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DIRETORIA ACADÊMICA DE CONSTRUÇÃO CIVIL Tecnologia em Construção de Edifícios Disciplina Construções em Concreto Armado TENSÕES DE FLEXÃO E DE CISALHAMENTO EM VIGAS Notas de Aula Edilberto Vitorino de Borja 2019 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 1 1 MOMENTO DE INÉRCIA Aspectos Gerais 11 Momento de Inércia de Massa O conceito de Momento de Inércia em termos práticos pode ser definido como sendo a resistência que um corpo em rotação apresenta a uma mudança em sua velocidade de giro Alguns autores costumam dar a esse conceito a denominação de Inércia Rotacional O momento de inércia desempenha na rotação um papel equivalente ao da massa no movimento linear Para fins comparativos podese citar como exemplo o lançamento de duas pedras de tamanhos distintos por uma catapulta com aplicação da mesma força a cada uma A pedra pequena terá uma aceleração muito maior que a da pedra grande De modo similar se é aplicado um mesmo par de forças a uma roda com um momento de inércia pequeno e a outra com um momento de inércia grande a velocidade de giro da primeira roda aumentará muito mais rapidamente que a da segunda Por dedução podese afirmar que o momento de inércia de um objeto depende de sua massa e da distância da massa ao seu eixo de rotação eixo considerado Considere dois volantes de massas iguais 1 kg como ilustrado na Figura 1 Figura 1 Volantes de massas iguais O volante da esquerda tem sua massa distribuída distante do seu eixo de giro bem como o volante da direita tem sua massa distribuída próximo ao seu eixo de giro Desse modo podese concluir que o volante da direita possui um momento de inércia menor O momento de inércia de um corpo não é uma quantidade única e fixa Se um objeto é girado em torno de eixos diferentes também terá momentos de inércia diferentes uma vez que a distribuição de sua massa em relação ao novo eixo é normalmente distinta do que era no anterior Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 2 12 Momento de Inércia de Massa de uma placa retangular Para determinação do momento de inércia de placa retangular considerase a placa delgada de massa M e lados a e b relativo ao eixo que passa pela placa como ilustrado na Figura 2 Figura 2 Placa retangular delgada de massa M Evidenciase nessa figura um pequeno elemento de massa cuja distância ao eixo de rotação vertical é de x O elemento é um retângulo de comprimento a de largura dx A massa deste retângulo é 𝑑𝑚 𝑀 𝑎 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑀 𝑎 𝑏 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑎 𝑑𝑥 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 Ao se multiplicar a massa da placa por unidade de área pela área do retângulo temse a massa desse retângulo Desse modo 𝑑𝑚 𝑀 𝑏 𝑑𝑥 Como Momento de Inércia se define como sendo a área vezes o quadrado da distância ao eixo considerado para o retângulo em destaque temos que o momento de inércia é igual a 𝐼 𝑀 𝑏 𝑑𝑥 𝑥2 𝑀 𝑏 𝑥2 𝑑𝑥 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 3 Para a placa retangular aplicamos a integral variando 𝑥 de 𝑏 2 até 𝑏 2 𝐼𝑐 𝑀 𝑏 𝑥2 𝑑𝑥 𝑀 𝑏 𝑥2 𝑑𝑥 𝑀 𝑏 𝑥3 3 𝑏 2 𝑏 2 𝑀 𝑏 𝑏 2 2 3 𝑏 2 2 3 𝑏 2 𝑏 2 𝑏 2 𝑏 2 𝐼𝑐 𝑀 𝑏 𝑏3 8 3 𝑏3 8 3 𝑀 𝑏 𝑏2 12 𝐼𝑐 1 12 𝑀 𝑏2 Equação 1 13 Momento de Inércia de área Momento de Inércia de Área ou Momento de Segunda Ordem de Área é uma propriedade de uma seção plana de um corpo que tem relação com a resistência à deformação O momento de inércia de uma área tem origem sempre que é feita a relação entre a tensão normal sigma ou por força por unidade de área que atua na seção transversal de uma viga elástica e o momento externo aplicado 𝑀 que causa curvatura da viga como ilustrado na Figura 3 Figura 3 Curvatura de viga fletida submetida a momento fletor externo aplicado Apesar da semelhança em formulação e em alguns teoremas não deve ser confundido com momento de inércia de massa que é usado no estudo da rotação de corpos rígidos É comum o mesmo símbolo 𝑰 para ambos os temas mas a distinção fica normalmente clara no contexto e nas unidades físicas Em Engenharia é usual o emprego da expressão momento de inércia para designar o momento de inércia de área Seja conforme Figura 4 uma superfície plana genérica de área 𝑺 e um sistema de coordenadas ortogonais 𝒙𝒚 Os momentos de inércia em relação a cada eixo são dados por Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 4 Figura 4 Placa de superfície genérica de área S 𝐼𝑥 𝑦2 𝑑𝑠 𝐼𝑦 𝑥2 𝑑𝑠 Note que a derivada neste caso é em relação à 𝒅𝒔 ou seja a derivada é em função da área e não da massa como visto anteriormente Em algumas literaturas se encontra também a notação conforme as equações 2 e 3 𝐼𝑥 𝑦2 𝑑𝑎 Equação 2 𝐼𝑦 𝑥2 𝑑𝑎 Equação 3 14 Momento de Inércia de área de placa retangular Tomamos uma derivada de área Figura 5 o elemento é um retângulo de comprimento 𝒅𝒚 e a de largura 𝒃 Figura 5 Momento de Inércia de Área de placa retangular A área desse retângulo é dada por 𝑑𝑎 𝑏 𝑑𝑦 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 5 𝐼𝑥 𝑦2 𝑏 𝑑𝑦 ℎ 2 ℎ 2 𝑏 𝑦2 𝑑𝑦 ℎ 2 ℎ 2 𝑏 𝑦3 3 ℎ 2 ℎ 2 𝑏 ℎ 2 3 3 ℎ 2 3 3 𝑏 ℎ3 12 𝐼𝑥 𝑏ℎ3 12 Equação 4 Podese observar que para o desenvolvimento da equação para Momento de Inércia de área a derivada da área é dada em função de 𝒅𝒔 que se utiliza em dimensionamento de estruturas que são sujeitas a deformação 15 Momento de Inércia de figuras de áreas compostas Consideremos uma área composta 𝐴 formada de várias componentes 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑡𝑐 Como a integral que representa o momento de inércia de 𝐴 pode ser subdividida em integrais calculadas sobre 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑡𝑐 o momento de inércia 𝐴 em relação a um eixo dado poderá ser obtido somandose os momentos de inércia das áreas 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑡𝑐 em relação ao mesmo eixo conforme ilustra a Figura 6 Figura 6 Momento de inércia de uma figura composta em relação a um mesmo eixo