Slide - Aula 1 - Torção - 2024-1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIAS CIVIL E MECÂNICA GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção ESTE MATERIAL FOI BASEADO NO MATERIAL DIDÁTICO DESENVOLVIDO POR FERREIRA (2022) é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Seu efeito é uma preocupação primária no projeto de eixos de transmissão usados em veículos e máquinas GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção Momento de torção ou torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Seu efeito é uma preocupação primária no projeto de eixos de transmissão usados em veículos e máquinas GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção Momento de torção ou torque GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR Antes da deformação GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR Círculos permanecem circulares Linhas longitudinais ficam torcidas Linhas radiais permanecem retas Depois de deformado MT MT GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR Círculos permanecem circulares Linhas longitudinais ficam torcidas Linhas radiais permanecem retas Depois de deformado Hipóteses básicas: - As seções transversais (perpendiculares ao eixo longitudinal do elemento) são planas antes e depois da deformação - O diâmetro d do elemento, assim como a distância dx entre as seções do desenho permanecem inalterados - Considera-se a atuação única do momento torçor no elemento d dx MT MT GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR Plano deformado Plano indeformado As deformação por cisalhamento em pontos da seção aumenta linearmente com c c r c r         c = deformação por cisalhamento em um ponto c r = deformação por cisalhamento máxima (na extremidade) r = raio da seção c = distância radial qualquer A C C’ r = d/2 c MT r c GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR Considerando que os pontos ACC’ formam um arco, tem-se: As deformação por cisalhamento em pontos da seção aumenta linearmente com c A C C’ r = d/2 c O  max  ' tan CC dx  E sendo max suficientemente pequeno:  max  max max tan CC ' dx       r c GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR Agora, com o arco OCC’, faz-se a relação: As deformação por cisalhamento em pontos da seção aumenta linearmente com c A C C’ r = d/2 c O   ' tan CC r d   Analogamente à definição anterior sobre a hipótese das pequenas deformações:   tan ' d d CC rd       r c GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR Associando as equações anteriormente definidas para o comprimento do arco CC’ As deformação por cisalhamento em pontos da seção aumenta linearmente com c A C C’ r = d/2 c O ' r r d CC dx r d dx r        Considerando a Lei de Hooke no cisalhamento: r r G G G            = tensão de cisalhamento G = módulo de elasticidade transversal d/dx = q = giro por unidade de comprimento r = raio da seção transversal c = distância radial qualquer r d dx Gr    q r c Note que: c r c r         r  Gr q c  Gc q s dF MT r c c c r r r GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção RELAÇÃO ENTRE TENSÃO DE CISALHAMENTO E MOMENTO TORÇOR T c dM c dA   Agora, partindo de uma força dF oriunda da atuação de  em uma área dA, chega-se a: s c dF dA  Como a linha de ação do diferencial de força dF tem uma distância perpendicular, c, em relação ao centro da seção, o diferencial de momentos torçores, dT, é dado por: Com isso, determina-se o momento torçor (torque) total, fazendo (considerando o slide anterior): T s dM c dF    2 T T dM c Gc dA dM G c dA    q q s dF MT r c c c r r r GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção RELAÇÃO ENTRE TENSÃO DE CISALHAMENTO E MOMENTO TORÇOR 2 2 T T A A momento polar de inércia M G c dA M G c dA      q q    O momento polar de inércia será discutido adiante 2 p A I c dA  Assim: T T p p M M G I GI    q q Uma vez definido anteriormente: e s dF MT r c c c r r r GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção RELAÇÃO ENTRE TENSÃO DE CISALHAMENTO E MOMENTO TORÇOR T p M q GI r Gr  q Define-se: r T T r p p M M r Gr GI I      Sendo a tensão cisalhante proporcional à posição radial onde a mesma é avaliada, tem-se: T c p M c  I  c = tensão de cisalhamento em um ponto radial c r = tensão de cisalhamento no contorno externo da seção Ip = momento polar de inércia r = raio da seção c = distância radial qualquer GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO   2 2 0 2 r p p A I c dA I c c dc       4 3 0 0 2 2 4 r r p c I c dc             4 2 p r I  Se o elemento tiver uma seção transversal circular maciça, o momento polar de inércia Ip pode ser determinado usando um elemento de área diferencial com espessura dc e circunferência 2 c. Assim: 2 dA c dc   Considerando agora a seção transversal circular vazada, o momento polar de inércia Ip pode ser definido pela equação anterior, porém descontando a parte interna (vazio):   4 4 2 e i p r r I    dc ri re r c GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção MÓDULO DE RESISTÊNCIA À TORÇÃO dc ri re r c Sendo a Equação que correlaciona momento torçor e tensão cisalhante:   T T T r r r p T p M M M r I W I r         O módulo de resistência à torção (WT) para uma seção maciça é definido como: 3 2 T r W  Para uma seção