Geometria Analítica 2

Aula 11 Produto interno vetorial e misto Aplicações I Objetivos Obter as expressões dos seguintes tipos de distâncias no espaço Distância de um ponto a um plano Distância entre dois planos Distância de uma reta a um plano Distância de um ponto a uma reta Distância de um ponto a um plano Consideremos um plano Π um ponto P0 Π e a reta ℓ que passa por P0 e é perpendicular a Π Designamos P o ponto da interseção de ℓ com Π Se Q Π é um ponto distinto de P então o triângulo P0 P Q é retângulo e a distância de P0 a Q é maior do que a distância de P0 a P pois num triângulo retângulo o maior ângulo é o ângulo reto Assim o ponto P é o ponto de Π que realiza a menor distância a P0 No caso em que P0 Π o próprio P0 realiza a menor distância de P0 aos pontos de Π a saber distância zero Essas considerações geométricas motivam a seguinte definição Definição 1121 A distância de um ponto P0 a um plano Π é a menor das distâncias de P0 aos pontos de Π e se designa dP0 Π Figura 1111 Expressão da distância de um ponto a um plano Sejam Π um plano e P0 um ponto que não pertence a Π Vejamos dois métodos para determinar a distância dP0 Π Método 1 Seja P0 x0 y0 z0 um ponto e Π ax by cz d 0 um plano que não contém P0 Prérequisitos Aulas 9 e 10 Lembre que Em um triângulo ao maior dos ângulos está oposto o maior dos lados Na Figura 1111 temos Q Π e Q P Logo dP0 Q dP0 P pois P0 P Q é um ângulo reto Tomemos um ponto qualquer Q x1 y1 z1 no plano Π Então as coordenadas de Q satisfazem a equação de Π ax1 by1 cz1 d 1112 Seja ℓ a reta que passa pelo ponto P0 e intersecta perpendicularmente o plano Π no ponto P Se o ponto Q pertence à reta ℓ então Q é o ponto que realiza a distância de P0 a Π isto é Q P e o problema está resolvido Mas se Q não pertence a ℓ então o triângulo P0 P Q é retângulo como vimos na Figura 1111 Note que embora se saiba da existência do ponto P estamos trabalhando de modo a evitar o uso das suas coordenadas Como o triângulo P0 P Q é retângulo dP0 Π P0 P é o comprimento da projeção ortogonal de P0 Q sobre a direção normal a Π dada pelo vetor η a b c ou seja dP0 Π P0 P prη P0 Q Sabemos que prη P0 Q P0 Q η η 2 η P0 Q η η η η Na última forma de expressar a projeção desmembramos o denominador e destacamos o vetor η η que é unitário Com isso temos dP0 Π prη P0 Q P0 Q η η η η P0 Q η η Conclusão dados P0 x0 y0 z0 e Π ax by cz d 0 temos dP0 Π P0 Q η η 1113 onde Q é um ponto qualquer de Π e η um vetor normal a Π Agora vejamos como é a forma da expressão obtida em termos das coordenadas de P0 x0 y0 z0 Q x1 y1 z1 e do vetor η a b c Desenvolvendo o produto interno que aparece na equação 1113 usando a identidade 1112 temos P0 Q η x1 x0 y1 y0 z1 z0 a b c ax1 x0 by1 y0 cz1 z0 ax1 by1 cz1 ax0 by0 cz0 d ax0 by0 cz0 ax0 by0 cz0 d Como η a2 b2 c2 e o módulo de um número real é igual ao módulo do seu simétrico a equação 1113 se escreve na seguinte forma dP0 Π ax0 by0 cz0 d a2 b2 c2 1114 Observe que essa expressão para a distância de P0 a Π foi obtida sem que houvesse a necessidade do conhecimento das coordenadas de P Método 2 outra forma de resolver o problema digamos mais intuitiva consiste em determinar as equações paramétricas da reta ℓ perpendicular a Π e que contém P0 encontrar as coordenadas do ponto de interseção P e então calcular a distância de P0 a P Como η a b c é direção de ℓ temos ℓ x x0 at y y0 bt t ℝ z z0 ct Para determinar o ponto P x y z ℓ Π devemos achar o parâmetro t