de simetria 𝐼𝑥 𝐼1 𝐼2 𝐼3 Caso a figura composta não tenha como eixo de simetria o eixo que se deseja determinar o momento de inércia Figura 7 aplicase nesse caso o teorema dos eixos paralelos conforme a Equação 5 Figura 7 Momento de inércia de uma figura composta em relação a um eixo qualquer Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 6 𝐼𝑥 𝐼1 𝐴 𝑑1² 𝐼2 𝐴 𝑑2² Equação 5 16 Procedimentos para Análise Resumo Geral O momento de inércia de uma área composta em relação a um eixo de referência pode ser determinado utilizandose os procedimentos a seguir A partir de um esboço divida a área nas partes que a compõe e indique a distância perpendicular do centroide de cada parte em relação ao eixo de referência Devese determinar os momentos de inércia de cada uma das partes do composto em relação aos eixos que passam pelos seus centroides que são paralelos ao eixo de referência Se o eixo que passa pelo centroide de uma das partes não coincide com o eixo de referência devese aplicar o teorema dos eixos paralelos 𝐼 𝐼 𝐴 𝑑2 para determinar seu momento de inércia em relação ao eixo de referência O momento de inércia de toda a área em relação ao eixo de referência é determinado pelo somatório dos resultados de suas partes constituintes Caso uma parte do composto tenha uma área faltante o momento dessa parte é encontrado subtraindose o momento de inércia da área faltante do momento de inércia da área composta total incluindo a área que falta Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 7 Exercícios 1 Calcule o momento de inércia da área composta ilustrada na Figura 8 em relação ao eixo 𝑥 Figura 8 Figura composta 2 Determine os momentos de inércia da área da seção reta da viga mostrada na Figura 9 em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 que passam pelo seu centroide a b Figura 9 Viga com geometria no formato z 3 A viga ilustrada na Figura 10 é construída a partir de dois perfis U e duas chapas de cobertura Se cada perfil tem área de seção reta igual a 𝐴𝑐 76 𝑐𝑚² e momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo próprio centroide 𝐶𝐶 igual a 𝐼𝑥𝐶𝑐 14526 𝑐𝑚4 determine o momento de inércia da viga em relação ao eixo 𝑦 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 8 Figura 10 Viga composta de dois perfis U fixados por duas chapas 4 Localize o centroide 𝑦 da seção reta para o perfil em ângulo ilustrado na Figura 11 Em seguida determine o momento de inércia 𝐼𝑥 em relação ao eixo 𝑥 que passa pelo centroide 5 Localize o centroide 𝑥 da seção reta para o perfil em ângulo da Figura 11 Em seguida determine o momento de Inércia 𝐼𝑦 em relação ao eixo 𝑦que passa pelo centroide Figura 11 Perfil em ângulo 6 Determine 𝑦 que localiza o eixo 𝑥 que passa pelo centroide da área de seção transversal da viga 𝑇ilustrada na Figura 12 e encontre os momentos de inércia 𝐼𝑥 e 𝐼𝑦 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 9 Figura 12 Viga em T 7 Localize o centroide 𝑦 da área da seção transversal do perfil na Figura 13 e determine o momento de inércia em relação ao eixo 𝑥 que passa pelo centroide Figura 13 Viga composta Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 10 2 TENSÃO para qualquer elemento estrutural Resposta dos elementos estruturais lajes vigas pilares fundações aos esforços internos aplicados força normal 𝑁 que dá origem à tração ou à compressão momento fletor 𝑀 que dá origem à flexão momento torçor 𝑀𝑡 que dá origem à torção e força cortante 𝑉 que dá origem ao cisalhamento A fórmula geral para qualquer que seja a tensão Normal flexão torção ou cisalhamento é tica Geométrica da Seção Transversal Caracterís Esforço Interno Aplicado Tensão Esforço interno Normal Momento Fletor Momento Torçor Esforço Cortante Característica geométrica da seção transversal Área A Momento de Inércia I Momento Estático Q Base b Altura h 21 Tensão de Flexão em uma viga Em vigas quando submetidas a esforços externos carregamentos transversais com relação ao seu eixo longitudinal ocorrem deformações de flexão Figura 14 devido ao esforço de momento fletor surgindo desta forma as tensões de flexão Figura 14 Viga submetida a momento fletor positivo Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 11 As fibras superiores tendem a se aproximar tensões de compressão e as fibras inferiores tendem a se afastar tensões de tração quando ocorre o momento fletor positivo e o contrário quando ocorre o momento fletor negativo conforme ilustrado nas Figuras 15 a e b respectivamente a momento fletor positivo b momento fletor negativo Figura 15 Tensões de flexão compressão e tração em vigas 22 Diagrama de Tensões de Flexão Resultante Ao analisarmos a Figura 15a observamos que a tensão máxima de compressão ocorre na fibra superior e a tensão máxima de tração ocorre na fibra inferior da viga conforme ilustra a Figura 16 Figura 16 Fibra Central x y EIXO LONGITUDINAL compressão tração Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 12 Colocandose os esforços de compressão nas fibras superiores tração nas fibras inferiores e ainda nenhum esforço na fibra central podese obter o diagrama de tensões conforme ilustrado na Figura 17 lembrando que a viga está submetida a esforço de momento fletor positivo Figura 17 Diagrama de tensões de flexão 23 Hipótese fundamental da teoria da Flexão LEI DE NAVIER As seções planas de uma viga tomadas normalmente a seu eixo permanecem planas após a viga ser submetida à flexão Essa conclusão é válida para vigas de qualquer material seja ele elástico ou inelástico linear ou nãolinear As propriedades dos materiais assim como as dimensões devem ser simétricas em relação ao plano de flexão As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas tracionadas enquanto aquelas na parte superior são diminuídas comprimidas 24 Superfície Neutra É uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em que as linhas longitudinais não mudam de comprimento Linha Neutra é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção transversal Na LN não há esforço nem de tração nem de compressão Para materiais homogêneos aço madeira concreto simples a LN passa no centro de gravidade CG da seção transversal Figura 18 Compressão Tração Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 13 Figura 18 Identificação da superfície e linha neutra 25 Análise das distâncias das fibras em relação a LN Façamos agora a análise das distâncias entre as seções transversais e consequentemente dos esforços nas fibras superiores inferiores e na LN em alguns pontos da viga ilustrada na Figura 19 Figura 19 Seções planas em vigas Sobre o apoio Meio do vão Fibras superiores Fibras se afastam tração Fibras se aproximam compressão Linha Neutra Não há alteração Não há alteração Fibras inferiores Fibras se aproximam compressão Fibras se afastam tração 26 Determinação das Tensões de Flexão Esta tensão é a resposta da viga decorrente do esforço de flexão Momento Fletor Como consequência desse esforço a viga se deforma fletindo sobre seu eixo longitudinal Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 14 27 Tensões de Flexão de viga sujeita a Momento Fletor 𝑴 Positivo Figura 20 Diagrama de tensões de flexão viga de seção transversal retangular Convenção das tensões de flexão tensão de flexãocompressão positiva tensão de flexãotração negativa Fórmula Geral da Tensão de flexão LN I M y f Onde f tensão de flexão fc ft M Momento fletor na seção considerada y distância da LN à fibra considerada ILN momento de Inércia em relação à Linha Neutra 28 Exemplo Determinação das Tensões de Flexão Determinar as tensões de flexão nas fibras 1e 2 superior e inferior dos pontos 𝐷 e 𝐸 da viga ilustrada na Figura 21 a seguir Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 15 Figura 21 Momentos Fletores nas seções 𝐷 e 𝐸 e seção transversal de viga Resolução Ponto D Momento de Inércia em rel à LN 4 3 3 LN 104167 cm 12 12 10 50 bh I Fibras acima da LN Fibra 1 036 kNcm² 104167 30 125 100 ILN My f Fibra Superior 072 kNcm² 104167 30 25 100 ILN My f Obs o valor 100 na fórmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm O resultado foi positivo logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto 𝐷 meio do vão é de compressão Fibras abaixo da LN Fibra 2 036 kNcm² 104167 30 125 100 ILN My f Fibra Inferior 072 kNcm² 104167 30 25 100 ILN My f O resultado foi negativo logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto 𝐷 meio do vão é de tração Diagrama das tensões de flexão no ponto 𝑫 Figura 22 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 16 Figura 22 Diagrama das tensões de flexão no ponto 𝐷 Ponto E Fibras acima da LN Fibra 1 024 kNcm² 104167 20 125 100 ILN My f Fibra Superior 048 kNcm² 104167 20 25 100 ILN My f ObsO resultado foi negativo logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto 𝐸 apoio é de tração Fibras abaixo da LN Fibra 2 024 kNcm² 104167 20 125 100 ILN My f Fibra Inferior 048 kNcm² 104167 20 25 100 ILN My f O resultado foi positivo logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto 𝑬 apoio é de compressão 29 Verificação da Estabilidade Para não haver rompimento ou para que haja estabilidade é necessário que a seguinte inequação seja verificada Tensão admissível Tensão máxima Coeficiente de segurança Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 17 Portanto para que se verifique a estabilidade à flexão de uma viga as inequações abaixo devem ser obedecidas tanto para a seção de Momento fletor máximo positivo como para a seção de Momento fletor máximo negativo Fórmula atuante 14 máx c f f c máx atuante 14 t f f t Observação A barra acima dos símbolos de tensão de flexão f indica que esta tensão é uma tensão admissível Na verificação da estabilidade à flexão o que interessa são as tensões máximas de flexão tração ou compressão 210 Tensão Máxima de Flexão Fórmula ILN My t ou c f As tensões máximas de flexão ocorrem nas seções de momento fletor máximo positivo e negativo nas fibras superior e inferior da seção transversal de uma determinada viga As fibras superiores e inferiores são definidas a partir da LN ysup e yinf que passa pelo centro de gravidade da seção transversal conforme ilustrado na Figura 23 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 18 Figura 23 Viga 𝑇 211 Exemplo Verificação da estabilidade à flexão de uma viga Analise a Figura 24 Figura 24 Momento Fletor máximo e seção transversal de viga isostática Com base nas informações contida nessa figura e nas tensões admissíveis de flexão de tração e de compressão dadas a seguir verificar a sua estabilidade 200 kNcm² cf 175 kNcm² tf Resolução Características geométricas da seção transversal Momento de Inércia seção retangular 4 3 3 LN 104167 cm 12 12 10 50 I bh Flexão Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 19 Fórmula LN ou inf sup ou máx máx I M T ou C y f Para Mmáx 50 kN Fibras superiores 120 kNcm² 104167 50 100 25 I M LN sup máx T ou C máx y f compressão f c max 120 kNcm² Fibras inferiores 120 kNcm² 104167 25 50 100 I M LN inf máx T ou C máx y f tração f T max 120 kNcm² Verificação utilizase os valores das tensões em módulo pois não teria sentido comparar uma tensão máxima com valor negativo com uma tensão admissível que é sempre positiva Comparação Compressão f C max 14 200 120 14 200 168 verifica Tração f T max 14 175 120 14 175 168 verifica Conclusão Como as inequações relativas à flexão se verificaram chegase a conclusão de que a viga é estável considerandose a flexão 212 Exemplo determinação das Tensões de Flexão A viga representada na Figura 25 tem seção transversal circular constante Determinar a tensão de flexão Resposta 2738 kNcm² Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 20 Figura 25 Viga biapoiada de seção transversal circular 213 Exemplo determinação das tensões de Flexão A viga representada na Figura 26 tem seção transversal constante retangular com h 2b Determinar as dimensões h e b para as tensões máximas admissíveis de 12 MPa para à tração