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Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD CAPÍTULO 3 ÁLEGBRA DE BOOLE A álgebra lógica foi apresentada pelo matemático Britânico George Boole em 1847 The Mathematical Analysis of Logic em resposta a uma controvérsia entre Augustus De Morgan e William Hamilton e mais detalhadamente em 1854 An Investigation of the Laws of Thought e lida com a análise lógica Em 1937 Claude Shannon provou que a álgebra de Boole e a aritmética binária poderiam ser usadas em circuitos com relês usados em telefonia e estabeleceuse a álgebra digital ou álgebra binária A álgebra de Boole descreve as operações lógicas dos circuitos lógicos e consequentemente as iterações dos sinais digitais Essas iterações permitem a implementação de blocos e circuitos maiores que encontram infinitas aplicações desde relógios digitais até complexos sistemas computacionais A álgebra de Boole é baseada em dois valores lógicos 0 e 1 Estes valores podem representar condições com as quais estão associadas tais como verdadeiro e falso ligado e desligado aberto e fechado energizado e desenergizado etc Em particular poderia haver a relação 0 para falso e 1 para verdadeiro ou viceversa 0 para aberto e 1 para fechado ou vice versa e assim sucessivamente Como a álgebra de Boole contempla apenas dois valores 0 e 1 podese inferir que o contrário de 0 é 1 e viceversa 31 OPERAÇÕES BÁSICAS As três operações básicas da álgebra de Boole são os blocos elementares na construção de todos os circuitos digitais 311 Inversão A operação de inversão também chamada de Não NOT em Inglês Negação ou Complemento executa a inversão lógica do sinal de entrada A operação de inversão de uma variável A tem tipicamente as representações mostradas em 31 A Tabela 31 apresenta a sua operação e a Figura 31 mostra a sua representação gráfica A A Y 31 Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Tabela 31 Operação inversão A Y 0 1 1 0 Y A Figura 31 Operador inversor 312 Operação E Pela operação E AND em Inglês uma expressão composta por duas ou mais variáveis só é verdadeira se todas as variáveis forem verdadeiras ao mesmo tempo As representações da operação E entre duas variáveis A e B é dada por 32 A Tabela 32 apresenta a sua operação e a Figura 32 mostra a sua representação gráfica AB A B Y 32 Tabela 32 Operação E A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Y A B Figura 32 Operdor E A e B podem representar sinais elétricos condições mecânicas ou mesmo expressões Como exemplo considere uma empresa que deseja contratar um funcionário que seja engenheiro E que saiba Inglês O candidato tem que ser engenheiro e tem que saber Inglês Somente uma das condições satisfeitas não permite contratação Podese usar a notação E Engenheiro I Inglês C Contratatação Assim temse C EI Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 313 Operação Ou Pela operação Ou OR em Inglês uma expressão composta por duas ou mais variáveis é verdadeira se pelo menos uma das variáveis for verdadeira As representações da operação OU entre duas variáveis A e B é dada por 33 A Tabela 33 apresenta a sua operação e a Figura 33 mostra a sua representação gráfica B A Y 33 Tabela 33 Operação OU A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Y A B Figura 33 Operadorca OU Novamente A e B podem representar sinais elétricos condições mecânicas ou mesmo expressões Como exemplo considere uma empresa que deseja contratar um funcionário que seja engenheiro OU economista O candidato tem que ser engenheiro ou tem que ser economista ou ainda pode ter as duas formações