ℝ tal que P x y z x0 at y0 bt z0 ct pois P ℓ e ax by cz d 0 pois P Π Substituindo as coordenadas de P da primeira condição na segunda e desenvolvendo obtemos a expressão de t x0 at y0 bt z0 ct Π ax0 at by0 bt cz0 ct d 0 ax0 by0 cz0 d ta2 b2 c2 t ax0 by0 cz0 d a2 b2 c2 1115 Então a distância de P0 a Π é dP0 Π dP0 P x x02 y y02 z z02 x0 at x02 y0 bt y02 z0 ct z02 t2 a2 b2 c2 t a2 b2 c2 GEOMETRIA ANALÍTICA II Produto interno vetorial e misto Aplicações I Substituindo a expressão de t obtida em 1115 chegamos à equação dP0 Π ax0 by0 cz0 d a² b² c² a² b² c² ax0 by0 cz0 d a² b² c² que coincide com a expressão 1114 obtida anteriormente Exemplo 1156 Determinemos a distância do ponto P0 1 2 1 ao plano Π dado por Π x 1 4t s y t 2s t s R z 2 s Solução Como o plano Π é dado em forma paramétrica para obtermos a direção normal η fazemos o produto vetorial das direções paralelas a Π que são v 4 1 0 e w 1 2 1 verifique η v w 1 4 9 Tomando t 0 e s 0 nas equações paramétricas de Π obtemos que o ponto P1 1 0 2 pertence a Π Assim Π é o conjunto dos pontos P x y z que satisfazem a equação P1P η 0 reveja a Aula 7 do Módulo 1 Desenvolvendo obtemos a equação cartesiana de Π Π P1P η 0 Π x 1 y z 2 1 4 9 0 Π x 4y 9z 17 0 Usando a expressão 1114 calculamos a distância de P0 a Π dP0 Π 11 42 91 17 1² 4² 9² 1 8 9 17 98 35 72 52 2 Agora vamos usar o segundo método para fazer o mesmo cálculo A reta ℓ perpendicular a Π e que passa por P0 é dada por ℓ x 1 t y 2 4t t R z 1 9t Determinemos o parâmetro t do ponto P ℓ Π Para isso substituímos as coordenadas do ponto P na equação cartesiana de Π 1 t 42 4t 91 9t 17 0 35 98t 0 t 514 Substituímos esse valor nas equações de ℓ para obter as coordenadas de P x y z x 1 514 y 2 2014 z 1 4514 CEDERJ 134 Produto interno vetorial e misto Aplicações I MÓDULO 2 AULA 11 Finalmente calculamos a distância de P0 a P dP0 P 1 514 1² 2 2014 2² 1 4514 1² 514 98 522 confirmando o que já tínhamos calculado Distância entre dois planos Definição 1122 Sejam Π1 e Π2 dois planos A distância entre Π1 e Π2 que denotamos dΠ1 Π2 é a menor das distâncias dP1 P2 com P1 Π1 e P2 Π2 Segue da definição que se Π1 Π2 então dΠ1 Π2 0 Lembre que dois planos podem ser transversos coincidentes ou paralelos reveja a Aula 7 do Módulo 1 portanto nos dois primeiros casos dΠ1 Π2 0 Expressão da distância entre dois planos Consideremos então o caso em que Π1 e Π2 são paralelos Mostremos que para calcular dΠ1 Π2 basta tomar um ponto qualquer P1 Π1 e calcular sua distância a Π2 ou também tomar um ponto qualquer de Π2 e calcular sua distância a Π1 Primeiramente mostremos que se P1 e Q1 são pontos distintos quaisquer de Π1 então dP1 Π2 dQ1 Π2 Para verificar isso consideremos as retas r e s perpendiculares a Π2 contendo P1 e Q1 respectivamente Denotemos P2 o ponto da interseção r Π2 e Q2 o ponto de s Π2 Como r e s são paralelas e distintas elas determinam um plano P Portanto o segmento P2Q2 contido em Π2 P é perpendicular tanto a r quanto a s Também o segmento P1Q1 é paralelo a P2Q2 pois do contrário as retas determinadas por P1 Q1 e P2 Q2 respectivamente e que estão contidas em P se intersectariam em um ponto Isso não pode ocorrer porque a primeira reta está contida em Π1 e a segunda em Π2 e esses planos são paralelos Como os lados opostos do quadrilátero P1P2Q2Q1 são paralelos então esse quadrilátero é um paralelogramo isso já implica que dP1 P2 dQ1 Q2 Na Figura 1112 ilustramos que a distância entre dois planos paralelos