e 10 MPa para à compressão de um certo tipo de madeira Resposta mínimo 132 mm x 264 mm Figura 26 Viga biapoiada de seção transversal retangular com balanço nas extremidades 3 TENSÃO DE CISALHAMENTO Esta tensão é a resposta da viga decorrente do cisalhamento O cisalhamento aparece em uma viga devido ao esforço interno aplicado força cortante 𝑉 A tensão de cisalhamento é paralela ao plano da seção transversal ao contrário da tensão de flexão que é normal ao plano da seção transversal conforme ilustrado na Figura 27 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 21 Figura 27 Tensões de Cisalhamento A tensão de cisalhamento é determinada segundo a equação dada abaixo Fórmula Q I b V LN w Onde tensão de cisalhamento V força cortante na seção considerada Q momento estático da área definida pela fibra considerada em relação à linha neutra bw largura da seção transversal na fibra considerada ILN momento de inércia em relação à Linha Neutra 31 Momento Estático de Área seção transversal retangular Momento estático produto entre área A e distância d A x d A Área compreendida entre a fibra analisada e a fibra superior d Distância compreendida entre o centro de gravidade e a linha neutra Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 22 4 d Q b h 2 d Q b h 2 d Q b 3h 32 Exemplo determinação da tensão de cisalhamento Determinar as tensões cisalhantes nas fibras 1 e 2 e na fibra da LN na seção A da viga ilustrada na Figura 28 a seguir Figura 28 Esforço cortante seção A e dimensões da seção transversal de viga Seção A Fibra 1 0056 kNcm² 12 10 503 10 25 10 125 1875 w I LN b A Q1 V 1 Fibra LN 0075 kNcm² 12 10 503 10 25 10 25 125 w I LN b VA QLN LN Fibra 2 0056 kNcm² 12 10 503 10 25 10 375 625 w I LN b VA Q2 2 fibra 1 L N 125 10 L N 25 10 fibra 2 L N 375 10 d d d fibra 1 L N 125 10 L N 25 10 fibra 2 L N 375 10 d d d fibra 1 L N 125 10 L N 25 10 fibra 2 L N 375 10 d d d Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 23 Diagrama das tensões de cisalhamento na seção A Figura 29 Obs nas fibras superior e inferior a tensão de cisalhamento é nula Figura 29 Diagrama das Tensões Cisalhantes na Seção A 33 Verificação da estabilidade Para não haver rompimento ou para que haja estabilidade é necessário que a seguinte inequação seja verificada Fórmula Tensão admissível Tensão máxima Coeficiente de segurança Verificação da estabilidade de uma viga Portanto para que se verifique a estabilidade ao cisalhamento de uma viga a inequação abaixo deve ser obedecida para a seção de Força Cortante máxima Fórmula 14 max Observação A barra acima do símbolo de tensão de cisalhamento indica que esta tensão é uma tensão admissível Na verificação da estabilidade ao cisalhamento o que interessa é a tensão máxima de cisalhamento Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 24 34 Tensão máxima de cisalhamento Fórmula Q I b V LN w Definese o centro de gravidade CG da seção transversal da viga Figura 30 Por este centro de gravidade passa a LN que define o momento de inércia em relação à LN ILN A partir da LN definese a largura da seção transversal em relação à LN bw e o momento estático em relação à LN QLN Figura 30 Seção transversal retangular de uma viga 35 exemplo DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO Verificar a estabilidade da viga ilustrada na Figura 31 quanto a tensão de cisalhamento conhecendose o diagrama do esforço cortante dimensões da seção transversal e tensão admissível de cisalhamento Figura 31 Diagrama Esforço Cortante e dimensões seção transversal Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 25 Onde τ 025 kNcm² Características geométricas da seção transversal bw 10 cm 4 3 3 104167cm 12 50 10 12 bh I 4 2 2 3125 cm 8 50 10 8 b h Q As fórmulas acima são validas somente para seção transversal retangular Fórmula Q I b V LN w 2 LN w máx max 021kNcm 104167 10 Q 70 3125 b V I Verificação Cálculo τ max 14 025 021 14 025 030 não verifica Conclusão Como a inequação relativa ao cisalhamento não se verificou chegase à conclusão de que a viga não é estável considerandose o cisalhamento IMPORTANTE Para que uma viga seja estável tanto as inequações relativas à flexão quanto à inequação relativa ao cisalhamento devem ser verificadas Portanto se uma das inequações não for verificada a viga rompe 36 Exemplo determinação das tensões de cisalhamento A viga representada na Figura 32 tem seção transversal circular constante Determinar a tensão de cisalhamento Resposta 0326 kNcm² Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 26 Figura 32 Viga biapoiada de seção transversal circular 4 Revisão Para que uma estrutura qualquer seja estável a seguinte inequação válida para qualquer tipo de esforço deve ser verificada Tensão admissível Tensão máxima 14 A tensão admissível é uma característica do material ou seja cada material tem a sua tensão admissível para cada tipo de esforço A tensão máxima é uma relação entre o esforço interno máximo que dá origem a esta tensão e uma característica geométrica da seção transversal área momento de inércia momento estático etc O esforço interno máximo é obtido através do cálculo e desenho dos diagramas dos respectivos esforços Para que seja possível o cálculo dos diagramas é necessário que se faça previamente o cálculo das reações de apoio da estrutura em questão Resumindo dados o carregamento e a geometria calculase as reações de apoio com as reações de apoio fazse o cálculo e desenho dos diagramas com os diagramas obtémse os esforços internos máximos a partir dos esforços internos máximos e com a geometria da seção transversal calculase a tensão máxima Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 27 uma vez obtida a tensão máxima fazse a comparação com a tensão admissível que é uma característica do material levandose em consideração também o coeficiente de segurança através da seguinte inequação Tensão admissível Tensão máxima 14 Se a inequação for verificada logo a estrutura é estável
