Slide - Aula 2 - Flambagem - 2024-1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIAS CIVIL E MECÂNICA GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem PROFESSOR: ÍGOR JOSÉ MENDES LEMES deflexão lateral que ocorre em elementos delgados submetidos a cargas de compressão suficientemente altas (P > Pcr, em que P é a carga de compressão solicitante e Pcr é a máxima carga que um elemento resiste sem sofrer flambagem) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem Flambagem Um elemento estrutural não deve apenas satisfazer requisitos específicos de resistência e deflexão, mas também, ser estável Muitas vezes a flambagem de um elemento pode levar a uma falha repentina e significativa de uma estrutura ou mecanismo GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem Falha de uma plataforma offshore causada pelas forças horizontais de vento provocadas por um furacão Flambagem de um pilar em concreto armado Fonte: https://br.pinterest.com/pin/655907133225884230/ Fonte: Hibbeler (2018) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem Falha de um braço de um guindaste por flambagem de um elemento Fonte: Hibbeler (2018) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem CONCEITUAÇÃO DO PROBLEMA Considerando que um elemento submetido a esforços de compressão e apresentando deflexão lateral, tem-se que a forma deformada do elemento é condizente com um problema de flexão. Assim, pode-se usar a equação da linha elástica para descrever o problema. 2 2 EI d v dx M Equação da linha elástica: O objetivo aqui é correlacionar M e P, e com a solução da equação diferencial, determinar a máxima carga P que pode ser aplicada ao elemento sem que o mesmo sofra flambagem GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTO IDEAL APOIADO POR PINOS Iniciando o estudo usando um elemento com apoios rotulados na base e no topo. Considerando uma deformada qualquer mostrada na figura, e fazendo uma secção a uma distância x do apoio superior, tem-se o DCL ilustrado à direita. Fazendo o equilíbrio de momentos fletores no ponto A: 2 2 2 2 0 reorganizando d v d v P EI Pv v dx dx EI               0 0 MA Pv M        A M Pv  Substituindo o valor de M na Eq. da linha elástica: DCL GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTO IDEAL APOIADO POR PINOS Ao se obter a equação diferencial de segunda ordem ordinária homogênea, tem-se a solução geral:  2 2 2 0 d v P v dx EI              2 1 2 " 0 v v v C sen x C cos x         2 P P EI EI      Assim: 1 2 P P v C sen x C cos x EI EI                   A equação que descreve a forma deformada do elemento é: GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTO IDEAL APOIADO POR PINOS Já que o elemento analisado tem apoios rotulados nas duas extremidades (sem deslocamentos laterais, v = 0) e aplicando as condições de contorno no topo (x = 0) e base (x = L), tem-se: 1.) Apoio superior 2.) Apoio inferior 1 2 2 0 1 0; 0 0 0 0 0 P P x v C sen C cos C EI EI                                  1 ; 0 0 P x L v C sen L EI             GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTO IDEAL APOIADO POR PINOS Note que, ou C1 é igual a zero (solução trivial), ou a função seno é zero. Fugindo da solução trivial, tem-se: 0 P sen x EI          P L n EI   2 2 2 1,2,3,... n EI P n L    2 2 cr EI P L  Para que a função seja zero, o argumento deve ser: Isolando o valor de P: O menor valor de P (ou seja Pcr) é obtido com n = 1: Pcr = carga crítica de flambagem E = módulo de elasticidade longitudinal I = segundo momento de área da seção transversal L = comprimento do elemento GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTO IDEAL APOIADO POR PINOS Sabendo que o raio de giração r é definido como r2 = I/A, ou I = Ar ², substituindo o momento de inércia na equação de Pcr, tem-se:   2 2 / cr E L r      2 2 2 2 2 2 / reorganizando cr cr E Ar P E P L A L r          75 150 225 300 250 186 (MPa) Aço estrutural e = 250 MPa Liga de alumínio e = 186 MPa cr = tensão crítica de flambagem E = módulo de elasticidade longitudinal L = comprimento do elemento r = raio de giração da seção transversal L/r = índice de esbeltez GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem EXEMPLO 1 O elemento W200 x 46 (A = 5890 mm²; Ix = 45.5x106 mm4; Iy = 15.3x106 mm4) de aço A-992 (e = 345 MPa; E = 200 GPa) deve ser usado como um pilar rotulado nas duas extremidades (nos dois eixos). Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou que o aço escoe. Para este exemplo, usar FS = 1.1. 3 m GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem EXEMPLO 2 Um pilar retangular de madeira de 3.6 m tem as dimensões mostradas na figura. Determine a carga crítica de flambagem considerando as duas rotuladas nos dois eixos. Considere E = 12 GPa e despreze a avaliação da tensão crítica. 