Podese usar a notação EN Engenheiro EC Economista C Contratatação Assim temse C EN EC 32 EXPRESSÕES DUAIS E COMPLEMENTARES Expressões duais servem para simplificar as provas dos teoremas da álgebra de Boole a serem vistos na próxima seção As expressões duais são obtidas pelo seguinte procedimento a Trocamse por e por b Trocamse 0 por 1 e 1 por 0 c Mantêmse as prioridades da expressão original pela adição ou remoção de parêntesis Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Exemplos 1 1 B C D A B F 0 B D C B A FDUAL 2 S NT R KLM X RS T N M L K X DUAL Uma importante propriedade da álgebra de Boole é a dualidade que garante que toda expressão se mantém válida pela troca dos operadores E e Ou Expressões complementares servem para obter o valor complementar ou negado da expressão original para as mesmas variáveis As expressões complementares são obtidas pelo seguinte procedimento a Trocamse por e por b Trocamse 0 por 1 e 1 por 0 c Mantêmse as prioridades da expressão original pela adição ou remoção de parêntesis d Complementamse todas as variáveis Exemplos 1 1 B C D A B F 0 B D C B A F 2 E C D ABC S DE C C B A S 33 TEOREMAS Em 1904 E V Huntington estabeleceu os postulados da álgebra de Boole que foram empregados por Claude Shannon O formalismo da álgebra de Boole assim como alguns axiomas e postulados serão omitidos nesse material ou serão apresentados sob a forma de teoremas Os teoremas serão apresentados em pares onde um dos elementos é o dual do outro Assim ao provar um dos lados pela propriedade da dualidade o seu dual também está validado Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 331 Elemento Unitário Aniquilador T1a X 11 T1b X 0 0 Prova feita através da tabela verdade Como a coluna X 1 resulta em 1 fica provado X X 1 0 1 1 1 Devese observar que X pode ser uma variável ou uma expressão Exemplo 0 10 1 0 d e a b c x k d e a b c f 332 Elemento Nulo Identidade T2a X X 0 T2b X X 1 Prova feita através da tabela verdade Como X e X 1 são iguais fica provado X X 0 0 0 1 1 Exemplo m n p m n p y z m n p g 0 0 333 Idempotência T3a X X X T3b X X X Prova feita através da tabela verdade Como X e X X são iguais fica provado X X X 0 0 1 1 Exemplo d e a b c d e d e a b c a b c h Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 334 Complementaridade T4a X X 1 T4b 0 X X Prova feita através da tabela verdade Como a coluna X 1 resulta em 1 fica provado X X X X 0 1 1 1 0 1 Exemplo 1 1 0 0 0 y z m n p s s y z m n p s y z s m n p i 335 Comutativa T5a X Y Y X T5b Y X X Y Prova feita através da tabela verdade Como as colunas X Y e Y X são iguais fica provado X Y X Y X Y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Exemplo r kf s s fk r j 337 De Morgan T7a X Y Y X T7b X Y X Y O lado a dos teoremas anteriores são muito intuitivos e similares à álgebra convencional O teorema de De Morgan foge dessa regra e deve ser observado com atenção X Y X Y X Y X Y X Y 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Prova feita através da tabela verdade Como as colunas X Y e X Y são iguais fica provado Exemplo 1 y x y x y xy x k 336 Associativa T6a Z Y X Z Y X Z Y X T6b X Y Z X Y Z X Y Z Prova feita através da tabela verdade Como as colunas Z Y X Z Y X e Z Y X são iguais fica provado X Y Z X Y X Z Y Z Z Y X Z Y X Z Y X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 338 Distributiva T8a XZ XY Z X Y T8b Z Y X X YZ X Prova feita através da tabela verdade Como as colunas XY ZX e Z X Y são iguais fica provado X Y Z XY XZ Y Z XY ZX Z X Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 339 Combinação T9a X XY XY T9b X Y X Y X Prova