Recuperação P1 - Fenômenos Mecânicos 2022-1

O GEN | Grupo Editorial Nacional, a maior plataforma editorial no segmento CTP (científico, técnico e profissional), publica nas áreas de saúde, ciências exatas, jurídicas, sociais aplicadas, humanas e de concursos, além de prover serviços direcionados a educação, capacitação médica continuada e preparação para concursos. Conheça nosso catálogo, composto por mais de cinco mil obras e três mil e-books, em www.grupogen.com.br. As editoras que integram o GEN, respeitadas no mercado editorial, construíram catálogos inigualáveis, com obras decisivas na formação acadêmica e no aperfeiçoamento de várias gerações de profissionais e de estudantes de Administração, Direito, Engenharia, Enfermagem, Fisioterapia, Medicina, Odontologia, Educação Física e muitas outras ciências, tendo se tornado sinônimo de seriedade e respeito. Nossa missão é prover o melhor conteúdo científico e distribuí-lo de maneira flexível e conveniente, a preços justos, gerando benefícios e servindo a autores, docentes, livreiros, funcionários, colaboradores e acionistas. Nosso comportamento ético incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental são reforçados pela natureza educacional de nossa atividade, sem comprometer o crescimento contínuo e a rentabilidade do grupo. VOLUME UM Halliday & Resnick FUNDAMENTOS DE FÍSICA DÉCIMA EDIÇÃO Mecânica JEARL WALKER CLEVELAND STATE UNIVERSITY Tradução e Revisão Técnica Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D. Professor Emérito do Instituto Militar de Engenharia - IME LTC FUNDAMENTOS DE FÍSICA DÉCIMA EDIÇÃO Mecânica GEN | Informação Online genio GEN-IO (GEN | Informação Online) é o repositório de materiais suplementares e de serviços relacionados com livros publicados pelo GEN | Grupo Editorial Nacional, maior conglomerado brasileiro de editoras do ramo científico-técnico-profissional, composto por Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica, Forense, Método, Atlas, LTC, E.P.U. e Forense Universitária. Os materiais suplementares ficam disponíveis para acesso durante a vigência das edições atuais dos livros a que eles correspondem. Os autores e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro, dispondo-se a possíveis acertos caso, inadvertidamente, a identificação de algum deles tenha sido omitida. Não é responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação. Apesar dos melhores esforços dos autores, do tradutor, do editor e dos revisores, é inevitável que surjam erros no texto. Assim, são bem- vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora pelo e-mail ltc@grupogen.com.br. Traduzido de FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME 1, TENTH EDITION Copyright © 2014, 2011, 2008, 2005 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. This translation published under license with the original publisher John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-1-118-23376-4 (Volume 1) Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright © 2016 by LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na internet ou outros), sem permissão expressa da editora. Travessa do Ouvidor, 11 Rio de Janeiro, RJ — CEP 20040-040 Tels.: 21-3543-0770 / 11-5080-0770 Fax: 21-3543-0896 ltc@grupogen.com.br www.ltceditora.com.br Capa: MarCom | GEN Produção digital: Geethik CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ H184f 10. ed. v. 1 Halliday, David, 1916-2010 Fundamentos de física, volume 1 : mecânica / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker; tradução Ronaldo Sérgio de Biasi. - 10. ed. - Rio de Janeiro : LTC, 2016. il. ; 28 cm. Tradução de: Fundamentals of physics, 10th ed. Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 978-85-216-3204-7. Mecânica. 2. Física. I. Resnick, Robert, 1923-2014. II. Walker, Jearl, 1945-. III. Biasi, Ronaldo Sérgio de. IV. Título 15-27760 CDD: 530 CDU: 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 SUMÁRIO GERAL VOLUME 1 Medição Movimento Retilíneo Vetores Movimento em Duas e Três Dimensões Força e Movimento – I Força e Movimento – II Energia Cinética e Trabalho Energia Potencial e Conservação da Energia Centro de Massa e Momento Linear Rotação Rolagem, Torque e Momento Angular VOLUME 2 Equilíbrio e Elasticidade Gravitação Fluidos Oscilações Ondas – I Ondas – II Temperatura, Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica A Teoria Cinética dos Gases Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica VOLUME 3 A Lei de Coulomb 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Campos Elétricos Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e Resistência Circuitos Campos Magnéticos Campos Magnéticos Produzidos por Correntes Indução e Indutância Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada Equações de Maxwell; Magnetismo da Matéria VOLUME 4 Ondas Eletromagnéticas Imagens Interferência Difração Relatividade Fótons e Ondas de Matéria Mais Ondas de Matéria Tudo sobre os Átomos Condução de Eletricidade nos Sólidos Física Nuclear Energia Nuclear Quarks, Léptons e o Big Bang 1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 2-4 SUMÁRIO 1 Medição MEDINDO GRANDEZAS COMO O COMPRIMENTO O que É Física? Medindo Grandezas O Sistema Internacional de Unidades Mudança de Unidades Comprimento Dígitos Significativos e Casas Decimais TEMPO O Tempo MASSA Massa REVISÃO E RESUMO PROBLEMAS 2 Movimento Retilíneo POSIÇÃO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE MÉDIA O que É Física? Movimento Posição e Deslocamento Média e Velocidade Escalar Média VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Instantânea ACELERAÇÃO Aceleração ACELERAÇÃO CONSTANTE Aceleração Constante: Um Caso Especial Mais sobre Aceleração Constante* 2-5 2-6 3-1 3-2 3-3 4-1 4-2 4-3 4-4 ACELERAÇÃO EM QUEDA LIVRE Aceleração em Queda Livre INTEGRAÇÃO GRÁFICA NA ANÁLISE DE MOVIMENTOS Integração Gráfica na Análise de Movimentos REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 3 Vetores VETORES E SUAS COMPONENTES O que É Física? Vetores e Escalares Soma Geométrica de Vetores Componentes de Vetores VETORES UNITÁRIOS; SOMA DE VETORES A PARTIR DAS COMPONENTES Vetores Unitários Soma de Vetores a Partir das Componentes Vetores e as Leis da Física MULTIPLICAÇÃO DE VETORES Multiplicação de Vetores REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 4 Movimento em Duas e Três Dimensões POSIÇÃO E DESLOCAMENTO O que É Física? Posição e Deslocamento VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA Velocidade Média e Velocidade Instantânea ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA Aceleração Média e Aceleração Instantânea MOVIMENTO BALÍSTICO Movimento Balístico 4-5 4-6 4-7 5-1 5-2 5-3 6-1 6-2 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Movimento Circular Uniforme MOVIMENTO RELATIVO EM UMA DIMENSÃO Movimento Relativo em Uma Dimensão MOVIMENTO RELATIVO EM DUAS DIMENSÕES Movimento Relativo em Duas Dimensões REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 5 Força e Movimento – I A PRIMEIRA E A SEGUNDA LEI DE NEWTON O que É Física? Mecânica Newtoniana A Primeira Lei de Newton Força Massa A Segunda Lei de Newton ALGUMAS FORÇAS ESPECIAIS Algumas Forças Especiais APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON A Terceira Lei de Newton Aplicações das Leis de Newton REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 6 Força e Movimento – II ATRITO O que É Física? Atrito Propriedades do Atrito FORÇA DE ARRASTO E VELOCIDADE TERMINAL Força de Arrasto e Velocidade Terminal 6-3 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 8-1 8-2 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Movimento Circular Uniforme REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 7 Energia Cinética e Trabalho ENERGIA CINÉTICA O que É Física? O que É Energia? Energia Cinética TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA Trabalho Trabalho e Energia Cinética TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA GRAVITACIONAL Trabalho Realizado pela Força Gravitacional TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA ELÁSTICA Trabalho Realizado por uma Força Elástica TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL GENÉRICA Trabalho Realizado por uma Força Variável Genérica POTÊNCIA Potência REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 8 Energia Potencial e Conservação da Energia ENERGIA POTENCIAL O que É Física? Trabalho e Energia Potencial Independência da Trajetória de Forças Conservativas Cálculo da Energia Potencial CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Conservação da Energia Mecânica 8-3 8-4 8-5 9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7 9-8 9-9 INTERPRETAÇÃO DE UMA CURVA DE ENERGIA POTENCIAL Interpretação de uma Curva de Energia Potencial TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA EXTERNA SOBRE UM SISTEMA Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Conservação da Energia REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 9 Centro de Massa e Momento Linear CENTRO DE MASSA O que É Física? O Centro de Massa A SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA UM SISTEMA DE PARTÍCULAS A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas MOMENTO LINEAR Momento Linear O Momento Linear de um Sistema de Partículas COLISÃO E IMPULSO Colisão e Impulso CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR Conservação do Momento Linear MOMENTO E ENERGIA CINÉTICA EM COLISÕES Momento e Energia Cinética em Colisões Colisões Inelásticas em Uma Dimensão COLISÕES ELÁSTICAS EM UMA DIMENSÃO Colisões Elásticas em Uma Dimensão COLISÕES EM DUAS DIMENSÕES Colisões em Duas Dimensões SISTEMAS DE MASSA VARIÁVEL: UM FOGUETE Sistemas de Massa Variável: Um Foguete 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 11-1 11-2 REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 10 Rotação AS VARIÁVEIS DA ROTAÇÃO O que É Física? As Variáveis da Rotação As Grandezas Angulares São Vetores? ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE Rotação com Aceleração Angular Constante RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Energia Cinética de Rotação CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA Cálculo do Momento de Inércia TORQUE Torque A SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTAÇÕES A Segunda Lei de Newton para Rotações TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Trabalho e Energia Cinética de Rotação REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 11 Rolagem, Torque e Momento Angular ROLAGEM COMO UMA COMBINAÇÃO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO O que É Física? Rolagem como uma Combinação de Translação e Rotação AS FORÇAS E A ENERGIA CINÉTICA DA ROLAGEM A Energia Cinética da Rolagem As Forças da Rolagem 11-3 11-4 11-5 11-6 11-7 11-8 11-9 A B C D E F G O IOIÔ O Ioiô REVISÃO DO TORQUE Revisão do Torque MOMENTO ANGULAR Momento Angular A SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTAÇÕES A Segunda Lei de Newton para Rotações MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO Momento Angular de um Sistema de Partículas Momento Angular de um Corpo Rígido Girando em Torno de um Eixo Fixo CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR Conservação do Momento Angular PRECESSÃO DE UM GIROSCÓPIO Precessão de um Giroscópio REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS APÊNDICES O Sistema Internacional de Unidades (SI) Algumas Constantes Fundamentais da Física Alguns Dados Astronômicos Fatores de Conversão Fórmulas Matemáticas Propriedades dos Elementos Tabela Periódica dos Elementos RESPOSTAS dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares PREFÁCIO POR QUE ESCREVI ESTE LIVRO Diversão com um grande desafio. É assim que venho encarando a física desde o dia em que Sharon, uma das alunas do curso que eu estava ministrando como aluno de doutorado, me perguntou de repente: — O que isso tem a ver com minha vida? Respondi prontamente: — Sharon, isto é física! Tem tudo a ver com a sua vida! A moça me pediu um exemplo. Pensei muito, mas não consegui encontrar nenhum. Nessa noite, criei O Circo Voador da Física para Sharon, mas também para mim, porque percebi que o problema de Sharon também era meu. Eu tinha passado seis anos estudando em dezenas de livros de física escritos com a melhor das intenções, mas alguma coisa estava faltando. A física é o assunto mais interessante do mundo porque descreve o modo como o mundo funciona, mas não havia nos livros nenhuma ligação com o mundo real. A diversão estava faltando. Procurei incluir muita física do mundo real neste livro, ligando-o à nova edição de O Circo Voador da Física (LTC, 2012). Boa parte dos assuntos vem das minhas aulas, onde posso julgar, pelas expressões e comentários dos alunos, quais são os assuntos e as apresentações que funcionam. As anotações que fiz a respeito de meus sucessos e fracassos ajudaram a estabelecer as bases para este livro. Minha mensagem aqui é a mesma que dei para todos os estudantes que encontrei desde o dia em que Sharon fez aquele comentário: — Sim, você pode usar os conceitos básicos da física para chegar a conclusões válidas a respeito do mundo real, e é nesse entendimento do mundo real que está a diversão. Tive muitos objetivos ao escrever este livro, mas o principal foi proporcionar aos professores um instrumento por meio do qual eles possam ensinar os alunos a estudar assuntos científicos, identificar conceitos fundamentais, pensar a respeito de questões científicas e resolver problemas quantitativos. Esse processo não é fácil, nem para os alunos nem para os professores. Na verdade, o curso associado a este livro pode ser um dos mais difíceis do currículo. Entretanto, pode ser também um dos mais interessantes, pois revela os mecanismos fundamentais do mundo, responsáveis por todas as aplicações científicas e de engenharia. Muitos usuários da nona edição (professores e alunos) enviaram comentários e sugestões para aperfeiçoar o livro. Esses melhoramentos foram incorporados à exposição e aos problemas desta edição. A editora John Wiley & Sons e eu encaramos este livro como um projeto permanente e gostaríamos de contar com uma maior participação dos leitores. Sinta-se à vontade para enviar sugestões, correções e comentários positivos ou negativos para John Wiley & Sons1 ou Jearl Walker (endereço postal: Physics Department, Cleveland State University, Cleveland, OH 44115 USA; endereço do meu site: www.flyingcircusofphysics.com). Talvez não seja possível responder a todas as sugestões, mas lemos e consideramos cada uma delas. O QUE HÁ DE NOVO NESTA EDIÇÃO? Módulos e Objetivos do Aprendizado “— O que eu deveria ter aprendido nesta seção?” Os alunos vêm me fazendo essa pergunta há décadas, independentemente de serem bons ou maus alunos. O problema é que mesmo os alunos mais atentos podem não ter certeza de que assimilaram todos os pontos importantes de uma seção do livro. Eu me sentia da mesma forma quando estava usando a primeira edição de Halliday e Resnick no primeiro ano da faculdade. Nesta edição, para minimizar o problema, dividi os capítulos em módulos conceituais, dedicados a temas básicos, e comecei cada módulo com uma lista de objetivos do aprendizado desse módulo. A lista é uma declaração explícita dos conhecimentos que devem ser adquiridos através da leitura do módulo e é seguida por um breve resumo das ideias-chave que também devem ser assimiladas. Para você ter uma noção de como o sistema funciona, observe o primeiro módulo do Capítulo 16, em que o estudante se vê diante de um grande número de conceitos e definições. Em vez de deixar por conta do aluno a tarefa de identificar e dissecar essas ideias, tomei a iniciativa de fornecer uma lista que funciona como a lista de verificação consultada pelos pilotos de avião antes de cada decolagem. Capítulos Reformulados Como meus alunos continuavam a ter dificuldades em alguns capítulos importantes e em certos tópicos de outros capítulos, reescrevi boa parte do texto. Assim, por exemplo, introduzi mudanças profundas nos capítulos a respeito da lei de Gauss e do potencial elétrico, que a maioria dos estudantes considerava de difícil compreensão. As apresentações agora são mais enxutas e têm uma ligação mais direta com as ideias-chave. Nos capítulos que tratam da Mecânica Quântica, expandi o estudo da equação de Schrödinger para incluir a reflexão de ondas de matéria por um degrau de potencial. Atendendo a sugestões de vários professores, separei a discussão do átomo de Bohr da solução de Schrödinger do átomo de hidrogênio para que o professor possa omitir o relato histórico do trabalho de Bohr, se assim desejar, sem prejudicar a compreensão do assunto. Incluí também um novo módulo a respeito da radiação de corpo negro de Planck. Novos Exemplos, Perguntas e Problemas Dezesseis novos exemplos foram introduzidos nos capítulos para facilitar a compreensão de alguns tópicos considerados difíceis pelos alunos. Além disso, cerca de 250 problemas e 50 perguntas foram acrescentados às listas de exercícios do final dos capítulos. Alguns dos problemas foram recuperados de edições anteriores do livro, a pedido de vários professores. _______________ 1Sugestões, correções e comentários positivos ou negativos em relação à edição em língua portuguesa publicada pela LTC Editora devem ser enviados para ltc@grupogen.com.br. AGRADECIMENTOS Muitas pessoas contribuíram para este livro. Sen-Ben Liao do Lawrence Livermore National Laboratory, James Whitenton, da Southern Polytechnic State University, e Jerry Shi, do Pasadena City College, foram responsáveis pela tarefa hercúlea de resolver todos os problemas do livro. Na John Wiley, o projeto deste livro recebeu o apoio de Stuart Johnson, Geraldine Osnato e Aly Rentrop, os editores que o supervisionaram do início ao fim. Agradecemos a Elizabeth Swain, a editora de produção, por juntar as peças durante o complexo processo de produção. Agradecemos também a Maddy Lesure pela diagramação do texto e pela direção de arte da capa; a Lee Goldstein, pela diagramação da capa; a Helen Walden, pelo copidesque; e a Lilian Brady, pela revisão. Jennifer Atkins foi brilhante na busca de fotografias inusitadas e interessantes. Tanto a editora, John Wiley & Sons, Inc., como Jearl Walker gostariam de agradecer às seguintes pessoas por seus comentários e ideias a respeito das recentes edições: Jonathan Abramson, Portland State University; Omar Adawi, Parkland College; Edward Adelson, The Ohio State University; Steven R. Baker, Naval Postgraduate School; George Caplan, Wellesley College; Richard Kass, The Ohio State University; M.R. Khoshbin-e-Khoshnazar, Research Institution for Curriculum Development & Educational Innovations (Teerã); Craig Kletzing, University of Iowa; Stuart Loucks, American River College; Laurence Lurio, Northern Illinois University; Ponn Maheswaranathan, Winthrop University; Joe McCullough, Cabrillo College; Carl E. Mungan, U. S. Naval Academy; Don N. Page, University of Alberta; Elie Riachi, Fort Scott Community College; Andrew G. Rinzler, University of Florida; Dubravka Rupnik, Louisiana State University; Robert Schabinger, Rutgers University; Ruth Schwartz, Milwaukee School of Engineering; Carol Strong, University of Alabama at Huntsville; Nora Thornber, Raritan Valley Community College; Frank Wang, LaGuardia Community College; Graham W. Wilson, University of Kansas; Roland Winkler, Northern Illinois University; William Zacharias, Cleveland State University; Ulrich Zurcher, Cleveland State University. Finalmente, nossos revisores externos realizaram um trabalho excepcional e expressamos a cada um deles nossos agradecimentos. Maris A. Abolins, Michigan State University Edward Adelson, Ohio State University Nural Akchurin, Texas Tech Yildirim Aktas, University of North Carolina-Charlotte Barbara Andereck, Ohio Wesleyan University Tetyana Antimirova, Ryerson University Mark Arnett Kirkwood Community College Arun Bansil, Northeastern University Richard Barber, Santa Clara University Neil Basecu, Westchester Community College Anand Batra, Howard University Kenneth Bolland, The Ohio State University Richard Bone, Florida International University Michael E. Browne, University of Idaho Timothy J. Burns, Leeward Community College Joseph Buschi, Manhattan College Philip A. Casabella, Rensselaer Polytechnic Institute Randall Caton, Christopher Newport College Roger Clapp, University of South Florida W. R. Conkie, Queen’s University Renate Crawford, University of Massachusetts-Dartmouth Mike Crivello, San Diego State University Robert N. Davie, Jr., St. Petersburg Junior College Cheryl K. Dellai, Glendale Community College Eric R. Dietz, California State University at Chico N. John DiNardo, Drexel University Eugene Dunnam, University of Florida Robert Endorf, University of Cincinnati F. Paul Esposito, University of Cincinnati Jerry Finkelstein, San Jose State University Robert H. Good, California State University-Hayward Michael Gorman, University of Houston Benjamin Grinstein, University of California, San Diego John B. Gruber, San Jose State University Ann Hanks, American River College Randy Harris, University of California-Davis Samuel Harris, Purdue University Harold B. Hart, Western Illinois University Rebecca Hartzler, Seattle Central Community College John Hubisz, North Carolina State University Joey Huston, Michigan State University David Ingram, Ohio University Shawn Jackson, University of Tulsa Hector Jimenez, University of Puerto Rico Sudhakar B. Joshi, York University Leonard M. Kahn, University of Rhode Island Sudipa Kirtley, Rose-Hulman Institute Leonard Kleinman, University of Texas at Austin Craig Kletzing, University of Iowa Peter F. Koehler, University of Pittsburgh Arthur Z. Kovacs, Rochester Institute of Technology Kenneth Krane, Oregon State University Hadley Lawler, Vanderbilt University Priscilla Laws, Dickinson College Edbertho Leal, Polytechnic University of Puerto Rico Vern Lindberg, Rochester Institute of Technology Peter Loly, University of Manitoba James MacLaren, Tulane University Andreas Mandelis, University of Toronto Robert R. Marchini, Memphis State University Andrea Markelz, University at Buffalo, SUNY Paul Marquard, Caspar College David Marx, Illinois State University Dan Mazilu, Washington and Lee University James H. McGuire, Tulane University David M. McKinstry, Eastern Washington University Jordon Morelli, Queen’s University Eugene Mosca, United States Naval Academy Eric R. Murray, Georgia Institute of Technology, School of Physics James Napolitano, Rensselaer Polytechnic Institute Blaine Norum, University of Virginia Michael O’Shea, Kansas State University Patrick Papin, San Diego State University Kiumars Parvin, San Jose State University Robert Pelcovits, Brown University Oren P. Quist, South Dakota State University Joe Redish, University of Maryland Timothy M. Ritter, University of North Carolina at Pembroke Dan Styer, Oberlin College Frank Wang, LaGuardia Community College Robert Webb, Texas A&M University Suzanne Willis, Northern Illinois University Shannon Willoughby, Montana State University ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares: Aulas em PowerPoint (restrito a docentes); Ensaios de Jearl Walker em pdf (acesso livre); Ilustrações da obra em formato de apresentação (restrito a docentes); Manuais das Calculadoras Gráficas TI-86 & TI-89 em pdf (acesso livre); Respostas das perguntas em pdf (restrito a docentes); Respostas dos problemas em pdf (restrito a docentes); Simulações (acesso livre); Soluções dos Problemas (Manual) em pdf (restrito a docentes); Testes Conceituais (restrito a docentes); Testes em Múltipla Escolha (restrito a docentes); Testes em PowerPoint (restrito a docentes). O acesso ao material suplementar é gratuito, bastando que o leitor se cadastre em: http://gen- io.grupogen.com.br. CAPÍTULO 1 Medição 1-1 MEDINDO GRANDEZAS COMO O COMPRIMENTO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 1.01 Citar as unidades fundamentais do SI. 1.02 Citar os prefixos mais usados no SI. 1.03 Mudar as unidades nas quais uma grandeza (comprimento, área ou volume, no caso) é expressa, usando o método de conversão em cadeia. 1.04 Explicar de que forma o metro é definido em termos da velocidade da luz no vácuo. Ideias-Chave • A física se baseia na medição de grandezas físicas. Algumas grandezas físicas, como comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais e definidas a partir de um padrão; a cada uma dessas grandezas foi associada uma unidade de medida, como metro, segundo e quilograma. Outras grandezas físicas são definidas a partir das grandezas fundamentais e seus padrões e unidades. • O sistema de unidades mais usado atualmente é o Sistema Internacional de Unidades (SI). As três grandezas fundamentais que aparecem na Tabela 1-1 são usadas nos primeiros capítulos deste livro. Os padrões para essas unidades foram definidos através de acordos internacionais. Esses padrões são usados em todas as medições, tanto as que envolvem grandezas fundamentais como as que envolvem grandezas definidas a partir das grandezas fundamentais. A notação científica e os prefixos da Tabela 1-2 são usados para simplificar a apresentação dos resultados de medições. • Conversões de unidades podem ser realizadas usando o método da conversão em cadeia, no qual os dados originais são multiplicados sucessivamente por fatores de conversão de diferentes unidades e as unidades são manipuladas como grandezas algébricas até que restem apenas as unidades desejadas. • O metro é definido como a distância percorrida pela luz em certo intervalo de tempo especificado com precisão. O que É Física? A ciência e a engenharia se baseiam em medições e comparações. Assim, precisamos de regras para estabelecer de que forma as grandezas devem ser medidas e comparadas, e de experimentos para estabelecer as unidades para essas medições e comparações. Um dos propósitos da física (e também da engenharia) é projetar e executar esses experimentos. Assim, por exemplo, os físicos se empenham em desenvolver relógios extremamente precisos para que intervalos de tempo possam ser medidos e comparados com exatidão. O leitor pode estar se perguntando se essa exatidão é realmente necessária. Eis um exemplo de sua importância: se não houvesse relógios extremamente precisos, o Sistema de Posicionamento Global (GPS — Global Positioning System), usado atualmente no mundo inteiro em uma infinidade de aplicações, não seria possível. Medindo Grandezas Descobrimos a física aprendendo a medir e comparar grandezas como comprimento, tempo, massa, temperatura, pressão e corrente elétrica. Medimos cada grandeza física em unidades apropriadas, por comparação com um padrão. A unidade é um nome particular que atribuímos às medidas dessa grandeza. Assim, por exemplo, o metro (m) é uma unidade da grandeza comprimento. O padrão corresponde a exatamente 1,0 unidade da grandeza. Como vamos ver, o padrão de comprimento, que corresponde a exatamente 1,0 m, é a distância percorrida pela luz, no vácuo, durante certa fração de um segundo. Em princípio, podemos definir uma unidade e seu padrão da forma que quisermos, mas é importante que cientistas em diferentes partes do mundo concordem que nossas definições são ao mesmo tempo razoáveis e práticas. Depois de escolher um padrão (de comprimento, digamos), precisamos estabelecer procedimentos por meio dos quais qualquer comprimento, seja ele o raio do átomo de hidrogênio, a largura de um skate, ou a distância de uma estrela, possa ser expresso em termos do padrão. Usar uma régua de comprimento aproximadamente igual ao padrão pode ser uma forma de executar medidas de comprimento. Entretanto, muitas comparações são necessariamente indiretas. É impossível usar uma régua, por exemplo, para medir o raio de um átomo ou a distância de uma estrela. Grandezas Fundamentais. Existem tantas grandezas físicas que não é fácil organizá-las. Felizmente, não são todas independentes; a velocidade, por exemplo, é a razão entre as grandezas comprimento e tempo. Assim, o que fazemos é escolher, através de um acordo internacional, um pequeno número de grandezas físicas, como comprimento e tempo, e definir padrões apenas para essas grandezas. Em seguida, definimos as demais grandezas físicas em termos dessas grandezas fundamentais e de seus padrões (conhecidos como padrões fundamentais). A velocidade, por exemplo, é definida em termos das grandezas fundamentais comprimento e tempo e seus padrões fundamentais. Os padrões fundamentais devem ser acessíveis e invariáveis. Se definimos o padrão de comprimento como a distância entre o nariz de uma pessoa e a ponta do dedo indicador da mão direita com o braço estendido, temos um padrão acessível, mas que varia, obviamente, de pessoa para pessoa. A necessidade de precisão na ciência e engenharia nos força, em primeiro lugar, a buscar a invariabilidade. Só então nos preocupamos em produzir réplicas dos padrões fundamentais que sejam acessíveis a todos que precisem utilizá-los. O Sistema Internacional de Unidades Em 1971, na 14a Conferência Geral de Pesos e Medidas, foram selecionadas como fundamentais sete grandezas para constituir a base do Sistema Internacional de Unidades (SI), popularmente conhecido como sistema métrico. A Tabela 1-1 mostra as unidades das três grandezas fundamentais (comprimento, massa e tempo) que serão usadas nos primeiros capítulos deste livro. Essas unidades foram definidas de modo a serem da mesma ordem de grandeza que a “escala humana”. Tabela 1-1 Unidades de Três Grandezas Básicas do SI Grandeza Nome da Unidade Símbolo da Unidade Comprimento metro m Tempo segundo s Massa quilograma kg Tabela 1-2 Prefixos das Unidades do SI Fator Prefixoa Símbolo 1024 iota- Y 1021 zeta- Z 1018 exa- E 1015 peta- P 1012 tetra- T 109 giga- G 106 mega- M 103 quilo- k 102 hecto- h 101 deca- da 10–1 deci- d 10–2 centi- c 10–3 mili- m 10–6 micro- μ 10–9 nano- n 10–12 pico- p 10–15 femto- f 10–18 ato- a 10–21 zepto- z 10–24 iocto- y aOs prefixos mais usados aparecem em negrito. Muitas unidades derivadas do SI são definidas em termos dessas unidades fundamentais. Assim, por exemplo, a unidade de potência do SI, chamada watt (W), é definida em termos das unidades fundamentais de massa, comprimento e tempo. Como veremos no Capítulo 7, em que o último conjunto de símbolos de unidades é lido como quilograma metro quadrado por segundo ao cubo. Para expressar as grandezas muito grandes ou muito pequenas frequentemente encontradas na física, usamos a notação científica, que emprega potências de 10. Nessa notação, Nos computadores, a notação científica às vezes assume uma forma abreviada, como 3.56 E9 e 4.92 E−7, em que E é usado para designar o “expoente de dez”. Em algumas calculadoras, a notação é ainda mais abreviada, com o E substituído por um espaço em branco. Também por conveniência, quando lidamos com grandezas muito grandes ou muito pequenas, usamos os prefixos da Tabela 1-2. Como se pode ver, cada prefixo representa certa potência de 10, sendo usado como fator multiplicativo. Incorporar um prefixo a uma unidade do SI tem o efeito de multiplicar a unidade pelo fator correspondente. Assim, podemos expressar certa potência elétrica como ou um certo intervalo de tempo como Alguns prefixos, como os usados em mililitro, centímetro, quilograma e megabyte, são provavelmente familiares para o leitor. Mudança de Unidades Muitas vezes, precisamos mudar as unidades nas quais uma grandeza física está expressa, o que pode ser feito usando um método conhecido como conversão em cadeia. Nesse método, multiplicamos o valor original por um fator de conversão (uma razão entre unidades que é igual à unidade). Assim, por exemplo, como 1 min e 60 s correspondem a intervalos de tempo iguais, temos: Assim, as razões (1 min)/(60 s) e (60 s)/(1 min) podem ser usadas como fatores de conversão. Note que isso não é o mesmo que escrever 1/60 = 1 ou 60 = 1; cada número e sua unidade devem ser tratados conjuntamente. Como a multiplicação de qualquer grandeza por um fator unitário deixa essa grandeza inalterada, podemos usar fatores de conversão sempre que isso for conveniente. No método de conversão em cadeia, usamos os fatores de conversão para cancelar unidades indesejáveis. Para converter 2 minutos em segundos, por exemplo, temos: Se você introduzir um fator de conversão e as unidades indesejáveis não desaparecerem, inverta o fator e tente novamente. Nas conversões, as unidades obedecem às mesmas regras algébricas que os números e variáveis. O Apêndice D apresenta fatores de conversão entre unidades de SI e unidades de outros sistemas, como as que ainda são usadas até hoje nos Estados Unidos. Os fatores de conversão estão expressos na forma “1 min = 60 s” e não como uma razão; cabe ao leitor escrever a razão na forma correta. Comprimento Em 1792, a recém-fundada República da França criou um novo sistema de pesos e medidas. A base era o metro, definido como um décimo milionésimo da distância entre o polo norte e o equador. Mais tarde, por questões práticas, esse padrão foi abandonado e o metro passou a ser definido como a distância entre duas linhas finas gravadas perto das extremidades de uma barra de platina-irídio, a barra do metro padrão, mantida no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, nas vizinhanças de Paris. Réplicas precisas da barra foram enviadas a laboratórios de padronização em várias partes do mundo. Esses padrões secundários foram usados para produzir outros padrões, ainda mais acessíveis, de tal forma que, no final, todos os instrumentos de medição de comprimento estavam relacionados à barra do metro padrão a partir de uma complicada cadeia de comparações. Com o passar do tempo, um padrão mais preciso que a distância entre duas finas ranhuras em uma barra de metal se tornou necessário. Em 1960, foi adotado um novo padrão para o metro, baseado no comprimento de onda da luz. Especificamente, o metro foi redefinido como igual a 1.650.763,73 comprimentos de onda de certa luz vermelho-alaranjada emitida por átomos de criptônio 86 (um isótopo do criptônio) em um tubo de descarga de gás. Esse número de comprimentos de onda aparentemente estranho foi escolhido para que o novo padrão não fosse muito diferente do que era definido pela antiga barra do metro padrão. Em 1983, entretanto, a necessidade de maior precisão havia alcançado tal ponto que mesmo o padrão do criptônio 86 já não era suficiente e, por isso, foi dado um passo audacioso: o metro foi redefinido como a distância percorrida pela luz em um intervalo de tempo especificado. Nas palavras da 17a Conferência Geral de Pesos e Medidas: O metro é a distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo. Esse intervalo de tempo foi escolhido para que a velocidade da luz c fosse exatamente c = 299 792 458 m/s. Como as medidas da velocidade da luz haviam se tornado extremamente precisas, fazia sentido adotar a velocidade da luz como uma grandeza definida e usá-la para redefinir o metro. A Tabela 1-3 mostra uma vasta gama de comprimentos, que vai desde o tamanho do universo conhecido (linha de cima) até o tamanho de alguns objetos muito pequenos. Tabela 1-3 Valor Aproximado de Alguns Comprimentos Descrição Comprimento em Metros Distância das galáxias mais antigas 2 × 1026 Distância da galáxia de Andrômeda 2 × 1022 Distância da estrela mais próxima 4 × 1016 Distância de Plutão 6 × 1012 Raio da Terra 6 × 106 Altura do Monte Everest 9 × 103 Espessura desta página 1 × 10–4 Comprimento de um vírus típico 1 × 10–8 Raio do átomo de hidrogênio 5 × 10–11 Raio do próton 1 × 10–15 Dígitos Significativos e Casas Decimais Suponha que você esteja trabalhando com um problema no qual cada valor é expresso por um número de dois dígitos. Esses dígitos são chamados de dígitos significativos e estabelecem o número de dígitos que devem ser usados na resposta do problema. Se os dados são fornecidos com dois dígitos significativos, a resposta deve ser dada com dois dígitos significativos. Se o problema for resolvido com o auxílio de uma calculadora, é provável que o resultado mostrado no visor da calculadora tenha um número muito maior de dígitos; os dígitos além do segundo, porém, não são confiáveis e devem ser descartados. Neste livro, os resultados finais dos cálculos são muitas vezes arredondados para que o número de dígitos significativos se torne igual ao número de dígitos significativos do dado que possui o menor número de dígitos significativos. (Às vezes, porém, é mantido um algarismo significativo a mais). Se o primeiro dígito da esquerda para a direita a ser descartado é igual a 5 ou maior que 5, o último dígito significativo é arredondado para cima; se é menor que 5, deixa-se como está. Assim, por exemplo, o número 11,3516 com três dígitos significativos se torna 11,4 e o número 11,3279 com três dígitos significativos se torna 11,3. (As respostas dos exemplos deste livro são quase sempre apresentadas com o símbolo = em vez de ≈, mesmo que o número tenha sido arredondado.) Quando um número como 3,15 ou 3,15 × 103 é fornecido em um problema, o número de dígitos significativos é evidente, mas o que dizer de um número como 3000? É conhecido com precisão de apenas um dígito significativo (3 × 103) ou com precisão de três dígitos significativos (3,000 × 103)? Neste livro, vamos supor que todos os zeros em um número como 3000 são significativos, mas nem todos os autores obedecem a essa convenção. É preciso não confundir algarismos significativos com casas decimais. Considere os seguintes comprimentos: 35,6 mm, 3,56 m e 0,00356 m. Todos estão expressos com três algarismos significativos, embora tenham uma, duas e cinco casas decimais, respectivamente. Exemplo 1.01 Estimativa de ordem de grandeza, novelo de linha O maior novelo do mundo tem cerca de 2 m de raio. Qual é a ordem de grandeza do comprimento L do fio que forma o novelo? IDEIA-CHAVE Poderíamos, evidentemente, desenrolar o novelo e medir o comprimento L do fio, mas isso daria muito trabalho, além de deixar o fabricante do novelo muito aborrecido. Em vez disso, como estamos interessados apenas na ordem de grandeza, podemos estimar as grandezas necessárias para fazer o cálculo. Cálculos: Vamos supor que o novelo seja uma esfera de raio R = 2 m. O fio do novelo certamente não está apertado (existem espaços vazios entre trechos vizinhos do fio). Para levar em conta esses espaços vazios, vamos superestimar um pouco a área de seção transversal do fio, supondo que seja quadrada, com lados de comprimento d = 4 mm. Nesse caso, com área da seção reta d2 e comprimento L, a corda ocupa um volume total de V = (área da seção reta)(comprimento) = d2L. Esse valor é aproximadamente igual ao volume do novelo, dado por 4πR3/3, que é quase igual a 4R3, já que π é quase igual a 3. Assim, temos: (Note que não é preciso usar uma calculadora para realizar um cálculo simples como esse.) A ordem de grandeza do comprimento do fio é, portanto, 1000 km! 1-2 TEMPO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 1.05 Mudar as unidades de tempo usando o método de conversão em cadeia. 1.06 Citar vários dispositivos usados para medir o tempo. Ideia-Chave • O segundo é definido a partir das oscilações da luz emitida por átomo de um isótopo de um elemento químico (césio 133). Sinais de sincronismo são enviados ao mundo inteiro por sinais de rádio controlados por relógios atômicos em laboratórios de padronização. O Tempo O tempo tem dois aspectos. No dia a dia e para alguns fins científicos, queremos saber a hora do dia para podermos ordenar eventos em sequência. Em muitos trabalhos científicos, estamos interessados em conhecer a duração de um evento. Assim, qualquer padrão de tempo deve ser capaz de responder a duas perguntas: “Quando isso aconteceu?” e “Quanto tempo isso durou?” A Tabela 1-4 mostra alguns intervalos de tempo. Qualquer fenômeno repetitivo pode ser usado como padrão de tempo. A rotação da Terra, que determina a duração do dia, foi usada para esse fim durante séculos; a Fig. 1-1 mostra um exemplo interessante de relógio baseado nessa rotação. Um relógio de quartzo, no qual um anel de quartzo é posto em vibração contínua, pode ser sincronizado com a rotação da Terra por meio de observações astronômicas e usado para medir intervalos de tempo no laboratório. Entretanto, a calibração não pode ser realizada com a exatidão exigida pela tecnologia moderna da engenharia e da ciência. Para atender à necessidade de um melhor padrão de tempo, foram desenvolvidos relógios atômicos. Um relógio atômico do National Institute of Standards and Technology (NIST) em Boulder, Colorado, Estados Unidos, é o padrão da Hora Coordenada Universal (UTC) nos Estados Unidos. Seus sinais de tempo estão disponíveis por meio de ondas curtas de rádio (estações WWV e WWVH) e por telefone (303-499-7111). Sinais de tempo (e informações relacionadas) estão também disponíveis no United States Naval Observatory no site http://tycho.usno.navy.mil/time.html .1 (Para acertar um relógio de forma extremamente precisa no local onde você se encontra, seria necessário levar em conta o tempo necessário para que esses sinais cheguem até você.) Tabela 1-4 Alguns Intervalos de Tempo Aproximados Descrição Intervalo de Tempo em Segundos Tempo de vida do próton (teórico) 3 × 1040 Idade do universo 5 × 1017 Idade da pirâmide de Quéops 1 × 1011 Expectativa de vida de um ser humano 2 × 109 Duração de um dia 9 × 104 Intervalo entre duas batidas de um coração humano 8 × 10–1 Tempo de vida do múon 2 × 10–6 Pulso luminoso mais curto obtido em laboratório 1 × 10–16 Tempo de vida da partícula mais instável 1 × 10–23 Tempo de Plancka 1 × 10–43 aTempo decorrido após o big bang a partir do qual as leis de física que conhecemos passaram a ser válidas. Steven Pitkin Figura 1-1 Quando o sistema métrico foi proposto em 1792, a definição de hora foi mudada para que o dia tivesse 10 horas, mas a ideia não pegou. O fabricante deste relógio de 10 horas, prudentemente, incluiu um mostrador menor que indicava o tempo da forma convencional. Os dois mostradores indicam a mesma hora? Figura 1-2 Variações da duração do dia em um período de 4 anos. Note que a escala vertical inteira corresponde a apenas 3 ms (= 0,003 s). A Fig. 1-2 mostra as variações da duração de um dia na Terra durante um período de quatro anos, obtidas por comparação com um relógio atômico de césio. Como as variações mostradas na Fig. 1-2 são sazonais e repetitivas, desconfiamos que é a velocidade de rotação da Terra que está variando, e não as oscilações do relógio atômico. Essas variações se devem a efeitos de maré causados pela Lua e à circulação atmosférica. Em 1967, a 13a Conferência Geral de Pesos e Medidas adotou como padrão de tempo um segundo baseado no relógio de césio: Um segundo é o intervalo de tempo que corresponde a 9.192.631.770 oscilações da luz (de um comprimento de onda especificado) emitida por um átomo de césio 133. Os relógios atômicos são tão estáveis, que, em princípio, dois relógios de césio teriam que funcionar por 6000 anos para que a diferença entre as leituras fosse maior que 1 s. Mesmo assim, essa precisão não é nada, em comparação com a precisão dos relógios que estão sendo construídos atualmente, que pode chegar a 1 parte em 1018, ou seja, 1 s em 1 × 1018 s (cerca de 3 × 1010 anos). 1-3 MASSA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 1.07 Mudar as unidades de massa usando o método de conversão em cadeia. 1.08 Citar a relação entre massa específica, massa e volume em um objeto cuja massa está distribuída de forma homogênea. Ideias-Chave • O quilograma é definido a partir de uma massa-padrão de platina-irídio mantida nas proximidades de Paris. Para medir a massa de objetos de dimensões atômicas, costuma-se usar a unidade de massa atômica, definida a partir do átomo de carbono 12. • A massa específica ρ de um objeto é a massa do objeto por unidade de volume: Massa O Quilograma-Padrão O padrão de massa do SI é um cilindro de platina-irídio (Fig. 1-3) mantido no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, nas proximidades de Paris, ao qual foi atribuída, por acordo internacional, a massa de 1 quilograma. Cópias precisas desse cilindro foram enviadas a laboratórios de padronização de outros países, e as massas de outros corpos podem ser determinadas comparando-os com uma dessas cópias. A Tabela 1-5 mostra algumas massas expressas em quilogramas, em uma faixa de aproximadamente 83 ordens de grandeza. (Cortesia do Bureau Internacional de Pesos e Medidas, França) Figura 1-3 O quilograma-padrão internacional de massa, um cilindro de platina-irídio com 3,9 cm de altura e 3,9 cm de diâmetro. A cópia norte-americana do quilograma-padrão está guardada em um cofre do NIST e é removida, não mais que uma vez por ano, para aferir duplicatas usadas em outros lugares. Desde 1889, foi levada à França duas vezes para ser comparada com o padrão primário. Tabela 1-5 Algumas Massas Aproximadas Descrição Massa em Quilogramas Universo conhecido 1 × 1053 Nossa galáxia 2 × 1041 Sol 2 × 1030 Lua 7 × 1022 Asteroide Eros 5 × 1015 Montanha pequena 1 × 1012 Transatlântico 7 × 107 Elefante 5 × 103 Uva 3 × 10–3 Grão de poeira 7 × 10–10 Molécula de penicilina 5 × 10–17 Átomo de urânio 4 × 10–25 Próton 2 × 10–27 Elétron 9 × 10–31 Um Segundo Padrão de Massa As massas dos átomos podem ser comparadas entre si mais precisamente que com o quilograma-padrão. Por essa razão, temos um segundo padrão de massa, o átomo de carbono 12, ao qual, por acordo internacional, foi atribuída uma massa de 12 unidades de massa atômica (u). A relação entre as duas unidades é com uma incerteza de ±10 nas duas últimas casas decimais. Os cientistas podem determinar experimentalmente, com razoável precisão, as massas de outros átomos em relação à massa do carbono 12. O que nos falta no momento é uma forma confiável de estender tal precisão a unidades de massa mais comuns, como o quilograma. Massa Específica Como vamos ver no Capítulo 14, a massa específica ρ de uma substância é a massa por unidade de volume: As massas específicas são normalmente expressas em quilogramas por metro cúbico ou em gramas por centímetro cúbico. A massa específica da água (1,00 grama por centímetro cúbico) é muito usada para fins de comparação. A massa específica da neve fresca é 10% da massa específica da água; a da platina é 21 vezes maior que a da água. Exemplo 1.02 Massa específica e liquefação Um objeto pesado pode afundar no solo durante um terremoto se o tremor fizer com que o solo passe por um processo de liquefação, no qual as partículas do solo deslizam umas em relação às outras quase sem atrito. Nesse caso, o solo se torna praticamente uma areia movediça. A possibilidade de liquefação de um solo arenoso pode ser prevista em termos do índice de vazios de uma amostra do solo, representado pelo símbolo e e definido da seguinte forma: Aqui, Vg é o volume total das partículas de areia na amostra, e Vv é o volume total do espaço entre as partículas (isto é, o volume dos vazios). Se e exceder o valor crítico de 0,80, poderá ocorrer liquefação durante um terremoto. Qual é a massa específica da areia, ρa, correspondente ao valor crítico? A massa específica do dióxido de silício (principal componente da areia) é ρSiO2 = 2,600 × 103 kg/m3. IDEIA-CHAVE A massa específica da areia ρa em uma amostra é a massa por unidade de volume, ou seja, a razão entre a massa total ma das partículas de areia e o volume total Vt da amostra: Cálculos: O volume total Vt de uma amostra é dado por Vt = Vg + Vv. Substituindo Vv pelo seu valor, dado pela Eq. 1-9 e explicitando Vg, obtemos: De acordo com a Eq. 1-8, a massa total ma das partículas de areia é o produto da massa específica do dióxido de silício pelo volume total das partículas de areia: Substituindo essa expressão na Eq. 1-10 e substituindo Vg pelo seu valor, dado pela Eq. 1-11, obtemos: Fazendo ρSiO2 = 2,600 × 103 kg/m3 e e = 0,80 na Eq. 1-13, descobrimos que a liquefação acontece quando a massa específica da areia é menor que Um edifício pode afundar vários metros por causa da liquefação. Revisão e Resumo A Medição na Física A física se baseia na medição de grandezas físicas. Algumas grandezas físicas, como comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais; cada uma foi definida por meio de um padrão e recebeu uma unidade de medida (como metro, segundo e quilograma). Outras grandezas físicas são definidas em termos das grandezas fundamentais e de seus padrões e unidades. Unidades do SI O sistema de unidades adotado neste livro é o Sistema Internacional de Unidades (SI). As três grandezas físicas mostradas na Tabela 1-1 são usadas nos primeiros capítulos. Os padrões, que têm que ser acessíveis e invariáveis, foram estabelecidos para essas grandezas fundamentais por um acordo internacional. Esses padrões são usados em todas as medições físicas, tanto das grandezas fundamentais quanto das grandezas secundárias. A notação científica e os prefixos da Tabela 1-2 são usados para simplificar a notação das medições. Mudança de Unidades A conversão de unidades pode ser feita usando o método de conversão em cadeia, no qual os dados originais são multiplicados sucessivamente por fatores de conversão unitários, e as unidades são manipuladas como quantidades algébricas até que apenas as unidades desejadas permaneçam. Comprimento O metro é definido como a distância percorrida pela luz durante um intervalo de tempo especificado. Tempo O segundo é definido em termos das oscilações da luz emitida por um isótopo de um elemento químico (césio 133). Sinais de tempo precisos são enviados a todo o mundo através de sinais de rádio sincronizados por relógios atômicos em laboratórios de padronização. Massa O quilograma é definido a partir de um padrão de massa de platina-irídio mantido em um laboratório nas vizinhanças de Paris. Para medições em escala atômica, é comumente usada a unidade de massa atômica, definida a partir do átomo de carbono 12. Massa Específica A massa específica ρ de um objeto é a massa por unidade de volume: Problemas . - ... O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema. Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008. Módulo 1-1 Medindo Grandezas como o Comprimento ·1 A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Determine (a) a circunferência da Terra em quilômetros, (b) a área da superfície da Terra em quilômetros quadrados e (c) o volume da Terra em quilômetros cúbicos. ·2 O gry é uma antiga medida inglesa de comprimento, definida como 1/10 de uma linha; linha é uma outra medida inglesa de comprimento, definida como 1/12 de uma polegada. Uma medida de comprimento usada nas gráficas é o ponto, definido como 1/72 de uma polegada. Quanto vale uma área de 0,50 gry2 em pontos quadrados (pontos2)? ·3 O micrômetro (1 µm) também é chamado de mícron. (a) Quantos mícrons tem 1,0 km? (b) Que fração do centímetro é igual a 1,0 µm? (c) Quantos mícrons tem uma jarda? ·4 As dimensões das letras e espaços neste livro são expressas em termos de pontos e paicas: 12 pontos = 1 paica e 6 paicas = 1 polegada. Se em uma das provas do livro uma figura apareceu deslocada de 0,80 cm em relação à posição correta, qual foi o deslocamento (a) em paicas e (b) em pontos? ·5 Em certo hipódromo da Inglaterra, um páreo foi disputado em uma distância de 4,0 furlongs. Qual é a distância da corrida (a) em varas e (b) em cadeias? (1 furlong = 201,168 m, 1 vara = 5,0292 m e uma cadeia = 20,117 m.) ··6 Hoje em dia, as conversões de unidades mais comuns podem ser feitas com o auxílio de calculadoras e computadores, mas é importante que o aluno saiba usar uma tabela de conversão como as do Apêndice D. A Tabela 1-6 é parte de uma tabela de conversão para um sistema de medidas de volume que já foi comum na Espanha; um volume de 1 fanega equivale a 55,501 dm3 (decímetros cúbicos). Para completar a tabela, que números (com três algarismos significativos) devem ser inseridos (a) na coluna de cahizes, (b) na coluna de fanegas, (c) na coluna de cuartillas e (d) na coluna de almudes? Expresse 7,00 almudes (e) em medios, (f) em cahizes e (g) em centímetros cúbicos (cm3). Tabela 1-6 Problema 6 cahiz fanega cuartilla almude medio 1 cahiz = 1 12 48 144 288 1 fanega = 1 4 12 24 1 cuartilla = 1 3 6 1 almude = 1 2 1 medio = 1 ··7 Os engenheiros hidráulicos dos Estados Unidos usam frequentemente, como unidade de volume de água, o acre-pé, definido como o volume de água necessário para cobrir 1 acre de terra até uma profundidade de 1 pé. Uma forte tempestade despejou 2,0 polegadas de chuva em 30 min em uma cidade com uma área de 26 km2. Que volume de água, em acres-pés, caiu sobre a cidade? ··8 A Ponte de Harvard, que atravessa o rio Charles, ligando Cambridge a Boston, tem um comprimento de 364,4 smoots mais uma orelha. A unidade chamada smoot tem como padrão a altura de Oliver Reed Smoot, Jr., classe de 1962, que foi carregado ou arrastado pela ponte para que outros membros da sociedade estudantil Lambda Chi Alpha pudessem marcar (com tinta) comprimentos de 1 smoot ao longo da ponte. As marcas têm sido refeitas semestralmente por membros da sociedade, normalmente em horários de pico, para que a polícia não possa interferir facilmente. (Inicialmente, os policiais talvez tenham se ressentido do fato de que o smoot não era uma unidade fundamental do SI, mas hoje parecem conformados com a brincadeira.) A Fig. 1-4 mostra três segmentos de reta paralelos medidos em smoots (S), willies (W) e zeldas (Z). Quanto vale uma distância de 50,0 smoots (a) em willies e (b) em zeldas? Figura 1-4 Problema 8. ··9 A Antártica é aproximadamente semicircular, com raio de 2000 km (Fig. 1-5). A espessura média da cobertura de gelo é 3000 m. Quantos centímetros cúbicos de gelo contém a Antártica? (Ignore a curvatura da Terra.) Figura 1-5 Problema 9. Módulo 1-2 Tempo ·10 Até 1913, cada cidade do Brasil tinha sua hora local. Hoje em dia, os viajantes acertam o relógio apenas quando a variação de tempo é igual a 1,0 h (o que corresponde a um fuso horário). Que distância, em média, uma pessoa deve percorrer, em graus de longitude, para passar de um fuso horário a outro e ter que acertar o relógio? (Sugestão: A Terra gira 360° em aproximadamente 24 h.) ·11 Por cerca de 10 anos após a Revolução Francesa, o governo francês tentou basear as medidas de tempo em múltiplos de dez: uma semana tinha 10 dias, um dia tinha 10 horas, uma hora tinha 100 minutos e um minuto tinha 100 segundos. Quais são as razões (a) da semana decimal francesa para a semana comum e (b) do segundo decimal francês para o segundo comum? ·12 A planta de crescimento mais rápido de que se tem notícia é uma Hesperoyucca whipplei que cresceu 3,7 m em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta em micrômetros por segundo? ·13 Três relógios digitais, A, B e C, funcionam com velocidades diferentes e não têm leituras simultâneas de zero. A Fig. 1-6 mostra leituras simultâneas de pares dos relógios em quatro ocasiões. (Na primeira ocasião, por exemplo, B indica 25,0 s e C indica 92,0 s.) Se o intervalo entre dois eventos é 600 s de acordo com o relógio A, qual é o intervalo entre os eventos (a) no relógio B e (b) no relógio C? (c) Quando o relógio A indica 400 s, qual é a indicação do relógio B? (d) Quando o relógio C indica 15,0 s, qual é a indicação do relógio B? (Suponha que as leituras são negativas para instantes anteriores a zero.) Figura 1-6 Problema 13. ·14 Um tempo de aula (50 min) é aproximadamente igual a 1 microsséculo. (a) Qual é a duração de um microsséculo em minutos? (b) Use a relação para determinar o erro percentual dessa aproximação. ·15 O fortnight é uma curiosa medida inglesa de tempo igual a 2,0 semanas (a palavra é uma contração de “fourteen nights”, ou seja, quatorze noites). Dependendo da companhia, esse tempo pode passar depressa ou transformar-se em uma interminável sequência de microssegundos. Quantos microssegundos tem um fortnight? ·16 Os padrões de tempo são baseados atualmente em relógios atômicos, mas outra possibilidade seria usar os pulsares, estrelas de nêutrons (estrelas altamente compactas, compostas apenas de nêutrons) que possuem um movimento de rotação. Alguns pulsares giram com velocidade constante, produzindo um sinal de rádio que passa pela superfície da Terra uma vez a cada rotação, como o feixe luminoso de um farol. O pulsar PSR 1937 + 21 é um exemplo; ele gira uma vez a cada 1,557 806 448 872 75 ± 3 ms, em que o símbolo ±3 indica a incerteza na última casa decimal (e não ± 3 ms). (a) Quantas rotações o PSR 1937 + 21 executa em 7,00 dias? (b) Quanto tempo o pulsar leva para girar exatamente um milhão de vezes e (c) qual é a incerteza associada? ·17 Cinco relógios estão sendo testados em um laboratório. Exatamente ao meio-dia, de acordo com o Observatório Nacional, em dias sucessivos da semana, as leituras dos relógios foram anotadas na tabela a seguir. Coloque os relógios em ordem de confiabilidade, começando pelo melhor. Justifique sua escolha. Relógio Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb A 12:36:40 12:36:56 12:37:12 12:37:27 12:37:44 12:37:59 12:38:14 B 11:59:59 12:00:02 11:59:57 12:00:07 12:00:02 11:59:56 12:00:03 C 15:50:45 15:51:43 15:52:41 15:53:39 15:54:37 15:55:35 15:56:33 D 12:03:59 12:02:52 12:01:45 12:00:38 11:59:31 11:58:24 11:57:17 E 12:03:59 12:02:49 12:01:54 12:01:52 12:01:32 12:01:22 12:01:12 ··18 Como a velocidade de rotação da Terra está diminuindo gradualmente, a duração dos dias está aumentando: o dia no final de 1,0 século é 1,0 ms mais longo que o dia no início do século. Qual é o aumento da duração do dia após 20 séculos? ···19 Suponha que você está deitado na praia, perto do Equador, vendo o Sol se pôr em um mar calmo, e liga um cronômetro no momento em que o Sol desaparece. Em seguida, você se levanta, deslocando os olhos para cima de uma distância H = 1,70 m, e desliga o cronômetro no momento em que o Sol volta a desaparecer. Se o tempo indicado pelo cronômetro é t = 11,1 s, qual é o raio da Terra? Módulo 1-3 Massa ·20 O recorde para a maior garrafa de vidro foi estabelecido em 1992 por uma equipe de Millville, Nova Jersey, que soprou uma garrafa com um volume de 193 galões americanos. (a) Qual é a diferença entre esse volume e 1,0 milhão de centímetros cúbicos? (b) Se a garrafa fosse enchida com água a uma vazão de 1,8 g/min, em quanto tempo estaria cheia? A massa específica da água é 1000 kg/m3. ·21 A Terra tem uma massa de 5,98 × 1024 kg. A massa média dos átomos que compõem a Terra é 40 u. Quantos átomos existem na Terra? ·22 O ouro, que tem uma massa específica de 19,32 g/cm3, é um metal extremamente dúctil e maleável, isto é, pode ser transformado em fios ou folhas muito finas. (a) Se uma amostra de ouro, com uma massa de 27,63 g, é prensada até se tornar uma folha com 1,000 µm de espessura, qual é a área da folha? (b) Se, em vez disso, o ouro é transformado em um fio cilíndrico com 2,500 µm de raio, qual é o comprimento do fio? ·23 (a) Supondo que a água tenha uma massa específica de exatamente 1 g/cm3, determine a massa de um metro cúbico de água em quilogramas. (b) Suponha que são necessárias 10,0 h para drenar um recipiente com 5700 m3 de água. Qual é a “vazão mássica” da água do recipiente, em quilogramas por segundo? ··24 Os grãos de areia das praias da Califórnia são aproximadamente esféricos, com raio de 50 µm, e são feitos de dióxido de silício, que tem massa específica de 2600 kg/m3. Que massa de grãos de areia possui uma área superficial total (soma das áreas de todas as esferas) igual à área da superfície de um cubo com 1,00 m de aresta? ··25 Durante uma tempestade, parte da encosta de uma montanha, com 2,5 km de largura, 0,80 km de altura ao longo da encosta e 2,0 m de espessura desliza até um vale em uma avalanche de lama. Suponha que a lama fica distribuída uniformemente em uma área quadrada do vale com 0,40 km de lado e que a lama tem massa específica de 1900 kg/m3. Qual é a massa da lama existente em uma área de 4,0 m2 do vale? ··26 Em um centímetro cúbico de uma nuvem cúmulo típica existem de 50 a 500 gotas d’água, com um raio típico de 10 µm. Para essa faixa de valores, determine os valores mínimo e máximo, respectivamente, das seguintes grandezas: (a) o número de metros cúbicos de água em uma nuvem cúmulo cilíndrica com 3,0 km de altura e 1,0 km de raio; (b) o número de garrafas de 1 litro que podem ser enchidas com essa quantidade de água; (c) a massa da água contida nessa nuvem, sabendo que a massa específica da água é 1000 kg/m3. ··27 A massa específica do ferro é de 7,87 g/cm3 e a massa de um átomo de ferro é 9,27 × 10−26 kg. Se os átomos são esféricos e estão densamente compactados, (a) qual é o volume de um átomo de ferro e (b) qual é a distância entre os centros de dois átomos vizinhos? ··28 Um mol de átomos contém 6,02 × 1023 átomos. Qual é a ordem de grandeza do número de mols de átomos que existem em um gato grande? As massas de um átomo de hidrogênio, de um átomo de oxigênio e de um átomo de carbono são 1,0 u, 16 u e 12 u, respectivamente. ··29 Em uma viagem à Malásia, você não resiste à tentação e compra um touro que pesa 28,9 piculs no sistema local de unidades de peso: 1 picul = 100 gins, 1 gin = 16 tahils, 1 tahil = 10 chees e 1 chee = 10 hoons. O peso de 1 hoon corresponde a uma massa de 0,3779 g. Quando você despacha o boi para casa, que massa deve declarar à alfândega? (Sugestão: Use conversões em cadeia.) ··30 Despeja-se água em um recipiente que apresenta um vazamento. A massa m de água no recipiente em função do tempo t é dada por m = 5,00t0,8 − 3,00t + 20,00 para t ≥ 0, em que a massa está em gramas e o tempo em segundos. (a) Em que instante a massa de água é máxima? (b) Qual é o valor da massa? Qual é a taxa de variação da massa, em quilogramas por minuto, (c) em t = 2,00 s e (d) em t = 5,00 s? ···31 Um recipiente vertical cuja base mede 14,0 cm por 17,0 cm está sendo enchido com barras de chocolate que possuem um volume de 50 mm3 e uma massa de 0,0200 g. Suponha que o espaço vazio entre as barras de chocolate é tão pequeno que pode ser desprezado. Se a altura das barras de chocolate no recipiente aumenta à taxa de 0,250 cm/s, qual é a taxa de aumento da massa das barras de chocolate que estão no recipiente em quilogramas por minuto? Problemas Adicionais 32 Nos Estados Unidos, uma casa de boneca tem uma escala de 1:12 em relação a uma casa de verdade (ou seja, cada distância na casa de boneca é 1/12 da distância correspondente na casa de verdade), e uma casa em miniatura (uma casa de boneca feita para caber em uma casa de boneca) tem uma escala de 1:144 em relação a uma casa de verdade. Suponha que uma casa de verdade (Fig. 1-7) tem 20 m de comprimento, 12 m de largura, 6,0 m de altura, e um telhado inclinado padrão (com o perfil de um triângulo isósceles) de 3,0 m de altura. Qual é o volume, em metros cúbicos, (a) da casa de boneca e (b) da casa em miniatura? Figura 1-7 Problema 32. 