Questões - Analogia de Mohr-green - 2023-2

PROBLEMA – Utilizando a analogia de Mohr-Green, para a viga apresentada na Fig. 1 pede-se determinar: A) A rotação, θ, no apoio A (6 casas decimais finais e unidade); B) O valor do deslocamento vertical, δ, no centro do vão (3 casas decimais finais e unidade). C) Ilustrar, ao longo da solução, todos os diagramas envolvidos, inclusive valores. DADOS: P=(2500 + 6.N) daN; Mo= 50000,0 daN. cm; q=12 daN/cm; l= (580+4.N) cm; E=8,0x10⁵ daN/cm². N é o último dígito do aluno. q Mo P P l/4 l/2 ---|------------|--------------|----- A B Figura 1 – Viga submetida à flexão, para o cálculo dos deslocamentos. RESPOSTAS: A) Rotação θA: ____________________________________ B) Deslocamento δ(1/2): ____________________________ * Localização do centroide: \[ \bar{y} = \frac{y_1.A_1 + y_2.A_2}{A_1 + A_2} \] \[ \bar{y} = \frac{15.30.10 + 34.8.30}{30.10 + 8.30} = 22,44 \text{ cm} \] * Cálculo do momento de inércia: \[ I = \sum (Ix + Idy^2) \] \[ I = \frac{10.8^3}{12} + 300. (23,44-15)^2 + \frac{30.8^3}{12} + 240.(23,44-34)^2 \] \[ I = 704913,15 \text{ cm}^4 \] * Dados para N=7: \[ P = (2500 + 6.7) \text{ daN} = 25420 \text{ N} \] \[ Mo = 50000 \text{ daN.cm} = 5.10^5 \text{ N.cm} \] \[ q = 12 \text{ daN/cm} = 120 \text{ N/cm } \therefore W = ? 29400 \text{ N em } x = ? 304 \text{ cm } \] \[ l = (580 + 4.7) \text{ cm} = 200,8 \text{ cm} \] \[ E = 8.10^5 \text{ daN/cm}^2 = 8.10^6 \text{ N/cm}^2 \] * Determinando as reações de apoio: \[ \sum M_A = 0 \rightarrow P\frac{l}{4} + \frac{P.3l}{4} + \frac{W.l}{2} - Mo - By.l = 0 \] By \[ \times = \frac{P}{4} + \frac{3P}{4} + \frac{W}{2} = 61900 \therefore By = \] \[ \sum F_y = 0 \rightarrow Ay + By - 2P - W = 0 \rightarrow Ay = 61900 \text{ N} \] Seção 1) (0 < x < 4/4) \[ \sum F_y = 0 \rightarrow W(x-0) - Ay + V_1(x) = 0 \rightarrow V_1(x) = -120x + 61900 \] V_1(0) = 61900 N e V_1(4/4) = 43600 N \[ \sum M(x) = 0 \rightarrow \frac{W(x-0)^2}{2} - Ay.x + M(x) - Mo = 0 \] \[ M(x) = - \frac{120x^2}{2} + 61900x + 500000 \] M_1(0) = 500000 Nmm e M_1(4/4) = 85322500 N.mm Seção 2) (4/4 < x < 3/4) \[ \sum F_y = 0 \rightarrow W(x-0) - Ay + P + V_2(x) = 0 \rightarrow V_2(x) = -120x + 25400 \] V_2(4/4) = 18640 N e V_2(3/4) = -18640 N \[ \sum M(x) = 0 \rightarrow - M_o + \frac{W.(x-0)^2}{2} + P.