feita através de teoremas anteriores Observase que a variável que varia é eliminada e a parte constante é preservada X b T X a T Y Y X a T XY XY 2 1 4 8 Exemplo rs tu rs tu u t rs tu rsu rst rstu l 3310 Absorção ou Cobertura T10a X XY X T10b X Y X X Prova feita através de teoremas anteriores Se um termo aparece em outro termo com mais variáveis esse termo com mais variáveis é eliminado incorporado X b T X T a Y X a T XY X b T XY X 2 1 1 1 8 1 2 Exemplo ab a f de ab c ab m 3311 Eliminação T11a Y X XY X T11b XY Y X X Prova feita através de teoremas anteriores Se um termo aparece complementado em outro termo com mais variáveis esse termo complementado é eliminado mantendose as demais variáveis Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Y X b T Y X a T Y X X X T b XY X 2 1 4 8 Exemplo d c b a d a b c b a n 3312 Consenso ou Fantasma T12a YZ XZ XY XZ XY T12b Z Z Y X Y X Z X Y X Prova feita através de teoremas anteriores Uma parte de um termo aparece complementada em outro termo As partes que sobram nos dois termos formam o termo fantasma XY XY a T Z XY Z XY a T YZ X YZX XZ XY a T X Y Z X X Z Y X a T Y Z X Z Y X b T Y Z X Z Y X 10 1 1 8 8 4 1 2 O termo fantasma é uma redundância e portanto pode ser inserida ou removida sem prejuízo para a expressão A inclusão ou remoção do termo fantasma pode e deve ser usada para simplificar expressões Exemplo cd ac ab cd bc ac ab bd cd bc ac ab bd cd ac ab p Observe que inicialmente foi inserido o termo fantasma bc obtido de ab e c a Esse termo fantasma bc juntamente com d c mostra que bd é temo fantasma e pode ser eliminado A seguir o termo fantasma bc é eliminado Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 3313 Conversão T13a Y Z X X XZ XY T13b XY XZ Z Y X X Prova feita através de teoremas anteriores Esse teorema é empregado para fazer mudanças entre os formatos das expressões Y X XZ a T YZ Y X XZ a T YZ Y X XZ a T YZ Y X XZ X X a T Z Y X X 12 2 0 4 8 3314 Teoremas Sumário A Tabela 34 apresenta a compilação dos teoremas da álgebra de Boole Tabela 34 Teoremas da álgebra de Boole T a b 1 X 11 X 0 0 2 X X 0 X X 1 3 X X X X X X 4 X X 1 0 X X 5 X Y Y X Y X X Y 6 Z Y X Z Y X Z Y X X Y Z X Y Z X Y Z 7 X Y Y X X Y X Y 8 XZ XY Z X Y Z X Y X YZ X 9 X XY XY X Y X Y X 10 X XY X X Y X X 11 Y X XY X XY Y X X 12 YZ XZ XY XZ XY Z Z Y X Y X Z X Y X 13 Y Z X X XZ XY XY XZ Z Y X X Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 3315 Problemas de Aplicação de Teoremas Considere os dois exemplos a seguir que podem ser solucionados com os recursos da álgebra de Boole 1 Um sistema de irrigação de jardins deve operar sobe as seguintes premissas Inverno e baixa umidade do solo Temperatura alta verão e baixa umidade do solo Temperatura alta alta umidade do solo e verão Temperatura baixa verão e baixa umidade do solo Temperatura alta e baixa umidade do solo Devese determinar a expressão que estabelece a operação desse sistema Para isso algumas considerações devem ser estabelecidas e devemse usar o menor número de variáveis Assim temse I Inverno I Verão U Baixa umidade do solo U Alta umidade do solo T Baixa temperatura T Alta temperatura U I T b T T a U I I T a T T T U I I T a T T T I U I I T a T T U T I U T I IU b T a T T U T I U T I U T I U IU 2 1 1 4 11 8 2 8 Assim o sistema irá funcionar quando tiver baixa temperatura Ou temperatura alta E verão 2 Um sistema de ar condicionado deverá atuar se Temperatura acima de 21oC e estar entre 900 e 1700hs Ser fim de semana com umidade relativa do ar acima de 85 Umidade relativa do ar acima de 85 temperatura acima de 21oC e ser fim de semana Umidade relativa do