33 A tonelada é uma medida de volume frequentemente empregada no transporte de mercadorias, mas seu uso requer uma certa cautela, pois existem pelo menos três tipos de tonelada: uma tonelada de deslocamento é igual a 7 barrels bulk, uma tonelada de frete é igual a 8 barrels bulk, e uma tonelada de registro é igual a 20 barrels bulk. O barrel bulk é outra medida de volume: 1 barrel bulk = 0,1415 m3. Suponha que você esteja analisando um pedido de “73 toneladas” de chocolate M&M e tenha certeza de que o cliente que fez a encomenda usou “tonelada” como unidade de volume (e não de peso ou de massa, como será discutido no Capítulo 5). Se o cliente estava pensando em toneladas de deslocamento, quantos alqueires americanos em excesso você vai despachar, se interpretar equivocadamente o pedido como (a) 73 toneladas de frete e (b) 73 toneladas de registro? (1 m3 = 28,378 alqueires americanos.) 34 Dois tipos de barril foram usados como unidades de volume na década de 1920 nos Estados Unidos. O barril de maçã tinha um volume oficial de 7056 polegadas cúbicas; o barril de cranberry, 5826 polegadas cúbicas. Se um comerciante vende 20 barris de cranberry a um freguês que pensa estar recebendo barris de maçã, qual é a diferença de volume em litros? 35 Uma antiga poesia infantil inglesa diz o seguinte: “Little Miss Muffet sat on a tuffet, eating her curds and whey, when along came a spider who sat down beside her. ...” (“A pequena Miss Muffet estava sentada em um banquinho, comendo queijo cottage, quando chegou uma aranha e sentou-se ao seu lado. ...”) A aranha não se aproximou porque estava interessada no queijo, mas sim porque Miss Muffet tinha 11 tuffets de moscas secas. O volume de um tuffet é dado por 1 tuffet = 2 pecks = 0,50 Imperial bushel, enquanto 1 Imperial bushel = 36,3687 litros (L). Qual era o volume das moscas de Miss Muffet (a) em pecks, (b) em Imperial bushels, e (c) em litros? 36 A Tabela 1-7 mostra algumas unidades antigas de volume de líquidos. Para completar a tabela, que números (com três algarismos significativos) devem ser introduzidos (a) na coluna de weys, (b) na coluna de chaldrons, (c) na coluna de bags, (d) na coluna de pottles, e (e) na coluna da gills? (f) O volume de 1 bag equivale a 0,1091 m3. Em uma história antiga, uma feiticeira prepara uma poção mágica em um caldeirão com um volume de 1,5 chaldron. Qual é o volume do caldeirão em metros cúbicos? Tabela 1-7 Problema 36 wey chaldron bag pottle gill 1 wey = 1 10/9 40/3 640 120 240 1 chaldron = 1 bag = 1 pottle = 1 gill = 37 Um cubo de açúcar típico tem 1 cm de aresta. Qual é o valor da aresta de uma caixa cúbica com capacidade suficiente para conter um mol de cubos de açúcar? (Um mol = 6,02 × 1023 unidades.) 38 Um antigo manuscrito revela que um proprietário de terras no tempo do rei Artur possuía 3,00 acres de terra cultivada e uma área para criação de gado de 25,0 perchas por 4,00 perchas. Qual era a área total (a) na antiga unidade de roods e (b) na unidade mais moderna de metros quadrados? 1 acre é uma área de 40 perchas por 4 perchas, 1 rood é uma área de 40 perchas por 1 percha, e 1 percha equivale a 16,5 pés. 39 Um turista norte-americano compra um carro na Inglaterra e o despacha para os Estados Unidos. Um adesivo no carro informa que o consumo de combustível do carro é 40 milhas por galão na estrada. O turista não sabe que o galão inglês é diferente do galão americano: 1 galão inglês = 4,546 090 0 litros 1 galão americano = 3,785 411 8 litros. Para fazer uma viagem de 750 milhas nos Estados Unidos, de quantos galões de combustível (a) o turista pensa que precisa e (b) de quantos o turista realmente precisa? 40 Usando os dados fornecidos neste capítulo, determine o número de átomos de hidrogênio necessários para obter 1,0 kg de hidrogênio. Um átomo de hidrogênio tem massa de 1,0 u. 41 O cord é um volume de madeira cortada correspondente a uma pilha de 8 pés de comprimento, 4 pés de largura e 4 pés de altura. Quantos cords existem em 1,0 m3 de madeira? 42 Uma molécula de água (H2O) contém dois átomos de hidrogênio e um átomo de oxigênio. Um átomo de hidrogênio tem massa de 1,0 u, e um átomo de oxigênio tem massa de 16 u, aproximadamente. (a) Qual é a massa de uma molécula de água em quilogramas? (b) Quantas moléculas de água existem nos oceanos da Terra, cuja massa estimada é 1,4 × 1021 kg? 43 Uma pessoa que está de dieta pode perder 2,3 kg por semana. Expresse a taxa de perda de massa em miligramas por segundo, como se a pessoa pudesse sentir a perda segundo a segundo. 44 Que massa de água caiu sobre a cidade no Problema 7? A massa específica da água é 1,0 × 103 kg/m3. 45 (a) O shake é uma unidade de tempo usada informalmente pelos físicos nucleares. Um shake é igual a 10−8 s. Existem mais shakes em um segundo que segundos em um ano? (b) O homem existe há aproximadamente 106 anos, enquanto a idade do universo é cerca de 1010 anos. Se a idade do universo for definida como 1 “dia do universo” e o “dia do universo” for dividido em “segundos do universo”, da mesma forma como um dia comum é dividido em segundos comuns, quantos segundos do universo se passaram desde que o homem começou a existir? 46 Uma unidade de área frequentemente usada para medir terrenos é o hectare, definido como 104 m2. Uma mina de carvão a céu aberto consome anualmente 75 hectares de terra até uma profundidade de 26 m. Qual é o volume de terra removido por ano em quilômetros cúbicos? 47 Uma unidade astronômica (UA) é a distância média entre a Terra e o Sol, aproximadamente 1,50 × 108 km. A velocidade da luz é aproximadamente 3,0 × 108 m/s. Expresse a velocidade da luz em unidades astronômicas por minuto. 48 A toupeira comum tem massa da ordem de 75 g, que corresponde a cerca de 7,5 mols de átomos. (Um mol de átomos equivale a 6,02 × 1023 átomos.) Qual é a massa média dos átomos de uma toupeira em unidades de massa atômica (u)? 49 Uma unidade de comprimento tradicional no Japão é o ken (1 ken = 1,97 m). Determine a razão (a) entre kens quadrados e metros quadrados e (b) entre kens cúbicos e metros cúbicos. Qual é o volume de um tanque de água cilíndrico com 5,50 kens de altura e 3,00 kens de raio (c) em kens cúbicos e (d) em metros cúbicos? 50 Você recebeu ordens para navegar 24,5 milhas na direção leste, com o objetivo de posicionar seu barco de salvamento exatamente sobre a posição de um navio pirata afundado. Quando os mergulhadores não encontram nenhum sinal do navio, você se comunica com a base e descobre que deveria ter percorrido 24,5 milhas náuticas e não milhas comuns. Use a tabela de conversão de unidades de comprimento do Apêndice D para calcular a distância horizontal em quilômetros entre sua posição atual e o local em que o navio pirata afundou. 51 O cúbito é uma antiga unidade de comprimento baseada na distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio. Suponha que essa distância estivesse entre 43 e 53 cm e que gravuras antigas mostrem que uma coluna cilíndrica tinha 9 cúbitos de altura e 2 cúbitos de diâmetro. Determine os valores mínimo e máximo, respectivamente, (a) da altura da coluna em metros; (b) da altura da coluna em milímetros; (c) do volume da coluna em metros cúbicos. 52 Para ter uma ideia da diferença entre o antigo e o moderno e entre o grande e o pequeno, considere o seguinte: na antiga Inglaterra rural, 1 hide (entre 100 e 120 acres) era a área de terra necessária para sustentar uma família com um arado durante um ano. (Uma área de 1 acre equivale a 4047 m2.) Além disso, 1 wapentake era a área de terra necessária para sustentar 100 famílias nas mesmas condições. Na física quântica, a área da seção de choque de um núcleo (definida através da probabilidade de que uma partícula incidente seja absorvida pelo núcleo) é medida em barns; 1 barn = 1 × 10−28 m2. (No jargão da física nuclear, se um núcleo é “grande”, acertá-lo com uma partícula é tão fácil quanto acertar um tiro em um celeiro.2) Qual é a razão entre 25 wapentakes e 11 barns? 53 A unidade astronômica (UA) é a distância média entre a Terra e o Sol, cerca de 92,9 × 106 milhas. O parsec (pc) é a distância para a qual uma distância de 1 UA subtende um ângulo de exatamente 1 segundo de arco (Fig. 1-8). O ano-luz é a distância que a luz, viajando no vácuo com uma velocidade de 186 000 milhas por segundo, percorre em 1,0 ano. Expresse a distância entre a Terra e o Sol (a) em parsecs e (b) em anos-luz. Figura 1-8 Problema 53. 54 Certa marca de tinta de parede promete uma cobertura de 460 pés quadrados por galão. (a) Expresse esse valor em metros quadrados por litro. (b) Expresse esse valor em uma unidade do SI (veja os Apêndices A e D). (c) Qual é o inverso da grandeza original e (d) qual é o significado físico da nova grandeza? 55 O vinho de uma grande festa de casamento será servido em um deslumbrante vaso de vidro lapidado em forma de paralelepípedo com dimensões internas de 40 cm × 40 cm × 30 cm (altura). O vaso deve ser enchido até a borda. O vinho pode ser adquirido em garrafas, cujos tamanhos aparecem na lista abaixo. É mais barato comprar uma garrafa maior do que comprar o mesmo volume de vinho em garrafas menores. (a) Que tamanhos de garrafa devem ser escolhidos e quantas garrafas de cada tamanho devem ser adquiridas para que o gasto total seja o menor possível? (b) Depois que o vaso estiver cheio, quanto vinho vai sobrar (b) em número de garrafas normais e (c) em litros? 1 garrafa normal 1 magnum = 2 garrafas normais 1 jeroboão = 4 garrafas normais 1 roboão = 6 garrafas normais 1 matusalém = 8 garrafas normais 1 salmanasar = 12 garrafas normais 1 baltazar = 16 garrafas normais = 11,356 L 1 nabucodonosor = 20 garrafas normais 56 A razão milho-porco é um termo financeiro usado no mercado de porcos, provavelmente relacionado ao custo de alimentar um porco até que ele seja suficientemente grande para ser vendido. É definida como a razão entre o preço de mercado de um porco com massa de 3,108 slugs e o preço de mercado de um alqueire americano de milho. (A palavra “slug” é derivada de uma antiga palavra alemã que significa “golpear”; este é um dos possíveis significados de “slug” no inglês moderno). Um alqueire americano equivale a 35,238 L. Se a razão milho-porco está cotada a 5,7 na bolsa de mercadorias, determine seu valor em unidades métricas de (Sugestão: Consulte a tabela de conversão de unidades de massa do Apêndice D.) 57 Você foi encarregado de preparar um jantar para 400 pessoas em um encontro de apreciadores de comida mexicana. A receita recomenda usar duas pimentas jalapeño em cada porção (a porção é para uma pessoa). Entretanto, você dispõe apenas de pimentas habanero. O grau de ardência das pimentas é medido em termos da unidade de calor de scoville (UCS). Em média, uma pimenta jalapeño tem uma ardência de 4000 UCS e uma pimenta habanero tem uma ardência de 300.000 UCS. Quantas pimentas habanero você deve usar no lugar das pimentas jalapeño da receita para obter o grau de ardência desejado nos 400 pratos do jantar? 58 Os degraus de uma escada têm 19 cm de altura e 23 cm de largura. As pesquisas mostram que a escada será mais segura na descida se a largura dos degraus for aumentada para 28 cm. Sabendo que a altura da escada é 4,57 m, qual será o aumento da distância horizontal coberta pela escada se a modificação da largura dos degraus for executada? 59 Ao comprar comida para uma reunião de políticos, você encomendou erroneamente ostras do Pacífico, sem casca, de tamanho médio (um pint americano contém 8 a 12 dessas ostras), em vez de ostras do Atlântico, sem casca, de tamanho médio (um pint americano contém 26 a 38 dessas ostras). As ostras chegaram em uma caixa de isopor cujas dimensões internas são 1,0 m × 12 cm × 20 cm, e um pint americano equivale a 0,4732 litro. Quantas ostras a menos você pediu? 60 Um antigo livro de culinária inglesa contém a seguinte receita de sopa de creme de urtiga: “Ferva um caldo com a seguinte quantidade de água: 1 xícara inglesa mais 1 xícara de chá mais 6 colheres de sopa mais uma colher de sobremesa. Usando luvas, separe as folhas de urtiga até que você tenha 0,5 quart; adicione as folhas ao caldo em ebulição. Adicione uma colher de sopa de arroz cozido e uma colher de sal de sal. Deixe ferver durante 15 minutos.” A tabela a seguir fornece fatores de conversão entre antigas medidas inglesas e medidas americanas. (Essas medidas clamam pela adoção do sistema métrico.) Para medidas de líquidos, 1 colher de chá inglesa = 1 colher de chá americana. Para medidas de sólidos, 1 colher de chá inglesa = 2 colheres de chá americanas, e 1 quart inglês = 1 quart americano. Qual o volume (a) de caldo, (b) de folhas de urtiga, (c) de arroz e (d) de sal usado na receita, em unidades americanas? Medidas Inglesas Antigas Medidas Americanas colher de chá = 2 colheres de sal colher de sopa = 3 colheres de chá colher de sobremesa = 2 colheres de chá meia xícara = 8 colheres de sopa colher de sopa = 2 colheres de sobremesa xícara = 2 meias xícaras xícara de chá = 8 colheres de sopa xícara inglesa = 2 xícaras de chá _______________ 1O Observatório Nacional fornece a hora legal brasileira no site http://pcdsh01.on.br. (N.T.) 2Barn, em inglês, significa celeiro. (N.T.) CAPÍTULO 2 Movimento Retilíneo 2-1 POSIÇÃO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE MÉDIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 2.01 Saber que, se todas as partes de um objeto se movem na mesma direção e com a mesma velocidade, podemos estudar o movimento do objeto como se ele estivesse reduzido a um único ponto. (Este capítulo trata do movimento de objetos desse tipo.) 2.02 Saber que a posição de uma partícula pode ser expressa pela coordenada da partícula em relação a um eixo escolhido como referência. 2.03 Descrever a relação entre o deslocamento de uma partícula e as posições inicial e final da partícula. 2.04 Descrever a relação entre a velocidade média, o deslocamento e o tempo necessário para que uma partícula sofra esse deslocamento. 2.05 Descrever a relação entre a velocidade escalar média, a distância total percorrida e o tempo necessário para que a partícula percorra essa distância. 2.06 Dado um gráfico da posição de uma partícula em função do tempo, determinar a velocidade média da partícula entre dois instantes de tempo. Ideias-Chave • A coordenada x de uma partícula indica a distância a que a partícula se encontra da origem do eixo x. • A coordenada da partícula pode ser positiva, se a partícula estiver à direita da origem; negativa, se a partícula estiver à esquerda da origem; ou nula, se a partícula estiver exatamente na origem. O sentido positivo de um eixo é o sentido no qual os números aumentam de valor; o sentido negativo é o sentido oposto. • O deslocamento Δx de uma partícula é a variação da posição da partícula: Δx = x2 – x1. • O deslocamento da partícula pode ser positivo, se a posição final estiver à direita da posição inicial; negativo, se a posição final estiver à direita da posição inicial; ou nulo, se a posição final coincidir com a posição inicial. • Quando uma partícula se desloca da posição x1 para a posição x2 em um intervalo de tempo Δt = t2 − t1, a velocidade média da partícula durante esse intervalo é dada por • A velocidade média da partícula pode ser positiva, se o deslocamento da partícula for positivo; negativa, se o deslocamento da partícula for negativo; ou nula, se o deslocamento da partícula for nulo. • Em um gráfico da posição x da partícula em função do tempo t, a velocidade média no intervalo de tempo Δt = t2 − t1 é a 1. 2. 3. inclinação da reta que liga os pontos correspondentes à posição da partícula nos instantes t1 e t2. • A velocidade escalar média sméd de uma partícula em um intervalo de tempo Δt é dada por em que d é a distância percorrida pela partícula durante o intervalo Δt. O que É Física? Um dos objetivos da física é estudar o movimento dos objetos: a rapidez com que se movem, por exemplo, ou a distância que percorrem em um dado intervalo de tempo. Os engenheiros da NASCAR são fanáticos por esse aspecto da física, que os ajuda a avaliar o desempenho dos carros antes e durante as corridas. Os geólogos usam essa física para estudar o movimento de placas tectônicas, na tentativa de prever terremotos. Os médicos necessitam dessa física para mapear o fluxo de sangue em um paciente quando examinam uma artéria parcialmente obstruída; e motoristas a usam para reduzir a velocidade e escapar de uma multa quando percebem que existe um radar à frente. Existem inúmeros outros exemplos. Neste capítulo, estudamos a física básica do movimento nos casos em que o objeto (carro de corrida, placa tectônica, célula sanguínea, ou qualquer outro) está se movendo em linha reta. Esse tipo de movimento é chamado de movimento unidimensional. Movimento O mundo, e tudo que nele existe, está sempre em movimento. Mesmo objetos aparentemente estacionários, como uma estrada, estão em movimento por causa da rotação da Terra, da órbita da Terra em torno do Sol, da órbita do Sol em torno do centro da Via Láctea e do deslocamento da Via Láctea em relação às outras galáxias. A classificação e comparação dos movimentos (chamada de cinemática) pode ser um desafio. O que exatamente deve ser medido? Com que deve ser comparado? Antes de tentar responder a essas perguntas, vamos examinar algumas propriedades gerais do movimento unidimensional, restringindo a análise de três formas: Vamos supor que o movimento se dá ao longo de uma linha reta. A trajetória pode ser vertical, horizontal ou inclinada, mas deve ser retilínea. As forças (empurrões e puxões) modificam o movimento, mas não serão discutidas até o Capítulo 5. Neste capítulo, vamos discutir apenas o movimento em si e suas mudanças, sem nos preocupar com as causas. O objeto está se movendo cada vez mais depressa? Cada vez mais devagar? O movimento mudou de direção? Se o movimento está mudando, a mudança é brusca ou gradual? Vamos supor que o objeto em movimento é uma partícula (ou seja, um objeto pontual, como um elétron), ou um objeto que se move como uma partícula (isto é, todas as partes do objeto se movem na mesma direção e com a mesma velocidade). Assim, por exemplo, podemos imaginar que o movimento de uma criança que desliza passivamente em um escorrega é semelhante ao movimento de uma partícula, mas não podemos dizer o mesmo de uma folha de papel levada pelo vento. Posição e Deslocamento Localizar um objeto significa determinar a posição do objeto em relação a um ponto de referência, quase sempre a origem (ou ponto zero) de um eixo, como o eixo x da Fig. 2-1. O sentido positivo do eixo é o sentido em que os números (coordenadas) que indicam a posição dos objetos aumentam de valor. Na grande maioria dos casos, esse sentido é para a direita, como na Fig. 2-1. O sentido oposto é o sentido negativo. Assim, por exemplo, uma partícula pode estar localizada em x = 5 m; isso significa que ela está a 5 m da origem no sentido positivo. Se estivesse localizada em x = −5 m, estaria também a 5 m da origem, mas no sentido oposto. Uma coordenada de −5 m é menor que uma coordenada de −1 m, e ambas são menores que uma coordenada de +5 m. O sinal positivo de uma coordenada não precisa ser mostrado explicitamente, mas o sinal negativo deve sempre ser mostrado. A uma mudança da posição x1 para a posição x2 é associado um deslocamento Δx, dado por Figura 2-1 A posição de um objeto é indicada em relação a um eixo marcado em unidades de comprimento (metros, por exemplo), que se estende indefinidamente nos dois sentidos. O nome do eixo, que na figura é x, aparece sempre no lado positivo do eixo em relação à origem. (O símbolo Δ, a letra grega delta maiúscula, é usada para representar a variação de uma grandeza, e corresponde à diferença entre o valor final e o valor inicial.) Quando atribuímos números às posições x1 e x2 da Eq. 2-1, um deslocamento no sentido positivo (para a direita na Fig. 2-1) sempre resulta em um deslocamento positivo, e um deslocamento no sentido oposto (para a esquerda na figura) sempre resulta em um deslocamento negativo. Assim, por exemplo, se uma partícula se move de x1 = 5 m para x2 = 12 m, Δx = (12 m) − (5 m) = +7 m. O resultado positivo indica que o movimento é no sentido positivo. Se, em vez disso, a partícula se move de x1 = 5 m para x2 = 1 m, Δx = (1 m) − (5 m) = −4 m. O resultado negativo indica que o movimento é no sentido negativo. O número de metros percorridos é irrelevante; o deslocamento envolve apenas as posições inicial e final. Assim, por exemplo, se a partícula se move de x = 5 m para x = 200 m e em seguida volta para x = 5 m, o deslocamento é Δx = (5 m) − (5 m) = 0. Sinais. O sinal positivo do deslocamento não precisa ser mostrado, mas o sinal negativo deve sempre ser mostrado. Quando ignoramos o sinal (e, portanto, o sentido) do deslocamento, obtemos o módulo (ou valor absoluto) do deslocamento. Assim, por exemplo, a um deslocamento Δx = −4 m corresponde um valor absoluto de 4 m. Figura 2-2 Gráfico de x(t) para um tatu que está em repouso em x = −2 m. O valor de x é −2 m para qualquer instante t. O deslocamento é um exemplo de grandeza vetorial, uma grandeza que possui um módulo e uma orientação. Os vetores serão discutidos com mais detalhes no Capítulo 3, mas tudo de que necessitamos no momento é a ideia de que o deslocamento possui duas características: (1) o módulo, que é a distância (como, por exemplo, o número de metros) entre as posições inicial e final; (2) a orientação, que é a direção e o sentido de uma reta que liga a posição inicial à posição final, e pode ser representada, no caso de um movimento ao longo de um único eixo, por um sinal positivo ou negativo. O que se segue é o primeiro dos muitos testes que o leitor encontrará neste livro. Os testes consistem em uma ou mais questões cujas respostas requerem um raciocínio ou cálculo mental e permitem verificar a compreensão do ponto discutido. As respostas aparecem no final do livro. Teste 1 Considere três pares de posições iniciais e finais ao longo do eixo x: (a) −3 m, +5 m; (b) −3 m, −7 m; (c) 7 m, −3 m. Quais desses pares correspondem a deslocamentos negativos? Média e Velocidade Escalar Média Uma forma compacta de descrever a posição de um objeto é desenhar um gráfico da posição x em função do tempo t, ou seja, um gráfico de x(t). [A notação x(t) representa uma função x de t e não o produto de x por t.] Como exemplo simples, a Fig. 2-2 mostra a função posição x(t) de um tatu em repouso (tratado como uma partícula) durante um intervalo de tempo de 7 s. A posição do animal tem sempre o mesmo valor, x = −2 m. A Fig. 2-3 é mais interessante, já que envolve movimento. O tatu é avistado em t = 0, quando está na posição x = −5 m. Ele se move em direção a x = 0, passa por esse ponto em t = 3 s e continua a se deslocar para maiores valores positivos de x. A Fig. 2-3 mostra também o movimento do tatu por meio de desenhos das posições do animal em três instantes de tempo. O gráfico da Fig. 2-3 é mais abstrato, mas revela com que rapidez o tatu se move. Figura 2-3 Gráfico de x(t) para um tatu em movimento. Posições sucessivas do tatu também são mostradas para três instantes de tempo. Na verdade, várias grandezas estão associadas à expressão “com que rapidez”. Uma é a velocidade média vméd, que é a razão entre o deslocamento Δx e o intervalo de tempo Δt durante o qual esse deslocamento ocorreu: A notação indica que a posição é x1 no instante t1 e x2 no instante t2. A unidade de vméd no SI é o metro por segundo (m/s). Outras unidades são usadas neste livro, mas todas têm a forma de comprimento/tempo. Gráficos. Em um gráfico de x em função de t, vméd é a inclinação da reta que liga dois pontos da curva x(t): um dos pontos corresponde a x2 e t2, e o outro corresponde a x1 e t1. Da mesma forma que o deslocamento, vméd possui um módulo e uma orientação (também é uma grandeza vetorial). O módulo é valor absoluto da inclinação da reta. Um valor positivo de vméd (e da inclinação) significa que a reta está inclinada para cima, da esquerda para a direita; um valor negativo de vméd (e da inclinação) significa que a reta está inclinada para baixo, da esquerda para a direita. A velocidade média vméd tem sempre o mesmo sinal do deslocamento Δx porque Δt na Eq. 2-2 é sempre positivo. A Fig. 2-4 mostra como determinar vméd na Fig. 2-3 para o intervalo de tempo de t = 1 s a t = 4 s. Traçamos a linha reta que une os pontos correspondentes ao início e ao final do intervalo de tempo considerado. Em seguida, calculamos a inclinação Δx/Δt da linha reta. Para o intervalo de tempo dado, a velocidade média é A velocidade escalar média sméd é uma forma diferente de descrever “com que rapidez” uma partícula está se movendo. Enquanto a velocidade média envolve o deslocamento da partícula, Δx, a velocidade escalar média é definida em termos da distância total percorrida (o número de metros percorridos, por exemplo), independentemente da direção. Assim, Como velocidade escalar média não depende da orientação do movimento, ela é sempre positiva. Em alguns casos, sméd é igual a vméd. Entretanto, como é mostrado no Exemplo 2.01, as duas velocidades podem ser bem diferentes. Figura 2-4 Cálculo da velocidade média entre t = 1 s e t = 4 s como a inclinação da reta que une os pontos da curva x(t) que correspondem a esses tempos. Exemplo 2.01 Velocidade média de um carro velho Depois de dirigir um carro em uma estrada retilínea por 8,4 km a 70 km/h, você para por falta de gasolina. Nos 30 minutos seguintes, você caminha mais 2,0 km ao longo da estrada até chegar a um posto de gasolina. (a) Qual foi o seu deslocamento total, do início da viagem até chegar ao posto de gasolina? IDEIA-CHAVE Suponha, por conveniência, que você se move no sentido positivo do eixo x, da posição inicial, x1 = 0, até a posição final, x2, no posto de gasolina. A segunda posição é dada por x2 = 8,4 km + 2,0 km = 10,4 km. O deslocamento Δx ao longo do eixo x é a diferença entre a segunda posição e a primeira. Cálculo: De acordo com a Eq. 2-1, temos: Assim, o deslocamento total é 10,4 km no sentido positivo do eixo x. (b) Qual é o intervalo de tempo Δt entre o início da viagem e o instante em que você chega ao posto? IDEIA-CHAVE Já sabemos quanto tempo você passou caminhando, Δtcam (0,50 h), mas não sabemos quanto tempo você passou dirigindo, Δtdir. Sabemos, porém, que você viajou 8,4 km de carro a uma velocidade média vméd,dir = 70 km/h. Essa velocidade média é igual à razão entre o deslocamento do carro e o intervalo de tempo correspondente ao deslocamento. Cálculos: Em primeiro lugar, sabemos que Explicitando Δtdir e substituindo os valores conhecidos, obtemos: (c) Qual é a velocidade média vméd do início da viagem até a chegada ao posto de gasolina? Determine a solução numericamente e graficamente. IDEIA-CHAVE De acordo com a Eq. 2-2, vméd para todo o percurso é a razão entre o deslocamento de 10,4 para todo o percurso e o intervalo de tempo de 0,62 h para todo o percurso. Cálculo: Nesse caso, Para determinar vméd graficamente, traçamos o gráfico da função x(t), como mostra a Fig. 2-5, em que os pontos de partida e chegada são a origem e o ponto assinalado como “Posto”. A velocidade média é a inclinação da reta que une esses pontos, ou seja, vméd é a razão entre a elevação (Δx = 10,4 km) e o curso (Δt = 0,62 h), o que nos dá vméd = 16,8 km/h. (d) Suponha que, para encher um bujão de gasolina, pagar e caminhar de volta para o carro, você leva 45 minutos. Qual é a velocidade escalar média do início da viagem até o momento em que você chega de volta ao lugar onde deixou o carro? IDEIA-CHAVE A velocidade escalar média é a razão entre a distância total percorrida e o tempo gasto para percorrer essa distância. Cálculo: A distância total é 8,4 km + 2,0 km + 2,0 km = 12,4 km. O intervalo de tempo total é 0,12 h + 0,50 h + 0,75 h = 1,37 h. Assim, de acordo com a Eq. 2-3, Figura 2-5 As retas “Dirigindo” e “Caminhando” são os gráficos da posição em função do tempo para os deslocamentos de carro e a pé. (O gráfico para o deslocamento a pé supõe uma caminhada com velocidade constante.) A inclinação da reta que liga a origem ao ponto “Posto” é a velocidade média para o percurso até o posto. 2-2 VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 2.07 Calcular a velocidade instantânea de uma partícula em um dado instante a partir da função que descreve a posição da partícula em função do tempo. 2.08 Calcular a velocidade instantânea de uma partícula em um dado instante a partir do gráfico que mostra a posição da partícula em função do tempo. 2.09 Saber que a velocidade escalar é o módulo da velocidade instantânea. Ideias-Chave • A velocidade instantânea (ou simplesmente, velocidade) de uma partícula é dada por em que Δx = x2 − x1 e Δt = t2 − t1. • A velocidade instantânea em um dado instante é dada pela inclinação do gráfico da posição x em função do tempo t nesse instante. • A velocidade escalar instantânea é o módulo da velocidade instantânea. Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Instantânea Vimos até agora duas formas de descrever a rapidez com a qual um objeto está se movendo: a velocidade média e a velocidade escalar média, ambas medidas para um intervalo de tempo Δt. Entretanto, quando falamos em “rapidez”, em geral estamos pensando na rapidez com a qual um objeto está se movendo em um determinado instante, ou seja, na velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade), v. A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de tempo Δt até torná-lo próximo de zero. Quando Δt diminui, a velocidade média se aproxima cada vez mais de um valor limite, que é a velocidade instantânea: Observe que v é a taxa com a qual a posição x está variando com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a derivada de x em relação a t. Note também que v, em qualquer instante, é a inclinação da curva que representa a posição em função do tempo no instante considerado. A velocidade instantânea também é uma grandeza vetorial e, portanto, possui uma orientação. Velocidade escalar instantânea, ou, simplesmente, velocidade escalar, é o módulo da velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de qualquer indicação de orientação. (Atenção: A velocidade escalar e a velocidade escalar média podem ser muito diferentes.) A velocidade escalar de um objeto que está se movendo a uma velocidade de +5 m/s é a mesma (5 m/s) que a de um objeto que está se movendo a uma velocidade de −5 m/s. O velocímetro do carro indica a velocidade escalar e não a velocidade, já que não mostra para onde o carro está se movendo. Teste 2 As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos (em todas as equações, x está em metros, t está em segundos, e t > 0): (1) x = 3t − 2; (2) x = −4t2 − 2; (3) x = 2/t2; (4) x = −2. (a) Em que caso(s) a velocidade v da partícula é constante? (b) Em que caso(s) a velocidade v está orientada no sentido negativo do eixo x? Exemplo 2.02 Velocidade e inclinação da curva de x em função de t: elevador A Fig. 2-6a mostra o gráfico x(t) de um elevador que, depois de passar algum tempo parado, começa a se mover para cima (que tomamos como o sentido positivo de x) e depois para novamente. Plote v(t). IDEIA-CHAVE Podemos determinar a velocidade em qualquer instante calculando a inclinação da curva de x(t) nesse instante. Cálculos: A inclinação de x(t), e também a velocidade, é zero nos intervalos de 0 a 1 s e de 9 s em diante, já que o elevador está parado nesses intervalos. No intervalo bc, a inclinação é constante e diferente de zero, o que significa que o elevador está se movendo com velocidade constante. A inclinação de x(t) é dada por O sinal positivo indica que o elevador está se movendo no sentido positivo do eixo x. Os intervalos, nos quais v = 0 e v = 4 m/s, estão plotados na Fig. 2-6b. Além disso, como o elevador começa a se mover a partir do repouso e depois reduz a velocidade até parar, nos intervalos de 1 s a 3 s e de 8 s a 9 s, v varia da forma indicada no gráfico. Assim, a Fig. 2-6b é o gráfico pedido. (A Fig. 2- 6c será discutida no Módulo 2-3.) Se fosse dado um gráfico de v(t) como a Fig. 2-6b, poderíamos “retroagir” para determinar a forma do gráfico de x(t) correspondente (Fig. 2-6a). Entretanto, não conheceríamos os verdadeiros valores de x nos vários instantes de tempo, porque o gráfico de v(t) contém informações apenas sobre as variações de x. Para determinar a variação de x em um intervalo dado, devemos, na linguagem do cálculo, calcular a área “sob a curva” no gráfico de v(t) para esse intervalo. Assim, por exemplo, durante o intervalo de 3 s a 8 s, no qual o elevador tem uma velocidade de 4,0 m/s, a variação de x é (A área é positiva porque a curva v(t) está acima do eixo t.) A Fig. 2-6a mostra que x realmente aumenta de 20 m nesse intervalo. Entretanto, a Fig. 2-6b nada nos diz sobre os valores de x no início e no final do intervalo. Para isso, necessitamos de uma informação adicional, como o valor de x em um dado instante. Figura 2-6 (a) A curva x(t) de um elevador que se move para cima ao longo do eixo x. (b) A curva v(t) do elevador. Note que essa curva é a derivada da curva x(t) (v = dx/dt). (c) A curva a(t) do elevador, que é a derivada da curva v(t) (a = dv/dt). As figuras na parte de baixo dão uma ideia de como um passageiro se sente durante as acelerações. 2-3 ACELERAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 2.10 Conhecer a relação entre a aceleração média de uma partícula, a variação de velocidade da partícula e o intervalo de tempo durante o qual essa variação acontece. 2.11 Calcular a aceleração instantânea de uma partícula em um dado instante e a aceleração média entre dois instantes a partir da função que descreve a velocidade da partícula em função do tempo. 2.12 Calcular a aceleração instantânea de uma partícula em um dado instante e a aceleração média entre dois instantes a partir do gráfico que mostra a velocidade da partícula em função do tempo. Ideias-Chave • Aceleração média é a razão entre a variação de velocidade Δv de uma partícula e o intervalo de tempo Δt durante o qual a variação ocorre: • O sinal algébrico indica o sentido de améd. • Aceleração instantânea (ou, simplesmente, aceleração), a, é a derivada primeira da velocidade v(t) em relação ao tempo e a segunda derivada da posição x(t) em relação ao tempo: • Em um gráfico de v em função de t, a aceleração a em um dado instante é a inclinação do gráfico no ponto correspondente a esse instante. Aceleração Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofreu uma aceleração (ou foi acelerada). Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média améd em um intervalo de tempo Δt é dada por em que v1 é a velocidade da partícula no instante t1, e v2 é a velocidade da partícula no instante t2. A aceleração instantânea (ou, simplesmente, aceleração) é dada por Em palavras, a aceleração de uma partícula em um dado instante é a taxa com a qual a velocidade está variando nesse instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v(t) nesse ponto. Podemos combinar a Eq. 2-8 com a Eq. 2-4 e escrever Em palavras, a aceleração de uma partícula em um dado instante é a derivada segunda da posição x(t) em relação ao tempo nesse instante. A unidade de aceleração no SI é o metro por segundo ao quadrado, m/s2. Outras unidades são usadas neste livro, mas todas estão na forma de comprimento/tempo2. Da mesma forma que o deslocamento e a velocidade, a aceleração possui um módulo e uma orientação (ou seja, também é uma grandeza vetorial). O sinal algébrico representa o sentido em relação a um eixo; uma aceleração com um valor positivo tem o sentido positivo do eixo, enquanto uma aceleração com um valor negativo tem o sentido negativo do eixo. A Fig. 2-6 mostra os gráficos da posição, velocidade e aceleração do elevador do Exemplo 2-02. Compare a curva de a(t) com a curva de v(t); cada ponto na curva de a(t) corresponde à derivada (inclinação) da curva de v(t) no mesmo instante de tempo. Quando v é constante (com o valor de 0 ou 4 m/s), a derivada é nula e, portanto, a aceleração é nula. Quando o elevador começa a se mover, a curva de v(t) tem derivada positiva (a inclinação é positiva), o que significa que a(t) é positiva. Quando o elevador reduz a velocidade até parar, a derivada e a inclinação da curva de v(t) são negativas, ou seja, a(t) é negativa. Compare as inclinações da curva de v(t) nos dois períodos de aceleração. A inclinação associada à redução de velocidade do elevador (ou seja, à “desaceleração”) é maior porque o elevador para na metade do tempo que levou para atingir uma velocidade constante. Uma inclinação maior significa que o módulo da desaceleração é maior que o da aceleração, como mostra a Fig. 2-6c. Sensações. As sensações que o leitor teria se estivesse no elevador da Fig. 2-6 estão indicadas pelos bonequinhos que aparecem na parte inferior da figura. Quando o elevador acelera, você se sente como se estivesse sendo empurrado para baixo; mais tarde, quando o elevador freia até parar, você tem a impressão de que está sendo puxado para cima. Entre esses dois intervalos, você não sente nada de especial. Em outras palavras, nosso corpo reage a acelerações (é um acelerômetro), mas não a velocidades (não é um velocímetro). Quando estamos viajando de carro a 90 km/h ou viajando de avião a 900 km/h, não temos nenhuma sensação de movimento. Entretanto, se o carro ou avião muda bruscamente de velocidade, percebemos imediatamente a mudança e podemos até ficar assustados. Boa parte da emoção que sentimos quando andamos de montanha-russa se deve às mudanças súbitas de velocidade às quais somos submetidos (pagamos pela aceleração, não pela velocidade). Um exemplo mais extremo aparece nas fotografias da Fig. 2-7, tiradas enquanto um trenó a jato era rapidamente acelerado sobre trilhos e depois freado bruscamente até parar. Unidades g. Grandes acelerações são às vezes expressas em unidades g, definidas da seguinte forma: (Como vamos discutir no Módulo 2-5, g é o módulo da aceleração de um objeto em queda livre nas proximidades da superfície da Terra.) Uma montanha-russa submete os passageiros a uma aceleração de até 3g, o equivalente a (3)(9,8 m/s2), ou cerca de 29 m/s2, um valor mais do que suficiente para justificar o preço do passeio. Sinal. O sinal da aceleração tem significados diferentes na linguagem popular e na linguagem científica. Na linguagem popular, dizer que um objeto tem uma aceleração positiva significa que a velocidade do objeto está aumentando, e dizer que o objeto tem uma aceleração negativa significa que a velocidade do objeto está diminuindo (ou seja, que o objeto está desacelerando). Neste livro, porém, como em todos os textos científicos, o sinal é usado para indicar o sentido da aceleração e não se a velocidade do objeto está aumentando ou diminuindo. Assim, se um carro com velocidade inicial v = −25 m/s é freado até parar em 5,0 s, améd = +5,0 m/s2. A aceleração é positiva, mas a velocidade escalar do carro diminuiu. A razão está na diferença de sinais: a aceleração, neste caso, tem o sentido oposto ao da velocidade. Cortesia da Força Aérea dos Estados Unidos Figura 2-7 O coronel J. P. Stapp em um trenó a jato cuja velocidade aumenta bruscamente (aceleração para fora do papel) e, em seguida, diminui bruscamente (aceleração para dentro do papel). A forma apropriada de interpretar o sinal da aceleração é a seguinte: Se os sinais da velocidade e da aceleração de uma partícula são iguais, a velocidade escalar da partícula aumenta. Se os sinais são opostos, a velocidade escalar diminui. Teste 3 Um marsupial se move ao longo do eixo x. Qual é o sinal da aceleração do animal se ele está se movendo (a) no sentido positivo com velocidade escalar crescente; (b) no sentido positivo com velocidade escalar decrescente; (c) no sentido negativo com velocidade escalar crescente; (d) no sentido negativo com velocidade escalar decrescente? Exemplo 2.03 Aceleração e dv/dt A posição de uma partícula no eixo x da Fig. 2-1 é dada por x = 4 – 27t + t3, com x em metros e t em segundos. (a) Como a posição x varia com o tempo t, a partícula está em movimento. Determine a função velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da partícula. IDEIAS-CHAVE (1) Para obter a função velocidade v(t), derivamos a função posição x(t) em relação ao tempo. (2) Para obter a função aceleração a(t), derivamos a função velocidade v(t) em relação ao tempo. Cálculos: Derivando a função posição, obtemos com v em metros por segundo. Derivando a função velocidade, obtemos com a em metros por segundo ao quadrado. (b) Existe algum instante para o qual v = 0? Cálculo: Fazendo v(t) = 0, obtemos 0 = – 27 + 3t2, e, portanto, Assim, a velocidade é zero 3 s antes e 3 s depois do instante t = 0. (c) Descreva o movimento da partícula para t ≥ 0. Raciocínio: Precisamos examinar as expressões de x(t), v(t) e a(t). Em t = 0, a partícula está em x(0) = +4 m e está se movendo com velocidade v(0) = −27 m/s, ou seja, no sentido negativo do eixo x. A aceleração é a(0) = 0 porque, nesse instante, a velocidade da partícula não está variando (Fig. 2-8a). Para 0 < t < 3 s, a partícula ainda possui velocidade negativa e, portanto, continua a se mover no sentido negativo. Entretanto, a aceleração não mais é igual a zero e sim crescente e positiva. Como os sinais da velocidade e da aceleração são opostos, o módulo da velocidade da partícula deve estar diminuindo (Fig. 2-8b). De fato, já sabemos que a partícula para momentaneamente em t = 3 s. Nesse instante, a partícula se encontra na maior distância à esquerda da origem na Fig. 2-8. Fazendo t = 3 s na expressão de x(t), descobrimos que a posição da partícula nesse instante é x = −50 m (Fig. 2-8c). A aceleração ainda é positiva. Para t > 3 s, a partícula se move para a direita sobre o eixo. A aceleração permanece positiva e aumenta progressivamente em módulo. A velocidade agora é positiva e o módulo da velocidade também aumenta progressivamente (Fig. 2-8d). Figura 2-8 Quatro estágios do movimento da partícula do Exemplo 2.03. 2-4 ACELERAÇÃO CONSTANTE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 2.13 Conhecer as relações entre posição, deslocamento, velocidade, aceleração e tempo para o caso de uma aceleração constante (Tabela 2-1). 2.14 Calcular a variação de velocidade de uma partícula integrando a função aceleração relativamente ao tempo. 2.15 Calcular a variação de posição de uma partícula integrando a função velocidade em relação ao tempo. Ideias-Chave • As cinco equações a seguir descrevem o movimento de uma partícula com aceleração constante. Essas equações não são válidas quando a aceleração não é constante. Aceleração Constante: Um Caso Especial Em muitos tipos de movimento, a aceleração é constante ou aproximadamente constante. Assim, por exemplo, você pode acelerar um carro a uma taxa aproximadamente constante quando a luz de um sinal de trânsito muda de vermelho para verde. Nesse caso, os gráficos da posição, velocidade e aceleração do carro se assemelham aos da Fig. 2-9. [Note que a(t) na Fig. 2-9c é constante, o que requer que v(t) na Fig. 2-9b tenha uma inclinação constante.] Mais tarde, quando você freia o carro até parar, a aceleração (ou desaceleração, na linguagem comum) pode ser também constante. Casos como esse são tão frequentes que foi formulado um conjunto especial de equações para lidar com eles. Uma forma de obter essas equações é apresentada nesta seção; uma segunda forma será apresentada na seção seguinte. Nas duas seções e mais tarde, quando você trabalhar na solução dos problemas, lembre-se de que essas soluções são válidas apenas quando a aceleração é constante (ou em situações nas quais a aceleração pode ser considerada aproximadamente constante). Primeira Equação Básica. Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração instantânea são iguais e podemos escrever a Eq. 2-7, com algumas mudanças de notação, na forma Aqui, v0 é a velocidade no instante t = 0 e v é a velocidade em um instante de tempo posterior t. Explicitando v, obtemos: Como verificação, note que essa equação se reduz a v = v0 para t = 0, como era de se esperar. Como verificação adicional, vamos calcular a derivada da Eq. 2-11. O resultado é dv/dt = a, o que corresponde à definição de a. A Fig. 2-9b mostra o gráfico da Eq. 2-11, a função v(t); a função é linear e, portanto, o gráfico é uma linha reta. Segunda Equação Básica. De maneira análoga, podemos escrever a Eq. 2-2 (com algumas mudanças de notação) na forma Figura 2-9 (a) A posição x(t) de uma partícula que se move com aceleração constante. (b) A velocidade da partícula, v(t), dada em cada ponto pela inclinação da curva de x(t). (c) A aceleração (constante) da partícula, igual à inclinação (constante) da curva de v(t). o que nos dá em que x0 é a posição da partícula em t = 0 e vméd é a velocidade média entre t = 0 e um instante de tempo posterior t. Para a função velocidade linear da Eq. 2-11, a velocidade média em qualquer intervalo de tempo (de t = 0 a um instante posterior t, digamos) é a média aritmética da velocidade no início do intervalo (v0) com a velocidade no final do intervalo (v). Para o intervalo de t = 0 até um instante posterior t, portanto, a velocidade média é Substituindo v pelo seu valor, dado pela Eq. 2-11, obtemos, agrupando os termos, Finalmente, substituindo a Eq. 2-14 na Eq. 2-12, obtemos: Como verificação, note que a equação se reduz a x = x0 para t = 0, como era de se esperar. Como verificação adicional, vamos calcular a derivada da Eq. 2-15. O resultado é a Eq. 2-11, como era esperado. A Fig. 2-9a mostra o gráfico da Eq. 2-15; como a função é do segundo grau, o gráfico não é uma linha reta. Três Outras Equações. As Eqs. 2-11 e 2-15 são as equações básicas do movimento com aceleração constante; elas podem ser usadas para resolver qualquer problema deste livro que envolva uma aceleração constante. Entretanto, outras equações, deduzidas a partir das equações básicas, podem ser úteis em situações específicas. Observe que um problema com aceleração constante pode envolver até cinco grandezas: x − x0, v, t, a e v0. Normalmente, uma dessas grandezas não está envolvida no problema, nem como dado, nem como incógnita. São fornecidas três das grandezas restantes e o problema consiste em determinar a quarta. As Eqs. 2-11 e 2-15 contêm, cada uma, quatro dessas grandezas, mas não as mesmas quatro. Na Eq. 2- 11, a grandeza ausente é o deslocamento x − x0. Na Eq. 2-15, é a velocidade v. As duas equações podem ser combinadas de três maneiras diferentes para produzir três novas equações, cada uma das quais envolve quatro grandezas diferentes. Em primeiro lugar, podemos eliminar t para obter Essa equação é útil se não conhecemos t e não precisamos determinar o seu valor. Em segundo lugar, podemos eliminar a aceleração a, combinando as Eqs. 2-11 e 2-15 para obter uma equação em que a não aparece: Finalmente, podemos eliminar v0, obtendo Note a diferença sutil entre esta equação e a Eq. 2-15. Uma envolve a velocidade inicial v0; a outra envolve a velocidade v no instante t. A Tabela 2-1 mostra as equações básicas do movimento com aceleração constante (Eqs. 2-11 e 2-15), assim como as equações especiais que deduzimos. Para resolver um problema simples envolvendo aceleração constante, em geral é possível usar uma equação da lista (se você puder consultar a lista). Escolha uma equação para a qual a única variável desconhecida é a variável pedida no problema. Um plano mais simples é memorizar apenas as Eqs. 2-11 e 2-15 e montar com elas um sistema de equações, caso isso seja necessário. Tabela 2-1 Equações do Movimento com Aceleração Constantea Número da Equação Equação Grandeza que Falta 2-11 v = v0 + at x – x0 2-15 v 2-16 t 2-17 a 2-18 v0 aCertifique-se de que a aceleração é constante antes de usar as equações desta tabela. Teste 4 As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos: (1) x = 3t − 4; (2) x = −5t3 + 4t2 + 6; (3) x = 2/t2 – 4/t; (4) x = 5t2 − 3. Em que caso(s) as equações da Tabela 2-1 podem ser aplicadas? Exemplo 2.04 Corrida entre um carro e uma motocicleta Um vídeo muito popular na internet mostra um avião a jato, um carro esportivo e uma motocicleta apostando corrida em uma pista de pouso (Fig. 2-10). Logo depois da partida, a motocicleta está na liderança, mas é ultrapassada pelo avião e, pouco depois, pelo carro. Neste exemplo, vamos considerar apenas o carro e a motocicleta e analisar o movimento dos dois veículos em função do tempo usando valores típicos para os parâmetros envolvidos. A motocicleta assume inicialmente a liderança porque sua aceleração (constante) am = 8,40 m/s2 é maior que a aceleração (constante) do carro, ac = 5,60 m/s2, mas é ultrapassada pelo carro porque sua velocidade máxima vm = 58,8 m/s é menor que a velocidade do carro, vc = 106 m/s. Quanto tempo o carro leva para emparelhar com a motocicleta? IDEIAS-CHAVE Podemos aplicar as equações de aceleração constante aos dois veículos. No caso da motocicleta, porém, devemos dividir o movimento em duas partes: (1) Primeiro, a motocicleta percorre uma distância xm1, com velocidade inicial zero e aceleração am = 8,40 m/s2 até atingir a velocidade de 58,8 m/s. (2) Em seguida, a motocicleta percorre uma distância xm2 com uma velocidade constante vm = 58,8 m/s e aceleração zero (que é, também, uma aceleração constante). (Note que usamos símbolos para distâncias cujos valores ainda não conhecemos. Escrever equações que envolvem valores desconhecidos muitas vezes ajuda a resolver problemas de física, mas requer certa coragem.) Cálculos: Vamos supor que os veículos estão se movendo no sentido positivo do eixo x e partiram do ponto x = 0 no instante t = 0. (Os valores iniciais do tempo e da posição são arbitrários, já que estamos interessados em calcular um intervalo de tempo e não um instante específico, como 2 horas da tarde; já que podemos escolher, optamos por números bem simples.) Figura 2-10 Um avião a jato, um carro e uma motocicleta logo após acelerar a partir do repouso. Queremos saber para que valor de t o carro e a motocicleta estão emparelhados, mas o que significa isso matematicamente? Significa que, para esse valor de t, as coordenadas dos dois veículos são iguais: a coordenada xc no caso do carro e a soma de distâncias xm1 + xm2 no caso da motocicleta. Essa descrição pode ser traduzida em uma equação matemática: [Na maioria dos problemas de física, esse primeiro passo é a parte mais difícil. Como passar da descrição do problema (em palavras) para uma equação matemática? Um dos objetivos deste livro é ajudar o estudante a adquirir a capacidade de dar esse primeiro passo por conta própria, o que exige muita dedicação e muito treinamento, como acontece, por exemplo, com alguém que quer aprender a jogar tênis.] Vamos agora analisar os dois lados da equação, começando pelo lado esquerdo. Para chegar ao ponto xc, o carro acelera a partir do repouso. Fazendo x = xc, x0 = 0 e v0 = 0 na Eq. 2-15 (x – x0 = v0t + at2), obtemos: Para substituir xm1 por uma expressão semelhante à Eq. 2-20, precisamos determinar o tempo tm que a motocicleta leva para atingir a velocidade máxima vm, usando para isso a Eq. 2-11 (v = v0 + at). Fazendo v0 = 0, v = vm = 58,8 m/s e a = am = 8,40 m/s2, obtemos: Para obter a distância xm1 coberta pela motocicleta na primeira parte do percurso, usamos novamente a Eq. 2-15 com x0 = 0 e v0 = 0, mas, desta vez, substituímos o tempo pela expressão dada pela Eq. 2-21, o que nos dá Durante o resto do tempo, t − tm, a motocicleta se move com velocidade constante (a velocidade máxima) e, portanto, a aceleração é zero. Para obter a distância xm2 coberta nessa parte do percurso, usamos novamente a Eq. 2-15, mas, desta vez, com v0 = vm (a velocidade no final da primeira parte) e a = 0. O resultado é o seguinte: Para concluir os cálculos, substituímos as Eqs. 2-20, 2-22 e 2-23 na Eq. 2-19, o que nos dá Substituindo ac, vm e am por valores numéricos, obtemos uma equação do segundo grau em t, cujas raízes (obtidas usando a fórmula de Báskara ou uma calculadora) são t = 4,44 s e t = 16,6 s. O que vamos fazer com duas respostas? Será que o carro emparelha duas vezes com a motocicleta? Não, claro que não, já que, depois que o carro passa pela motocicleta, a distância entre os dois veículos aumenta cada vez mais. A única conclusão possível é que uma das soluções da equação do segundo grau não tem significado físico. Como sabemos que o carro emparelha com a motocicleta depois que a motocicleta atinge a velocidade máxima, o que acontece no instante t = 7,00 s, descartamos a solução que nos dá um tempo t < 7,00 s e concluímos que a ultrapassagem acontece no instante A Fig. 2-11 mostra um gráfico da posição do carro e da motocicleta em função do tempo, com o ponto de ultrapassagem assinalado. Note que, a partir de t = 7,00 s, o gráfico da posição da motocicleta, que tinha a forma de uma parábola (porque a velocidade estava aumentando), passa a ter a forma de uma reta (porque a velocidade se tornou constante). Figura 2-11 Gráfico da posição do carro e da motocicleta em função do tempo. Mais sobre Aceleração Constante* As duas primeiras equações da Tabela 2-1 são as equações básicas a partir das quais as outras podem ser deduzidas. Essas duas equações podem ser obtidas por integração da aceleração com a condição de que a seja uma constante. Para obter a Eq. 2-11, escrevemos a definição de aceleração (Eq. 2-8) na forma dv = a dt. Em seguida, calculamos a integral indefinida (ou antiderivada) dos dois membros da equação: Como a aceleração a é constante, pode ser colocada do lado de fora do sinal de integração. Assim, temos: Para determinar a constante de integração C, fazemos t = 0 e chamamos de v0 a velocidade nesse instante. Substituindo esses valores na Eq. 2-25 (que é válida para qualquer valor de t, incluindo t = 0), obtemos v0 = (a)(0) + C = C. Substituindo esse valor na Eq. 2-25, obtemos a Eq. 2-11. Para demonstrar a Eq. 2-15, escrevemos a definição de velocidade (Eq. 2-4) na forma dx = v dt e integramos ambos os membros da equação para obter Substituindo v pelo seu valor, dado pela Eq. 2-11, temos: Como v0 e a são constantes, podemos escrever Integrando, obtemos em que Cʹ é outra constante de integração. Para determinar a constante de integração Cʹ, fazemos t = 0 e chamamos de x0 a posição nesse instante. Substituindo esses valores na Eq. 2-26, obtemos x0 = Cʹ. Substituindo Cʹ por x0 na Eq. 2-26, obtemos a Eq. 2-15. 2-5 ACELERAÇÃO EM QUEDA LIVRE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 2.16 Saber que, se uma partícula está em movimento livre (de queda ou de subida) e se o efeito do ar pode ser desprezado, a partícula sofre uma aceleração constante para baixo cujo módulo g é aproximadamente 9,8 m/s2. 2.17 Aplicar as equações de aceleração constante (Tabela 2-1) ao movimento livre de objetos. Ideias-Chave • Um exemplo importante de movimento em linha reta com aceleração constante é o de um objeto que está subindo ou caindo livremente na vertical perto da superfície da Terra. As equações para aceleração constante podem ser usadas para descrever o movimento, mas é preciso fazer duas mudanças na notação: (1) o movimento deve ser descrito em relação e um eixo vertical y, com o sentido positivo do eixo y para cima; (2) a aceleração a deve ser substituída por –g, em que g é o módulo da aceleração em queda livre. Perto da superfície da Terra, g = 9,8 m/s2 Aceleração em Queda Livre Se o leitor arremessasse um objeto para cima ou para baixo e pudesse de alguma forma eliminar o efeito do ar sobre o movimento, observaria que o objeto sofre uma aceleração constante para baixo, conhecida como aceleração em queda livre, cujo módulo é representado pela letra g. O valor dessa aceleração não depende das características do objeto, como massa, densidade e forma; é a mesma para todos os objetos. A Fig. 2-12 mostra dois exemplos de aceleração em queda livre através de uma série de fotos estroboscópicas de uma pena e de uma maçã. Enquanto caem, os objetos sofrem uma aceleração para baixo, que nos dois casos é igual a g. Assim, as velocidades dos dois objetos aumentam à mesma taxa, e eles caem juntos. O valor de g varia ligeiramente com a latitude e com a altitude. Ao nível do mar e em latitudes médias, o valor é 9,8 m/s2, que é o valor que o leitor deve usar como número exato nos problemas deste livro, a menos que seja dito o contrário. As equações de movimento da Tabela 2-1 para aceleração constante também se aplicam à queda livre nas proximidades da superfície da Terra, ou seja, se aplicam a um objeto que esteja descrevendo uma trajetória vertical, para cima ou para baixo, contanto que os efeitos do ar possam ser desprezados. Observe, porém, que, no caso da queda livre, por convenção, (1) a direção do movimento é ao longo de um eixo y vertical e não ao longo de um eixo x horizontal, com o sentido positivo de y para cima (isso será importante em capítulos subsequentes, em que examinaremos movimentos simultâneos nas direções horizontal e vertical); (2) a aceleração em queda livre é negativa, ou seja, para baixo, em direção ao centro da Terra, e, portanto, tem o valor −g nas equações. © Jim Sugar/CORBIS Figura 2-12 Uma pena e uma maçã em queda livre no vácuo sofrem a mesma aceleração g. É por isso que a distância entre as imagens estroboscópicas aumenta durante a queda, e o aumento é o mesmo para os dois objetos. A aceleração em queda livre nas proximidades da superfície da Terra é a = −g = −9,8 m/s2, e o módulo da aceleração é g = 9,8 m/s2. Não substitua g por −9,8 m/s2 (mas sim por 9,8 m/s2). Suponha que você arremesse um tomate verticalmente para cima com uma velocidade inicial (positiva) v0 e o apanhe quando ele volta ao nível inicial. Durante a trajetória em queda livre (do instante imediatamente após o lançamento ao instante imediatamente antes de ser apanhado), as equações da Tabela 2-1 se aplicam ao movimento do tomate. A aceleração é sempre a = −g = −9,8 m/s2, negativa e, portanto, dirigida para baixo. A velocidade, entretanto, varia, como mostram as Eqs. 2-11 e 2-16: na subida, a velocidade é positiva e o módulo diminui até se tornar momentaneamente igual a zero. Nesse instante, o tomate atinge a altura máxima. Na descida, o módulo da velocidade (agora negativa) cresce. Teste 5 (a) Se você arremessa uma bola verticalmente para cima, qual é o sinal do deslocamento da bola durante a subida, desde o ponto inicial até o ponto mais alto da trajetória? (b) Qual é o sinal do deslocamento durante a descida, desde o ponto mais alto da trajetória até o ponto inicial? (c) Qual é a aceleração da bola no ponto mais alto da trajetória? Exemplo 2.05 Tempo de percurso de uma bola de beisebol lançada verticalmente Na Fig. 2-13, um lançador arremessa uma bola de beisebol para cima ao longo do eixo y, com uma velocidade inicial de 12 m/s. (a) Quanto tempo a bola leva para chegar ao ponto mais alto da trajetória? IDEIAS-CHAVE (1) Entre o instante em que a bola é lançada e o instante em que volta ao ponto de partida, sua aceleração é a aceleração em queda livre, a = −g. Como a aceleração é constante, podemos usar as equações da Tabela 2-1. (2) A velocidade v no instante em que a bola atinge a altura máxima é 0. Cálculo: Como conhecemos v, a e a velocidade inicial v0 = 12 m/s e estamos interessados em determinar o valor de t, escolhemos a Eq. 2-11, que contém essas quatro variáveis. Explicitando t, obtemos: (b) Qual é a altura máxima alcançada pela bola em relação ao ponto de lançamento? Cálculo: Podemos tomar o ponto de lançamento da bola como y0 = 0. Nesse caso, podemos escrever a Eq. 2-16 com y no lugar de x, fazer y − y0 = y e v = 0 (na altura máxima) e explicitar y. O resultado é (c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5,0 m acima do ponto inicial? Cálculo: Como conhecemos v0, a = −g e o deslocamento y − y0 = 5,0 m e queremos determinar t; escolhemos então a Eq. 2-15. Substituindo x por y e fazendo y0 = 0, obtemos Omitindo temporariamente as unidades (depois de observar que são coerentes), podemos escrever esta equação na forma 4,9t2 – 12t + 5,0 = 0. Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos Existem duas respostas diferentes! Isso, na verdade, não chega a ser uma surpresa, pois a bola passa duas vezes pelo ponto y = 5,0 m, uma vez na subida e outra vez na descida. Figura 2-13 Um lançador arremessa uma bola de beisebol para cima. As equações de queda livre se aplicam tanto a objetos que estão subindo como a objetos que estão caindo, desde que a influência do ar possa ser desprezada. 2-6 INTEGRAÇÃO GRÁFICA NA ANÁLISE DE MOVIMENTOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 2.18 Determinar a variação de velocidade de uma partícula por integração gráfica em um gráfico da aceleração em função do tempo. 2.19 Determinar a variação de posição de uma partícula por integração gráfica em um gráfico da velocidade em função do tempo. Ideias-Chave • Em um gráfico da aceleração a em função do tempo t, a variação de velocidade é dada por • Essa integral é numericamente igual a uma área do gráfico: • Em um gráfico da velocidade v em função do tempo t, a variação de posição é dada por essa integral é numericamente igual a uma área do gráfico: Integração Gráfica na Análise de Movimentos Integração da Aceleração. Quando temos o gráfico da aceleração a de um objeto em função do tempo t, podemos integrar o gráfico para obter a velocidade do objeto em qualquer instante dado. Como a aceleração a é definida em termos da velocidade como a = dv/dt, o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que O lado direito da equação é uma integral definida (fornece um resultado numérico em vez de uma função), v0 é a velocidade no instante t0, e v1 é a velocidade em um instante posterior t1. A integral definida pode ser calculada a partir do gráfico de a(t), como na Fig. 2-14a. Em particular, Se a unidade de aceleração é 1 m/s2 e a unidade de tempo é 1 s, a unidade de área no gráfico é (1 m/s2)(1 s) = 1 m/s, que é (como devia ser) a unidade de velocidade. Quando a curva da aceleração está acima do eixo do tempo, a área é positiva; quando a curva está abaixo do eixo do tempo, a área é negativa. Integração da Velocidade. Da mesma forma, como a velocidade v é definida em termos da posição x como v = dx/dt, então em que x0 é a posição no instante t0, e x1 é a posição no instante t1. A integral definida no lado direito da Eq. 2-29 pode ser calculada a partir do gráfico de v(t), como mostra a Fig. 2-14b. Em particular, Se a unidade de velocidade é 1 m/s e a unidade de tempo é 1 s, a unidade de área no gráfico é (1 m/s)(1 s) = 1 m, que é (como devia ser) uma unidade de posição e deslocamento. A questão de essa área ser positiva ou negativa é determinada da mesma forma que para a curva a(t) da Fig. 2-14a. Figura 2-14 Área entre uma curva e o eixo dos tempos, do instante t0 ao instante t1, indicada (a) em um gráfico da aceleração a em função do tempo t e (b) em um gráfico da velocidade v em função do tempo t. Exemplo 2.06 Integração gráfica de a em função de t: efeito chicote Lesões do pescoço causadas pelo “efeito chicote” são frequentes em colisões traseiras, em que um automóvel é atingido por trás por outro automóvel. Na década de 1970, os pesquisadores concluíram que a lesão ocorria porque a cabeça do ocupante era jogada para trás por cima do banco quando o carro era empurrado para frente. A partir desta observação, foram instalados encostos de cabeça nos carros, mas as lesões de pescoço nas colisões traseiras continuaram a acontecer. Em um teste recente para estudar as lesões do pescoço em colisões traseiras, um voluntário foi preso por cintos a um assento, que foi movimentado bruscamente para simular uma colisão na qual o carro de trás estava se movendo a 10,5 km/h. A Fig. 2-15a mostra a aceleração do tronco e da cabeça do voluntário durante a colisão, que começa no instante t = 0. O início da aceleração do tronco sofreu um retardo de 40 ms, tempo que o encosto do assento levou para ser comprimido contra o voluntário. A aceleração da cabeça sofreu um retardo de mais 70 ms. Qual era a velocidade do tronco quando a cabeça começou a acelerar? IDEIA-CHAVE Podemos determinar a velocidade escalar do tronco em qualquer instante calculando a área sob a curva da aceleração do tronco, a(t). Cálculos: Sabemos que a velocidade inicial do tronco é v0 = 0 no instante t0 = 0, ou seja, no início da “colisão”. Queremos obter a velocidade do tronco v1 no instante t1 = 110 ms, ou seja, quando a cabeça começa a acelerar. Combinando as Eqs. 2-27 e 2-28, podemos escrever: Por conveniência, vamos separar a área em três regiões (Fig. 2-15b). De 0 a 40 ms, a região A tem área nula: áreaA = 0. De 40 ms a 100 ms, a região B tem a forma de um triângulo cuja área é De 100 ms a 110 ms, a região C tem a forma de um retângulo cuja área é áreaC = (0,010 s)(50 m/s2) = 0,50 m/s. Substituindo esses valores e fazendo v0 = 0 na Eq. 2-31, obtemos: Comentários: Quando a cabeça está começando a se mover para a frente, o tronco já tem uma velocidade de 7,2 km/h. Os pesquisadores afirmam que é essa diferença de velocidades nos primeiros instantes de uma colisão traseira que causa lesões do pescoço. O movimento brusco da cabeça para trás acontece depois e pode agravar a lesão, especialmente se não existir um encosto para a cabeça. Figura 2-15 (a) Curva de a(t) para o tronco e a cabeça de um voluntário em uma simulação de colisão traseira. (b) Separação em três partes da região entre a curva e o eixo dos tempos para calcular a área. Revisão e Resumo Posição A posição x de uma partícula em um eixo x mostra a que distância a partícula se encontra da origem, ou ponto zero, do eixo. A posição pode ser positiva ou negativa, dependendo do lado em que se encontra a partícula em relação à origem (ou zero, se a partícula estiver exatamente na origem). O sentido positivo de um eixo é o sentido em que os números que indicam a posição da partícula aumentam de valor; o sentido oposto é o sentido negativo. Deslocamento O deslocamento Δx de uma partícula é a variação da posição da partícula: O deslocamento é uma grandeza vetorial. É positivo, se a partícula se desloca no sentido positivo do eixo x, e negativo, se a partícula se desloca no sentido oposto. Velocidade Média Quando uma partícula se desloca de uma posição x1 para uma posição x2 durante um intervalo de tempo Δt = t2 − t1, a velocidade média da partícula durante esse intervalo é dada por O sinal algébrico de vméd indica o sentido do movimento (vméd é uma grandeza vetorial). A velocidade média não depende da distância que uma partícula percorre, mas apenas das posições inicial e final. Em um gráfico de x em função de t, a velocidade média em um intervalo de tempo Δt é igual à inclinação da linha reta que une os pontos da curva que representam as duas extremidades do intervalo. Velocidade Escalar Média A velocidade escalar média sméd de uma partícula durante um intervalo de tempo Δt depende da distância total percorrida pela partícula nesse intervalo. Velocidade Instantânea A velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade), v, de uma partícula é dada por em que Δx e Δt são definidos pela Eq. 2-2. A velocidade instantânea (em um determinado instante de tempo) é igual à inclinação (nesse mesmo instante) do gráfico de x em função de t. A velocidade escalar é o módulo da velocidade instantânea. Aceleração Média A aceleração média é a razão entre a variação de velocidade Δv e o intervalo de tempo Δt no qual essa variação ocorre. O sinal algébrico indica o sentido de améd. Aceleração Instantânea A aceleração instantânea (ou, simplesmente, aceleração), a, é igual à derivada primeira da velocidade v(t) em relação ao tempo ou à derivada segunda da posição x(t) em relação ao tempo: Em um gráfico de v em função de t, a aceleração a em qualquer instante t é igual à inclinação da curva no ponto que representa t. Aceleração Constante As cinco equações da Tabela 2-1 descrevem o movimento de uma partícula com aceleração constante: Essas equações não são válidas quando a aceleração não é constante. Aceleração em Queda Livre Um exemplo importante de movimento retilíneo com aceleração constante é um objeto subindo ou caindo livremente nas proximidades da superfície da Terra. As equações para aceleração constante podem ser usadas para descrever o movimento, mas é preciso fazer duas mudanças na notação: (1) o movimento deve ser descrito em relação a um eixo vertical y, com o sentido positivo do eixo y para cima; (2) a aceleração a deve ser substituída por −g, em que g é o módulo da aceleração em queda livre. Perto da superfície da Terra, g = 9,8 m/s2. Perguntas 1 A Fig. 2-16 mostra a velocidade de uma partícula que se move em um eixo x. Determine (a) o sentido inicial e (b) o sentido final do movimento. (c) A velocidade da partícula se anula em algum instante? (d) A aceleração é positiva ou negativa? (e) A aceleração é constante ou variável? Figura 2-16 Pergunta 1. 2 A Fig. 2-17 mostra a aceleração a(t) de um chihuahua que persegue um pastor alemão ao longo de um eixo. Em qual dos períodos de tempo indicados o chihuahua se move com velocidade constante? Figura 2-17 Pergunta 2. 3 A Fig. 2-18 mostra as trajetórias de quatro objetos de um ponto inicial a um ponto final, todas no mesmo intervalo de tempo. As trajetórias passam por três linhas retas igualmente espaçadas. Coloque as trajetórias (a) na ordem da velocidade média dos objetos e (b) na ordem da velocidade escalar média dos objetos, começando pela maior. Figura 2-18 Pergunta 3. 4 A Fig. 2-19 é um gráfico da posição de uma partícula em um eixo x em função do tempo. (a) Qual é o sinal da posição da partícula no instante t = 0? A velocidade da partícula é positiva, negativa ou nula (b) em t = 1 s, (c) em t = 2 s e (d) em t = 3 s? (e) Quantas vezes a partícula passa pelo ponto x = 0? Figura 2-19 Pergunta 4. 5 A Fig. 2-20 mostra a velocidade de uma partícula que se move ao longo de um eixo. O ponto 1 é o ponto mais alto da curva; o ponto 4 é o ponto mais baixo; os pontos 2 e 6 estão na mesma altura. Qual é o sentido do movimento (a) no instante t = 0 e (b) no ponto 4? (c) Em qual dos seis pontos numerados a partícula inverte o sentido de movimento? (d) Coloque os seis pontos na ordem do módulo da aceleração, começando pelo maior. Figura 2-20 Pergunta 5. 6 No instante t = 0, uma partícula que se move em um eixo x está na posição x0 = –20 m. Os sinais da velocidade inicial v0 (no instante t0) e da aceleração constante a da partícula são, respectivamente, para quatro situações: (1) +, +; (2) +, −; (3) −, +; (4) −, −. Em que situações a partícula (a) para momentaneamente, (b) passa pela origem e (c) não passa pela origem? Figura 2-21 Pergunta 7. 7 Debruçado no parapeito de uma ponte, você deixa cair um ovo (com velocidade inicial nula) e arremessa um segundo ovo para baixo. Qual das curvas da Fig. 2-21 corresponde à velocidade v(t) (a) do ovo que caiu, (b) do ovo que foi arremessado? (As curvas A e B são paralelas, assim como as curvas C, D, e E, e as curvas F e G.) 8 As equações a seguir fornecem a velocidade v(t) de uma partícula em quatro situações: (a) v = 3; (b) v = 4t2 + 2t + 6; (c) v = 3t − 4; (d) v = 5t2 − 3. Em que situações as equações da Tabela 2-1 podem ser aplicadas? 9 Na Fig. 2-22, uma tangerina é lançada verticalmente para cima e passa por três janelas igualmente espaçadas e de alturas iguais. Coloque as janelas na ordem decrescente (a) da velocidade escalar média da tangerina ao passar por elas, (b) do tempo que a tangerina leva para passar por elas, (c) do módulo da aceleração da tangerina ao passar por elas e (d) da variação Δv da velocidade escalar da tangerina ao passar por elas. Figura 2-22 Pergunta 9. 10 Um turista deixa cair uma maçã durante um voo de balão. No momento em que isso acontece, o balão está com uma aceleração, para cima, de 4,0 m/s2 e uma velocidade, para cima, de 2 m/s. (a) Qual é o módulo e (b) qual é o sentido da aceleração da maçã nesse instante? (c) Nesse instante, a maçã está se movendo para cima, está se movendo para baixo, ou está parada? (d) Qual é o módulo da velocidade da maçã nesse instante? (e) A velocidade da maçã aumenta, diminui ou permanece constante nos instantes seguintes? 11 A Fig. 2-23 mostra os três períodos de aceleração a que é submetida uma partícula que se move ao longo do eixo x. Sem fazer cálculos no papel, coloque os períodos de aceleração na ordem dos aumentos que produzem na velocidade da partícula, começando pelo maior. Figura 2-23 Pergunta 11. Problemas . - ... O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema. Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008. Módulo 2-1 Posição, Deslocamento e Velocidade Média ·1 Se você está dirigindo um carro a 90 km/h, e seus olhos permanecem fechados por 0,50 s por causa de um espirro, qual é a distância percorrida pelo carro até você abrir novamente os olhos? ·2 Calcule sua velocidade média nos dois casos seguintes: (a) você caminha 73,2 m a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre 73,2 m a uma velocidade de 3,05 m/s em uma pista reta; (b) você caminha 1,00 min a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre por 1,00 min a 3,05 m/s em uma pista reta. (c) Faça o gráfico de x em função de t nos dois casos e indique de que forma a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico. ·3 Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual é a velocidade média do carro durante esse percurso de 80 km? (Suponha que o carro está se movendo no sentido positivo do eixo x.) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) Desenhe o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico. ·4 Um carro sobe uma ladeira a uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira a uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média durante a viagem de ida e volta. ·5 A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x = 3t − 4t2 + t3, em que x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s, (b) 2 s, (c) 3 s, (d) 4 s. (e) Qual é o deslocamento do objeto entre t = 0 e t = 4 s? (f) Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de t = 2 s a t = 4 s? (g) Desenhe o gráfico de x em função de t para 0 ≤ t ≤ 4 s e indique como a resposta do item (f) pode ser determinada a partir do gráfico. ·6 Em 1992, o recorde mundial de velocidade em bicicleta foi estabelecido por Chris Huber. O tempo para percorrer um trecho de 200 m foi de apenas 6,509 s, o que motivou o seguinte comentário de Chris: “Cogito ergo zoom!” (Penso, logo corro!). Em 2001, Sam Whittingham quebrou o recorde de Huber por 19 km/h. Qual foi o tempo gasto por Whittingham para percorrer os 200 m? ··7 Dois trens, ambos se movendo a uma velocidade de 30 km/h, trafegam em sentidos opostos na mesma linha férrea retilínea. Um pássaro parte da extremidade dianteira de um dos trens, quando estão separados por 60 km, voando a 60 km/h, e se dirige em linha reta para o outro trem. Quando chegar ao outro trem, o pássaro faz meia-volta e se dirige para o primeiro trem, e assim por diante. Qual é a distância que o pássaro percorre até os trens colidirem? ··8 Situação de pânico. A Fig. 2-24 mostra uma situação na qual muitas pessoas tentam escapar por uma porta de emergência que está trancada. As pessoas se aproximam da porta a uma velocidade vs = 3,50 m/s, têm d = 0,25 m de espessura e estão separadas por uma distância L = 1,75 m. A Fig. 2-24 mostra a posição das pessoas no instante t = 0. (a) Qual é a taxa média de aumento da camada de pessoas que se comprimem contra a porta? (b) Em que instante a espessura da camada chega a 5,0 m? (As respostas mostram com que rapidez uma situação desse tipo pode colocar em risco a vida das pessoas.) Figura 2-24 Problema 8. ··9 Em uma corrida de 1 km, o corredor 1 da raia 1 (com o tempo de 2 min 27,95 s) parece ser mais rápido que o corredor 2 da raia 2 (2 min 28,15 s). Entretanto, o comprimento L2 da raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L1 da raia 1. Qual é o maior valor da diferença L2 − L1 para o qual a conclusão de que o corredor 1 é mais rápido é verdadeira? ··10 Para estabelecer um recorde de velocidade em uma distância d (em linha reta), um carro deve percorrer a distância, primeiro em um sentido (em um tempo t1) e depois no sentido oposto (em um tempo t2). (a) Para eliminar o efeito do vento e obter a velocidade vc que o carro atingiria na ausência de vento, devemos calcular a média aritmética de d/t1 e d/t2 (método 1) ou devemos dividir d pela média aritmética de t1 e t2 (método 2)? (b) Qual é a diferença percentual dos dois métodos se existe um vento constante na pista, e a razão entre a velocidade vv do vento e a velocidade vc do carro é 0,0240? ··11 Você tem que dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra cidade, que fica a 300 km de distância. A entrevista foi marcada para as 11 h 15 min. Você planeja dirigir a 100 km/h e parte às 8 h para ter algum tempo de sobra. Você dirige à velocidade planejada durante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual é a menor velocidade que você deve manter no resto da viagem para chegar a tempo? ···12 Onda de choque no trânsito. Quando o trânsito é intenso, uma redução brusca de velocidade pode se propagar como um pulso, denominado onda de choque, ao longo da fila de carros. A onda de choque pode ter o sentido do movimento dos carros, o sentido oposto, ou permanecer estacionária. A Fig. 2-25 mostra uma fila de carros regularmente espaçados que estão se movendo a uma velocidade v = 25,0 m/s em direção a uma fila de carros mais lentos, uniformemente espaçados, que estão se movendo a uma velocidade vl = 5,00 m/s. Suponha que cada carro mais rápido acrescenta um comprimento L = 12,0 m (comprimento do carro mais a distância mínima de segurança) à fila de carros mais lentos ao se juntar à fila, e que reduz bruscamente a velocidade no último momento. (a) Para que distância d entre os carros mais rápidos a onda de choque permanece estacionária? Se a distância é duas vezes maior que esse valor, quais são (b) a velocidade e (c) o sentido (o sentido do movimento dos carros ou o sentido contrário) da onda de choque? Figura 2-25 Problema 12. ···13 Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Na volta, você viaja metade da distância a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Qual é a velocidade escalar média (a) na viagem do Rio a São Paulo, (b) na viagem de São Paulo ao Rio, e (c) na viagem inteira? (d) Qual é a velocidade média na viagem inteira? (e) Plote o gráfico de x em função de t para o item (a), supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de x. Mostre de que forma a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico. Módulo 2-2 Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar ·14 A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por x = 16te−t m, em que t está em segundos. A que distância da origem está o elétron quando para momentaneamente? ·15 (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 −12t + 3t2 (em que t está em segundos e x em metros), qual é a velocidade da partícula em t = 1 s? (b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de x? (c) Qual é a velocidade escalar da partícula nesse instante? (d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante? (Tente responder às duas próximas perguntas sem fazer outros cálculos.) (e) Existe algum instante no qual a velocidade se anula? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece? (f) Existe algum instante após t = 3 s no qual a partícula está se movendo no sentido negativo de x? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece? ·16 A função posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é x = 4,0 − 6,0t2, com x em metros e t em segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição a partícula para (momentaneamente)? Em que (c) instante negativo e (d) instante positivo a partícula passa pela origem? (e) Plote o gráfico de x em função de t para o intervalo de −5 s a +5 s. (f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar a x(t) o termo +20t ou o termo −20t? (g) Essa modificação aumenta ou diminui o valor de x para o qual a partícula para momentaneamente? ··17 A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x = 9,75 + 1,50t3, em que x está em centímetros e t em segundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00 s a t = 3,00 s; (b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s; (c) a velocidade instantânea em t = 3,00 s; (d) a velocidade instantânea em t = 2,50 s; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s. (f) Plote o gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente. Módulo 2-3 Aceleração ·18 A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x = 12t2 − 2t3, em que x está em metros e t em segundos. Determine (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a aceleração da partícula em t = 3,0 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo é alcançada? (f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo é alcançada? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante t = 0)? (i) Determine a velocidade média da partícula entre t = 0 e t = 3,0 s. ·19 Em um determinado instante, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no sentido positivo de x; 2,4 s depois, a velocidade era 30 m/s no sentido oposto. Qual foi a aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s? ·20 (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 20t–5t3, em que x está em metros e t em segundos, em que instante(s) a velocidade da partícula é zero? (b) Em que instante(s) a aceleração a é zero? (c) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração a é negativa? (d) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração a é positiva? (e) Desenhe os gráficos de x(t), v(t), e a(t). ··21 De t = 0 a t = 5,00 min, um homem fica em pé sem se mover; de t = 5,00 min a t = 10,0 min, caminha em linha reta com uma velocidade de 2,2 m/s. Qual é (a) a velocidade média vméd e (b) qual a aceleração média améd do homem no intervalo de tempo de 2,00 min a 8,00 min? (c) Qual é vméd e (d) qual é améd no intervalo de tempo de 3,00 min a 9,00 min? (e) Plote x em função de t e v em função de t, e indique como as respostas de (a) a (d) podem ser obtidas a partir dos gráficos. ··22 A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x = ct2 − bt3, em que x está em metros e t em segundos. Quais são as unidades (a) da constante c e (b) da constante b? Suponha que os valores numéricos de c e b são 3,0 e 2,0, respectivamente. (c) Em que instante a partícula passa pelo maior valor positivo de x? De t = 0,0 s a t = 4,0 s, (d) qual é a distância percorrida pela partícula e (e) qual é o deslocamento? Determine a velocidade da partícula nos instantes (f) t = 1,0 s, (g) t = 2,0 s, (h) t = 3,0 s, e (i) t = 4,0 s. Determine a aceleração da partícula nos instantes (j) t = 1,0 s, (k) t = 2,0 s, (l) t = 3,0 s e (m) t = 4,0 s. Módulo 2-4 Aceleração Constante ·23 Um elétron com velocidade inicial v0 = 1,50 × 105 m/s penetra em uma região de comprimento L = 1,00 cm, em que é eletricamente acelerado (Fig. 2-26), e sai da região com v = 5,70 × 106 m/s. Qual é a aceleração do elétron, supondo que seja constante? Figura 2-26 Problema 26. ·24 Cogumelos lançadores. Alguns cogumelos lançam esporos usando um mecanismo de catapulta. Quando o vapor d’água do ar se condensa em um esporo preso a um cogumelo, uma gota se forma de um lado do esporo e uma película de água se forma do outro lado. O peso da gota faz o esporo se encurvar, mas, quando a película atinge a gota, a gota d’água se espalha bruscamente pelo filme, e o esporo volta tão depressa à posição original que é lançado no ar. Tipicamente, o esporo atinge uma velocidade de 1,6 m/s em um lançamento de 5,0 μm; em seguida, a velocidade é reduzida a zero em um percurso de 1,00 mm pelo atrito com o ar. Usando esses dados e supondo que as acelerações são constantes, determine a aceleração em unidades de g (a) durante o lançamento; (b) durante a redução de velocidade. ·25 Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0 m/s2 até atingir a velocidade de 20 m/s. Em seguida, o veículo desacelera a uma taxa constante de 1,0 m/s2 até parar. (a) Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? (b) Qual é a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada? ·26 Um múon (uma partícula elementar) penetra em uma região com uma velocidade de 5,00 × 106 m/s e passa a ser desacelerado a uma taxa de 1,25 × 1014 m/s2. (a) Qual é a distância percorrida pelo múon até parar? (b) Desenhe os gráficos de x em função de t, e de v em função de t para o múon. ·27 Um elétron possui uma aceleração constante de +3,2 m/s2. Em determinado instante, a velocidade do elétron é +9,6 m/s. Qual é a velocidade (a) 2,5 s antes e (b) 2,5 s depois do instante considerado? ·28 Em uma estrada seca, um carro com pneus novos é capaz de frear com uma desaceleração constante de 4,92 m/s2. (a) Quanto tempo esse carro, inicialmente se movendo a 24,6 m/s, leva para parar? (b) Que distância o carro percorre nesse tempo? (c) Desenhe os gráficos de x em função de t, e de v em função de t durante a desaceleração. ·29 Um elevador percorre uma distância de 190 m e atinge uma velocidade máxima de 305 m/min. O elevador acelera a partir do repouso e desacelera de volta ao repouso a uma taxa de 1,22 m/s2. (a) Qual é a distância percorrida pelo elevador enquanto acelera a partir do repouso até a velocidade máxima? (b) Quanto tempo o elevador leva para percorrer a distância de 190 m, sem paradas, partindo do repouso e chegando com velocidade zero? ·30 Os freios de um carro podem produzir uma desaceleração da ordem de 5,2 m/s2. (a) Se o motorista está a 137 km/h e avista um policial rodoviário, qual é o tempo mínimo necessário para que o carro atinja a velocidade máxima permitida de 90 km/h? (A resposta revela a inutilidade de frear para tentar impedir que a alta velocidade seja detectada por um radar ou por uma pistola de laser.) (b) Desenhe os gráficos de x em função de t, e de v em função de t durante a desaceleração. ·31 Suponha que uma nave espacial se move com uma aceleração constante de 9,8 m/s2, o que dá aos tripulantes a ilusão de uma gravidade normal durante o voo. (a) Se a nave parte do repouso, quanto tempo leva para atingir um décimo da velocidade da luz, que é 3,0 × 108 m/s? (b) Que distância a nave percorre nesse tempo? ·32 O recorde mundial de velocidade em terra foi estabelecido pelo coronel John P. Stapp em março de 1954, a bordo de um trenó foguete que se deslocou sobre trilhos a 1020 km/h. Ele e o trenó foram freados até parar em 1,4 s. (Veja a Fig. 2-7.) Qual foi a aceleração experimentada por Stapp durante a frenagem, em unidades de g? ·33 Um carro que se move a 56,0 km/h está a 24,0 m de distância de um muro quando o motorista aciona os freios. O carro bate no muro 2,00 s depois. (a) Qual era o módulo da aceleração constante do carro antes do choque? (b) Qual era a velocidade do carro no momento do choque? ··34 Na Fig. 2-27, um carro laranja e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-se um em direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo x. No instante t = 0, o carro laranja está em xl = 0 e o carro verde está em xv = 220 m. Se o carro laranja tem velocidade constante de 20 km/h, os carros se cruzam em x = 44,5 m; se tem uma velocidade constante de 40 km/h, os carros se cruzam em x = 76,6 m. (a) Qual é a velocidade inicial e (b) qual é a aceleração do carro verde? Figura 2-27 Problemas 34 e 35. ··35 A Fig. 2-27 mostra um carro laranja e um carro verde que se movem um em direção ao outro. A Fig. 2-28 é um gráfico do movimento dos dois carros, mostrando suas posições xv0 = 270 m e xl0 = −35,0 m no instante t = 0. O carro verde tem velocidade constante de 20,0 m/s e o carro laranja parte do repouso. Qual é o módulo da aceleração do carro laranja? Figura 2-28 Problema 35. ··36 Um carro se move ao longo do eixo x por uma distância de 900 m, partindo do repouso (em x = 0) e terminando em repouso (em x = 900 m). No primeiro quarto do percurso, a aceleração é +2,25 m/s2. Nos outros três quartos, a aceleração passa a ser −0,750 m/s2. (a) Qual é o tempo necessário para percorrer os 900 m e (b) qual é a velocidade máxima? (c) Desenhe os gráficos da posição x, da velocidade v e da aceleração a em função do tempo t. ··37 A Fig. 2-29 mostra o movimento de uma partícula que se move ao longo do eixo x com aceleração constante. A escala vertical do gráfico é definida por xs = 6,0 m. Quais são (a) o módulo e (b) o sentido da aceleração da partícula? ··38 (a) Se a aceleração máxima que pode ser tolerada pelos passageiros de um metrô é 1,34 m/s2 e duas estações de metrô estão separadas por uma distância de 806 m, qual é a velocidade máxima que o metrô pode alcançar entre as estações? (b) Qual é o tempo de percurso? (c) Se o metrô para durante 20 s em cada estação, qual é a máxima velocidade escalar média do metrô entre o instante em que parte de uma estação e o instante em que parte da estação seguinte? (d) Plote x, v e a em função de t para o intervalo de tempo entre o instante em que o trem parte de uma estação e o instante em que parte da estação seguinte. Figura 2-29 Problema 37. ··39 Os carros A e B se movem no mesmo sentido em pistas vizinhas. A posição x do carro A é dada na Fig. 2-30, do instante t = 0 ao instante t = 7,0 s. A escala vertical do gráfico é definida por xs = 32,0 m. Em t = 0, o carro B está em x = 0, a uma velocidade de 12 m/s e com uma aceleração negativa constante aB. (a) Qual deve ser o valor de aB para que os carros estejam lado a lado (ou seja, tenham o mesmo valor de x) em t = 4,0 s? (b) Para esse valor de aB, quantas vezes os carros ficam lado a lado? (c) Plote a posição x do carro B em função do tempo t na Fig. 2-30. Quantas vezes os carros ficariam lado a lado se o módulo da aceleração aB fosse (d) maior do que o da resposta da parte (a) e (e) menor do que o da resposta da parte (a)? Figura 2-30 Problema 39. ··40 Você está se aproximando de um sinal de trânsito a uma velocidade v0 = 55 km/h quando o sinal fica amarelo. O módulo da maior taxa de desaceleração de que o carro é capaz é a = 5,18 m/s2 e seu tempo de reação para começar a frear é T = 0,75 s. Para evitar que a frente do carro invada o cruzamento depois que o sinal mudar para vermelho, sua estratégia deve ser frear até parar ou prosseguir a 55 km/h se a distância até o cruzamento e a duração da luz amarela forem, respectivamente, (a) 40 m e 2,8 s, e (b) 32 m e 1,8 s? As respostas podem ser frear, prosseguir, tanto faz (se as duas estratégias funcionarem), ou não há jeito (se nenhuma das estratégias funcionar). ··41 Os maquinistas de dois trens percebem, de repente, que estão em rota de colisão. A Fig. 2-31 mostra a velocidade v dos trens em função do tempo t enquanto estão sendo freados. A escala vertical do gráfico é definida por vs = 40,0 m. O processo de desaceleração começa quando a distância entre os trens é 200 m. Qual é a distância entre os trens quando, finalmente, conseguem parar? Figura 2-31 Problema 41. ···42 Você está discutindo com um colega de trabalho no telefone celular enquanto, à sua frente, a 25 m de distância, viaja um carro de polícia disfarçado; os dois veículos estão a 110 km/h. A discussão distrai sua atenção do carro de polícia por 2,0 s (tempo suficiente para você olhar para o telefone e exclamar: “Eu me recuso a fazer isso!”). No início desses 2,0 s, o policial freia bruscamente, com uma desaceleração de 5,0 m/s2. (a) Qual é a distância entre os dois carros quando você volta a prestar atenção no trânsito? Suponha que você leve o tempo de 0,40 s para perceber o perigo e começar a frear. (b) Se você também freia com uma desaceleração de 5,0 m/s2, qual é a velocidade do seu carro quando você bate no carro de polícia? ···43 Quando um trem de passageiros de alta velocidade que se move a 161 km/h faz uma curva, o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através de um desvio e está a uma distância D = 676 m à frente (Fig. 2-32). A locomotiva está se movendo a 29,0 km/h. O maquinista do trem de alta velocidade imediatamente aciona os freios. (a) Qual deve ser o valor mínimo do módulo da desaceleração (suposta constante) para que a colisão não ocorra? (b) Suponha que o maquinista está em x = 0 quando, no instante t = 0, avista a locomotiva. Desenhe as curvas de x(t) da locomotiva e do trem de alta velocidade para os casos em que a colisão é evitada por pouco e em que a colisão ocorre por pouco. Figura 2-32 Problema 43. Módulo 2-5 Aceleração em Queda Livre ·44 Um tatu assustado pula verticalmente para cima, subindo 0,544 m nos primeiros 0,200 s. (a) Qual é a velocidade do animal ao deixar o solo? (b) Qual é a velocidade na altura de 0,544 m? (c) Qual é a altura adicional que o animal atinge? ·45 (a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola verticalmente a partir do solo para que atinja uma altura máxima de 50 m? (b) Por quanto tempo a bola permanece no ar? (c) Esboce os gráficos de y, v e a em função de t para a bola. Nos dois primeiros gráficos, indique o instante no qual a bola atinge a altura de 50 m. ·46 Gotas de chuva caem 1700 m de uma nuvem até o chão. (a) Se as gotas não estivessem sujeitas à resistência do ar, qual seria a velocidade ao atingirem o solo? (b) Seria seguro caminhar na chuva? ·47 Em um prédio em construção, uma chave de grifo chega ao solo com uma velocidade de 24 m/s. (a) De que altura um operário a deixou cair? (b) Quanto tempo durou a queda? (c) Esboce os gráficos de y, v e a em função de t para a chave de grifo. ·48 Um desordeiro joga uma pedra verticalmente para baixo com uma velocidade inicial de 12,0 m/s, a partir do telhado de um edifício, 30,0 m acima do solo. (a) Quanto tempo leva a pedra para atingir o solo? (b) Qual é a velocidade da pedra no momento do choque? ·49 Um balão de ar quente está subindo, com uma velocidade de 12 m/s, e se encontra 80 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? (b) Com que velocidade o pacote atinge o solo? ··50 No instante t = 0, uma pessoa deixa cair a maçã 1 de uma ponte; pouco depois, a pessoa joga a maçã 2, verticalmente para baixo, do mesmo local. A Fig. 2-33 mostra a posição vertical y das duas maçãs em função do tempo durante a queda até a estrada que passa por baixo da ponte. A escala horizontal do gráfico é definida por ts = 2,0 s. Aproximadamente com que velocidade a maçã 2 foi jogada para baixo? Figura 2-33 Problema 50. Figura 2-34 Problema 51. ··51 Quando um balão científico desgarrado está subindo a uma velocidade de 19,6 m/s, um dos instrumentos se desprende e cai em queda livre. A Fig. 2-34 mostra a velocidade vertical do instrumento em função do tempo, desde alguns instantes antes de se desprender até o momento em que atinge o solo. (a) Qual é a altura máxima que o instrumento atinge em relação ao ponto em que se desprendeu? (b) A que altura acima do solo o instrumento se desprendeu? ··52 Um parafuso se desprende de uma ponte em construção e cai 90 m até chegar ao solo. (a) Em quanto tempo o parafuso percorre os últimos 20% da queda? Qual é a velocidade do parafuso (b) quando começa os últimos 20% da queda e (c) quando atinge o solo? ··53 Uma chave cai verticalmente de uma ponte que está 45 m acima da água. A chave atinge um barco de brinquedo que está se movendo com velocidade constante e se encontrava a 12 m do ponto de impacto quando a chave foi solta. Qual é a velocidade do barco? ··54 Uma pedra é deixada cair em um rio a partir de uma ponte situada 43,9 m acima da água. Outra pedra é atirada verticalmente para baixo 1,0 s após a primeira ter sido deixada cair. As pedras atingem a água ao mesmo tempo. (a) Qual era a velocidade inicial da segunda pedra? (b) Plote a velocidade em função do tempo para as duas pedras, supondo que t = 0 é o instante em que a primeira pedra foi deixada cair. ··55 Uma bola de argila úmida cai 15,0 m até o chão e permanece em contato com o solo por 20,0 ms antes de parar completamente. (a) Qual é o módulo da aceleração média da bola durante o tempo de contato com o solo? (Trate a bola como uma partícula.) (b) A aceleração média é para cima ou para baixo? ··56 A Fig. 2-35 mostra a velocidade v em função da altura y para uma bola lançada verticalmente para cima ao longo de um eixo y. A distância d é 0,40 m. A velocidade na altura yA é vA. A velocidade na altura yB é vA/3. Determine a velocidade vA. Figura 2-35 Problema 56. ··57 Para testar a qualidade de uma bola de tênis, você a deixa cair, no chão, de uma altura de 4,00 m. Depois de quicar, a bola atinge uma altura de 2,00 m. Se a bola permanece em contato com o piso por 12,0 ms, (a) qual é o módulo da aceleração média durante esse contato? (b) A aceleração média é para cima ou para baixo? ··58 Um objeto cai de uma altura h a partir do repouso. Se o objeto percorre uma distância de 0,50h no último 1,00 s, determine (a) o tempo e (b) a altura da queda. (c) Explique por que uma das raízes da equação do segundo grau em t usada para resolver o problema é fisicamente inaceitável. ··59 A água pinga de um chuveiro em um piso situado 200 cm abaixo. As gotas caem a intervalos de tempo regulares (iguais), com a primeira gota atingindo o piso quando a quarta gota começa a cair. Quando a primeira gota atinge o piso, a que distância do chuveiro estão (a) a segunda e (b) a terceira gotas? ··60 Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir do solo no instante t = 0. Em t = 1,5 s, a pedra ultrapassa o alto de uma torre; 1,0 s depois, atinge a altura máxima. Qual é a altura da torre? ···61 Uma bola de aço é deixada cair do telhado de um edifício e leva 0,125 s para passar por uma janela, uma distância correspondente a 1,20 m. A bola quica na calçada e torna a passar pela janela, de baixo para cima, em 0,125 s. Suponha que o movimento para cima corresponde exatamente ao inverso da queda. O tempo que a bola passa abaixo do peitoril da janela é de 2,00 s. Qual é a altura do edifício? ···62 Ao pegar um rebote, um jogador de basquete pula 76,0 cm verticalmente. Qual é o tempo total (de subida e descida) que o jogador passa (a) nos 15 cm mais altos e (b) nos 15 cm mais baixos do salto? (Esses resultados explicam por que os jogadores de basquete parecem flutuar quanto estão no ponto mais alto de um salto.) ···63 Um gato sonolento observa um vaso de flores que passa por uma janela aberta, primeiro subindo e depois descendo. O vaso permanece à vista por um tempo total de 0,50 s, e a altura da janela é de 2,00 m. Que distância acima do alto da janela o vaso atinge? ···64 Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir da superfície de outro planeta. O gráfico de y em função de t para a bola é mostrado na Fig. 2-36, em que y é a altura da bola acima do ponto de lançamento, e t = 0 no instante em que a bola é lançada. A escala vertical do gráfico é definida por ys = 30,0 m. Qual é o módulo (a) da aceleração em queda livre no planeta e (b) da velocidade inicial da bola? Figura 2-36 Problema 64. Módulo 2-6 Integração Gráfica na Análise de Movimentos ·65 A Fig. 2-15a mostra a aceleração da cabeça e do tronco de um voluntário durante uma colisão frontal. Qual é a velocidade (a) da cabeça e (b) do tronco quando a aceleração da cabeça é máxima? ··66 Em um soco direto de caratê, o punho começa em repouso na cintura e é movido rapidamente para a frente até o braço ficar completamente estendido. A velocidade v(t) do punho está representada na Fig. 2-37 para o caso de um lutador experiente. A escala vertical é definida por vs = 8,0 m/s. Qual é a distância percorrida pelo punho desde o início do golpe (a) até o instante t = 50 ms e (b) até o instante em que a velocidade do punho é máxima? Figura 2-37 Problema 66. ··67 Quando uma bola de futebol é chutada na direção de um jogador, e o jogador a desvia de cabeça, a aceleração da cabeça durante a colisão pode ser relativamente grande. A Fig. 2-38 mostra a aceleração a(t) da cabeça de um jogador de futebol sem e com capacete, a partir do repouso. A escala vertical é definida por as = 200 m/s2. Qual é a diferença entre a velocidade da cabeça sem e com o capacete no instante t = 7,0 ms? Figura 2-38 Problema 67. ··68 Uma salamandra do gênero Hydromantes captura a presa lançando a língua como um projétil: a parte traseira da língua se projeta bruscamente para a frente, desenrolando o resto da língua até que a parte dianteira atinja a presa, capturando-a. A Fig. 2-39 mostra o módulo a da aceleração em função do tempo t durante a fase de aceleração em uma situação típica. As acelerações indicadas são a2 = 400 m/s2 e a1 = 100 m/s2. Qual é a velocidade da língua no final da fase de aceleração? Figura 2-39 Problema 68. ··69 Que distância um corredor cujo gráfico velocidade-tempo aparece na Fig. 2-40 percorre em 16 s? A escala vertical do gráfico é definida por vs = 8,0 m/s. Figura 2-40 Problema 69. ···70 Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x = 6,00t2 + 3,00t + 2,00, em que x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a = −8,00t, em que a está em metros por segundo ao quadrado, e t em segundos. No instante t = 0, a velocidade da partícula 2 é 20 m/s. Qual é a velocidade das partículas no instante em que elas têm a mesma velocidade? Problemas Adicionais 71 Em um videogame, um ponto é programado para se deslocar na tela de acordo com a função x = 9,00t − 0,750t3, em que x é a distância em centímetros em relação à extremidade esquerda da tela, e t é o tempo em segundos. Quando o ponto chega a uma das bordas da tela, x = 0 ou x = 15,0 cm, o valor de t é zerado e o ponto começa novamente a se mover de acordo com a função x(t). (a) Em que instante após ser iniciado o movimento o ponto se encontra momentaneamente em repouso? (b) Para que valor de x isso acontece? (c) Qual é a aceleração do ponto (incluindo o sinal) no instante em que isso acontece? (d) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco antes de atingir o repouso? (e) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco depois de atingir o repouso? (f) Em que instante t > 0 o ponto atinge a borda da tela pela primeira vez? 72 Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir da borda do terraço de um edifício. A pedra atinge a altura máxima 1,60 s após ter sido lançada e, em seguida, caindo paralelamente ao edifício, chega ao solo 6,00 s após ter sido lançada. Em unidades do SI: (a) com que velocidade a pedra foi lançada? (b) Qual foi a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço? (c) Qual é a altura do edifício? 73 No instante em que um sinal de trânsito fica verde, um automóvel começa a se mover com uma aceleração constante a de 2,2 m/s2. No mesmo instante, um caminhão, que se move a uma velocidade constante de 9,5 m/s, ultrapassa o automóvel. (a) A que distância do sinal o automóvel alcança o caminhão? (b) Qual é a velocidade do automóvel nesse instante? 74 Um piloto voa horizontalmente a 1300 km/h, a uma altura h = 35 m acima de um solo inicialmente plano. No instante t = 0, o piloto começa a sobrevoar um terreno inclinado, para cima, de um ângulo θ = 4,3° (Fig. 2-41). Se o piloto não mudar a trajetória do avião, em que instante t o avião se chocará com o solo? Figura 2-41 Problema 74. 75 O tempo necessário para frear um carro pode ser dividido em duas partes: o tempo de reação para o motorista começar a frear e o tempo necessário para que a velocidade chegue a zero depois que o freio é acionado. A distância total percorrida por um carro é de 56,7 m quando a velocidade inicial é de 80,5 km/h e 24,4 m quando a velocidade inicial é 48,3 km/m. Supondo que a aceleração permanece constante depois que o freio é acionado, determine (a) o tempo de reação do motorista e (b) o módulo da aceleração. 76 A Fig. 2-42 mostra parte de uma rua na qual se pretende controlar o tráfego para permitir que um pelotão de veículos atravesse vários cruzamentos sem parar. Suponha que os primeiros carros do pelotão tenham acabado de chegar ao cruzamento 2, onde o sinal abriu quando os carros estavam a uma distância d do cruzamento. Os carros continuam a se mover a certa velocidade vp (a velocidade máxima permitida) até chegarem ao cruzamento 3. As distâncias entre os cruzamentos são D23 e D12. (a) Quanto tempo depois que o sinal do cruzamento 2 abriu o sinal do cruzamento 3 deve abrir para que o sinal do cruzamento 3 abra quando os primeiros carros do pelotão estão a uma distância d do cruzamento 3? Figura 2-42 Problema 76. Suponha que o pelotão tenha encontrado o sinal fechado no cruzamento 1. Quando o sinal do cruzamento 1 abre, os carros da frente precisam de um tempo t para arrancar e de um tempo adicional para atingir a velocidade de cruzeiro vp com certa aceleração a. (b) Quanto tempo depois que o sinal do cruzamento 1 abriu o sinal do cruzamento 2 deve abrir para que o sinal do cruzamento 2 abra quando os primeiros carros do pelotão estão a uma distância d do cruzamento 2? 77 Um carro de corrida é capaz de acelerar de 0 a 60 km/h em 5,4 s. (a) Qual é a aceleração média do carro, em m/s2, durante esse intervalo? (b) Qual é a distância percorrida pelo carro em 5,4 s, supondo que a aceleração seja constante? (c) Quanto tempo o carro leva para percorrer uma distância de 0,25 km, a partir de repouso, mantendo uma aceleração constante igual ao valor do item (a)? 78 Um trem vermelho a 72 km/h e um trem verde a 144 km/h estão na mesma linha, retilínea e plana, movendo-se um em direção ao outro. Quando a distância entre os trens é de 950 m, os dois maquinistas percebem o perigo e acionam os freios, fazendo com que os dois trens sofram uma desaceleração de 1,0 m/s2. Os trens conseguem frear a tempo de evitar uma colisão? Caso a resposta seja negativa, determine as velocidades dos trens no momento da colisão; caso seja positiva, determine a distância final entre os trens. 79 No instante t = 0, um alpinista deixa cair um grampo, sem velocidade inicial, do alto de um paredão. Após um curto intervalo de tempo, o companheiro de escalada, que está 10 m acima, lança um outro grampo para baixo. A Fig. 2-43 mostra as posições y dos grampos durante a queda em função do tempo t. Com que velocidade o segundo grampo foi lançado? Figura 2-43 Problema 79. 80 Um trem partiu do repouso com aceleração constante. Em um determinado instante, estava se movendo a 30 m/s; 160 m adiante, estava se movendo a 50 m/s. Calcule (a) a aceleração, (b) o tempo necessário para percorrer os 160 m mencionados, (c) o tempo necessário para atingir a velocidade de 30 m/s e (d) a distância percorrida desde o repouso até o instante em que o trem atingiu a velocidade de 30 m/s. (e) Desenhe os gráficos de x em função de t e de v em função de t, de t = 0 até o instante em que o trem atingiu a velocidade de 50 m/s. 81 A aceleração de uma partícula ao longo do eixo x é a = 5,0t, com t em segundos e a em metros por segundo ao quadrado. Em t = 2,0 s, a velocidade da partícula é +17 m/s. Qual é a velocidade da partícula em t = 4,0 s? 82 A Fig. 2-44 mostra a aceleração a em função do tempo t para uma partícula que se move ao longo do eixo x. A escala vertical do gráfico é definida por as = 12,0 m/s2. No instante t = −2,0 s, a velocidade da partícula é 7,0 m/s. Qual é a velocidade da partícula no instante t = 6,0 s? Figura 2-44 Problema 82. 83 A Fig. 2-45 mostra um dispositivo simples que pode ser usado para medir seu tempo de reação: uma tira de papelão marcada com uma escala e dois pontos. Um amigo segura a tira na vertical, com o polegar e o indicador no ponto da direita da Fig. 2-45. Você posiciona o polegar e o indicador no outro ponto (o ponto da esquerda da Fig. 2-45), sem tocar a tira. Seu amigo solta a tira e você tenta segurá-la assim que percebe que ela começou a cair. A marca na posição em que você segura a tira corresponde ao seu tempo de reação. (a) A que distância do ponto inferior você deve colocar a marca de 50,0 ms? Por qual valor você deve multiplicar essa distância para determinar a marca de (b) 100 ms, (c) 150 ms, (d) 200 ms e (e) 250 ms? (Por exemplo: a marca de 100 ms deve estar no dobro da distância correspondente à marca de 50 ms? Nesse caso, a resposta seria 2. Você é capaz de identificar algum padrão nas respostas?) Figura 2-45 Problema 83. 84 Trenós a jato, montados em trilhos retilíneos e planos, são usados para investigar os efeitos de grandes acelerações sobre seres humanos. Um desses trenós pode atingir uma velocidade de 1600 km/h em 1,8 s a partir do repouso. Determine (a) a aceleração (suposta constante) em unidades de g e (b) a distância percorrida. 85 Um vagonete de minério é puxado para o alto de uma encosta a 20 km/h e puxado ladeira abaixo a 35 km/h até a altura inicial. (O tempo gasto para inverter o movimento no alto da encosta é tão pequeno que pode ser desprezado.) Qual é a velocidade média do carrinho no percurso de ida e volta, ou seja, desde a altura inicial até voltar à mesma altura? 86 Um motociclista que está se movendo ao longo do eixo x na direção leste tem uma aceleração dada por a = (6,1 − 1,2t) m/s2 para 0 ≤ t ≤ 6,0 s. Em t = 0, a velocidade e a posição do ciclista são 2,7 m/s e 7,3 m. (a) Qual é a velocidade máxima atingida pelo ciclista? (b) Qual é a distância percorrida pelo ciclista entre t = 0 e t = 6,0 s? 87 Quando a velocidade máxima permitida na New York Thruway foi aumentada de 55 milhas por hora para 65 milhas por hora, quanto tempo foi economizado por um motorista que dirigiu 700 km entre a entrada de Buffalo e a saída da cidade de Nova York na velocidade máxima permitida? 88 Um carro que se move com aceleração constante percorreu em 6,00 s a distância de 60,0 m que separa dois pontos. A velocidade do carro ao passar pelo segundo ponto era 15,0 m/s. (a) Qual era a velocidade no primeiro ponto? (b) Qual era o módulo da aceleração? (c) A que distância do primeiro ponto o carro se encontrava em repouso? (d) Desenhe os gráficos de x em função de t, e de v em função de t para o carro, desde o repouso (t = 0) até o segundo ponto. 89 Um malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura H. A que altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro do tempo no ar? 90 Uma partícula parte da origem em t = 0 e se move no sentido positivo do eixo x. O gráfico da velocidade da partícula em função do tempo é mostrado na Fig. 2-46; a escala vertical é definida por vs = 4,0 m/s. (a) Qual é a coordenada da partícula em t = 5,0 s? (b) Qual é a velocidade da partícula em t = 5,0 s? (c) Qual é a aceleração da partícula em t = 5,0 s? (d) Qual é a velocidade média da partícula entre t = 1,0 s e t = 5,0 s? (e) Qual é a aceleração média da partícula entre t = 1,0 s e t = 5,0 s? Figura 2-46 Problema 90. 91 Deixa-se cair uma pedra de um penhasco com 100 m de altura. Quanto tempo a pedra leva para cair (a) os primeiros 50 m e (b) os 50 m seguintes? 92 A distância entre duas estações de metrô é 1100 m. Se um trem acelera a +1,2 m/s2 a partir do repouso na primeira metade da distância e desacelera a −1,2 m/s2 na segunda metade, (a) qual é o tempo de percurso entre as estações e (b) qual é a velocidade máxima do trem? (c) Desenhe os gráficos de x, v, e a em função de t para o percurso entre as duas estações. 93 Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Durante a subida, a pedra passa por um ponto A com velocidade v e por um ponto B, 3,00 m acima de A, com velocidade v/2. Calcule (a) a velocidade v e (b) a altura máxima alcançada pela pedra acima do ponto B. 94 Deixa-se cair uma pedra, sem velocidade inicial, do alto de um edifício de 60 m. A que distância do solo está a pedra 1,2 s antes de chegar ao solo? 95 Um trenó a vela se move para leste com velocidade constante quando uma rajada de vento produz uma aceleração constante para leste durante 3,0 s. O gráfico de x em função de t aparece na Fig. 2-47, em que t = 0 é tomado como o instante em que o vento começou a soprar, e o sentido positivo do eixo x é para leste. (a) Qual é a aceleração do trenó durante o intervalo de 3,0 s? (b) Qual é a velocidade do trenó no final do intervalo de 3,0 s? (c) Se a aceleração permanece constante por mais 3,0 s, qual é a distância percorrida pelo trenó no segundo intervalo de 3,0 s? Figura 2-47 Problema 95. 96 Deixa-se cair uma bola de chumbo de um trampolim situado 5,20 m acima da superfície da água de um lago. A bola atinge a água com certa velocidade e conserva a mesma velocidade até chegar ao fundo do lago, 4,80 s após começar a cair. (a) Qual é a profundidade do lago? (b) Qual é o módulo e (c) qual é o sentido (para cima ou para baixo) da velocidade média da bola durante a queda? Suponha que toda a água do lago seja drenada. A bola é agora lançada verticalmente, do trampolim, com uma velocidade inicial diferente de zero e novamente chega ao fundo em 4,80 s. (d) Qual é o módulo e (e) qual é o sentido da velocidade inicial da bola? 97 O cabo que sustenta um elevador de obra, vazio, arrebenta quando o elevador está em repouso no alto de um edifício de 120 m de altura. (a) Com que velocidade o elevador chega ao solo? (b) Qual é o tempo de queda? (c) Qual é a velocidade do elevador ao passar pelo ponto médio da queda? (d) Por quanto tempo o elevador estava caindo ao passar pelo ponto médio? 98 Dois diamantes são deixados cair da mesma altura, com 1,0 s de intervalo. Quanto tempo, após o primeiro diamante começar a cair, a distância entre os diamantes é 10 m? 99 Uma bola é lançada verticalmente, para baixo, do alto de um edifício com 36,6 m de altura. A bola passa pela extremidade superior de uma janela que está 12,2 m acima do solo 2,00 s após o lançamento. Qual é a velocidade da bola ao passar pela extremidade superior da janela? 100 Um paraquedista salta de um avião e percorre 50 m em queda livre. Em seguida, abre o paraquedas e sofre uma desaceleração constante de 2,0 m/s2, chegando ao solo com uma velocidade de 3,0 m/s. (a) Quanto tempo o paraquedista passa no ar? (b) Qual era a altitude do avião no momento do salto? 101 Uma bola é lançada verticalmente, para baixo, de uma altura h, com uma velocidade inicial v0. (a) Qual é a velocidade da bola pouco antes de atingir o solo? (b) Quanto tempo a bola leva para chegar ao solo? (c) Se a bola fosse lançada, para cima, da mesma altura e com a mesma velocidade inicial, qual seria a resposta do item (a)? (d) Qual seria a resposta do item (b)? Antes de calcular a resposta, verifique se as respostas dos itens (c) e (d) devem ser maiores que, menores que, ou iguais às dos itens (a) e (b). 102 O esporte em que uma bola se move mais depressa é o jai alai, no qual a velocidade chega a 303 km/h.1 Se um jogador profissional de jai alai se defronta com uma bola a essa velocidade e pisca involuntariamente, ele deixa de ver a cena por cerca de 100 ms. Que distância a bola percorre durante esse piscar de olhos? 103 Se um lançador de beisebol arremessa a bola com uma velocidade horizontal de 160 km/h, quanto tempo a bola leva para chegar à quarta base, que está a 18,4 metros de distância? 104 Um próton se move ao longo do eixo x de acordo com a equação x = 50t + 10t2, em que x está em metros e t está em segundos. Calcule (a) a velocidade do próton durante os primeiros 3,0 s do percurso, (b) a velocidade instantânea do próton no instante t = 3,0 s e (c) a aceleração instantânea do próton no instante t = 3,0 s. (d) Plote o gráfico de x em função de t e mostre como a resposta do item (a) pode ser obtida a partir do gráfico. (e) Indique a resposta do item (b) no gráfico. (f) Plote o gráfico de v em função de t e indique a resposta do item (c). 105 Uma motocicleta está se movendo a 30 m/s quando o piloto aciona os freios, aplicando ao veículo uma desaceleração constante. Durante os 3,0 s seguintes, a velocidade diminui para 15 m/s. Que distância a motocicleta percorre até parar, depois que o piloto aciona os freios? 106 Um disco de shuffleboard é acelerado por um taco, a partir do repouso, até uma velocidade de 6,0 m/s, percorrendo uma distância de 1,8 m. Em seguida, o disco perde contato com o taco e desacelera a uma taxa constante de 2,5 m/s2 até parar. (a) Determine o intervalo de tempo entre o instante em que o disco começa a ser acelerado e o instante em que o disco para. (b) Determine a distância total percorrida pelo disco. 107 A cabeça de uma cascavel pode sofrer uma aceleração de 50 m/s2 no momento em que a cobra dá o bote. Se um carro tivesse a mesma aceleração, quanto tempo levaria para atingir uma velocidade de 100 km/h a partir do repouso? 108 Um avião a jato, de grande porte, precisa atingir uma velocidade de 360 km/h para decolar. Qual é a aceleração mínima necessária para o avião decolar de uma pista com 1,80 km de comprimento? 109 Um motorista aumenta a velocidade de 25 km/h para 55 km/h, a uma taxa constante, em 0,50 min. Um ciclista aumenta a velocidade de 0 para 30 km/h, a uma taxa constante, em 0,50 min. Determine (a) a aceleração do motorista; (b) a aceleração do ciclista. 110 Um piscar de olhos dura, em média, cerca de 100 ms. Qual é a distância percorrida por um caça MiG-25 “Foxbat” durante um piscar de olhos do piloto se o avião está se movendo a 3400 km/h? 111 A velocidade máxima de velocista é 11,0 m/s. Se o atleta parte do repouso com aceleração constante, ele atinge a velocidade máxima após percorrer uma distância de 12,0 m e mantém essa velocidade no restante de uma prova de 100 m rasos. (a) Qual é o seu tempo para a prova? (b) Para melhorar o seu tempo, o velocista tenta reduzir a distância necessária para atingir a velocidade máxima. Qual deve ser essa distância para que o atleta complete a prova em 10,0 s? 112 A velocidade de uma bala é 640 m/s ao sair de uma arma cujo cano tem 1,20 m de comprimento. Supondo que a aceleração da bala é constante, determine quanto tempo a bala passou no cano da arma após o disparo. 113 O Laboratório de Pesquisa de Gravidade Zero do Centro de Pesquisas Glenn, da NASA, nos Estados Unidos, dispõe de uma torre de queda livre com 145 m de altura. Trata-se de uma torre vertical evacuada na qual, entre outras possibilidades, é possível deixar cair uma esfera de 1 m de diâmetro contendo instrumentos. (a) Quanto tempo a esfera passa em queda livre? (b) Qual é a velocidade da bola ao chegar ao dispositivo de captura, na base da torre? (c) Ao ser capturada, a esfera sofre uma desaceleração média de 25g até parar. Qual é a distância percorrida pela esfera enquanto está sendo freada? 114 A distância percorrida, até parar, por um carro esportivo que está a 200 km/h quando o piloto pisa no freio é 170 m. Supondo que a aceleração se mantém constante, determine o módulo da aceleração (a) em unidades do SI e (b) em unidades de g. (c) Qual é o tempo Tp que o carro leva para parar a partir do momento em que o piloto pisa no freio? O tempo de reação Tr de um motorista é o tempo que o motorista leva para perceber um perigo e apertar o pedal do freio. Se Tr = 400 ms, (d) qual é o tempo total Tt que o carro leva para parar quando o motorista percebe um perigo? (e) A maior parte do tempo que o carro leva para parar se deve ao tempo de reação do motorista ou ao tempo de desaceleração? Óculos escuros retardam os sinais visuais recebidos pelo cérebro, aumentando Tr. (f) No caso extremo em que Tr aumenta de 100 ms, qual é a distância adicional percorrida pelo carro antes de parar? 115 Em 1889, em Jubbulpore, Índia, uma disputa de cabo de guerra finalmente terminou após 2 h 41 min, com a equipe vencedora deslocando o centro da corda uma distância de 3,7 m. Qual foi o módulo da velocidade média do centro da corda, em centímetros por minuto, durante a prova? 116 Um recurso importante para a investigação de acidentes aéreos é a chamada caixa-preta (apesar de ser pintada de laranja), um gravador de dados de voo projetado para resistir a um desastre com uma desaceleração de 3400g durante um intervalo de tempo de 6,50 ms. Nessas condições extremas, se a velocidade da caixa-preta e do avião é nula após 6,50 ms, qual era a velocidade no início do intervalo? 117 De 26 de janeiro de 1977 a 18 de setembro de 1983, George Meegan, da Grã-Bretanha, caminhou de Ushuaia, no extremo meridional da América do Sul, até Prudhoe Bay, no Alasca, cobrindo uma distância de 30.600 km. Qual foi a velocidade média de Meegan, em metros por segundo, durante o percurso? 