Questões - Rotação e Cisalhamento - 2023-2

ATENÇÃO 1- Realizar a resolução manuscrita com passo à passo até a resposta final. 2- N é um digito anti-plágio então considere igual a 1 e mostrar na resolução isto! 3- Realizar todos os cálculos completos. Problema 1: Dados do aluno: 𝑁 = 1 𝑃 = 1500 + 5 ∙ 1 = 1505𝑑𝑎𝑁 𝑞 = 15 + 1 = 16𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚 𝑙 = 460 + 3 ∙ 1 = 466𝑐𝑚 Rigidez da viga: 𝐴 = 10 ∙ 30 + 30 ∙ 8 = 540𝑐𝑚2 𝑦 = 15 ∙ 10 ∙ 30 + 34 ∙ 30 ∙ 8 540 = 23,444𝑐𝑚 𝐼 = 10 ∙ 303 12 + 10 ∙ 30 ∙ (15 − 23,444)2 + 30 ∙ 83 12 + 30 ∙ 8 ∙ (34 − 23,444)2 = 71913,333𝑐𝑚4 𝐺𝐴 = 5 ∙ 105 2 ∙ (1 + 0,2) ∙ 540 = 112,5 ∙ 106𝑑𝑎𝑁 𝐸𝐼 = 5 ∙ 105 ∙ 71913,333 = 35,9567 ∙ 109𝑑𝑎𝑁𝑐𝑚2 Reações de apoio: 𝑅𝐴 = 16 ∙ 466 ∙ 233 + 1505 ∙ (349,5 + 233 + 116,5) 466 = 5985,5𝑑𝑎𝑁(↑) 𝑅𝐵 = 16 ∙ 466 ∙ 233 + 1505 ∙ (349,5 + 233 + 116,5) 466 = 5985,5𝑑𝑎𝑁(↑) Diagrama de Esforço Cortante [daN]: Diagrama de Momento Fletor [daNcm]: 𝑀𝐶 = (5985,5 + 4121,5) ∙ 116,5 2 = 588732,72𝑑𝑎𝑁𝑐𝑚 𝑀𝐷 = 588732,72 + (2616,5 + 752,5) ∙ 116,5 2 = 784976,96𝑑𝑎𝑁𝑐𝑚 Equação dos esforços na viga: 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐵 0 ≤ 𝑥 ≤ 116,5𝑐𝑚 116,5𝑐𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 233𝑐𝑚 233𝑐𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 349,5𝑐𝑚 349,5𝑐𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 466𝑐𝑚 𝑉(𝑥) = −16𝑥 + 5985,5 𝑉(𝑥) = −16𝑥 + 4480,5 𝑉(𝑥) = −16𝑥 + 2975,5 𝑉(𝑥) = −16𝑥 + 1470,5 𝑀(𝑥) = −8𝑥2 + 5985,5𝑥 𝑀(𝑥) = −8𝑥2 + 4480,5𝑥 + 175332,46 𝑀(𝑥) = −8𝑥2 + 2975,5𝑥 + 525997,46 𝑀(𝑥) = −8𝑥2 + 1470,5𝑥 + 1051995 a) Rotação em A: 𝜃𝐴 = 𝐴𝐴→𝐷 𝐸𝐼 𝜃𝐴 = 1 35,9567 ∙ 109 ∙ [ ∫ (−8𝑥2 + 5985,5𝑥)𝑑𝑥 116,5 0 + ∫ (−8𝑥2 + 4480,5𝑥 + 175332,46)𝑑𝑥 233 116,5 ] 𝜃𝐴 = 1 35,9567 ∙ 109 ∙ [[− 8 3 𝑥3 + 11971 4 𝑥2] 0 116,5 + [− 8 3 𝑥3 + 8961 4 𝑥2 + 8766623 50 𝑥] 116,5 233 ] 𝜃𝐴 = 1 35,9567 ∙ 109 ∙ [3,64019 ∙ 107 + 8,21268 ∙ 107] = 0,003297𝑟𝑎𝑑 b) Deslocamento no meio do vão: 𝛿𝐷 = 𝐴𝐴→𝐷𝑥𝐴→𝐷 𝐸𝐼 𝛿𝐷 = 1 35,9567 ∙ 109 ∙ [ ∫ 𝑥(−8𝑥2 + 5985,5𝑥)𝑑𝑥 116,5 0 + ∫ 𝑥(−8𝑥2 + 4480,5𝑥 + 175332,46)𝑑𝑥 