um limitante superior vinculado ao numero de iteracoes Isso elimina a possibilidade de entrar em um loop infinito uma situacao que pode surgir quando a sequˆencia divergente e tambem quando o programa e codificado incorretamente Observe que para iniciar o algoritmo da bisseccao um intervalo ab deve ser encontrado com fa fb 0 Em cada etapa o comprimento do intervalo conhecido por conter um zero de f e reduzido por um fator de 2 portanto e vantajoso escolher o intervalo inicial ab tao pequeno quanto possıvel Por exemplo se fx 2x3 x2 x1 temos ambos f4 f4 0 e f0 f1 0 portanto o algoritmo da bisseccao pode ser usado em 44 comprimento 8 ou em 01 com primento 1 Iniciando o algoritmo de bisseccao em 01 em vez de 44 reduzimos em 3 o numero de iteracoes necessarias para alcancar uma precisao especificada Teorema 2 Suponha que f Cab e fa fb 0 O metodo da bissecao gera uma sequˆencia xk k0 que se aproxima da raiz x de f com xk x ba 2k1 quando k 0 Demonstracao Para cada k 1 temos bk ak 1 2k ba e xk akbk Como xk ak bk 2 para todo k 0 segue que xk x bk ak 2 ba 2k1 Observacao 3 O fato principal usado Teorema 2 e que existem somente duas possibilidades de escolha a cada iteracao x akxk ou x xkbk Como o comprimento de ambos intervalos e bkak 2 temos obrigatoriamente que xk x 1 2bk ak Observacao 4 Criterio de parada Dado um erro ε 0 queremos definir uma quantidade de iteracoes necessarias N para ter xN x ba 2N1 ε 4 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI o que em particular fornece lxy x E Para obter N procedemos da seguinte maneira ba ONG eéeco logba log QN log logba N1 logye 31 N1logba loge G ba N12 log Logo basta tomar o menor inteiro N tal que b N log 1 32 para obter a aproximacdo desejada Observagao 5 Na desigualdade 32 podemos utilizar somente o log na base 10 De fato como em geral vale que loga 1 O84 log b teremos b lo bra b N log 7 1 N log 1 33019 x os 7 1 logig2 Exemplo 6 Encontrar a raiz do polinémio fx x 3 no intervalo ab 12 com precisdo 01 Veja que fIf2 2 0 Passo 1 Estipular a quantidade de iteracées que serdo necessdrias dado que 10 Usando a formula 32 obtemos Nlog 11 1 log 101 23219 O l1lo l 12 882 01 2 01 82 Ou seja sao necessdrias N 3 iteracées onde encontraremos os valores de xgxX1X2 e x3 Ao final devemos ter x3 x e01 Na tabela abaixo usamos a seguinte convencdo e Seo sinal é positivo entdo ag recebe xx e Seo sinal é negativo bg recebe xx O sinal usado aqui é o sinal de f ax f xx na etapa k Passo 2 Para organizar os cdlculos seguindo o algoritmo usando a seguinte tabela 0 J 2 15 2 075 1 15 2 175 075 00625 33 2 25 175 1625 075 036 3 1625 175 16875 Stop NOTAS DE AULA 2CALCULO NUMERICO MATO12ZEROS DE FUNCOES REAIS 5 Na realidade sabemos que a raiz de f é x V3 173205 Entaéo considerandose 4 casas decimais temos x3 17320 16875 17320 00445 01 Ou seja x3 168 é uma aproximacdo para a raiz dada dentro da margem de erro solicitada Exemplo 7 Encontrar a raiz do polinémio fx x x1 no intervalo ab 12 com precisdo 004 Veja que fIf2 6 0 Passo 1 Estipular a quantidade de iteracées que serado necessdrias Usando a formula 32 obte mos NIog 2 1 10 1 log 251 36438 8 904 82004 98 ones Ou seja sao necessdrias N 4 iteragées Ao final devemos ter x4 x 004 Passo 2 Usando o algoritmo da tabela para organizar os cdlculos 0 1 2 15 0875 1 1 15 125 02968 34 2 125 15 1375 02968 02246 3 125 1375 13125 02968 00515 4 13125 1375 13437 Stop Para ilustar nossos cdlculos notemos que na realidade a raiz de f é 39 V69 9 69 xia ff EVO 7 32471795 18 18 Entdo considerandose 4 casas decimais temos x4 13247 13437 13247 0019 002 004 Ou seja x4 13437 é uma aproximacdao para a raiz dada dentro da margem de erro solicitada 4 METODO DA FALSA POSIGAO REGULA FALSI Nesta secdo vamos considerar 0 método da falsa posicao também chamado de regula falsi para determinar uma aproximacao zeros de funGes e O método da falsa posiao pode ser considerado uma variagao do método da bissecao e Em alguns casos 0 método da bissecao tem convergéncia lenta uma vez que seleciona sem pre o ponto médio de cada intervalo e Nem sempre a média x mich Pe é a melhor opao para achar 0 zero em a bx Por exemplo se f ax for mais proximo de zero de fb ou seja se f ax fbe mais provavel que raiz x seja mais proximo de ax do que a bx e Usando os valores f ax fb podemos localizar 0 aproximante mais proximo do extremo onde a f é mais préxima de zero esta é a ideia do método da falsa posicao 6 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI e Para isso consideramos como aproximagao x para a raiz a média ponderada entre a e b com pesos fb e fa respectivamente b6 oy aif 01 a an IF F A média ponderada x estara mais pr6xima do extremo que tem menor imagem em valor absoluto pela fungao f Para simplificar a equacao 41 vamos considerar 0 seguintes casos possiveis e Caso 1 fa Oe fb 0 Neste caso usando as propriedades da funao modular teremos oy aflb b fla af bf a fa f fb f e Caso 2 fa 0e fb 0 Neste caso usando as propriedades da fungao modular teremos ahd bf fb f Portanto concluimos que o resultado de x nos dois casos é 0 mesmo Em termos de interpretagao geométrica note que a aproximacao dada pelo numero x obtido por meio da equacao 41 0 ponto de intersecgao da reta que passa pelos pontos a fa e b fb com eixo x Lembre da geometria analitica que a equacao da reta que passa por x0 yo é yYo mx Xo Desse modo a equagao que passa por a fa e b fb deve satisfazer simultaneamente y fa mxa e y fb mx 6 Resolvendo o sistema acima encontrase que fb fla ya FLO xa Fa a cuja interseccao com 0 eixo x se da no ponto bb x FO PF fb f Para o método da falsa posicgao usaremos a seguinte fungao de iteracao x anf bn bnf an 42 fbn an se tivermos na nésima etapa no intervalo dy bn e Comegamos com ao bo a b j4 sabendo previamente que fa fb 0 devese