3.6 m 100 mm 50 mm GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem Agora, para uma condição engastada na base e livre no topo, tem-se a deformada qualquer mostrada na figura, e fazendo uma secção a uma distância x do apoio superior, tem-se o DCL ilustrado à direita. Cabe ressaltar que agora a carga P no topo da coluna pode se deslocar lateralmente Fazendo o equilíbrio de momentos fletores no ponto A: ELEMENTO ENGASTADO NA BASE E LIVRE NO TOPO   0 0 MA P v M            M P v     Repetindo o processo e substituindo o valor de M na Eq. da linha elástica:   2 2 EI d v P v dx    2 2 d v P Pv dx EI EI     GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTO ENGASTADO NA BASE E LIVRE NO TOPO Desenvolvendo a equação, chega-se a:   2 2 2 2 2 2 2 2 d v P P d v v v dx EI EI dx                        1 2 P P v C sen x C cos x EI EI                     A solução da EDO não homogênea é: Note que três condições de bordo são conhecidas: 0; 0 x v   0; ' 0 x v   ; x L v  GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTO ENGASTADO NA BASE E LIVRE NO TOPO Para a primeira condição de contorno: 0; 0 x v   1 2 1 0 0 0 0 dv P P P P C cos C sen dx EI EI EI EI                              1 2 2 0 1 0 0 0 P P v C sen C cos C EI EI                                   Para a segunda condição de contorno: 0; ' 0 x v   GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTO ENGASTADO NA BASE E LIVRE NO TOPO Assim, tem-se: 1 1 0 0 P C C EI    Substituindo C1 e C2 na equação de v, chega-se a:   0 P P v sen x cos x EI EI                        1 P v cos x EI                    GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem Com a terceira condição de bordo: ; 1 P x L v cos x EI                         cos 0 1,3,5,.. 2 P P n L L n EI EI              0 P P cos x cos x EI EI                         Como  é sabidamente diferente de 0, tem-se: ELEMENTO ENGASTADO NA BASE E LIVRE NO TOPO GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem Isolando P: 2 2 2 2 1,3,5,... 2 n EI P n L    2 2 4 cr EI P L  Com isso, a primeira carga de flambagem é definida com n = 1: ELEMENTO ENGASTADO NA BASE E LIVRE NO TOPO Note que a única diferença entre a carga crítica de flambagem aqui obtida com a determinada para a situação da coluna biapoiada é a constante 4 no denominador. Ou seja, ao mudar a condição de contorno, muda-se tal constante GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM Assim, pode-se reescrever Pcr como: Eventuais outras combinações de condições de contorno podem ser deduzidas tal como feito para as condições aqui apresentadas (coluna biapoiada e engastada-livre)   2 2 cr EI P kL  Em que k é o coeficiente de flambagem que depende das condições de contorno tal como ilustrado ao lado k 1 k 0.5 k 0.7 2 k  Biapoiada Biengastada Engastada- apoiada Engastada- livre GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem EXEMPLO 3 O elemento de alumínio está apoiado em seu topo por cabos de modo a impedir que o topo se movimente ao longo do eixo x. Considerando que ele está engastado na base, determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada. Use um fator de segurança para flambagem FS = 3. Considere E = 70 GPa, e = 215 MPa, A = 7.5x10-3 m², Ix = 61.3x10-6 m4, Iy = 23.2x10-6 m4. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem EXEMPLO 4 Um elemento W150x24 feito de aço tem 8 m de comprimento e as extremidades engastadas. Sua capacidade de carga é aumentada ao fixa-la em torno do eixo y-y usando escoras que são consideradas como acopladas por pino a meia altura. Determine a carga que o elemento pode suportar sem que ocorra flambagem ou que o material não ultrapasse a tensão de escoamento. Considere: E = 200 GPa, e = 410 MPa, A = 3060 mm², Ix = 13.4x106 mm4, Iy = 1.83x106 mm4. 4 m 4 m Assim, além da carga P, um momento fletor atuará em conjunto e influenciará na carga crítica de flambagem GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS Na prática, o elemento com carga perfeitamente centrada apresenta uma condição idealizada. Ou seja, sempre haverá uma excentricidade (mesmo que pequena) entre o ponto de aplicação da força e o eixo longitudinal do elemento. Excentricidade momento fletor → 2 2 EI d v dx M Equação da linha elástica: Note que agora, o valor de M a ser aplicado na equação da linha elástica, será função de P e M’ Consideraremos um elemento biapoiado GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS Analisando o DCL, ilustrado ao lado, pode-se escrever: Fazendo o equilíbrio de momentos fletores no ponto A: 0 ' 0 MA Pv M M         A M ' Pe    0 Pv