Trabalho - Cálculo 2 2022-2

Universidade Federal de Lavras Trabalho de Calculo II - GMM106 Nome: Matricula;s rma Data de entrega: 27/02/2023 Observacao: O trabalho deve ser manuscrito, legivel, organizado e conter todos os passos da resolucéo. Bom trabalho! 1. Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar o valor minimo da funcao f(z,y) = 2? +y? — ry com a restricao de que 2x + y = 22. 2. Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar o valor maximo da fungao f(z,y,z) =x + 3y—z com a restricdo de que z = 22? + y?. 3. Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto P sobre a reta r dada por r+ty+tz=1 x—-y=O0 e cuja distancia a origem é minima. 4, Uma empresaria dispde de R$ 60.000, 00 para investir na producao e propaganda de um novo produto. Estima-se que se forem gastos x mil reais na produgao e y mil reais em : 3 ~ : propaganda, aproximadamente f(x,y) = 20%2y exemplares do produto serao vendidos. Quanto a empresaria deve investir na producao e quanto deve investir em propaganda para que o numero de exemplares vendidos seja o maior possivel? 5. Se a empresaria do exercicio anterior recebe R$ 61.000, 00 em vez de R$ 60.000, 00 para gastar na producao e propaganda do novo produto, qual sera o efeito desse acréscimo de R$ 1.000, 00 sobre as vendas do livro? Explique o raciocinio utilizado por vocé para chegar a conclusao. 6. Um comerciante decidiu produzir recipientes cilindricos com capacidade para 65a ml de suco. O custo por centimetro quadrado para fazer a tampa e o fundo do recipiente é duas vezes maior do que o custo por centimetro quadrado para fazer a lateral, uma vez que sao usados materiais diferentes. Quais sao as dimensoes do recipiente mais barato? 1 Questão 1 Temos a seguinte função: 𝑓 = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 E temos a seguinte restrição: 2𝑥 + 𝑦 = 22 O que origina a seguinte função: 𝑔 = 2𝑥 + 𝑦 − 22 = 0 Aplicando a condição de Lagrange, temos: ∇𝑓 = 𝜆∇𝑔 (𝜕[𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦] 𝜕𝑥 , 𝜕[𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦] 𝜕𝑦 ) = 𝜆 (𝜕[2𝑥 + 𝑦 − 