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DIRETORIA ACADÊMICA DE CONSTRUÇÃO CIVIL Tecnologia em Construção de Edifícios Disciplina Construções em Concreto Armado TENSÕES DE FLEXÃO E DE CISALHAMENTO EM VIGAS Notas de Aula Edilberto Vitorino de Borja 2019 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 1 1 MOMENTO DE INÉRCIA Aspectos Gerais 11 Momento de Inércia de Massa O conceito de Momento de Inércia em termos práticos pode ser definido como sendo a resistência que um corpo em rotação apresenta a uma mudança em sua velocidade de giro Alguns autores costumam dar a esse conceito a denominação de Inércia Rotacional O momento de inércia desempenha na rotação um papel equivalente ao da massa no movimento linear Para fins comparativos podese citar como exemplo o lançamento de duas pedras de tamanhos distintos por uma catapulta com aplicação da mesma força a cada uma A pedra pequena terá uma aceleração muito maior que a da pedra grande De modo similar se é aplicado um mesmo par de forças a uma roda com um momento de inércia pequeno e a outra com um momento de inércia grande a velocidade de giro da primeira roda aumentará muito mais rapidamente que a da segunda Por dedução podese afirmar que o momento de inércia de um objeto depende de sua massa e da distância da massa ao seu eixo de rotação eixo considerado Considere dois volantes de massas iguais 1 kg como ilustrado na Figura 1 Figura 1 Volantes de massas iguais O volante da esquerda tem sua massa distribuída distante do seu eixo de giro bem como o volante da direita tem sua massa distribuída próximo ao seu eixo de giro Desse modo podese concluir que o volante da direita possui um momento de inércia menor O momento de inércia de um corpo não é uma quantidade única e fixa Se um objeto é girado em torno de eixos diferentes também terá momentos de inércia diferentes uma vez que a distribuição de sua massa em relação ao novo eixo é normalmente distinta do que era no anterior Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 2 12 Momento de Inércia de Massa de uma placa retangular Para determinação do momento de inércia de placa retangular considerase a placa delgada de massa M e lados a e b relativo ao eixo que passa pela placa como ilustrado na Figura 2 Figura 2 Placa retangular delgada de massa M Evidenciase nessa figura um pequeno elemento de massa cuja distância ao eixo de rotação vertical é de x O elemento é um retângulo de comprimento a de largura dx A massa deste retângulo é 𝑑𝑚 𝑀 𝑎 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑀 𝑎 𝑏 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑎 𝑑𝑥 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 Ao se multiplicar a massa da placa por unidade de área pela área do retângulo temse a massa desse retângulo Desse modo 𝑑𝑚 𝑀 𝑏 𝑑𝑥 Como Momento de Inércia se define como sendo a área vezes o quadrado da distância ao eixo considerado para o retângulo em destaque temos que o momento de inércia é igual a 𝐼 𝑀 𝑏 𝑑𝑥 𝑥2 𝑀 𝑏 𝑥2 𝑑𝑥 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 3 Para a placa retangular aplicamos a integral variando 𝑥 de 𝑏 2 até 𝑏 2 𝐼𝑐 𝑀 𝑏 𝑥2 𝑑𝑥 𝑀 𝑏 𝑥2 𝑑𝑥 𝑀 𝑏 𝑥3 3 𝑏 2 𝑏 2 𝑀 𝑏 𝑏 2 2 3 𝑏 2 2 3 𝑏 2 𝑏 2 𝑏 2 𝑏 2 𝐼𝑐 𝑀 𝑏 𝑏3 8 3 𝑏3 8 3 𝑀 𝑏 𝑏2 12 𝐼𝑐 1 12 𝑀 𝑏2 Equação 1 13 Momento de Inércia de área Momento de Inércia de Área ou Momento de Segunda Ordem de Área é uma propriedade de uma seção plana de um corpo que tem relação com a resistência à deformação O momento de inércia de uma área tem origem sempre que é feita a relação entre a tensão normal sigma ou por força por unidade de área que atua na seção transversal de uma viga elástica e o momento externo aplicado 𝑀 que causa curvatura da viga como ilustrado na Figura 3 Figura 3 Curvatura de viga fletida submetida a momento fletor externo aplicado Apesar da semelhança em formulação e em alguns teoremas não deve ser confundido com momento de inércia de massa que é usado no estudo da rotação de corpos rígidos É comum o mesmo símbolo 𝑰 para ambos os temas mas a distinção fica normalmente clara no contexto e nas unidades físicas Em Engenharia é usual o emprego da expressão momento de inércia para designar o momento de inércia de área Seja conforme Figura 4 uma superfície plana genérica de área 𝑺 e um sistema de coordenadas ortogonais 𝒙𝒚 Os momentos de inércia em relação a cada eixo são dados por Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 4 Figura 4 Placa de superfície genérica de área S 𝐼𝑥 𝑦2 𝑑𝑠 𝐼𝑦 𝑥2 𝑑𝑠 Note que a derivada neste caso é em relação à 𝒅𝒔 ou seja a derivada é em função da área e não da massa como visto anteriormente Em algumas literaturas se encontra também a notação conforme as equações 2 e 3 𝐼𝑥 𝑦2 𝑑𝑎 Equação 2 𝐼𝑦 𝑥2 𝑑𝑎 Equação 3 14 Momento de Inércia de área de placa retangular Tomamos uma derivada de área Figura 5 o elemento é um retângulo de comprimento 𝒅𝒚 e a de largura 𝒃 Figura 5 Momento de Inércia de Área de placa retangular A área desse retângulo é dada por 𝑑𝑎 𝑏 𝑑𝑦 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 5 𝐼𝑥 𝑦2 𝑏 𝑑𝑦 ℎ 2 ℎ 2 𝑏 𝑦2 𝑑𝑦 ℎ 2 ℎ 2 𝑏 𝑦3 3 ℎ 2 ℎ 2 𝑏 ℎ 2 3 3 ℎ 2 3 3 𝑏 ℎ3 12 𝐼𝑥 𝑏ℎ3 12 Equação 4 Podese observar que para o desenvolvimento da equação para Momento de Inércia de área a derivada da área é dada em função de 𝒅𝒔 que se utiliza em dimensionamento de estruturas que são sujeitas a deformação 15 Momento de Inércia de figuras de áreas compostas Consideremos uma área composta 𝐴 formada de várias componentes 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑡𝑐 Como a integral que representa o momento de inércia de 𝐴 pode ser subdividida em integrais calculadas sobre 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑡𝑐 o momento de inércia 𝐴 em relação a um eixo dado poderá ser obtido somandose os momentos de inércia das áreas 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑡𝑐 em relação ao mesmo eixo conforme ilustra a Figura 6 Figura 6 Momento de inércia de uma figura composta em relação a um mesmo eixo de