garantir a existéncia de uma raiz primeiro e Calcule ahd bf fb f Se fa fx1 0 defina ab1 aox1 caso contrario defina ab1 x1 bo NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 7 Em geral obtido o intervalo anbn calculamos xn an fbnbn fan fbn fan Se fanfxn 0 defina an1bn1 anxn Caso contrario defina an1bn1 xnbn Exemplo 8 Considere fx xlnx 1 no intervalo 12 Use o metodo da falsa posicao para encontrar uma aproximacao x3 para a raiz Solucao Inicialmente note que f1 f2 12ln21 03863 0 logo existe uma raız em 12 Plotando o grafico de f ou usando algum argumento analıtico vemos que f so possui uma raiz neste intervalo Usando o metodo da falsa posicao vemos que a funcao de iteracao e dada por xk ak fbkbk fak fbk fak 43 Na primeira etapa consideramos a0b0 12 ab Observe que x0 a fbbfa fb fa 038632 038631 17213 x1 a1 fb1b1 fa1 fb1 fa1 17614 x2 a2 fb2b2 fa2 fb2 fa2 1761403863200028 0386300028 17630 Organizamos os calculos na seguinte tabela k ak bk fak fbk xk fxk Sinal de fak fxk 0 1 2 1 03863 17213 00651 1 17213 2 00651 03863 17614 00028 2 17614 2 00028 03863 17630 00001 Vale ressaltar que a raız exata com 4 casas decimais de aproximacao e x 17632 de modo que o metodo foi eficiente neste exemplo Vimos que o metodo da falsa posicao gera uma sequˆencia de pontos xnn1 obtidos por meio da equacao 42 Sob quais condicoes essa sequˆencia converge O teorema a seguir responde a essa pergunta Teorema 9 Convergˆencia Se f ab R e contınua tal que fafb 0 e seja x a unica raız nesse intervalo Entao a sequˆencia de pontos xnn1 obtidos por meio do metodo da falsa posicao equacao 42 e convergente isto e limxn x 5 METODO DE NEWTON METODO DE NEWTONRAPHSON Voltamos ao problema dada fx e ε 0 encontrar uma sequˆencia de aproximacoes tal que tais que xk x ε onde fx 0 A iteracao de Newton para encontrar solucoes aproximadas para este problema tem a forma xk1 xk fxk f xk para k 012 51 8 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI Podemos descrever 0 algoritmo do método de Newton da seguinte forma Para estimar a raiz de uma equacao da forma fx 0 podemos utilizar um algoritmo que se baseia nos seguintes passos 1 Escolhese um valor x uma aproximagao inicial para a raiz da equagao fx 0 2 Determinase a equacao da reta tangente ao grafico de fx no ponto de coordenadas xx fxx 3 Determinase 0 ponto x10 intersegao da reta encontrada em ii com 0 eixo das abcissas 4 Repetese para x41 OS passos ii e iii e prosseguimos até encontrar a raiz da equacéo fx 0 com a precisao desejada Note que no passo 2 a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto xz fx é dada por y Ff xx fF K Xx cuja interseccdo com 0 eixo x fornece FX O f xx f xe x xe SS X fxx Pelo item 3 0 ponto de interseccao é x 410 e portanto tee X f xx 1 Fxx O teorema a seguir garante a convergéncia do método sob certas hipdteses sobre Teorema 10 Seja f Cab Se x ab é tal que fx 0 e fx 0 entdo existe 6 0 tal que o método de Newton gera uma sequéncia x convergindo para x seja qual for a aproximacdo inicial xp x 6x 6 Logo sob hipséteses razodveis o método de Newton converge desde que uma aproximacaAo inicial sucientemente préxima da raiz da equacAo seja escolhida Este resultado é importante para a teoria do método de Newton mas raramente é aplicada na pratica porque nao nos diz como determinar 6 Em uma aplicaao pratica uma aproximacao inicial xo selecionada e aproximago6es sucessivas sao geradas pela formula 51 Esperase que x convirja rapidamente a raiz ou ficara claro que a convergéncia é improvavel A seguir veremos exemplos de aplicagao direta do método de Newton Exemplo 11 Use 0 método de Newton para obter uma aproximagdo x3 para a ratz de fx x 4x 1 no intervalo 01 com aproximacdo inicial xp 05 Passo 1 Encontrar a fungao de iteragao Observe que fx 3x 8x Logo fx xp40 1 f Xe 3xz Bxe Portanto a fungao de iteragao é dada por xB 4a7 1 Xe41 X Ss 3x2 8xx Passo 2 Encontrar x2 Como xp 05 temos 05 405 1 x 05 05 405 1 05385 305 805 NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 9 Consequentemente x2 05384 053843 4053842 1 3053842 805384 05374 Os calculos estao organizados na tabela abaixo k xk fxk f xk fxk f xk xk fxk f xk 0 05 0125 325 00384 05384 1 05384 00034 34375 00009 05375 2 05375 Utilizando 4 casas decimais teremos fx2 00003 Note ainda que x2 x1 0537505384 00009 Essas ultimas informacoes poderiam ser usadas como criterio de parada caso fosse solicitado Exemplo 12 Vamos resolver cosx 2x com 5 casas decimais Isso e equivalente a resolver fx 0 onde fx cosx2x Obs certifiquese que sua calcula dora esta no modo radiano A formula de recursao tornase xk1 xk cosxk 2xk sinxk2 Com uma estimativa inicial de x0 05 obtemos x1 045063x2 045018 e x3 045018 sem mais alteracoes nos dıgitos com cinco casas decimais Portanto a este grau de precisao a raiz e x 045018 Exemplo 13 Aproximando π Sabemos que sinπ 0 Logo tomando x0 3 no metodo de New ton considerandose fx sinx temos que xk1 xk sinxk cosxk Logo lembrando de usar a calculadora no modo radiano obtemos x1 x0 tanx0 3tan3 30142546 3142546 x2 x1 tanx1 3142546000095 3141596 x3 31415960000003 3141593 Logo comparando com o resultado correto ate 6 casas decimais obtemos x3 3141592 0000001 106 Exemplo 14 Dado que fx x32x2 tem uma raiz entre 0 e 1 obtenha a aproximacao x4 usando o metodo de Newton Passo 1 Encontrar a funcao de iteracao Observe que f x 3x2 2 Logo fxk f xk x3 k 2xk 2 3x2 k 2 10 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI Assim a fungao iteragao é dada por x 2x 2 Xe X k1 k 3x2 42 Iniciando com xp 1 obtemos 1422 1 1 1 08 I 342 5 083 162 0112 x2 08 08 07715 308 2 392 07715 207715 2 07715 07709 8 3077152 2 Organizamos os calculos na seguinte tabela op af tof 5 02 08 1 08 0112 00285 07715 07715 000221 37856 0006 07709 07709 Como encontramos x3 paramos as iteragdes Observe