(x-\frac{4}{4}) - Ay.x + M(x) = 0 \] \[ M(x) = -60x^2 + 36480x + 4363840 = Ma(3/4) = 99,09.10^6 \text{ N.mm} \] M_2(4/4) = 85,23.10^6 Nmm e M_2(3/4) = 85,23.10^6 N.mm Seção 3) (3/4 < x < l) \[ \sum F_y = 0 \rightarrow W(x-0) - Ay + 2P + V_3(x) = 0 \rightarrow V_3(x) = -120x + 11000 \] V_3(3/4) = -43600 N e V_3(L) = -61900 N \[ \sum M(x) = 0 \rightarrow - Mo + \frac{Ay(x-0)^2}{2} + (x - \frac{4}{4}) + P(x - 3/4) - Ay.x + M(x) = 0 \] \[ M(x) = -60x^2 + 1100x + 158953800 \] \[ M_3(3/4) = 85,23.10^6 \text{ N.mm} \text{ e } M_3(L) = 5.10^5 \text{ N.mm} \] Para encontrar a rotação no apoio A, usaremos a equação das momentos fletor juntamente no maciço 1: M(x) = -60x^2 + 61200x + 500000 Da analogia de Mohr: E.I. d²y/dx² = M(x) E.I. d²y/dx² = -60x^2 + 61200x + 500000 ∫E.I. dy/dx = -20x^3 + 30950x^2 + 500000x + C1 ∫E.I. y = -5x^4/3 + 30950x^3 + 250000x^2 + C1x + C2 * Tomo que no ponto A: yA = 0, logo: EI . 0 = -0.5 + 0 + 0 + C1.0 + C2 = C2 = 0 ----------- Fazendo uso da região 3: EI d²y/dx² = -60x^2 + 11060x + 15955360 ∫EI dy/dx = -20x^3 + 5530x^2 + 15955360x + C3 ∫EI y = -5x^4/3 + 5530 x^3 + 7977680x^2 + C3x + C4 Como em x=L, yb=0: C4 = 5L^4/3 + 5530 L^3 - 7977680L^2 - C3L Como em x = L/4, θA1 = θ2: -20/64 x^3 + 30950 L^2/16 + 500000 L/4 + C1 = -20/64 x^3 + 5530L^2/16 + 15955360L/4 + C3 6 - 2542L^2/16 - 15955360L/4 + C1 = C3 Como em x=-L/4, y1 = y2 -5L^4/256 + 30950L^3/92 + 250000 L^2/6 + C1L = -5L^4/256 + 5530L^3/92 + 7977680L^2/192 + C3.L/4 + C4 25420L^3/192 - 31660720 L^2/16 + C1L = C3L + C4 25420L^3/64 - 15455360L^2/16 + 5L^4/7 - 5530L^3/3 - 7977680L^2/192 - 15455360L^2/4 . C1L C1 + 5 L^4/48 - 145875L^3/24 + 10820885L^2/2 - 12887480L^2/192 + 25420L^3/16/16 - 31660720 L^2/16 + C4/4 C1 = 8044194169, C3 = 94242634009 ---------------- C4 = -8,41 * 10^12 Substituindo temos dy1 = 1/EI (-20x^3 + 30950x^2 + 50000x + 8044194169) yo = 1/EI (-5x^4 + 30950 x^3 + 250000x^2 + 8044194169x/3) dy2/dx = 1/EI (-20x^3 + 5530x^2 + 15955360x + 94242634009) y2 = 1/EI (-5x^4 + 5530 x^3 + 7977680x^2 + 94242634009x - 8,41.10^12) * Rotação no apoio A: θ = 0,0153678 rad * Deslocamento no eixo central: f = 3,2409 cm (mm) x 0 1520, 4560, 6080, A B P1 P2 M1 M2 w1 Load Diagram w1 = 12,0 N/mm (down) Ay =61.900,00 N (up) P1 = 25420,0 N (down) By =61.900,00 N (up) P2 = 25420,0 N (down) M1 = 5000000,0 N-mm (cw) M2 = 5000000,0 N-mm (ccw) Printout title (mm) x 3040,0 0,00 61.900,00 43.660,00 18.240,00 0,00 -18.240,00 -43.660,00 -61.900,00 0,00 Shear Diagram (N) (mm) x 3040,0 0,00 5,00E+06 85,23E+06 99,09E+06 85,23E+06 5,00E+06 0,00 Moment Diagram (N-mm) MDSolids - Educational Software for Mechanics of Materials Copyright © 1997-2014 Timothy A. Philpot quinta-feira, 21 de dezembro de 2023 17:36:13 www.mdsolids.com