simetria 𝐼𝑥 𝐼1 𝐼2 𝐼3 Caso a figura composta não tenha como eixo de simetria o eixo que se deseja determinar o momento de inércia Figura 7 aplicase nesse caso o teorema dos eixos paralelos conforme a Equação 5 Figura 7 Momento de inércia de uma figura composta em relação a um eixo qualquer Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 6 𝐼𝑥 𝐼1 𝐴 𝑑1² 𝐼2 𝐴 𝑑2² Equação 5 16 Procedimentos para Análise Resumo Geral O momento de inércia de uma área composta em relação a um eixo de referência pode ser determinado utilizandose os procedimentos a seguir A partir de um esboço divida a área nas partes que a compõe e indique a distância perpendicular do centroide de cada parte em relação ao eixo de referência Devese determinar os momentos de inércia de cada uma das partes do composto em relação aos eixos que passam pelos seus centroides que são paralelos ao eixo de referência Se o eixo que passa pelo centroide de uma das partes não coincide com o eixo de referência devese aplicar o teorema dos eixos paralelos 𝐼 𝐼 𝐴 𝑑2 para determinar seu momento de inércia em relação ao eixo de referência O momento de inércia de toda a área em relação ao eixo de referência é determinado pelo somatório dos resultados de suas partes constituintes Caso uma parte do composto tenha uma área faltante o momento dessa parte é encontrado subtraindose o momento de inércia da área faltante do momento de inércia da área composta total incluindo a área que falta Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 7 Exercícios 1 Calcule o momento de inércia da área composta ilustrada na Figura 8 em relação ao eixo 𝑥 Figura 8 Figura composta 2 Determine os momentos de inércia da área da seção reta da viga mostrada na Figura 9 em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 que passam pelo seu centroide a b Figura 9 Viga com geometria no formato z 3 A viga ilustrada na Figura 10 é construída a partir de dois perfis U e duas chapas de cobertura Se cada perfil tem área de seção reta igual a 𝐴𝑐 76 𝑐𝑚² e momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo próprio centroide 𝐶𝐶 igual a 𝐼𝑥𝐶𝑐 14526 𝑐𝑚4 determine o momento de inércia da viga em relação ao eixo 𝑦 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 8 Figura 10 Viga composta de dois perfis U fixados por duas chapas 4 Localize o centroide 𝑦 da seção reta para o perfil em ângulo ilustrado na Figura 11 Em seguida determine o momento de inércia 𝐼𝑥 em relação ao eixo 𝑥 que passa pelo centroide 5 Localize o centroide 𝑥 da seção reta para o perfil em ângulo da Figura 11 Em seguida determine o momento de Inércia 𝐼𝑦 em relação ao eixo 𝑦que passa pelo centroide Figura 11 Perfil em ângulo 6 Determine 𝑦 que localiza o eixo 𝑥 que passa pelo centroide da área de seção transversal da viga 𝑇ilustrada na Figura 12 e encontre os momentos de inércia 𝐼𝑥 e 𝐼𝑦 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 9 Figura 12 Viga em T 7 Localize o centroide 𝑦 da área da seção transversal do perfil na Figura 13 e determine o momento de inércia em relação ao eixo 𝑥 que passa pelo centroide Figura 13 Viga composta Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 10 2 TENSÃO para qualquer elemento estrutural Resposta dos elementos estruturais lajes vigas pilares fundações aos esforços internos aplicados força normal 𝑁 que dá origem à tração ou à compressão momento fletor 𝑀 que dá origem à flexão momento torçor 𝑀𝑡 que dá origem à torção e força cortante 𝑉 que dá origem ao cisalhamento A fórmula geral para qualquer que seja a tensão Normal flexão torção ou cisalhamento é tica Geométrica da Seção Transversal Caracterís Esforço Interno Aplicado Tensão Esforço interno Normal Momento Fletor Momento Torçor Esforço Cortante Característica geométrica da seção transversal Área A Momento de Inércia I Momento Estático Q Base b Altura h 21 Tensão de Flexão em uma viga Em vigas quando submetidas a esforços externos carregamentos transversais com relação ao seu eixo longitudinal ocorrem deformações de flexão Figura 14 devido ao esforço de momento fletor surgindo desta forma as tensões de flexão Figura 14 Viga submetida a momento fletor positivo Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 11 As fibras superiores tendem a se aproximar tensões de compressão e as fibras inferiores tendem a se afastar tensões de tração quando ocorre o momento fletor positivo e o contrário quando ocorre o momento fletor negativo conforme ilustrado nas Figuras 15 a e b respectivamente a momento fletor positivo b momento fletor negativo Figura 15 Tensões de flexão compressão e tração em vigas 22 Diagrama de Tensões de Flexão Resultante Ao analisarmos a Figura 15a observamos que a tensão máxima de compressão ocorre na fibra superior e a tensão máxima de tração ocorre na fibra inferior da viga conforme ilustra a Figura 16 Figura 16 Fibra Central x y EIXO LONGITUDINAL compressão tração Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 12 Colocandose os esforços de compressão nas fibras superiores tração nas fibras inferiores e ainda nenhum esforço na fibra central podese obter o diagrama de tensões conforme ilustrado na Figura 17 lembrando que a viga está submetida a esforço de momento fletor positivo Figura 17 Diagrama de tensões de flexão 23 Hipótese fundamental da teoria da Flexão LEI DE NAVIER As seções planas de uma viga tomadas normalmente a seu eixo permanecem planas após a viga ser submetida à flexão Essa conclusão é válida para vigas de qualquer material seja ele elástico ou inelástico linear ou nãolinear As propriedades dos materiais assim como as dimensões devem ser simétricas em relação ao plano de flexão As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas tracionadas enquanto aquelas na parte superior são diminuídas comprimidas 24 Superfície Neutra É uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em que as linhas longitudinais não mudam de comprimento Linha Neutra é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção transversal Na LN não há esforço nem de tração nem de compressão Para materiais homogêneos aço madeira concreto simples a LN passa no centro de gravidade CG da seção transversal Figura 18 Compressão Tração Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 13 Figura 18 Identificação da superfície e linha neutra 25 Análise das distâncias das fibras em relação a LN Façamos agora a análise das distâncias entre as seções transversais e consequentemente dos esforços nas fibras superiores inferiores e na LN em alguns pontos da viga ilustrada na Figura 19 Figura 19 Seções planas em vigas Sobre o apoio Meio do vão Fibras superiores Fibras se afastam tração Fibras se aproximam compressão Linha Neutra Não há alteração Não há alteração Fibras inferiores Fibras se aproximam compressão Fibras se afastam tração 26 Determinação das Tensões de Flexão Esta tensão é a resposta da viga decorrente do esforço de flexão Momento Fletor Como consequência desse esforço a viga se deforma fletindo sobre seu eixo longitudinal Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 14 27 Tensões de Flexão de viga sujeita a Momento Fletor 𝑴 Positivo Figura 20 Diagrama de tensões de flexão viga de seção transversal retangular Convenção das tensões de flexão tensão de flexãocompressão positiva tensão de flexãotração negativa Fórmula Geral da Tensão de flexão LN I M y f Onde f tensão de flexão fc ft M Momento fletor na seção considerada y distância da LN à fibra considerada ILN momento de Inércia em relação à Linha Neutra 28 Exemplo Determinação das Tensões de Flexão Determinar as tensões de flexão nas fibras 1e 2 superior e inferior dos pontos 𝐷 e 𝐸 da viga ilustrada na Figura 21 a seguir Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 15 Figura 21 Momentos Fletores nas seções 𝐷 e 𝐸 e seção transversal de viga Resolução Ponto D Momento de Inércia em rel à LN 4 3 3 LN 104167 cm 12 12 10 50 bh I Fibras acima da LN Fibra 1 036 kNcm² 104167 30 125 100 ILN My f Fibra Superior 072 kNcm² 104167 30 25 100 ILN My f Obs o valor 100 na fórmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm O resultado foi positivo logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto 𝐷 meio do vão é de compressão Fibras abaixo da LN Fibra 2 036 kNcm² 104167 30 125 100 ILN My f Fibra Inferior 072 kNcm² 104167 30 25 100 ILN My f O resultado foi negativo logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto 𝐷 meio do vão é de tração Diagrama das tensões de flexão no ponto 𝑫 Figura 22 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 16 Figura 22 Diagrama das tensões de flexão no ponto 𝐷 Ponto E Fibras acima da LN Fibra 1 024 kNcm² 104167 20 125 100 ILN My f Fibra Superior 048 kNcm² 104167 20 25 100 ILN My f ObsO resultado foi negativo logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto 𝐸 apoio é de tração Fibras abaixo da LN Fibra 2 024 kNcm² 104167 20 125 100 ILN My f Fibra Inferior 048 kNcm² 104167 20 25 100 ILN My f O resultado foi positivo logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto 𝑬 apoio é de compressão 29 Verificação da Estabilidade Para não haver rompimento ou para que haja estabilidade é necessário que a seguinte inequação seja verificada Tensão admissível Tensão máxima Coeficiente de segurança Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 17 Portanto para que se verifique a estabilidade à flexão de uma viga as inequações abaixo devem ser obedecidas tanto para a seção de Momento fletor máximo positivo como para a seção de Momento fletor máximo negativo Fórmula atuante 14 máx c f f c máx atuante 14 t f f t Observação A barra acima dos símbolos de tensão de flexão f indica que esta tensão é uma tensão admissível Na verificação da estabilidade à flexão o que interessa são as tensões máximas de flexão tração ou compressão 210 Tensão Máxima de Flexão Fórmula ILN My t ou c f As tensões máximas de flexão ocorrem nas seções de momento fletor máximo positivo e negativo nas fibras superior e inferior da seção transversal de uma determinada viga As fibras superiores e inferiores são definidas a partir da LN ysup e yinf que passa pelo centro de gravidade da seção transversal conforme ilustrado na Figura 23 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 18 Figura 23 Viga 𝑇 211 Exemplo Verificação da estabilidade à flexão de uma viga Analise a Figura 24 Figura 24 Momento Fletor máximo e seção transversal de viga isostática Com base nas informações contida nessa figura e nas tensões admissíveis de flexão de tração e de compressão dadas a seguir verificar a sua estabilidade 200 kNcm² cf 175 kNcm² tf Resolução Características geométricas da seção transversal Momento de Inércia seção retangular 4 3 3 LN 104167 cm 12 12 10 50 I bh Flexão Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 19 Fórmula LN ou inf sup ou máx máx I M T ou C y f Para Mmáx 50 kN Fibras superiores 120 kNcm² 104167 50 100 25 I M LN sup máx T ou C máx y f compressão f c max 120 kNcm² Fibras inferiores 120 kNcm² 104167 25 50 100 I M LN inf máx T ou C máx y f tração f T max 120 kNcm² Verificação utilizase os valores das tensões em módulo pois não teria sentido comparar uma tensão máxima com valor negativo com uma tensão admissível que é sempre positiva Comparação Compressão f C max 14 200 120 14 200 168 verifica Tração f T max 14 175 120 14 175 168 verifica Conclusão Como as inequações relativas à flexão se verificaram chegase a conclusão de que a viga é estável considerandose a flexão 212 Exemplo determinação das Tensões de Flexão A viga representada na Figura 25 tem seção transversal circular constante Determinar a tensão de flexão Resposta 2738 kNcm² Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 20 Figura 25 Viga biapoiada de seção transversal circular 213 Exemplo determinação das tensões de Flexão A viga representada na Figura 26 tem seção transversal constante retangular com h 2b Determinar as dimensões h e b para as tensões máximas admissíveis de 12 MPa para à tração