que f07709 000006 6 x 107 e isso pode servir como critério de parada 51 Possiveis problemas com 0 método O método NewtonRaphson funciona na maioria das vezes se a aproximagao inicial x9 inicial for boa o suficiente Ocasionalmente o método pode falhar mas as vezes vocé pode fazélo funcionar alterando a aproximacao inicial Vamos tentar resolver x tanx para x Em outras palavras resolvemos fx 0 onde fx tanxx A formula de recursao tornase Xz tan xx Xk Xk 7 he TH sec xx Vamos tentar uma estimativa inicial de x7 4 Com essa estimativa inicial descobrimos que x 6 12016 x2 238 40428 x3 1957 26490 etc Claramente esses ntiimeros nao estao convergindo Precisamos de escolher uma nova aproximagao inicial Vamos tentar x9 46 Entéo encontramos x 454573 x2 450615 x3 449417 x4 449341 x5 449341 etc Mais algumas iteragdes confirmarao que os digitos nado estao mais mudando para 5 casas decimais Como como resultado concluimos que uma raiz de x tanx é x 449341 com 5 casas decimais 6 O METODO DA SECANTE O método da secante é um algoritmo que gera aproximacao de raizes de uma funcao f por meio de uma sequéncia de raizes de retas secantes Ele pode ser pensado como uma aproximagao de diferencas finitas do método de Newton No entanto o método da secante antecede 0 método de Newton em mais de 3000 anos para mais detalhes veja https sitesgooglecomsite knowyourrootsmaximaintroductionsecantmethod 3Uma diferenga finita é uma expresso da forma fxb fxa que ao ser dividida por b a chamase um quociente de diferengas NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 11 Como vimos o metodo de Newton e uma tecnica extremamente poderosa mas tem uma grande fraqueza a necessidade de saber o valor de f xn1 em cada iteracao dado que no metodo de Newton temos xn xn1 fxn1 f xn1 61 Em algumas situacoes a expressao de f x e mais complicada que fx e precisamos de muitos calculos para encontar f xn1 Por exemplo Se fx ex cosx temos f x ex cosx ex sinx 2x Para contornar o problema da avaliacao de f xn1 no metodo de Newton apresentamos uma ligeira variacao Por definicao de derivada temos f xn1 lim xxn1 fx fxn1 xxn1 Se xn2 xn1 e muito pequeno podemos tomar x xn2 para obter uma aproximacao para o limite acima ou seja uma aproximacao para f xn1 ou seja temos4 f xn1 fxn2 fxn1 xn2 xn1 fxn1 fxn2 xn1 xn2 Da equacao 61 obtemse facilmente que f xn1 fxn1 xn1 xn Substituindose isso na aproximacao acima vemos que fxn1 xn1 xn fxn1 fxn2 xn1 xn2 Ou seja xn1 xn fxn1 xn1 xn2 fxn1 fxn2 xn1 xn fxn1xn1 xn2 fxn1 fxn2 Isto nos leva a definir uma funcao de iteracao por xn xn1 fxn1xn1 xn2 fxn1 fxn2 62 Tambem podemos escrever xn1 xn fxnxn xn1 fxn fxn1 Nesse caso precisamos determinar duas aproximacoes iniciais a saber x0 e x1 Considerandose 62 e conhecendo x0 e x1 obtemos x2 x1 fx1x1 x0 fx1 fx0 63 se n 2 Isto nos permite encontrar a terceira aproximacao x3 x2 fx2x2 x1 fx2 fx1 64 Esse metodo iterativo e chamada de metodo da Secante 4Aproximacao da derivada por diferenca finita 12 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI e Comegando com as duas aproximacoes iniciais x9 e x1 a aproximagao x2 é 0 ponto em que o segmento de reta que une xo fxo e x1 f1 intercepta 0 eixo x e A aproximagao x3 o ponto onde o segmento de reta que une x1 fx1 e x2 fx2 inter cepta 0 eixo x e assim por diante Veja que a cada etapa apenas precisamos avaliar valores envolvendo a fungao fx Em contraste cada etapa do método de Newton requer uma avaliacao de fx e de fx Exemplo 15 Use o método da secante para encontrar uma aproximacdo para a raiz de fx x x6 com erro 1073 usando como aproximacoes iniciais x9 15 e x 17 Usando a fungao de iteragao SF Xk 7a Xk1 Xk Gey ee id Ta ft encontramos a seguinte tabela 20351 20357 01797 19978 20357 19978 01797 00109 19999 19978 19999 Logo x4 19999 e para mostrar a eficiéncia do método veja que a raiz real positiva de fx éx 2 pois f2 0 Além disso veja que f19999 00004 0001 61 Vantagens e desvantagens do Método da Secante Vantagens i Converge mais rapido do que uma taxa linear de modo que converge mais rapidamente do que 0 método da bissecgao ii Nao exige o uso da derivada do fungao algo que nao esta disponivel por exemplo em aplicag6es praticas iii Requer apenas uma avaliagao de fungao por iteragéo em comparagéo com o método de Newton que requer dois Desvantagens i Pode nao convergir ii Nao ha limite de erro garantido para os iterados calculados iii E provavel que tenha dificuldade se fa 0 Isso significa que 0 eixo x é tangente ao grafico de y fx emxa 7 TAXA DE CONVERGENCIA Definicéo 16 Seja xx uma sequéncia que converge para x Se existe a 0eC 0 tal que lim bert 2 C k xp x entao a é chamada ordem de convergéncia e C é a constante de erro Dizemos que a convergéncia é 1 linear sea 1eC 1 2 superlinear se 1 3 quadratica se a 2 Em relagao aos métodos que estudamos sabese 1 O método da bissecgao é linear com a 1 eC 12 2 O método da falsa posigao é linear 3 O método da secante é superlinear com Lvs 1618 NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 13 4 O metodo de Newton e quadratico α 2 EXERCICIOS LISTA 02 1 Usando metodo da bisseccao encontre uma estimativa para a raiz da funcao fx ex2x1 no intervalo 12 dado o erro ε 102 2 Usando o metodo da bisseccao para determinar a raiz de fx ex x em 10 preencha a seguinte tabela k ak bk xk fak fxk Sinal 0 1 0 05 1 2 3 4 Stop 3 Dˆe um exemplo de uma funcao fx que tenha pelo menos uma raiz em um intervalo ab que nao pode ser determinada pelo metodo da Bisseccao 4 Seja fx x110 x 1 e xn 11n Mostre que fxn 103 sempre que n 1 mas que para que se tenha x xn 103 e necessario n 1000 5 Seja xn n1 definida por xn n k1 1 k Mostre que xn n1 diverge enquanto que limnxn xn1 0 6 Seja fx ex x em 01 Responda as seguintes perguntas a Existe uma raiz de f nesse intervalo b Encontre o