Questões - Desigualdade de Besel - 2023-1

5.1. (Desigualdade de Bessel(6)). A desigualdade de Bessel é a afirmação de que se f é integrável em [-π, π] então seus coeficientes de Fourier usuais satisfazem a estimativa \[ \frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_{n}^{2} + b_{n}^{2} \right) \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^{2} \mathrm{d}x. \] (5.8) Demonstre isto seguindo os seguintes passos: (a) para cada n = 1, 2, \ldots\, defina S_{n}(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{n} \left( a_{k} \cos kx + b_{k} \sen kx \right) e mostre que \[ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) S_{n}(x) \mathrm{d}x = \frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{k=1}^{n} \left( a_{k}^{2} + b_{k}^{2} \right); \] (b) multiplicando S_{N}(x) por si mesmo, isto é, S_{N}(x)^{2} = \left[ \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos nx + b_{n} \sen nx \right) \right] \left[ \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m=1}^{N} \left( a_{m} \cos mx + b_{m} \sen mx \right) \right] e considerando todos os produtos que aparecem no lado direito, mostre que \[ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} S_{n}(x)^{2} \mathrm{d}x = \frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{k=1}^{n} \left( a_{k}^{2} + b_{k}^{2} \right); \] (c) escrevendo \left[ f(x) - S_{n}(x) \right]^{2} = f(x)^{2} - 2f(x) S_{n}(x) + S_{n}(x)^{2}, verifique que \[ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left[ f(x) - S_{n}(x) \right]^{2} \mathrm{d}x = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^{2} \mathrm{d}x - \frac{a_{0}^{2}}{2} - \sum_{k=1}^{n} \left( a_{k}^{2} + b_{k}^{2} \right) \] e deduza que \[ \frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{k=1}^{n} \left( a_{k}^{2} + b_{k}^{2} \right) \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^{2} \mathrm{d}x; \] (d) conclua a demonstração de (5.8). Um corolário da desigualdade de Bessel é que a série à direita em (5.8) converge e isto implica que a_{n} \rightarrow 0 e b_{n} \rightarrow 0 quando n \rightarrow \infty. 5.1. resposta da letra a do exercício 5.1 (a) Multiplique a identidade que define S_{n}(x) por f(x) e em seguida integre no intervalo [-π, π]: f(x)S_{n}(x) = \frac{a_{0}}{2} f(x) + \sum_{k=1}^{n} a_{k} f(x) \cos kx + b_{k} f(x) \sen kx, logo \int_{-\pi}^{\pi} f(x) S_{n}(x) \mathrm{d}x = \frac{a_{0}}{2} \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d}x}_{\pi a_{0}} + \sum_{k=1}^{n} a_{k} \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx \mathrm{d}x}_{\pi a_{k}} + b_{k} \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sen kx \mathrm{d}x}_{\pi b_{k}} = \pi \left( \frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{k=1}^{n} \left( a_{k}^{2} + b_{k}^{2} \right) \right). 5.3. Mostre que num espaço com produto interno a norma induzida satisfaz a identidade do paralelogramo: 2||x||^2 + 2||y||^2 = ||x + y||^2 + ||x − y||^2. 5.7. Seja f uma função integrável em [a, b]. Mostre que: (a) \( \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \leq (b - a) \int_a^b f(x)^2 \, dx \); (b) \( \left( \int_a^b x f(x) \, dx \right)^2 \leq \frac{b^3 - a^3}{3} \int_a^b f(x)^2 \, dx \). 6.1. Para cada n defina a função f_n : [0, 1] \to \mathbb{R} por \( f_n(x) = \begin{cases} 0, & \text{se } 0 \leq x \leq \frac{1}{n}, \\ \sqrt{n}, & \text{se } \frac{1}{n} \leq x \leq \frac{2}{n}, \\ 0, & \text{se } \frac{2}{n} < x \leq 1. \end{cases} \) Seja f : [0, 1] \to \mathbb{R} a função identicamente nula, isto é, f(x) = 0 para todo x. Mostre que: (a) a sequência (f_n) converge pontualmente a f no intervalo [0, 1]; (b) a sequência (f_n) não converge em média a f no intervalo [0, 1]. 6.5. Aplicando a identidade de Parseval à série de Fourier (3.5), obtenha a soma \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}. \] 5 1 a Snial of t É are cos eat br sink it com an I fif ie cos seal da but I fees sinckal da Ao i f Ifc at da k 1,2 FF yentai f Lif les su cal da yof da E au toga do be ftp aidn af Éfaut bus blumbre que h Sen man cos man me me e in Sao ontogonais entre si ish e If sin mise cos Imax da o f mi ma 1 sin mini sin man da f cos Imise cos more da f it mum 0 Mr Im into f fi s in da f fay t Ecancos na bn sin na N of I am cos mat businma da af da t 20g If an cos nat bn sin na da 1 I I amcos nat bn sin na In am cosma bm sin na da cosnd da t sin nada E G ELI a EI o I Em I am am cosy cos ma bnsinnabm sin ma ftp.mhrelagoesaeortogonatidaex an bn Yasin ma am b ma sin n da to pelas relaxes Me ontogondidade af t I I fan it bn it ang t Ecan'tbn c Agora note que f x Soobei f x Zf se SoCal Salas entai IT IT I fca Sweet da I 1 fix da 2 fees so be da T it it IfI snias da t 1 fear da 2 aft Ifan bn's af If l an't bn f lifers da ay En an ibn Z 0 pois fsa Snk z o portauto f floes da a aft E an't bn d Como a designaldade Vale 4 NE N homando Nt too at II an't bn e f feat de desigualdade de Bessel 5 3 lembre que 11542 85 r enter Ilatyht Hayip rat y sexy t sa y se y rains 2 try y rain Ey sy y 262,2 264y 2112112 2119112 5 7 Sega G Cta b IR Cta b undo a classe das fungous continues enter Sf g I feal girl da define um proauto interns Portanto vale a designaldadi de Schwanz Sf g e 11ft 11911 lift Mfs Ifinidar Some g se I continue enter rags f 1 fearday e furan Didnt a I feel d e b a fear da b feme goal a mhm baa da Ifear da sf.gs Mafias doe e f a 41 I finida afire doe I b feat da Obs dado f integrovel mas nai continua eniste f continue e integrated tal que fifgda If'gda tge crabs If difue de f numa quantidade enumerated de pantos portanto as resultados acimo he estendem parc a classe de fancies integra've's een Taib 6 1 la fatal 4 rn se f en e z O Caso contrairio Finado R E to I se R o en d l fn a o f n a lion trial him o o se O a 1 I no a I no Se nano nano In n Zz a En e fatal o foreal o f nano logo lion free o portanto for converge pontualmente pl f b Anew analisartim Ifn fl da Note que Uttoo I Ifnial flail da free da f in da in I if I portanto lim note fu fl dat him n to f d e for converge un media para f o 6 5 provavelmente a retie 3.5 Sejo f la r em CIT T Como f e par L it terms que i bn o the IN ii ao I f n'do E of I 255 iii an I f at cos nai da y 2g cosenits 4 II portanto Sf1a I If C i cos Inn enter pelc identidade de Parseval 1 fine doe f ft n'an 1 É É Isan Ein I 211 4,1g 361 01 16,1 Iit