não depende dos pontos escolhidos para calculála Como as retas r e s são paralelas o quadrilátero P1P2Q2Q1 é um retângulo logo os lados P1P2 e Q1Q2 têm a mesma medida essa medida é dΠ1 Π2 Além disso note que se A Π2 A P2 então P1A P1P2 pois o triângulo P1P2A é retângulo e P1A é sua hipotenusa Figura 1112 Cálculo de dΠ1 Π2 CEDERJ 135 GEOMETRIA ANALÍTICA II Produto interno vetorial e misto Aplicações I Como Q1P1P2 e Q2P2P1 são ângulos retos então P1P2Q2Q1 é um retângulo contido no plano P Observe que se A é um ponto de Π2 que não pertence a r então A P2 e P1A P1P2 pois os pontos P1 P2 e A determinam um triângulo retângulo com P1A oposto ao ângulo reto Com isso mostramos a igualdade das distâncias dP1 P2 dQ1 Q2 Portanto dΠ1 Π2 dP1 P2 dP1 Π2 Conclusão dΠ1 Π2 dP1 Π2 dP2 Π1 onde P1 é um ponto qualquer de Π1 e P2 é um ponto qualquer de Π2 Exemplo 1157 Em cada item analisemos as posições relativas entre os pares de planos e determinemos a distância entre eles a Π1 2x y 3z 1 0 e Π2 x y z 0 b Π1 3x y z 2 0 e Π2 6x 2y 2z 5 c Π1 3x y z 2 0 e Π2 6x 2y 2z 4 Solução Denotemos η1 e η2 as direções normais de Π1 e Π2 respectivamente e comparando com a equação geral ax by cz d 0 denotemos d1 e d2 os termos independentes nas equações cartesianas de Π1 e Π2 respectivamente Analisemos cada item a η1 2 1 3 e η2 1 1 1 Como esses vetores não são paralelos os planos Π1 e Π2 são transversos Logo dΠ1 Π2 0 b Os vetores η1 3 1 1 e η2 6 2 2 são paralelos pois η2 2η1 Como d1 2 e d2 5 as equações não representam o mesmo plano ou seja os planos são paralelos Para calcular dΠ1 Π2 escolhemos um ponto de Π1 Por exemplo tomando x 0 e z 0 na equação de Π1 obtemos y 2 Ou seja P1 0 2 0 Π1 Usando a expressão da distância de um ponto a um plano temos dΠ1 Π2 dP1 Π2 60 22 20 5 6² 2² 2² 144 1211 1122 c Observe que a equação de Π2 é obtida multiplicandose todos os termos da equação de Π1 por 2 Logo Π1 e Π2 são planos coincidentes e a distância entre eles é igual a zero CEDERJ 136 Produto interno vetorial e misto Aplicacoes I M ODULO 2 AULA 11 Figura 1113 Distˆancia de ℓ a Π Distˆancia de uma reta a um plano Definicao 1123 Dados uma reta ℓ e um plano Π a distˆancia entre ℓ e Π que denotamos dℓ Π e a menor das distˆancias entre pontos de ℓ e os pontos do plano Π Da definicao acima temos que se ℓ Π entao a distˆancia de ℓ ao plano Π e zero Na Figura 1113 o plano Π e paralelo a reta ℓ e os pontos P1 e Q1 sao pontos de ℓ os pontos P2 e Q2 sao pontos de Π obtidos da intersecao das perpendiculares a π baixadas de P1 e Q1 respectivamente dP1 P2 dQ1 Q2 dP1 Π Se A Π e nao provˆem de uma perpendicular baixada de um ponto de ℓ entao dP1 A dP1 P2 Expressao da distˆancia de uma reta a um plano Consideremos entao o caso em que ℓ Π Isto quer dizer que ℓ e paralela a Π ou seja a direcao de ℓ e paralela a Π Se tomamos dois pontos quaisquer P1 e Q1 de ℓ e tracamos as respectivas perpendiculares a Π passando por esses pontos essas retas interceptam Π em pontos P2 e Q2 respectivamente Argumentando de maneira similar ao caso do calculo da distˆancia entre dois planos concluımos que dP1 P2 dQ1 Q2 dℓ Π Observacao Sejam Π um plano e ℓ uma reta paralela a ele Se A e um ponto do plano Π que nao esta contido em alguma perpendicular a Π que passa por algum ponto de ℓ entao dP1 A dℓ Π como ilustramos na Figura 1113 Conclusao Se a reta ℓ e paralela ao plano Π entao dℓ Π dP1 P2 dP1 Π onde P1 e um ponto qualquer de ℓ e P2 e o ponto de Π que e o pe