Pe M M P v e        Como: Tem-se: GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS Substituindo M na equação da linha elástica: A 2 P P EI EI      Tal como feito anteriormente, fazendo:   2 2 2 2 d v d v P P EI P v e v e dx dx EI EI      2 2 d v P P v e dx EI EI   2 2 2 2 d v v e dx     Assim, chega-se a: GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS Para esta equação, tem-se a solução: A     1 2 v C sen x C cos x e      Com as condições de contorno, determina-se C1 e C2. Para a primeira condição de contorno: 0; 0 x v   1 2 2 0 1 0 0 0 P P v C sen C cos e C e EI EI                                 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS A Para a segunda condição de contorno: ; 0 x L v  1 2 0 P P v C sen L C cos L e EI EI                     1 P P C sen L e ecos L EI EI                   e 1 1 P e cos L EI C P sen L EI                        Identidades trigonométricas     2 1 2 2 cos x sen x         2 2 2 sen x sen x cos x  Desenvolvendo: GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS A O coeficiente C1 é finalmente definido por: 2 1 2 2 2 2 2 P L e sen EI C P L P L sen cos EI EI                            1 1 2 2 2 P L e sen EI P L C C e tg EI P L cos EI                                GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS A A função v, com os coeficientes determinados é:     2 P L v e tg sen x ecos x e EI                  1 2 P L v e tg sen x cos x EI                      A função v descreve a deformada do elemento em qualquer ponto x. Para um elemento biapoiado, o deslocamento máximo ocorre em x = L/2. 1 2 2 2 2 máx L P L P L P L v v x e tg sen cos EI EI EI                                            GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS A Substituindo a tg e desenvolvendo a equação: 2 1 2 2 2 máx P L sen EI P L P L v e sen cos EI EI P L cos EI                                              2 2 1 2 2 máx P L sen EI P L v e cos EI P L cos EI                                      GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS 2 2 2 2 1 2 máx P L P L sen cos EI EI v e P L cos EI                                    Identidades trigonométricas     2 2 1 sen x cos x   1 2 máx P L v e sec EI                       1 sec x cos x  Elemento ideal (pequenas deflexões) Quando e 0 → Com: 2 2 2 2 cr cr P L EI P EI  L     1 2 máx cr P v e sec P                    GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS Sendo o momento máximo, em módulo, no centro do elemento:   máx máx M P e v   Sendo vmáx conhecido: 1 2 máx P L v e sec EI                   1 2 máx P L M P e e sec EI                              2 2 máx máx P L P L M P e e sec e M Pe sec EI EI                                        Tensão axial Tensão de flexão Tensão resultante GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS E sabendo a tensão normal combinada: máx máx c M P y A I    Relembrando: I = r²A 2 2 2 c máx Pe y P P L sec A Ar EAr            2 1 2 c máx e y P P L sec A r EA r                    Tensão axial Tensão de flexão Tensão resultante Equação de Euler 2 0 eyc r  cy Aço estrutural A-36 2 1 2 c máx e y P P KL sec A r EA r                    Generalizando as condições de apoio: GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem EXEMPLO 5 A coluna de aço W200 x 59 (A = 7580 mm²; Ix = 61.2x106 mm4; Iy = 20.4x106 mm4 com altura de 210 mm) mostrada na figura está engastada na base e escorada no topo de modo que não pode deslocar-se, mas está livre para girar em torno do eixo y-y . Além disso, ela pode oscilar para o lado no plano y-z. Determine a carga excêntrica máxima que a coluna pode suportar antes de começar a flambar ou antes de o aço sofrer escoamento. Considere E = 200 GPa e adm = 345 MPa. 200 mm 4 m GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem EXEMPLO 6 Calcular a carga crítica de flambagem para uma coluna tubular de tal maneira que a deformação não exceda 1 cm. A coluna apresenta diâmetro externo 15 cm, espessura da parede do tubo com 0.5 cm e comprimento de 600 cm. O elemento é biengastado (topo e base) construído em alumínio (E = 700000 daN/cm²; fy = 1700 daN/cm²; CS = 1) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 2: Flambagem REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS UTILIZADAS NESTE CONTEÚDO Nash, W.A.; Potter, M.C. Resistência dos materiais. 5. ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. Hibbeler, R.C. Resistência dos materiais. 10 ed. Pearson, 2018. Beer, F.P.; Johnston, E.R.; Dewolf, J.T. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2008. Ferreira, L.E.T. Instabilidade elástica: flambagem de elementos lineares de barra submetidos à compressão. Notas de aula, 2022.