118 Como o plecóptero não bate asas, não pode voar. Entretanto, quando o inseto está na superfície da água, pode navegar usando as asas como velas. Suponha que você esteja estudando plecópteros que se movem com velocidade constante ao longo de uma distância determinada. O percurso leva, na média, 7,1 s com as asas estendidas e 25,0 s com as asas recolhidas. (a) Qual é a razão entre a velocidade com as asas estendidas, ve, e a velocidade com as asas recolhidas, vr? (b) Qual é a diferença, em função de ve, entre o tempo que os insetos levam para cobrir os primeiros 2,0 m do percurso com e sem as asas estendidas? 119 A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo y é dada por y = (2,0 cm) sen (πt/4), em que y está em centímetros e t está em segundos. (a) Qual é a velocidade média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2,0 s? (b) Qual é a velocidade instantânea da partícula nos instantes t = 0, t = 1,0 s e t = 2,0 s? (c) Qual é a aceleração instantânea da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2,0 s? (d) Qual é a aceleração instantânea da partícula nos instantes t = 0, t = 1,0 s e t = 2,0 s? _______________ *Esta seção se destina a alunos que conhecem cálculo integral. 1Na verdade, de acordo com o Guiness World Records, esse recorde, que datava de 1979, foi batido em 2012 por uma bola de golfe, que atingiu a velocidade de 339,56 km/h. (N.T.) CAPÍTULO 3 Vetores 3-1 VETORES E SUAS COMPONENTES Objetivos do Aprendizado 3.01 Somar vetores geometricamente e aplicar as leis comutativa e associativa. 3.02 Subtrair um vetor de outro vetor. 3.03 Calcular as componentes de um vetor em um sistema de coordenadas e representá-las em um desenho. 3.04 Dadas as componentes de um vetor, desenhar o vetor e determinar seu módulo e orientação. 3.05 Converter ângulos de graus para radianos, e vice-versa. Ideias-Chave • As grandezas escalares, como a temperatura, têm apenas uma amplitude, especificada por um número e uma unidade (10 oC, por exemplo), e obedecem às regras da aritmética e da álgebra elementar. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, têm uma amplitude e uma orientação (5 m para o norte, por exemplo) e obedecem às regras da álgebra vetorial. • Dois vetores e podem ser somados geometricamente desenhando-os na mesma escala, com a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro. O vetor que liga a origem do primeiro vetor à extremidade do segundo é o vetor soma, . Para subtrair de , basta inverter o sentido de , escrevendo − , e somar − a . • As componentes (escalares) ax e ay de qualquer vetor bidimensional em relação aos eixos coordenados podem ser determinadas traçando retas perpendiculares aos eixos coordenados a partir das extremidades de . As componentes são dadas por ax = a cos θ e ay = a sen θ, em que θ é o ângulo entre o semieixo x positivo e a direção de . O sinal algébrico da componente indica o seu sentido. O módulo e a orientação de um vetor podem ser calculados a partir das componentes ax e ay usando as equações O que É Física? A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação, e precisa de uma linguagem matemática especial, a linguagem dos vetores, para descrever essas grandezas. Essa linguagem também é usada na engenharia, em outras ciências e até mesmo nas conversas do dia a dia. Se você já explicou a alguém como chegar a um endereço usando expressões como “Siga por esta rua por cinco quarteirões e depois dobre à esquerda”, usou a linguagem dos vetores. Na verdade, qualquer tipo de navegação se baseia em vetores, mas a física e a engenharia também usam vetores para descrever fenômenos que envolvem rotações e forças magnéticas, como veremos em capítulos posteriores. Neste capítulo, vamos discutir a linguagem básica dos vetores. Vetores e Escalares Uma partícula que se move em linha reta pode se deslocar em apenas dois sentidos, já que a direção é conhecida. Podemos considerar o deslocamento como positivo em um sentido e negativo no outro. No caso de uma partícula que se move em qualquer outra trajetória, porém, um número positivo ou negativo não é suficiente para indicar a orientação; precisamos usar um vetor. Um vetor possui um módulo e uma orientação; os vetores seguem certas regras de combinação, que serão discutidas neste capítulo. Uma grandeza vetorial é uma grandeza que possui um módulo e uma orientação e pode, portanto, ser representada por um vetor. O deslocamento, a velocidade e a aceleração são exemplos de grandezas físicas vetoriais. Como neste livro serão apresentadas muitas outras grandezas vetoriais, o conhecimento das regras de combinação de vetores será de grande utilidade para o leitor. Nem toda grandeza física envolve uma orientação. A temperatura, a pressão, a energia, a massa e o tempo, por exemplo, não “apontam” em uma direção. Chamamos essas grandezas de escalares e lidamos com elas pelas regras da álgebra comum. Um único valor, possivelmente com um sinal algébrico (como no caso de uma temperatura de −2°C), é suficiente para especificar um escalar. A grandeza vetorial mais simples é o deslocamento ou mudança de posição. Um vetor que representa um deslocamento é chamado, como seria de se esperar, de vetor deslocamento. (Outros exemplos de vetor são o vetor velocidade e o vetor aceleração.) Se uma partícula muda de posição movendo-se de A para B na Fig. 3-1a, dizemos que ela sofre um deslocamento de A para B, que representamos por uma seta apontando de A para B. A seta especifica o vetor graficamente. Para distinguir símbolos vetoriais de outros tipos de setas neste livro, usamos um triângulo vazado na ponta das setas que representam vetores. Na Fig. 3-1a, as setas de A para B, de Aʹ para Bʹ e de Aʺ para Bʺ têm o mesmo módulo e a mesma orientação; assim, elas especificam vetores deslocamento iguais e representam a mesma variação de posição da partícula. Um vetor pode ser deslocado sem que o seu valor mude se o comprimento, a direção e o sentido permanecerem os mesmos. O vetor deslocamento nada nos diz sobre a trajetória percorrida por uma partícula. Na Fig. 3-1b, por exemplo, as três trajetórias que unem os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento, o da Fig. 3-1a. O vetor deslocamento não representa todo o movimento, mas apenas o resultado final. Figura 3-1 (a) As três setas têm o mesmo módulo e a mesma orientação e, portanto, representam o mesmo deslocamento. (b) As três trajetórias que ligam os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento. Soma Geométrica de Vetores Suponha que, como no diagrama vetorial da Fig. 3-2a, uma partícula se desloque de A a B e, depois, de B a C. Podemos representar o deslocamento total (independentemente da trajetória seguida) através de dois vetores deslocamento sucessivos, AB e BC. O deslocamento total é um único deslocamento de A para C. Chamamos AC de vetor soma (ou vetor resultante) dos vetores AB e BC. Esse tipo de soma não é uma soma algébrica comum. Na Fig. 3-2b, desenhamos os vetores da Fig. 3-2a e os rotulamos da forma que será usada daqui em diante, com uma seta sobre um símbolo em itálico, como em . Para indicar apenas o módulo do vetor (uma grandeza positiva e sem direção), usamos o símbolo do vetor em itálico sem a seta, como em a, b e s. (Você pode usar um símbolo manuscrito.) Uma seta sobre um símbolo indica que a grandeza representada pelo símbolo possui as propriedades de um vetor: módulo e orientação. Podemos representar a relação entre os três vetores da Fig. 3-2b através da equação vetorial Figura 3-2 (a) AC é a soma vetorial dos vetores AB e BC. (b) Outra forma de rotular os mesmos vetores. segundo a qual o vetor é o vetor soma dos vetores e . O símbolo + na Eq. 3-1 e a palavra “soma” têm um significado diferente no caso dos vetores, porque, ao contrário do que acontece na álgebra comum, envolvem tanto o módulo como a orientação da grandeza. A Fig. 3-2 sugere um método para somar geometricamente dois vetores bidimensionais e . (1) Desenhe o vetor em uma escala conveniente e com o ângulo apropriado. (2) Desenhe o vetor na mesma escala, com a origem na extremidade do vetor , também com o ângulo apropriado. (3) O vetor soma é o vetor que vai da origem de à extremidade de . Propriedades. A soma vetorial, definida dessa forma, tem duas propriedades importantes. Em primeiro lugar, a ordem em que os vetores são somados é irrelevante. Somar a é o mesmo que somar a (Fig. 3-3), ou seja, Figura 3-3 A ordem em que os vetores são somados não afeta o resultado; veja a Eq. 3-2. Em segundo lugar, quando existem mais de dois vetores, podemos agrupá-los em qualquer ordem para somá-los. Assim, se queremos somar os vetores , , e podemos somar e e somar o resultado a . Podemos também somar e e depois somar o resultado a ; o resultado é o mesmo, como mostra a Fig. 3-4. Assim, Figura 3-4 Os vetores , e podem ser agrupados em qualquer ordem para serem somados; veja a Eq. 3-3. O vetor – é um vetor com o mesmo módulo e direção de e o sentido oposto (veja a Fig. 3-5). A soma dos dois vetores da Fig. 3-5 é + (– ) = 0. Assim, somar – é o mesmo que subtrair . Usamos essa propriedade para definir a diferença entre dois vetores. Se = – , temos: Figura 3-5 Os vetores e – têm o mesmo módulo e sentidos opostos. ou seja, calculamos o vetor diferença somando o vetor – ao vetor . A Fig. 3-6 mostra como isso é feito geometricamente. Como na álgebra comum, podemos passar um termo que inclui um símbolo de vetor de um lado de uma equação vetorial para o outro, mas devemos mudar o sinal. Assim, por exemplo, para explicitar na Eq. 3-4, escrevemos a equação na forma + = ou = + . Embora tenhamos usado vetores deslocamento nesses exemplos, as regras para somar e subtrair vetores se aplicam a vetores de qualquer tipo, sejam eles usados para representar velocidade, aceleração ou qualquer outra grandeza vetorial. Por outro lado, apenas vetores do mesmo tipo podem ser somados. Assim, por exemplo, podemos somar dois deslocamentos ou duas velocidades, mas não faz sentido somar um deslocamento e uma velocidade. O equivalente na aritmética dos escalares seria tentar somar 21 s e 12 m. Figura 3-6 (a) Os vetores , e – . (b) Para subtrair o vetor do vetor , basta somar o vetor – ao vetor . Teste 1 Os módulos dos deslocamentos e são 3 m e 4 m, respectivamente, e = + . Considerando as várias orientações possíveis de e , (a) qual é o maior e (b) qual é o menor valor possível do módulo de ? Componentes de Vetores Somar vetores geometricamente pode ser uma tarefa tediosa. Uma técnica mais elegante e mais simples envolve o uso da álgebra, mas requer que os vetores sejam representados em um sistema de coordenadas retangulares. Os eixos x e y são normalmente desenhados no plano do papel, como na Fig. 3-7a. O eixo z é perpendicular ao papel; vamos ignorá-lo por enquanto e tratar apenas de vetores bidimensionais. Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo. Na Fig. 3-7a, por exemplo, ax é a componente do vetor em relação ao eixo x, e ay é a componente em relação ao eixo y. Para encontrar a projeção de um vetor em um eixo, traçamos retas perpendiculares ao eixo a partir da origem e da extremidade do vetor, como mostra a figura. A projeção de um vetor no eixo x é chamada de componente x do vetor; a projeção no eixo y recebe o nome de componente y. O processo de obter as componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor. Uma componente de um vetor tem o mesmo sentido (em relação a um eixo) que o vetor. Na Fig. 3-7, ax e ay são positivas porque aponta no sentido positivo dos dois eixos. (Observe as setas que mostram o sentido das componentes.) Se invertêssemos o sentido do vetor , as componentes seriam negativas e as setas apontariam no sentido negativo dos eixos x e y. A decomposição do vetor da Fig. 3-8 leva a uma componente bx positiva e a uma componente by negativa. Um vetor pode ter até três componentes, mas, no caso do vetor da Fig. 3-7a, a componente z é nula. Como mostram as Figs. 3-7a e 3-7b, quando deslocamos um vetor sem mudar a orientação, as componentes não mudam. Determinação das Componentes. Podemos determinar geometricamente as componentes de na Fig. 3-7a a partir do triângulo retângulo mostrado na figura: Figura 3-7 (a) As componentes ax e ay do vetor . (b) As componentes não mudam quando o vetor é deslocado, desde que o módulo e a orientação sejam mantidos. (c) As componentes correspondem aos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o módulo do vetor. em que θ é o ângulo que o vetor faz com o semieixo x positivo, e a é o módulo de . A Fig. 3-7c mostra que e as componentes x e y do vetor formam um triângulo retângulo. A figura mostra também que é possível reconstruir um vetor a partir das componentes: basta posicionar a origem de uma das componentes na extremidade da outra e completar o triângulo retângulo ligando a origem livre à extremidade livre. Uma vez que um vetor tenha sido decomposto em relação a um conjunto de eixos, as componentes podem ser usadas no lugar do vetor. Assim, por exemplo, o vetor da Fig. 3-7a é dado (completamente determinado) por a e θ, mas também pode ser dado pelas componentes ax e ay. Os dois pares de valores contêm a mesma informação. Se conhecemos um vetor na notação de componentes (ax e ay) e queremos especificá-lo na notação módulo-ângulo (a e θ), basta usar as equações para efetuar a transformação. No caso mais geral de três dimensões, precisamos do módulo e de dois ângulos (a, θ e ϕ, digamos) ou de três componentes (ax, ay e az) para especificar um vetor. Figura 3-8 A componente x de é positiva e a componente y é negativa. Teste 2 Quais dos métodos indicados na figura são corretos para determinar o vetor a partir das componentes x e y? Exemplo 3.01 Soma gráfica de vetores: um teste de campo Em um teste de campo, você recebe a tarefa de se afastar o máximo possível de um acampamento por meio de três deslocamentos retilíneos. Você pode usar os seguintes deslocamentos, em qualquer ordem: (a) , 2,0 km para leste; (b) , 2,0 km 30° ao norte do leste; (c) , 1,0 km para oeste. Você pode também substituir por – e por – . Qual é a maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento? (A direção do deslocamento total fica a seu critério.) Raciocínio: Usando uma escala conveniente, desenhamos os vetores , , , – e – , como na Fig. 3-9a. Em seguida, deslocamos mentalmente os vetores sobre a página, sem mudar a orientação, ligando três vetores de cada vez, em um arranjo no qual a origem do segundo vetor está ligada à extremidade do primeiro, e a origem do terceiro está ligada à extremidade do segundo, para encontrar o vetor soma, . A origem do primeiro vetor representa o acampamento, e a extremidade do terceiro vetor representa o ponto de destino. O vetor soma vai da origem do primeiro vetor à extremidade do terceiro. O módulo d do vetor soma é a distância entre o ponto de destino e o acampamento. Nosso objetivo é maximizar essa distância. Examinando todos os casos possíveis, descobrimos que a distância é máxima para o arranjo , , – . A ordem em que os vetores são somados não importa, já que a soma vetorial é a mesma, qualquer que seja a ordem. (Como mostra a Eq. 3-2, os vetores obedecem à lei comutativa da adição.) A ordem mostrada na Fig. 3-9b é para a soma vetorial Figura 3-9 (a) Vetores deslocamento; três devem ser usados. (b) A distância entre o ponto de destino e o acampamento será a maior possível se os deslocamentos escolhidos forem , e – em qualquer ordem. = + + (– ). Usando a escala da Fig. 3-9a, medimos o comprimento d do vetor resultante, encontrando Exemplo 3.02 Determinação das componentes de um vetor: rota de um avião Um pequeno avião decola de um aeroporto em um dia nublado e é avistado mais tarde a 215 km de distância, em um curso que faz um ângulo de 22° a leste do norte. A que distância a leste e ao norte do aeroporto está o avião no momento em que é avistado? Figura 3-10 Um avião decola de um aeroporto na origem e é avistado mais tarde no ponto P. IDEIA-CHAVE Conhecemos o módulo (215 km) e o ângulo (22° a leste do norte) de um vetor e precisamos determinar as componentes do vetor. Cálculos: Desenhamos um sistema de coordenadas xy com o sentido positivo de x para leste e o de y para o norte (Fig. 3-10). Por conveniência, a origem é colocada no aeroporto. (Isso não é obrigatório. Poderíamos escolher qualquer ponto para origem e qualquer orientação para os eixos, mas, se a escolha é nossa, por que tornar o problema mais difícil?) O deslocamento do avião aponta da origem para o ponto em que o avião foi avistado. Para determinar as componentes de , utilizamos a Eq. 3-5 com θ = 68° (= 90° − 22°): Assim, o avião foi avistado 81 km a leste e 2,0 × 102 km ao norte do aeroporto. Táticas para a Solução de Problemas Ângulos, funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas Tática 1: Ângulos em Graus e em Radianos Ângulos medidos em relação ao semieixo x positivo são positivos se são medidos no sentido anti-horário, e negativos se são medidos no sentido horário. Assim, por exemplo, 210° e −150° representam o mesmo ângulo. Os ângulos podem ser medidos em graus (o) ou em radianos (rad). Para relacionar as duas unidades, basta lembrar que uma circunferência completa corresponde a um ângulo de 360° ou 2π rad. Para converter, digamos, 40° para radianos, escrevemos Tática 2: Funções Trigonométricas A Fig. 3-11 mostra as definições das funções trigonométricas básicas (seno, cosseno e tangente), muito usadas na ciência e na engenharia, em uma forma que não depende do modo como o triângulo é rotulado. O leitor deve saber como essas funções trigonométricas variam com o ângulo (Fig. 3-12), para poder julgar se o resultado mostrado por uma calculadora é razoável. Em algumas circunstâncias, o simples conhecimento do sinal das funções nos vários quadrantes pode ser muito útil. Tática 3: Funções Trigonométricas Inversas Quando se usa uma calculadora para obter o valor de uma função trigonométrica inversa como sen−1, cos−1 e tan−1, é preciso verificar se o resultado faz sentido, pois, em geral, existe outra solução possível que a calculadora não fornece. Os intervalos em que as calculadoras operam ao fornecer os valores das funções trigonométricas inversas estão indicados na Fig. 3-12. Assim, por exemplo, sen−1 (0,5) pode ser igual a 30° (que é o valor mostrado pela calculadora, já que 30o está no intervalo de operação) ou a 150°. Para verificar se isso é verdade, trace uma reta horizontal passando pelo valor 0,5 na escala vertical da Fig. 3-12a e observe os pontos em que a reta intercepta a curva da função seno. Como é possível saber qual é a resposta correta? É a que parece mais razoável para uma dada situação. Tática 4: Medida dos Ângulos de um Vetor As expressões de cos θ e sen θ na Eq. 3-5 e de tan θ na Eq. 3-6 são válidas apenas se o ângulo for medido em relação ao semieixo x positivo. Se o ângulo for medido em relação a outro eixo, talvez seja preciso trocar as funções trigonométricas da Eq. 3-5 ou inverter a razão da Eq. 3-6. Um método mais seguro é converter o ângulo dado em um ângulo medido em relação ao semieixo x positivo. Figura 3-11 Triângulo usado para definir as funções trigonométricas. Veja também o Apêndice E. Figura 3-12 Gráficos das três funções trigonométricas. As partes mais escuras das curvas correspondem aos valores fornecidos pelas calculadoras para as funções trigonométricas inversas. 3-2 VETORES UNITÁRIOS; SOMA DE VETORES A PARTIR DAS COMPONENTES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 3.06 Converter um vetor da notação módulo-ângulo para a notação dos vetores unitários, e vice-versa. 3.07 Somar e subtrair vetores expressos na notação módulo-ângulo e na notação dos vetores unitários. 3.08 Saber que a rotação do sistema de coordenadas em torno da origem pode mudar as componentes de um vetor, mas o vetor permanece o mesmo. Ideias-Chave • Os vetores unitários , e , têm módulo 1 e apontam no sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente, em um sistema de coordenadas dextrogiro. Na notação dos vetores unitários, um vetor assume a forma em que ax , ay e az são as componentes vetoriais de e ax, ay e az são as componentes escalares. • Para somar vetores expressos na notação dos vetores unitários, usamos as equações rx = ax + bx ry = ay + by rz = az + bz. em que e são os vetores a serem somados, e = rx + ry + rz é o vetor soma. Note que as componentes devem ser somadas eixo a eixo. Vetores Unitários Vetor unitário é um vetor de módulo 1 que aponta em uma dada direção. Um vetor unitário não possui dimensão nem unidade; sua única função é especificar uma orientação. Neste livro, os vetores unitários que indicam a direção e o sentido positivo dos eixos x, y e z são representados como respectivamente , e , em que o símbolo ^ é usado, em lugar de uma seta, para mostrar que se trata de vetores unitários (Fig. 3-13). Um sistema de eixos como o da Fig. 3-13 é chamado de sistema de coordenadas dextrogiro. O sistema permanece dextrogiro quando os três eixos sofrem a mesma rotação. Os sistemas de coordenadas usados neste livro são todos dextrogiros.1 Os vetores unitários são muito úteis para especificar outros vetores; assim, por exemplo, podemos expressar os vetores e das Figs. 3-7 e 3-8 como Figura 3-13 Os vetores unitários , e usados para definir um sistema de coordenadas dextrogiro. Figura 3-14 (a) Componentes vetoriais do vetor . (b) Componentes vetoriais do vetor . Essas duas equações estão ilustradas na Fig. 3-14. As grandezas ax e ay são vetores, conhecidos como componentes vetoriais de . As grandezas ax e ay são escalares, conhecidas como componentes escalares (ou, simplesmente, componentes) de . Soma de Vetores a Partir das Componentes Podemos somar vetores geometricamente, usando um desenho. Também podemos somar vetores diretamente na tela de uma calculadora gráfica. Uma terceira forma de somar vetores, que é a forma que discutiremos em seguida, consiste em combinar as componentes eixo por eixo. Para começar, considere a equação segundo a qual o vetor é igual ao vetor ( + ). Nesse caso, cada componente de é igual à componente correspondente de ( + ): Em outras palavras, dois vetores são iguais se as componentes correspondentes forem iguais. De acordo com as Eqs. 3-9 a 3-12, para somar dois vetores + , podemos (1) obter as componentes escalares dos vetores; (2) combinar as componentes escalares, eixo por eixo, para obter as componentes do vetor soma, ; (3) combinar as componentes de para obter o vetor . Isso pode ser feito de duas maneiras: podemos expressar na notação dos vetores unitários, ou por meio da notação módulo-ângulo. Esse método de somar vetores usando componentes também se aplica à subtração. Lembre-se de que uma subtração como = – pode ser escrita como uma adição da forma = + (– ). Para subtrair, somamos as componentes de e – para obter Teste 3 (a) Quais são os sinais das componentes x de 1 e 2 na figura? (b) Quais são os sinais das componentes y de 1 e 2? Quais são os sinais das componentes x e y de 1 + 2? Vetores e as Leis da Física Até agora, em toda figura em que aparece um sistema de coordenadas, os eixos x e y são paralelos às bordas do papel. Assim, quando um vetor é desenhado, as componentes ax e ay também são paralelas às bordas do papel (como na Fig. 3-15a). A única razão para usar essa orientação dos eixos é que parece “apropriada”; não existe uma razão mais profunda. Podemos, perfeitamente, girar os eixos (mas não o vetor ) de um ângulo ϕ, como na Fig. 3-15b, caso em que as componentes terão novos valores, Como existe uma infinidade de valores possíveis de ϕ, existe um número infinito de pares possíveis de componentes de . Qual é, então, o par de componentes “correto”? A resposta é que são todos igualmente válidos, já que cada par (com o sistema de eixos correspondente) constitui uma forma diferente de descrever o mesmo vetor ; todos produzem o mesmo módulo e a mesma orientação para o vetor. Na Fig. 3-15, temos: e Figura 3-15 (a) O vetor e suas componentes. (b) O mesmo vetor, com os eixos do sistema de coordenadas girados de um ângulo ϕ. A verdade é que temos uma grande liberdade para escolher o sistema de coordenadas, já que as relações entre vetores não dependem da localização da origem nem da orientação dos eixos. Isso também se aplica às leis da física; são todas independentes da escolha do sistema de coordenadas. Acrescente a isso a simplicidade e riqueza da linguagem dos vetores e você verá que é fácil compreender por que as leis da física são quase sempre apresentadas nessa linguagem: uma equação, como a Eq. 3-9, pode representar três (ou até mais) relações, como as Eqs. 3-10, 3-11 e 3-12. Exemplo 3.03: Labirinto de sebes O labirinto de sebes é um labirinto formado por sebes bem altas. Depois de entrar no labirinto, você deve encontrar o ponto central e, em seguida, descobrir a saída. A Fig. 3-16a mostra a entrada do labirinto e as duas primeiras mudanças de direção necessárias para ir do ponto i ao ponto c. O percurso corresponde aos três deslocamentos mostrados na vista aérea da Fig. 3-16b: d1 = 6,00 m θ1 = 40° d1 = 8,00 m θ1 = 30° d1 = 5,00 m θ1 = 0° em que o último deslocamento é paralelo ao eixo x. Qual é o módulo e qual o ângulo do deslocamento total tot em relação ao ponto i quando você chega ao ponto c? IDEIAS-CHAVE (1) O deslocamento total é a soma de três deslocamentos: tot = 1 + 2 + 3. (2) Para somar os deslocamentos, podemos calcular primeiro a soma das componentes x, e depois a soma das componentes y, (3) Finalmente, construímos tot a partir das componentes x e y. Cálculos: Para podermos usar as Eqs. 3-16 e 3-17, precisamos calcular as componentes x e y de cada deslocamento. Como exemplo, a Fig. 3-16c mostra as componentes do primeiro deslocamento. Desenhamos diagramas semelhantes para os outros dois deslocamentos e aplicamos a parte referente ao eixo x da Eq. 3-5 a cada deslocamento, usando ângulos relativos ao semieixo x positivo: d1x = (6,00 m) cos 40° = 4,60 m d2x = (8,00 m) cos (–60°) = 4,00 m d3x = (5,00 m) cos 0° = 5,00 m. A Eq. 3-16 nos dá dtot,x = +4,60 m + 4,00 m + 5,00 m = 13,60 m. Analogamente, para podermos usar a Eq. 3-17, aplicamos a parte referente ao eixo y da Eq. 3-5 a cada deslocamento: d1y = (6,00 m) sen 40° = 3,86 m d2y = (8,00 m) sen (–60°) = –6,93 m d3y = (5,00 m) sen 0° = 0 m. Figura 3-16 (a) Três deslocamentos em um labirinto de sebes. (b) Os vetores deslocamento. (c) O primeiro vetor deslocamento e suas componentes. (d) O vetor deslocamento total e suas componentes. A Eq. 3-17 nos dá dtot,y = +3,86 m – 6,93 m + 0 m = –3,07 m. Em seguida, usamos as componentes de tot para construir o vetor, como mostra a Fig. 3-16d. As componentes são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o vetor. Para calcular o módulo e o ângulo de tot, usamos a Eq. 3-6. O módulo é Para obter o ângulo (medido em relação ao semieixo x positivo), calculamos o arco tangente: O ângulo é negativo porque é medido no sentido horário a partir do semieixo x positivo. É preciso tomar muito cuidado ao obter o arco tangente em uma calculadora. A resposta mostrada sempre está matematicamente correta, mas pode não ser a resposta adequada para o problema. Em muitos casos, é necessário somar 180o à resposta fornecida pela calculadora para trocar o sinal das duas componentes. Uma boa forma de verificar se isso é necessário consiste em traçar o vetor e suas componentes, como fizemos na Fig. 3-16d. Na situação deste exemplo, a figura mostra que θ = −12,7o é uma resposta razoável, enquanto −12,7o + 180o ≈ 167o não é uma resposta razoável. Podemos ver a razão pela qual existem duas respostas possíveis examinando a curva da tangente em função do ângulo (Fig. 3- 12c). Neste exemplo, o argumento do arco tangente é −3,07/13,60 = −0,226. Quando traçamos uma reta horizontal correspondente a esse valor no gráfico da Fig. 3-12c, a reta intercepta a curva da tangente em dois pontos: um no ramo mais escuro do gráfico, que corresponde a θ = −12,7o, e outro no ramo mais claro da esquerda, que corresponde a θ ≈ 167o (o ramo mais claro da direita é apenas uma repetição do ramo mais escuro entre −90o e 0o). O valor da coordenada θ do primeiro ponto é o resultado que a calculadora fornece. Exemplo 3.04 Soma de vetores usando vetores unitários A Figura 3-17a mostra os seguintes vetores: Qual é o vetor soma , que também aparece na Fig. 3-17a? IDEIA-CHAVE Podemos somar os três vetores somando as componentes, eixo por eixo, e usando as componentes resultantes para obter o vetor soma . Cálculos: No caso do eixo x, somamos as componentes x de , e , para obter a componente x do vetor soma : rx = ax + bx + cx = 4,2 m – 1,6 m + 0 = 2,6 m. Analogamente, no caso do eixo y, rx = ax + bx + cx = 1,5 m – 2,9 m – 3,7 m = –2,3 m. Podemos combinar essas componentes de para escrever o vetor em termos dos vetores unitários: em que (2,6 m) é a componente vetorial de em relação ao eixo x e −(2,3 m) é a componente vetorial de em relação ao eixo y. A Fig. 3-17b mostra uma das formas de obter o vetor a partir dessas componentes. (Qual é a outra forma?) Figura 3-17 O vetor é a soma vetorial dos outros três vetores. Também podemos resolver o problema determinando o módulo e o ângulo de . De acordo com a Eq. 3-6, o módulo é dado por e o ângulo (medido em relação ao semieixo x positivo) é dado por em que o sinal negativo significa que o ângulo deve ser medido no sentido horário. 3-3 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES* Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 3.09 Multiplicar vetores por escalares. 3.10 Saber que o resultado do produto de um escalar por um vetor é um escalar, o resultado do produto escalar de dois vetores é um escalar, e o resultado do produto vetorial de dois vetores é um vetor perpendicular aos vetores originais. 3.11 Calcular o produto escalar de dois vetores expressos na notação módulo-ângulo e o produto escalar de dois vetores expressos na notação dos vetores unitários. 3.12 Calcular o ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar. 3.13 Calcular a projeção de um vetor na direção de outro vetor a partir do produto escalar dos dois vetores. 3.14 Calcular o produto vetorial de dois vetores expressos na notação módulo-ângulo e o produto vetorial de dois vetores expressos na notação dos vetores unitários. 3.15 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação do vetor resultante de um produto vetorial. Ideias-Chave • O produto de um escalar e por um vetor é um vetor de módulo ev com a mesma direção de e o mesmo sentido de se e for positivo e o sentido oposto ao de se e for negativo. • O produto escalar de dois vetores e é representado como · e é uma grandeza escalar dada por · = ab cos ϕ, em que ϕ é o ângulo entre as direções de e . O produto escalar pode ser considerado como o produto do módulo de um dos vetores pela componente do segundo vetor na direção do primeiro. Na notação dos vetores unitários, que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva. Note que · = · • O produto vetorial de dois vetores e é representado como × e é um vetor cujo módulo c é dado por em que ϕ é o menor ângulo entre as direções de e . A direção de é perpendicular ao plano definido por e e é dada pela regra da mão direita, como mostra a Fig. 3-19. Na notação dos vetores unitários, que pode ser expandido usando a lei distributiva. Note que × = – × Multiplicação de Vetores Existem três formas de multiplicar vetores, mas nenhuma é exatamente igual à multiplicação algébrica. Ao ler a exposição a seguir, tenha em mente que uma calculadora o ajudará a multiplicar vetores apenas se você compreender as regras básicas desse tipo de multiplicação. Multiplicação de um Vetor por um Escalar Quando multiplicamos um vetor por um escalar e, obtemos um vetor cujo módulo é o produto do módulo de pelo valor absoluto de e, cuja direção é a mesma de e cujo sentido é o mesmo de se e for positivo e o sentido oposto se e for negativo. Para dividir por e, multiplicamos por 1/e. Multiplicação de um Vetor por um Vetor Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor: uma forma (conhecida como produto escalar) resulta em um escalar; a outra (conhecida como produto vetorial) resulta em um vetor. (Os estudantes costumam confundir as duas formas.) O Produto Escalar O produto escalar dos vetores e da Fig. 3-18a é escrito como · e definido pela equação em que a é o módulo de , b é o módulo de e ϕ é o ângulo entre e (ou, mais apropriadamente, entre as orientações de e ). Na realidade, existem dois ângulos possíveis: ϕ e 360° – ϕ. Qualquer dos dois pode ser usado na Eq. 3-20, já que os cossenos dos dois ângulos são iguais. Note que o lado direito da Eq. 3-20 contém apenas escalares (incluindo o valor de cos ϕ). Assim, o produto · no lado esquerdo representa uma grandeza escalar e é lido como “a escalar b”. O produto escalar pode ser considerado como o produto de duas grandezas: (1) o módulo de um dos vetores e (2) a componente escalar do outro vetor em relação ao primeiro. Assim, por exemplo, na Fig. 3-18b, tem uma componente escalar a cos ϕ em relação a ; note que essa componente pode ser determinada traçando uma perpendicular a que passe pela extremidade de . Analogamente, possui uma componente escalar b cos ϕ em relação a . Se o ângulo ϕ entre dois vetores é 0°, a componente de um vetor em relação ao outro é máxima, o que também acontece com o produto escalar dos vetores. Se o ângulo é 90°, a componente de um vetor em relação ao outro é nula, o que também acontece com o produto escalar. Para chamar atenção para as componentes, a Eq. 3-20 pode ser escrita da seguinte forma: Como a propriedade comutativa se aplica ao produto escalar, podemos escrever · = · . Figura 3-18 (a) Dois vetores, e , formando um ângulo ϕ. (b) Cada vetor tem uma componente na direção do outro vetor. Quando os dois vetores são escritos na notação dos vetores unitários, o produto escalar assume a forma que pode ser expandida de acordo com a propriedade distributiva. Calculando os produtos escalares dos componentes vetoriais do primeiro vetor pelos componentes vetoriais do segundo vetor, obtemos: Teste 4 Os vetores e têm módulos de 3 unidades e 4 unidades, respectivamente. Qual é o ângulo entre esses vetores se · é igual a (a) zero, (b) 12 unidades e (c) –12 unidades? O Produto Vetorial O produto vetorial de e é escrito como × e resulta em um terceiro vetor, , cujo módulo é em que ϕ é o menor dos dois ângulos entre e . (É preciso usar o menor dos ângulos entre os vetores porque sen ϕ e sen(360° – ϕ) têm sinais opostos.) O produto × é lido como “a vetor b”. Se e são paralelos ou antiparalelos, × = 0. O módulo de × , que pode ser escrito como | × |, é máximo quando e são mutuamente perpendiculares. A direção de é perpendicular ao plano definido por e . A Fig. 3-19a mostra como determinar o sentido de = × usando a chamada regra da mão direita. Superponha as origens de e sem mudar a orientação dos vetores e imagine uma reta perpendicular ao plano definido pelos dois vetores, passando pela origem comum. Envolva essa reta com a mão direita de modo que os dedos empurrem em direção a ao longo do menor ângulo entre os vetores. Seu polegar estendido apontará no sentido de . No caso do produto vetorial, a ordem dos vetores é importante. Na Fig. 3-19b, estamos determinando o sentido de ′ = × , de modo que os dedos da mão direita empurram na direção de ao longo do menor ângulo. Neste caso, o polegar aponta no sentido oposto ao da Fig. 3-21a, de modo que ʹ = ou seja, Em outras palavras, a lei comutativa não se aplica ao produto vetorial. Na notação dos vetores unitários, podemos escrever que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva, ou seja, calculando o produto vetorial de cada componente do primeiro vetor pelas componentes do segundo vetor. Os produtos vetoriais dos vetores unitários aparecem no Apêndice E (veja “Produtos de Vetores”). Assim, por exemplo, na expansão da Eq. 3-26, temos porque os vetores unitários e são paralelos e, portanto, o produto vetorial é zero. Analogamente, temos: No último passo, usamos a Eq. 3-24 para descobrir que o módulo de × é 1. (O módulo dos vetores e é 1, e o ângulo entre e é 90°.) Usando a regra da mão direita, descobrimos que o sentido de × é o sentido do semieixo z positivo, ou seja, o sentido de . Continuando a expandir a Eq. 3-26, é possível mostrar que Também é possível calcular o resultado de um produto vetorial usando um determinante (veja o Apêndice E), ou uma calculadora. Para verificar se um sistema de coordenadas xyz é um sistema dextrogiro, basta aplicar a regra da mão direita ao produto vetorial × = no sistema dado. Se os dedos empurrarem (semieixo x positivo) na direção de (semieixo y positivo) e o polegar estendido apontar no sentido do semieixo z positivo, o sistema é dextrogiro; caso contrário, o sistema é levogiro. Teste 5 Os vetores e têm módulos de 3 unidades e 4 unidades, respectivamente. Qual é o ângulo entre os dois vetores se o módulo do produto vetorial × é igual a (a) zero e (b) 12 unidades? Figura 3-19 Ilustração da regra da mão direita para produtos vetoriais. (a) Empurre o vetor na direção do vetor com os dedos da mão direita. O polegar estendido mostra a orientação do vetor = × . (b) O vetor × tem o sentido oposto ao de × . Exemplo 3.05 Ângulo entre dois vetores usando o produto escalar Qual é o ângulo ϕ entre = 3,0 – 4,0 e = –2,0 + 3,0 ? (Atenção: Muitos dos cálculos a seguir não são necessários quando se usa uma calculadora, mas o leitor aprenderá mais sobre produtos escalares se, pelo menos por enquanto, executá-los manualmente.) IDEIA-CHAVE O ângulo entre as orientações dos dois vetores aparece na definição do produto escalar (Eq. 3-20): Cálculos: Na Eq. 3-28, a é o módulo de , ou seja, e b é o módulo de , ou seja, Podemos calcular o lado esquerdo da Eq. 3-28 escrevendo os vetores na notação dos vetores unitários e usando a propriedade distributiva: Em seguida, aplicamos a Eq. 3-20 a cada termo da última expressão. O ângulo entre os vetores unitários do primeiro termo ( e ) é 0° e os outros ângulos são 90°. Assim, temos: Substituindo esse resultado e os resultados das Eqs. 3-29 e 3-30 na Eq. 3-28, obtemos: Exemplo 3.06 Produto vetorial, regra da mão direita Na Fig. 3-20, o vetor está no plano xy, tem um módulo de 18 unidades e uma orientação que faz um ângulo de 250° com o semieixo x positivo. O vetor tem um módulo de 12 unidades e está orientado ao longo do semieixo z positivo. Qual é o produto vetorial = × ? IDEIA-CHAVE Quando conhecemos dois vetores na notação módulo-ângulo, podemos calcular o módulo do produto vetorial usando a Eq. 3-24 e determinar a orientação do produto vetorial usando a regra da mão direita da Fig. 3-19. Cálculos: O módulo do produto vetorial é dado por Para determinar a orientação do produto vetorial na Fig. 3-20, coloque os dedos da mão direita em torno de uma reta perpendicular ao plano de e (a reta na qual se encontra o vetor ) de modo que os dedos empurrem o vetor na direção de ; o polegar estendido fornece a orientação de . Assim, como mostra a figura, está no plano xy. Como a direção de é perpendicular à direção de (o produto vetorial sempre resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais), o vetor faz um ângulo de Figura 3-20 O vetor (no plano xy) é o produto vetorial dos vetores e . com o semieixo x positivo. Exemplo 3.07 Produto vetorial usando vetores unitários Se = 3 – 4 e = –2 + 3 , determine = × . IDEIA-CHAVE Quando dois vetores estão expressos na notação dos vetores unitários, podemos determinar o produto vetorial usando a lei distributiva. Cálculos: Temos: Podemos calcular os valores dos diferentes termos usando a Eq. 3-24 e determinando a orientação dos vetores com o auxílio da regra da mão direita. No primeiro termo, o ângulo ϕ entre os dois vetores envolvidos no produto vetorial é 0; nos outros três termos, ϕ = 90°. O resultado é o seguinte: O vetor é perpendicular a e , o que pode ser demonstrado observando que · = 0 e · = 0; ou seja, que não existem componentes de em relação a e . Revisão e Resumo Escalares e Vetores Grandezas escalares, como temperatura, possuem apenas um valor numérico. São especificadas por um número com uma unidade (10°C, por exemplo) e obedecem às regras da aritmética e da álgebra elementar. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um valor numérico (módulo) e uma orientação (5 m para cima, por exemplo) e obedecem às regras da álgebra vetorial. Soma Geométrica de Vetores Dois vetores e podem ser somados geometricamente desenhando-os na mesma escala e posicionando-os com a origem de um na extremidade do outro. O vetor que liga as extremidades livres dos dois vetores é o vetor soma, . Para subtrair de , invertemos o sentido de para obter – e somamos – a . A soma vetorial é comutativa obedece à lei associativa Componentes de um Vetor As componentes (escalares) ax e ay de um vetor bidimensional em relação ao eixos de um sistema de coordenadas xy são obtidas traçando retas perpendiculares aos eixos a partir da origem e da extremidade de . As componentes são dadas por em que θ é o ângulo entre e o semieixo x positivo. O sinal algébrico de uma componente indica o sentido da componente em relação ao eixo correspondente. Dadas as componentes, podemos determinar o módulo e a orientação de um vetor através das equações Notação dos Vetores Unitários Os vetores unitários , e têm módulo unitário e sentido igual ao sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente, se o sistema de coordenadas for dextrogiro (o que pode ser verificado calculando os produtos vetoriais dos vetores unitários). Em termos dos vetores unitários, um vetor pode ser expresso na forma em que ax ay e az são as componentes vetoriais de e ax, ay e az são as componentes escalares. Soma de Vetores na Forma de Componentes Para somar vetores na forma de componentes, usamos as regras Aqui, e são os vetores a serem somados e é o vetor soma. Note que as componentes são somadas separadamente para cada eixo. No final, a soma pode ser expressa na notação dos vetores unitários ou na notação módulo-ângulo. Produto de um Escalar por um Vetor O produto de um escalar e por um vetor é um vetor de módulo ev com a mesma orientação de se e for positivo, e com a orientação oposta se e for negativo. (O sinal negativo inverte o sentido do vetor.) Para dividir por e, multiplicamos por 1/e. O Produto Escalar O produto escalar de dois vetores e é representado por · e é igual à grandeza escalar dada por em que ϕ é o menor dos ângulos entre as direções de e . O produto escalar é o produto do módulo de um dos vetores pela componente escalar do outro em relação ao primeiro. Note que · = · o que significa que o produto escalar obedece à lei comutativa. Na notação dos vetores unitários, que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva. O Produto Vetorial O produto vetorial de dois vetores · , representado por ¹ , é um vetor cujo módulo c é dado por em que ϕ é o menor dos ângulos entre as direções de e . A orientação de é perpendicular ao plano definido por e e é dada pela regra da mão direita, como mostra a Fig. 3-19. Note que × = –( × ), o que significa que o produto vetorial não obedece à lei comutativa. Na notação dos vetores unitários, que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva. Perguntas 1 A soma dos módulos de dois vetores pode ser igual ao módulo da soma dos mesmos vetores? Justifique sua resposta. 2 Os dois vetores da Fig. 3-21 estão em um plano xy. Determine o sinal das componentes x e y, respectivamente, de (a) 1 + 2; (b) 1 – 2; (c) 1 – 2. Figura 3-21 Pergunta 2. Figura 3-22 Pergunta 3. 3 Como a mascote da Universidade da Flórida é um jacaré, a equipe de golfe da universidade joga em um campo no qual existe um lago com jacarés. A Fig. 3-22 mostra uma vista aérea da região em torno de um dos buracos do campo com um sistema de coordenadas xy superposto. As tacadas da equipe devem levar a bola da origem até o buraco, que está nas coordenadas (8 m, 12 m), mas a bola pode sofrer apenas os seguintes deslocamentos, que podem ser usados mais de uma vez: O lago está nas coordenadas (8 m, 6 m). Se um membro da equipe lança a bola no lago, é imediatamente transferido para a Universidade Estadual da Flórida, a eterna rival. Que sequência de deslocamentos deve ser usada por um membro da equipe para evitar o lago? 4 A Eq. 3-2 mostra que a soma de dois vetores e é comutativa. Isso significa que a subtração é comutativa, ou seja, que – = – ? 5 Quais dos sistemas de eixos da Fig. 3-23 são “sistemas de coordenadas dextrogiros”? Como de costume, a letra que identifica o eixo está no semieixo positivo. Figura 3-23 Pergunta 5. 6 Descreva dois vetores e tais que (a) + = e a + b = c; (b) + = – ; (c) + = e a2 + b2 = c2. 7 Se = + + (– ), (a) + (– ) = + (– ), (b) =(– ) + + e (c) + (– )= + ? 8 Se · = · , e é necessariamente igual a ? 9 Se = q( × ) e é perpendicular a , qual é a orientação de nas três situações mostradas na Fig. 3-24 se a constante q for (a) positiva e (b) negativa? Figura 3-24 Pergunta 9. 10 A Fig. 3-25 mostra um vetor e outros quatro vetores de mesmo módulo e orientações diferentes. (a) Quais dos outros quatro vetores têm o mesmo produto escalar com ? (b) Quais têm um produto escalar com negativo? Figura 3-25 Pergunta 10. 11 Em um jogo disputado em um labirinto tridimensional, você precisa mover sua peça da partida, nas coordenadas (0, 0, 0), para a chegada, nas coordenadas (−2 cm, 4 cm, −4 cm). A peça pode sofrer apenas os deslocamentos (em centímetros) mostrados a seguir. Se, durante o trajeto, a peça parar nas coordenadas (−5 cm, −1 cm, −1 cm) ou (5 cm, 2 cm, −1 cm), você perde o jogo. Qual é a sequência de deslocamentos correta para levar a peça até a chegada? 12 As componentes x e y de quatro vetores , , e são dadas a seguir. Para quais desses vetores uma calculadora fornece o ângulo correto quando você usa a calculadora para determinar o ângulo θ da Eq. 3- 6? Observe primeiro a Fig. 3-12 para chegar a uma resposta e depois use uma calculadora para verificar se sua resposta está correta. 13 Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas? (a) · ( · ) (b) × ( · ) (c) · ( × ) (d) × ( × ) (e) + ( · ) (f) + ( × ) (g) 5 + (h) 5 + ( · ) (i) 5 + ( × ) (j) ( · ) + ( · ) Problemas . - ... O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema. Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008. Módulo 3-1 Vetores e Suas Componentes ·1 Quais são (a) a componente x e (b) a componente y de um vetor do plano xy que faz um ângulo de 250° no sentido anti-horário como o semieixo x positivo e tem um módulo de 7,3 m? ·2 Um vetor deslocamento no plano xy tem 15 m de comprimento e faz um ângulo θ = 30° com o semieixo x positivo, como mostra a Fig. 3-26. Determine (a) a componente x e (b) a componente y do vetor. ·3 A componente x do vetor é –25,0 m e a componente y é + 40,0 m. (a) Qual é o módulo de ? (b) Qual é o ângulo entre a orientação de e o semieixo x positivo? Figura 3-26 Problema 2. ·4 Expresse os seguintes ângulos em radianos: (a) 20,0°; (b) 50,0°; (c) 100°. Converta os seguintes ângulos para graus: (d) 0,330 rad; (e) 2,10 rad; (f) 7,70 rad. ·5 O objetivo de um navio é chegar a um porto situado 120 km ao norte do ponto de partida, mas uma tempestade inesperada o leva para um local situado 100 km a leste do ponto de partida. (a) Que distância o navio deve percorrer e (b) que rumo deve tomar para chegar ao destino? ·6 Na Fig. 3-27, uma máquina pesada é erguida com o auxílio de uma rampa que faz um ângulo q = 20,0° com a horizontal, na qual a máquina percorre uma distância d = 12,5 m. (a) Qual é a distância vertical percorrida pela máquina? (b) Qual é a distância horizontal percorrida pela máquina? Figura 3-27 Problema 6. ·7 Considere dois deslocamentos, um de módulo 3 m e outro de módulo 4 m. Mostre de que forma os vetores deslocamento podem ser combinados para que o módulo do deslocamento resultante seja (a) 7 m, (b) 1 m, (c) 5 m. Módulo 3-2 Vetores Unitários; Soma de Vetores a partir das Componentes ·8 Uma pessoa caminha da seguinte forma: 3,1 km para o norte, 2,4 km para oeste e 5,2 km para o sul. (a) Desenhe o diagrama vetorial que representa esse movimento. (b) Que distância e (c) em que direção voaria um pássaro em linha reta do mesmo ponto de partida ao mesmo ponto de chegada? ·9 Dois vetores são dados por Determine, na notação dos vetores unitários, (a) + ; (b) – ; (c) um terceiro vetor, , tal que – + = 0. ·10 Determine as componentes (a) x, (b) y e (c) z da soma dos deslocamentos e cujas componentes em metros em relação aos três eixos são cx = 7,4, cy = -3,8, cz = -6,1, dx = 4,4, dy = –2,0, dz = 3,3. ·11 (a) Determine a soma + , na notação dos vetores unitários, para = (4,0 m) + (3,0 m) e = (13,0 m) + (7,0 m) . Determine (b) o módulo e (c) a orientação de + . ·12 Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30o a leste do norte. Desenhe o diagrama vetorial e determine (a) o módulo e (b) o ângulo do deslocamento do carro em relação ao ponto de partida. ·13 Uma pessoa deseja chegar a um ponto que está a 3,40 km da localização atual, em uma direção 35,0° ao norte do leste. As ruas por onde a pessoa pode passar são todas na direção norte-sul ou na direção leste-oeste. Qual é a menor distância que essa pessoa precisa percorrer para chegar ao destino? ·14 Você deve executar quatro deslocamentos na superfície plana num deserto, começando na origem de um sistema de coordenadas xy e terminando nas coordenadas (–140 m, 30 m). As componentes dos deslocamentos são, sucessivamente, as seguintes, em metros: (20, 60), (bx, –70), (–20, cy) e (–60, –70). Determine (a) bx e (b) cy. Determine (c) o módulo e (d) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) do deslocamento total. ·15 Os vetores e da Fig. 3-28 têm o mesmo módulo, 10,0 m, e os ângulos mostrados na figura são q1 = 30° e q2 = 105°. Determine as componentes (a) x e (b) y da soma vetorial dos dois vetores, (c) o módulo de e (d) o ângulo que faz com o semieixo x positivo. ·16 Para os vetores deslocamento = (3,0 m) + (4,0 m) e = (5,0 m) + (–2,0 m) , determine + (a) em termos de vetores unitários e em termos (b) do módulo e (c) do ângulo (em relação a ). Determine – (d) em termos de vetores unitários e em termos (e) do módulo e (f) do ângulo. Figura 3-28 Problema 15. ·17 Três vetores, , e , têm o mesmo módulo, 50 m, e estão em um plano xy. Os ângulos dos vetores em relação ao semieixo x positivo são 30°, 195°, e 315°, respectivamente. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo do vetor + + e (c) o módulo e (d) o ângulo de – + . Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de um quarto vetor, , tal que ( + ) – ( + ) = 0. ·18 Na soma + = , o vetor tem um módulo de 12,0 m e faz um ângulo de 40,0° no sentido anti- horário com o semieixo x positivo; o vetor tem um módulo de 15,0 m e faz um ângulo de 20,0° no sentido anti-horário com o semieixo x negativo. Determine (a) o módulo de e (b) o ângulo de com o semieixo x positivo. ·19 Em um jogo de xadrez ao ar livre, no qual as peças ocupam o centro de quadrados com 1,00 m de lado, um cavalo é movido da seguinte forma: (1) dois quadrados para a frente e um quadrado para a direita; (2) dois quadrados para a esquerda e um quadrado para a frente; (3) dois quadrados para a frente e um quadrado para a esquerda. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao sentido “para a frente”) do deslocamento total do cavalo após a série de três movimentos. ··20 Um explorador polar foi surpreendido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade a praticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento, ele deveria ter caminhado 5,6 km para o norte, mas, quando o tempo melhorou, percebeu que, na realidade, havia caminhado 7,8 km em uma direção 50° ao norte do leste. (a) Que distância e (b) em que sentido o explorador deve caminhar para voltar à base? ··21 Uma formiga, enlouquecida pelo sol em um dia quente, sai correndo em um plano xy. As componentes (x, y) de quatro corridas consecutivas em linha reta são as seguintes, todas em centímetros: (30,0; 40,0), (bx; –70,0), (–20,0; cy), (–80,0; –70,0). O deslocamento resultante das quatro corridas tem componentes (-140; -20,0). Determine (a) bx e (b) cy. Determine (c) o módulo e (d) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) do deslocamento total. ··22 (a) Qual é a soma dos quatro vetores a seguir na notação dos vetores unitários? Para essa soma, quais são (b) o módulo, (c) o ângulo em graus, e (d) o ângulo em radianos? ··23 Se é somado a = 3,0 + 4,0 , o resultado é um vetor com a orientação do semieixo y positivo e um módulo igual ao de . Qual é o módulo de ? ··24 O vetor , paralelo ao eixo x, deve ser somado ao vetor , que tem um módulo de 7,0 m. A soma é um vetor paralelo ao eixo y, com um módulo 3 vezes maior que o de . Qual é o módulo de ? ··25 O oásis B está 25 km a leste do oásis A. Partindo do oásis A, um camelo percorre 24 km em uma direção 15° ao sul do leste e 8,0 km para o norte. A que distância o camelo está do oásis B? ··26 Determine a soma dos quatro vetores a seguir (a) na notação dos vetores unitários e em termos (b) do módulo e (c) do ângulo. ··27 Se 1 + 2 = 5 3, 1 – 2 = 3 3 e 3 = 2 + 4 , determine, na notação dos vetores unitários, (a) 1 (b) 2. ··28 Dois besouros correm em um deserto plano, partindo do mesmo ponto. O besouro 1 corre 0,50 m para leste e 0,80 m em uma direção 30° ao norte do leste. O besouro 2 corre 1,6 m em uma direção 40° ao leste do norte e depois corre em outra direção. Quais devem ser (a) o módulo e (b) o sentido da segunda corrida do segundo besouro para que ele termine na mesma posição que o primeiro besouro? ··29 Para se orientarem, as formigas de jardim costumam criar uma rede de trilhas marcadas por feromônios. Partindo do formigueiro, cada uma dessas trilhas se bifurca repetidamente em duas trilhas que formam entre si um ângulo de 60o. Quando uma formiga perdida encontra uma trilha, ela pode saber em que direção fica o formigueiro ao chegar ao primeiro ponto de bifurcação. Se estiver se afastando do formigueiro, encontrará duas trilhas que formam ângulos pequenos com a direção em que estava se movendo, 30o para a esquerda e 30o para a direita. Se estiver se aproximando do formigueiro, encontrará apenas uma trilha com essa característica, 30o para a esquerda ou 30o para a direita. A Fig. 3-29 mostra uma rede de trilhas típica, com segmentos de reta de 2,0 cm de comprimento e bifurcações simétricas de 60o. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) do deslocamento, até o formigueiro (encontre-o na figura), de uma formiga que entra na rede de trilhas no ponto A. Determine (c) o módulo e (d) o ângulo de uma formiga que entra na rede de trilhas no ponto B. ··30 São dados dois vetores: = (4,0 m) – (3,0 m) e = (6,0 m) + (8,0 m) . Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação a ) de . Determine (c) o módulo e (d) o ângulo de . Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de + ; (g) o módulo e (h) o ângulo de – ; (i) o módulo e (j) o ângulo de – . (k) Determine o ângulo entre as direções de – e – . Figura 3-29 Problema 29. ··31 Na Fig. 3-30, um vetor com um módulo de 17,0 m faz um ângulo θ = 56,0° no sentido anti-horário com o semieixo x positivo. Quais são as componentes (a) ax e (b) ay do vetor? Um segundo sistema de coordenadas está inclinado de um ângulo θʹ = 18° em relação ao primeiro. Quais são as componentes (c) e (d) neste novo sistema de coordenadas? Figura 3-30 Problema 31. ···32 Na Fig. 3-31, um cubo, de aresta a, tem um dos vértices posicionado na origem de um sistema de coordenadas xyz. A diagonal do cubo é uma reta que vai de um vértice a outro do cubo, passando pelo centro. Na notação dos vetores unitários, qual é a diagonal do cubo que passa pelo vértice cujas coordenadas são (a) (0, 0, 0), (b) (a, 0, 0) (c) (0, a, 0) e (d) (a, a, 0)? (e) Determine os ângulos que as diagonais do cubo fazem com as arestas vizinhas. (f) Determine o comprimento das diagonais do cubo em termos de a. Figura 3-31 Problema 32. Módulo 3-3 Multiplicação de Vetores ·33 Para os vetores da Fig. 3-32, com a = 4, b = 3 e c = 5, determine (a) o módulo e (b) a orientação de × , (c) o módulo e (d) a orientação de × e (e) o módulo e (f) orientação de × . (Embora exista, o eixo z não é mostrado na figura.) ·34 Dois vetores são dados por = 3,0 + 5,0 e = 2,0 + 4,0 . Determine (a) × , (b) · , (c) ( + ) · e (d) a componente de em relação a . [Sugestão: Para resolver o item (d), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18.] Figura 3-32 Problemas 33 e 54. ·35 Dois vetores, e , estão no plano xy. Os módulos dos vetores são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a 320° e 85,0°, respectivamente, no sentido anti-horário em relação ao semieixo x positivo. Quais são os valores de (a) · e (b) × ? ·36 Se 1 = 3 – 2 + 4 e 2 = –5 + 2 – , determine ( 1 + 2) · ( 1 × 4 2). ·37 Três vetores são dados por = 3,0 + 3,0 – 2,0 , = –1,0 – 4,0 + 2,0 e = 2,0 + 2,0 + 1,0 . Determine (a) · ( × ), (b) · ( + ) e (c) × ( + ). ··38 Determine para os três vetores a seguir. ··39 O módulo do vetor é 6,00 unidades, o módulo do vetor é 7,00 unidades e · = 14,0. Qual é o ângulo entre e ? ··40 O deslocamento 1 está no plano yz, faz um ângulo de 63,0o com o semieixo y positivo, tem uma componente z positiva e tem um módulo de 4,50 m. O deslocamento 2 está no plano xz, faz um ângulo de 30,0o com o semieixo x positivo, tem uma componente z positiva e tem um módulo de 1,40 m. Determine (a) 1 · 2; (b) 1 × 2 e (c) o ângulo entre 1 e 2. ··41 Use a definição de produto escalar, – = ab cos θ e o fato de que · = axbx + ayby + azbz para calcular o ângulo entre os vetores = 3,0 + 3,0 + 3,0 e = 2,0 + 1,0 + 3,0 . ··42 Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de 1 = (4,0 m) + (5,0 m) e o mímico 2 se desloca de 2 = (–3,0 m) + (4,0 m) . Determine (a) 1 × 2, (b) 1 · 2, (c) ( 1 + 2) · 2 e (d) a componente de 1 em relação a 2. [Sugestão: Para resolver o item (d), veja a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18]. ··43 Os três vetores na Fig. 3-33 têm módulos a = 3,00 m, b = 4,00 m e c = 10,0 m; θ = 30,0°. Determine (a) a componente x e (b) a componente y de ; (c) a componente x e (d) a componente y de ; (e) a componente x e (f) a componente y de . Se = p + q , quais são os valores de (g) p e (h) q? Figura 3-33 Problema 43. ··44 No produto = qv × , faça q = 2, Determine , na notação dos vetores unitários, para Bx = By. Problemas Adicionais 45 Os vetores e estão no plano xy. tem módulo 8,00 e ângulo 130o; tem componentes Bx = –7,72 e By = –9,20. (a) Determine 5 · . Determine 4 × 3 (b) na notação dos vetores unitários e (c) na notação módulo-ângulo em coordenadas esféricas (veja a Fig. 3-34). (d) Determine o ângulo entre os vetores e 4 × 3 (Sugestão: Pense um pouco antes de iniciar os cálculos.) Determine + 3,0 (e) na notação dos vetores unitários e (f) na notação módulo-ângulo em coordenadas esféricas. Figura 3-34 Problema 45. 46 O vetor tem módulo 5,0 m e aponta para leste. O vetor tem módulo 4,0 m e aponta na direção 35o a oeste do norte. Determine (a) o módulo e (b) a orientação do vetor + . Determine (c) o módulo e (d) a orientação do vetor – . (e) Desenhe os diagramas vetoriais correspondentes às duas combinações de vetores. 47 Os vetores e estão no plano xy. tem módulo 8,00 e ângulo 130o; tem componentes Bx = -7,72 e By = -9,20. Determine o ângulo entre o semieixo y negativo e (a) o vetor , (b) o vetor × e (c) o vetor × ( + 3,00 ). 48 Dois vetores e têm componentes, em metros, ax = 3,2, ay = 1,6, bx = 0,50 e by = 4,5. (a) Determine o ângulo entre e . Existem dois vetores no plano xy que são perpendiculares a e têm um módulo de 5,0 m. Um, o vetor , tem uma componente x positiva; o outro, o vetor , tem uma componente x negativa. Determine (b) a componente x e (c) a componente y de ; (d) a componente x e (e) a componente y de . 49 Um barco a vela parte do lado norte-americano do lago Erie para um ponto no lado canadense, 90,0 km ao norte. O navegante, contudo, termina 50,0 km a leste do ponto de partida. (a) Que distância e (b) em que direção deve navegar para chegar ao ponto desejado? 50 O vetor 1 é paralelo ao semieixo y negativo 2 e o vetor é paralelo ao semieixo x positivo. Determine a orientação (a) de 2/4 e (b) de – 1/4. Determine o módulo (c) de 1 · 2 e (d) de 1 · ( 2/4). Determine a orientação (e) do vetor 1 × 2 e (f) do vetor 2 × 1. Determine o módulo (g) de 1 × 2 e (h) de 2 × 1. Determine (i) o módulo e (j) a orientação de 1 × ( 2/4). 51 Uma falha geológica é uma ruptura ao longo da qual faces opostas de uma rocha deslizaram uma em relação à outra. Na Fig. 3-35, os pontos A e B coincidiam antes de a rocha em primeiro plano deslizar para a direita. O deslocamento total está no plano da falha. A componente horizontal de é o rejeito horizontal AC. A componente de dirigida para baixo no plano da falha é o rejeito de mergulho AD. (a) Qual é o módulo do deslocamento total se o rejeito horizontal é 22,0 m e o rejeito de mergulho é 17,0 m? (b) Se o plano da falha faz um ângulo ϕ = 52,0° com a horizontal, qual é a componente vertical de ? Figura 3-35 Problema 51. 