numero de iteracoes N para uma precisao de ε 103 usando o metodo da bissecao Resp N 9 c Faca iteracoes e forneca uma estimativa para a raiz obedecendo esse erro 7 Encontre o numero de iteracoes necessario para obter uma aproximacao com precisao de 103 para a solucao da equacao x3 x 4 0 que se encontra no intervalo 12 pelo metodo da bissecao 8 Usando o metodo de Newton comecando com x0 2 encontre a aproximacao x2 para a raız da equacao x3 2x5 0 Resposta x2 20946 14 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI 9 Seja fx x62 Use o metodo de Newton com a aproximacao inicial x0 1 para encontrar a aproximacao x4 com 4 casas decimais Veja que isso equivale a encontrar uma aproximacao para 6 2 usando x4 Resposta Escolhendo x0 1 como aproximacao inicial obtemos x4 11224 10 Use o metodo de Newton com valor inicial espeficado x0 para encontrar x2 a terceira aproximacao de raiz da equacao dada Dˆe sua resposta com quatro casas decimais a x3 2x4 0 x0 1 Resposta x2 11797 b x5 x1 0 x0 1 Resposta x2 11785 11 Dados fx xlnx1 sobre o intervalo 12 use o metodo da falsa posicao para encontrar a aproximacao x3 usando 4 casas decimais completando a tabela a seguir k ak bk xk fak fbk fxk 0 1 2 17213 10 03863 00651 1 2 3 12 Dados fx cosxx e as aproximacoes x0 07 e x1 08 use o metodo da secante para encontrar a aproximacao x4 usando 4 casas decimais sem arredondamento completando a tabela a seguir k xk1 xk mk fxkxkxk1 fxkfxk1 xk1 xk mk 1 07 08 00614 07386 2 08 07386 3 4 13 Custa a uma empresa Cq dolares para produzir q gramas por dia de um certo composto quımico onde Cq 10002q3q 2 3 A empresa pode vender qualquer quantidade do produto quımico a 4 a grama Achar o ponto de equilıbrio da empresa ou seja quanto ela deve produzir por dia para nao ter lucro nem prejuızo Use o metodo de Newton dˆe a resposta para a quantidade de gramas mais proxima Dica Receita Lucro Custo REFERˆENCIAS 1 RUGGIERO M A G e LOPES V L R Calculo Numerico Aspectos Teoricos e Computacionais Pearson Education do Brasil Sao Paulo 2ª Ed 1996 2 SPERANDIO D MENDES J T SILVA L H M Calculo Numerico Caracterısticas Matematicas e Computacio nais dos Metodos Numericos Editora Prentice Hall Sao Paulo 2003 3 CUNHA M C C Metodos numericos 2ª Ed Campinas Editora da UNICAMP 2003 4 CAMPOS FILHO F F Algoritmos numericos 2 ed Rio de Janeiro LTC 2007 NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 15 5 CHAPRA S C CANALE R P Numerical methods for engineers 5 ed Boston McGraw Hill Higher Education 2006 6 MILNE W E Calculo Numerico Sao Paulo Polıgono 1968 7 SANTOS V R B Curso de Calculo Numerico Rio de Janeiro LTC 1977 8 YANG W Y et al Applied Numerical Methods using MATLAB New Jersey John Wiley and Sons 2005
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NOTAS DE AULA 2 C ALCULO NUM ERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI MAT 012Calculo NumericoData22092022 1 OBJETIVO Apresentar as ideias basicas fundamentais sobre metodos numericos que permitem obter aproximacoes para raızes de funcoes reais Hoje em dia sao conhecidos varios metodos numericos os quais se ori ginaram como melhoramentos dos metodos tradicionais ja conhecidos Metodo da Bisseccao Metodo de Newton Metodo da secante e Metodo da falsa posicao Mais detalhes sobre outros metodos po dem ser vistos em httpswwwcfmbrownedupeopledobrusham33Mathematicach3 secanthtml Portanto e importante estudar primeiro os metodos tradicionais para entender me lhor os princıpios que sao adotados em metodos mais sofisticados O conteudo dessas notas de aula e baseado nas referˆencias 1 2 3 Demais informacoes podem ser encontradas nas bibliografias complementares 4 5 6 7 8 2 INTRODUC AO Um dos problemas que ocorrem mais frequˆencia em pesquisa e calcular com certa precisao as raızes de equacoes da forma hx 0 onde hx e geralmente uma funcao contınua que pode ser um polinˆomio em x como por exemplo x5 3x4 x2 2 0 ou uma equacao transcendente por exemplo hx ex x 0 Alguns exemplos classicos incluem 1 A equacao xtanx 0 que aparece na difracao da luz 2 A equacao de Kepler xbsinx 0 usada para calcular orbitas planetarias O problema de encontrar zeros de funcoes aparece naturalmente quando queremos encontrar valores de x para os quais tenhamos fx gx onde f e g representam duas quantidades especıficas Assim se denotarmos hx fxgx vamos obter hx 0 fxgx 0 fx gx e portanto devemos encontrar os zeros da funcao hx em algum intervalo Raramente e possıvel obter as raızes exatas de fx 0 sendo que isto ocorre somente em casos muitos especıficos como no caso em que se supoe que fx e um polinˆomio fatoravel Atraves de metodos numericos e possıvel obter solucoes aproximadas e em alguns casos dentro de uma tolerˆancia especıfica A maioria dos procedimentos numericos possui uma sequˆencia que gera aproximacoes geralmente usandose uma formula do tipo xk1 ϕxk e esperase que estas iteracoes gerem valores cada vez mais proximos do valor verdadeiro e com erro cada vez menor Estes procedimentos sao muito analogos ao conceito de limite da analise matematica Vamos considerar varios metodos iterativos para a determinacao de aproximacoes para raızes isoladas de uma equacao da forma fx 0 Em varios exemplos usaremos as funcoes polinomiais em virtude da importˆancia que estas possuem em aplicacoes praticas e pelo fato que toda funcao contınua em um intervalo ab pode ser aproximada uniformemente por funcoes 1 2 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI polinomiais Teorema de StoneWeierstrass1 e localmente em torno de um ponto por um polinˆomio de Taylor ou serie de Taylor Existem varias razoes para comecar o estudo de calculo numerico com problemas desse tipo pois Tais problemas ocorrem com frequˆencia ou seja os metodos sao uteis Ilustram o metodo iterativo de solucao que e