ar acima de 85 temperatura acima de 21oC e estar entre 900 e 1700hs Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Devese determinar a expressão que estabelece a operação desse sistema Para isso as variáveis adotadas são H Estar entre 900 e 1700hs H Não estar entre 900 e 1700hs U Umidade relativa acima de 85 U Umidade relativa abaixo de 85 T Temperatura acima de 21oC T Temperatura abaixo de 21oC F Fim de semana F Dia de semana FU TH UTH FU TH UTH UTF FU TH UTH UTF FU TH Assim o sistema de arcondicionado deverá funcionar se temperatura acima de 21oC E estar entre 900 e 1700hs Ou fim de semana E umidade relativa do ar acima de 85 34 EXERCÍCIOS 1 Usando os Teoremas da álgebra de Boole simplifique as seguintes expressões Y X WXYZ A X XY B 2 2 2 2 1 1 2 1 X X X X X X X X C XY W XY W X WY WXY W X D YZX XY E 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2 A A A A A A A A A A F BC A G B AB AC H D AB C I XYZ YZ X J ABC ABC ABC ABC K B C A D A C L A AB ABC M AB B C A N XY YZ O ABC B A P Y YZ X Q Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD BBC A ABC R 2 3 3 2 1 3 3 4 3 3 X X X X X X X X X X S Y WX X W X ZY WX T 3 2 1 1 2 1 2 Z Z Z Z Z Z Z U AB B A AB A V C A B A C B A X B A B A Y 2 1 2 1 2 1 2 1 X X X X X X X X Z AC ABC AB W 2 Determine a operação lógica do circuito de controle de submersão de um micro submarino de pesquisa dever subir automaticamente à tona se bateria descarregada e oxigênio em nível baixo ou água potável em nível baixo bateria carregada e oxigênio em nível baixo ou água potável e oxigênio em níveis baixos 3 Simplifique o circuito da Figura 34 Y X S T Z R X L M S A N M R X L N A S Figura 34 Representação de circuito lógico 4 Prove o lado b de cada teorema 5 Simplifique as seguintes expressões XYZW XYW XYZW A ZW Y A Z X Z X B wz xy z z xy C
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Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD CAPÍTULO 3 ÁLEGBRA DE BOOLE A álgebra lógica foi apresentada pelo matemático Britânico George Boole em 1847 The Mathematical Analysis of Logic em resposta a uma controvérsia entre Augustus De Morgan e William Hamilton e mais detalhadamente em 1854 An Investigation of the Laws of Thought e lida com a análise lógica Em 1937 Claude Shannon provou que a álgebra de Boole e a aritmética binária poderiam ser usadas em circuitos com relês usados em telefonia e estabeleceuse a álgebra digital ou álgebra binária A álgebra de Boole descreve as operações lógicas dos circuitos lógicos e consequentemente as iterações dos sinais digitais Essas iterações permitem a implementação de blocos e circuitos maiores que encontram infinitas aplicações desde relógios digitais até complexos sistemas computacionais A álgebra de Boole é baseada em dois valores lógicos 0 e 1 Estes valores podem representar condições com as quais estão associadas tais como verdadeiro e falso ligado e desligado aberto e fechado energizado e desenergizado etc Em particular poderia haver a relação 0 para falso e 1 para verdadeiro ou viceversa 0 para aberto e 1 para fechado ou vice versa e assim sucessivamente Como a álgebra de Boole contempla apenas dois valores 0 e 1 podese inferir que o contrário de 0 é 1 e viceversa 31 OPERAÇÕES BÁSICAS As três operações básicas da álgebra de Boole são os blocos elementares na construção de todos os circuitos digitais 311 Inversão A operação de inversão também chamada de Não NOT em Inglês Negação ou Complemento executa a inversão lógica do sinal de entrada A operação de inversão de uma variável A tem tipicamente as representações mostradas em 31 A Tabela 31 apresenta a