52 São dados três deslocamentos em metros: 1 = 4,0 + 5,0 – 6,0 , 2 = –1,0 + 2,0 + 3,0 e 3 = 4,0 + 3,0 + 2,0 . (a) Determine = 1 – 2 + 3. (b) Determine o ângulo entre e o semieixo z positivo. (c) Determine a componente de 1 em relação a 2. (d) Qual é a componente de 1 que é perpendicular a 2 e está no plano de 1 e 2? [Sugestão: Para resolver o item (c), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18; para resolver o item (d), considere a Eq. 3-27.] 53 Um vetor 1 de módulo 10 unidades e um vetor de módulo 6,0 unidades fazem um ângulo de 60o. Determine (a) o produto escalar dos dois vetores e (b) o módulo do produto vetorial × . 54 Para os vetores da Fig. 3-32, com a = 4, b = 3 e c = 5, calcule (a) · , (b) · e (c) · . 55 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos em um plano: 1, 4,00 m para sudoeste, 2, 5,00 para leste, e 3, 6,00 em uma direção 60,0o ao norte do leste. Use um sistema de coordenadas com o eixo y apontando para o norte e o eixo x apontando para leste. Determine (a) a componente x e (b) a componente y de 1. Determine (c) a componente x e (d) a componente y de 2. Determine (e) a componente x e (f) a componente y de 3. Considere o deslocamento total da partícula após os três deslocamentos. Determine (g) a componente x, (h) a componente y, (i) o módulo e (j) a orientação do deslocamento total. Para que a partícula volte ao ponto de partida (k) que distância deve percorrer e (l) em que direção deve se deslocar? 56 Determine a soma dos quatro vetores a seguir (a) em termos dos vetores unitários e em termos (b) do módulo e (c) do ângulo em relação ao semieixo x positivo. : 10,0 m, 25,0o no sentido anti-horário em relação a +x > : 12,0 m, 10,0o no sentido anti-horário em relação a +y > : 8,00 m, 20,0o no sentido horário em relação a –y > : 9,00 m, 40,0o no sentido anti-horário em relação a –y 57 Se é somado a , o resultado é 6,0 + 1,0 . Se é subtraído de , o resultado é –4,0 + 7,0 . Qual é o módulo de ? 58 Um vetor tem módulo 2,5 m e aponta para o norte. Determine (a) o módulo e (b) a orientação de 4,0 . Determine (c) o módulo e (d) a orientação de –3,0 . 59 O vetor tem um módulo de 12,0 m e faz um ângulo de 60,0o no sentido anti-horário com o semieixo x positivo de um sistema de coordenadas xy. O vetor é dado por (12,0 m) + (8,00 m) no mesmo sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas sofre uma rotação de 20,0o no sentido anti-horário em torno da origem para formar um sistema x'y'. Determine os vetores (a) e (b) na notação dos vetores unitários do novo sistema. 60 Se – = 2 , + = 4 e = 3 + 4 , determine (a) e (b) . 61 (a) Determine, na notação dos vetores unitários, = – + para = 5,0 + 4,0 – 6,0 , = –2,0 + 2,0 + 3,0 e = 4,0 + 3,0 + 2,0 . (b) Calcule o ângulo entre e o semieixo z positivo. (c) Determine a componente de em relação a . (d) Determine a componente de em uma direção perpendicular a , no plano definido por e . [Sugestão: Para resolver o item (c), veja a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18; para resolver o item (d), veja a Eq. 3-27.] 62 Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada lança a bola 3,66 m para o norte, a segunda 1,83 m para sudeste e a terceira 0,91 m para sudoeste. Determine (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento necessário para colocar a bola no buraco na primeira tacada. 63 São dados três vetores em metros: Determine (a) 1 · ( 2 + 3), (b) 1 · ( 2 × 3) e (c) 1 × ( 2 + 3). 64 As dimensões de uma sala são 3,00 m (altura) × 3,70 m × 4,30 m. Uma mosca parte de um canto da sala e pousa em um canto diagonalmente oposto. (a) Qual é o módulo do deslocamento da mosca? (b) A distância percorrida pode ser menor que este valor? (c) Pode ser maior? (d) Pode ser igual? (e) Escolha um sistema de coordenadas apropriado e expresse as componentes do vetor deslocamento na notação dos vetores unitários. (f) Se a mosca caminhar, em vez de voar, qual é o comprimento do caminho mais curto para o outro canto? (Sugestão: O problema pode ser resolvido sem fazer cálculos complicados. A sala é como uma caixa; desdobre as paredes para representá-las em um mesmo plano antes de procurar uma solução.) 65 Um manifestante com placa de protesto parte da origem de um sistema de coordenadas xyz, com o plano xy na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x, faz uma curva de noventa graus à esquerda, caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre com 25 m de altura. (a) Na notação dos vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (b) O manifestante deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual é o módulo do deslocamento total, do início até esse novo fim? 66 Considere um vetor no sentido positivo do eixo x, um vetor no sentido positivo do eixo y, e um escalar d. Qual é a orientação do vetor / (a) se d for positivo e (b) se d for negativo? (c) Qual é o valor absoluto de · ? (d) Qual é o valor absoluto de · / ? (e) Qual é a orientação do vetor × ? (f) Qual é a orientação do vetor × ? (g) Qual é o módulo do vetor × ? (h) Qual é o módulo do vetor × ? Supondo que d seja positivo, (i) qual é o módulo do vetor × /d? (j) Qual é a orientação do vetor × /d? 67 Suponha que o vetor unitário aponta para leste, o vetor unitário aponta para o norte e o vetor unitário aponta para cima. Quanto valem os produtos (a) · , (b) (– ) · (– ) e (c) · (– )? Quais são as orientações (como, por exemplo, para leste ou para baixo) dos produtos (d) × , (e) (– ) × (– ) e (f) (– ) × (– )? 68 Um banco no centro de Boston é assaltado (veja o mapa da Fig. 3-36). Os bandidos fogem de helicóptero e, tentando despistar a polícia, fazem três voos em sequência, descritos pelos seguintes deslocamentos: 32 km, 45o ao sul do leste; 53 km, 26o ao norte do oeste; 26 km, 18o a leste do sul. No final do terceiro voo, são capturados. Em que cidade os bandidos foram presos? Figura 3-36 Problema 68. 69 Uma roda com um raio de 45,0 cm rola, sem escorregar, em um piso horizontal (Fig. 3-37). No instante t1, o ponto P pintado na borda da roda está no ponto de contato entre a roda e o piso. Em um instante posterior t2, a roda descreveu meia revolução. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao piso) do deslocamento do ponto P. Figura 3-37 Problema 69. 70 Uma mulher caminha 250 m na direção 30o a leste do norte e, em seguida, caminha 175 m na direção leste. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo do deslocamento total da mulher em relação ao ponto de partida. (c) Determine a distância total percorrida. (d) Qual é maior, a distância percorrida ou o módulo do deslocamento? 71 Um vetor tem um módulo de 3,0 m e aponta para o sul. Determine (a) o módulo e (b) a orientação do vetor 5,0 . Determine (c) o módulo e (d) a orientação do vetor −2,0 . 72 Uma formiga-de-fogo, em busca de molho picante em uma área de piquenique, executa três deslocamentos sucessivos no nível do solo: 1, de 0,40 m para sudoeste (ou seja, 45° entre sul e oeste), 2, de 0,50 m para leste, e 3, de 0,60 m em uma direção 60° ao norte do leste. Suponha que o sentido positivo do eixo x aponte para leste e o sentido positivo do eixo y aponte para o norte. Quais são (a) a componente x e (b) a componente y de 1? Quais são (c) a componente x e (d) a componente y de 2? Quais são (e) a componente x e (f) a componente y de 3? Quais são (g) a componente x e (h) a componente y, (i) o módulo e (j) o sentido do deslocamento total da formiga? Para a formiga voltar diretamente ao ponto de partida, (k) que distância ela deve percorrer e (l) em que direção deve se mover? 73 Dois vetores são dados por = 3,0 + 5,0 e = 2,0 + 4,0 . Determine (a) × , (b) · , (c) ( + ) · e (d) a componente de em relação a . 74 O vetor está no plano yz, faz um ângulo de 63,0o com o semieixo y positivo, tem uma componente z positiva e tem um módulo de 3,20 unidades. O vetor está no plano xz, faz um ângulo de 48,0o com o semieixo x positivo, tem uma componente z positiva e tem um módulo de 1,40 unidade. Determine (a) · , (b) × e (c) o ângulo entre e 75 Determine (a) o produto vetorial de “norte” e “oeste”, (b) o produto escalar de “para baixo” e “sul”, (c) o produto vetorial de “leste” e “para cima”, (d) o produto escalar de “oeste” e “oeste” e (e) o produto vetorial de “sul” e “sul”. Suponha que todos os vetores têm módulo unitário. 76 Um vetor , cujo módulo é 8,0 m, é somado a um vetor , que coincide com o eixo x. A soma dos dois vetores é um vetor que coincide com o eixo y e cujo módulo é duas vezes maior que o módulo de . Qual é o módulo de ? 77 Um homem sai para passear, partindo da origem de um sistema de coordenadas xyz, com o plano xy horizontal e o eixo x apontando para leste. Carregando uma moeda falsa no bolso, ele caminha 1300 m para leste, caminha mais 2200 m para o norte e deixa cair a moeda do alto de um penhasco com 410 m de altura. (a) Qual é o deslocamento da moeda, na notação dos vetores unitários, do ponto de partida até o ponto em que ela chega ao solo? (b) Qual é o módulo do deslocamento do homem no percurso de volta ao ponto de partida? 78 Qual é o módulo de × ( × ) se a = 3,90, b = 2,70 e o ângulo entre os dois vetores é 63,0o? 79 Na Fig. 3-38, o módulo de é 4,3, o módulo de é 5,4 e ϕ = 46o. Calcule a área do triângulo formado pelos vetores e a diagonal do paralelogramo. Figura 3-38 Problema 79. _______________ 1O outro tipo possível de sistema, raramente usado na prática, é chamado de sistema de coordenadas levogiro. O que distingue os dois tipos de sistemas é a posição relativa dos eixos x, y e z. Em um sistema levogiro, o eixo y estaria na posição ocupada pelo eixo z na Fig. 3.13, e vice-versa. (N.T.) *Como os conceitos abordados neste tópico só serão usados mais adiante (no Capítulo 7, para o produto escalar, e no Capítulo 11, para o produto vetorial), talvez o professor do curso ache conveniente omiti-lo no momento. CAPÍTULO 4 Movimento em Duas e Três Dimensões 4-1 POSIÇÃ E DESLOCAMENTO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 4.01 Desenhar vetores posição bidimensionais e tridimensionais de uma partícula, indicando as componentes em relação aos eixos de um sistema de coordenadas. 4.02 Para um dado sistema de coordenadas, determinar a orientação e o módulo do vetor posição de uma partícula a partir das componentes, e vice-versa. 4.03 Usar a relação entre o vetor deslocamento de uma partícula e os vetores da posição inicial e da posição final. Ideias-Chave • A localização de uma partícula em relação à origem de um sistema de coordenadas é dada por um vetor posição que, na notação dos vetores unitários, pode ser expresso na forma = x + y + z . em que x , y e z são as componentes vetoriais do vetor posição e x, y e z são as componentes escalares (e, também, as coordenadas da partícula). • O vetor posição pode ser representado por um módulo e um ou dois ângulos, ou por suas componentes vetoriais ou escalares. • Se uma partícula se move de tal forma que seu vetor posição muda de 1 para 2, o deslocamento ∆ da partícula é dado por ∆ = 2 − 1. O deslocamento também pode ser expresso na forma ∆ = (x2 − x1) + (y2 − y1) + (z2 − z1) = ∆x + ∆y + ∆z . O que É Física? Neste capítulo, continuamos a estudar a parte da física que analisa o movimento, mas agora os movimentos podem ser em duas ou três dimensões. Médicos e engenheiros aeronáuticos, por exemplo, precisam conhecer a física das curvas realizadas por pilotos de caça durante os combates aéreos, já que os jatos modernos fazem curvas tão rápidas que o piloto pode perder momentaneamente a consciência. Um engenheiro esportivo talvez esteja interessado na física do basquetebol. Quando um jogador vai cobrar um lance livre (em que o jogador lança a bola em direção à cesta, sem marcação, de uma distância de 4,3 m), pode arremessar a bola da altura dos ombros ou da altura da cintura. A primeira técnica é usada pela maioria esmagadora dos jogadores profissionais, mas o legendário Rick Barry estabeleceu o recorde de aproveitamento de lances livres usando a segunda. Não é fácil compreender os movimentos em três dimensões. Por exemplo: o leitor provavelmente é capaz de dirigir um carro em uma rodovia (movimento em uma dimensão), mas teria muita dificuldade para pousar um avião (movimento em três dimensões) sem um treinamento adequado. Iniciaremos nosso estudo do movimento em duas e três dimensões com as definições de posição e deslocamento. Posição e Deslocamento A localização de uma partícula (ou de um objeto que se comporte como uma partícula) pode ser especificada, de forma geral, por meio do vetor posição , um vetor que liga um ponto de referência (a origem de um sistema de coordenadas, na maioria dos casos) à partícula. Na notação dos vetores unitários do Módulo 3-2, pode ser escrito na forma em que x , y e z são as componentes vetoriais de e x, y e z são as componentes escalares. Figura 4-1 O vetor posição de uma partícula é a soma vetorial das componentes vetoriais. Os coeficientes x, y e z fornecem a localização da partícula em relação à origem ao longo dos eixos de coordenadas; em outras palavras, (x, y, z) são as coordenadas retangulares da partícula. A Fig. 4-1, por exemplo, mostra uma partícula cujo vetor posição é = (−3 m) + (2 m) + (5 m) e cujas coordenadas retangulares são (–3 m, 2 m, 5 m). Ao longo do eixo x, a partícula está a 3 m de distância da origem, no sentido oposto ao do vetor unitário . Ao longo do eixo y, está a 2 m de distância da origem, no sentido do vetor unitário . Ao longo do eixo z, está a 5 m de distância da origem, no sentido do vetor unitário . Quando uma partícula se move, o vetor posição varia de tal forma que sempre liga o ponto de referência (origem) à partícula. Se o vetor posição varia de 1 para 2, digamos, durante um intervalo de tempo ∆t, o deslocamento da partícula, ∆ durante o intervalo de tempo ∆t é dado por Usando a notação dos vetores unitários da Eq. 4-1, podemos escrever esse deslocamento como ∆ = (x2 + y2 + z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) em que as coordenadas (x1, y1, z1) correspondem ao vetor posição 1, e as coordenadas (x2, y2, z2) correspondem ao vetor posição 2. Podemos também escrever o vetor deslocamento substituindo (x2 − x1) por Δx, (y2 − y1) por Δy e (z2 − z1) por Δz: Exemplo 4.01 Vetor posição bidimensional: movimento de um coelho Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por (a) No instante t = 15 s, qual é o vetor posição do coelho na notação dos vetores unitários e na notação módulo-ângulo? IDEIA-CHAVE As coordenadas x e y da posição do coelho, dadas pelas Eqs. 4-5 e 4-6, são as componentes escalares do vetor posição do coelho. Vamos calcular o valor dessas coordenadas no instante dado e usar a Eq. 3-6 para determinar o módulo e a orientação do vetor posição. Cálculos: Podemos escrever Figura 4-2 (a) O vetor posição de um coelho, , no instante t = 15 s. As componentes escalares de são mostradas ao longo dos eixos. (b) A trajetória do coelho e a posição do animal para seis valores de t. [Escrevemos (t) em vez de porque as componentes são funções de t e, portanto, também é função de t.] Em t = 15 s, as componentes escalares são cujo desenho pode ser visto na Fig. 4-2a. Para obter o módulo e o ângulo de usamos a Eq. 3-6: Verificação: Embora θ = 139° possua a mesma tangente que –41°, os sinais das componentes de indicam que o ângulo desejado é 139° – 180° = –41°. (b) Desenhe o gráfico da trajetória do coelho, de t = 0 a t = 25 s. Plotagem: Podemos repetir a parte (a) para vários valores de t e plotar os resultados. A Fig. 4-2b mostra os pontos do gráfico para seis valores de t e a curva que liga esses pontos. 4-2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 4.04 Saber que a velocidade é uma grandeza vetorial e, portanto, possui um módulo e uma orientação, e pode ser representada por componentes. 4.05 Desenhar vetores velocidade bidimensionais e tridimensionais para uma partícula, indicando as componentes em relação a um sistema de coordenadas. 4.06 Relacionar os vetores posição inicial e final, o intervalo de tempo entre as duas posições e o vetor velocidade média de uma partícula, utilizando a notação módulo-ângulo e a notação dos vetores unitários. 4.07 Dado o vetor posição de uma partícula em função do tempo, determinar o vetor velocidade instantânea. Ideias-Chave • Se uma partícula sofre um deslocamento ∆ em um intervalo de tempo Δt, a velocidade média méd da partícula nesse intervalo de tempo é dada por • O limite de méd quando Δt tende a zero é a velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) : que, na notação dos vetores unitários, assume a forma = x + y + z , em que νx = dx/dt, νy = dy/dt e νz = dz/dt. • A orientação da velocidade instantânea de uma partícula é sempre a mesma da tangente à trajetória na posição em que a partícula se encontra no momento. Velocidade Média e Velocidade Instantânea Se uma partícula se move de um ponto para outro, podemos estar interessados em saber com que rapidez a partícula está se movendo. Como no Capítulo 2, podemos definir duas grandezas que expressam a “rapidez” de um movimento: velocidade média e velocidade instantânea. No caso de um movimento bidimensional ou tridimensional, porém, devemos considerar essas grandezas como vetores e usar a notação vetorial. Se uma partícula sofre um deslocamento ∆ em um intervalo de tempo Δt, a velocidade média méd é dada por Essa equação nos diz que a orientação de méd (o vetor do lado esquerdo da Eq. 4-8) é igual à do deslocamento ∆ (o vetor do lado direito). Usando a Eq. 4-4, podemos escrever a Eq. 4-8 em termos das componentes vetoriais: Assim, por exemplo, se uma partícula sofre um deslocamento de (12 m) + (3,0 m) em 2,0 s, a velocidade média durante o movimento é Nesse caso, portanto, a velocidade média (uma grandeza vetorial) tem uma componente de 6,0 m/s em relação ao eixo x e uma componente de 1,5 m/s em relação ao eixo z. Quando falamos da velocidade de uma partícula, em geral estamos nos referindo à velocidade instantânea em um dado instante. Essa velocidade é o valor para o qual tende a velocidade méd quando o intervalo de tempo Δt tende a zero. Usando a linguagem do cálculo, podemos escrever como a derivada A Fig. 4-3 mostra a trajetória de uma partícula que se move no plano xy. Quando a partícula se desloca para a direita ao longo da curva, o vetor posição gira para a direita. Durante o intervalo de tempo Δt, o vetor posição muda de 1 para 2 e o deslocamento da partícula é ∆ . Para determinar a velocidade instantânea da partícula no instante t1 (instante em que a partícula está na posição 1), reduzimos o intervalo de tempo Δt nas vizinhanças de t1, fazendo-o tender a zero. Com isso, três coisas acontecem: (1) O vetor posição 2 da Fig. 4-3 se aproxima de 1, fazendo ∆ tender a zero. (2) A direção de ∆ /∆ (e, portanto, de méd) se aproxima da direção da reta tangente à trajetória da partícula na posição 1. (3) A velocidade média méd se aproxima da velocidade instantânea no instante t1. Figura 4-3 O deslocamento Δ de uma partícula durante um intervalo de tempo Δt, da posição 1, com vetor posição 1 no instante t1, até a posição 2, com vetor posição 2 no instante t2. A figura mostra também a tangente à trajetória da partícula na posição 1. No limite Δt → 0, temos méd → e, o que é mais importante neste contexto , assume a direção da reta tangente. Assim, também assume essa direção: A direção da velocidade instantânea de uma partícula é sempre tangente à trajetória da partícula na posição da partícula. O resultado é o mesmo em três dimensões: é sempre tangente à trajetória da partícula. Para escrever a Eq. 4-10 na forma de vetores unitários, usamos a expressão para dada pela Eq. 4-1: Essa equação pode ser simplificada se a escrevermos como em que as componentes escalares de são Assim, por exemplo, dx/dt é a componente escalar de em relação ao eixo x. Isso significa que podemos encontrar as componentes escalares de derivando as componentes de . A Fig. 4-4 mostra o vetor velocidade e as componentes escalares x e y. Note que é tangente à trajetória da partícula na posição da partícula. Atenção: Um vetor posição, como os que aparecem nas Figs. 4-1 a 4-3, é uma seta que se estende de um ponto (“aqui”) a outro (“lá”). Entretanto, um vetor velocidade, como o da Fig. 4-4, não se estende de um ponto a outro. No caso do vetor velocidade, a orientação do vetor mostra a direção instantânea do movimento de uma partícula localizada na origem do vetor, e o comprimento, que representa o módulo da velocidade, pode ser desenhado em qualquer escala. Figura 4-4 A velocidade de uma partícula e as componentes escalares de . Teste 1 A figura mostra uma trajetória circular descrita por uma partícula. Se a velocidade da partícula em um dado instante é = (2 m/s) − (2 m/s) , em qual dos quadrantes a partícula está se movendo nesse instante se o movimento é (a) no sentido horário e (b) no sentido anti-horário? Desenhe na figura para os dois casos. Exemplo 4.02 Velocidade bidimensional: um coelho correndo Determine a velocidade no instante t = 15 s do coelho do exemplo anterior. IDEIA-CHAVE Podemos determinar calculando as derivadas das componentes do vetor posição do coelho. Cálculos: Aplicando à Eq. 4-5 a parte da Eq. 4-12 correspondente a vx, descobrimos que a componente x de é Em t = 15 s, isso nos dá vx = –2,1 m/s. Da mesma forma, aplicando à Eq. 4-6 a parte da Eq. 4-12 correspondente a vy, descobrimos que a componente y é Em t = 15 s, isso nos dá vy = –2,5 m/s. Assim, de acordo com a Eq. 4-11, que está desenhada na Fig. 4-5, tangente à trajetória do coelho e na direção em que o animal está se movendo em t = 15 s. Para obter o módulo e o ângulo de , podemos usar uma calculadora ou escrever, de acordo com a Eq. 3-6, Verificação: O ângulo é –130° ou –130° + 180° = 50°? Figura 4-5 A velocidade do coelho em t = 15 s. 4-3 ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 4.08 Saber que a aceleração é uma grandeza vetorial e que, portanto, possui um módulo e uma orientação e pode ser representada por componentes. 4.09 Desenhar vetores aceleração bidimensionais e tridimensionais para uma partícula, indicando as componentes em relação a um sistema de coordenadas. 4.10 Relacionar os vetores velocidade inicial e final, o intervalo de tempo entre as duas posições e o vetor aceleração média de uma partícula, utilizando a notação módulo-ângulo e a notação dos vetores unitários. 4.11 Dado o vetor velocidade de uma partícula em função do tempo, determinar o vetor aceleração instantânea. 4.12 Para cada dimensão do movimento, obter relações entre a aceleração, a velocidade, a posição e o tempo usando as equações de aceleração constante do Capítulo 2. Ideias-Chave • Se a velocidade de uma partícula varia de 1 para 2 em um intervalo de tempo Δt, a aceleração média da partícula nesse intervalo de tempo é • O limite de méd quando Δt tende a zero é a aceleração instantânea (ou simplesmente, aceleração) : que, na notação dos vetores unitários, assume a forma = ax + ay + az , em que ax = dvx/dt, ay = dvy/dt e az = dvz/dt. Aceleração Média e Aceleração Instantânea Se a velocidade de uma partícula varia de 1 para 2 em um intervalo de tempo Δt, a aceleração média méd durante o intervalo Δt é Quando fazemos Δt tender a zero no entorno de um dado instante, méd tende para a aceleração instantânea (ou, simplesmente, aceleração) nesse instante, ou seja, Se o módulo ou a orientação da velocidade varia (ou se ambos variam), a partícula possui uma aceleração. Podemos escrever a Eq. 4-16 na notação dos vetores unitários substituindo pelo seu valor, dado pela Eq. 4-11, para obter Podemos escrever essa equação na forma (1) (2) (3) (4) em que as componentes escalares de são Assim, podemos obter as componentes escalares de derivando as componentes escalares de em relação ao tempo. A Fig. 4-6 mostra o vetor aceleração e suas componentes escalares para uma partícula que se move em duas dimensões. Atenção: Um vetor aceleração, como o da Fig. 4-6, não se estende de um ponto a outro. No caso do vetor aceleração, a orientação do vetor é usada para mostrar a direção instantânea da aceleração de uma partícula localizada na origem do vetor, e o comprimento, que representa o módulo da aceleração, pode ser desenhado em qualquer escala. Figura 4-6 A aceleração de uma partícula e as O componentes de . Teste 2 Considere as seguintes descrições da posição (em metros) de uma partícula que se move no plano xy: x = −3t2 + 4t − 2 e y = 6t2 − 4t x = −3t3 + 4t e y = 5t2 − 6t = 2t2 − (4t + = 3) = 4t3 − 2t) + 3 As componentes x e y da aceleração são constantes em todas essas situações? A aceleração é constante? Exemplo 4.03 Aceleração bidimensional: um coelho correndo Determine a aceleração no instante t = 15 s do coelho dos exemplos anteriores. IDEIA-CHAVE Podemos determinar a aceleração calculando as derivadas das componentes da velocidade do coelho. Cálculos: Aplicando à Eq. 4-13 a parte da Eq. 4-18 correspondente a ax, descobrimos que a componente x de é Analogamente, aplicando à Eq. 4-14 a parte da Eq. 4-18 correspondente a ay, descobrimos que a componente y é Vemos que a aceleração não varia com o tempo (é uma constante), pois a variável tempo, t, não aparece na expressão das componentes da aceleração. De acordo com a Eq. 4-17, que é mostrada superposta à trajetória do coelho na Fig. 4-7. Para obter o módulo e o ângulo de , podemos usar uma calculadora ou a Eq. 3-6. No caso do módulo, temos: No caso do ângulo, temos: Acontece que esse ângulo, que é o resultado fornecido pelas calculadoras, indica que a orientação de é para a direita e para baixo na Fig. 4-7. Entretanto, sabemos, pelas componentes x e y, que a orientação de é para a esquerda e para cima. Para determinar o outro ângulo que possui a mesma tangente que –35°, mas não é mostrado pelas calculadoras, somamos 180°: O novo resultado é compatível com as componentes de . Observe que, como a aceleração do coelho é constante, o módulo e a orientação de são os mesmos em todos os pontos da trajetória. Este é o segundo exemplo no qual precisamos calcular a derivada de um vetor que está expresso na notação dos vetores unitários. Um erro comum dos estudantes é esquecer os vetores unitários e somar diretamente as componentes (ax e ay, no caso), como se estivessem trabalhando com uma soma de escalares. Não se esqueça de que a derivada de um vetor é sempre um vetor. Figura 4-7 A aceleração do coelho em t = 15 s. O coelho possui a mesma aceleração em todos os pontos da trajetória. 4-4 MOVIMENTO BALÍSTICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 4.13 Explicar, em um gráfico da trajetória de um projétil, a variação do módulo e da orientação da velocidade e da aceleração ao longo do percurso. 4.14 A partir da velocidade de lançamento, na notação módulo-ângulo ou na notação dos vetores unitários, calcular a posição, o deslocamento e a velocidade do projétil em um dado instante de tempo. 4.15 A partir da posição, deslocamento e velocidade em um dado instante de tempo, calcular a velocidade de lançamento do projétil. Ideias-Chave • No movimento balístico, uma partícula é lançada, com velocidade escalar v0, em uma direção que faz um ângulo θ0 com a horizontal (eixo x). Em todo o percurso, a aceleração horizontal é zero, e a aceleração vertical é –g (no sentido negativo do eixo y). • As equações de movimento da partícula são as seguintes: • A trajetória da partícula tem a forma de uma parábola e é dada por para x0 = y0 = 0. • O alcance horizontal R, que é a distância horizontal percorrida pela partícula entre o ponto de lançamento e o ponto em que volta à altura do lançamento, é dado por Movimento Balístico Consideraremos, a seguir, um caso especial de movimento bidimensional: uma partícula que se move em um plano vertical com velocidade inicial 0 e com uma aceleração constante, igual à aceleração de queda livre , dirigida para baixo. Uma partícula que se move dessa forma é chamada de projétil (o que significa que é projetada ou lançada), e o movimento é chamado de movimento balístico. O projétil pode ser uma bola de tênis (Fig. 4-8) ou de golfe, mas não um avião ou um pato. Muitos esportes envolvem o movimento balístico de uma bola; jogadores e técnicos estão sempre procurando controlar esse movimento para obter o máximo de vantagem. O jogador que descobriu a rebatida em Z no raquetebol na década de 1970, por exemplo, vencia os jogos com facilidade porque a trajetória peculiar da bola no fundo da quadra surpreendia os adversários. Vamos agora analisar o movimento balístico usando as ferramentas descritas nos Módulos 4-1 a 4-3 para o movimento bidimensional, sem levar em conta a influência do ar. A Fig. 4-9, que será discutida em breve, mostra a trajetória de um projétil quando o efeito do ar pode ser ignorado. O projétil é lançado com uma velocidade inicial 0 que pode ser escrita na forma As componentes v0x e v0y podem ser calculadas se conhecermos o ângulo θ0 entre 0 e o semieixo x positivo: Durante o movimento bidimensional, o vetor posição e a velocidade do projétil mudam continuamente, mas o vetor aceleração é constante e está sempre dirigido verticalmente para baixo. O projétil não possui aceleração horizontal. O movimento balístico, como o das Figs. 4-8 e 4-9, parece complicado, mas apresenta a seguinte propriedade simplificadora (que pode ser demonstrada experimentalmente): No movimento balístico, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes, ou seja, um não afeta o outro. Richard Megna/Fundamental Photographs Figura 4-8 Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em uma superfície dura. Entre os impactos, a trajetória da bola é balística. Movimento vertical + Movimento horizontal O movimento balístico é uma combinação do movimento vertical com o movimento horizontal. Lançamento Velocidade vertical vx0 Vy0 Lançamento Velocidade decrescente vx Vy Lançamento Velocidade crescente vy0 = 0 Velocidade nula na altura máxima Vz0 Vy Velocidade constante Lançamento Vy Vz0 Velocidade constante Velocidade constante Movimento balístico Lançamento Velocidade de lançamento Angulo de lançamento Vx0 v tn Vx Vy Vy Vx Vy v x0 v x0 v x0 v y y y y y x x x x x x x v yt ve y v x y v y y v v v v Figura 4-9 O movimento balístico de um projétil lançado da origem de um sistema de coordenadas com velocidade inicial 0 e ângulo θ0. Como mostram as componentes da velocidade, o movimento é uma combinação de movimento vertical (com aceleração constante) e movimento horizontal (com velocidade constante). Essa propriedade permite decompor um problema que envolve um movimento bidimensional em dois problemas unidimensionais independentes e mais fáceis de serem resolvidos, um para o movimento horizontal (com aceleração nula) e outro para o movimento vertical (com aceleração constante para baixo). Apresentamos a seguir dois experimentos que mostram que o movimento horizontal e o movimento vertical são realmente independentes. Duas Bolas de Golfe A Fig. 4-10 é uma fotografia estroboscópica de duas bolas de golfe, uma que simplesmente foi deixada cair e outra que foi lançada horizontalmente por uma mola. As bolas de golfe têm o mesmo movimento vertical; ambas percorrem a mesma distância vertical no mesmo intervalo de tempo. O fato de uma bola estar se movendo horizontalmente enquanto está caindo não afeta o movimento vertical; ou seja, os movimentos horizontal e vertical são independentes. Richard Megna/Fundamental Photographs Figura 4-10 Uma bola é deixada cair a partir do repouso no mesmo instante em que outra bola é lançada horizontalmente para a direita. Os movimentos verticais das duas bolas são iguais. Uma Demonstração Interessante A Fig. 4-11 apresenta uma demonstração que tem animado muitas aulas de física. Um canudo C é usado para soprar pequenas bolas em direção a uma lata suspensa por um eletroímã E. O experimento é arranjado de tal forma que o canudo está apontado para a lata e o ímã solta a lata no mesmo instante em que a bola deixa o tubo. Se g (o módulo da aceleração de queda livre) fosse zero, a bola seguiria a trajetória em linha reta mostrada na Fig. 4-11 e a lata continuaria no mesmo lugar após ter sido liberada pelo eletroímã. Assim, a bola certamente atingiria a lata, independentemente da força do sopro. Na verdade, g não é zero, mas, mesmo assim, a bola sempre atinge a lata! Como mostra a Fig. 4-11, a aceleração da gravidade faz com que a bola e a lata sofram o mesmo deslocamento para baixo, h, em relação à posição que teriam, a cada instante, se a gravidade fosse nula. Quanto maior a força do sopro, maior a velocidade inicial da bola, menor o tempo que a bola leva para se chocar com a lata e menor o valor de h. Teste 3 Em um dado instante, uma bola que descreve um movimento balístico tem uma velocidade = 25 – 4,9 (o eixo x é horizontal, o eixo y é vertical e aponta para cima e está em metros por segundo). A bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória? Figura 4-11 A bola sempre acerta na lata que está caindo, já que as duas percorrem a mesma distância h em queda livre. Movimento Horizontal Agora estamos preparados para analisar o movimento horizontal e vertical de um projétil. Como não existe aceleração na direção horizontal, a componente horizontal vx da velocidade do projétil permanece inalterada e igual ao valor inicial v0x durante toda a trajetória, como mostra a Fig. 4-12. Em qualquer instante t, o deslocamento horizontal do projétil em relação à posição inicial, x – x0, é fornecido pela Eq. 2-15 com a = 0, que podemos escrever na forma x − x0 = v0xt. Como v0x = v0 cos θ0, temos: Movimento Vertical O movimento vertical é o movimento que discutimos no Módulo 2-5 para uma partícula em queda livre. O mais importante é que a aceleração é constante. Assim, as equações da Tabela 2-1 podem ser usadas, desde que a seja substituído por −g e o eixo x seja substituído pelo eixo y. A Eq. 2-15, por exemplo, se torna em que a componente vertical da velocidade inicial, v0y, foi substituída pela expressão equivalente v0 sen θ0. Da mesma forma, as Eqs. 2-11 e 2-16 se tornam Como mostram a Fig. 4-9 e a Eq. 4-23, a componente vertical da velocidade se comporta exatamente como a de uma bola lançada verticalmente para cima. Está dirigida inicialmente para cima e o módulo diminui progressivamente até se anular no ponto mais alto da trajetória. Em seguida, a componente vertical da velocidade muda de sentido e o módulo passa a aumentar com o tempo. Jamie Budge Figura 4-12 A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a componente horizontal, que é igual à velocidade do skate. Em consequência, o skate permanece abaixo do atleta, permitindo que ele pouse no skate após o salto. Equação da Trajetória Podemos obter a equação do caminho percorrido pelo projétil (ou seja, da trajetória) eliminando o tempo t nas Eqs. 4-21 e 4-22. Explicitando t na Eq. 4-21 e substituindo o resultado na Eq. 4-22, obtemos, após algumas manipulações algébricas, Essa é a equação da trajetória mostrada na Fig. 4-9. Ao deduzi-la, para simplificar, fizemos x0 = 0 e y0 = 0 nas Eqs. 4-21 e 4-22, respectivamente. Como g, θ0 e v0 são constantes, a Eq. 4-25 é da forma y = ax + bx2, em que a e b são constantes. Como se trata da equação de uma parábola, dizemos que a trajetória é parabólica. Alcance Horizontal O alcance horizontal R de um projétil é a distância horizontal percorrida pelo projétil até voltar à altura inicial (altura de lançamento). Para determinar o alcance R, fazemos x – x0 = R na Eq. 4-21 e y – y0 = 0 na Eq. 4-22, o que nos dá Eliminando t nas duas equações, obtemos Usando a identidade sen 2θ0 = 2 sen θ0 cos θ0 (veja o Apêndice E), obtemos Essa equação não fornece a distância horizontal percorrida pelo projétil quando a altura final é diferente da altura de lançamento. Observe na Eq. 4-26 que R é máximo para sen 2θ0 = 1, o que corresponde a 2θ0 = 90° ou θ0 = 45°. O alcance horizontal R é máximo para um ângulo de lançamento de 45°. Quando a altura final é diferente da altura de lançamento, como acontece no arremesso de peso, no lançamento de disco e no basquetebol, a distância horizontal máxima não é atingida para um ângulo de lançamento de 45°. Efeitos do Ar Até agora, supusemos que o ar não exerce efeito algum sobre o movimento de um projétil. Em muitas situações, porém, a diferença entre a trajetória calculada dessa forma e a trajetória real do projétil pode ser considerável, já que o ar resiste (se opõe) ao movimento. A Fig. 4-13, por exemplo, mostra as trajetórias de duas bolas de beisebol que deixam o bastão fazendo um ângulo de 60° com a horizontal, com uma velocidade inicial de 44,7 m/s. A trajetória I (de uma bola de verdade) foi calculada para as condições normais de jogo, levando em conta a resistência do ar. A trajetória II (de uma bola em condições ideais) é a trajetória que a bola seguiria no vácuo. Figura 4-13 (I) Trajetória de uma bola, levando em conta a resistência do ar. (II) Trajetória que a bola seguiria no vácuo, calculada usando as equações deste capítulo. Os dados correspondentes estão na Tabela 4-1. (Adaptado de “The Trajectory of a Fly Ball”, Peter J. Brancazio, The Physics Teacher, January 1985.) Teste 4 Uma bola de beisebol é rebatida na direção do campo de jogo. Durante o percurso (ignorando o efeito do ar), o que acontece com as componentes (a) horizontal e (b) vertical da velocidade? Qual é a componente (c) horizontal e (d) vertical da aceleração durante a subida, durante a descida e no ponto mais alto da trajetória? Tabela 4-1 Trajetórias de Duas Bolas de Beisebola Trajetória I (Ar) Trajetória I (Vácuo) Alcance 98,5 m 177 m Altura máxima 53,0 m 76,8 m Tempo de percurso 6,6 s 7,9 s aVeja a Fig. 4.13. O ângulo de lançamento é 60º e a velocidade de lançamento é 44,7 m/s. Exemplo 4.04 Projétil lançado de um avião Na Fig. 4-14, um avião de salvamento voa a 198 km/h (= 55,0 m/s), a uma altura constante de 500 m, rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa. (a) Qual deve ser o ângulo ϕ da linha de visada do piloto para a vítima no instante em que o piloto deixa cair a balsa? IDEIAS-CHAVE Como, depois de liberada, a balsa é um projétil, os movimentos horizontal e vertical podem ser examinados separadamente (não é preciso levar em conta a curvatura da trajetória). Cálculos: Na Fig. 4-14, vemos que ϕ é dado por em que x é a coordenada horizontal da vítima (e da balsa ao chegar à água) e h = 500 m. Podemos calcular x com o auxílio da Eq. 4-21: Sabemos que x0 = 0 porque a origem foi colocada no ponto de lançamento. Como a balsa é deixada cair e não arremessada do avião, a velocidade inicial 0 é igual à velocidade do avião. Assim, sabemos também que a velocidade inicial tem módulo v0 = 55,0 m/s e ângulo θ0 = 0° (medido em relação ao semieixo x positivo). Entretanto, não conhecemos o tempo t que a balsa leva para percorrer a distância do avião até a vítima. Figura 4-14 Um avião lança uma balsa enquanto se desloca com velocidade constante em um voo horizontal. Durante a queda, a velocidade horizontal da balsa permanece igual à velocidade do avião. Para determinar o valor de t, temos que considerar o movimento vertical e, mais especificamente, a Eq. 4-22: Aqui, o deslocamento vertical y - y0 da balsa é -500 m (o valor negativo indica que a balsa se move para baixo). Assim, Resolvendo essa equação, obtemos t = 10,1 s. Substituindo na Eq. 4-28, obtemos: ou x = 555,5 m. Nesse caso, a Eq. 4-27 nos dá (b) No momento em que a balsa atinge a água, qual é a sua velocidade na notação dos vetores unitários e na notação módulo- ângulo? IDEIAS-CHAVE (1) As componentes horizontal e vertical da velocidade da balsa são independentes. (2) A componente vx não muda em relação ao valor inicial v0x = v0 cos θ0 porque não existe uma aceleração horizontal. (3) A componente vy muda em relação ao valor inicial v0y = v0 sen θ0 porque existe uma aceleração vertical. Cálculos: Quando a balsa atinge a água, vx = v0 cos θ0 = (55,0 m/s)(cos 0°) = 55,0 m/s. Usando a Eq. 4-23 e o tempo de queda da balsa t = 10,1 s, descobrimos que, quando a balsa atinge a água, vy = v0 sen θ0 − gt = (55,0 m/s)(sen 0°) = (9,8 m/s2)(10,1 s). = −99,0 m/s. Assim, no momento em que a balsa atinge a água, De acordo com a Eq. 3-6, o módulo e o ângulo de são Exemplo 4.05 Lançamento a partir de um escorrega aquático Um dos vídeos mais impressionantes da internet (na verdade, totalmente falso) mostra um homem descendo um grande escorrega aquático, sendo lançado no ar e mergulhando em uma piscina. Vamos usar dados realistas para calcular com que velocidade o homem chegaria à piscina. A Fig. 4-15a mostra os pontos inicial e final da trajetória balística e um sistema de coordenadas com a origem no ponto de lançamento. Com base no que mostra o vídeo, usamos uma distância horizontal entre os pontos inicial e final D = 20,0 m, um tempo de percurso t = 2,50 s e um ângulo de lançamento θ0 = 40,0°. Nosso objetivo é calcular o módulo da velocidade no instante em que o homem deixa o escorrega e no instante em que ele mergulha na piscina. Figura 4-15 (a) Um homem é lançado de um escorrega aquático e vai cair em uma piscina. Velocidade do homem (b) ao ser lançado do escorrega e (c) ao mergulhar na piscina. IDEIAS-CHAVE (1) Como se trata de um movimento balístico, podemos aplicar separadamente as equações de aceleração constante às componentes horizontal e vertical do movimento. (2) Em toda a trajetória, a aceleração vertical é ay = −g = −9,8 m/s e a aceleração horizontal é ax = 0. Cálculos: Na maioria dos problemas de balística, o primeiro desafio consiste em escolher as equações mais adequadas. Não há nada de errado em experimentar várias equações para ver se alguma delas permite calcular as velocidades que buscamos. Aqui vai, porém, uma sugestão: Como pretendemos aplicar separadamente as equações de aceleração constante aos movimentos ao longo dos eixos x e y, é mais razoável calcular as componentes horizontal e vertical da velocidade nos pontos inicial e final e usar esses resultados para calcular a velocidade total nos dois pontos. Vamos começar pelo movimento horizontal. Como ax = 0, sabemos que a componente horizontal vx da velocidade é constante ao longo de todo o percurso e, portanto, é igual à componente horizontal v0x no ponto de lançamento. Podemos relacionar essa componente ao deslocamento x − x0 e ao tempo de percurso usando a Eq. 2-15: Fazendo x − x0 = D = 20 m, ax = 0 e t = 2,50 s, temos: Como mostra a Fig. 4-15b, as componentes x e y da velocidade são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o módulo da velocidade total. Assim, podemos aplicar a relação trigonométrica que nos dá Vamos agora calcular o módulo v da velocidade no ponto final do percurso. Já sabemos que a componente horizontal vx, que não varia com o tempo, é 8,00 m/s. Para determinar a componente vertical vy, escrevemos a Eq. 2-11 na forma vy = v0y + ayt o que nos dá, usando uma relação trigonométrica (veja a Fig. 4-15b), Fazendo v0 = 10,44 m/s, ay = −g = −9,8 m/s2 e t = 2,50 s, obtemos vy = (10,44 m/s) sen (40,0°) − (9,8 m/s2)(2,50 s) = −17,78 m/s. Agora que conhecemos as duas componentes da velocidade final, podemos usar a Eq. 3-6 para calcular o módulo da velocidade: 4-5 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 4.16 Desenhar a trajetória de uma partícula que descreve um movimento circular uniforme e explicar o comportamento dos vetores velocidade e aceleração (módulo e orientação) durante o movimento. 4.17 Aplicar as relações entre o raio da trajetória circular e o período, a velocidade escalar e a aceleração escalar da partícula. Ideias-Chave • Se uma partícula se move ao longo de uma circunferência de raio r com velocidade escalar constante v, dizemos que ela está descrevendo um movimento circular uniforme; nesse caso, o módulo da aceleração tem um valor constante, dado por A aceleração , que é chamada de aceleração centrípeta, aponta para o centro da circunferência ou arco de circunferência. O tempo T necessário para a partícula descrever uma circunferência completa, conhecido como período de revolução ou simplesmente período, é dado por Movimento Circular Uniforme Uma partícula em movimento circular uniforme descreve uma circunferência ou um arco de circunferência com velocidade escalar constante (uniforme). Embora a velocidade escalar não varie nesse tipo de movimento, a partícula está acelerada porque a direção da velocidade está mudando. A Fig. 4-16 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento circular uniforme. O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a orientação varia continuamente. A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da circunferência. Por essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de aceleração centrípeta (“que busca o centro”). Como será demonstrado a seguir, o módulo dessa aceleração é em que r é o raio da circunferência e v é a velocidade da partícula. Figura 4-16 Os vetores velocidade e aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme. Durante esta aceleração com velocidade escalar constante, a partícula percorre a circunferência completa (uma distância igual a 2πr) em um intervalo de tempo dado por O parâmetro T é chamado de período de revolução ou, simplesmente, período. No caso mais geral, período é o tempo que uma partícula leva para completar uma volta em uma trajetória fechada. Demonstração da Eq. 4-34 Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme, considere a Fig. 4-17. Na Fig. 4-17a, a partícula p se move com velocidade escalar constante v enquanto percorre uma circunferência de raio r. No instante mostrado, as coordenadas de p são xp e yp. Como vimos no Módulo 4-2, a velocidade de uma partícula em movimento é sempre tangente à trajetória da partícula na posição considerada. Na Fig. 4-17a, isso significa que é perpendicular a uma reta r que liga o centro da circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o ângulo θ que faz com uma reta paralela ao eixo y passando pelo ponto p é igual ao ângulo θ que o raio r faz com o eixo x. As componentes escalares de são mostradas na Fig. 4-17b. Em termos dessas componentes, a velocidade pode ser escrita na forma Usando o triângulo retângulo da Fig. 4-17a, podemos substituir sen θ por yp/r e cos θ por xp/r e escrever Para determinar a aceleração da partícula p, devemos calcular a derivada da Eq. 4-37 em relação ao tempo. Observando que a velocidade escalar v e o raio r não variam com o tempo, obtemos Note que a taxa de variação com o tempo de yp, dyp/dt, é igual à componente y da velocidade, vy. Analogamente, dxp/dt = vx, e, novamente de acordo com a Fig. 4-17b, vx = –v sen θ e vy = v cos θ. Fazendo essas substituições na Eq. 4-38, obtemos Esse vetor e suas componentes aparecem na Fig. 4-17c. De acordo com a Eq. 3-6, temos: como queríamos demonstrar. Para determinar a orientação de , calculamos o ângulo ϕ da Fig. 4-17c: Assim, ϕ = θ, o que significa que aponta na direção do raio r da Fig. 4-17a, no sentido do centro da circunferência, como queríamos demonstrar. Figura 4-17 Uma partícula p em movimento circular uniforme no sentido anti-horário. (a) Posição e velocidade da partícula em um dado instante de tempo. (b) Velocidade . (c) Aceleração . Teste 5 Um objeto se move com velocidade escalar constante, ao longo de uma trajetória circular, em um plano xy horizontal com o centro na origem. Quando o objeto está em x = –2 m, a velocidade é –(4 m/s) . Determine (a) a velocidade e (b) a aceleração do objeto em y = 2 m. Exemplo 4.06 Pilotos de caça fazendo curvas Os pilotos de caça se preocupam quando têm que fazer curvas muito fechadas. Como o corpo do piloto fica submetido à aceleração centrípeta, com a cabeça mais próxima do centro de curvatura, a pressão sanguínea no cérebro diminui, o que pode levar à perda das funções cerebrais. Os sinais de perigo são vários. Quando a aceleração centrípeta é 2g ou 3g, o piloto se sente pesado. Por volta de 4g, a visão do piloto passa para preto e branco e se reduz à “visão de túnel”. Se a aceleração é mantida ou aumentada, o piloto deixa de enxergar e, logo depois, ele perde a consciência, uma situação conhecida como g-LOC, da expressão em inglês “g-induced loss of consciousness”, ou seja, “perda de consciência induzida por g”. Qual é o módulo da aceleração, em unidades de g, para um piloto cuja aeronave inicia uma curva horizontal com uma velocidade i = (400 + 500 ) m/s e, 24,0 s mais tarde, termina a curva com uma velocidade f = (–400 – 500 ) m/s? IDEIAS-CHAVE Supomos que o avião executa a curva com um movimento circular uniforme. Nesse caso, o módulo da aceleração centrípeta é dado pela Eq. 4-34 (a = v2/R), em que R é o raio da curva. O tempo necessário para descrever uma circunferência completa é o período dado pela Eq. 4-35 (T = 2πR/v). Cálculos: Como não conhecemos o raio R, vamos explicitar R na Eq. 4-35 e substituí-lo pelo seu valor na Eq. 4-34. O resultado é o seguinte: Para obter a velocidade escalar constante v, substituímos as componentes da velocidade inicial na Eq. 3-6: Para determinar o período T do movimento, observamos que a velocidade final é igual ao negativo da velocidade inicial. Isso significa que a aeronave terminou a curva no lado oposto da circunferência e completou metade de uma circunferência em 24,0 s. Assim, levaria T = 48,0 s para descrever uma circunferência completa. Substituindo esses valores na equação de a, obtemos 4-6 MOVIMENTO RELATIVO EM UMA DIMENSÃO Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 4.18 Aplicar a relação entre as medidas de posição, velocidade e aceleração de uma partícula em dois referenciais que se movem na mesma direção e com velocidade constante. Ideias-Chave • Se dois referenciais A e B estão se movendo um em relação ao outro na mesma direção e com velocidade constante, a velocidade de uma partícula P medida por um observador do referencial A é, em geral, diferente da velocidade medida por um observador do referencial B. A relação entre as duas velocidades é dada por vPA = vPB + vBA, em que vBA é a velocidade escalar do referencial B em relação ao referencial A. A aceleração da partícula é a mesma para os dois observadores: aPA = aPB. Movimento Relativo em Uma Dimensão Suponha que você veja um pato voando para o norte a 30 km/h. Para outro pato que esteja voando ao lado do primeiro, o primeiro parece estar parado. Em outras palavras, a velocidade de uma partícula depende do referencial de quem está observando ou medindo a velocidade. Para nossos propósitos, um referencial é um objeto no qual fixamos um sistema de coordenadas. No dia a dia, esse objeto é frequentemente o solo. Assim, por exemplo, a velocidade que aparece em uma multa de trânsito é a velocidade do carro em relação ao solo. A velocidade em relação ao guarda de trânsito será diferente se o guarda estiver se movendo enquanto mede a velocidade. Suponha que Alexandre (situado na origem do referencial A da Fig. 4-18) esteja parado no acostamento de uma rodovia, observando o carro P (a “partícula”) passar. Bárbara (situada na origem do referencial B) está dirigindo um carro na rodovia com velocidade constante e também observa o carro P. Suponha que os dois meçam a posição do carro em um dado momento. De acordo com a Fig. 4-18, temos: Essa equação significa o seguinte: “A coordenada xPA de P medida por A é igual à coordenada xPB de P medida por B mais a coordenada xBA de B medida por A.” Observe que essa leitura está de acordo com a ordem em que os índices foram usados. Derivando a Eq. 4-40 em relação ao tempo, obtemos Assim, as componentes da velocidade estão relacionadas pela equação Figura 4-18 Alexandre (referencial A) e Bárbara (referencial B) observam o carro P enquanto B e P se movem com velocidades diferentes ao longo do eixo x comum aos dois referenciais. No instante mostrado, xBA é a coordenada de B no referencial A. A coordenada de P é xPB no referencial B, e xPA = xPB + xBA no referencial A. Essa equação significa o seguinte: “A velocidade vPA de P medida por A é igual à velocidade vPB de P medida por B mais a velocidade vBA de B medida por A.” O termo vBA é a velocidade do referencial B em relação ao referencial A. Neste capítulo, estamos considerando apenas referenciais que se movem com velocidade constante um em relação ao outro. Em nosso exemplo, isso significa que Bárbara (referencial B) dirige com velocidade constante vBA em relação a Alexandre (referencial A). Essa restrição não vale para o carro P (a partícula em movimento), cuja velocidade pode mudar de módulo e direção (ou seja, a partícula pode sofrer aceleração). Para relacionar as acelerações de P medidas por Bárbara e por Alexandre em um mesmo instante, calculamos a derivada da Eq. 4-41 em relação ao tempo: Como vBA é constante, o último termo é zero e temos Em outras palavras, A aceleração de uma partícula é a mesma para observadores em referenciais que se movem com velocidade constante um em relação ao outro. Exemplo 4.07 Movimento relativo unidimensional: Alexandre e Bárbara Na Fig. 4-18, suponha que a velocidade de Bárbara em relação a Alexandre seja vBA = 52 km/h (constante) e que o carro P está se movendo no sentido negativo do eixo x. (a) Se Alexandre mede uma velocidade constante vPA = –78 km/h para o carro P, qual é a velocidade vPB medida por Bárbara? IDEIAS-CHAVE Podemos associar um referencial A a Alexandre e um referencial B a Bárbara. Como os dois referenciais se movem com velocidade constante um em relação ao outro ao longo do eixo x, podemos usar a Eq. 4-41 (vPA = vPB + vBA) para relacionar vPB a vPA e vBA. Cálculos: Temos Comentário: Se o carro P estivesse ligado ao carro de Bárbara por um fio flexível enrolado em uma bobina, o fio se desenrolaria a uma velocidade de 130 km/h enquanto os dois carros estivessem se separando. (b) Se o carro P freia com aceleração constante até parar em relação a Alexandre (e, portanto, em relação ao solo) no instante t = 10 s, qual é a aceleração aPA em relação a Alexandre? IDEIAS-CHAVE Para calcular a aceleração do carro P em relação a Alexandre, devemos usar a velocidade do carro em relação a Alexandre. Como a aceleração é constante, podemos usar a Eq. 2-11 (v = v0 + at) para relacionar a aceleração às velocidades inicial e final de P. Cálculo: A velocidade inicial de P em relação a Alexandre é vPA = –78 km/h, enquanto a velocidade final é 0. Assim, a aceleração em relação a Alexandre é (c) Qual é a aceleração aPB do carro P em relação a Bárbara durante a frenagem? IDEIA-CHAVE Para calcular a aceleração do carro P em relação a Bárbara, devemos usar a velocidade do carro em relação a Bárbara. Cálculo: A velocidade inicial de P em relação a Bárbara foi determinada no item (a) (vPB = –130 km/h). A velocidade final de P em relação a Bárbara é –52 km/h (a velocidade do carro parado em relação à velocidade do carro de Bárbara). Assim, Comentário: Este resultado é previsível. Como Alexandre e Bárbara estão se movendo com velocidade constante um em relação ao outro, a aceleração do carro P medida pelos dois deve ser a mesma. 4-7 MOVIMENTO RELATIVO EM DUAS DIMENSÕES Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 4.19 Aplicar a relação entre as posições, as velocidades e as acelerações de uma partícula medidas em dois referenciais que se movem um em relação ao outro em duas dimensões com velocidade constante. Ideia-Chave • Quando dois referenciais A e B estão se movendo um em relação ao outro com velocidade constante, a velocidade de uma partícula P medida por um observador no referencial A é, em geral, diferente da velocidade medida no referencial B. A relação entre as duas velocidades é dada por PA = PB + BA, em que BA é a velocidade do referencial B em relação ao referencial A. A aceleração medida pelos dois observadores é a mesma: PA = PB. Movimento Relativo em Duas Dimensões Nossos dois amigos estão novamente observando o movimento de uma partícula P a partir das origens dos referenciais A e B, enquanto B se move com velocidade constante BA em relação a A. (Os eixos correspondentes aos dois sistemas de coordenadas permanecem paralelos.) A Fig. 4-19 mostra um instante específico, no qual o vetor posição da origem de B em relação à origem de A é BA. Os vetores posição da partícula P são PA em relação à origem de A e em relação à origem de B. As posições das origens e extremidades desses três vetores mostram os vetores relacionados pela equação Derivando a Eq. 4-43 em relação ao tempo, obtemos uma equação que envolve as velocidades PA e PB da partícula P em relação aos dois observadores: Derivando a Eq. 4-44 em relação ao tempo, obtemos uma equação que envolve as acelerações PA e PB da partícula P em relação aos nossos observadores. Note, porém, que, como BA é constante, a derivada de BA em relação ao tempo é nula, o que nos dá Assim, da mesma forma que no movimento unidimensional, temos a seguinte regra: A aceleração de uma partícula medida por observadores em referenciais que se movem com velocidade constante um em relação ao outro é a mesma. Figura 4-19 O referencial B possui uma velocidade bidimensional constante BA em relação ao referencial A. O vetor posição de B em relação a A é BA. Os vetores posição da partícula P são PA em relação a A e PB em relação a B. Exemplo 4.08 Movimento relativo bidimensional de dois aviões Na Fig. 4-20a, um avião se move para leste enquanto o piloto direciona o avião ligeiramente para o sul do leste, de modo a compensar um vento constante que sopra para nordeste. O avião tem uma velocidade AV em relação ao vento, com uma velocidade do ar (velocidade escalar em relação ao vento) de 215 km/h e uma orientação que faz um ângulo θ ao sul do leste. O vento tem uma velocidade VS em relação ao solo, com uma velocidade escalar de 65,0 km/h e uma orientação que faz um ângulo de 20° a leste do norte. Qual é o módulo da velocidade AS do avião em relação ao solo e qual é o valor de θ? IDEIAS-CHAVE A situação é semelhante à da Fig. 4-19. Neste caso, a partícula P é o avião, o referencial A está associado ao solo (que chamaremos de S) e o referencial B está associado ao vento (que chamaremos de V). Precisamos construir um diagrama vetorial semelhante ao da Fig. 4-19, mas, desta vez, usando três vetores velocidade. Cálculos: Primeiro, escrevemos uma frase que expressa uma relação entre os três vetores da Fig. 4-20b: Em notação vetorial, essa relação se torna Podemos determinar as componentes dos vetores no sistema de coordenadas da Fig. 4-20b e resolver a Eq. 4-46 eixo por eixo. No caso das componentes y, temos: AS,y = AV,y + VS,y ou 0 = –(215 km/h) sen θ + (65,0 km/h)(cos 20,0º). Explicitando θ, obtemos Figura 4-20 Efeito do vento sobre um avião. No caso das componentes x, temos: AS,x = AV,x + VS,x Como AS é paralela ao eixo x, a componente vAS,x é igual ao módulo vAS do vetor. Substituindo vAS,x por vAS e fazendo θ = 16,5°, obtemos Revisão e Resumo Vetor Posição A localização de uma partícula em relação à origem de um sistema de coordenadas é dada por um vetor posição , que, na notação dos vetores unitários, é dado por Aqui, x, y e z são as componentes vetoriais do vetor posição , e x, y e z são as componentes escalares do vetor posição (e, também, as coordenadas da partícula). Um vetor posição pode ser descrito por um módulo e um ou dois ângulos, pelas componentes vetoriais ou pelas componentes escalares. Deslocamento Se uma partícula se move de tal forma que o vetor posição muda de 1 para 2, o deslocamento ∆ da partícula é dado por O deslocamento também pode ser escrito na forma Velocidade Média e Velocidade Instantânea Se uma partícula sofre um deslocamento ∆ em um intervalo de tempo Δt, a velocidade média méd nesse intervalo de tempo é dada por Quando ∆t na Eq. 4-8 tende a 0, méd tende para um limite que é chamado de velocidade instantânea ou, simplesmente, velocidade: Na notação dos vetores unitários, a velocidade instantânea assume a forma em que vx = dx/dt, vy = dy/dt e vz = dz/dt. A velocidade instantânea de uma partícula é sempre tangente à trajetória da partícula na posição da partícula. Aceleração Média e Aceleração Instantânea Se a velocidade de uma partícula varia de 1 para 2 no intervalo de tempo ∆t, a aceleração média durante o intervalo ∆t é Quando ∆t na Eq. 4-15 tende a zero, méd tende para um limite que é chamado de aceleração instantânea ou, simplesmente, aceleração: Na notação dos vetores unitários, em que ax = dvx/dt, ay = dvy/dt e az = dvz/dt. Movimento Balístico Movimento balístico é o movimento de uma partícula que é lançada com uma velocidade inicial 0. Durante o percurso, a aceleração horizontal da partícula é zero, e a aceleração vertical é a aceleração de queda livre, –g. (O sentido do movimento para cima é escolhido como positivo.) Se 0 se expressa por meio de um módulo (a velocidade escalar v0) e um ângulo θ0 (medido em relação à horizontal), as equações de movimento da partícula ao longo do eixo horizontal x e do eixo vertical y são A trajetória de uma partícula em movimento balístico tem a forma de uma parábola e é dada por se x0 e y0 das Eqs. (4-21) a (4-24) forem nulos. O alcance horizontal R da partícula, que é a distância horizontal do ponto de lançamento ao ponto em que a partícula retorna à altura do ponto de lançamento, é dado por Movimento Circular Uniforme Se uma partícula descreve uma circunferência ou arco de circunferência de raio r com velocidade constante v, dizemos que se trata de um movimento circular uniforme. Nesse caso, a partícula possui uma aceleração cujo módulo é dado por O vetor aponta para o centro da circunferência ou arco de circunferência e é chamado de aceleração centrípeta. O tempo que a partícula leva para descrever uma circunferência completa é dado por O parâmetro T é chamado de período de revolução ou, simplesmente, período. Movimento Relativo Quando dois referenciais A e B estão se movendo um em relação ao outro com velocidade constante, a velocidade de uma partícula P, medida por um observador do referencial A, é, em geral, diferente da velocidade medida por um observador do referencial B. As duas velocidades estão relacionadas pela equação em que BA é a velocidade de B em relação a A. Os dois observadores medem a mesma aceleração: Perguntas 1 A Fig. 4-21 mostra o caminho seguido por um gambá à procura de comida em latas de lixo, a partir do ponto inicial i. O gambá levou o mesmo tempo T para ir de cada um dos pontos marcados até o ponto seguinte. Ordene os pontos a, b e c de acordo com o módulo da velocidade média do gambá para alcançá-los a partir do ponto inicial i, começando pelo maior. Figura 4-21 Pergunta 1. 