um tecnica numerica comum Os resultados de convergˆencia sao faceis de obter Veremos que quando muitos metodos estao disponıveis a selecao do metodo mais adequado depende do problema em especıfico 3 METODO DA BISSECC AO A primeira tecnica baseada no Teorema do Valor Intermediario TVI e chamado de Metodo da Bisseccao 2 Teorema 1 Teorema do Valor Intermediario Suponha que f e uma funcao contınua definida no intervalo ab com fa fb 0 Entao existe x ab pelo menos um tal que fx 0 Podemos pensar entao que o metodo da bisseccao surgiu somente apos a descoberta do TVI para mais detalhes veja httpssitesgooglecomsiteknowyourrootsmaximaintroduction bisectionmethod Embora o procedimento funcione quando ha mais de uma raiz no intervalo ab assumimos para simplificar que a raiz neste intervalo e unica O metodo exige uma divisao repetida pela metade ou bissetriz dos subintervalos de ab e em cada etapa localizando a metade contendo x O algoritmo para o metodo da bissecao e dado da sequinte forma 1 Encontrar a e b tais que fafb 0 Pelo T V I existe a x b tal que fx 0 2 Defina a0 a b0 b k 0 3 Defina xk akbk 2 4 Se fxkfak 0 entao defina ak1bk1 xkbk 5 Caso contrario defina ak1bk1 akxk 6 Se bkak 2 ε STOP Pois neste caso teremos que xk x ε Isso sera uma consequˆencia do Teorema 2 7 Caso contrario realize mais uma etapa k k 1 retornando a etapa 3 Terminar quando atingir a precisao pedida Portanto para comecar definimos a0 a e b0 b com x0 sendo o ponto medio do intervalo ab x0 a0 b0 2 ab 2 a Se fx0 0 entao x x0 e o processo termina b Se fx0 0 entao fx0 tem o mesmo sinal que fa0 ou fb0 c Se fa0fx0 0 entao x x0b0 Defina a1 x0 e b1 b0 d Se fa0fx0 0 entao x a0x0 Defina a1 a0 e b1 x0 Entao repita o processo para o intervalo a1b1 Estipulado uma tolerˆancia ε 0 podemos considerar uma certa sequˆencia x0x1x2xN ate que uma das seguintes condicoes ocorra xN xN1 ε 1O teorema de aproximacao de StoneWeierstrass afirma que toda funcao real contınua cujo domınio e um intervalo compacto ou seja fechado e limitado pode ser aproximado uniformemente por polinˆomios 2Em ciˆencia da computacao o processo de dividir um conjunto continuamente em metade para procurar a solucao para um problema como o metodo de bisseccao faz e conhecido como procedimento de pesquisa binaria NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 3 xNxN1 xN ε xN 0 ou fxN ε Entretanto em alguns metodos e possıvel estipular um criterio de parada que no caso do metodo da bissecao sera dado utlizandose a etapa 6 do algoritmo acima Infelizmente podem surgir di ficuldades usando qualquer um desses criterios de parada Por exemplo existem sequˆencias xk k0 com a propriedade de que as diferencas xk xk1 convergem para zero enquanto a propria sequˆencia diverge Veja o Exercıcio 5 Tambem e possıvel que fxk estar proximo de zero enquanto xk difere significativamente de xVeja o Exercıcio 4 Sem informacoes adicionais sobre f ou x o segundo criterio e o melhor para se aplicar porque ele chega mais perto de testar o erro relativo Ao usar um computador para gerar aproximacoes e uma boa pratica definir um limitante superior vinculado ao numero de iteracoes Isso elimina a possibilidade de entrar em um loop infinito uma situacao que pode surgir quando a sequˆencia divergente e tambem quando o programa e codificado incorretamente Observe que para iniciar o algoritmo da bisseccao um intervalo ab deve ser encontrado com fa fb 0 Em cada etapa o comprimento do intervalo conhecido por conter um zero de f e reduzido por um fator de 2 portanto e vantajoso escolher o intervalo inicial ab tao pequeno quanto possıvel Por exemplo se fx 2x3 x2 x1 temos ambos f4 f4 0 e f0 f1 0 portanto o algoritmo da bisseccao pode ser usado em 44 comprimento 8 ou em 01 com primento 1 Iniciando o algoritmo de bisseccao em 01 em vez de 44 reduzimos em 3 o numero de iteracoes necessarias para alcancar uma precisao especificada Teorema 2 Suponha que f Cab e fa fb 0 O metodo da bissecao gera uma sequˆencia xk k0 que se aproxima da raiz x de f com xk x ba 2k1 quando k 0 Demonstracao Para cada k 1 temos bk ak 1 2k ba e xk akbk Como xk ak bk 2 para todo k 0 segue que xk x bk ak 2 ba 2k1 Observacao 3 O fato principal usado Teorema 2 e que existem somente duas possibilidades de escolha a cada iteracao x akxk ou x xkbk Como o comprimento de ambos intervalos e bkak 2 temos obrigatoriamente que xk x 1 2bk ak Observacao 4 Criterio de parada Dado um erro ε 0 queremos definir uma quantidade de iteracoes necessarias N para ter xN x ba 2N1 ε 4 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI o que em particular fornece lxy x E Para obter N procedemos da seguinte maneira ba ONG eéeco logba log QN log logba N1 logye 31 N1logba loge G ba N12 log Logo basta tomar o menor inteiro N tal que b N log 1 32 para obter a aproximacdo desejada Observagao 5 Na desigualdade 32 podemos utilizar somente o log na base 10 De fato como em geral vale que loga 1 O84 log b teremos b lo bra b N log 7 1 N log 1 33019 x os 7 1 logig2 Exemplo 6 Encontrar a raiz do polinémio fx x 3 no intervalo ab 12 com precisdo 01 Veja que fIf2 2 0 Passo 1 Estipular a quantidade de iteracées que serdo necessdrias dado que 10 Usando a formula 32 obtemos Nlog 11 1 log 101 23219 O l1lo l 12 882 01 2 01 82 Ou seja sao necessdrias N 3 iteracées onde encontraremos os valores de xgxX1X2 e x3 Ao final devemos ter x3 x e01 Na tabela abaixo usamos a seguinte convencdo e Seo sinal é positivo entdo ag recebe xx e Seo sinal é negativo bg recebe xx O sinal usado aqui é o sinal de f ax f xx na etapa k Passo 2 Para organizar os cdlculos seguindo o algoritmo usando a seguinte tabela 0 J 2 15 2 075 1 15 2 175 075 00625 33 2 25 175 1625 075 036 3 1625 175 16875 Stop NOTAS DE AULA 2CALCULO NUMERICO MATO12ZEROS DE FUNCOES REAIS 5 Na realidade