sua operação e a Figura 31 mostra a sua representação gráfica A A Y 31 Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Tabela 31 Operação inversão A Y 0 1 1 0 Y A Figura 31 Operador inversor 312 Operação E Pela operação E AND em Inglês uma expressão composta por duas ou mais variáveis só é verdadeira se todas as variáveis forem verdadeiras ao mesmo tempo As representações da operação E entre duas variáveis A e B é dada por 32 A Tabela 32 apresenta a sua operação e a Figura 32 mostra a sua representação gráfica AB A B Y 32 Tabela 32 Operação E A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Y A B Figura 32 Operdor E A e B podem representar sinais elétricos condições mecânicas ou mesmo expressões Como exemplo considere uma empresa que deseja contratar um funcionário que seja engenheiro E que saiba Inglês O candidato tem que ser engenheiro e tem que saber Inglês Somente uma das condições satisfeitas não permite contratação Podese usar a notação E Engenheiro I Inglês C Contratatação Assim temse C EI Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 313 Operação Ou Pela operação Ou OR em Inglês uma expressão composta por duas ou mais variáveis é verdadeira se pelo menos uma das variáveis for verdadeira As representações da operação OU entre duas variáveis A e B é dada por 33 A Tabela 33 apresenta a sua operação e a Figura 33 mostra a sua representação gráfica B A Y 33 Tabela 33 Operação OU A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Y A B Figura 33 Operadorca OU Novamente A e B podem representar sinais elétricos condições mecânicas ou mesmo expressões Como exemplo considere uma empresa que deseja contratar um funcionário que seja engenheiro OU economista O candidato tem que ser engenheiro ou tem que ser economista ou ainda pode ter as duas formações Podese usar a notação EN Engenheiro EC Economista C Contratatação Assim temse C EN EC 32 EXPRESSÕES DUAIS E COMPLEMENTARES Expressões duais servem para simplificar as provas dos teoremas da álgebra de Boole a serem vistos na próxima seção As expressões duais são obtidas pelo seguinte procedimento a Trocamse por e por b Trocamse 0 por 1 e 1 por 0 c Mantêmse as prioridades da expressão original pela adição ou remoção de parêntesis Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Exemplos 1 1 B C D A B F 0 B D C B A FDUAL 2 S NT R KLM X RS T N M L K X DUAL Uma importante propriedade da álgebra de Boole é a dualidade que garante que toda expressão se mantém válida pela troca dos operadores E e Ou Expressões complementares servem para obter o valor complementar ou negado da expressão original para as mesmas variáveis As expressões complementares são obtidas pelo seguinte procedimento a Trocamse por e por b Trocamse 0 por 1 e 1 por 0 c Mantêmse as prioridades da expressão original pela adição ou remoção de parêntesis d Complementamse todas as variáveis Exemplos 1 1 B C D A B F 0 B D C B A F 2 E C D ABC S DE C C B A S 33 TEOREMAS Em 1904 E V Huntington estabeleceu os postulados da álgebra de Boole que foram empregados por Claude Shannon O formalismo da álgebra de Boole assim como alguns axiomas e postulados serão omitidos nesse material ou serão apresentados sob a forma de teoremas Os teoremas serão apresentados em pares onde um dos elementos é o dual do outro Assim ao provar um dos lados pela propriedade da dualidade o seu dual também está validado Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 331 Elemento Unitário Aniquilador T1a X 11 T1b X 0 0 Prova feita através da tabela verdade Como a coluna X 1 resulta em 1 fica provado X X 1 0 1 1 1 Devese observar que