2 A Fig. 4-22 mostra a posição inicial i e a posição final f de uma partícula. Determine (a) o vetor posição inicial i e (b) o vetor posição final f da partícula, ambos na notação dos vetores unitários. (c) Qual é a componente x do deslocamento ∆ ? 3 Quando Paris foi bombardeada a mais de 100 km de distância na Primeira Guerra Mundial, por um canhão apelidado de “Big Bertha”, os projéteis foram lançados com um ângulo maior que 45° para atingirem uma distância maior, possivelmente até duas vezes maior que a 45°. Esse resultado significa que a densidade do ar em grandes altitudes aumenta ou diminui com a altitude? Figura 4-22 Pergunta 2. 4 Você tem que lançar um foguete, praticamente do nível do solo, com uma das velocidades iniciais especificadas pelos seguintes vetores: (1) 0 = 20 + 70 , (2) 0 = –20 + 70 , (3) 0 = 20 + 70 , (4) 0 = –20 – 70 . No seu sistema de coordenadas, x varia ao longo do nível do solo e y cresce para cima. (a) Ordene os vetores de acordo com a velocidade escalar de lançamento do projétil, começando pelo maior. (b) Ordene os vetores de acordo com o tempo de voo do projétil, começando pelo maior. 5 A Fig. 4-23 mostra três situações nas quais projéteis iguais são lançados do solo (a partir da mesma altura) com a mesma velocidade escalar e o mesmo ângulo. Entretanto, os projéteis não caem no mesmo terreno. Ordene as situações de acordo com a velocidade escalar final dos projéteis imediatamente antes de aterrissarem, começando pela maior. Figura 4-23 Pergunta 5. 6 O único uso decente de um bolo de frutas é na prática do arremesso. A curva 1 na Fig. 4-24 mostra a altura y de um bolo de frutas arremessado por uma catapulta em função do ângulo θ entre o vetor velocidade e o vetor aceleração durante o percurso. (a) Qual dos pontos assinalados por letras nessa curva corresponde ao choque do bolo de frutas com o solo? (b) A curva 2 é um gráfico semelhante para a mesma velocidade escalar inicial, mas para um ângulo de lançamento diferente. Nesse caso, o bolo de frutas vai cair em um ponto mais distante ou mais próximo do ponto de lançamento? Figura 4-24 Pergunta 6. 7 Um avião que está voando horizontalmente com uma velocidade constante de 350 km/h, sobrevoando um terreno plano, deixa cair um fardo com suprimentos. Ignore o efeito do ar sobre o fardo. Quais são as componentes inicial (a) vertical e (b) horizontal da velocidade do fardo? (c) Qual é a componente horizontal da velocidade imediatamente antes de o fardo se chocar com o solo? (d) Se a velocidade do avião fosse 450 km/h, o tempo de queda seria maior, menor ou igual? 8 Na Fig. 4-25, uma tangerina é arremessada para cima e passa pelas janelas 1, 2 e 3, que têm o mesmo tamanho e estão regularmente espaçadas na vertical. Ordene as três janelas, em ordem decrescente, (a) de acordo com o tempo que a tangerina leva para passar pela janela e (b) de acordo com a velocidade média da tangerina durante a passagem. Na descida, a tangerina passa pelas janelas 4, 5 e 6, que têm o mesmo tamanho e não estão regularmente espaçadas na horizontal. Ordene as três janelas, em ordem decrescente, (c) de acordo com o tempo que a tangerina leva para passar e (d) de acordo com a velocidade média da tangerina durante a passagem. Figura 4-25 Pergunta 8. 9 A Fig. 4-26 mostra três trajetórias de uma bola de futebol chutada a partir do chão. Ignorando os efeitos do ar, ordene as trajetórias de acordo (a) com o tempo de percurso, (b) com a componente vertical da velocidade inicial, (c) com a componente horizontal da velocidade inicial e (d) com a velocidade escalar inicial, em ordem decrescente. Figura 4-26 Pergunta 9. 10 Uma bola é chutada a partir do chão, em um terreno plano, com uma dada velocidade inicial. A Fig. 4- 27 mostra o alcance R da bola em função do ângulo de lançamento θ0. Ordene os três pontos identificados por letras no gráfico (a) de acordo com o tempo que a bola permanece no ar e (b) de acordo com a velocidade da bola na altura máxima, em ordem decrescente. Figura 4-27 Pergunta 10. 11 A Fig. 4-28 mostra quatro trilhos (semicírculos ou quartos de círculo) que podem ser usados por um trem que se move com velocidade escalar constante. Ordene os trilhos de acordo com o módulo da aceleração do trem no trecho curvo, em ordem decrescente. Figura 4-28 Pergunta 11. 12 Na Fig. 4-29, a partícula P está em movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas xy. (a) Para que valores de θ a componente vertical ry do vetor posição possui o maior módulo? (b) Para que valores de θ a componente vertical vy da velocidade da partícula possui o maior módulo? (c) Para que valores de θ a componente vertical ay da aceleração da partícula possui o maior módulo? Figura 4-29 Pergunta 12. 13 (a) É possível estar acelerando enquanto se viaja com velocidade escalar constante? É possível fazer uma curva (b) com aceleração nula e (c) com aceleração de módulo constante? 14 Você está viajando de carro e lança um ovo verticalmente para cima. O ovo cai atrás do carro, à frente do carro, ou de volta na sua mão se a velocidade do carro (a) é constante, (b) está aumentando, (c) está diminuindo? 15 Uma bola de neve é lançada do nível do solo (por uma pessoa que está em um buraco) com velocidade inicial v0 e um ângulo de lançamento de 45° com o solo (plano), no qual a bola vai cair, depois de percorrer uma certa distância. Se o ângulo de lançamento aumenta, (a) a distância percorrida e (b) o tempo em que a bola de neve permanece no ar aumentam, diminuem ou não variam? 16 Você está dirigindo quase colado a um caminhão, e os dois veículos mantêm a mesma velocidade. Um engradado cai da traseira do caminhão. (a) Se você não frear nem der um golpe de direção, vai atropelar o engradado antes que ele se choque com o piso da estrada? (b) Durante a queda, a velocidade horizontal do engradado é maior, menor ou igual à velocidade do caminhão? 17 Em que ponto da trajetória de um projétil a velocidade é mínima? 18 No arremesso de peso, o peso é lançado de um ponto acima do ombro do atleta. O ângulo, para o qual a distância atingida pelo peso é máxima, é 45°, maior que 45°, ou menor que 45°? Problemas . - ... O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema. Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008. Módulo 4-1 Posição e Deslocamento ·1 O vetor posição de um elétron é = (5,0 m) – (3,0 m) + (2,0 m) . (a) Determine o módulo de . (b) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. ·2 Uma semente de melancia possui as seguintes coordenadas: x = –5,0 m, y = 8,0 m e z = 0 m. Determine o vetor posição da semente (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x. (d) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. Se a semente for transportada para as coordenadas (3,00 m, 0 m, 0 m), determine o deslocamento (e) na notação dos vetores unitários e como (f) um módulo e (g) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x. ·3 Um pósitron sofre um deslocamento ∆ = 2,0 – 3,0 + 6,0 e termina com um vetor posição = 3,0 – 4,0 , em metros. Qual era o vetor posição inicial do pósitron? ··4 O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 10 cm da ponta ao eixo de rotação. O módulo e o ângulo do vetor deslocamento da ponta devem ser determinados para três intervalos de tempo. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo associado ao deslocamento da ponta entre as posições correspondentes a quinze e trinta minutos depois da hora, (c) o módulo e (d) o ângulo correspondente à meia hora seguinte, e (e) o módulo e (f) o ângulo correspondente à hora seguinte. Módulo 4-2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea ·5 Um trem que viaja a uma velocidade constante de 60,0 km/h se move na direção leste por 40,0 min, depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0° a leste com a direção norte por 20,0 min e, finalmente, na direção oeste por mais 50,0 min. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem? ·6 A posição de um elétron é dada por = 3,00t – 4,00t2 + 2,00 com t em segundos e em metros. (a) Qual é a velocidade (t) do elétron na notação dos vetores unitários? Quanto vale (t) no instante t = 2,00 s (b) na notação dos vetores unitários e como (c) um módulo e (d) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x? ·7 O vetor posição de um íon é inicialmente = 5,0 – 6,0 + 2,0 e 10 s depois passa a ser = 2,0 + 8,0 – 2,0 , com todos os valores em metros. Qual é a velocidade média méd durante os 10 s na notação dos vetores unitários? ··8 Um avião voa 483 km para leste, da cidade A para a cidade B, em 45,0 min, e depois 966 km para o sul, da cidade B para a cidade C, em 1,50 h. Determine, para a viagem inteira, (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento do avião, (c) o módulo e (d) a direção da velocidade média e (e) a velocidade escalar média. ··9 A Fig. 4-30 mostra os movimentos de um esquilo em um terreno plano, do ponto A (no instante t = 0) para os pontos B (em t = 5,00 min), C (em t = 10,0 min) e, finalmente, D (em t = 15,0 min). Considere as velocidades médias do esquilo do ponto A para cada um dos outros três pontos. Entre essas velocidades médias determine (a) o módulo e (b) o ângulo da que possui o menor módulo e (c) o módulo e (d) o ângulo da que possui o maior módulo. Figura 4-30 Problema 9. ···10 O vetor = 5,00t + (et + ft2) mostra a posição de uma partícula em função do tempo t. O vetor está em metros, t está em segundos e os fatores e e f são constantes. A Fig. 4-31 mostra o ângulo θ da direção do movimento da partícula em função de t (θ é medido a partir do semieixo x positivo). Determine (a) e e (b) f, indicando as unidades correspondentes. Figura 4-31 Problema 10. Módulo 4-3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea ·11 A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por = (2,00t3 – 5,00t) + (6,00 – 7,00t4), com em metros e t em segundos. Na notação dos vetores unitários, calcule (a) , (b) e (c) para t = 2,00 s. (d) Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t = 2,00 s? ·12 Em certo instante, um ciclista está 40,0 m a leste do mastro de um parque, indo para o sul com uma velocidade de 10,0 m/s. Após 30,0 s, o ciclista está 40,0 m ao norte do mastro, dirigindo-se para leste com uma velocidade de 10,0 m/s. Para o ciclista, nesse intervalo de 30,0 s, quais são (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento, (c) o módulo e (d) a direção da velocidade média e (e) o módulo e (f) a direção da aceleração média? ·13 Uma partícula se move de tal forma que a posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por = + 4t2 + t . Escreva expressões para (a) a velocidade e (b) a aceleração em função do tempo. ·14 A velocidade inicial de um próton é = 4,0 – 2,0 + 3,0 ; mais tarde, passa a ser = –2,0 – 2,0 + 5,0 (em metros por segundo). Para esses 4,0 s, determine qual é (a) a aceleração média do próton méd na notação dos vetores unitários, (b) qual o módulo de méd e (c) qual o ângulo entre méd e o semieixo x positivo. ··15 Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial = (3,00)m/s e uma aceleração constante = (–1,00 – 0,500 ) m/s2. Quando a partícula atinge o valor máximo da coordenada x, qual é (a) a velocidade e (b) qual é o vetor posição? ··16 A velocidade de uma partícula que se move no plano xy é dada por = (6,0t – 4,0t2) + 8,00 , com em metros por segundo e t(> 0) em segundos. (a) Qual é a aceleração no instante t = 3,0 s? (b) Em que instante (se isso é possível) a aceleração é nula? (c) Em que instante (se isso é possível) a velocidade é nula? (d) Em que instante (se isso é possível) a velocidade escalar da partícula é igual a 10 m/s? ··17 Um carro se move em um plano xy com componentes da aceleração ax = 4,0 m/s2 e ay = –2,0 m/s2. A velocidade inicial tem componentes v0x = 8,0 m/s e v0y = 12 m/s. Qual é a velocidade do carro, na notação dos vetores unitários, quando atinge a maior coordenada y? ··18 Um vento moderado acelera um seixo em um plano horizontal xy com uma aceleração constante = (5,00 m/s2)i + (7,00 m/s2) . No instante t = 0, a velocidade é (4,00 m/s) . Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao eixo x? ···19 A aceleração de uma partícula que se move em um plano horizontal xy é dada por = (3t + 4t ), em que está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Em t = 0, o vetor posição = (20,00 m) + (40,0 m) indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade = (5,00 m/s) + (2,00 m/s) . Em t = 4,00 s, determine (a) o vetor posição na notação dos vetores unitários e (b) o ângulo entre a direção do movimento e o semieixo x positivo. ···20 Na Fig. 4-32, a partícula A se move ao longo da reta y = 30 m com uma velocidade constante de módulo 3,0 m/s, paralela ao eixo x. No instante em que a partícula A passa pelo eixo y, a partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração constante de módulo 0,40 m/s2. Para que valor do ângulo θ entre e o semieixo y positivo acontece uma colisão? Figura 4-32 Problema 20. Módulo 4-4 Movimento Balístico ·21 Um dardo é arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de 10 m/s em direção a um ponto P, o centro de um alvo de parede. O dardo atinge um ponto Q do alvo, verticalmente abaixo de P, 0,19 s depois do arremesso. (a) Qual é a distância PQ? (b) A que distância do alvo foi arremessado o dardo? ·22 Uma pequena bola rola horizontalmente até a borda de uma mesa de 1,20 m de altura e cai no chão. A bola chega ao chão a uma distância horizontal de 1,52 m da borda da mesa. (a) Por quanto tempo a bola fica no ar? (b) Qual é a velocidade da bola no instante em que ela chega à borda da mesa? ·23 Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está 45,0 m acima de um terreno plano, saindo da arma com uma velocidade de 250 m/s. (a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar? (b) A que distância horizontal do ponto de disparo o projétil se choca com o solo? (c) Qual é o módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca com o solo? ·24 No Campeonato Mundial de Atletismo de 1991, em Tóquio, Mike Powell saltou 8,95 m, batendo por 5 cm um recorde de 23 anos estabelecido por Bob Beamon para o salto em distância. Suponha que Powell iniciou o salto com uma velocidade de 9,5 m/s (aproximadamente igual à de um velocista) e que g = 9,8 m/s2 em Tóquio. Calcule a diferença entre o alcance de Powell e o máximo alcance possível para uma partícula lançada com a mesma velocidade. ·25 O recorde atual de salto de motocicleta é 77,0 m, estabelecido por Jason Renie. Suponha que Renie tivesse partido da rampa fazendo um ângulo de 12° com a horizontal e que as rampas de subida e de descida tivessem a mesma altura. Determine a velocidade inicial, desprezando a resistência do ar. ·26 Uma pedra é lançada por uma catapulta no instante t = 0, com uma velocidade inicial de módulo 20,0 m/s e ângulo 40,0° acima da horizontal. Quais são os módulos das componentes (a) horizontal e (b) vertical do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t = 1,10 s? Repita os cálculos para as componentes (c) horizontal e (d) vertical em t = 1,80 s e para as componentes (e) horizontal e (f) vertical em t = 5,00 s. ··27 Um avião está mergulhando com um ângulo θ = 30,0° abaixo da horizontal, a uma velocidade de 290,0 km/h, quando o piloto libera um chamariz (Fig. 4-33). A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto no qual o chamariz se choca com o solo é d = 700 m. (a) Quanto tempo o chamariz passou no ar? (b) De que altura foi lançado? Figura 4-33 Problema 27. ··28 Na Fig. 4-34, uma pedra é lançada para o alto de um rochedo de altura h com uma velocidade inicial de 42,0 m/s e um ângulo θ0 = 60,0° com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, 5,50 s após o lançamento. Determine (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A e (c) a altura máxima H alcançada acima do solo. Figura 4-34 Problema 28. ··29 A velocidade de lançamento de um projétil é cinco vezes maior que a velocidade na altura máxima. Determine o ângulo de lançamento θ0. ··30 Uma bola de futebol é chutada, a partir do chão, com uma velocidade inicial de 19,5 m/s e um ângulo para cima de 45°. No mesmo instante, um jogador a 55 m de distância, na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser a velocidade média do jogador para que alcance a bola imediatamente antes de tocar o gramado? ··31 Ao dar uma cortada, um jogador de voleibol golpeia a bola com força, de cima para baixo, em direção à quadra adversária. É difícil controlar o ângulo da cortada. Suponha que uma bola seja cortada de uma altura de 2,30 m, com uma velocidade inicial de 20,0 m/s e um ângulo para baixo de 18,00°. Se o ângulo para baixo diminuir para 8,00°, a que distância adicional a bola atingirá a quadra adversária? ··32 Você lança uma bola em direção a uma parede com uma velocidade de 25,0 m/s e um ângulo θ0 = 40,0° acima da horizontal (Fig. 4-35). A parede está a uma distância d = 22,0 m do ponto de lançamento da bola. (a) A que distância acima do ponto de lançamento a bola atinge a parede? Quais são as componentes (b) horizontal e (c) vertical da velocidade da bola ao atingir a parede? (d) Ao atingir a parede, a bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória? Figura 4-35 Problema 32. ··33 Um avião, mergulhando com velocidade constante em um ângulo de 53,0° com a vertical, lança um projétil a uma altitude de 730 m. O projétil chega ao solo 5,00 s após o lançamento. (a) Qual é a velocidade do avião? (b) Que distância o projétil percorre horizontalmente durante o percurso? Quais são as componentes (c) horizontal e (d) vertical da velocidade do projétil no momento em que ele chega ao solo? ··34 O trebuchet era uma máquina de arremesso construída para atacar as muralhas de um castelo durante um cerco. Uma grande pedra podia ser arremessada contra uma muralha para derrubá-la. A máquina não era instalada perto da muralha porque os operadores seriam um alvo fácil para as flechas disparadas do alto das muralhas do castelo. Em vez disso, o trebuchet era posicionado de tal forma que a pedra atingia a muralha na parte descendente da trajetória. Suponha que uma pedra fosse lançada com uma velocidade v0 = 28,0 m/s e um ângulo θ0 = 40,0°. Qual seria a velocidade da pedra se ela atingisse a muralha (a) no momento em que chegasse à altura máxima da trajetória parabólica e (b) depois de cair para metade da altura máxima? (c) Qual a diferença percentual entre as respostas dos itens (b) e (a)? ··35 Um rifle que atira balas a 460 m/s é apontado para um alvo situado a 45,7 m de distância. Se o centro do alvo está na mesma altura do rifle, para que altura acima do alvo o cano do rifle deve ser apontado para que a bala atinja o centro do alvo? ··36 Durante uma partida de tênis, um jogador saca a 23,6 m/s, com o centro da bola deixando a raquete horizontalmente a 2,37 m de altura em relação à quadra. A rede está a 12 m de distância e tem 0,90 m de altura. (a) A bola passa para o outro lado da quadra? (b) Qual é a distância entre o centro da bola e o alto da rede quando a bola chega à rede? Suponha que, nas mesmas condições, a bola deixe a raquete fazendo um ângulo 5,00° abaixo da horizontal. Nesse caso, (c) a bola passa para o outro lado da quadra? (d) Qual é a distância entre o centro da bola e o alto da rede quando a bola chega à rede? ··37 Um mergulhador salta com uma velocidade horizontal de 2,00 m/s de uma plataforma que está 10,0 m acima da superfície da água. (a) A que distância horizontal da borda da plataforma está o mergulhador 0,800 s após o início do salto? (b) A que distância vertical acima da superfície da água está o mergulhador nesse instante? (c) A que distância horizontal da borda da plataforma o mergulhador atinge a água? ··38 Uma bola de golfe recebe uma tacada no solo. A velocidade da bola em função do tempo é mostrada na Fig. 4-36, em que t = 0 é o instante em que a bola foi golpeada. A escala vertical do gráfico é definida por va = 19 m/s e vb = 31 m/s. (a) Que distância horizontal a bola de golfe percorre antes de tocar novamente o solo? (b) Qual é a altura máxima atingida pela bola? Figura 4-36 Problema 38. ··39 Na Fig. 4-37, uma bola é lançada para a esquerda da borda esquerda do terraço de um edifício. O ponto de lançamento está a uma altura h em relação ao solo, e a bola chega ao solo 1,50 s depois, a uma distância horizontal d = 25,0 m do ponto de lançamento e fazendo um ângulo θ = 60,0° com a horizontal. (a) Determine o valor de h. (Sugestão: Uma forma de resolver o problema é inverter o movimento, como se você estivesse vendo um filme de trás para a frente.) Qual é (b) o módulo e (c) qual o ângulo em relação à horizontal com que a bola foi lançada? (d) O ângulo é para cima ou para baixo em relação à horizontal? Figura 4-37 Problema 39. ··40 Um arremessador de peso de nível olímpico é capaz de lançar o peso com uma velocidade inicial v0 = 15,00 m/s de uma altura de 2,160 m. Que distância horizontal é coberta pelo peso se o ângulo de lançamento θ0 é (a) 45,00° e (b) 42,00°? As respostas mostram que o ângulo de 45°, que maximiza o alcance dos projéteis, não maximiza a distância horizontal quando a altura inicial e a altura final são diferentes. ··41 Quando vê um inseto pousado em uma planta perto da superfície da água, o peixe arqueiro coloca o focinho para fora e lança um jato d’água na direção do inseto para derrubá-lo na água (Fig. 4- 38). Embora o peixe veja o inseto na extremidade de um segmento de reta de comprimento d, que faz um ângulo ϕ com a superfície da água, o jato deve ser lançado com um ângulo diferente, θ0, para que o jato atinja o inseto depois de descrever uma trajetória parabólica. Se ϕ = 36,0°, d = 0,900 m e a velocidade de lançamento é 3,56 m/s, qual deve ser o valor de θ0 para que o jato esteja no ponto mais alto da trajetória quando atinge o inseto? Figura 4-38 Problema 41. ··42 Em 1939, ou 1940, Emanuel Zacchini levou seu número de bala humana a novas alturas: disparado por um canhão, ele passou por cima de três rodas-gigantes antes de cair em uma rede (Fig. 4- 39). Suponha que ele tenha sido lançado com uma velocidade de 26,5 m/s e em um ângulo de 53,0º. (a) Tratando Zacchini como uma partícula, determine a que distância vertical ele passou da primeira roda- gigante. (b) Se Zacchini atingiu a altura máxima quando passou pela roda-gigante do meio, a que distância vertical passou dessa roda-gigante? (c) A que distância do canhão devia estar posicionado o centro da rede (desprezando a resistência do ar)? Figura 4-39 Problema 42. ··43 Uma bola é lançada a partir do solo. Quando atinge uma altura de 9,1 m, a velocidade é = (7,6 + 6,1 ) m/s, com horizontal e para cima. (a) Qual é a altura máxima atingida pela bola? (b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola? Quais são (c) o módulo e (d) o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade da bola no instante em que ela atinge o solo? ··44 Uma bola de beisebol deixa a mão do lançador horizontalmente com uma velocidade de 161 km/h. A distância até o rebatedor é 18,3 m. (a) Quanto tempo a bola leva para percorrer a primeira metade da distância? (b) E a segunda metade? (c) Que distância a bola cai livremente durante a primeira metade? (d) E durante a segunda metade? (e) Por que as respostas dos itens (c) e (d) não são iguais? ··45 Na Fig. 4-40, uma bola é lançada com uma velocidade de 10,0 m/s e um ângulo de 50,0° com a horizontal. O ponto de lançamento fica na base de uma rampa de comprimento horizontal d1 = 6,00 m e altura d2 = 3,60 m. No alto da rampa existe um estrado horizontal. (a) A bola cai na rampa ou no estrado? No momento em que a bola cai, quais são (b) o módulo e (c) o ângulo do deslocamento da bola em relação ao ponto de lançamento? Figura 4-40 Problema 45. ··46 Alguns jogadores de basquetebol parecem flutuar no ar durante um salto em direção à cesta. A ilusão depende, em boa parte, da capacidade de um jogador experiente de trocar rapidamente a bola de mão durante o salto, mas pode ser acentuada pelo fato de que o jogador percorre uma distância horizontal maior na parte superior do salto do que na parte inferior. Se um jogador salta com uma velocidade inicial v0 = 7,00 m/s e um ângulo θ0 = 35,0°, que porcentagem do alcance do salto o jogador passa na metade superior do salto (entre a altura máxima e metade da altura máxima)? ··47 Um rebatedor golpeia uma bola de beisebol quando o centro da bola está 1,22 m acima do solo. A bola deixa o taco fazendo um ângulo de 45° com o solo e com uma velocidade tal que o alcance horizontal (distância até voltar à altura de lançamento) é 107 m. (a) A bola consegue passar por um alambrado de 7,32 m de altura que está a uma distância horizontal de 97,5 m do ponto inicial? (b) Qual é a distância entre a extremidade superior do alambrado e o centro da bola quando a bola chega ao alambrado? ··48 Na Fig. 4-41, uma bola é arremessada para o alto de um edifício, caindo 4,00 s depois a uma altura h = 20,0 m acima da altura de lançamento. A trajetória da bola no final tem uma inclinação θ = 60° em relação à horizontal. (a) Determine a distância horizontal d coberta pela bola. (Veja a sugestão do Problema 39.) Quais são (b) o módulo e (c) o ângulo (em relação à horizontal) da velocidade inicial da bola? Figura 4-41 Problema 48. ···49 O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25 m/s. Quais são (a) o menor e (b) o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal1 a partir de um ponto situado a 50 m da meta, cujo travessão está 3,44 m acima do gramado? ···50 Dois segundos após ter sido lançado a partir do solo, um projétil deslocou-se 40 m horizontalmente e 53 m verticalmente em relação ao ponto de lançamento. Quais são as componentes (a) horizontal e (b) vertical da velocidade inicial do projétil? (c) Qual é o deslocamento horizontal em relação ao ponto de lançamento no instante em que o projétil atinge a altura máxima em relação ao solo? ···51 Os esquiadores experientes costumam dar um pequeno salto antes de chegarem a uma encosta descendente. Considere um salto no qual a velocidade inicial é v0 = 10 m/s, o ângulo é θ0 = 11,3°, a pista antes do salto é aproximadamente plana e a encosta tem uma inclinação de 9,0°. A Fig. 4-42a mostra um pré-salto no qual o esquiador desce no início da encosta. A Fig. 4-42b mostra um salto que começa no momento em que o esquiador está chegando à encosta. Na Fig. 4-42a, o esquiador desce aproximadamente na mesma altura em que começou o salto. (a) Qual é o ângulo ϕ entre a trajetória do esquiador e a encosta na situação da Fig. 4-42a? Na situação da Fig. 4-42b, (b) o esquiador desce quantos metros abaixo da altura em que começou o salto? (c) Qual é o valor de ϕ? (A queda maior e o maior valor de ϕ podem fazer o esquiador perder o equilíbrio.) Figura 4-42 Problema 51. ···52 Uma bola é lançada do solo em direção a uma parede que está a uma distância x (Fig. 4-43a). A Fig. 4-43b mostra a componente vy da velocidade da bola no instante em que ela alcança a parede em função da distância x. As escalas do gráfico são definidas por vys = 5,0 m/s e xs = 20 m. Qual é o ângulo do lançamento? Figura 4-43 Problema 52. ···53 Na Fig. 4-44, uma bola de beisebol é golpeada a uma altura h = 1,00 m e apanhada na mesma altura. Deslocando-se paralelamente a um muro, a bola passa pelo alto do muro 1,00 s após ter sido golpeada e, novamente, 4,00 s depois, quando está descendo, em posições separadas por uma distância D = 50,0 m. (a) Qual é a distância horizontal percorrida pela bola, do instante em que foi golpeada até ser apanhada? Quais são (b) o módulo e (c) o ângulo (em relação à horizontal) da velocidade da bola imediatamente após ter sido golpeada? (d) Qual é a altura do muro? Figura 4-44 Problema 53. ···54 Uma bola é lançada a partir do solo com uma dada velocidade. A Fig. 4-45 mostra o alcance R em função ao ângulo de lançamento θ0. O tempo de percurso depende do valor de θ0; seja tmáx o maior valor possível desse tempo. Qual é a menor velocidade que a bola possui durante o percurso se θ0 é escolhido de tal forma que o tempo de percurso seja 0,5tmáx? Figura 4-45 Problema 54. ···55 Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada a uma velocidade de 1,52 m/s. Os degraus têm 20,3 cm de altura e 20,3 cm de largura. Em que degrau a bola bate primeiro? Módulo 4-5 Movimento Circular Uniforme ·56 Um satélite da Terra se move em uma órbita circular, 640 km acima da superfície da Terra, com um período de 98,0 min. Quais são (a) a velocidade e (b) o módulo da aceleração centrípeta do satélite? ·57 Um carrossel de um parque de diversões gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante. Um homem em pé na borda do carrossel tem uma velocidade escalar constante de 3,66 m/s e uma aceleração centrípeta de módulo 1,83 m/s2. O vetor posição indica a posição do homem em relação ao eixo do carrossel. (a) Qual é o módulo de ? Qual é o sentido de quando aponta (b) para leste e (c) para o sul? ·58 Um ventilador realiza 1200 revoluções por minuto. Considere um ponto situado na extremidade de uma das pás, que descreve uma circunferência com 0,15 m de raio. (a) Que distância o ponto percorre em uma revolução? Quais são (b) a velocidade do ponto e (c) o módulo da aceleração? (d) Qual é o período do movimento? ·59 Uma mulher está em uma roda-gigante com 15 m de raio que completa cinco voltas em torno do eixo horizontal a cada minuto. Quais são (a) o período do movimento, (b) o módulo e (c) o sentido da aceleração centrípeta no ponto mais alto, e (d) o módulo e (e) o sentido da aceleração centrípeta da mulher no ponto mais baixo? ·60 Um viciado em aceleração centrípeta executa um movimento circular uniforme de período T = 2,0 s e raio r = 3,00 m. No instante t1, a aceleração é = (6,00 m/s2) + (–4,00 m/s2) . Quais são, nesse instante, os valores de (a) · e (b) × ? ·61 Quando uma grande estrela se torna uma supernova, o núcleo da estrela pode ser tão comprimido que ela se transforma em uma estrela de nêutrons, com um raio de cerca de 20 km. Se uma estrela de nêutrons completa uma revolução a cada segundo, (a) qual é o módulo da velocidade de uma partícula situada no equador da estrela e (b) qual é o módulo da aceleração centrípeta da partícula? (c) Se a estrela de nêutrons gira mais depressa, as respostas dos itens (a) e (b) aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas? ·62 Qual é o módulo da aceleração de um velocista que corre a 10 m/s ao fazer uma curva com 25 m de raio? ··63 Em t1 = 2,00 s, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido anti-horário é (6,00 m/s2) + (4,00 m/s2) . A partícula se move com velocidade escalar constante. Em t2 = 5,00 s, a aceleração é (4,00 m/s2) + (–6,00 m/s) . Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença t2 – t1 é menor que um período de rotação? ··64 Uma partícula descreve um movimento circular uniforme em um plano horizontal xy. Em um dado instante, a partícula passa pelo ponto de coordenadas (4,00 m, 4,00 m) com uma velocidade de –5,00 m/s e uma aceleração de +12,5 m/s2. Quais são as coordenadas (a) x e (b) y do centro da trajetória circular? ··65 Uma bolsa a 2,00 m do centro e uma carteira a 3,00 m do centro descrevem um movimento circular uniforme no piso de um carrossel. Os dois objetos estão na mesma linha radial. Em um dado instante, a aceleração da bolsa é (2,00 m/s2) + (4,00 m/s2) . Qual é a aceleração da carteira nesse instante, na notação dos vetores unitários? ··66 Uma partícula se move em uma trajetória circular em um sistema de coordenadas xy horizontal, com velocidade escalar constante. No instante t1 = 4,00 s, a partícula se encontra no ponto (5,00 m, 6,00 m) com velocidade (3,00 m/s) e aceleração no sentido positivo de x. No instante t2 = 10,0 s, tem uma velocidade (–3,00 m/s) e uma aceleração no sentido positivo de y. Quais são as coordenadas (a) x e (b) y do centro da trajetória circular se a diferença t2 – t1 é menor que um período de rotação? ···67 Um menino faz uma pedra descrever uma circunferência horizontal com 1,5 m de raio 2,0 m acima do chão. A corda arrebenta e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de 10 m. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular? ···68 Um gato pula em um carrossel que descreve um movimento circular uniforme. No instante t1 = 2,00 s, a velocidade do gato é 1 = (3,00 m/s) + (4,00 m/s) , medida em um sistema de coordenadas horizontal xy. No instante t2 = 5,00 s, a velocidade do gato é 2 = (–3,00 m/s) + (–4,00 m/s) . Qual é (a) o módulo da aceleração centrípeta do gato e (b) qual é a aceleração média do gato no intervalo de tempo t2 – t1, que é menor que um período de rotação? Módulo 4-6 Movimento Relativo em Uma Dimensão ·69 Um cinegrafista está em uma picape que se move para oeste a 20 km/h enquanto filma um guepardo que também está se movendo para oeste 30 km/h mais depressa que a picape. De repente, o guepardo para, dá meia-volta e passa a correr a 45 km/h para leste, de acordo com a estimativa de um membro da equipe, agora nervoso, que está na margem da estrada, no caminho do guepardo. A mudança de velocidade do animal leva 2,0 s. Quais são (a) o módulo e (b) a orientação da aceleração do animal em relação ao cinegrafista e (c) o módulo e (d) a orientação da aceleração do animal em relação ao membro nervoso da equipe? ·70 Um barco está navegando rio acima, no sentido positivo de um eixo x, a 14 km/h em relação à água do rio. A água do rio está correndo a 9,0 km/h em relação à margem. Quais são (a) o módulo e (b) a orientação da velocidade do barco em relação à margem? Uma criança que está no barco caminha da popa para a proa a 6,0 km/h em relação ao barco. Quais são (c) o módulo e (d) a orientação da velocidade da criança em relação à margem? ··71 Um homem de aparência suspeita corre o mais depressa que pode por uma esteira rolante, levando 2,5 s para ir de uma extremidade à outra. Os seguranças aparecem e o homem volta ao ponto de partida, correndo o mais depressa que pode e levando 10,0 s. Qual é a razão entre a velocidade do homem e a velocidade da esteira? Módulo 4-7 Movimento Relativo em Duas Dimensões ·72 Um jogador de rúgbi corre com a bola em direção à meta adversária, no sentido positivo de um eixo x. De acordo com as regras do jogo, ele pode passar a bola a um companheiro de equipe desde que a velocidade da bola em relação ao campo não possua uma componente x positiva. Suponha que o jogador esteja correndo a uma velocidade de 4,0 m/s em relação ao campo quando passa a bola a uma velocidade BJ em relação a ele mesmo. Se o módulo de BJ é 6,0 m/s, qual é o menor ângulo que a bola deve fazer com a direção x para que o passe seja válido? ··73 Duas rodovias se cruzam, como mostra a Fig. 4-46. No instante indicado, um carro de polícia P está a uma distância dP = 800 m do cruzamento, movendo-se a uma velocidade escalar vP = 80 km/h. O motorista M está a uma distância dM = 600 m do cruzamento, movendo-se a uma velocidade escalar vM = 60 km/h. (a) Qual é a velocidade do motorista em relação ao carro da polícia na notação dos vetores unitários? (b) No instante mostrado na Fig. 4-46, qual é o ângulo entre a velocidade calculada no item (a) e a reta que liga os dois carros? (c) Se os carros mantêm a velocidade, as respostas dos itens (a) e (b) mudam quando os carros se aproximam da interseção? Figura 4-46 Problema 73. ··74 Depois de voar por 15 min em um vento de 42 km/h a um ângulo de 20° ao sul do leste, o piloto de um avião sobrevoa uma cidade que está a 55 km ao norte do ponto de partida. Qual é a velocidade escalar do avião em relação ao ar? ··75 Um trem viaja para o sul a 30 m/s (em relação ao solo) em meio a uma chuva que é soprada para o sul pelo vento. As trajetórias das gotas de chuva fazem um ângulo de 70° com a vertical quando medidas por um observador estacionário no solo. Um observador no trem, entretanto, vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade escalar das gotas de chuva em relação ao solo. ··76 Um avião pequeno atinge uma velocidade do ar de 500 km/h. O piloto pretende chegar a um ponto 800 km ao norte, mas descobre que deve direcionar o avião 20,0° a leste do norte para atingir o destino. O avião chega em 2,00 h. Quais eram (a) o módulo e (b) a orientação da velocidade do vento? ··77 A neve está caindo verticalmente com uma velocidade constante de 8,0 m/s. Com que ângulo, em relação à vertical, os flocos de neve parecem estar caindo do ponto de vista do motorista de um carro que viaja em uma estrada plana e retilínea a uma velocidade de 50 km/h? ··78 Na vista superior da Fig. 4-47, os jipes P e B se movem em linha reta em um terreno plano e passam por um guarda de fronteira estacionário A. Em relação ao guarda, o jipe B se move com uma velocidade escalar constante de 20,0 m/s e um ângulo θ2 = 30,0°. Também em relação ao guarda, P acelerou a partir do repouso a uma taxa constante de 0,400 m/s2 com um ângulo θ1 = 60,0°. Em um dado instante durante a aceleração, P possui uma velocidade escalar de 40,0 m/s. Nesse instante, quais são (a) o módulo e (b) a orientação da velocidade de P em relação a B e (c) o módulo e (d) a orientação da aceleração de P em relação a B? Figura 4-47 Problema 78. ··79 Dois navios, A e B, deixam o porto ao mesmo tempo. O navio A navega para noroeste a 24 nós e o navio B navega a 28 nós em uma direção 40° a oeste do sul. (1 nó = 1 milha marítima por hora; veja o Apêndice D.) Quais são (a) o módulo e (b) a orientação da velocidade do navio A em relação ao navio B? (c) Após quanto tempo os navios estarão separados por 160 milhas marítimas? (d) Qual será o curso de B (orientação do vetor posição de B) em relação a A nesse instante? ··80 Um rio de 200 m de largura corre para leste a uma velocidade constante de 2,0 m/s. Um barco a uma velocidade de 8,0 m/s em relação à água parte da margem sul em uma direção 30° a oeste do norte. Determine (a) o módulo e (b) a orientação da velocidade do barco em relação à margem. (c) Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio? ···81 O navio A está 4,0 km ao norte e 2,5 km a leste do navio B. O navio A está viajando a uma velocidade de 22 km/h na direção sul; o navio B, a uma velocidade de 40,0 km/h em uma direção 37° ao norte do leste. (a) Qual é a velocidade de A em relação a B na notação dos vetores unitários, com apontando para o leste? (b) Escreva uma expressão (em termos de e ) para a posição de A em relação a B em função do tempo t, tomando t = 0 como o instante em que os dois navios estão nas posições descritas acima. (c) Em que instante a separação entre os navios é mínima? (d) Qual é a separação mínima? ···82 Um rio de 200 m de largura corre a uma velocidade escalar constante de 1,1 m/s em uma floresta, na direção leste. Um explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul e atravessar o rio em um barco a motor que se move a uma velocidade escalar constante de 4,0 m/s em relação à água. Existe outra clareira na margem norte, 82 m rio acima do ponto de vista de um local da margem sul exatamente em frente à segunda clareira. (a) Em que direção o barco deve ser apontado para viajar em linha reta e chegar à clareira da margem norte? (b) Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio e chegar à clareira? Problemas Adicionais 83 Uma mulher que é capaz de remar um barco a 6,4 km/h em águas paradas se prepara para atravessar um rio retilíneo com 6,4 km de largura e uma correnteza de 3,2 km/h. Tome perpendicular ao rio e apontando rio abaixo. Se a mulher pretende remar até um ponto na outra margem exatamente em frente ao ponto de partida, (a) para que ângulo em relação a ela deve apontar o barco e (b) quanto tempo ela levará para fazer a travessia? (c) Quanto tempo gastaria se, permanecendo na mesma margem, remasse 3,2 km rio abaixo e depois remasse de volta ao ponto de partida? (d) Quanto tempo gastaria se, permanecendo na mesma margem, remasse 3,2 km rio acima e depois remasse de volta ao ponto de partida? (e) Para que ângulo deveria direcionar o barco para atravessar o rio no menor tempo possível? (f) Qual seria esse tempo? 84 Na Fig. 4-48a, um trenó se move no sentido negativo do eixo x a uma velocidade escalar constante vt quando uma bola de gelo é atirada do trenó a uma velocidade 0 = 0x + 0y em relação ao trenó. Quando a bola chega ao solo, o deslocamento horizontal ∆xbs em relação ao solo (da posição inicial à posição final) é medido. A Fig. 4-48b mostra a variação de ∆xbs com vt. Suponha que a bola chegue ao solo na altura aproximada em que foi lançada. Quais são os valores (a) de v0x e (b) de v0y? O deslocamento da bola em relação ao trenó, ∆xbt, também pode ser medido. Suponha que a velocidade do trenó não mude depois que a bola foi atirada. Quanto é ∆xbs para vt ser igual a (c) 5,0 m/s e (d) 15 m/s? Figura 4-48 Problema 84. 85 Você foi sequestrado por estudantes de ciência política (que estão aborrecidos porque você declarou que ciência política não é ciência de verdade). Embora esteja vendado, você pode estimar a velocidade do carro dos sequestradores (pelo ronco do motor), o tempo de viagem (contando mentalmente os segundos) e a direção da viagem (pelas curvas que o carro fez). A partir dessas pistas, você sabe que foi conduzido ao longo do seguinte percurso: 50 km/h por 2,0 min, curva de 90° para a direita, 20 km/h por 4,0 min, curva de 90° para a direita, 20 km/h por 60 s, curva de 90° para a esquerda, 50 km/h por 60 s, curva 90° para a direita, 20,0 km/h por 2,0 min, curva de 90° para a esquerda, 50 km/h por 30 s. Nesse ponto, (a) a que distância você se encontra do ponto de partida e (b) em que direção em relação à direção inicial você está? 86 Na Fig. 4-49, uma estação de radar detecta um avião que se aproxima, vindo do leste. Quando é observado pela primeira vez, o avião está a uma distância d1 = 360 m da estação e θ1 = 40° acima do horizonte. O avião é rastreado durante uma variação angular ∆θ = 123° no plano vertical leste-oeste; a distância no final dessa variação é d2 = 790 m. Determine (a) o módulo e (b) a orientação do deslocamento do avião durante este período. Figura 4-49 Figura 86. 87 Uma bola de beisebol é golpeada junto ao chão. A bola atinge a altura máxima 3,0 s após ter sido golpeada. Em seguida, 2,5 s após ter atingido a altura máxima, a bola passa rente a um alambrado que está a 97,5 m do ponto em que foi golpeada. Suponha que o solo seja plano. (a) Qual é a altura máxima atingida pela bola? (b) Qual é a altura do alambrado? (c) A que distância do alambrado a bola atinge o chão? 88 Voos longos em latitudes médias no hemisfério norte encontram a chamada corrente de jato, um fluxo de ar para leste que pode afetar a velocidade do avião em relação à superfície da Terra. Se o piloto mantém a mesma velocidade em relação ao ar (a chamada velocidade do ar), a velocidade em relação ao solo é maior quando o voo é na direção da corrente de jato e menor quando o voo é na direção oposta. Suponha que um voo de ida e volta esteja previsto entre duas cidades separadas por 4000 km, com o voo de ida no sentido da corrente de jato e o voo de volta no sentido oposto. O computador da empresa aérea recomenda uma velocidade do ar de 1000 km/h, para a qual a diferença entre as durações dos voos de ida e de volta é 70,0 min. Qual foi a velocidade da corrente de jato usada nos cálculos? 89 Uma partícula parte da origem no instante t = 0 com uma velocidade de 8,0 m/s e se move no plano xy com uma aceleração constante igual a (4,0 + 2,0 ) m/s2. Quando a coordenada x da partícula é 29 m, quais são (a) a coordenada y e (b) a velocidade escalar? 90 Com que velocidade inicial o jogador de basquetebol da Fig. 4-50 deve arremessar a bola, com um ângulo θ0 = 55° acima da horizontal, para converter o lance livre? As distâncias horizontais são d1 = 0,305 m e d2 = 4,27 m e as alturas são h1 = 2,14 m e h2 = 3,05 m. Figura 4-50 Problema 90. 91 Durante as erupções vulcânicas, grandes pedaços de pedra podem ser lançados para fora do vulcão; esses projéteis são conhecidos como bombas vulcânicas. A Fig. 4-51 mostra uma seção transversal do Monte Fuji, no Japão. (a) Com que velocidade inicial uma bomba vulcânica teria de ser lançada, com um ângulo θ0 = 35° em relação à horizontal, a partir da cratera A, para cair no ponto B, a uma distância vertical h = 3,30 km e uma distância horizontal d = 9,40 km? Ignore o efeito do ar sobre o movimento do projétil. (b) Qual seria o tempo de percurso? (c) O efeito do ar aumentaria ou diminuiria o valor da velocidade calculada no item (a)? Figura 4-51 Problema 91. 92 Um astronauta é posto em rotação em uma centrífuga horizontal com um raio de 5,0 m. (a) Qual é a velocidade escalar do astronauta se a aceleração centrípeta tem um módulo de 7,0g? (b) Quantas revoluções por minuto são necessárias para produzir essa aceleração? (c) Qual é o período do movimento? 93 O oásis A está 90 km a oeste do oásis B. Um camelo parte de A e leva 50 h para caminhar 75 km na direção 37° ao norte do leste. Em seguida, leva 35 h para caminhar 65 km para o sul e descansa por 5,0 h. Quais são (a) o módulo e (b) o sentido do deslocamento do camelo em relação a A até o ponto em que ele para a fim de descansar? Do instante em que o camelo parte do ponto A até o final do período de descanso, quais são (c) o módulo e (d) o sentido da velocidade média do camelo e (e) a velocidade escalar média do camelo? A última vez que o camelo bebeu água foi em A; o animal deve chegar a B não mais que 120 h após a partida para beber água novamente. Para que ele chegue a B no último momento, quais devem ser (f) o módulo e (g) o sentido da velocidade média após o período de descanso? 94 Cortina da morte. Um grande asteroide metálico colide com a Terra e abre uma cratera no material rochoso abaixo do solo, lançando pedras para o alto. A tabela a seguir mostra cinco pares de velocidades e ângulos (em relação à horizontal) para essas pedras, com base em um modelo de formação de crateras. (Outras pedras, com velocidades e ângulos intermediários, também são lançadas.) Suponha que você esteja em x = 20 km quando o asteroide chega ao solo no instante t = 0 e na posição x = 0 (Fig. 4-52). (a) Em t = 20 s, quais são as coordenadas x e y das pedras, de A a E, que foram lançadas na sua direção? (b) Plote essas coordenadas em um gráfico e desenhe uma curva passando pelos pontos para incluir pedras com velocidades e ângulos intermediários. A curva deve dar uma ideia do que você veria ao olhar na direção das pedras e do que os dinossauros devem ter visto durante as colisões de asteroides com a Terra, no passado remoto. Pedra Velocidade (m/s) Ângulo (graus) A 520 14,0 B 630 16,0 C 750 18,0 D 870 20,0 E 1000 22,0 Figura 4-52 Problema 94. 95 A Fig. 4-53 mostra a trajetória retilínea de uma partícula em um sistema de coordenadas xy quando a partícula é acelerada a partir do repouso em um intervalo de tempo ∆t1. A aceleração é constante. As coordenadas do ponto A são (4,00 m, 6,00 m) e as do ponto B são (12,0 m, 18,0 m). (a) Qual é a razão ay/ax entre as componentes da aceleração? (b) Quais são as coordenadas da partícula se o movimento continua durante outro intervalo igual a ∆t1? Figura 4-53 Problema 95. 96 No voleibol feminino, o alto da rede está 2,24 m acima do piso, e a quadra mede 9,0 m por 9,0 m de cada lado da rede. Ao dar um saque viagem, uma jogadora bate na bola quando está 3,0 m acima do piso e a uma distância horizontal de 8,0 m da rede. Se a velocidade inicial da bola é horizontal, determine (a) a menor velocidade escalar que a bola deve ter para ultrapassar a rede e (b) a máxima velocidade que pode ter para atingir o piso dentro dos limites da quadra do outro lado da rede. 97 Um rifle é apontado horizontalmente para um alvo a 30 m de distância. A bala atinge o alvo 1,9 cm abaixo do ponto para onde o rifle foi apontado. Determine (a) o tempo de percurso da bala e (b) a velocidade escalar da bala ao sair do rifle. 98 Uma partícula descreve um movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas xy, movendo-se no sentido horário com um período de 7,00 s. Em um dado instante, o vetor posição da partícula (em relação à origem) é = (2,00 m) – (3,00 m) . Qual é a velocidade da partícula nesse instante, na notação dos vetores unitários? 99 Na Fig. 4-54, uma bola de massa de modelar descreve um movimento circular uniforme, com um raio de 20,0 cm, na borda de uma roda que está girando no sentido anti-horário com um período de 5,00 ms. A bola se desprende na posição correspondente a 5 horas (como se estivesse no mostrador de um relógio) e deixa a roda a uma altura h = 1,20 m acima do chão e a uma distância d = 2,50 m de uma parede. Em que altura a bola bate na parede? Figura 4-54 Problema 99. 100 Um trenó a vela atravessa um lago gelado, com uma aceleração constante produzida pelo vento. Em certo instante, a velocidade do trenó é (6,30 – 8,42 ) m/s. Três segundos depois, uma mudança de direção do vento faz o trenó parar momentaneamente. Qual é a aceleração média do trenó nesse intervalo de 3,00 s? 101 Na Fig. 4-55, uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, com uma velocidade inicial v0 = 7,00 m/s. Ao mesmo tempo, um elevador de serviço começa a subir, a partir do solo, com uma velocidade constante vc = 3,00 m/s. Qual é a altura máxima atingida pela bola (a) em relação ao solo e (b) em relação ao piso do elevador? Qual é a taxa de variação da velocidade da bola (c) em relação ao solo e (d) em relação ao piso do elevador? Figura 4-55 Problema 101. 102 Um campo magnético pode forçar uma partícula a descrever uma trajetória circular. Suponha que um elétron que esteja descrevendo uma circunferência sofra uma aceleração radial de módulo 3,0 × 1014 m/s2 sob o efeito de um campo magnético. (a) Qual é o módulo da velocidade do elétron se o raio da trajetória circular é 15 cm? (b) Qual é o período do movimento? 103 Em 3,50 h, um balão se desloca 21,5 km para o norte, 9,70 km para leste e 2,88 km para cima em relação ao ponto de lançamento. Determine (a) o módulo da velocidade média do balão e (b) o ângulo que a velocidade média faz com a horizontal. 104 Uma bola é lançada horizontalmente de uma altura de 20 m e chega ao solo com uma velocidade três vezes maior que a inicial. Determine a velocidade inicial. 105 Um projétil é lançado com uma velocidade inicial de 30 m/s e um ângulo de 60° acima da horizontal. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade 2,0 s após o lançamento. (c) O ângulo do item (b) é acima ou abaixo da horizontal? Determine (d) o módulo e (e) o ângulo da velocidade 5,0 s após o lançamento. (f) O ângulo do item (e) é acima ou abaixo da horizontal? 106 O vetor posição de um próton é, inicialmente, = 5,0 – 6,0 + 2,0 e depois se torna = –2,0 + 6,0 + 2,0 com todos os valores em metros. (a) Qual é o vetor deslocamento do próton? (b) Esse vetor é paralelo a que plano? 107 Uma partícula P se move com velocidade escalar constante em uma circunferência de raio r = 3,00 m (Fig. 4-56) e completa uma revolução a cada 20,0 s. A partícula passa pelo ponto O no instante t = 0. Os vetores pedidos a seguir devem ser expressos na notação módulo-ângulo (ângulo em relação ao sentido positivo de x). Determine o vetor posição da partícula, em relação a O, nos instantes (a) t = 5,00 s, (b) t = 7,50 s e (c) t = 10,0 s. (d) Determine o deslocamento da partícula no intervalo de 5,00 s entre o fim do quinto segundo e o fim do décimo segundo. Para esse mesmo intervalo, determine (e) a velocidade média e a velocidade (f) no início e (g) no fim do intervalo. Finalmente, determine a aceleração (h) no início e (i) no fim do intervalo. Figura 4-56 Problema 107. 108 Um trem francês de alta velocidade, conhecido como TGV (Train à Grande Vitesse), viaja a uma velocidade média de 216 km/h. (a) Se o trem faz uma curva a essa velocidade e o módulo da aceleração sentida pelos passageiros pode ser no máximo 0,050g, qual é o menor raio de curvatura dos trilhos que pode ser tolerado? (b) A que velocidade o trem deve fazer uma curva com 1,00 km de raio para que a aceleração esteja no limite permitido? 109 (a) Se um elétron é lançado horizontalmente com uma velocidade de 3,0 × 106 m/s, quantos metros cai o elétron ao percorrer uma distância horizontal de 1,0 m? (b) A distância calculada no item (a) aumenta, diminui ou permanece a mesma quando a velocidade inicial aumenta? 110 Uma pessoa sobe uma escada rolante enguiçada, de 15 m de comprimento, em 90 s. Ficando parada na mesma escada rolante, depois de consertada, a pessoa sobe em 60 s. Quanto tempo a pessoa leva se subir com a escada em movimento? A resposta depende do comprimento da escada? 111 (a) Qual é o módulo da aceleração centrípeta de um objeto no equador da Terra devido à rotação da Terra? (b) Qual deveria ser o período de rotação da Terra para que um objeto no equador tivesse uma aceleração centrípeta com um módulo de 9,8 m/s2? 112 O alcance de um projétil depende não só de v0 e θ0, mas também do valor g da aceleração em queda livre, que varia de lugar para lugar. Em 1936, Jesse Owens estabeleceu o recorde mundial de salto em distância de 8,09 m nos Jogos Olímpicos de Berlim, em que g = 9,8128 m/s2. Supondo os mesmos valores de v0 e θ0, que distância o atleta teria pulado em 1956, nos Jogos Olímpicos de Melbourne, em que g = 9,7999 m/s2? 113 A Fig. 4-57 mostra a trajetória seguida por um gambá bêbado em um terreno plano, de um ponto inicial i até um ponto final f. Os ângulos são θ1 = 30,0°, θ2 = 50,0° e θ3 = 80,0°; as distâncias são d1 = 5,00 m, d2 = 8,00 m e d3 = 12,0 m. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo do deslocamento do animal bêbado de i até f? 114 O vetor posição de uma partícula que se move no plano xy é r = 2t + 2 sen[(π/4 rad/s)t] , em que está em metros e t em segundos. (a) Calcule o valor das componentes x e y da posição da partícula para t = 0; 1,0; 2,0; 3,0 e 4,0 s e plote a trajetória da partícula no plano xy no intervalo 0 ≤ t ≥ 4,0. (b) Calcule o valor das componentes da velocidade da partícula para t = 1,0; 2,0 e 3,0 s. Mostre que a velocidade é tangente à trajetória da partícula e tem o mesmo sentido que o movimento da partícula em todos esses instantes traçando os vetores velocidade no gráfico da trajetória da partícula, plotado no item (a). (c) Calcule as componentes da aceleração da partícula nos instantes t = 1,0; 2,0; e 3,0 s. Figura 4-57 Problema 113. 115 Um elétron com uma velocidade horizontal inicial de módulo 1,00 × 109 cm/s penetra na região entre duas placas de metal horizontais eletricamente carregadas. Nessa região, o elétron percorre uma distância horizontal de 2,00 cm e sofre uma aceleração constante para baixo de módulo 1,00 × 1017 cm/s2 devido às placas carregadas. Determine (a) o tempo que o elétron leva para percorrer os 2,00 cm; (b) a distância vertical que o elétron percorre durante esse tempo, e o módulo da componente (c) horizontal e (d) vertical da velocidade quando o elétron sai da região entre as placas. 116 Um elevador sem teto está subindo a uma velocidade constante de 10 m/s. Um menino que está no elevador arremessa uma bola para cima, na vertical, de uma altura de 2,0 m acima do piso do elevador, no instante em que o piso do elevador se encontra 28 m acima do solo. A velocidade inicial da bola em relação ao elevador é 20 m/s. (a) Qual é a altura máxima acima do solo atingida pela bola? (b) Quanto tempo a bola leva para cair de volta no piso do elevador? 117 Um jogador de futebol americano chuta uma bola de tal forma que a bola passa 4,5 s no ar e chega ao solo a 46 m de distância. Se a bola deixou o pé do jogador 150 cm acima do solo, determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação à horizontal) da velocidade inicial da bola. 118 Um aeroporto dispõe de uma esteira rolante para ajudar os passageiros a atravessarem um longo corredor. Lauro não usa a esteira rolante e leva 150 s para atravessar o corredor. Cora, que fica parada na esteira rolante, cobre a mesma distância em 70 s. Marta prefere andar na esteira rolante. Quanto tempo leva Marta para atravessar o corredor? Suponha que Lauro e Marta caminhem com a mesma velocidade. 119 Um vagão de madeira está se movendo em uma linha férrea retilínea com velocidade v1. Um franco- atirador dispara uma bala (com velocidade inicial v2) contra o vagão, usando um rifle de alta potência. A bala atravessa as duas paredes laterais e os furos de entrada e saída ficam à mesma distância das extremidades do vagão. De que direção, em relação à linha férrea, a bala foi disparada? Suponha que a bala não foi desviada ao penetrar no vagão, mas a velocidade diminuiu 20%. Suponha ainda que v1 = 85 km/h e v2 = 650 m/s. (Por que não é preciso conhecer a largura do vagão?) 120 Um velocista corre em uma pista circular com uma velocidade constante de 9,20 m/s e uma aceleração centrípeta de 3,80 m/s2. Determine (a) o raio da pista e (b) o período do movimento circular. 121 Suponha que a aceleração máxima que uma sonda espacial pode suportar seja de 20g. (a) Qual é o menor raio da curva que a nave pode fazer a uma velocidade igual a um décimo da velocidade da luz? (b) Quanto tempo a nave levaria para completar uma curva de 90° a essa velocidade? 122 Você pretende lançar uma bola com uma velocidade escalar de 12,0 m/s em um alvo que está a uma altura h = 5,00 m acima do ponto de lançamento (Fig. 4-58). Você quer que a velocidade da bola seja horizontal no instante em que ela atingir o alvo. (a) Com que ângulo θ acima da horizontal você deve atirar a bola? (b) Qual é a distância horizontal do ponto de lançamento até o alvo? (c) Qual é a velocidade escalar da bola no momento em que ela atinge o alvo? Figura 4-58 Problema 122. 123 Um projétil é disparado com uma velocidade inicial v0 = 30,0 m/s, a partir do solo, com o objetivo de atingir um alvo que está no solo a uma distância R = 20,0 m, como mostra a Fig. 4-59. Qual é (a) o menor e (b) qual o maior ângulo de lançamento para o qual o projétil atinge o alvo? Figura 4-59 Problema 123. 124 Uma surpresa gráfica. No instante t = 0, uma bola é lançada a partir do solo plano, com uma velocidade inicial de 16,0 m/s e um ângulo de lançamento θ0. Imagine um vetor posição que ligue o ponto de lançamento à bola durante toda a trajetória. Plote o módulo r do vetor posição em função do tempo para (a) θ0 = 40,0° e (b) θ0 = 80,0°. Para θ0 = 40,0°, determine (c) em que instante r atinge o valor máximo, (d) qual é esse valor e a que distância (e) horizontal e (f) vertical está a bola em relação ao ponto de lançamento. Para θ0 = 80,0°, determine (g) em que instante r atinge o valor máximo, (h) qual é esse valor e a que distância (i) horizontal e (j) vertical está a bola em relação ao ponto de lançamento. 125 Uma bala é disparada por um canhão ao nível do mar com uma velocidade inicial de 82 m/s e um ângulo inicial de 45° e atinge uma distância horizontal de 686 m. Qual seria o aumento da distância atingida pela bala se o canhão estivesse a 30 m de altura? 126 O módulo da velocidade de um projétil quando ele atinge a altura máxima é 10 m/s. (a) Qual é o módulo da velocidade do projétil 1,0 s antes de atingir a altura máxima? (b) Qual é o módulo da velocidade do projétil 1,0 s depois de atingir a altura máxima? Se tomamos x = 0 e y = 0 como o ponto de altura máxima e consideramos como sentido positivo do eixo x o sentido da velocidade do projétil nesse ponto, determine (c) a coordenada x e (d) a coordenada y do projétil 1,0 s antes de atingir a altura máxima e (e) a coordenada x e (f) a coordenada y do projétil 1,0 s depois de atingir a altura máxima. 