sabemos que a raiz de f é x V3 173205 Entaéo considerandose 4 casas decimais temos x3 17320 16875 17320 00445 01 Ou seja x3 168 é uma aproximacdo para a raiz dada dentro da margem de erro solicitada Exemplo 7 Encontrar a raiz do polinémio fx x x1 no intervalo ab 12 com precisdo 004 Veja que fIf2 6 0 Passo 1 Estipular a quantidade de iteracées que serado necessdrias Usando a formula 32 obte mos NIog 2 1 10 1 log 251 36438 8 904 82004 98 ones Ou seja sao necessdrias N 4 iteragées Ao final devemos ter x4 x 004 Passo 2 Usando o algoritmo da tabela para organizar os cdlculos 0 1 2 15 0875 1 1 15 125 02968 34 2 125 15 1375 02968 02246 3 125 1375 13125 02968 00515 4 13125 1375 13437 Stop Para ilustar nossos cdlculos notemos que na realidade a raiz de f é 39 V69 9 69 xia ff EVO 7 32471795 18 18 Entdo considerandose 4 casas decimais temos x4 13247 13437 13247 0019 002 004 Ou seja x4 13437 é uma aproximacdao para a raiz dada dentro da margem de erro solicitada 4 METODO DA FALSA POSIGAO REGULA FALSI Nesta secdo vamos considerar 0 método da falsa posicao também chamado de regula falsi para determinar uma aproximacao zeros de funGes e O método da falsa posiao pode ser considerado uma variagao do método da bissecao e Em alguns casos 0 método da bissecao tem convergéncia lenta uma vez que seleciona sem pre o ponto médio de cada intervalo e Nem sempre a média x mich Pe é a melhor opao para achar 0 zero em a bx Por exemplo se f ax for mais proximo de zero de fb ou seja se f ax fbe mais provavel que raiz x seja mais proximo de ax do que a bx e Usando os valores f ax fb podemos localizar 0 aproximante mais proximo do extremo onde a f é mais préxima de zero esta é a ideia do método da falsa posicao 6 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI e Para isso consideramos como aproximagao x para a raiz a média ponderada entre a e b com pesos fb e fa respectivamente b6 oy aif 01 a an IF F A média ponderada x estara mais pr6xima do extremo que tem menor imagem em valor absoluto pela fungao f Para simplificar a equacao 41 vamos considerar 0 seguintes casos possiveis e Caso 1 fa Oe fb 0 Neste caso usando as propriedades da funao modular teremos oy aflb b fla af bf a fa f fb f e Caso 2 fa 0e fb 0 Neste caso usando as propriedades da fungao modular teremos ahd bf fb f Portanto concluimos que o resultado de x nos dois casos é 0 mesmo Em termos de interpretagao geométrica note que a aproximacao dada pelo numero x obtido por meio da equacao 41 0 ponto de intersecgao da reta que passa pelos pontos a fa e b fb com eixo x Lembre da geometria analitica que a equacao da reta que passa por x0 yo é yYo mx Xo Desse modo a equagao que passa por a fa e b fb deve satisfazer simultaneamente y fa mxa e y fb mx 6 Resolvendo o sistema acima encontrase que fb fla ya FLO xa Fa a cuja interseccao com 0 eixo x se da no ponto bb x FO PF fb f Para o método da falsa posicgao usaremos a seguinte fungao de iteracao x anf bn bnf an 42 fbn an se tivermos na nésima etapa no intervalo dy bn e Comegamos com ao bo a b j4 sabendo previamente que fa fb 0 devese garantir a existéncia de uma raiz primeiro e Calcule ahd bf fb f Se fa fx1 0 defina ab1 aox1 caso contrario defina ab1 x1 bo NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 7 Em geral obtido o intervalo anbn calculamos xn an fbnbn fan fbn fan Se fanfxn 0 defina an1bn1 anxn Caso contrario defina an1bn1 xnbn Exemplo 8 Considere fx xlnx 1 no intervalo 12 Use o metodo da falsa posicao para encontrar uma aproximacao x3 para a raiz Solucao Inicialmente note que f1 f2 12ln21 03863 0 logo existe uma raız em 12 Plotando o grafico de f ou usando algum argumento analıtico vemos que f so possui uma raiz neste intervalo Usando o metodo da falsa posicao vemos que a funcao de iteracao e dada por xk ak fbkbk fak fbk fak 43 Na primeira etapa consideramos a0b0 12 ab Observe que x0 a fbbfa fb fa 038632 038631 17213 x1 a1 fb1b1 fa1 fb1 fa1 17614 x2 a2 fb2b2 fa2 fb2 fa2 1761403863200028 0386300028 17630 Organizamos os calculos na seguinte tabela k ak bk fak fbk xk fxk Sinal de fak fxk 0 1 2 1 03863 17213 00651 1 17213 2 00651 03863 17614 00028 2 17614 2 00028 03863 17630 00001 Vale ressaltar que a raız exata com 4 casas decimais de aproximacao e x 17632 de modo que o metodo foi eficiente neste exemplo Vimos que o metodo da falsa posicao gera uma sequˆencia de pontos xnn1 obtidos por meio da equacao 42 Sob quais condicoes essa sequˆencia converge O teorema a seguir responde a essa pergunta Teorema 9 Convergˆencia Se f ab R e contınua tal que fafb 0 e seja x a unica raız nesse intervalo Entao a sequˆencia de pontos xnn1 obtidos por meio do metodo da falsa posicao equacao 42 e convergente isto e limxn x 5 METODO DE NEWTON METODO DE NEWTONRAPHSON Voltamos ao problema dada fx e ε 0 encontrar uma sequˆencia de aproximacoes tal que tais que xk x ε onde fx 0 A iteracao de Newton para encontrar solucoes aproximadas para este problema tem a forma xk1 xk fxk f xk para k 012 51 8 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI Podemos descrever 0 algoritmo do método de Newton da seguinte forma Para estimar a raiz de uma equacao da forma fx 0 podemos utilizar um algoritmo que se baseia nos seguintes passos 1 Escolhese um valor x uma aproximagao inicial para a raiz da equagao fx 0 2 Determinase a equacao da reta tangente ao grafico de fx no ponto de coordenadas xx fxx 3 Determinase 0 ponto x10 intersegao da reta encontrada em ii com 0 eixo das abcissas 4 Repetese para x41 OS passos ii e iii e prosseguimos até encontrar a raiz da equacéo fx 0 com a precisao desejada Note que no passo 2 a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto xz fx é dada por y Ff xx fF K Xx cuja interseccdo com 0 eixo x fornece FX O f xx f xe x xe SS X fxx Pelo item 3 0 ponto de