da perpendicular a Π que passa por P1 Exemplo 1158 Em cada item determinemos a posicao relativa entre a reta e o plano dados e calculemos a distˆancia entre eles a ℓ x 1 5t y 7 4t z 1 t R e Π 5x 7y 8z 0 b ℓ x 1 2t y 1 3t z 1 5t t R e Π x 2s y 1 1 2t 2s z 1 3t s s t R CEDERJ 137 A direção normal a Π é dada pelo produto vetorial dos geradores u e v η u v 0 12 3 2 2 1 132 6 1 Verifique Então a equação cartesiana de Π é Π 132 x 6y z d 0 Para determinarmos o valor de d substituímos por exemplo as coordenadas do ponto P 011 Π obtido tomando t0 e s0 nas equações paramétricas de Π 1320 61 1 d 0 d 7 Portanto Π 132 x 6y z 7 0 ou seja Π 13x 12y 2z 14 0 Calculando a distância de P₀ a Π obtemos dℓ Π dP₀ Π 131 121 21 14 13² 12² 2² 13317 13317317 Distância de um ponto a uma reta No espaço definimos a distância de um ponto a uma reta como segue Definição 1124 Dados uma reta ℓ e um ponto P₀ a distância de P₀ a ℓ que designamos por dP₀ ℓ é a menor das distâncias de P₀ aos pontos de ℓ Dessa definição temos que se P₀ ℓ então dP₀ ℓ 0 Expressão da distância de um ponto a uma reta Vejamos duas maneiras de obter a distância de um ponto a uma reta Preste atenção nos elementos utilizados em cada uma delas pois essa é a chave para saber qual deles usar em cada situação Na Figura 1114 representamos o processo que define a distância do ponto P₀ à reta ℓ quando P₀ ℓ O ponto Q é o ponto de interseção da reta que passa por P₀ e é perpendicular a ℓ Se P₁ é outro ponto de ℓ então P₀Q P₀P₁ Solução a Para verificarmos se há interseção entre ℓ e Π calculamos o produto interno entre a direção v 540 de ℓ e o vetor normal η 578 ao plano Π vη 540578 25 28 53 0 Portanto a direção de ℓ não é paralela ao plano Π isto é ℓ Π e portanto dℓΠ 0 b Das equações paramétricas de Π obtemos os seus vetores geradores u 0 12 3 e v 221 Das equações paramétricas de ℓ obtemos o vetor direção w 235 Sabemos que ℓ é paralela ao plano Π ou está contida nele se e somente se os vetores u v e w são LD O que equivale a dizer que o produto misto uvw seja igual a zero Calculando temos uvw 0 12 3 2 2 1 2 3 5 12 2 1 2 5 3 2 2 2 3 12 25 12 3 23 22 12 12 3 2 0 Portanto a reta ℓ ou é paralela a Π ou está contida nele Para verificar se ℓ está contida em Π basta determinar se um ponto de ℓ pertence a Π Tomemos por exemplo o ponto P₀ 111 ℓ obtido substituindo t0 nas equações de ℓ Para que P₀ pertença a Π devem existir valores para os parâmetros t e s das equações de Π tais que 2s1 1 12 t 2s 1 1 3t s 1 Da primeira equação obtemos o valor s 12 que substituído na segunda equação dá t2 Levando esses valores para o primeiro membro da terceira equação obtemos 1 32 12 112 1 Portanto a terceira equação não é satisfeita e o sistema 1116 não tem solução Logo ℓ Π ou seja ℓ e Π são paralelos e portanto dℓΠ dP₀Π Para calcular a distância de P₀ a Π precisamos da equação cartesiana de Π Método 1 Tomamos o plano Π perpendicular a ℓ e passando por P₀ Seja Q o ponto da interseção Π ℓ Como a reta que contém P₀ e Q é perpendicular a ℓ a distância de P₀ a ℓ é exatamente a distância de P₀ a Q Portanto para calcular dP₀ℓ devemos efetuar as seguintes etapas determinar a equação cartesiana do plano Π tal que Π ℓ e P₀ Π determinar o ponto Q onde ℓ intersecta Π determinar dP₀ Q dP₀ℓ Exemplo 1159 Achar a distância do ponto P₀ 302 à reta ℓ x1t y22t zt t ℝ Solução Sigamos as etapas indicadas no método 1 Equação do plano Π perpendicular a ℓ passando por P₀ Das equações paramétricas