127 Um coelho assustado que está se movendo a 6,0 m/s na direção leste penetra em uma grande área plana de gelo com atrito desprezível. Enquanto o coelho desliza no gelo, a força do vento faz com que ele adquira uma aceleração constante de 1,4 m/s2 na direção norte. Escolha um sistema de coordenadas com a origem na posição inicial do coelho sobre o gelo e o sentido positivo do eixo x apontando para leste. Na notação dos vetores unitários, qual é (a) a velocidade e (b) qual a posição do coelho após ter deslizado durante 3,0 s? 128 Um avião voa para leste enquanto um vento sopra a 20 km/h na direção sul. Se a velocidade do avião na ausência de vento é 70 km/h, qual é a velocidade do avião em relação ao solo? 129 Em uma partida de softball, o lançador arremessa a bola de um ponto situado 3,0 pés acima do solo. Um gráfico estroboscópico da posição da bola é mostrado na Fig. 4-60, em que as leituras estão separadas por 0,25 s e a bola foi lançada em t = 0. (a) Qual é o módulo da velocidade inicial da bola? (b) Qual é o módulo da velocidade da bola no instante que atinge a altura máxima em relação ao solo? (c) Qual é a altura máxima? Figura 4-60 Problema 129. 130 Em alguns estados norte-americanos, a polícia rodoviária usa aviões para verificar se o limite de velocidade está sendo respeitado. Suponha que a velocidade de cruzeiro de um dos aviões seja 135 milhas por hora na ausência de vento e que o avião esteja voando para o norte, acompanhando uma rodovia norte-sul. Pelo rádio, um observador no solo informa ao piloto que está soprando um vento de 70,0 mi/h, mas se esquece de informar a direção do vento. O piloto observa que, apesar do vento, o avião consegue voar 135 milhas em 1,00 hora. Em outras palavras, a velocidade do avião em relação ao solo é a mesma que se não houvesse vento. (a) Qual é a direção do vento? (b) Qual é o curso do avião, ou seja, em que direção o nariz do avião está apontado? 131 Um golfista arremessa uma bola a partir de uma elevação, imprimindo à bola uma velocidade inicial de 43 m/s com um ângulo de 30° acima da horizontal. A bola atinge o campo a uma distância horizontal de 180 m do local do lançamento. Suponha que o campo seja plano. (a) Qual era a altura da elevação de onde foi arremessada a bola? (b) Qual foi a velocidade da bola ao tocar o solo? 132 Uma competição de atletismo é realizada em um planeta de um sistema solar distante. Um arremessador de peso lança o peso de um ponto 2,0 m acima do nível do solo. Um gráfico estroboscópico da posição do peso aparece na Fig. 4-61, em que as leituras foram tomadas a cada 0,50 s e o peso foi arremessado no instante t = 0. (a) Qual é a velocidade inicial do peso, em termos dos vetores unitários? (b) Qual é o módulo da aceleração de queda livre no planeta? (c) Quanto tempo após ter sido arremessado o peso toca o solo? (d) Se um arremesso de peso for feito na Terra nas mesmas condições, quanto tempo após o lançamento o peso tocará o solo? 133 Um helicóptero está voando em linha reta sobre um terreno plano a uma velocidade constante de 6,20 m/s e a uma altitude constante de 9,50 m. Um engradado é lançado horizontalmente do helicóptero com uma velocidade inicial de 12,0 m/s em relação ao helicóptero, no sentido oposto ao do movimento do helicóptero. (a) Determine a velocidade inicial do engradado em relação ao solo. (b) Qual é a distância horizontal entre o helicóptero e o engradado no instante em que o engradado atinge o solo? (c) Qual é o ângulo entre o vetor velocidade e a horizontal no instante em que o engradado atinge o solo? Figura 4-61 Problema 132. 134 Um carro descreve uma circunferência em um terreno plano, a uma velocidade constante de 12,0 m/s. Em um dado instante, o carro tem uma aceleração de 3,00 m/s2 na direção leste. Determine a distância entre o carro e o centro da circunferência e a direção do vetor velocidade do carro nesse instante (a) se o carro estiver se movendo no sentido horário; (b) se o carro estiver se movendo no sentido anti-horário. 135 Uma pessoa arremessa uma bola de um penhasco com uma velocidade inicial de 15,0 m/s e com um ângulo de 20,0° abaixo da horizontal. Determine (a) o deslocamento horizontal após 2,30 s e (b) o deslocamento vertical após 2,30 s. 136 No Fenway Park, em Boston, uma bola de beisebol é rebatida 0,762 m acima da quarta base com uma velocidade inicial de 33,53 m/s e com um ângulo de 55,0° acima da horizontal. A bola passa por um muro de 11,28 m de altura situado no lado esquerdo do campo (conhecido como “monstro verde”) 5,00 s após ter sido rebatida, em um ponto ligeiramente à direita do poste que marca o limite esquerdo do campo. Determine (a) a distância horizontal entre a quarta base e o muro, na direção do poste que marca o limite esquerdo do campo; (b) a distância vertical entre a bola e o muro no instante em que a bola passa pelo muro; (c) o deslocamento horizontal e o deslocamento vertical da bola em relação à quarta base 0,500 s antes de a bola passar pelo muro. 137 O serviço de meteorologia prevê que um voo transcontinental de 4350 km vai durar 50 minutos a mais se o avião estiver voando para oeste do que se o avião estiver voando para leste. A velocidade do avião em relação ao ar é 966 km/h e a direção prevista para a corrente de jato em todo o percurso é de oeste para leste. Qual é a velocidade prevista para a corrente de jato? 138 Uma mulher é capaz de fazer um barco a remo atingir uma velocidade de 6,40 km/h em água parada. (a) Se a mulher está atravessando um rio no qual a correnteza tem uma velocidade de 3,20 km/h, em que direção deve apontar a proa do barco para chegar em um ponto diretamente oposto ao ponto de partida? (b) Se o rio tem 6,40 km de largura, quanto tempo a mulher levará para atravessar o rio? (c) Suponha que, em vez de atravessar o rio, a mulher reme 3,20 km rio abaixo e depois reme de volta ao ponto de partida. Quanto tempo ela levará para completar o percurso? (d) Quanto tempo levará para remar 3,20 km rio acima e depois remar de volta ao ponto de partida? (e) Em que direção deve apontar a proa do barco para atravessar o rio no menor tempo possível? Qual será, nesse caso, o tempo de percurso? _______________ 1Para marcar um field goal no futebol americano, um jogador tem que fazer a bola passar por cima do travessão e entre as duas traves laterais. (N.T.) CAPÍTULO 5 Força e Movimento – I 5-1 A PRIMEIRA E A SEGUNDA LEI DE NEWTON Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 5.01 Saber que uma força é uma grandeza vetorial e que, portanto, tem um módulo e uma orientação e pode ser representada por componentes. 5.02 Dadas duas ou mais forças que agem sobre a mesma partícula, somar vetorialmente as forças para obter a força resultante. 5.03 Conhecer a primeira e a segunda lei de Newton. 5.04 Conhecer os referenciais inerciais. 5.05 Desenhar o diagrama de corpo livre de um objeto, mostrando o objeto como uma partícula e desenhando as forças que agem sobre o objeto como vetores com a origem na partícula. 5.06 Aplicar a relação (segunda lei de Newton) entre a força resultante que age sobre um objeto, a massa do objeto e a aceleração produzida pela força. 5.07 Saber que apenas as forças externas que agem sobre um objeto podem produzir aceleração. Ideias-Chave • A velocidade de um objeto pode mudar (ou seja, o objeto pode sofrer aceleração) se o objeto for submetido a uma ou mais forças (empurrões ou puxões) por parte de outros objetos. A mecânica newtoniana descreve a relação entre forças e acelerações. • As forças são grandezas vetoriais. O módulo de uma força é definido em termos da aceleração que a força produziria em um quilograma-padrão. Por definição, uma força que produz uma aceleração de 1 m/s2 em um quilograma-padrão tem módulo de 1 newton (1 N). A orientação de uma força é a mesma que a orientação da aceleração produzida pela força. As forças são combinadas de acordo com as regras da álgebra vetorial. A força resultante que age sobre um corpo é a soma vetorial de todas as forças que agem sobre um corpo. • Quando a força resultante que age sobre um corpo é zero, o corpo permanece em repouso se estiver inicialmente em repouso, e se move em linha reta com velocidade constante se estiver inicialmente em movimento. • Os referenciais nos quais a mecânica newtoniana é válida são chamados de referenciais inerciais. Os referenciais nos quais a mecânica newtoniana não é válida são chamados de referenciais não inerciais. • A massa de um corpo é a propriedade de corpo que relaciona a aceleração do corpo à força responsável pela aceleração. A massa é uma grandeza escalar. • De acordo com a segunda lei de Newton, a relação entre a força res total que age sobre um corpo de massa m e a aceleração produzida pela força é dada pela equação res = m ou, em termos das componentes da força e da aceleração, Em unidades do SI, 1 N = 1 kg.m/s2. • Um diagrama de corpo livre é um diagrama simples no qual apenas um corpo é indicado por meio de um desenho ou de um ponto. São mostrados os vetores que representam as forças externas que agem sobre o corpo e os eixos de um sistema de coordenadas, orientados de modo a facilitar a análise da situação. O que É Física? Vimos que a física envolve o estudo do movimento dos objetos, incluindo a aceleração, que é uma variação de velocidade. A física também envolve o estudo da causa da aceleração. A causa é sempre uma força, que pode ser definida, em termos coloquiais, como um empurrão ou um puxão exercido sobre um objeto. Dizemos que a força age sobre o objeto, mudando a velocidade. Por exemplo: na largada de uma prova de Fórmula 1, uma força exercida pela pista sobre os pneus traseiros provoca a aceleração dos veículos. Quando um zagueiro segura o centroavante do time adversário, uma força exercida pelo defensor provoca a desaceleração do atacante. Quando um carro colide com um poste, uma força exercida pelo poste faz com que o carro pare bruscamente. As revistas de ciência, engenharia, direito e medicina estão repletas de artigos sobre as forças a que estão sujeitos os objetos, entre os quais podem ser incluídos os seres humanos. Um Alerta. Muitos estudantes consideram este capítulo mais difícil que os anteriores. Uma razão para isso é que precisamos usar vetores nas equações; os problemas não podem ser resolvidos usando apenas escalares. Isso significa que é necessário recorrer às regras da álgebra vetorial, discutidas no Capítulo 3. Outra razão é que vamos examinar muitas situações diferentes: objetos que se movem em pisos, tetos, paredes e rampas, objetos que sobem puxados por cordas que passam por polias, objetos que sobem ou descem dentro de elevadores, e mesmo objetos presos a outros objetos. Entretanto, apesar da diversidade de situações, precisamos apenas de uma ideia-chave (a segunda lei de Newton) para resolver a maioria dos problemas deste capítulo. Nosso objetivo é mostrar como é possível aplicar uma única ideia-chave a uma grande variedade de problemas. Para isso, porém, é necessário ter uma certa experiência; não basta estudar a teoria, precisamos resolver muitos problemas. Dito isso, vamos apresentar brevemente a teoria e passar a alguns exemplos. Mecânica Newtoniana A relação que existe entre uma força e a aceleração produzida por essa força foi descoberta por Isaac Newton (1642-1727) e é o assunto deste capítulo. O estudo dessa relação, da forma como foi apresentado por Newton, é chamado de mecânica newtoniana. Vamos nos concentrar inicialmente nas três leis básicas de movimento da mecânica newtoniana. A mecânica newtoniana não pode ser aplicada a todas as situações. Se as velocidades dos corpos envolvidos são muito elevadas, comparáveis à velocidade da luz, a mecânica newtoniana deve ser substituída pela teoria da relatividade restrita, de Einstein, que é válida para qualquer velocidade. Se os corpos envolvidos são muito pequenos, de dimensões atômicas ou subatômicas (como, por exemplo, os elétrons de um átomo), a mecânica newtoniana deve ser substituída pela mecânica quântica. Atualmente, os físicos consideram a mecânica newtoniana um caso especial dessas duas teorias mais abrangentes. Ainda assim, trata-se de um caso especial muito importante, já que pode ser aplicado ao estudo do movimento dos mais diversos objetos, desde corpos muito pequenos (quase de dimensões atômicas) até corpos muito grandes (galáxias e aglomerados de galáxias). A Primeira Lei de Newton Antes de Newton formular sua mecânica, pensava-se que uma influência, uma “força”, fosse necessária para manter um corpo em movimento com velocidade constante e que um corpo estava em seu “estado natural” apenas quando se encontrava em repouso. Para que um corpo se movesse com velocidade constante, tinha que ser impulsionado de alguma forma, puxado ou empurrado; se não fosse assim, pararia “naturalmente”. Essas ideias pareciam razoáveis. Se você faz um disco de metal deslizar em uma superfície de madeira, o disco realmente diminui de velocidade até parar. Para que ele continue a deslizar indefinidamente com velocidade constante, deve ser empurrado ou puxado continuamente. Por outro lado, se for lançado em um rinque de patinação, o disco percorrerá uma distância bem maior antes de parar. É possível imaginar superfícies mais escorregadias, nas quais o disco percorreria distâncias ainda maiores. No limite, podemos pensar em uma superfície extremamente escorregadia (conhecida como superfície sem atrito), na qual o disco não diminuiria de velocidade. (Podemos, de fato, chegar muito perto dessa situação fazendo o disco deslizar em uma mesa de ar, na qual ele é sustentado por uma corrente de ar.) A partir dessas observações, podemos concluir que um corpo manterá seu estado de movimento com velocidade constante se nenhuma força agir sobre ele. Isso nos leva à primeira das três leis de Newton. Primeira Lei de Newton: Se nenhuma força atua sobre um corpo, sua velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer aceleração. Em outras palavras, se o corpo está em repouso, permanece em repouso; se está em movimento, continua com a mesma velocidade (mesmo módulo e mesma orientação). Figura 5-1 Uma força aplicada ao quilogramapadrão provoca uma aceleração . Força Antes de começarmos a resolver problemas que envolvem forças, precisamos discutir vários aspectos das forças, como a unidade de força, a natureza vetorial das forças, a combinação de várias forças e as circunstâncias nas quais podemos medir uma força (sem sermos enganados por forças fictícias). Unidade. Podemos definir a unidade de força em termos da aceleração que uma força imprime ao quilograma-padrão (Fig. 1-3), cuja massa é definida como exatamente 1 kg. Se colocamos o quilograma- padrão sobre uma mesa horizontal sem atrito e o puxamos horizontalmente (Fig. 5-1) até que adquira uma aceleração de 1 m/s2, podemos dizer a força que estamos exercendo tem um módulo de 1 newton (1 N). Se exercermos uma força de 2 N sobre o corpo, a aceleração será de 2 m/s2. Isso significa que a aceleração é proporcional à força. Se o corpo-padrão de massa igual a 1 kg tem uma aceleração de módulo a (em metros por segundo ao quadrado), sabemos que a força (em newtons) responsável pela aceleração tem um módulo numericamente igual a a. Temos, assim, uma definição prática da unidade de força. Vetores. A força é uma grandeza vetorial e, portanto, possui um módulo e uma orientação. Isso significa que, quando duas ou mais forças atuam sobre um corpo, podemos calcular a força total, ou força resultante, somando vetorialmente as forças, de acordo com as regras do Capítulo 3. Uma única força com o módulo e a orientação da força resultante tem o mesmo efeito sobre um corpo que todas as forças agindo simultaneamente. Esse fato, conhecido como princípio de superposição para forças, torna as forças do dia a dia razoáveis e previsíveis. O mundo seria muito estranho se, por exemplo, você e outra pessoa puxassem o corpo-padrão na mesma direção, cada um com uma força de 1 N, e a força resultante fosse 14 N, produzindo uma aceleração de 14 m/s2. Neste livro, as forças são quase sempre representadas por um símbolo como , e a força resultante, por um símbolo como res. Assim como acontece com outros vetores, uma força ou uma força resultante pode ter componentes em relação a um sistema de coordenadas. Quando as forças atuam apenas em uma direção, elas possuem apenas uma componente. Nesse caso, podemos dispensar a seta sobre os símbolos das forças e usar sinais para indicar o sentido das forças ao longo do único eixo. A Primeira Lei. Um enunciado mais rigoroso da Primeira Lei de Newton, fundamentado na ideia de força resultante, é o seguinte: Primeira Lei de Newton: Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo ( res = 0), a velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer aceleração. Isso significa que mesmo que um corpo esteja submetido a várias forças, se a resultante das forças for zero, o corpo não sofrerá aceleração. Referenciais Inerciais A primeira lei de Newton não se aplica a todos os referenciais, mas em todas as situações podemos encontrar referenciais nos quais essa lei (na verdade, toda a mecânica newtoniana) é verdadeira. Esses referenciais são chamados de referenciais inerciais. Referencial inercial é um referencial no qual as leis de Newton são válidas. Podemos, por exemplo, supor que o solo é um referencial inercial, desde que possamos desprezar os movimentos astronômicos da Terra (como a rotação e a translação). Figura 5-2 (a) A trajetória de um disco que escorrega a partir do polo norte, do ponto de vista de um observador estacionário no espaço. (b) A trajetória do disco do ponto de vista de um observador no solo. Essa hipótese é válida se, digamos, fazemos deslizar um disco metálico em uma pista curta de gelo, de atrito desprezível; descobrimos que o movimento do disco obedece às leis de Newton. Suponha, porém, que o disco deslize em uma longa pista de gelo a partir do polo norte (Fig. 5-2a). Se observarmos o disco a partir de um referencial estacionário no espaço, constataremos que o disco se move para o sul ao longo de uma trajetória retilínea, já que a rotação da Terra em torno do polo norte apenas faz o gelo escorregar por baixo do disco. Entretanto, se observarmos o disco a partir de um ponto do solo, que acompanha a rotação da Terra, a trajetória do disco não será uma reta. Como a velocidade do solo sob o disco, dirigida para leste, aumenta com a distância entre o disco e o polo, do nosso ponto de observação fixo no solo o disco parecerá sofrer um desvio para oeste (Fig. 5-2b). Essa deflexão aparente não é causada por uma força, como exigem as leis de Newton, mas pelo fato de que observamos o disco a partir de um referencial em rotação. Nessa situação, o solo é um referencial não inercial, e a tentativa de explicar o desvio como se fosse causado por uma força nos leva a uma força fictícia. Um exemplo mais comum de força fictícia é o que acontece com os passageiros de um carro que acelera bruscamente; eles têm a impressão de que uma força os empurra para trás. Neste livro, supomos quase sempre que o solo é um referencial inercial e que as forças e acelerações são medidas nesse referencial. Quando as medidas são executadas em um referencial não inercial, como, por exemplo, um veículo acelerado em relação ao solo, os resultados podem ser surpreendentes. Teste 1 Quais dos seis arranjos da figura mostram corretamente a soma vetorial das forças 2 e 2 para obter um terceiro vetor, que representa a força resultante res? Massa A experiência nos diz que a mesma força produz acelerações de módulos diferentes em corpos diferentes, como uma bola de futebol e uma bola de boliche. A explicação popular está correta: o objeto de menor massa é mais acelerado. Entretanto, podemos ser mais precisos: a aceleração é inversamente proporcional à massa (e não, digamos, inversamente proporcional ao quadrado da massa). Podemos explicar como medir a massa imaginando uma série de experimentos em um referencial inercial. No primeiro experimento, exercemos uma força sobre um corpo-padrão, cuja massa m0 é definida como 1,0 kg. Vamos supor, então, que o corpo-padrão sofra uma aceleração de 1,0 m/s2. Podemos dizer, portanto, que a força que atua sobre esse corpo é 1,0 N. Em seguida, aplicamos a mesma força (precisaríamos nos certificar, de alguma forma, de que a força é a mesma) a um segundo corpo, o corpo X, cuja massa não é conhecida. Suponha que descobrimos que esse corpo sofre uma aceleração de 0,25 m/s2. Sabemos que uma bola de futebol, que possui uma massa menor, adquire uma aceleração maior que uma bola de boliche, quando a mesma força (chute) é aplicada a ambas. Vamos fazer a seguinte conjectura: a razão entre as massas de dois corpos é igual ao inverso da razão entre as acelerações que adquirem quando são submetidos à mesma força. Para o corpo X e o corpo-padrão, isso significa que Explicitando mX, obtemos Nossa conjectura será útil, evidentemente, apenas se continuar a ser válida quando a força aplicada assumir outros valores. Por exemplo: quando aplicamos uma força de 8,0 N a um corpo-padrão, obtemos uma aceleração de 8,0 m/s2. Quando a força de 8,0 N é aplicada ao corpo X, obtemos uma aceleração de 2,0 m/s2. Nossa conjectura nos dá, portanto, o que é compatível com o primeiro experimento. Muitos experimentos que fornecem resultados semelhantes indicam que nossa conjectura é uma forma confiável de atribuir massa a um dado corpo. Nossos experimentos indicam que massa é uma propriedade intrínseca de um corpo, ou seja, uma característica que resulta automaticamente da existência do corpo. Indicam também que a massa é uma grandeza escalar. Contudo, uma pergunta intrigante permanece sem resposta: o que, exatamente, é massa? Como a palavra massa é usada na vida cotidiana, devemos ter uma noção intuitiva de massa, talvez algo que podemos sentir fisicamente. Seria o tamanho, o peso, ou a densidade do corpo? A resposta é negativa, embora algumas vezes essas características sejam confundidas com a massa. Podemos apenas dizer que a massa de um corpo é a propriedade que relaciona uma força que age sobre o corpo com a aceleração resultante. A massa não tem uma definição mais simples; você pode ter uma sensação física da massa apenas quando tenta acelerar um corpo, como ao chutar uma bola de futebol ou uma bola de boliche. A Segunda Lei de Newton Todas as definições, experimentos e observações que discutimos até aqui podem ser resumidos em uma única sentença: Segunda Lei de Newton: A força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela aceleração. Em termos matemáticos, Escolha do Corpo. Essa equação é simples, mas devemos usá-la com cautela. Primeiro, devemos escolher o corpo ao qual vamos aplicá-la. res deve ser a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre esse corpo. Apenas as forças que atuam sobre esse corpo devem ser incluídas na soma vetorial, não as forças que agem sobre outros corpos envolvidos na mesma situação. Por exemplo: se você disputa a bola com vários adversários em um jogo de futebol, a força resultante que age sobre você é a soma vetorial de todos os empurrões e puxões que você recebe. Ela não inclui um empurrão ou puxão que você dá em outro jogador. Toda vez que resolvemos um problema que envolve forças, o primeiro passo é definir claramente a que corpo vamos aplicar a segunda lei de Newton. Independência das Componentes. Como outras equações vetoriais, a Eq. 5-1 é equivalente a três equações para as componentes, uma para cada eixo de um sistema de coordenadas xyz: Cada uma dessas equações relaciona a componente da força resultante em relação a um eixo com a aceleração ao longo do mesmo eixo. Por exemplo: a primeira equação nos diz que a soma de todas as componentes das forças em relação ao eixo x produz a componente ax da aceleração do corpo, mas não produz uma aceleração nas direções y e z. Sendo assim, a componente ax da aceleração é causada apenas pelas componentes das forças em relação ao eixo x. Generalizando, A componente da aceleração em relação a um dado eixo é causada apenas pela soma das componentes das forças em relação a esse eixo e não por componentes de forças em relação a qualquer outro eixo. Forças em Equilíbrio. A Eq. 5-1 nos diz que, se a força resultante que age sobre um corpo é nula, a aceleração do corpo = 0. Se o corpo está em repouso, permanece em repouso; se está em movimento, continua a se mover com velocidade constante. Em tais casos, as forças que agem sobre o corpo se compensam e dizemos que o corpo está em equilíbrio. Frequentemente, dizemos que as forças se cancelam, mas o termo “cancelar” pode ser mal interpretado. Ele não significa que as forças deixaram de existir (cancelar forças não é como cancelar uma reserva em um restaurante). As forças continuam a agir sobre o corpo, mas não podem acelerá-lo. Unidades. Em unidades do SI, a Eq. 5-1 nos diz que Algumas unidades de força em outros sistemas de unidades aparecem na Tabela 5-1 e no Apêndice D. Diagramas. Muitas vezes, para resolver problemas que envolvem a segunda lei de Newton, desenhamos um diagrama de corpo livre no qual o único corpo mostrado é aquele para o qual estamos somando as forças. Um esboço do próprio corpo é preferido por alguns professores, mas, para poupar espaço, representaremos comumente o corpo por um ponto. As forças que agem sobre o corpo serão representadas por setas com a origem no ponto. Um sistema de coordenadas é normalmente incluído, e a aceleração do corpo é algumas vezes mostrada por meio de outra seta (acompanhada por um símbolo adequado para mostrar que se trata de uma aceleração). A construção de um diagrama de corpo livre tem por objetivo concentrar a atenção no corpo de interesse. Tabela 5-1 Unidades das Grandezas da Segunda Lei de Newton (Eqs. 5-1 e 5-2) Sistema Força Massa Aceleração SI newton (N) quilograma (kg) m/s2 CGSa dina grama (g) cm/s2 Inglêsb libra (lb) slug ft/s2 a1 dina = 1 g · cm/s2. b1 lb = 1 slug · ft/s2. Forças Externas e Forças Internas. Um sistema é formado por um ou mais corpos; qualquer força exercida sobre os corpos do sistema por corpos que não pertencem ao sistema é chamada de força externa. Se os corpos de um sistema estão rigidamente ligados uns aos outros, podemos tratar o sistema como um único corpo, e a força resultante res a que está submetido esse corpo é a soma vetorial das forças externas. (Não incluímos as forças internas, ou seja, as forças entre dois corpos pertencentes ao sistema.) Assim, por exemplo, uma locomotiva e um vagão formam um sistema. Se um reboque é usado para puxar a locomotiva, a força exercida pelo reboque age sobre o sistema locomotiva-vagão. Como acontece no caso de um só corpo, podemos relacionar a força resultante externa que age sobre um sistema à aceleração do sistema através da segunda lei de Newton, res = m , em que m é a massa total do sistema. Teste 2 A figura mostra duas forças horizontais atuando em um bloco apoiado em um piso sem atrito. Se uma terceira força horizontal 3 também age sobre o bloco, determine o módulo e a orientação de 3 quando o bloco (a) está em repouso e (b) está se movendo para a esquerda com uma velocidade constante de 5 m/s. Exemplo 5.01 Forças alinhadas e não alinhadas, disco metálico Nas partes A, B e C da Fig. 5-3, uma ou duas forças agem sobre um disco metálico que se move sobre o gelo sem atrito ao longo do eixo x, em um movimento unidimensional. A massa do disco é m = 0,20 kg. As forças 1 e 2 atuam ao longo do eixo x e têm módulos F1 = 4,0 N e F2 = 2,0 N. A força 3 faz um ângulo θ = 30° com o eixo x e tem um módulo F3 = 1,0 N. Qual é a aceleração do disco em cada situação? IDEIA-CHAVE Em todas as situações, podemos relacionar a aceleração com a força resultante res que age sobre o disco através da segunda lei de Newton, res = m . Entretanto, como o movimento ocorre apenas ao longo do eixo x, podemos simplificar as situações escrevendo a segunda lei apenas para as componentes x: Os diagramas de corpo livre para as três situações são também mostrados na Fig. 5-3, com o disco representado por um ponto. Situação A: Para a situação da Fig. 5-3b, em que existe apenas uma força horizontal, temos, de acordo com a Eq. 5-4, F1 = max, o que, para os dados do problema, nos dá A resposta positiva indica que a aceleração ocorre no sentido positivo do eixo x. Situação B: Na Fig. 5-3d, duas forças horizontais agem sobre o disco, 1, no sentido positivo do eixo x, e 2 no sentido negativo. De acordo com a Eq. 5-4, F1 – F2 = max, o que, para os dados do problema, nos dá Assim, a força resultante acelera o disco no sentido positivo do eixo x. Situação C: Na Fig. 5-3f, não é a força 3 que tem a direção da aceleração do disco, mas sim a componente F3,x. (A força 3 não está alinhada com a força 2 nem com a direção do movimento.1) Assim, a Eq. 5-4 assume a forma Figura 5-3 Em três situaçães, forças atuam sobre um disco que se move ao longo do eixo x. A figura também mostra diagramas de corpo livre. De acordo com a figura, F3,x = F3 cos θ. Explicitando a aceleração e substituindo F3,x por seu valor, obtemos Portanto, a força resultante acelera o disco no sentido negativo do eixo x. Exemplo 5.02 Forças não alinhadas, lata de biscoitos Na vista superior da Fig. 5-4a, uma lata de biscoitos de 2,0 kg é acelerada a 3,0 m/s2, na orientação definida por , em uma superfície horizontal sem atrito. A aceleração é causada por três forças horizontais, das quais apenas duas são mostradas: 1, de módulo 10 N, e 2, de módulo 20 N. Qual é a terceira força, 3, na notação dos vetores unitários e na notação módulo-ângulo? IDEIA-CHAVE A força resultante res que age sobre a lata é a soma das três forças e está relacionada com a aceleração pela segunda lei de Newton ( res = m ). Assim, que nos dá Cálculos: Como as forças não estão alinhadas, não podemos determinar 3 simplesmente substituindo os módulos das forças no lado direito da Eq. 5-7. O correto é somar vetorialmente m , – 1 e – 2, como mostra a Fig. 5-4b. A soma poderia ser feita com o auxílio de uma calculadora, já que conhecemos tanto o módulo como o ângulo dos três vetores. Entretanto, optamos por calcular o lado direito da Eq. 5-7 em termos das componentes, primeiro para o eixo x e depois para o eixo y. Atenção: use apenas um eixo de cada vez. Componentes X: Para o eixo x, temos F3,x = max – F1,x – F2,x = m(a cos 50°) – F1cos(– 150°) – F2cos 90° Substituindo os valores conhecidos, obtemos F3,x = (2,0 kg)(3,0 m/s2) cos 50° – (10 N)cos(– 150°) – (20 N)cos 90° = 12,5 N. Componentes y: Para o eixo y, temos F3,y = may – F1,y – F2,y = m(a sen50°) – F1sen(– 150°) – F2sen90° = (2,0 kg)(3,0 m/s2) sen 50° – (10 N)sen(– 150°) – (20 N)sen 90° = – 10,4 N. Vetor: Na notação dos vetores unitários, temos Podemos agora usar uma calculadora para determinar o módulo e o ângulo de 3. Também podemos usar a Eq. 3-6 para obter o módulo e o ângulo (em relação ao semieixo x positivo): Figura 5-4 (a) Vista superior de duas das três forças que agem sobre uma lata de biscoitos, produzindo uma aceleração . 3 não é mostrada. (b) Um arranjo de vetores m , – 1 e – 2 para determinar a força 3. 5-2 ALGUMAS FORÇAS ESPECIAIS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 5.08 Determinar o módulo e a orientação da força gravitacional que age sobre um corpo com uma dada massa, em um local em que a aceleração de queda livre é conhecida. 5.09 Saber que o peso de um corpo é o módulo da força necessária para evitar que o corpo caia livremente, medida no referencial do solo. 5.10 Saber que uma balança só fornece o peso correto de um objeto quando a medida é executada em um referencial inercial. 5.11 Determinar o módulo e a orientação da força normal a que um objeto é submetido quando o objeto exerce uma força perpendicular a uma superfície. 5.12 Saber que a força de atrito é uma força a que um objeto é submetido quando desliza ou tenta deslizar ao longo de uma superfície. 5.13 Saber que a força de tração é uma força exercida pelas extremidades de uma corda (ou um objeto semelhante a uma corda) quando a corda está esticada. Ideias-Chave • A força gravitacional g exercida sobre um corpo é um tipo especial de atração que um segundo corpo exerce sobre o primeiro. Na maioria das situações discutidas neste livro, um dos corpos é a Terra ou outro astro. No caso da Terra, a força aponta para o solo, que é considerado um referencial inercial, e o módulo de g é dado por Fg = mg em que m é a massa do corpo e g é o módulo da aceleração de queda livre. • O peso P de um corpo é o módulo da força para cima que é necessária para equilibrar a força gravitacional a que o corpo está sujeito. A relação entre o peso e a massa de um corpo é dada pela equação p = mg • A força normal N é a força que uma superfície exerce sobre um corpo quando o corpo exerce uma força perpendicular à superfície. A força normal é perpendicular à superfície. • A força de atrito é a força que uma superfície exerce sobre um corpo quando o corpo desliza ou tenta deslizar ao longo de uma superfície. A força de atrito é paralela à superfície e tem o sentido oposto ao do deslizamento. • Quando uma corda está sendo tracionada, as duas extremidades estão submetidas a uma força que aponta para longe da corda. No caso de uma corda de massa desprezível, as duas forças têm o mesmo módulo T, mesmo que a corda passe por uma polia de massa e atrito desprezíveis. Algumas Forças Especiais Força Gravitacional A força gravitacional g exercida sobre um corpo é um tipo especial de atração que um segundo corpo exerce sobre o primeiro. Nesses capítulos iniciais, não discutimos a natureza dessa força e consideramos apenas situações nas quais o segundo corpo é a Terra. Assim, quando falamos da força gravitacional g que age sobre um corpo, estamos nos referindo à força que o atrai na direção do centro da Terra, ou seja, verticalmente para baixo. Vamos supor que o solo é um referencial inercial. Queda Livre. Considere um corpo de massa m em queda livre, submetido, portanto, a uma aceleração de módulo g. Nesse caso, se desprezarmos os efeitos do ar, a única força que age sobre o corpo é a força gravitacional g. Podemos relacionar essa força à aceleração correspondente usando a segunda lei de Newton, = m . Colocamos um eixo y vertical ao longo da trajetória do corpo, com o sentido positivo para cima. Para esse eixo, a segunda lei de Newton pode ser escrita na forma Fres,y = may, que, em nossa situação, se torna –Fg = m(–g) Em palavras, o módulo da força gravitacional é igual ao produto mg. Em Repouso. A mesma força gravitacional, com o mesmo módulo, atua sobre o corpo, mesmo quando não está em queda livre, mas se encontra, por exemplo, em repouso sobre uma mesa de sinuca ou movendo-se sobre a mesa. (Para que a força gravitacional desaparecesse, a Terra teria de desaparecer.) Podemos escrever a segunda lei de Newton para a força gravitacional nas seguintes formas vetoriais: Figura 5-5 Uma balança de braços iguais. Quando a balança está equilibrada, a força gravitacional gE a que está submetido o corpo que se deseja pesar (no prato da esquerda) e a força gravitacional total gD a que estão submetidas as massas de referência (no prato da direita) são iguais. Assim, a massa mE do corpo que esta sendo pesado é igual à massa total mD das massas de referência. em que é um vetor unitário que aponta para cima ao longo do eixo y, perpendicularmente ao solo, e é a aceleração de queda livre (escrita como um vetor), que aponta para baixo. Peso O peso P de um corpo é o módulo da força necessária para impedir que o corpo caia livremente, medida em relação ao solo. Assim, por exemplo, para manter uma bola em repouso na mão enquanto você está parado de pé, você deve aplicar uma força para cima para equilibrar a força gravitacional que a Terra exerce sobre a bola. Suponha que o módulo da força gravitacional é 2,0 N. Nesse caso, o módulo da força para cima deve ser 2,0 N e, portanto, o peso P da bola é 2,0 N. Também dizemos que a bola pesa 2,0 N. Uma bola com um peso de 3,0 N exigiria uma força maior (3,0 N) para permanecer em equilíbrio. A razão é que a força gravitacional a ser equilibrada tem um módulo maior (3,0 N). Dizemos que a segunda bola é mais pesada que a primeira. Vamos generalizar a situação. Considere um corpo que tem uma aceleração nula em relação ao solo, considerado mais uma vez como referencial inercial. Duas forças atuam sobre o corpo: uma força gravitacional g, dirigida para baixo, e uma força para cima, de módulo P, que a equilibra. Podemos escrever a segunda lei de Newton para um eixo y vertical, com o sentido positivo para cima, na forma Fres,y = may. Em nossa situação, a equação se torna De acordo com a Eq. 5-11 (supondo que o solo é um referencial inercial), O peso P de um corpo é igual ao módulo Fg da força gravitacional que age sobre o corpo. Substituindo Fg por mg, obtemos a equação que relaciona o peso com a massa do corpo. Pesagem. Pesar um corpo significa medir o peso do corpo. Uma forma de fazer isso é colocar o corpo em um dos pratos de uma balança de braços iguais (Fig. 5-5) e colocar corpos de referência (cujas massas sejam conhecidas) no outro prato até que se estabeleça o equilíbrio, ou seja, até que as forças gravitacionais dos dois lados sejam iguais. Como, nessa situação, as massas nos dois pratos são iguais, ficamos conhecendo a massa do corpo. Se conhecemos o valor de g no local em que está situada a balança, podemos calcular o peso do corpo com o auxílio da Eq. 5-12. Também podemos pesar um corpo em uma balança de mola (Fig. 5-6). O corpo distende uma mola, movendo um ponteiro ao longo de uma escala que foi calibrada e marcada em unidades de massa ou de força. (Quase todas as balanças de banheiro são desse tipo e marcadas em quilogramas, ou seja, em unidades de massa.) Se a escala estiver em unidades de massa, fornecerá valores precisos apenas nos lugares em que o valor de g for o mesmo da localidade em que a balança foi calibrada. Para que o peso de um corpo seja medido corretamente, ele não deve possuir uma aceleração vertical em relação ao solo. Assim, por exemplo, se você se pesar no banheiro de casa ou a bordo de um trem em movimento, o resultado será o mesmo. Caso, porém, repita a medição em um elevador acelerado, você obterá uma leitura diferente, por causa da aceleração. Um peso medido dessa forma é chamado de peso aparente. Figura 5-6 Uma balança de mola. A leitura é proporcional ao peso do objeto colocado no prato, e a escala fornece o valor do peso se estiver calibrada em unidades de força. Se, em vez disso, estiver calibrada em unidades de massa, a leitura será igual ao peso do objeto apenas se o valor de g no lugar em que a balança está sendo usada for igual ao valor de g no lugar em que a balança foi calibrada. Atenção: O peso de um corpo não é a mesma coisa que a massa. O peso é o módulo de uma força e está relacionado com a massa através da Eq. 5-12. Se você mover um corpo para um local em que o valor de g é diferente, a massa do corpo (uma propriedade intrínseca) continuará a mesma, mas o peso mudará. Por exemplo: o peso de uma bola de boliche, de massa igual a 7,2 kg, é 71 N na Terra, mas apenas 12 N na Lua. Isso se deve ao fato de que, enquanto a massa é a mesma na Terra e na Lua, a aceleração de queda livre na Lua é apenas 1,6 m/s2, muito menor, portanto, que a aceleração de queda livre na Terra, que é da ordem de 9,8 m/s2. Força Normal Se você fica em pé em um colchão, a Terra o puxa para baixo, mas você permanece em repouso. Isso acontece porque o colchão se deforma sob o seu peso e empurra você para cima. Da mesma forma, se você está sobre um piso, ele se deforma (ainda que imperceptivelmente) e o empurra para cima. Mesmo um piso de concreto aparentemente rígido faz o mesmo (se não estiver apoiado diretamente no solo, um número suficientemente grande de pessoas sobre ele pode quebrá-lo). O empurrão exercido pelo colchão ou pelo piso é uma força normal N. O nome vem do termo matemático normal, que significa perpendicular. A força que o piso exerce sobre você é perpendicular ao piso. Quando um corpo exerce uma força sobre uma superfície, a superfície (ainda que aparentemente rígida) se deforma e empurra o corpo com uma força normal N que é perpendicular à superfície. A Figura 5-7a mostra um exemplo. Um bloco de massa m pressiona uma mesa para baixo, deformando- a, por causa da força gravitacional g a que o bloco está sujeito. A mesa empurra o bloco para cima com uma força normal N. A Fig. 5-7b mostra o diagrama de corpo livre do bloco. As forças g e N são as únicas forças que atuam sobre o bloco, e ambas são verticais. Assim, a segunda lei de Newton para o bloco, tomando um eixo y com o sentido positivo para cima (Fres,y = may), assume a forma FN – Fg = may. Substituindo Fg por mg (Eq. 5-8), obtemos FN – mg = may. O módulo da força normal é, portanto, para qualquer aceleração vertical ay da mesa e do bloco (que poderiam estar, por exemplo, em um elevador acelerado). (Atenção: O sinal de g na Eq. 5-13 é sempre positivo, mas o sinal de ay pode ser positivo ou negativo.) Se a mesa e o bloco não estiverem acelerados em relação ao solo, ay = 0 e, de acordo com a Eq. 5-13, Figura 5-7 (a) Um bloco que repousa sobre uma mesa experimenta uma força normal N perpendicular à superfície da mesa. (b) Diagrama de corpo livre do bloco. Teste 3 Na Fig. 5-7, o módulo da força normal N será maior, menor ou igual a mg se o bloco e a mesa estiverem em um elevador que se move para cima (a) com velocidade constante, e (b) com velocidade crescente? Atrito Quando empurramos ou tentamos empurrar um corpo que está apoiado em uma superfície, a interação dos átomos do corpo com os átomos da superfície faz com que haja uma resistência ao movimento. (Essa interação será discutida no próximo capítulo.) A resistência é considerada como uma única força que recebe o nome de força de atrito, ou simplesmente atrito. Essa força é paralela à superfície e aponta no sentido oposto ao do movimento ou tendência ao movimento (Fig. 5-8). Em algumas situações, para simplificar os cálculos, desprezamos as forças de atrito. Figura 5-8 Uma força de atrito se opõe ao movimento de um corpo sobre uma superfície. Tração Quando uma corda (ou um fio, cabo ou outro objeto do mesmo tipo) é presa a um corpo e esticada, a corda aplica ao corpo uma força orientada na direção da corda (Fig. 5-9a). Essa força é chamada de força de tração porque a corda está sendo tracionada (puxada). A tração da corda é o módulo T da força exercida sobre o corpo. Assim, por exemplo, se a força exercida pela corda sobre o corpo tem um módulo T = 50 N, a tração da corda é 50 N. Uma corda é frequentemente considerada sem massa (o que significa que a massa da corda é desprezível em comparação com a massa do corpo ao qual está presa) e inextensível (o que significa que o comprimento da corda não muda quando é submetida a uma força de tração). Nessas circunstâncias, a corda existe apenas como ligação entre dois corpos: ela exerce sobre os dois corpos forças de mesmo módulo T, mesmo que os dois corpos e a corda estejam acelerando e mesmo que a corda passe por uma polia sem massa e sem atrito (Figs. 5-9b e 5-9c), ou seja, uma polia cuja massa é desprezível em comparação com as massas dos corpos e cujo atrito no eixo de rotação pode ser desprezado. Se a corda dá meia-volta em torno da polia, como na Fig. 5-9c, o módulo da força resultante que a corda exerce sobre a polia é 2T. Teste 4 O corpo suspenso da Fig. 5-9c pesa 75 N. A tração T é igual, maior ou menor que 75 N quando o corpo se move para cima (a) com velocidade constante, (b) com velocidade crescente e (c) com velocidade decrescente? Figura 5-9 (a) A corda esticada está sob tração. Se a massa da corda é desprezível, a corda puxa o corpo e a mão com uma força , mesmo que passe por uma polia sem massa e sem atrito, como em (b) e (c). 5-3 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 5.14 Conhecer a terceira lei de Newton e os pares de forças da terceira lei. 5.15 No caso de um objeto que se move verticalmente, em um plano horizontal ou em um plano inclinado, aplicar a segunda lei de Newton a um diagrama de corpo livre do objeto. 5.16 Em um sistema no qual vários objetos se movem rigidamente ligados uns aos outros, desenhar diagramas de corpo livre e aplicar a segunda lei de Newton aos objetos isoladamente e também ao sistema como um todo. Ideias-Chave • A força resultante res aplicada a um corpo de massa m está relacionada com a aceleração do corpo por meio da equação res – m , que equivale a três equações para as componentes, • Se um corpo C aplica uma força BC a um corpo B, o corpo B aplica uma força CB ao corpo C, e as duas forças estão relacionadas pela equação Isso significa que as duas forças têm módulos iguais e sentidos opostos. A Terceira Lei de Newton Dizemos que dois corpos interagem quando empurram ou puxam um ao outro, ou seja, quando cada corpo exerce uma força sobre o outro. Suponha, por exemplo, que você apoie um livro L em uma caixa C (Fig. 5-10a). Nesse caso, o livro e a caixa interagem: a caixa exerce uma força horizontal LC sobre o livro, e o livro exerce uma força horizontal CL sobre a caixa. Esse par de forças é mostrado na Fig. 5- 10b. A terceira lei de Newton afirma o seguinte: Terceira Lei de Newton: Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce sobre o outro são iguais em módulo e têm sentidos opostos. No caso do livro e da caixa, podemos escrever essa lei como a relação escalar FLC = FCL (módulos iguais) ou como a relação vetorial em que o sinal negativo significa que as duas forças têm sentidos opostos. Podemos chamar as forças entre dois corpos que interagem de par de forças da terceira lei. Sempre que dois corpos interagem, um par de forças da terceira lei está presente. O livro e a caixa da Fig. 5-10a estão em repouso, mas a terceira lei seria válida, mesmo que eles estivessem em movimento uniforme ou acelerado. Figura 5-10 (a) O livro L está apoiado na caixa C. (b) As forças LC (força da caixa sobre o livro) e CL (força do livro sobre a caixa) têm o mesmo módulo e sentidos opostos. Como outro exemplo, vamos examinar os pares de forças da terceira lei que existem no sistema da Fig. 5-11a, constituído por uma laranja, uma mesa e a Terra. A laranja interage com a mesa, e a mesa interage com a Terra (dessa vez, existem três corpos cujas interações devemos estudar). Vamos, inicialmente, nos concentrar nas forças que agem sobre a laranja (Fig. 5-11b). A força LM é a força normal que a mesa exerce sobre a laranja, e a força LT é a força gravitacional que a Terra exerce sobre a laranja. LM e LT formam um par de forças da terceira lei? Não, pois são forças que atuam sobre um mesmo corpo, a laranja, e não sobre dois corpos que interagem. Para encontrar um par da terceira lei, precisamos nos concentrar, não na laranja, mas na interação entre a laranja e outro corpo. Na interação laranja-Terra (Fig. 5-11c), a Terra atrai a laranja com uma força gravitacional LT, e a laranja atrai a Terra com uma força gravitacional TL. Essas forças formam um par de forças da terceira lei? Sim, porque as forças atuam sobre dois corpos que interagem, e a força a que um está submetido é causada pelo outro. Assim, de acordo com a terceira lei de Newton, Figura 5-11 (a) Uma laranja em repouso sobre uma mesa na superfície da Terra. (b) As forças que agem sobre a laranja são LM e LT (c) Par de forças da terceira lei para a interação laranja-Terra. (d) Par de forças da terceira lei para a interação laranja-mesa. Na interação laranja-mesa, a força da mesa sobre a laranja é LM, e a força da laranja sobre a mesa é ML (Fig. 5-11d). Essas forças também formam um par de forças da terceira lei e, portanto, Teste 5 Suponha que a laranja e a mesa da Fig. 5-11 estão em um elevador que começa a acelerar para cima. (a) Os módulos de ML e LM aumentam, diminuem, ou permanecem os mesmos? (b) As duas forças continuam a ser iguais em módulo, com sentidos opostos? (c) Os módulos de LT e TL aumentam, diminuem, ou permanecem os mesmos? (d) As duas forças continuam a ser iguais em módulo, com sentidos opostos? Aplicações das Leis de Newton O resto deste capítulo é composto de exemplos. O leitor deve examiná-los atentamente, observando os métodos usados para resolver cada problema. Especialmente importante é saber traduzir uma dada situação em um diagrama de corpo livre com eixos adequados, para que as leis de Newton possam ser aplicadas. Exemplo 5.03 Bloco deslizante e bloco pendente A Fig. 5-12 mostra um bloco D (o bloco deslizante), de massa M = 3,3 kg. O bloco está livre para se mover em uma superfície 2. P 1. horizontal sem atrito e está ligado, por uma corda que passa por uma polia sem atrito, a um segundo bloco P (o bloco pendente), de massa m = 2,1 kg. As massas da corda e da polia podem ser desprezadas em comparação com a massa dos blocos. Enquanto o bloco pendente P desce, o bloco deslizante D acelera para a direita. Determine (a) a aceleração do bloco D, (b) a aceleração do bloco P e (c) a tração da corda. De que trata o problema? Foram dados dois corpos – o bloco deslizante e o bloco pendente – mas também é preciso levar em conta a Terra, que atua sobre os dois corpos. (Se não fosse a Terra, os blocos não se moveriam.) Como mostra a Fig. 5-13, cinco forças agem sobre os blocos: A corda puxa o bloco D para a direita com uma força de módulo T. A corda puxa o bloco P para cima com uma força cujo módulo também é T. Essa força para cima evita que o bloco caia livremente. Figura 5-12 Um bloco D, de massa M, está conectado a um bloco P, de massa m, por uma corda que passa por uma polia. P 3. 4. 5. P P P P Figura 5-13 As forças que agem sobre os dois blocos da Fig. 5-12. A Terra puxa o bloco D para baixo com uma força gravitacional gD, cujo módulo é Mg. A Terra puxa o bloco P para baixo com uma força gravitacional gP, cujo módulo é mg. A mesa empurra o bloco D para cima com uma força normal N. Existe outro fato digno de nota. Como estamos supondo que a corda é inextensível, se o bloco P desce 1 mm em certo intervalo de tempo, o bloco D se move 1 mm para a direita no mesmo intervalo. Isso significa que os blocos se movem em conjunto e as acelerações dos dois blocos têm o mesmo módulo a. Como posso classificar esse problema? Ele sugere alguma lei da física em particular? Sim. O fato de que as grandezas envolvidas são forças, massas e acelerações sugere a segunda lei de Newton, res = m . Essa é a nossa ideia-chave inicial. Se eu aplicar a segunda lei de Newton ao problema, a que corpo devo aplicá-la? Estamos lidando com o movimento de dois corpos, o bloco deslizante e o bloco pendente. Embora se trate de corpos extensos (não pontuais), podemos tratá-los como partículas porque todas as partes de cada bloco se movem exatamente da mesma forma. Uma segunda ideia-chave é aplicar a segunda lei de Newton separadamente a cada bloco. E a polia? A polia não pode ser tratada como uma partícula porque diferentes partes da polia se movem de modo diferente. Quando discutirmos as rotações, examinaremos com detalhes o caso das polias. No momento, evitamos discutir o comportamento da polia supondo que a massa da polia pode ser desprezada em comparação com as massas dos dois blocos; sua única função é mudar a orientação da corda. Está certo; mas como vou aplicar a equação res = m ao bloco deslizante? Represente o bloco D como uma partícula de massa M e desenhe todas as forças que atuam sobre ele, como na Fig. 5-14a. Esse é o diagrama de corpo livre do bloco. Em seguida, desenhe um conjunto de eixos. O mais natural é desenhar o eixo x paralelo à mesa, apontando para a direita, no sentido do movimento do bloco D. Obrigado; mas você ainda não me disse como vou aplicar a equação res = m ao bloco deslizante; tudo que fez foi explicar como se desenha um diagrama de corpo livre. Você tem razão. Aqui está a terceira ideia-chave: a equação res = m é uma equação vetorial e, portanto, equivale a três equações algébricas, uma para cada componente: em que Fres,x, Fres,y e Fres,z são as componentes da força resultante em relação aos três eixos. Podemos aplicar cada uma dessas equações à direção correspondente. Como o bloco D não possui aceleração vertical, Fres,y = May se torna P Assim, na direção y, o módulo da força normal é igual ao módulo da força gravitacional. Nenhuma força atua na direção z, que é perpendicular ao papel. Na direção x existe apenas uma componente de força, que é T. Assim, a equação Fres,x = Max se torna Como a Eq. (5-18) contém duas incógnitas, T e a, ainda não podemos resolvê-la. Lembre-se, porém, de que ainda não dissemos nada a respeito do bloco pendente. De acordo. Como vou aplicar a equação res = m ao bloco pendente? Do mesmo modo como aplicou ao bloco D: desenhe um diagrama de corpo livre para o bloco P, como na Fig. 5-14b. Em seguida, aplique a equação res = m na forma de componentes. Figura 5-14 (a) Diagrama de corpo livre do bloco D da Fig. 5-12. (b) Diagrama de corpo livre do bloco P da Fig. 5-12. Dessa vez, como a aceleração é ao longo do eixo y, use a parte y da Eq. 5-16 (Fres,y = may) para escrever Podemos agora substituir FgP por mg e ay por −a (o valor é negativo porque o bloco P sofre aceleração no sentido negativo do eixo y). O resultado é Observe que as Eqs. 5-18 e 5-20 formam um sistema de duas equações com duas incógnitas, T e a. Subtraindo as equações uma da outra, eliminamos T. Explicitando a, obtemos: P Substituindo esse resultado na Eq. 5-18, temos: Substituindo os valores numéricos, obtemos: O problema agora está resolvido, certo? Essa pergunta é razoável, mas o problema não pode ser considerado resolvido até que você examine os resultados para ver se fazem sentido. (Se você obtivesse esses resultados no trabalho, não faria questão de conferi-los antes de entregá-los ao chefe?) Examine primeiro a Eq. 5-21. Observe que está dimensionalmente correta e que a aceleração a é sempre menor que g. Isso faz sentido, pois o bloco pendente não está em queda livre; a corda o puxa para cima. Examine em seguida a Eq. 5-22, que pode ser escrita na forma Nessa forma, fica mais fácil ver que a Eq. 5-22 também está dimensionalmente correta, já que tanto T quanto mg têm dimensões de força. A Eq. 5-23 também mostra que a tração da corda é menor que mg; portanto, é menor que a força gravitacional a que está submetido o bloco pendente. Isso é razoável; se T fosse maior que mg, o bloco pendente sofreria uma aceleração para cima. Podemos também verificar se os resultados estão corretos estudando casos especiais para os quais sabemos de antemão qual é a resposta. Um caso simples é aquele em que g = 0, o que aconteceria se o experimento fosse realizado no espaço sideral. Sabemos que, nesse caso, os blocos ficariam imóveis, não existiriam forças nas extremidades da corda e, portanto, não haveria tração na corda. As fórmulas preveem isso? Sim. Fazendo g = 0 nas Eqs. 5-21 e 5-22, encontramos a = 0 e T = 0. Dois outros casos especiais fáceis de examinar são M = 0 e m → ∞. Exemplo 5.04 Corda, bloco e plano inclinado Muitos estudantes consideram os problemas que envolvem rampas (planos inclinados) particularmente difíceis. A dificuldade é provavelmente visual porque, nesse caso, temos de trabalhar (a) com um sistema de coordenadas inclinado e (b) com as componentes da força gravitacional, e não com a força total. Este é um exemplo típico no qual todas as inclinações e todos os ângulos são explicados. Apesar da inclinação, a ideia-chave é aplicar a segunda lei de Newton à direção ao longo da qual ocorre o movimento. Na Fig. 5-15a, uma corda puxa para cima uma caixa de biscoitos ao longo de um plano inclinado sem atrito cujo ângulo é θ = 30o. A massa da caixa é m = 5,00 kg, e o módulo da força exercida pela corda é T = 25,0 N. Qual é a componente a da aceleração da caixa na direção do plano inclinado? IDEIA-CHAVE De acordo com a segunda lei de Newton (Eq. 5-1), a aceleração na direção do plano inclinado depende apenas das componentes das forças paralelas ao plano (não depende das componentes perpendiculares ao plano). Cálculos: Precisamos escrever a segunda lei de Newton para o movimento ao longo de um eixo. Como a caixa se move ao longo do plano inclinado, escolher um eixo x ao longo do plano inclinado parece razoável (Fig. 5-15b). (Não estaria errado usar o sistema de coordenadas de costume, com o eixo x na horizontal e o eixo y na vertical, mas as equações ficariam muito mais complicadas, porque o movimento não ocorreria ao longo de um dos eixos.) Depois de escolher um sistema de coordenadas, desenhamos um diagrama de corpo livre, com um ponto representando a caixa (Fig. 5-15b). Em seguida, desenhamos os vetores das forças que agem sobre a caixa, com a origem dos vetores coincidindo com o ponto. (Desenhar os vetores fora do lugar no diagrama pode levar a erros, especialmente nos exames; certifique-se de que a origem de todos os vetores está no corpo cujo movimento está sendo analisado.) A força exercida pela corda é dirigida para cima, paralelamente ao plano, e tem um módulo T = 25,0 N. A força gravitacional g é vertical, dirigida para baixo, e tem um módulo mg = (5,00 kg)(9,8 m/s2) = 49,0 N. Essa orientação significa que apenas uma componente da força está paralela ao plano, e apenas essa componente (e não a força total) afeta a aceleração da caixa ao longo do plano. Assim, antes de aplicar a segunda lei de Newton ao movimento da caixa ao longo do eixo x, precisamos obter uma expressão para a componente da força gravitacional paralela ao eixo x. Figura 5-15 (a) Uma caixa sobe um plano inclinado, puxada por uma corda. (b) As três forças que agem sobre a caixa: a força da corda , a força gravitacional g e a força normal N. (c)-(i) As componentes de g na direção do plano inclinado e na direção perpendicular. As Figs. 5-15c a 5-15h mostram os passos necessários para determinar essa expressão. Começamos com o ângulo conhecido do plano e montamos um triângulo das componentes da força (as componentes são os catetos, e o módulo da força é a hipotenusa). A Fig. 5-15c mostra que o ângulo entre o plano inclinado e g é 90o − θ. (Você está vendo o triângulo retângulo?) As Figs. 5-15d a 5-15f mostram g e suas componentes. Uma das componentes é paralela ao plano inclinado (é a componente em que estamos interessados) e a outra é perpendicular ao plano inclinado. O ângulo entre a componente perpendicular de g é θ (Figs. 5-15d e 5-15e). A componente que nos interessa é o cateto oposto do triângulo retângulo das componentes (Fig. 5-15f). Como a hipotenusa é mg (o módulo da força gravitacional), o cateto oposto é mg sen θ (Fig. 5-15g). Temos apenas mais uma força envolvida, a força normal g que aparece na Fig. 5-15b. Essa força, porém, é perpendicular ao plano inclinado e, portanto, não pode afetar o movimento ao longo do plano. (Em outras palavras, essa força não possui uma componente ao longo do plano para acelerar a caixa.) Agora estamos em condições de aplicar a segunda lei de Newton ao movimento da caixa ao longo do eixo x: Fres,x = max. A componente ax é a única componente da aceleração diferente de zero (a caixa não salta para fora do plano, o que seria estranho, nem penetra no plano, o que seria ainda mais estranho). Assim, vamos chamar a aceleração ao longo do plano simplesmente de a. Como a força aponta no sentido positivo do eixo x e a componente da força gravitacional mg sen θ aponta no sentido negativo do eixo x, temos: Substituindo por valores numéricos e explicitando a, obtemos: a = 0,100 m/s2. O resultado é positivo, o que indica que a aceleração da caixa é para cima. Se diminuíssemos gradualmente o módulo da força até anular a aceleração, a caixa passaria a se mover com velocidade constante. Se diminuíssemos ainda mais o módulo de , a aceleração se tornaria negativa, apesar da força exercida pela corda. Exemplo 5.05 Força com um ângulo variável Este exemplo envolve a interpretação de um gráfico. A Fig. 5-16a mostra um arranjo no qual duas forças são aplicadas a um bloco de 4,00 kg em um piso sem atrito, mas apenas a força 1 está indicada. A força 1 tem módulo fixo, mas o ângulo θ com o semieixo x positivo pode variar. A força 2 é horizontal e tem módulo constante. A Fig. 5-16b mostra a aceleração horizontal ax do bloco em função de θ no intervalo 0o ≤ θ ≤ 90o. Qual é o valor de ax para θ = 180o? IDEIAS-CHAVE (1) A aceleração horizontal ax depende da força horizontal resultante Fres,x, dada pela segunda lei de Newton. (2) A força horizontal resultante é a soma das componentes horizontais das forças 1 e 2. Cálculos: Como a força 2 é horizontal, a componente x é F2. A componente x de 1 é F1 cos θ. Usando essas expressões e uma massa m de 4,00 kg, podemos escrever a segunda lei de Newton ( res = m ) para o movimento ao longo do eixo x na forma De acordo com a Eq. 5-25, para θ = 90o, F1 cos θ é zero e F2 = 4,00ax. De acordo com o gráfico, a aceleração correspondente é 0,50 m/s2. Assim, F2 = 2,00 N e o sentido de 2 é o sentido positivo do eixo x. Figura 5-16 (a) Uma