interseccao é x 410 e portanto tee X f xx 1 Fxx O teorema a seguir garante a convergéncia do método sob certas hipdteses sobre Teorema 10 Seja f Cab Se x ab é tal que fx 0 e fx 0 entdo existe 6 0 tal que o método de Newton gera uma sequéncia x convergindo para x seja qual for a aproximacdo inicial xp x 6x 6 Logo sob hipséteses razodveis o método de Newton converge desde que uma aproximacaAo inicial sucientemente préxima da raiz da equacAo seja escolhida Este resultado é importante para a teoria do método de Newton mas raramente é aplicada na pratica porque nao nos diz como determinar 6 Em uma aplicaao pratica uma aproximacao inicial xo selecionada e aproximago6es sucessivas sao geradas pela formula 51 Esperase que x convirja rapidamente a raiz ou ficara claro que a convergéncia é improvavel A seguir veremos exemplos de aplicagao direta do método de Newton Exemplo 11 Use 0 método de Newton para obter uma aproximagdo x3 para a ratz de fx x 4x 1 no intervalo 01 com aproximacdo inicial xp 05 Passo 1 Encontrar a fungao de iteragao Observe que fx 3x 8x Logo fx xp40 1 f Xe 3xz Bxe Portanto a fungao de iteragao é dada por xB 4a7 1 Xe41 X Ss 3x2 8xx Passo 2 Encontrar x2 Como xp 05 temos 05 405 1 x 05 05 405 1 05385 305 805 NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 9 Consequentemente x2 05384 053843 4053842 1 3053842 805384 05374 Os calculos estao organizados na tabela abaixo k xk fxk f xk fxk f xk xk fxk f xk 0 05 0125 325 00384 05384 1 05384 00034 34375 00009 05375 2 05375 Utilizando 4 casas decimais teremos fx2 00003 Note ainda que x2 x1 0537505384 00009 Essas ultimas informacoes poderiam ser usadas como criterio de parada caso fosse solicitado Exemplo 12 Vamos resolver cosx 2x com 5 casas decimais Isso e equivalente a resolver fx 0 onde fx cosx2x Obs certifiquese que sua calcula dora esta no modo radiano A formula de recursao tornase xk1 xk cosxk 2xk sinxk2 Com uma estimativa inicial de x0 05 obtemos x1 045063x2 045018 e x3 045018 sem mais alteracoes nos dıgitos com cinco casas decimais Portanto a este grau de precisao a raiz e x 045018 Exemplo 13 Aproximando π Sabemos que sinπ 0 Logo tomando x0 3 no metodo de New ton considerandose fx sinx temos que xk1 xk sinxk cosxk Logo lembrando de usar a calculadora no modo radiano obtemos x1 x0 tanx0 3tan3 30142546 3142546 x2 x1 tanx1 3142546000095 3141596 x3 31415960000003 3141593 Logo comparando com o resultado correto ate 6 casas decimais obtemos x3 3141592 0000001 106 Exemplo 14 Dado que fx x32x2 tem uma raiz entre 0 e 1 obtenha a aproximacao x4 usando o metodo de Newton Passo 1 Encontrar a funcao de iteracao Observe que f x 3x2 2 Logo fxk f xk x3 k 2xk 2 3x2 k 2 10 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI Assim a fungao iteragao é dada por x 2x 2 Xe X k1 k 3x2 42 Iniciando com xp 1 obtemos 1422 1 1 1 08 I 342 5 083 162 0112 x2 08 08 07715 308 2 392 07715 207715 2 07715 07709 8 3077152 2 Organizamos os calculos na seguinte tabela op af tof 5 02 08 1 08 0112 00285 07715 07715 000221 37856 0006 07709 07709 Como encontramos x3 paramos as iteragdes Observe que f07709 000006 6 x 107 e isso pode servir como critério de parada 51 Possiveis problemas com 0 método O método NewtonRaphson funciona na maioria das vezes se a aproximagao inicial x9 inicial for boa o suficiente Ocasionalmente o método pode falhar mas as vezes vocé pode fazélo funcionar alterando a aproximacao inicial Vamos tentar resolver x tanx para x Em outras palavras resolvemos fx 0 onde fx tanxx A formula de recursao tornase Xz tan xx Xk Xk 7 he TH sec xx Vamos tentar uma estimativa inicial de x7 4 Com essa estimativa inicial descobrimos que x 6 12016 x2 238 40428 x3 1957 26490 etc Claramente esses ntiimeros nao estao convergindo Precisamos de escolher uma nova aproximagao inicial Vamos tentar x9 46 Entéo encontramos x 454573 x2 450615 x3 449417 x4 449341 x5 449341 etc Mais algumas iteragdes confirmarao que os digitos nado estao mais mudando para 5 casas decimais Como como resultado concluimos que uma raiz de x tanx é x 449341 com 5 casas decimais 6 O METODO DA SECANTE O método da secante é um algoritmo que gera aproximacao de raizes de uma funcao f por meio de uma sequéncia de raizes de retas secantes Ele pode ser pensado como uma aproximagao de diferencas finitas do método de Newton No entanto o método da secante antecede 0 método de Newton em mais de 3000 anos para mais detalhes veja https sitesgooglecomsite knowyourrootsmaximaintroductionsecantmethod 3Uma diferenga finita é uma expresso da forma fxb fxa que ao ser dividida por b a chamase um quociente de diferengas NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 11 Como vimos o metodo de Newton e uma tecnica extremamente poderosa mas tem uma grande fraqueza a necessidade de saber o valor de f xn1 em cada iteracao dado que no metodo de Newton temos xn xn1 fxn1 f xn1 61 Em algumas situacoes a expressao de f x e mais complicada que fx e precisamos de muitos calculos para encontar f xn1 Por exemplo Se fx ex cosx temos f x ex cosx ex sinx 2x Para contornar o problema da avaliacao de f xn1 no metodo de Newton apresentamos uma ligeira variacao Por definicao de derivada temos f xn1 lim xxn1 fx fxn1 xxn1 Se xn2 xn1 e muito pequeno podemos tomar x xn2 para obter uma aproximacao para o limite acima ou seja uma aproximacao para f xn1 ou seja temos4 f xn1 fxn2 fxn1 xn2 xn1 fxn1 fxn2 xn1 xn2 Da equacao 61 obtemse facilmente que f xn1 fxn1 xn1 xn Substituindose isso na aproximacao acima vemos que fxn1 xn1 xn fxn1 fxn2 xn1 xn2 Ou seja xn1 xn fxn1 xn1 xn2 fxn1 fxn2 xn1 xn fxn1xn1 xn2 fxn1 fxn2 Isto nos leva a definir uma funcao de iteracao por xn xn1 fxn1xn1 xn2 fxn1 fxn2 62 Tambem podemos escrever xn1 xn fxnxn xn1 fxn fxn1 Nesse caso precisamos determinar duas aproximacoes iniciais