X pode ser uma variável ou uma expressão Exemplo 0 10 1 0 d e a b c x k d e a b c f 332 Elemento Nulo Identidade T2a X X 0 T2b X X 1 Prova feita através da tabela verdade Como X e X 1 são iguais fica provado X X 0 0 0 1 1 Exemplo m n p m n p y z m n p g 0 0 333 Idempotência T3a X X X T3b X X X Prova feita através da tabela verdade Como X e X X são iguais fica provado X X X 0 0 1 1 Exemplo d e a b c d e d e a b c a b c h Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 334 Complementaridade T4a X X 1 T4b 0 X X Prova feita através da tabela verdade Como a coluna X 1 resulta em 1 fica provado X X X X 0 1 1 1 0 1 Exemplo 1 1 0 0 0 y z m n p s s y z m n p s y z s m n p i 335 Comutativa T5a X Y Y X T5b Y X X Y Prova feita através da tabela verdade Como as colunas X Y e Y X são iguais fica provado X Y X Y X Y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Exemplo r kf s s fk r j 337 De Morgan T7a X Y Y X T7b X Y X Y O lado a dos teoremas anteriores são muito intuitivos e similares à álgebra convencional O teorema de De Morgan foge dessa regra e deve ser observado com atenção X Y X Y X Y X Y X Y 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Prova feita através da tabela verdade Como as colunas X Y e X Y são iguais fica provado Exemplo 1 y x y x y xy x k 336 Associativa T6a Z Y X Z Y X Z Y X T6b X Y Z X Y Z X Y Z Prova feita através da tabela verdade Como as colunas Z Y X Z Y X e Z Y X são iguais fica provado X Y Z X Y X Z Y Z Z Y X Z Y X Z Y X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 338 Distributiva T8a XZ XY Z X Y T8b Z Y X X YZ X Prova feita através da tabela verdade Como as colunas XY ZX e Z X Y são iguais fica provado X Y Z XY XZ Y Z XY ZX Z X Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 339 Combinação T9a X XY XY T9b X Y X Y X Prova feita através de teoremas anteriores Observase que a variável que varia é eliminada e a parte constante é preservada X b T X a T Y Y X a T XY XY 2 1 4 8 Exemplo rs tu rs tu u t rs tu rsu rst rstu l 3310 Absorção ou Cobertura T10a X XY X T10b X Y X X Prova feita através de teoremas anteriores Se um termo aparece em outro termo com mais variáveis esse termo com mais variáveis é eliminado incorporado X b T X T a Y X a T XY X b T XY X 2 1 1 1 8 1 2 Exemplo ab a f de ab c ab m 3311 Eliminação T11a Y X XY X T11b XY Y X X Prova feita através de teoremas anteriores Se um termo aparece complementado em outro termo com mais variáveis esse termo complementado é eliminado mantendose as demais variáveis Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Y X b T Y X a T Y X X X T b XY X 2 1 4 8 Exemplo d c b a d a b c b a n 3312 Consenso ou Fantasma T12a YZ XZ XY XZ XY T12b Z Z Y X Y X Z X Y X Prova feita através de teoremas anteriores Uma parte de um termo aparece complementada em outro termo As partes que sobram nos dois termos formam o termo fantasma XY XY a T Z XY Z XY a T YZ X YZX XZ XY a T X Y Z X X Z Y X a T Y Z X Z Y X b T Y Z X Z Y X 10 1 1 8 8 4 1 2 O termo fantasma é uma redundância e portanto pode ser inserida ou removida sem prejuízo para a expressão A inclusão ou remoção do termo fantasma pode e deve ser usada para simplificar expressões Exemplo cd ac ab cd bc ac ab bd cd bc ac ab bd cd ac ab p Observe que inicialmente foi inserido o termo fantasma bc obtido de ab e c a Esse termo fantasma bc juntamente com d c mostra que bd é temo fantasma e pode ser eliminado A seguir o termo fantasma bc é eliminado Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 3313 Conversão T13a Y Z X X XZ XY T13b XY XZ Z Y X X Prova feita através de teoremas anteriores Esse teorema é