de ℓ obtemos sua direção v 1 2 1 Esse vetor é normal a Π e portanto P xyz Π P₀Pv 0 Desenvolvendo essa relação obtemos a equação cartesiana de Π P₀Pv 0 x 3 y z 2 1 2 1 0 x 3 2y z 2 0 x 2y z 5 0 Determinemos o ponto Q onde ℓ intersecta Π Para determinar o ponto Q substituímos as coordenadas das equações paramétricas de ℓ na equação cartesiana de Π e calculamos o valor do parâmetro t que corresponde ao ponto Q 1 t 22 2t t 5 0 6t 8 0 t 43 Para encontrarmos as coordenadas de Q substituímos t 43 nas equações paramétricas de ℓ x 1 43 73 y 2 243 23 z 43 Portanto ℓ intersecta Π no ponto Q 73 23 43 GEOMETRIA ANALÍTICA II Produto interno vetorial e misto Aplicações I w2 sen w vv2 w2 vv2 sen w vv2 w vv2 P0P1 v2v2 Portanto dP0 ℓ P0P1 vv onde P1 é um ponto qualquer de ℓ e v é a direção de ℓ Exemplo 1160 Com os dados do Exemplo 1159 calculemos dP0 ℓ usando o Método 2 Solução Tomando t 0 nas equações paramétricas de ℓ obtemos o ponto P1 1 2 0 ℓ Logo P0P1 1 3 2 0 2 2 2 2 Além disso v 1 2 1 é a direção de ℓ Substituindo na fórmula da distância de P0 a ℓ obtida no Método 2 temos dP0 ℓ P0P1 vv 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 0 2 6 86 226 2126 436 233 Resumo Nesta aula você aprendeu a usar o produto vetorial e o produto misto em diversas situações geométricas dentre as quais determinar quando três vetores são LI achar a equação cartesiana de um plano e construir sistemas referenciais positivos Também utilizamos o produto interno e o produto vetorial no cálculo de alguns tipos de distâncias Como você observou podemos utilizar as fórmulas obtidas ou proceder de maneira direta porém mais artesanal Você deve achar que a utilização de fórmulas é a melhor maneira Em parte sim pois aplicandoas você resolve o problema mais rápido e com pouco desenvolvimento lógico É justamente nesse último ponto que está o perigo Se você prefere usar as fórmulas não esqueça de estudar e entender bem como elas foram obtidas assim como estudar outras maneiras de chegar às soluções pois dessa forma você aprende a manipular os elementos teóricos apresentados para chegar aos resultados Isso irá enriquecer a sua capacidade de analisar e resolver problemas Dica Use as fórmulas mas sem esquecer da teoria Cálculo de dP0 Q Verifique você mesmo que dP0 Q 233 Portanto dP0 ℓ 233 Método 2 vejamos como obter a expressão da distância do ponto P0 à reta ℓ sem precisar determinar as coordenadas do ponto Q onde ℓ intersecta Π Seja P1 um ponto qualquer de ℓ e denotemos v a direção de ℓ a Se P1P0 v 0 então P1 pertence também à reta perpendicular a ℓ que passa por P0 isto é P1 Q e o problema está resolvido após calcular dP0 P1 dP0 ℓ Figura 1116 b Se P1P0 v 0 então P1 Q Tomando v com origem em P1 vemos que Figura 1117 o triângulo P0QP1 é retângulo e que o comprimento do segmento QP1 é a norma da projeção ortogonal de P1P0 sobre v Assim denotando w P1P0 e usando o Teorema de Pitágoras temos dP0 ℓ2 dP0 Q2 w2 prvw2 w2 w vv vv2 w2 w vv2 w2 w2 vv2 cos w vv2 w2 w2 cos w vv2 w2 1 cos w vv2 Produto interno vetorial e misto Aplicacoes I M ODULO 2 AULA 11 Exercıcios 1 Determine um referencial ortonormal positivo B O u v w no qual o vetor u tem a mesma direcao e sentido que o vetor u0 onde a u0 1 2 3 b u0 1 0 1 c u0 0 2 0 2 Ache caso existam os valores do escalar λ R que fazem do sistema O u v w um referencial negativo onde a u λ 0 1 v 0 1 0 w 1 2 2 λ b u 1 1 λ v 2 λ λ 1 w λ 0 0 c u 0 0 λ v λ 1 1 w 1 0 λ 3 Usando o produto misto