a saber x0 e x1 Considerandose 62 e conhecendo x0 e x1 obtemos x2 x1 fx1x1 x0 fx1 fx0 63 se n 2 Isto nos permite encontrar a terceira aproximacao x3 x2 fx2x2 x1 fx2 fx1 64 Esse metodo iterativo e chamada de metodo da Secante 4Aproximacao da derivada por diferenca finita 12 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI e Comegando com as duas aproximacoes iniciais x9 e x1 a aproximagao x2 é 0 ponto em que o segmento de reta que une xo fxo e x1 f1 intercepta 0 eixo x e A aproximagao x3 o ponto onde o segmento de reta que une x1 fx1 e x2 fx2 inter cepta 0 eixo x e assim por diante Veja que a cada etapa apenas precisamos avaliar valores envolvendo a fungao fx Em contraste cada etapa do método de Newton requer uma avaliacao de fx e de fx Exemplo 15 Use o método da secante para encontrar uma aproximacdo para a raiz de fx x x6 com erro 1073 usando como aproximacoes iniciais x9 15 e x 17 Usando a fungao de iteragao SF Xk 7a Xk1 Xk Gey ee id Ta ft encontramos a seguinte tabela 20351 20357 01797 19978 20357 19978 01797 00109 19999 19978 19999 Logo x4 19999 e para mostrar a eficiéncia do método veja que a raiz real positiva de fx éx 2 pois f2 0 Além disso veja que f19999 00004 0001 61 Vantagens e desvantagens do Método da Secante Vantagens i Converge mais rapido do que uma taxa linear de modo que converge mais rapidamente do que 0 método da bissecgao ii Nao exige o uso da derivada do fungao algo que nao esta disponivel por exemplo em aplicag6es praticas iii Requer apenas uma avaliagao de fungao por iteragéo em comparagéo com o método de Newton que requer dois Desvantagens i Pode nao convergir ii Nao ha limite de erro garantido para os iterados calculados iii E provavel que tenha dificuldade se fa 0 Isso significa que 0 eixo x é tangente ao grafico de y fx emxa 7 TAXA DE CONVERGENCIA Definicéo 16 Seja xx uma sequéncia que converge para x Se existe a 0eC 0 tal que lim bert 2 C k xp x entao a é chamada ordem de convergéncia e C é a constante de erro Dizemos que a convergéncia é 1 linear sea 1eC 1 2 superlinear se 1 3 quadratica se a 2 Em relagao aos métodos que estudamos sabese 1 O método da bissecgao é linear com a 1 eC 12 2 O método da falsa posigao é linear 3 O método da secante é superlinear com Lvs 1618 NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 13 4 O metodo de Newton e quadratico α 2 EXERCICIOS LISTA 02 1 Usando metodo da bisseccao encontre uma estimativa para a raiz da funcao fx ex2x1 no intervalo 12 dado o erro ε 102 2 Usando o metodo da bisseccao para determinar a raiz de fx ex x em 10 preencha a seguinte tabela k ak bk xk fak fxk Sinal 0 1 0 05 1 2 3 4 Stop 3 Dˆe um exemplo de uma funcao fx que tenha pelo menos uma raiz em um intervalo ab que nao pode ser determinada pelo metodo da Bisseccao 4 Seja fx x110 x 1 e xn 11n Mostre que fxn 103 sempre que n 1 mas que para que se tenha x xn 103 e necessario n 1000 5 Seja xn n1 definida por xn n k1 1 k Mostre que xn n1 diverge enquanto que limnxn xn1 0 6 Seja fx ex x em 01 Responda as seguintes perguntas a Existe uma raiz de f nesse intervalo b Encontre o numero de iteracoes N para uma precisao de ε 103 usando o metodo da bissecao Resp N 9 c Faca iteracoes e forneca uma estimativa para a raiz obedecendo esse erro 7 Encontre o numero de iteracoes necessario para obter uma aproximacao com precisao de 103 para a solucao da equacao x3 x 4 0 que se encontra no intervalo 12 pelo metodo da bissecao 8 Usando o metodo de Newton comecando com x0 2 encontre a aproximacao x2 para a raız da equacao x3 2x5 0 Resposta x2 20946 14 PROF MARCELO A C NOGUEIRAIMC UNIFEI 9 Seja fx x62 Use o metodo de Newton com a aproximacao inicial x0 1 para encontrar a aproximacao x4 com 4 casas decimais Veja que isso equivale a encontrar uma aproximacao para 6 2 usando x4 Resposta Escolhendo x0 1 como aproximacao inicial obtemos x4 11224 10 Use o metodo de Newton com valor inicial espeficado x0 para encontrar x2 a terceira aproximacao de raiz da equacao dada Dˆe sua resposta com quatro casas decimais a x3 2x4 0 x0 1 Resposta x2 11797 b x5 x1 0 x0 1 Resposta x2 11785 11 Dados fx xlnx1 sobre o intervalo 12 use o metodo da falsa posicao para encontrar a aproximacao x3 usando 4 casas decimais completando a tabela a seguir k ak bk xk fak fbk fxk 0 1 2 17213 10 03863 00651 1 2 3 12 Dados fx cosxx e as aproximacoes x0 07 e x1 08 use o metodo da secante para encontrar a aproximacao x4 usando 4 casas decimais sem arredondamento completando a tabela a seguir k xk1 xk mk fxkxkxk1 fxkfxk1 xk1 xk mk 1 07 08 00614 07386 2 08 07386 3 4 13 Custa a uma empresa Cq dolares para produzir q gramas por dia de um certo composto quımico onde Cq 10002q3q 2 3 A empresa pode vender qualquer quantidade do produto quımico a 4 a grama Achar o ponto de equilıbrio da empresa ou seja quanto ela deve produzir por dia para nao ter lucro nem prejuızo Use o metodo de Newton dˆe a resposta para a quantidade de gramas mais proxima Dica Receita Lucro Custo REFERˆENCIAS 1 RUGGIERO M A G e LOPES V L R Calculo Numerico Aspectos Teoricos e Computacionais Pearson Education do Brasil Sao Paulo 2ª Ed 1996 2 SPERANDIO D MENDES J T SILVA L H M Calculo Numerico Caracterısticas Matematicas e Computacio nais dos Metodos Numericos Editora Prentice Hall Sao Paulo 2003 3 CUNHA M C C Metodos numericos 2ª Ed Campinas Editora da UNICAMP 2003 4 CAMPOS FILHO F F Algoritmos numericos 2 ed Rio de Janeiro LTC 2007 NOTAS DE AULA 2C ALCULO NUMERICO MAT012ZEROS DE FUNC OES REAIS 15 5 CHAPRA S C CANALE R P Numerical methods for engineers 5 ed Boston McGraw Hill Higher Education 2006 6 MILNE W E Calculo Numerico Sao Paulo Polıgono 1968 7 SANTOS V R B Curso de Calculo Numerico Rio de Janeiro LTC 1977 8 YANG W Y et al Applied Numerical Methods using MATLAB New Jersey John Wiley and Sons 2005