e 10 MPa para à compressão de um certo tipo de madeira Resposta mínimo 132 mm x 264 mm Figura 26 Viga biapoiada de seção transversal retangular com balanço nas extremidades 3 TENSÃO DE CISALHAMENTO Esta tensão é a resposta da viga decorrente do cisalhamento O cisalhamento aparece em uma viga devido ao esforço interno aplicado força cortante 𝑉 A tensão de cisalhamento é paralela ao plano da seção transversal ao contrário da tensão de flexão que é normal ao plano da seção transversal conforme ilustrado na Figura 27 Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 21 Figura 27 Tensões de Cisalhamento A tensão de cisalhamento é determinada segundo a equação dada abaixo Fórmula Q I b V LN w Onde tensão de cisalhamento V força cortante na seção considerada Q momento estático da área definida pela fibra considerada em relação à linha neutra bw largura da seção transversal na fibra considerada ILN momento de inércia em relação à Linha Neutra 31 Momento Estático de Área seção transversal retangular Momento estático produto entre área A e distância d A x d A Área compreendida entre a fibra analisada e a fibra superior d Distância compreendida entre o centro de gravidade e a linha neutra Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 22 4 d Q b h 2 d Q b h 2 d Q b 3h 32 Exemplo determinação da tensão de cisalhamento Determinar as tensões cisalhantes nas fibras 1 e 2 e na fibra da LN na seção A da viga ilustrada na Figura 28 a seguir Figura 28 Esforço cortante seção A e dimensões da seção transversal de viga Seção A Fibra 1 0056 kNcm² 12 10 503 10 25 10 125 1875 w I LN b A Q1 V 1 Fibra LN 0075 kNcm² 12 10 503 10 25 10 25 125 w I LN b VA QLN LN Fibra 2 0056 kNcm² 12 10 503 10 25 10 375 625 w I LN b VA Q2 2 fibra 1 L N 125 10 L N 25 10 fibra 2 L N 375 10 d d d fibra 1 L N 125 10 L N 25 10 fibra 2 L N 375 10 d d d fibra 1 L N 125 10 L N 25 10 fibra 2 L N 375 10 d d d Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 23 Diagrama das tensões de cisalhamento na seção A Figura 29 Obs nas fibras superior e inferior a tensão de cisalhamento é nula Figura 29 Diagrama das Tensões Cisalhantes na Seção A 33 Verificação da estabilidade Para não haver rompimento ou para que haja estabilidade é necessário que a seguinte inequação seja verificada Fórmula Tensão admissível Tensão máxima Coeficiente de segurança Verificação da estabilidade de uma viga Portanto para que se verifique a estabilidade ao cisalhamento de uma viga a inequação abaixo deve ser obedecida para a seção de Força Cortante máxima Fórmula 14 max Observação A barra acima do símbolo de tensão de cisalhamento indica que esta tensão é uma tensão admissível Na verificação da estabilidade ao cisalhamento o que interessa é a tensão máxima de cisalhamento Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 24 34 Tensão máxima de cisalhamento Fórmula Q I b V LN w Definese o centro de gravidade CG da seção transversal da viga Figura 30 Por este centro de gravidade passa a LN que define o momento de inércia em relação à LN ILN A partir da LN definese a largura da seção transversal em relação à LN bw e o momento estático em relação à LN QLN Figura 30 Seção transversal retangular de uma viga 35 exemplo DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO Verificar a estabilidade da viga ilustrada na Figura 31 quanto a tensão de cisalhamento conhecendose o diagrama do esforço cortante dimensões da seção transversal e tensão admissível de cisalhamento Figura 31 Diagrama Esforço Cortante e dimensões seção transversal Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 25 Onde τ 025 kNcm² Características geométricas da seção transversal bw 10 cm 4 3 3 104167cm 12 50 10 12 bh I 4 2 2 3125 cm 8 50 10 8 b h Q As fórmulas acima são validas somente para seção transversal retangular Fórmula Q I b V LN w 2 LN w máx max 021kNcm 104167 10 Q 70 3125 b V I Verificação Cálculo τ max 14 025 021 14 025 030 não verifica Conclusão Como a inequação relativa ao cisalhamento não se verificou chegase à conclusão de que a viga não é estável considerandose o cisalhamento IMPORTANTE Para que uma viga seja estável tanto as inequações relativas à flexão quanto à inequação relativa ao cisalhamento devem ser verificadas Portanto se uma das inequações não for verificada a viga rompe 36 Exemplo determinação das tensões de cisalhamento A viga representada na Figura 32 tem seção transversal circular constante Determinar a tensão de cisalhamento Resposta 0326 kNcm² Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 26 Figura 32 Viga biapoiada de seção transversal circular 4 Revisão Para que uma estrutura qualquer seja estável a seguinte inequação válida para qualquer tipo de esforço deve ser verificada Tensão admissível Tensão máxima 14 A tensão admissível é uma característica do material ou seja cada material tem a sua tensão admissível para cada tipo de esforço A tensão máxima é uma relação entre o esforço interno máximo que dá origem a esta tensão e uma característica geométrica da seção transversal área momento de inércia momento estático etc O esforço interno máximo é obtido através do cálculo e desenho dos diagramas dos respectivos esforços Para que seja possível o cálculo dos diagramas é necessário que se faça previamente o cálculo das reações de apoio da estrutura em questão Resumindo dados o carregamento e a geometria calculase as reações de apoio com as reações de apoio fazse o cálculo e desenho dos diagramas com os diagramas obtémse os esforços internos máximos a partir dos esforços internos máximos e com a geometria da seção transversal calculase a tensão máxima Prof Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento 27 uma vez obtida a tensão máxima fazse a comparação com a tensão admissível que é uma característica do material levandose em consideração também o coeficiente de segurança através da seguinte inequação Tensão admissível Tensão máxima 14 Se a inequação for verificada logo a estrutura é estável