determine a equacao cartesiana do plano Π com base nos seguintes dados a Π contem os pontos A 1 0 1 B 1 2 0 e C 1 1 1 b Π contem a reta r1 que passa pelo ponto 3 0 1 e tem direcao u 1 1 1 e a reta r2 que passa pelo ponto P0 e e paralela ao vetor v 0 0 2 c Π contem o ponto P0 1 1 1 e a reta r que passa pela origem e e gerada pelo vetor v 2 1 1 4 Calcule os produtos seguintes a partir dos vetores dados u 0 1 1 v 1 1 1 w 1 0 2 e x 1 0 1 a u v w x b u v w x c u v w x 5 Pense antes de responder Se Π e um plano paralelo aos vetores v e w entao para todo vetor u do espaco u v u w e um vetor paralelo a Π Justifique 6 Para cada par de planos dados analise a posicao relativa entre eles e determine qual a distˆancia entre eles a Π1 x 2y z 0 e Π2 x 1 t y t s z 2 s s t R b Π1 x 1 2t 3s y 2 t s z t 2s s t R e Π2 x 4 2t s y t z 3 t s s t R CEDERJ 143 7 Em cada item são dados uma reta e um plano Analise a posição entre eles e determine a distância a ℓ x 1 t y 2 t t R e Π x 2t s y 1 s s t R z 3t z t 2s b ℓ x y z 0 2x 3y 1 0 e Π 5y 2z 0 8 Em cada item são dados um ponto e uma reta Determine a distância entre eles a P0 1 1 2 e ℓ x 1 t y 1 t t R z 3 t b P0 255 e ℓ x 200 t y 1813 9t t R z 5 9 Determine as equações satisfeitas pelos pontos P x y z cuja distância ao plano x y z 2 0 é igual a 8 10 Sejam P0 101 e ℓ x 1 2t y 3t t R Dê a equação satisfeita z 2 t pelo conjunto de pontos P x y z cuja distância a ℓ é igual a dP0 ℓ Autoavaliação Se você resolveu todos os exercícios então você conseguiu fixar como utilizar o produto misto em diversas situações geométricas obter distância entre pontos e planos entre retas e planos entre planos e entre pontos e retas Além disso fez uma revisão dos seguintes tipos de problemas passagem de equações paramétricas de um plano para equação cartesiana e determinação da direção de uma reta dada pela interseção de dois planos 1 u0 123 Primeiramente vamos norm aliza r u0 para ob ter u u0 12 22 32 14 u u0 u0 114 214 314 Agora vamos encontrar um vetor v ortogonal a u Para isso escolhemos um vetor qualquer e subtraímos sua projeção em u Tomemos 001 Assim proju001 001u u 2 u 001114 214 314 1 114 214 314 314 114 214 314 314 614 914 Daí v 001 314 614 914 314 614 514 Vamos norm aliza r v para obter v v 3142 6142 5142 9 36 25 196 70 14 v 314 614 514 70 14 370 670 570 Agora calculamos w u v w i j k 114 214 314 370 670 570 30 18980 i 59980 j 6 6980 k 28145 34145 0 25 15 0 Portanto u 114 214 314 v 370 670 570 w 25 15 0 b u0 1 0 1 Vamos norm aliza r u0 para obter u u0 12 02 12 2 u 1 0 1 2 12 0 12 ou 22 0 22 Agora escolhemos um vetor qualquer e subtraímos sua projeção em u para obtermos um vetor v ortogonal a u Tomemos 010 Assim proju010 010u 1 u 01012 0 12 0 000 Daí v 010 000 010 Note que v já é unitário Agora calculamos w u v w i j k 12 0 12 0 1 0 0 12 i 0 0 j 12 0 k 12 0 12 ou 22 0 22 Note que w já é unitário Portanto u 22 0 22 v 0 1 0 w 22 0 22 c u0 0 2 0 Vamos norm aliza r u0 para obter u u0 02 22 02 4 2 u 0 2 0 2 0 1 0 Seguindo o mesmo raciocínio dos itens anteriores tomemos 100 Assim proju100 100u 1 u 100010 0 000 Daí v 100 000 100 Note que v já é unitário Agora calculamos w u v w i j k 0 1 0 1 0 0 0 0 i 0 0 j 0 1 k 0 0 1 Note que w já é unitário Portanto u 0 1 0 v 1 0 0 w 0 0 1 2 Um reperâncial é negativo se ii v x w 0 a ii 101 v 010 w 322 λ Vamos calcular v x w v x w î ȷ k 0 1 0 3 2 2λ 2λî 0ȷ 3k 2λ03 Agora calculamos ii v x w ii v x w 1012λ01 λ2λ 00 11 λ² 2λ 1 Queremos