empregado para fazer mudanças entre os formatos das expressões Y X XZ a T YZ Y X XZ a T YZ Y X XZ a T YZ Y X XZ X X a T Z Y X X 12 2 0 4 8 3314 Teoremas Sumário A Tabela 34 apresenta a compilação dos teoremas da álgebra de Boole Tabela 34 Teoremas da álgebra de Boole T a b 1 X 11 X 0 0 2 X X 0 X X 1 3 X X X X X X 4 X X 1 0 X X 5 X Y Y X Y X X Y 6 Z Y X Z Y X Z Y X X Y Z X Y Z X Y Z 7 X Y Y X X Y X Y 8 XZ XY Z X Y Z X Y X YZ X 9 X XY XY X Y X Y X 10 X XY X X Y X X 11 Y X XY X XY Y X X 12 YZ XZ XY XZ XY Z Z Y X Y X Z X Y X 13 Y Z X X XZ XY XY XZ Z Y X X Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD 3315 Problemas de Aplicação de Teoremas Considere os dois exemplos a seguir que podem ser solucionados com os recursos da álgebra de Boole 1 Um sistema de irrigação de jardins deve operar sobe as seguintes premissas Inverno e baixa umidade do solo Temperatura alta verão e baixa umidade do solo Temperatura alta alta umidade do solo e verão Temperatura baixa verão e baixa umidade do solo Temperatura alta e baixa umidade do solo Devese determinar a expressão que estabelece a operação desse sistema Para isso algumas considerações devem ser estabelecidas e devemse usar o menor número de variáveis Assim temse I Inverno I Verão U Baixa umidade do solo U Alta umidade do solo T Baixa temperatura T Alta temperatura U I T b T T a U I I T a T T T U I I T a T T T I U I I T a T T U T I U T I IU b T a T T U T I U T I U T I U IU 2 1 1 4 11 8 2 8 Assim o sistema irá funcionar quando tiver baixa temperatura Ou temperatura alta E verão 2 Um sistema de ar condicionado deverá atuar se Temperatura acima de 21oC e estar entre 900 e 1700hs Ser fim de semana com umidade relativa do ar acima de 85 Umidade relativa do ar acima de 85 temperatura acima de 21oC e ser fim de semana Umidade relativa do ar acima de 85 temperatura acima de 21oC e estar entre 900 e 1700hs Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD Devese determinar a expressão que estabelece a operação desse sistema Para isso as variáveis adotadas são H Estar entre 900 e 1700hs H Não estar entre 900 e 1700hs U Umidade relativa acima de 85 U Umidade relativa abaixo de 85 T Temperatura acima de 21oC T Temperatura abaixo de 21oC F Fim de semana F Dia de semana FU TH UTH FU TH UTH UTF FU TH UTH UTF FU TH Assim o sistema de arcondicionado deverá funcionar se temperatura acima de 21oC E estar entre 900 e 1700hs Ou fim de semana E umidade relativa do ar acima de 85 34 EXERCÍCIOS 1 Usando os Teoremas da álgebra de Boole simplifique as seguintes expressões Y X WXYZ A X XY B 2 2 2 2 1 1 2 1 X X X X X X X X C XY W XY W X WY WXY W X D YZX XY E 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2 A A A A A A A A A A F BC A G B AB AC H D AB C I XYZ YZ X J ABC ABC ABC ABC K B C A D A C L A AB ABC M AB B C A N XY YZ O ABC B A P Y YZ X Q Notas de Aula ELTD01 Prof Tales C Pimenta PhD BBC A ABC R 2 3 3 2 1 3 3 4 3 3 X X X X X X X X X X S Y WX X W X ZY WX T 3 2 1 1 2 1 2 Z Z Z Z Z Z Z U AB B A AB A V C A B A C B A X B A B A Y 2 1 2 1 2 1 2 1 X X X X X X X X Z AC ABC AB W 2 Determine a operação lógica do circuito de controle de submersão de um micro submarino de pesquisa dever subir automaticamente à tona se bateria descarregada e oxigênio em nível baixo ou água potável em nível baixo bateria carregada e oxigênio em nível baixo ou água potável e oxigênio em níveis baixos 3 Simplifique o circuito da Figura 34 Y X S T Z R X L M S A N M R X L N A S Figura 34 Representação de circuito lógico 4 Prove o lado b de cada teorema 5 Simplifique as seguintes expressões XYZW XYW XYZW A ZW Y A Z X Z X B wz xy z z xy C