22] 𝜕𝑥 , 𝜕[2𝑥 + 𝑦 − 22] 𝜕𝑦 ) (𝜕[𝑥2 − 𝑥𝑦] 𝜕𝑥 , 𝜕[𝑦2 − 𝑥𝑦] 𝜕𝑦 ) = 𝜆 (𝜕[2𝑥] 𝜕𝑥 , 𝜕[𝑦] 𝜕𝑦 ) ([2𝑥 − 𝑦], [2𝑦 − 𝑥]) = 𝜆(2,1) Logo, temos: 2𝑥 − 𝑦 = 2𝜆 2𝑦 − 𝑥 = 𝜆 Logo, temos: 𝜆 = 2𝑦 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑦 2 Logo, temos: 4 2 𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 2 5 2 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 4 5 𝑥 Substituindo na restrição, temos: 2𝑥 + 𝑦 = 22 2𝑥 + 4 5 𝑥 = 22 10 5 𝑥 + 4 5 𝑥 = 22 14 5 𝑥 = 22 7 5 𝑥 = 11 𝒙 = 𝟓𝟓 𝟕 Logo, temos: 𝑦 = 4 5 𝑥 𝑦 = 4 5 55 7 𝒚 = 𝟒𝟒 𝟕 Logo, o valor mínimo é: 𝑓 = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑓 = 552 72 + 442 72 − 55 7 44 7 𝑓 = 1 49 (552 + 442 − 44 ∗ 55) 𝑓 = 2541 49 𝒇 = 𝟑𝟔𝟑 𝟕 Questão 2 Temos a seguinte função: 𝑓 = 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 E temos a seguinte restrição: 𝑧 = 2𝑥2 + 𝑦2 O que origina a seguinte função: 𝑔 = 2𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 = 0 Aplicando a condição de Lagrange, temos: ∇𝑓 = 𝜆∇𝑔 (𝜕[𝑥 + 3𝑦 − 𝑧] 𝜕𝑥 , 𝜕[𝑥 + 3𝑦 − 𝑧] 𝜕𝑦 , 𝜕[𝑥 + 3𝑦 − 𝑧] 𝜕𝑧 ) = 𝜆 (𝜕[2𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧] 𝜕𝑥 , 𝜕[2𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧] 𝜕𝑦 , 𝜕[2𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧] 𝜕𝑧 ) (𝜕[𝑥] 𝜕𝑥 , 𝜕[3𝑦] 𝜕𝑦 , 𝜕[−𝑧] 𝜕𝑧 ) = 𝜆 (𝜕[2𝑥2] 𝜕𝑥 , 𝜕[𝑦2] 𝜕𝑦 , 𝜕[−𝑧] 𝜕𝑧 ) (1,3, −1) = 𝜆([4𝑥], [2𝑦], −1) Logo, temos: 1 = 4𝑥𝜆 3 = 2𝑦𝜆 −1 = −𝜆 Logo, temos: 𝜆 = 1 1 = 4𝑥 3 = 2𝑦 Ou seja: 𝒙 = 𝟏 𝟒 𝒚 = 𝟑 𝟐 Logo, temos: 𝑧 = 2𝑥2 + 𝑦2 𝑧 = 2 42 + 32 22 𝑧 = 2 16 + 9 4 𝑧 = 1 8 + 18 8 𝒛 = 𝟏𝟗 𝟖 Logo, o valor máximo é: 𝑓 = 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 𝑓 = 1 4 + 3 3 2 − 19 8 𝑓 = 2 8 + 9 2 − 19 8 𝑓 = −17 8 + 36 8 𝒇 = 𝟏𝟗 𝟖 Questão 3 Esta distância é dada por: 𝐷 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 Logo, devemos minimizar a seguinte função: 𝑓 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 E temos a seguinte restrição: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 − 𝑦 = 0 Note que temos 𝑦 = 𝑥. Assim, substituindo, temos: 𝑓 = 2𝑥2 + 𝑧2 Com a seguinte restrição: 𝑔 = 2𝑥 + 𝑧 − 1 = 0 Aplicando a condição de Lagrange, temos: ∇𝑓 = 𝜆∇𝑔 (𝜕[2𝑥2 + 𝑧2] 𝜕𝑥 , 𝜕[2𝑥2 + 𝑧2] 𝜕𝑧 ) = 𝜆 (𝜕[2𝑥 + 𝑧 − 1] 𝜕𝑥 , 𝜕[2𝑥 + 𝑧 − 1] 𝜕𝑧 ) (𝜕[2𝑥2] 𝜕𝑥 , 𝜕[𝑧2] 𝜕𝑧 ) = 𝜆 (𝜕[2𝑥] 𝜕𝑥 , 𝜕[𝑧] 𝜕𝑧 ) (4𝑥, 2𝑧) = 𝜆(2,1) Logo, temos: 4𝑥 = 2𝜆 2𝑧 = 𝜆 Logo, temos: 𝜆 = 2𝑧 = 2𝑥 𝑧 = 𝑥 Substituindo na restrição, temos: 2𝑥 + 𝑧 − 1 = 0 2𝑥 + 𝑥 − 1 = 0 3𝑥 − 1 = 0 𝒙 = 𝟏 𝟑 = 𝒚 = 𝒛 Logo, temos o ponto: 𝑷 = (𝟏 𝟑 , 𝟏 𝟑 , 𝟏 𝟑) Questão 4 Para este problema, temos: 𝑓 = 20 𝑥3/2𝑦 𝑔 = 𝑥 + 𝑦 − 60 = 0 Aplicando a condição de Lagrange, temos: ∇𝑓 = 𝜆∇𝑔 (𝜕[20 𝑥3/2𝑦] 𝜕𝑥 , 𝜕[20 𝑥3/2𝑦] 𝜕𝑦 ) = 𝜆 (𝜕𝑥 + 𝑦 − 60 𝜕𝑥 , 𝜕[𝑥 + 𝑦 − 60] 𝜕𝑦 ) (20𝑦 𝜕[ 𝑥3/2] 𝜕𝑥 , 20 𝑥3/2 𝜕[𝑦] 𝜕𝑦 ) = 𝜆(1,1) (20𝑦 3 2 𝑥1/2, 20 𝑥3/2) = 𝜆(1,1) Logo, temos: 30𝑦𝑥1/2 = 𝜆 20 𝑥3/2 = 𝜆 Logo, temos: 𝜆 = 30𝑦𝑥1/2 = 20 𝑥3/2 30𝑦 = 20 𝑥 𝑦 = 2 3 𝑥 Substituindo na restrição, temos: 𝑔 = 𝑥 + 𝑦 − 60 = 0 𝑥 + 2 3 𝑥 − 60 = 0 5 3 𝑥 = 60 𝒙 = 𝟑𝟔 Logo: 𝑦 = 2 3 𝑥 𝒚 = 𝟐𝟒 Logo, temos: 𝑓 = 20 𝑥3/2𝑦 𝑓 = 103680 Questão 5 No exercício anterior, chegamos ao resultado de: 𝑦 = 2 3 𝑥 5 3 𝑥 = 60 Mas no presente caso, teríamos a seguinte situação: 𝑦 = 2 3 𝑥 5 3 𝑥 = 61 E logo a solução ficaria: 𝑥 = 36,6 𝑦 = 24,4 Ou seja, o orçamento extra foi dividido proporcionalmente entre 𝑥 e 𝑦 Logo, temos: 𝑓 = 20 𝑥3/2𝑦 𝑓 = 108054 Ou seja, para um orçamento apenas 1,66% maior, a quantidade vendida aumentou 4,2% Questão 6 Seja 𝑐 o custo por área na lateral Assim, o custo total será dado por: 𝐶 = 𝑐𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑐𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝑐𝑡𝑜𝑝𝑜 𝐶 = 𝑐𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 2𝑐𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝑐𝐴𝑡𝑜𝑝𝑜 𝐶 = 𝑐 𝜋𝑟2 + 2𝑐 2𝜋𝑟𝐿 + 𝑐𝜋𝑟2 𝐶 = 2𝜋𝑐[𝑟2 + 2𝑟𝐿] Mas, temos: 𝑉 = 𝜋𝑟2𝐿 = 65𝜋 𝑚𝑙 Logo: 𝑟2𝐿 = 65 Assim, para este problema, temos: 𝑓 = 𝑟2 + 2𝑟𝐿 𝑔 = 𝑟2𝐿 − 65 = 0 Aplicando a condição de Lagrange, temos: ∇𝑓 = 𝜆∇𝑔 (𝜕[𝑟2 + 2𝑟𝐿] 𝜕𝑟 , 𝜕[𝑟2 + 2𝑟𝐿] 𝜕𝐿 ) = 𝜆 (𝜕[𝑟2𝐿 − 65] 𝜕𝑟 , 𝜕[𝑟2𝐿 − 65] 𝜕𝐿 ) ([2𝑟 + 2𝐿], [2𝑟]) = 𝜆([2𝑟𝐿], [𝑟2]) Logo, temos: 2𝑟 + 2𝐿 = 𝜆2𝑟𝐿 2𝑟 = 𝜆𝑟2 𝑟 + 𝐿 = 𝜆𝑟𝐿 2 = 𝜆𝑟 Logo, temos: 𝜆 = 𝑟 + 𝐿 𝑟𝐿 = 2 𝑟 𝑟 + 𝐿 𝐿 = 2 𝑟 + 𝐿 = 2𝐿 𝑟 = 𝐿 Substituindo na restrição, temos: 𝑔 = 𝑟2𝐿 − 65 = 0 𝑟3 = 65 𝒓 = 𝑳 = 𝟔𝟓𝟏/𝟑 = 𝟒,𝟎𝟐 𝒄𝒎