que λ² 2λ 1 0 Vamos resolver a seguinte equação λ² 2λ 1 0 λ 2 2² 411 2 2 22 2 λ1 2 2 1 2 Note que λ² 2λ 1 é uma parábola com a concavidade voltada para cima assim quando 1 2 x 1 2 temos λ² 2λ 1 0 que é o mesmo que ii v x w 0 b ii 11λ v 2λλ1 w x00 Vamos calcular v x w v x w î ȷ k 2λ λ 1 x 0 0 0î λȷ λ²k 0λx² Agora calculamos ii v x w ii v x w 11λ0λλ² 30 λ λλ² λ λ³ Queremos λ λ³ 0 Note que λ λ³ 0 λ1 λ² 0 Como 1 λ² é sempre positivo temos que λ 0 implica em ii v x w λ1 λ² 0 c ii 00λ v λλλ w 30λ v x w î ȷ k λ λ λ 3 0 λ λî λ² λȷ 1k λ λ² 1 1 ii v x w 00λλ1² 31 0λ 01² 3 λ1 λ Dessa forma queremos que λ 0 3 a A 301 β 120 C 111 Vamos determinar dois vetores no plano II AB 11 20 01 221 AC 11 10 31 012 Agora seja P xyz um ponto genérico no plano II Então AP x1 y0 z1 x1 y z1 Vamos calcular o produto misto dos vetores AB AC e AP e igualálo a zero assim eles coplanares e o ponto P pertencerá ao plano AB x AC î ȷ k 2 2 1 0 1 2 41î 40ȷ 20k 342 Agora calculamos AP AB x AC x1yz1342 3x1 4y 2z1 3x 3 4y 2z 2 Daí igualando a zero temos 3x 4y 2z 5 0 que é a equação cartesiana do plano II b O plano contém a reta r1 que passa por 301 e tem vetor diretor ii 111 a reta r2 que passa por P0 e tem vetor diretor v 002 Seja P1 301 e P0 xyz Então P1P0 x3 y0 z1 x3 y z1 Calculando ii x v ii x v î ȷ k 1 1 1 0 0 2 2î 2ȷ 0k 2 2 0 Agora calculamos P1P0 ii x v P1P0 ii x v x3yz1220 2x3 2y 0z1 2x 6 2y Daí igualando a zero temos 2x 6 2y 0 2x2 2y2 62 x y 3 x y 3 0 que é a equação cartesiana do plano II c O plano contém P0 111 e a reta que passa por P2 000 e tem vetor diretor v 211 Seja P xyz um ponto genérico do plano II Então P2P x0y0z0 xyz P0P2 10 10 30 311 Calculando P0P2 x v P0P2 x v î ȷ k 1 1 1 2 1 1 13î 12ȷ 12k 433 Agora calculamos P0P P0P2 x v P0P P0P2 x v xyz231 2x 3y 2 Daí igualando a zero temos 2x 3y 2 0 2x 3y 2 0 que é a equação cartesiana do plano II 4 vecu 033 vecv 111 vecw 102 e vecx 101 a vecu imes vecv imes vecw imes vecx vecw imes vecx leftbeginmatrix veci vecj veck 1 0 2 1 0 1 endmatrixright 0veci 12vecj 0veck 030 vecv imes vecw imes vecx leftbeginmatrix veci vecj veck 1 1 1 0 3 0 endmatrixright 03veci 0vecj 3veck 303 vecu imes vecv imes vecw imes vecx leftbeginmatrix veci vecj veck 0 3 3 3 0 3 endmatrixright 30veci 03vecj 03veck 333 b vecu imes vecv imes vecw imes vecx vecu imes vecv leftbeginmatrix veci vecj veck 0 3 3 1 1 1 endmatrixright 13veci 03vecj 01veck 011 011 vecw imes vecx leftbeginmatrix veci vecj veck 1 0 2 1 0 1 endmatrixright 0veci 12vecj 0veck 030 vecu imes vecv imes vecw imes vecx leftbeginmatrix veci vecj veck 0 1 1 0 3 0 endmatrixright 03veci 0vecj 0veck 300 c vecu imes vecv imes vecw imes vecx vecv imes vecw leftbeginmatrix veci vecj veck 1 1 1 1 0 2 endmatrixright 20veci 23vecj 03veck 213 vecu imes vecv imes vecw leftbeginmatrix veci vecj veck 0 3 3 2 1 3 endmatrixright 13veci 02vecj 02veck 022 vecu imes vecv imes vecw imes vecx leftbeginmatrix veci vecj veck 0 2 2 1 0 1 endmatrixright 20veci 02vecj 02veck 222 5 Não pois o vetor vecu imes vecv imes vecu imes vecw é paralelo ao plano Pi somente se vecu for coplanar com vecv e vecw Como vecu é um vetor arbitrário essa condição nem sempre é satisfeita 6 a Pi1 x2y20 Pi2 begincases x 3 t y t s z 2 s endcases st in mathbbR Primeiramente vamos encontrar a equação cartesiana do plano Pi2 x 3 t Rightarrow t 3 x y t s Rightarrow s t y Rightarrow s 3 x y z 2 s Rightarrow z 2 3 x y 1 x y Daí z 1 x y Leftrightarrow x y z 1 0 que é a equação