233 116,5 ] 𝛿𝐷 = 1 35,9567 ∙ 109 ∙ [[−2𝑥4 + 11971 6 𝑥3] 0 116,5 + [−2𝑥4 + 1493,5𝑥3 + 87666,23𝑥2]116,5 233 ] 𝛿𝐷 = 1 35,9567 ∙ 109 ∙ [2,78628 ∙ 109 + 1,45736 ∙ 1010] = 0,4828𝑐𝑚 c) Diagrama do esforço cortante, para uma carga unitária no centro do vão: 𝑣 = 1 2 = 0,50𝑑𝑎𝑁 Fator de forma: 𝑓𝑠 = 𝐴 𝐼2 ∫ 𝑄2 𝑡2 𝑑𝐴 = 540 71913,3332 ∙ [ ∫ (0,25 (302 4 − 𝑦2) 2 ∙ 10) 𝑑𝑦 6,556 −23,444 + ∫ (0,25 (102 4 − 𝑦2) 2 ∙ 30) 𝑑𝑦 16,556 6,556 ] 𝑓𝑠 = 540 71913,3332 ∙ [2,40629 ∙ 106 + 1,3625 ∙ 106] = 0,39353 Equação do deslocamento: 𝛿𝑉 = 𝑓𝑠 ∫ 𝑣𝑉 𝐺𝐴 𝑑𝑥 𝛿𝑉 = 0,39353 112,5 ∙ 106 ∙ [ ∫ 0,50(−16𝑥 + 5985,5)𝑑𝑥 116,5 0 + ∫ 0,50(−16𝑥 + 4480,5)𝑑𝑥 233 116,5 ] + + [ ∫ −0,50(−16𝑥 + 2975,5)𝑑𝑥 349,5 233 + ∫ −0,50(−16𝑥 + 1470,5)𝑑𝑥 466 349,5 ] 𝛿𝑉 = 0,39353 112,5 ∙ 106 ∙ [[−4𝑥2 + 11971 4 𝑥] 0 116,5 + [−4𝑥2 + 8961 4 𝑥] 116,5 233 + [4𝑥2 − 5951 4 𝑥] 233 349,5 + [4𝑥2 − 2941 4 𝑥] 349,5 466 ] 𝛿𝑉 = 0,39353 112,5 ∙ 106 ∙ [2,94366 ∙ 105 + 98122,125 + 98122,125 + 2,94366 ∙ 105] = 0,00274𝑐𝑚 Problema 2: Dados do aluno: 𝑁 = 1 𝐿 = 350 + 5 ∙ 1 = 355𝑐𝑚 a) Carga crítica de flambagem centrada: Em z: 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2𝐸𝐼𝑧 (𝑘𝑧𝐿)2 = 𝜋2 ∙ 2,1 ∙ 106 ∙ 920 (2,0 ∙ 355)2 = 37826𝑑𝑎𝑁 Em y: 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2𝐸𝐼𝑦 (𝑘𝑦𝐿) 2 = 𝜋2 ∙ 2,1 ∙ 106 ∙ 75,8 (0,7 ∙ 355)2 = 25441𝑑𝑎𝑁 Resposta final: 𝑃𝑐𝑟 = 25441𝑑𝑎𝑁 b) Carga crítica de flambagem excêntrica: Dados da geometria: 𝑐 = 15,2 2 = 7,6𝑐𝑚 𝑟 = √75,80 23,62 = 1,791𝑐𝑚 Tensão máxima excêntrica: 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑃𝑐𝑟 𝐴 [1 + 𝑒𝑐 𝑟2 sec (𝑘𝐿 2𝑟 √𝑃𝑐𝑟 𝐸𝐴)] ≤ 𝑓𝑦 𝑃𝑐𝑟 23,62 ∙ [1 + 6,00 ∙ 7,6 1,7912 ∙ sec (2,0 ∙ 355 2 ∙ 1,791 ∙ √ 𝑃𝑐𝑟 2,1 ∙ 106 ∙ 23,62)] ≤ 2500 0,042337𝑃𝑐𝑟 ∙ [1 + 14,2159 ∙ sec(0,028137 ∙ √𝑃𝑐𝑟)] ≤ 2500 Como é uma equação sem solução analítica, somente um método numérico é possível solucionar para a carga crítica, e fazendo isso, tem-se: Pcr (kN) fy=2500daN/cm² 1000 998,3 2000 4000,3 1700 2634,8 1600 2303,3 1650 2463,2 1660 2496,5 1661 2499,9 Com isso, a resposta final é: 𝑃𝑐𝑟 = 1661𝑑𝑎𝑁