vazada com raio interno (ri = kre) pode-se escrever:   3 4 1 2 T r W k    GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO O torque interno MT desenvolve uma distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada linha radial no plano da área da seção transversal, e também uma distribuição de tensão de cisalhamento associada é desenvolvida ao longo de um plano axial As deformação por cisalhamento em pontos da seção aumenta linearmente com c MT r r c r GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção O elemento mostrado na figura é apoiado por dois mancais e está sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B, localizados na seção a-a. 4.25 kNm 3.0 kNm 1.25 kNm 1.25 kNm 0.075 m 0.015 m EXEMPLO 1 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EXEMPLO 2 Para o eixo de seção transversal circular maciça, ilustrado na Fig., o qual deverá transmitir um momento torçor, Mt = 60000.00 daN.cm ao utilizador (bomba hidráulica), pede-se: a) Dimensionar o diâmetro do eixo entre os pontos A e B, o qual deverá ser construído em aço; b) Determinar o valor da máxima deformação de distorção, γmáx. Dados: fy= 3450.00 daN/cm2 E= 2.1x106 daN/cm2 CS = 1.15 (Cuidado! CS também pode ser nomeado como ) ν=0.30 Exemplo retirado da apostila de Ferreira (2022)   2 1 E G   GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção ÂNGULO DE TORÇÃO Anteriormente, definiu-se o giro por unidade de comprimento como: r d dx Gr    q Assim o ângulo de torção  pode ser descrito como: r d Gr dx   Generalizand o       0 L r x G x r x dx          0 L T p M x dx G x I x   T p M L  GI  Ti i i i pi M L  G I  Ângulo de torção para elemento com dados variáveis ao longo do comprimento: Ângulo de torção para elemento com vários torques, materiais ou seções ao longo do comprimento: Ângulo de torção para elemento com dados constantes ao longo do comprimento: MT MT GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção CONVENÇÃO DE SINAIS Convenção positiva de sinais +MT(x) +MT(x) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EXEMPLO 3 Dimensionar o eixo de aço de seção transversal circular indicado na figura, cujo comprimento é de 100 cm, para resistir a um momento torçor, MT =1.0x105 daN.cm. Por questões de projeto, ao final da torção o deslocamento angular máximo (giro máximo), , deverá ser, em módulo, da ordem 2.865º (o ponto é um separador decimal). As características do material são as que seguem: E= 2.1x106 daN/cm2; fy= 2500.00 daN/cm2,  = 0.30 e CS = 1.15 (Cuidado! CS também pode ser nomeado como ). Utilizar o critério da tensão admissível (ruptura da seção transversal). Exemplo retirado da apostila de Ferreira (2022) 100 cm GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EXEMPLO 4 O sistema monoengastado de eixos consecutivos, ilustrado na Figura, construído com aço de diferentes naturezas, é submetido a um sistema de momentos torçores indicado. Para o problema pede-se: a) Traçar o diagrama de momentos torçores; b) Determinar a máxima tensão de cisalhamento, máx, e a estabilidade dos eixos; c) Determinar o ângulo de torção entre os pontos 1 e 4. Dados: fy = 3000.00 daN/cm2; CS = 1.15 (Cuidado! CS também pode ser nomeado como ). • Eixo 1: Maciço. E1 = 2000000.00 daN/cm2, 1=0.30; r = 1.60 cm • Eixo 2: Tubular. E2= 2100000.00 daN/cm2, 2=0.28; rext= 2.00 cm, rint = 1.60 cm • Eixo 3: Tubular. E3 = 2000000.00 daN/cm2, 3=0.30; rext= 2.50 cm, rint = 2.00 cm Exemplo retirado da apostila de Ferreira (2022) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS CARREGADOS POR TORQUE O problema estaticamente indeterminado é aquele que não pode ser resolvido apenas com as equações de equilíbrio (somatórios de forças e momentos). Desta forma, uma equação (adicional) de compatibilidade é necessária para a solução do problema. Estudaremos um caso particular inicialmente. Partindo do elemento com engastes nas duas extremidades e um momento de torção MT concentrada em um ponto qualquer ao longo do comprimento do elemento: T LCB LAC DCL Nota: DCL – Diagrama de Corpo Livre MT MT MTA MTB MTA MTA MTB MTB GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção 0 0 T TA TB T M M M M        Equação de equilíbrio aplicável: O objetivo é determinar uma equação adicional (denominada como equação de compatibilidade ou condição cinemática) que auxilie na solução do problema. AB 0  Desta forma: 0 AC CB TAC AC TCB CB AC PAC CB PCB M L M L G I G I            MT MTA MTB ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS CARREGADOS POR TORQUE MTA MTA MTB MTB Note que para este problema, a condição de compatibilidade exige que o ângulo de torção de uma extremidade do elemento em relação à outra seja igual a zero, já que os apoios são fixos GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS CARREGADOS POR TORQUE Sendo a seção transversal constante (IPAC = IPCB = IP) e o elemento inteiro composto por um material apenas (GAC = GBC = G), pode-se substituir os valores de MTAC e MTCB na equação de compatibilidade anteriormente determinada: 0 0 TA AC TB CB TA AC TB CB P P M L M L M L M L GI GI      Agora, tem-se um sistema de equações com duas incógnitas (MTA e MTB) e duas equações (de equilíbrio e de compatibilidade.) A solução aqui apresentada é para uma possibilidade de problema. Os problemas estaticamente indeterminados também podem ter área variável, carga axial distribuída, materiais diferentes em um mesmo elemento, etc. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EXEMPLO 5 O eixo apresentado na Figura será solicitado por um momento torçor, no ponto 3, de valor MT = 25000.00 daN.cm e deverá ser construído com um aço que apresenta E = 2100000.00 daN/cm2, fy = 3450 daN/cm2 e  = 0.3. Para o problema pede-se: a) Determinar as reações de apoio; b) Dimensionar o componente bi engastado com seção transversal circular maciça, utilizando CS = 1.15 (Cuidado! CS também pode ser nomeado como ). c) Determinar o deslocamento angular, no ponto 3. Exemplo retirado da apostila de Ferreira (2022) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EXEMPLO 6 1.2 m 10 mm 20 mm Nm O elemento mostrado na figura é feito de um tubo de aço unido a um núcleo de latão. Considerando que um torque MT = 250 Nm é aplicado em sua extremidade livre, trace a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial de sua área da seção transversal. Considere Gaço = 80 GPa e Glatão = 36 GPa. MT Fazer o EXEMPLO E8.4 da apostila disponibilizada no campusvirtual! GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EXERCÍCIO O elemento maciço de aço mostrado na figura tem diâmetro de 20 mm. Considerando que ele está sujeito a dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA Elementos e tubos com seções circulares são bastante usados para transmitir a potência, P, desenvolvida por uma fonte (máquina). Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. Lembrando que trabalho é igual à força “vezes” o deslocamento na direção da força (Tdq), tem-se: T d P M dt  q d dt   q Sendo  a velocidade angular (dq/dt): T P M  Então, a potência pode ser definida como: P = potência MT = torque/momento torçor  = velocidade angular A potência é dada em Watts (W) quando MT é tido em Nm e  em rad/s. No entanto pode-se usar cavalo-vapor (cv) ou horse power (hp) como unidade: Pw = Pcv x 735.49875 Pw = Php x 745.69987 Para  pode-se fazer a conversão: rad/s = rpm x 2/60 B GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA Para situações de transmissão de velocidade angular e torque tal como mostrado na figura ao lado (considerando polias ou engrenagens com diâmetros diferentes), tem-se as seguintes relações: A B B A r  r    = velocidade angular MT = torque/momento torçor r = raio da polia ou engrenagem TA TB A B M M r r  B GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EXEMPLO 7 Um eixo de seção transversal tubular circular deverá ser construído com um aço que apresenta fy = 3500 daN/cm2. A relação entre os raios, interno e externo, é dada por rint = 0.85rext. Esse eixo transmitirá potência de um motor (188 CV a 3600 rpm) a uma bomba hidráulica. Se o comprimento do eixo é de 30 cm, pede-se para dimensionar o eixo. Utilizar CS = 1.15 (Cuidado! CS também pode ser nomeado como ). Exemplo retirado da apostila de Ferreira (2022) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EIXOS MACIÇOS COM SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO CIRCULAR Elementos de seção circular Elementos de seção retangular GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EIXOS MACIÇOS COM SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO CIRCULAR Elemento indeformado Elemento deformado MT MT GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EIXOS MACIÇOS COM SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO CIRCULAR Distribuição da tensão de cisalhamento Empenamento ou deformação da área da seção transversal MT Empenamentos são nulos onde as tensões atingem os valores máximos, em ambos os lados, e que os empenamentos são máximos nos vértices, onde as tensões e distorções são nulas. Solução complexa / aproximações válidas Imagem retirada da apostila de Ferreira (2022) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EIXOS MACIÇOS COM SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO CIRCULAR Na seção torcida, as deformações angulares (distorções), variarão ao longo dos comprimentos dos lados da seção reta, atingindo valores máximos nos centros dos lados de maior extensão, b 3 T M L  G bc  2 T máx M  bc   c máx    , ,  = coeficientes adimensionais tabelados definidos em função da relação b/c b = maior lado da seção c = menor lado da seção Imagem retirada da apostila de Ferreira (2022) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EIXOS MACIÇOS COM SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO CIRCULAR Coeficientes tabelados Tabela e imagem retiradas da apostila de Ferreira (2022)     1.188151 1.188151 0.293636 0.334704 2.013562 b c b c         1.212568 1.212568 -0.104015 0.332183 0.606054 b c b c         3.611609 3.611609 0.406042 1.141488 0.547709 b c b c       GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 1: Torção EXEMPLO 8 Determinar as dimensões da seção transversal da barra retangular ilustrada na figura a qual apresenta relação b/c = 2, para que a mesma, uma vez submetida a um momento torçor MT = 20000 daN.cm, apresente um giro total, , inferior a 0.005 rad. Dados: fy= 1200.00 daN/cm2 CS=1.15 lo = 50 cm G = 807692 daN/cm2  = 0.246  = 0.229 Exemplo retirado da apostila de Ferreira (2022)