cartesiana do plano Pi2 Os vetores normais dos planos são vecn1 121 e vecn2 111 Como eles não são múltiplos escalares um do outro os planos não são paralelos e portanto se intersectam Assim dPi1 Pi2 0 b Pi1 begincasesx 32t 3s y 2 t s z t 2s endcases st in mathbbR Pi2 begincases x 4 2t 5s y t z 3 t s endcases st in mathbbR Primeiramente vamos encontrar as equações cartesianas desses planos Para Pi1 z t 2s Rightarrow t 2 2s y 2 t s Rightarrow y 2 2 2s s 4 s x 3 2t 3s Rightarrow x 3 22 2s 3s 3 4 4s 3s 7s 1 Daí x 7s 1 y 4 s z t 2s Para Pi2 y t Rightarrow t y x 4 2t 5s 4 2y 5s z 3 t s 3 y s Daí x 4 2y 5s 0 z 3 y s 0 Os vetores normais são vecn1 175 e vecn2 111 que não são múltiplos escalares um do outro Portanto os planos Pi1 e Pi2 não são paralelos e se intersectam de modo que dPi1 Pi2 0 7 a l x 1 t y 2 t t ℝ z 3t e Π x 2t s y s 5 z t 2s s t ℝ Vamos encontrar a equação cartesiana do plano Π y s 5 s y 5 x 2t s x 2t y 5 2t y x 5 t y x 5 2 z t 2s z y x 52 2y 5 2z y x 5 4 4y Dai 2z y x 5 4y x 5y 2z 5 0 que é a equação cartesiana do plano Π O vetor diretor da reta l é v 1 1 3 e o ponto P 1 2 0 pertence à reta l O vetor normal do plano é n 1 5 2 Calculando v n temos v n 1 1 1 5 32 1 5 6 0 Como v n 0 a reta é paralela ao plano ou está contida no plano Vamos verificar se P pertence à Π 1 52 2 0 5 1 10 5 4 0 Logo a reta l é paralela ao plano Π Assim a distância é dada por d Ax0 By0 Cz0 D A² B² C² 1 1 5 2 2 0 5 1² 5² 2² 1 10 5 30 4 30 4 30 30 30 2 30 5 b l x y 2 0 2x 3y 1 0 e Π 5y 22 0 Vamos parametrizar a reta l De x y 2 0 temos z x y De 2x 3y 1 0 temos x 1 3y 2 Agora seja y t Então x 1 3t 2 e z 1 3t 2 t 1 3t 2t 2 1 t 2 Assim l x 12 3t2 y t z 12 12 t t ℝ O vetor diretor é v 32 1 12 ou equivalentemente v 3 2 1 O ponto 12 0 12 pertence à reta l O vetor normal do plano Π é n 0 5 2 Calculando v n temos v n 3 0 2 5 12 0 10 2 12 Como v n 0 a reta intersecta o plano de modo que dl Π 0 8 a P0 1 1 2 e l x 3 t y 1 t z 3 t Seja t 0 então o ponto P1 3 1 3 l Assim P0P1 13 11 32 0 0 1 O vetor diretor da reta l é v 1 1 1 Vamos usar a seguinte fórmula dP l P0P1 v v Calculando P0P1 v i j k 0 0 1 1 1 1 0 1 i 0 3 j 0 k 1 1 0 Dai dP0 l 1 1 0 1 1 1 1² 1² 0 1² 1² 1² 2 3 3 3 6 3 b P0 2 5 5 e l x 200 t y 1813 9t z 5 Seja t 0 Então o ponto P1 200 1813 5 l Assim P0P1 200 2 1813 5 5 5 202 1818 0 O vetor diretor da reta l é v 1 9 0 Calculando P0P1 v i j k 202 1818 0 1 9 0 0 0 i 0 0 j 1818 1818 k 0 0 0 Dai dP0 l 0 0 0 2 9 0 0 82 0 Logo o ponto P0 2 5 5 l 9 P x y z plano Π x y z 2 0 dP Π 8 Sabemos que a distância de um ponto P x y z ao plano Π Ax By Cz D 0 é d Ax By Cz D A² B² C² Substituindo os valores do enunciado temos 8 1x 1y 1z 2 1² 1² 1² 8 x y z 2 3 83 x y z 2 Logo x y z 2 83 ou x y z 2 83 Assim as equações são x y z 2 83 e x y z 2 83 10 P0 1 0 1 e l x 1 2t y 3t z 2t t ℝ Primeiramente vamos calcular dP0 l Seja t 0 então P1 1 0 2 l O vetor diretor da reta l é v 2 3 1 e P1P0 11 00 12 0 0 1 Calculando v P1P0 i j k 2 3 1 0 0 1 3 0 i 2 0 j 0 k 3 2 0 v P1P0 3² 2² 0² 13 v 2² 3² 1² 14 Logo dP0 l v P1P0 v 13 14 1314 Agora vamos encontrar a equação satisfeita pelos pontos P xyz cuja distância a l é igual a sqrt13sqrt14 Seja P xyz Então PP x3 y z2 Calculando v x P P v x P i j k 2 3 1 3z2 y i 2z2 x3 j 2y 3x3 k x3 y z2 v x P 3zy6 x2z5 3x2y3 v x P sqrt3zy62 x2z52 3x2y32 Assim sqrt13sqrt142 sqrt3zy62 x2z52 3x2y32sqrt142 131414 3zy62 x2z52 3x2y32 Portanto a equação satisfeita pelos pontos P xyz é 3z y 62 x 2z 52 3x 2y 32 13