das duas forças aplicadas a um bloco. O ângulo θ pode variar. (b) Componente ax da aceleração do bloco em função de θ. Fazendo θ = 0o na Eq. 5-25, obtemos: De acordo com o gráfico, a aceleração correspondente é 3,0 m/s2. Substituindo esse valor na Eq. 5-26, obtemos F1 = 10 N. Fazendo F1 = 10 N, F2 = 2,00 N e θ = 180o na Eq. 5-25, temos: Exemplo 5.06 Forças em um elevador Suponha que você se pesasse em um elevador em movimento (os outros passageiros, certamente, iriam ficar assustados). Você pesaria mais, menos ou a mesma coisa que em um elevador parado? Na Fig. 5-17a, um passageiro, de massa m = 72,2 kg, está de pé em uma balança de banheiro no interior de um elevador. Estamos interessados na leitura da balança quando o elevador está parado e quando está se movendo para cima e para baixo. (a) Escreva uma equação que expresse a leitura da balança em função da aceleração vertical do elevador. IDEIAS-CHAVE (1) A leitura é igual ao módulo da força normal N que a balança exerce sobre o passageiro. Como mostra o diagrama de corpo livre da Fig. 5-17b, a única outra força que age sobre o passageiro é a força gravitacional g. (2) Podemos relacionar as forças que agem sobre o passageiro à aceleração usando a segunda lei de Newton ( res = m ). Lembre-se, porém, de que essa lei só se aplica aos referenciais inerciais. Um elevador acelerado não é um referencial inercial. Assim, escolhemos o solo como referencial e analisamos todos os movimentos em relação a esse referencial. Cálculos: Como as duas forças e a aceleração a que o passageiro está sujeito são verticais, na direção do eixo y da Fig. 5-17b, podemos usar a segunda lei de Newton para as componentes y (Fres,y = may) e escrever Figura 5-17 (a) Um passageiro de pé em uma balança que indica o peso ou o peso aparente. (b) O diagrama de corpo livre do passageiro, mostrando a força normal N exercida pela balança e a força gravitacional g. Isso significa que a leitura da balança, que é igual a FN, depende da aceleração vertical. Substituindo Fg por mg, obtemos para qualquer valor da aceleração a. Se a aceleração é para cima, o valor de a é positivo; se a aceleração é para baixo, o valor de a é negativo. (b) Qual é a leitura da balança se o elevador está parado ou está se movendo para cima com uma velocidade constante de 0,50 m/s? IDEIA-CHAVE Para qualquer velocidade constante (zero ou diferente de zero), a aceleração do passageiro é zero. Cálculos: Substituindo esse e outros valores conhecidos na Eq. 5-28, obtemos Esse é o peso do passageiro e é igual ao módulo Fg da força gravitacional a que o passageiro está submetido. (c) Qual é a leitura da balança se o elevador sofre uma aceleração, para cima, de 3,20 m/s2? Qual é a leitura se o elevador sofre uma aceleração, para baixo, de 3,20 m/s2? Cálculos: Para a = 3,20 m/s2, a Eq. 5-28 nos dá e para a = –3,20 m/s2, temos Se a aceleração é para cima (ou seja, se a velocidade de subida do elevador está aumentando ou se a velocidade de descida está diminuindo), a leitura da balança é maior que o peso do passageiro. Essa leitura é uma medida do peso aparente, pois é realizada em um referencial não inercial. Se a aceleração é para baixo (ou seja, se a velocidade de subida do elevador está diminuindo ou a velocidade de descida está aumentando), a leitura da balança é menor que o peso do passageiro. (d) Durante a aceleração, para cima, do item (c), qual é o módulo Fres da força resultante a que está submetido o passageiro, e qual é o módulo ap,el da aceleração do passageiro no referencial do elevador? A equação res = m p,el é obedecida? Cálculo: O módulo Fg da força gravitacional a que está submetido o passageiro não depende da aceleração; assim, de acordo com o item (b), Fg = 708 N. De acordo com o item (c), o módulo FN da força normal a que está submetido o passageiro durante a aceleração para cima é o valor de 939 N indicado pela balança. Assim, a força resultante a que o passageiro está submetido é durante a aceleração para cima. Entretanto, a aceleração do passageiro em relação ao elevador, ap,el, é zero. Assim, no referencial não inercial do elevador acelerado, Fres não é igual a map,el, e a segunda lei de Newton não é obedecida. Exemplo 5.07 Aceleração de um bloco empurrado por outro bloco Alguns problemas de mecânica envolvem objetos que se movem juntos, seja porque um está empurrando o outro, seja porque estão unidos por uma corda. Neste exemplo, a segunda lei de Newton é aplicada a um sistema formado por dois blocos e, em seguida, aos dois blocos separadamente. Na Fig. 5-18a, uma força horizontal constante ap de módulo 20 N é aplicada a um bloco A de massa mA = 4,0 kg, que empurra um bloco B de massa mB = 6,0 kg. Os blocos deslizam em uma superfície sem atrito, ao longo de um eixo x. (a) Qual é a aceleração dos blocos? Erro Grave: Como a força ap é aplicada diretamente ao bloco A, usamos a segunda lei de Newton para relacionar essa força à aceleração do bloco A. Como o movimento é ao longo do eixo x, usamos a lei para as componentes x (Fres,x = max), escrevendo Fap = mAa. Esse raciocínio está errado porque ap não é a única força horizontal a que o bloco A está sujeito; existe também a força AB exercida pelo bloco B (Fig. 5-18b). Solução Frustrada: Vamos incluir a força AB escrevendo, de novo, para o eixo x, Fap – FAB = mAa. Figura 5-18 (a) Uma força horizontal constante ap é aplicada ao bloco A, que empurra o bloco B. (b) Duas forças horizontais agem sobre o bloco A. (c) Apenas uma força horizontal age sobre o bloco B. (Usamos o sinal negativo por causa do sentido de AB.) Como AB é uma segunda incógnita, não podemos resolver essa equação para determinar o valor de a. Solução Correta: O sentido de aplicação da força ap faz com que os dois blocos se movam como se fossem um só. Podemos usar a segunda lei de Newton para relacionar a força aplicada ao conjunto dos dois blocos à aceleração do conjunto dos dois blocos através da segunda lei de Newton. Assim, considerando apenas o eixo x, podemos escrever Fap = (mA + mB)a, em que agora a força aplicada, ap, está relacionada corretamente com a massa total mA + mB. Explicitando a e substituindo os valores conhecidos, obtemos Assim, a aceleração do sistema (e de cada bloco) é no sentido positivo do eixo x e tem um módulo de 2,0 m/s2. (b) Qual é a força (horizontal) BA exercida pelo bloco A sobre o bloco B (Fig. 5-18c)? IDEIA-CHAVE Podemos usar a segunda lei de Newton para relacionar a força exercida sobre o bloco B à aceleração do bloco. Cálculo: Nesse caso, considerando apenas o eixo x, podemos escrever: FBA = mBa, que, substituindo os valores conhecidos, nos dá Assim, a força BA é orientada no sentido positivo do eixo x e tem módulo de 12 N. Revisão e Resumo Mecânica Newtoniana Para que a velocidade de um objeto varie (ou seja, para que o objeto sofra aceleração), é preciso que ele seja submetido a uma força (empurrão ou puxão) exercida por outro objeto. A mecânica newtoniana descreve a relação entre acelerações e forças. Força A força é uma grandeza vetorial cujo módulo é definido em termos da aceleração que imprimiria a uma massa de um quilograma. Por definição, uma força que produz uma aceleração de 1 m/s2 em uma massa de 1 kg tem um módulo de 1 newton (1 N). Uma força tem a mesma orientação que a aceleração produzida pela força. Duas ou mais forças podem ser combinadas segundo as regras da álgebra vetorial. A força resultante é a soma de todas as forças que agem sobre um corpo. Primeira Lei de Newton Quando a força resultante que age sobre um corpo é nula, o corpo permanece em repouso ou se move em linha reta com velocidade escalar constante. Referenciais Inerciais Os referenciais para os quais as leis de Newton são válidas são chamados de referenciais inerciais. Os referenciais para os quais as leis de Newton não são válidas são chamados de referenciais não inerciais. Massa A massa de um corpo é a propriedade que relaciona a aceleração do corpo à força responsável pela aceleração. A massa é uma grandeza escalar. Segunda Lei de Newton A força resultante res que age sobre um corpo de massa m está relacionada com a aceleração do corpo por meio da equação que pode ser escrita em termos das componentes: De acordo com a segunda lei, em unidades do SI, O diagrama de corpo livre é um diagrama simplificado no qual apenas um corpo é considerado. Esse corpo é representado por um ponto ou por um desenho. As forças externas que agem sobre o corpo são representadas por vetores, e um sistema de coordenadas é superposto ao desenho, orientado de modo a simplificar a solução. Algumas Forças Especiais A força gravitacional g exercida sobre um corpo é um tipo especial de atração que um segundo corpo exerce sobre o primeiro. Na maioria das situações apresentadas neste livro, o segundo corpo é a Terra ou outro astro. No caso da Terra, a força é orientada para baixo, em direção ao solo, que é considerado um referencial inercial. Nessas condições, o módulo de g é em que m é a massa do corpo e g é o módulo da aceleração em queda livre. O peso P de um corpo é o módulo da força para cima necessária para equilibrar a força gravitacional a que o corpo está sujeito. O peso de um corpo está relacionado à massa através da equação A força normal N é a força exercida sobre um corpo pela superfície na qual o corpo está apoiado. A força normal é sempre perpendicular à superfície. A força de atrito é a força exercida sobre um corpo quando o corpo desliza ou tenta deslizar em uma superfície. A força é sempre paralela à superfície e tem o sentido oposto ao do deslizamento. Em uma superfície ideal, a força de atrito é desprezível. Quando uma corda está sob tração, cada extremidade da corda exerce uma força sobre um corpo. A força é orientada na direção da corda, para fora do corpo. No caso de uma corda sem massa (uma corda de massa desprezível), as trações nas duas extremidades da corda têm o mesmo módulo T, mesmo que a corda passe por uma polia sem massa e sem atrito (uma polia de massa desprezível cujo eixo tem um atrito desprezível). Terceira Lei de Newton Se um corpo C aplica a um corpo B uma força BC o corpo B aplica ao corpo C uma força CB tal que BC = – CB. Perguntas 1 A Fig. 5-19 mostra diagramas de corpo livre de quatro situações nas quais um objeto, visto de cima, é puxado por várias forças em um piso sem atrito. Em quais dessas situações a aceleração do objeto possui (a) uma componente x e (b) uma componente y? (c) Em cada situação, indique a orientação de citando um quadrante ou um semieixo. (Não há necessidade de usar a calculadora; para encontrar a resposta, basta fazer alguns cálculos de cabeça.) Figura 5-19 Pergunta 1. 2 Duas forças horizontais, puxam uma banana split no balcão sem atrito de uma lanchonete. Determine, sem usar calculadora, qual dos vetores do diagrama de corpo livre da Fig. 5-20 representa corretamente (a) 1 e (b) 2. Qual é a componente da força resultante (c) ao longo do eixo x e (d) ao longo do eixo y? Para que quadrante aponta o vetor (e) da força resultante e (f) da aceleração do sorvete? Figura 5-20 Pergunta 2. 3 Na Fig. 5-21, as forças 1 e 2 são aplicadas a uma caixa que desliza com velocidade constante em uma superfície sem atrito. Diminuímos o ângulo θ sem mudar o módulo de 1. Para manter a caixa deslizando com velocidade constante, devemos aumentar, diminuir, ou manter inalterado o módulo de 2? Figura 5-21 Pergunta 3. 4 No instante t = 0, uma força constante começa a atuar em uma pedra que se move no espaço sideral no sentido positivo do eixo x. (a) Para t > 0, quais são possíveis funções x(t) para a posição da pedra: (1) x = 4t − 3, (2) x = −4t2 + 6t − 3, (3) x = 4t2 + 6t − 3? (b) Para que função tem o sentido contrário ao do movimento inicial da pedra? 5 A Fig. 5-22 mostra vistas superiores de quatro situações nas quais forças atuam sobre um bloco que está em um piso sem atrito. Em que situações é possível, para certos valores dos módulos das forças, que o bloco (a) esteja em repouso e (b) esteja em movimento com velocidade constante? Figura 5-22 Pergunta 5. 6 A Fig. 5-23 mostra uma caixa em quatro situações nas quais forças horizontais são aplicadas. Ordene as situações de acordo com o módulo da aceleração da caixa, começando pelo maior. Figura 5-23 Pergunta 6. 7 Kansas City, em 17 de julho de 1981: O hotel Hyatt Regency, recém-inaugurado, recebe centenas de pessoas, que escutam e dançam sucessos da década de 1940 ao som de uma banda. Muitos se aglomeram nas passarelas que se estendem como pontes por cima do grande saguão. De repente, duas passarelas cedem, caindo sobre a multidão. As passarelas eram sustentadas por hastes verticais e mantidas no lugar por porcas atarraxadas nas hastes. No projeto original, seriam usadas apenas duas hastes compridas, presas no teto, que sustentariam as três passarelas (Fig. 5-24a). Se cada passarela e as pessoas que encontram sobre ela têm massa total M, qual é a massa total sustentada por duas porcas que estão (a) na passarela de baixo e (b) na passarela de cima? Como não é possível atarraxar uma porca em uma haste a não ser nas extremidades, o projeto foi modificado. Em vez das duas hastes, foram usadas seis, duas presas ao teto e quatro ligando as passarelas, duas a duas (Fig. 5-24b). Qual é agora a massa total sustentada por duas porcas que estão (c) na passarela de baixo, (d) no lado de cima da passarela de cima e (e) no lado de baixo da passarela de cima? Foi essa modificação do projeto original que causou a tragédia. Figura 5-24 Pergunta 7. 8 A Fig. 5-25 mostra três gráficos da componente vx(t) de uma velocidade e três gráficos da componente vy(t). Os gráficos não estão em escala. Que gráfico de vx(t) e que gráfico de vy(t) correspondem melhor a cada uma das situações da Pergunta 1 (Fig. 5-19)? Figura 5-25 Pergunta 8. 9 A Fig. 5-26 mostra um conjunto de quatro blocos sendo puxados por uma força F ⃗ em um piso sem atrito. Que massa total é acelerada para a direita (a) pela força F ⃗ (b) pela corda 3 e (c) pela corda 1? (d) Ordene os blocos de acordo com a aceleração, começando pela maior. (e) Ordene as cordas de acordo com a tração, começando pela maior. Figura 5-26 Pergunta 9. 10 A Fig. 5-27 mostra três blocos sendo empurrados em um piso sem atrito por uma força horizontal . Que massa total é acelerada para a direita (a) pela força , (b) pela força 21 exercida pelo bloco 1 sobre o bloco 2 e (c) pela força 32 exercida pelo bloco 2 sobre o bloco 3? (d) Ordene os blocos de acordo com o módulo da aceleração, começando pelo maior. (e) Ordene as forças , 21 e 32 de acordo com o módulo, começando pelo maior. Figura 5-27 Pergunta 10. 11 Uma força vertical é aplicada a um bloco de massa m que está em um piso horizontal. O que acontece com o módulo da força normal N que o piso exerce sobre o bloco quando o módulo de aumenta a partir de zero, se a força aponta (a) para baixo e (b) para cima? 12 A Fig. 5-28 mostra quatro opções para a orientação de uma força de módulo F a ser aplicada a um bloco que se encontra em um plano inclinado. A força pode ser horizontal ou vertical. (No caso da opção b, a força não é suficiente para levantar o bloco, afastando-o da superfície.) Ordene as opções de acordo com o módulo da força normal exercida pelo plano sobre o bloco, começando pela maior. Figura 5-28 Pergunta 12. Problemas . - ... O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema. Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008. Módulo 5-1 A Primeira e a Segunda Lei de Newton ·1 Apenas duas forças horizontais atuam em um corpo de 3,0 kg que pode se mover em um piso sem atrito. Uma força é de 9,0 N e aponta para o leste; a outra é de 8,0 N e atua 62° ao norte do oeste. Qual é o módulo da aceleração do corpo? ·2 Duas forças horizontais agem sobre um bloco de madeira de 2,0 kg que pode deslizar sem atrito em uma bancada de cozinha, situada em um plano xy. Uma das forças é 1 = (3,0 N) + (4,0 N) . Determine a aceleração do bloco na notação dos vetores unitários se a outra força é (a) 2 = (–3,0 N) + (–4,0 N) , (b) 2 = (–3,0 N) + (4,0 N) e (c) 2 = (3,0 N) + (–4,0 N) . ·3 Se um corpo-padrão de 1 kg tem uma aceleração de 2,00 m/s2 a 20,0° com o semieixo x positivo, qual é (a) a componente x e (b) qual é a componente y da força resultante a que o corpo está submetido e (c) qual é a força resultante na notação dos vetores unitários? ··4 Sob a ação de duas forças, uma partícula se move com velocidade constante = (3,0 m/s) – (4 m/s) . Uma das forças é 1 = (2 N) + (–6 N) . Qual é a outra força? ··5 Três astronautas, impulsionados por mochilas a jato, empurram e guiam um asteroide de 120 kg para uma base de manutenção, exercendo as forças mostradas na Fig. 5-29, com F1 = 32 N, F2 = 55 N, F3 = 41 N, θ1 = 30° e θ3 = 60°. Determine a aceleração do asteroide (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo. Figura 5-29 Problema 5. ··6 Em um cabo de guerra bidimensional, Alexandre, Bárbara e Carlos puxam horizontalmente um pneu de automóvel nas orientações mostradas na vista superior da Fig. 5-30. Apesar dos esforços da trinca, o pneu permanece no mesmo lugar. Alexandre puxa com uma força A de módulo 220 N e Carlos puxa com uma força C de módulo 170 N. Observe que a orientação de C não é dada. Qual é o módulo da força B exercida por Bárbara? Figura 5-30 Problema 6. ··7 Duas forças agem sobre a caixa de 2,00 kg vista de cima na Fig. 5-31, mas apenas uma força é mostrada. Para F1 = 20,0 N, a = 12,0 m/s2 e θ = 30,0°, determine a segunda força (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo. Figura 5-31 Problema 7. ··8 Um objeto de 2,00 kg está sujeito a três forças, que imprimem ao objeto uma aceleração = –(8,00 m/s2) + (6,00 m/s2) . Se duas das forças são 1 = (30,0 N) + (16,0 N) e 2 = –(12,0 N) + (8,00 N) , determine a terceira força. ··9 Uma partícula de 0,340 kg se move no plano xy, de acordo com as equações x(t) = −15,00 + 2,00t − 4,00t3 e y(t) = 25,00 + 7,00t − 9,00t2, com x e y em metros e t em segundos. No instante t = 0,700 s, quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que está submetida a partícula, e (c) qual é o ângulo da direção de movimento da partícula? ··10 Uma partícula de 0,150 kg se move ao longo de um eixo x de acordo com a equação x(t) = −13,00 + 2,00t + 4,00t2 − 3,00t3, com x em metros e t em segundos. Qual é, na notação dos vetores unitários, a força que age sobre a partícula no instante t = 3,40 s? ··11 Uma partícula de 2,0 kg se move ao longo de um eixo x sob a ação de uma força variável. A posição da partícula é dada por x = 3,0 m + (4,0 m/s)t + ct2 − (2,0 m/s3)t3, com x em metros e t em segundos. O fator c é constante. No instante t = 3,0 s, a força que age sobre a partícula tem um módulo de 36 N e aponta no sentido negativo do eixo x. Qual é o valor de c? ···12 Duas forças horizontais 1 e 2 agem sobre um disco de 4,0 kg que desliza sem atrito em uma placa de gelo na qual foi desenhado um sistema de coordenadas xy. A força 1 aponta no sentido positivo do eixo x e tem um módulo de 7,0 N. A força 2 tem um módulo de 9,0 N. A Fig. 5-32 mostra a componente vx da velocidade do disco em função do tempo t. Qual é o ângulo entre as orientações constantes das forças 1 e 2? Figura 5-32 Problema 12. Módulo 5-2 Algumas Forças Especials ·13 A Fig. 5-33 mostra um arranjo no qual quatro discos estão suspensos por cordas. A corda mais comprida, no alto, passa por uma polia sem atrito e exerce uma força de 98 N sobre a parede à qual está presa. As trações das cordas mais curtas são T1 = 58,8 N, T2 = 49,0 N e T3 = 9,8 N. Qual é a massa (a) do disco A, (b) do disco B, (c) do disco C e (d) do disco D? Figura 5-33 Problema 13. ·14 Um bloco com um peso de 3,0 N está em repouso em uma superfície horizontal. Uma força para cima de 1,0 N é aplicada ao corpo por meio de uma mola vertical. Qual é (a) o módulo e (b) qual o sentido da força exercida pelo bloco sobre a superfície horizontal? ·15 (a) Um salame de 11,0 kg está pendurado por uma corda em uma balança de mola, que está presa ao teto por outra corda (Fig. 5-34a). Qual é a leitura da balança, cuja escala está em unidades de peso? (b) Na Fig. 5-34b o salame está suspenso por uma corda que passa por uma roldana e está presa a uma balança de mola. A extremidade oposta da balança está presa a uma parede por outra corda. Qual é a leitura da balança? (c) Na Fig. 5-34c a parede foi substituída por um segundo salame de 11,0 kg e o sistema está em repouso. Qual é a leitura da balança? Figura 5-34 Problema 15. ··16 Alguns insetos podem se mover pendurados em gravetos. Suponha que um desses insetos tenha massa m e esteja pendurado em um graveto horizontal, como mostra a Fig. 5-35, com um ângulo θ = 40°. As seis pernas do inseto estão sob a mesma tração, e as seções das pernas mais próximas do corpo são horizontais. (a) Qual é a razão entre a tração em cada tíbia (extremidade da perna) e o peso do inseto? (b) Se o inseto estica um pouco as pernas, a tração nas tíbias aumenta, diminui ou continua a mesma? Figura 5-35 Problema 16. Módulo 5-3 Aplicações das Leis de Newton ·17 Na Fig. 5-36, a massa do bloco é 8,5 kg e o ângulo θ é 30°. Determine (a) a tração da corda e (b) a força normal que age sobre o bloco. (c) Determine o módulo da aceleração do bloco se a corda for cortada. Figura 5-36 Problema 17. ·18 Em abril de 1974, o belga John Massis conseguiu puxar dois vagões de passageiros mordendo um freio de cavalo preso por uma corda aos vagões e se inclinando para trás com as pernas apoiadas nos dormentes da ferrovia. Os vagões pesavam 700 kN (cerca de 80 toneladas). Suponha que Massis tenha puxado com uma força constante com um módulo 2,5 vezes maior que o seu peso e fazendo um ângulo θ de 30o para cima em relação à horizontal. Sua massa era de 80 kg e ele fez os vagões se deslocarem de 1,0 m. Desprezando as forças de atrito, determine a velocidade dos vagões quando Massis parou de puxar. ·19 Qual é o módulo da força necessária para acelerar um trenó foguete de 500 kg até 1600 km/h em 1,8 s, partindo do repouso? ·20 Um carro a 53 km/h se choca com o pilar de uma ponte. Um passageiro do carro se desloca para a frente, de uma distância de 65 cm (em relação à estrada), até ser imobilizado por um airbag inflado. Qual é o módulo da força (suposta constante) que atua sobre o tronco do passageiro, que tem uma massa de 41 kg? ·21 Uma força horizontal constante a empurra um pacote dos correios de 2,00 kg em um piso sem atrito no qual um sistema de coordenadas xy foi desenhado. A Fig. 5-37 mostra as componentes x e y da velocidade do pacote em função do tempo t. Determine (a) o módulo e (b) a orientação de a? Figura 5-37 Problema 21. ·22 Um homem está sentado em um brinquedo de parque de diversões no qual uma cabina é acelerada para baixo, no sentido negativo do eixo y, com uma aceleração cujo módulo é 1,24g e g = 9,80 m/s2. Uma moeda de 0,567 g repousa no joelho do homem. Depois que a cabina começa a se mover e na notação dos vetores unitários, qual é a aceleração da moeda (a) em relação ao solo e (b) em relação ao homem? (c) Quanto tempo a moeda leva para chegar ao teto da cabina, 2,20 m acima do joelho do homem? Na notação dos vetores unitários, qual é (d) a força a que está submetida a moeda e (e) qual é a força aparente a que está submetida a moeda do ponto de vista do homem? ·23 Tarzan, que pesa 820 N, salta de um rochedo na ponta de um cipó de 20,0 m que está preso ao galho de uma árvore e faz inicialmente um ângulo de 22,0° com a vertical. Suponha que um eixo x seja traçado horizontalmente a partir da borda do rochedo e que um eixo y seja traçado verticalmente para cima. Imediatamente após Tarzan pular da encosta, a tração do cipó é 760 N. Para esse instante, determine (a) a força que o cipó exerce sobre Tarzan na notação dos vetores unitários e a força resultante que age sobre Tarzan (b) na notação dos vetores unitários e como (c) o módulo e (d) o ângulo da força em relação ao sentido positivo do eixo x. Qual é (e) o módulo e (f) o ângulo da aceleração de Tarzan nesse instante? ·24 Existem duas forças horizontais atuando na caixa de 2,0 kg da Fig. 5-38, mas a vista superior mostra apenas uma (de módulo F1 = 20 N). A caixa se move ao longo do eixo x. Para cada um dos valores abaixo da aceleração ax da caixa, determine a segunda força na notação dos vetores unitários: (a) 10 m/s2, (b) 20 m/s2, (c) 0, (d) −10 m/s2 e (e) −20 m/s2. Figura 5-38 Problema 24. ·25 Propulsão solar. Um “iate solar” é uma nave espacial com uma grande vela que é empurrada pela luz solar. Embora seja fraco em comparação com as forças a que estamos acostumados, esse empurrão pode ser suficiente para propelir a nave para longe do Sol, em uma viagem gratuita, mas muito lenta. Suponha que a espaçonave tenha uma massa de 900 kg e receba um empurrão de 20 N. (a) Qual é o módulo da aceleração resultante? Se a nave parte do repouso, (b) que distância ela percorre em um dia e (c) qual é a velocidade no final do dia? ·26 A tração para a qual uma linha de pescar arrebenta é chamada de “resistência” da linha. Qual é a resistência mínima necessária para que a linha faça parar um salmão de 85 N de peso em 11 cm se o peixe está inicialmente se deslocando a 2,8 m/s? Suponha uma desaceleração constante. ·27 Um elétron com uma velocidade de 1,2 × 107 m/s penetra horizontalmente em uma região na qual ele está sujeito a uma força vertical constante de 4,5 × 10−16 N. A massa do elétron é 9,11 × 10−31 kg. Determine a deflexão vertical sofrida pelo elétron enquanto percorre uma distância horizontal de 30 mm. ·28 Um carro que pesa 1,30 × 104 N está se movendo a 40 km/h quando os freios são aplicados, fazendo o carro parar depois de percorrer 15 m. Supondo que a força aplicada pelo freio é constante, determine (a) o módulo da força e (b) o tempo necessário para o carro parar. Se a velocidade inicial é multiplicada por dois e o carro experimenta a mesma força durante a frenagem, por qual fator são multiplicados (c) a distância até o carro parar e (d) o tempo necessário para o carro parar? (Isso poderia ser uma lição sobre o perigo de dirigir em alta velocidade.) ·29 Um bombeiro que pesa 712 N escorrega por um poste vertical com uma aceleração de 3,00 m/s2, dirigida para baixo. Quais são (a) o módulo e (b) o sentido (para cima ou para baixo) da força vertical exercida pelo poste sobre o bombeiro e (c) o módulo e (d) o sentido da força vertical exercida pelo bombeiro sobre o poste? ·30 Os ventos violentos de um tornado podem fazer com que pequenos objetos fiquem encravados em árvores, paredes de edifícios, e até mesmo em placas de sinalização de metal. Em uma simulação em laboratório, um palito comum de madeira foi disparado por um canhão pneumático contra um galho de carvalho. A massa do palito era de 0,13 g, a velocidade do palito antes de penetrar no galho era de 220 m/s, e a profundidade de penetração foi de 15 mm. Se o palito sofreu uma desaceleração constante, qual foi o módulo da força exercida pelo galho sobre o palito? ··31 Um bloco começa a subir um plano inclinado sem atrito com uma velocidade inicial v0 = 3,50 m/s. O ângulo do plano inclinado é θ = 32,0°. (a) Que distância vertical o bloco consegue subir? (b) Quanto tempo o bloco leva para atingir essa altura? (c) Qual é a velocidade do bloco ao chegar de volta ao ponto de partida? ··32 A Fig. 5-39 mostra a vista superior de um disco de 0,0250 kg em uma mesa sem atrito e duas das três forças que agem sobre o disco. A força 1 tem um módulo de 6,00 N e um ângulo θ1 = 30,0°. A força 2 tem um módulo de 7,00 N e um ângulo θ2 = 30,0°. Na notação dos vetores unitários, qual é a terceira força se o disco (a) está em repouso, (b) tem uma velocidade constante = (13,0 – 14,0 ) m/s e (c) tem uma velocidade variável = (13,0t – (14,0t ) m/s2, em que t é o tempo? Figura 5-39 Problema 32. ··33 Um elevador e sua carga têm uma massa total de 1600 kg. Determine a tração do cabo de sustentação quando o elevador, que estava descendo a 12 m/s, é levado ao repouso com aceleração constante em uma distância de 42 m. ··34 Na Fig. 5-40, um caixote de massa m = 100 kg é empurrado por uma força horizontal que o faz subir uma rampa sem atrito (θ = 30,0°) com velocidade constante. Qual é o módulo (a) de e (b) da força que a rampa exerce sobre o caixote? Figura 5-40 Problema 34. ··35 A velocidade de uma partícula de 3,00 kg é dada por = (8,00t + 3,00t2 ) m/s, com o tempo t em segundos. No instante em que a força resultante que age sobre a partícula tem um módulo de 35,0 N, qual é a orientação (em relação ao sentido positivo do eixo x) (a) da força resultante e (b) do movimento da partícula? ··36 Um esquiador de 50 kg é puxado para o alto de uma encosta, sem atrito, segurando um cabo paralelo à encosta, que faz um ângulo de 8,0° com a horizontal. Qual é o módulo Fcabo da força que o cabo exerce sobre o esquiador (a) se o módulo v da velocidade do esquiador é constante e igual a 2,0 m/s e (b) se v aumenta a uma taxa de 0,10 m/s2? ··37 Uma moça de 40 kg e um trenó de 8,4 kg estão na superfície sem atrito de um lago congelado, separados por uma distância de 15 m, mas unidos por uma corda de massa desprezível. A moça exerce uma força horizontal de 5,2 N sobre a corda. Qual é o módulo da aceleração (a) do trenó e (b) da moça? (c) A que distância da posição inicial da moça os dois se tocam? ··38 Um esquiador de 40 kg desce uma rampa sem atrito que faz um ângulo de 10° com a horizontal. Suponha que o esquiador se desloca no sentido negativo de um eixo x paralelo à rampa. O vento exerce uma força sobre o esquiador cuja componente em relação ao eixo x é Fx. Quanto vale Fx, se o módulo da velocidade do esquiador (a) for constante, (b) aumentar a uma taxa de 1,0 m/s2 e (c) aumentar a uma taxa de 2,0 m/s2? ··39 Uma esfera, com massa de 3,0 × 10−4 kg, está suspensa por uma corda. Uma brisa horizontal constante empurra a esfera de tal forma que a corda faz um ângulo de 37° com a vertical. Determine (a) a força da brisa sobre a bola e (b) a tração da corda. ··40 Uma caixa, com massa de 5,00 kg, começa a subir, no instante t = 0, uma rampa sem atrito que faz um ângulo θ com a horizontal. A Fig. 5-41 mostra, em função do tempo t, a componente vx da velocidade da caixa em relação a um eixo x paralelo à rampa. Qual é o módulo da força normal que a rampa exerce sobre a caixa? Figura 5-41 Problema 40. ··41 Utilizando um cabo que arrebentará se a tensão exceder 387 N, você precisa baixar uma caixa de telhas velhas, com um peso de 449 N, a partir de um ponto 6,1 m acima do chão. Obviamente, se você simplesmente pendurar a caixa na corda, ela vai arrebentar. Para que isso não aconteça, você permite que a corda acelere para baixo. (a) Qual é o módulo da aceleração da caixa que coloca o cabo na iminência de arrebentar? (b) Com essa aceleração, qual é a velocidade da caixa ao atingir o chão? ··42 No passado, cavalos eram usados para puxar barcaças em canais, como mostra a Fig. 5-42. Suponha que o cavalo puxa o cabo com uma força de módulo 7900 N e ângulo θ = 18° em relação à direção do movimento da barcaça, que se desloca no sentido positivo de um eixo x. A massa da barcaça é 9500 kg e o módulo da aceleração da barcaça é 0,12 m/s2. Qual é (a) o módulo e (b) qual a orientação (em relação ao semieixo x positivo) da força exercida pela água sobre a barcaça? Figura 5-42 Problema 42. ··43 Na Fig. 5-43, uma corrente composta por cinco elos, cada um com 0,100 kg de massa, é erguida verticalmente com uma aceleração constante de módulo a = 2,50 m/s2. Determine o módulo (a) da força exercida pelo elo 2 sobre o elo 1, (b) da força exercida pelo elo 3 sobre o elo 2, (c) da força exercida pelo elo 4 sobre o elo 3 e (d) da força exercida pelo elo 5 sobre o elo 4. Determine o módulo (e) da força exercida pela pessoa que está levantando a corrente sobre o elo 5 e (f) a força resultante que acelera cada elo. Figura 5-43 Problema 43. ··44 Uma lâmpada está pendurada verticalmente por um fio em um elevador que desce com uma desaceleração de 2,4 m/s2. (a) Se a tração do fio é 89 N, qual é a massa da lâmpada? (b) Qual é a tração do fio quando o elevador sobe com uma aceleração de 2,4 m/s2? ··45 Um elevador que pesa 27,8 kN está subindo. Qual é a tração do cabo do elevador se a velocidade (a) está aumentando a uma taxa de 1,22 m/s2 e (b) está diminuindo a uma taxa de 1,22 m/s2? ··46 Um elevador é puxado para cima por um cabo. O elevador e seu único ocupante têm uma massa total de 2000 kg. Quando o ocupante deixa cair uma moeda, a aceleração da moeda em relação ao elevador é 8,00 m/s2 para baixo. Qual é a tração do cabo? ··47 A família Zacchini ficou famosa pelos números de circo em que um membro da família era disparado de um canhão com a ajuda de elásticos ou ar comprimido. Em uma versão do número, Emanuel Zacchini foi disparado por cima de três rodas gigantes e aterrissou em uma rede, na mesma altura que a boca do canhão, a 69 m de distância. Ele foi impulsionado dentro do cano por uma distância de 5,2 m e lançado com um ângulo de 53o. Se sua massa era de 85 kg e ele sofreu uma aceleração constante no interior do cano, qual foi o módulo da força responsável pelo lançamento? (Sugestão: Trate o lançamento como se acontecesse ao longo de uma rampa de 53o. Despreze a resistência do ar.) ··48 Na Fig. 5-44, os elevadores A e B estão ligados por um cabo e podem ser levantados ou baixados por outro cabo que está acima do elevador A. A massa do elevador A é de 1700 kg; a massa do elevador B é de 1300 kg. O piso do elevador A sustenta uma caixa de 12 kg. A tração do cabo que liga os elevadores é 1,91 × 104 N. Qual é o módulo da força normal que o piso do elevador A exerce sobre a caixa? Figura 5-44 Problema 48. ··49 Na Fig. 5-45, um bloco de massa m = 5,00 kg é puxado ao longo de um piso horizontal sem atrito por uma corda que exerce uma força de módulo F = 12,0 N e ângulo θ = 25,0°. (a) Qual é o módulo da aceleração do bloco? (b) O módulo da força F é aumentado lentamente. Qual é o valor do módulo da força imediatamente antes de o bloco perder contato com o piso? (c) Qual é o módulo da aceleração do bloco na situação do item (b)? Figura 5-45 Problemas 49 e 60. ··50 Na Fig. 5-46, três caixas são conectadas por cordas, uma das quais passa por uma polia de atrito e massa desprezíveis. As massas das caixas são mA = 30,0 kg, mB = 40,0 kg e mC = 10,0 kg. Quando o conjunto é liberado a partir do repouso, (a) qual é a tração da corda que liga B a C, e (b) que distância A percorre no primeiro 0,250 s (supondo que não atinja a polia)? Figura 5-46 Problema 50. ··51 A Fig. 5-47 mostra dois blocos ligados por uma corda (de massa desprezível) que passa por uma polia sem atrito (também de massa desprezível). O conjunto é conhecido como máquina de Atwood. Um bloco tem massa m1 = 1,3 kg; o outro tem massa m2 = 2,8 kg. Qual é (a) o módulo da aceleração dos blocos e (b) qual a tração da corda? Figura 5-47 Problemas 51 e 65. ··52 Um homem de 85 kg desce de uma altura de 10,0, m em relação ao solo, pendurado em uma corda que passa por uma roldana sem atrito e está presa na outra extremidade a um saco de areia de 65 kg. Com que velocidade o homem atinge o solo se ele partiu do repouso? ··53 Na Fig. 5-48, três blocos conectados são puxados para a direita em uma mesa horizontal sem atrito por uma força de módulo T3 = 65,0 N. Se m1 = 12,0 kg, m2 = 24,0 kg e m3 = 31,0 kg, calcule (a) o módulo da aceleração do sistema, (b) a tração T1 e (c) a tração T2. Figura 5-48 Problema 53. ··54 A Fig. 5-49 mostra quatro pinguins que estão sendo puxados em uma superfície gelada muito escorregadia (sem atrito) por um zelador. As massas de três pinguins e as trações em duas das cordas são m1 = 12 kg, m3 = 15 kg, m4 = 20 kg, T2 = 111 N e T4 = 222 N. Determine a massa do pinguim m2, que não é dada. Figura 5-49 Problema 54. ··55 Dois blocos estão em contato em uma mesa sem atrito. Uma força horizontal é aplicada ao bloco maior, como mostra a Fig. 5-50. (a) Se m1 = 2,3 kg, m2 = 1,2 kg e F = 3,2 N, determine o módulo da força entre os dois blocos. (b) Mostre que, se uma força de mesmo módulo F for aplicada ao menor dos blocos no sentido oposto, o módulo da força entre os blocos será de 2,1 N, que não é o mesmo valor calculado no item (a). (c) Explique a razão da diferença. Figura 5-50 Problema 55. ··56 Na Fig. 5-51a, uma força horizontal constante a é aplicada ao bloco A, que empurra um bloco B com uma força de 20,0 N dirigida horizontalmente para a direita. Na Fig. 5-51b, a mesma força a é aplicada ao bloco B; desta vez, o bloco A empurra o bloco B com uma força de 10,0 N dirigida horizontalmente para a esquerda. Os blocos têm massa total de 12,0 kg. Qual é o módulo (a) da aceleração na Fig. 5-51a e (b) da força a? Figura 5-51 Problema 56. ··57 Um bloco de massa m1 = 3,70 kg em um plano inclinado sem atrito, de ângulo θ = 30,0°, está preso por uma corda de massa desprezível, que passa por uma polia de massa e atrito desprezíveis, a outro bloco de massa m2 = 2,30 kg (Fig. 5-52). Qual é (a) o módulo da aceleração de cada bloco, (b) qual o sentido da aceleração do bloco que está pendurado e (c) qual a tração da corda? Figura 5-52 Problema 57. ··58 A Fig. 5-53 mostra um homem sentado em um andaime preso a uma corda de massa desprezível que passa por uma roldana de massa e atrito desprezíveis e desce de volta às mãos do homem. A massa total do homem e do andaime é 95,0 kg. Qual é o módulo da força com a qual o homem deve puxar a corda para que o andaime suba (a) com velocidade constante e (b) com uma aceleração, para cima, de 1,30 m/s2? (Sugestão: Um diagrama de corpo livre pode ajudar bastante.) Se no lado direito a corda se estende até o solo e é puxada por outra pessoa, qual é o módulo da força com a qual essa pessoa deve puxar a corda para que o homem suba (c) com velocidade constante e (d) com uma aceleração para cima de 1,30 m/s2? Qual é o módulo da força que a polia exerce sobre o teto (e) no item a, (f) no item b, (g) no item c e (h) no item d? Figura 5-53 Problema 58. ··59 Um macaco de 10 kg sobe em uma árvore por uma corda de massa desprezível que passa por um galho sem atrito e está presa, na outra extremidade, a um caixote de 15 kg, inicialmente em repouso no solo (Fig. 5-54). (a) Qual é o módulo da menor aceleração que o macaco deve ter para levantar o caixote? Se, após o caixote ter sido erguido, o macaco parar de subir e se agarrar à corda, quais são (b) o módulo e (c) o sentido da aceleração do macaco e (d) a tração da corda? Figura 5-54 Problema 59. ··60 A Fig. 5-45 mostra um bloco de 5,00 kg sendo puxado, em um piso sem atrito, por uma corda que aplica uma força de módulo constante de 20,0 N e um ângulo θ(t) que varia com o tempo. Quando o ângulo θ chega a 25o, qual é a taxa de variação da aceleração do bloco (a) se θ(t) = (2,00 × 10−2 graus/s)t e (b) se θ(t) = −(2,00 × 10−2 graus/s)t? (Sugestão: Transforme os graus em radianos.) ··61 Um balão de ar quente de massa M desce verticalmente com uma aceleração para baixo de módulo a. Que massa (lastro) deve ser jogada para fora para que o balão tenha uma aceleração para cima de módulo a? Suponha que a força vertical para cima do ar quente sobre o balão não muda com a perda de massa. ···62 No arremesso de peso, muitos atletas preferem lançar o peso com um ângulo menor que o ângulo teórico (cerca de 42o) para o qual um peso arremessado com a mesma velocidade e da mesma altura atinge a maior distância possível. Uma razão tem a ver com a velocidade que o atleta pode imprimir ao peso durante a fase de aceleração. Suponha que um peso de 7,260 kg seja acelerado ao longo de uma trajetória reta com 1,650 m de comprimento por uma força constante de módulo 380,0 N, começando com uma velocidade de 2,500 m/s (devido ao movimento preparatório do atleta). Qual é a velocidade do peso no final da fase de aceleração se o ângulo entre a trajetória e a horizontal for (a) 30,00o e (b) 42,00o? (Sugestão: Trate o movimento como se fosse ao longo de uma rampa com o ângulo dado.) (c) Qual será a redução percentual da velocidade de lançamento se o atleta aumentar o ângulo de 30,00o para 42,00o? ···63 A Fig. 5-55 mostra, em função do tempo t, a componente Fx da força que age sobre um bloco de gelo de 3,0 kg que pode se deslocar apenas ao longo do eixo x. Em t = 0, o bloco está se movendo no sentido positivo do eixo, a uma velocidade de 3,0 m/s. Qual é (a) o módulo da velocidade do bloco e (b) qual é o sentido do movimento do bloco no instante t = 11 s? Figura 5-55 Problema 63. ···64 A Fig. 5-56 mostra uma caixa de massa m2 = 1,0 kg em um plano inclinado sem atrito de ângulo θ = 30°, que está ligada por uma corda, de massa desprezível, a uma outra caixa de massa m1 = 3,0 kg em uma superfície horizontal sem atrito. A polia não tem atrito e sua massa é desprezível. (a) Se o módulo da força horizontal é 2,3 N, qual é a tração da corda? (b) Qual é o maior valor que o módulo de 2 pode ter sem que a corda fique frouxa? Figura 5-56 Problema 64. ···65 A Fig. 5-47 mostra uma máquina de Atwood, na qual dois recipientes estão ligados por uma corda (de massa desprezível) que passa por uma polia sem atrito (também de massa desprezível). No instante t = 0, o recipiente 1 tem massa de 1,30 kg e o recipiente 2 tem massa de 2,80 kg, mas o recipiente 1 está perdendo massa (por causa de um vazamento) a uma taxa constante de 0,200 kg/s. A que taxa o módulo da aceleração dos recipientes está variando (a) em t = 0 e (b) em t = 3,00 s? (c) Em que instante a aceleração atinge o valor máximo? ···66 A Fig. 5-57 mostra parte de um teleférico. A massa máxima permitida de cada cabina, incluindo os passageiros, é de 2800 kg. As cabinas, que estão penduradas em um cabo de sustentação, são puxadas por um segundo cabo ligado à torre de sustentação de cada cabina. Suponha que os cabos estão esticados e inclinados de um ângulo θ = 35°. Qual é a diferença entre as trações de segmentos vizinhos do cabo que puxa as cabines se as cabinas estão com a máxima massa permitida e estão sendo aceleradas para cima a 0,81 m/s2? Figura 5-57 Problema 66. ···67 A Fig. 5-58 mostra três blocos ligados por cordas que passam por polias sem atrito. O bloco B está em uma mesa sem atrito; as massas são mA = 6,00 kg, mB = 8,00 kg e mC = 10,0 kg. Qual é a tração da corda da direita quando os blocos são liberados? Figura 5-58 Problema 67. ···68 Um arremessador de peso lança um peso de 7,260 kg empurrando-o ao longo de uma linha reta com 1,650 m de comprimento e um ângulo de 34,10o com a horizontal, acelerando o peso até a velocidade de lançamento de 2,500 m/s (que se deve ao movimento preparatório do atleta). O peso deixa a mão do arremessador a uma altura de 2,110 m e com um ângulo de 34,10o e percorre uma distância horizontal de 15,90 m. Qual é o módulo da força média que o atleta exerce sobre o peso durante a fase de aceleração? (Sugestão: Trate o movimento durante a fase de aceleração como se fosse ao longo de uma rampa com o ângulo dado.) Problemas Adicionais 69 Na Fig. 5-59, o bloco A de 4,0 kg e o bloco B de 6,0 kg estão conectados por uma corda, de massa desprezível. A força A = (12 N) atua sobre o bloco A; a força B = (24 N) atua sobre o bloco B. Qual é a tensão da corda? Figura 5-59 Problema 69. 70 Um homem de 80 kg salta de uma janela a 0,50 m de altura para um pátio de concreto. Ele não dobra os joelhos para amortecer o impacto e leva 2,0 cm para parar. (a) Qual é a aceleração média desde o instante em que os pés do homem tocam o solo até o instante em que o corpo se imobiliza? (b) Qual é o módulo da força média que o pátio exerce sobre o homem? 71 A Fig. 5-60 mostra uma caixa de dinheiro sujo (massa m1 = 3,0 kg) sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo θ1 = 30°. A caixa está ligada, por uma corda de massa desprezível, a uma caixa de dinheiro lavado (massa m2 = 2,0 kg) situada sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo θ2 = 60°. A polia não tem atrito e a massa é desprezível. Qual é a tensão da corda? Figura 5-60 Problema 71. 72 Três forças atuam sobre uma partícula que se move com velocidade constante = (2 m/s) – (7 m/s) . Duas das forças são 1 = (2 N) + (3 N) + (–2 N) e 2 = (–5 N) + (8 N) + (–2 N) . Qual é a terceira força? 73 Na Fig. 5-61, uma lata de antioxidantes (m1 = 1,0 kg) em um plano inclinado sem atrito está ligada, por uma corda, a uma lata de apresuntado (m2 = 2,0 kg). A polia tem massa e atrito desprezíveis. Uma força vertical para cima de módulo F = 6,0 N age sobre a lata de apresuntado, que tem uma aceleração para baixo de 5,5 m/s2. Determine (a) a tensão da corda e (b) o ângulo θ. Figura 5-61 Problema 73. 74 As duas únicas forças que agem sobre um corpo têm módulos de 20 N e 35 N e direções que diferem de 80°. A aceleração resultante tem um módulo de 20 m/s2. Qual é a massa do corpo? 75 A Fig. 5-62 é uma vista superior de um pneu de 12 kg que está sendo puxado por três cordas horizontais. A força de uma das cordas (F1 = 50 N) está indicada. As outras duas forças devem ser orientadas de tal forma que o módulo a da aceleração do pneu seja o menor possível. Qual é o menor valor de a se (a) F2 = 30 N, F3 = 20 N; (b) F2 = 30 N, F3 = 10 N; (c) F2 = F3 = 30 N? Figura 5-62 Problema 75. 76 Um bloco de massa M é puxado por uma corda de massa m em uma superfície horizontal sem atrito, como mostra a Fig. 5-63. Uma força horizontal age sobre uma das extremidades da corda. (a) Mostre que a corda deve pender, mesmo que imperceptivelmente. Supondo que a curvatura da corda seja desprezível, determine (b) a aceleração da corda e do bloco, (c) a força da corda sobre o bloco e (d) a força de tração no ponto médio da corda. Figura 5-63 Problema 76. 77 Um operário arrasta um caixote no piso de uma fábrica puxando-o por uma corda. O operário exerce uma força de módulo F = 450 N sobre a corda, que está inclinada de um ângulo θ = 38° em relação à horizontal, e o chão exerce uma força horizontal de módulo f = 125 N que se opõe ao movimento. Calcule o módulo da aceleração do caixote (a) se a massa do caixote for 310 kg e (b) se o peso do caixote for 310 N. 78 Na Fig. 5-64, uma força de módulo 12 N é aplicada a uma caixa de massa m2 = 1,0 kg. A força é dirigida para cima paralelamente a um plano inclinado de ângulo θ = 37°. A caixa está ligada por uma corda a outra caixa de massa m1 = 3,0 kg apoiada em um piso horizontal. O plano inclinado, o piso e a polia não têm atrito, e as massas da polia e da corda são desprezíveis. Qual é a tração da corda? Figura 5-64 Problema 78. 79 Uma partícula tem um peso de 22 N em um local em que g = 9,8 m/s2. Qual é (a) o peso e (b) qual a massa da partícula em um local em que g = 4,9 m/s2? Qual é (c) o peso e (d) qual é a massa da partícula se ela é deslocada para um ponto do espaço sideral em que g = 0? 80 Uma pessoa de 80 kg salta de paraquedas e experimenta uma aceleração para baixo de 2,5 m/s2. A massa do paraquedas é de 5,0 kg. (a) Qual é a força para cima que o ar exerce sobre o paraquedas? (b) Qual é a força que a pessoa exerce sobre o paraquedas? 81 Uma espaçonave decola verticalmente da Lua, em que g = 1,6 m/s2. Se a nave tem uma aceleração vertical para cima de 1,0 m/s2 no instante da decolagem, qual é o módulo da força exercida pela nave sobre o piloto, que pesa 735 N na Terra? 82 Na vista superior da Fig. 5-65, cinco forças puxam uma caixa de massa m = 4,0 kg. Os módulos das forças são F1 = 11 N, F2 = 17 N, F3 = 3,0 N, F4 = 14 N e F5 = 5,0 N; o ângulo θ4 é 30°. Determine a aceleração da caixa (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo. Figura 5-65 Problema 82. 83 Uma força imprime a um objeto de massa m1 uma aceleração de 12,0 m/s2 e a um objeto de massa m2 uma aceleração de 3,30 m/s2. Que aceleração essa mesma força imprimiria a um objeto de massa (a) m2 − m1 e (b) m2 + m1? 84 Você puxa um pequeno refrigerador com uma força constante em um piso encerado (sem atrito), com na horizontal (caso 1) ou com inclinada para cima de um ângulo θ (caso 2). (a) Qual é a razão entre a velocidade do refrigerador no caso 2 e a velocidade no caso 1 se você puxa o refrigerador por certo tempo t? (b) Qual é essa razão se você puxa o refrigerador ao longo de certa distância d? 85 Uma artista de circo de 52 kg precisa descer escorregando por uma corda que arrebentará se a tração exceder 425 N. (a) O que vai acontecer se a artista ficar parada, pendurada na corda? (b) Para que valor da aceleração a corda estará prestes a arrebentar? 86 Calcule o peso de um astronauta de 75 kg (a) na Terra, (b) em Marte, em que g = 3,8 m/s2, e (c) no espaço sideral, em que g = 0. (d) Qual é a massa do astronauta em cada um desses lugares? 87 Um objeto está pendurado em uma balança de mola presa ao teto de um elevador. A balança indica 65 N quando o elevador está parado. Qual é a leitura da balança quando o elevador está subindo (a) com uma velocidade constante de 7,6 m/s e (b) com uma velocidade de 7,6 m/s e uma desaceleração de 2,4 m/s2? 88 Imagine uma espaçonave prestes a aterrissar na superfície de Calisto, uma das luas de Júpiter. Se o motor fornece uma força para cima (empuxo) de 3260 N, a espaçonave desce com velocidade constante; se o motor fornece apenas 2200 N, a espaçonave desce com uma aceleração de 0,39 m/s2. (a) Qual é o peso da espaçonave nas vizinhanças da superfície de Calisto? (b) Qual é a massa da aeronave? (c) Qual é o módulo da aceleração de queda livre próximo à superfície de Calisto? 89 Uma turbina a jato de 1400 kg está presa à fuselagem de um avião comercial por apenas três parafusos (essa é a prática comum). Suponha que cada parafuso suporta um terço da carga. (a) Calcule a força a que cada parafuso é submetido enquanto o avião está parado na pista, aguardando permissão para decolar. (b) Durante o voo, o avião encontra uma turbulência que provoca uma aceleração brusca para cima de 2,6 m/s2. Calcule a força a que é submetido cada parafuso durante essa aceleração. 90 Uma nave interestelar tem uma massa de 1,20 × 106 kg e está inicialmente em repouso em relação a um sistema estelar. (a) Que aceleração constante é necessária para levar a nave, em 3,0 dias, até a velocidade de 0,10c (em que c = 3,0 × 108 m/s é a velocidade da luz)? (b) Qual é o valor da aceleração em unidades de g? (c) Que força é necessária para essa aceleração? (d) Se os motores são desligados quando a velocidade de 0,10c é atingida (fazendo com que a velocidade permaneça constante desse momento em diante), quanto tempo leva a nave (a partir do instante inicial) para viajar 5,0 meses-luz, a distância percorrida pela luz em 5,0 meses? 91 Uma motocicleta e seu piloto de 60,0 kg aceleram a 3,0 m/s2 para subir uma rampa inclinada de 10° em relação à horizontal. Quais são os módulos (a) da força resultante a que é submetido o piloto e (b) da força que a motocicleta exerce sobre o piloto? 92 Calcule a aceleração inicial para cima de um foguete de massa 1,3 × 104 kg se a força inicial para cima produzida pelos motores (empuxo) é 2,6 × 105 N e o foguete parte do nível do mar. Não despreze a força gravitacional a que o foguete está submetido. 93 A Fig. 5-66a mostra um móbile pendurado no teto; o objeto é composto por duas peças de metal (m1 = 3,5 kg e m2 = 4,5 kg) ligadas por cordas de massa desprezível. Qual é a tração (a) da corda de baixo e (b) da corda de cima? A Fig. 5-66b mostra um móbile composto de três peças metálicas. Duas das massas são m3 = 4,8 kg e m5 = 5,5 kg. A tração da corda de cima é 199 N. Qual é a tração (c) da corda de baixo e (d) da corda do meio? Figura 5-66 Problema 93. 94 Por esporte, um tatu de 12 kg escorrega em um grande lago gelado, plano e sem atrito. A velocidade inicial do tatu é 5,0 m/s no sentido positivo do eixo x. Tome como origem a posição inicial do tatu. O animal escorrega no gelo ao mesmo tempo que é empurrado pelo vento com uma força de 17 N no sentido positivo do eixo y. Na notação dos vetores unitários, qual é (a) o vetor velocidade e (b) qual é o vetor posição do tatu depois de deslizar durante 3,0 s? 95 Suponha que na Fig. 5-12 as massas dos blocos sejam de 2,0 kg e 4,0 kg. (a) Qual dessas massas deve ser a do bloco pendurado para que a aceleração seja a maior possível? Qual é, nesse caso, (b) o módulo da aceleração e (c) qual é a tração da corda? 96 Para capturar um nêutron livre, um núcleo deve fazê-lo parar em uma distância menor que o diâmetro do núcleo por meio da interação forte, a força responsável pela estabilidade dos núcleos atômicos, que é praticamente nula fora do núcleo. Supondo que, para ser capturado por um núcleo com um diâmetro d = 1,0 × 10−14 m, um nêutron livre deve ter uma velocidade inicial menor ou igual a 1,4 × 107 m/s, e que a força a que está sujeito o nêutron no interior do núcleo é aproximadamente constante, determine o módulo da interação forte. A massa do nêutron é 1,67 × 10−27 kg. 97 Supondo que a massa-padrão de 1 kg é submetida a apenas duas forças, e determine a força resultante res (a) na notação dos vetores unitários e (b) como um módulo e (c) como um ângulo em relação ao semieixo x positivo. Determine (d) o módulo e (e) o ângulo da aceleração . _______________ 1O disco não é acelerado na direção y porque a componente y da força 3 é equilibrada pela força normal, que será discutida no Módulo 5-2. (N.T.) CAPÍTULO 6 Força e Movimento – II 6-1 ATRITO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 6.01 Saber a diferença entre atrito estático e atrito cinético. 6.02 Determinar o módulo e a orientação de uma força de atrito. 6.03 No caso de objetos em planos horizontais, verticais ou inclinados em situações que envolvam forças de atrito, desenhar diagramas de corpo livre e aplicar a segunda lei de Newton. Ideias-Chave • Quando uma força tende a fazer um objeto deslizar em uma superfície, uma força de atrito associada à superfície age sobre o objeto. A força de atrito, que resulta da interação do objeto com a superfície, é paralela à superfície e se opõe ao movimento. Se o objeto permanece em repouso, a força de atrito é chamada de força de atrito estático e representada pelo símbolo ; se o corpo se move, a força de atrito é chamada de força de atrito cinético e representada pelo símbolo . • Se um objeto está parado, a força de atrito estático e a componente de paralela à superfície têm o mesmo módulo e sentidos opostos. Se a componente horizontal da força aplicada aumenta, a força de atrito estático também aumenta. • O módulo da força de atrito estático tem um valor máximo s,máx dado por fs,máx = μsFN, em que μs é o coeficiente de atrito estático e FN é o módulo da força normal. Se a componente normal de se torna maior que fs,máx, o objeto começa a se mover. • Se um objeto começa a se mover em uma superfície, o módulo da força de atrito diminui rapidamente para um valor constante fk dado por fk = μkFN, em que μk é o coeficiente de atrito cinético. O que É Física? Neste capítulo, concentramos a atenção na física de três tipos comuns de força: a força de atrito, a força de arrasto e a força centrípeta. Ao preparar um carro para as 500 milhas de Indianápolis, um mecânico deve levar em conta os três tipos de força. As forças de atrito que agem sobre os pneus são cruciais para a aceleração do carro ao deixar o boxe e ao sair das curvas (se o carro encontra uma mancha de óleo, os pneus perdem aderência, e o carro pode sair da pista). As forças de arrasto produzidas pelas correntes de 1. 2. 3. ar devem ser minimizadas; caso contrário, o carro consumirá muito combustível e terá que ser reabastecido prematuramente (uma parada adicional de apenas 14 s pode custar a corrida a um piloto). As forças centrípetas são fundamentais nas curvas (se não houver força centrípeta suficiente, o carro não conseguirá fazer a curva). Vamos iniciar a discussão com as forças de atrito. Atrito As forças de atrito são inevitáveis na vida diária. Caso não fôssemos capazes de vencê-las, elas fariam parar todos os objetos que estivessem se movendo e todos os eixos que estivessem girando. Cerca de 20% da gasolina consumida por um automóvel é usada para compensar o atrito das peças do motor e da transmissão. Por outro lado, se não houvesse atrito, não poderíamos fazer o automóvel ir a lugar algum, nem poderíamos caminhar ou andar de bicicleta. Não poderíamos segurar um lápis, e, mesmo que pudéssemos, não conseguiríamos escrever. Pregos e parafusos seriam inúteis, os tecidos se desmanchariam e os nós se desatariam. Três Experimentos. Neste capítulo tratamos de forças de atrito que existem entre duas superfícies sólidas estacionárias ou que se movem uma em relação à outra em baixa velocidade. Considere três experimentos imaginários simples: Dê um empurrão momentâneo em um livro, fazendo-o deslizar em uma mesa. Com o tempo, a velocidade do livro diminui até se anular. Isso significa que o livro sofreu uma aceleração paralela à superfície da mesa, no sentido oposto ao da velocidade. De acordo com a segunda lei de Newton, deve ter existido uma força, paralela à superfície da mesa, de sentido oposto ao da velocidade do livro. Essa força é uma força de atrito. Empurre o livro horizontalmente de modo a fazê-lo se deslocar com velocidade constante ao longo da mesa. A força que você está exercendo pode ser a única força horizontal que age sobre o livro? Não, porque, se fosse assim, o livro sofreria uma aceleração. De acordo com a lei de Newton, deve existir uma segunda força, de sentido contrário ao da força aplicada por você, mas com o mesmo módulo, que equilibra a primeira força. Essa segunda força é uma força de atrito, paralela à superfície da mesa. Empurre um caixote pesado paralelamente ao chão. O caixote não se move. De acordo com a segunda lei de Newton, uma segunda força deve estar atuando sobre o caixote para se opor à força que você está aplicando. Essa segunda força tem o mesmo módulo que a força que você aplicou, mas atua em sentido contrário, de forma que as duas forças se equilibram. Essa segunda força é uma força de atrito. Empurre com mais força. O caixote continua parado. Isso significa que a força de atrito pode aumentar de intensidade para continuar equilibrando a força aplicada. Empurre com mais força ainda. O caixote começa a deslizar. Evidentemente, existe uma intensidade máxima para a força de atrito. Quando você excedeu essa intensidade máxima, o caixote começou a se mover. Dois Tipos de Atrito. A Fig. 6-1 mostra uma situação semelhante. Na Fig. 6-1 a, um bloco está em repouso em uma mesa, com a força gravitacional g equilibrada pela força normal N. Na Fig. 6-1 b, você exerce uma força sobre o bloco, tentando puxá-lo para a esquerda. Em consequência, surge uma força de atrito s para a direita, que equilibra a força que você aplicou. A força s é chamada de força de atrito estático. O bloco permanece imóvel. Figura 6-1 (a) As forças que agem sobre um bloco estacionário. (b-d) Uma força externa , aplicada ao bloco, é equilibrada por uma força de atrito estático s. Quando aumenta, fs também aumenta, até atingir um valor máximo. (e) Quando fs atinge o valor máximo, o bloco “se desprende” e acelera bruscamente na direção de . (f) Para que o bloco se mova com velocidade constante, é preciso reduzir o valor de F. (g) Alguns resultados experimentais para a sequência da (a) a (f). As Figs. 6-1 c e 6-1 d mostram que, quando a intensidade da força aplicada aumenta, a intensidade da força de atrito estático s também aumenta, e o bloco permanece em repouso. Entretanto, quando a força aplicada atinge determinado valor, o bloco “se desprende” da superfície da mesa e sofre aceleração para a esquerda (Fig. 6-1 e). A força de atrito k que se opõe ao movimento na nova situação é chamada de força de atrito cinético. Em geral, a intensidade da força de atrito cinético, que age sobre os objetos em movimento, é menor do que a intensidade máxima da força de atrito estático, que age sobre os objetos em repouso. Assim, para que o bloco se mova na superfície com velocidade constante, provavelmente você terá que diminuir a intensidade da força aplicada depois que o bloco começar a se mover, como mostra a Fig. 6-1f. A Fig. 6-1g mostra o resultado de um experimento no qual a força aplicada a um bloco foi aumentada lentamente até que o bloco começasse a se mover. Observe que a força necessária para manter o bloco em movimento com velocidade constante é menor que a necessária para que o bloco comece a se mover. Visão Microscópica. A força de atrito é, na verdade, a soma vetorial de muitas forças que agem entre os átomos da superfície de um corpo e os átomos da superfície de outro corpo. Se duas superfícies metálicas polidas e limpas são colocadas em contato em alto vácuo (para que continuem limpas), torna- se impossível fazer uma deslizar em relação à outra. Como as superfícies são lisas, muitos átomos de uma das superfícies entram em contato com muitos átomos da outra, e as superfícies se soldam a frio, formando uma única peça de metal. Se dois blocos de metal, muito polidos, usados para calibrar tornos, são colocados em contato no ar, existe menos contato entre os átomos, mas, mesmo assim, os blocos aderem firmemente e só podem ser separados por um movimento de torção. Em geral, porém, esse grande número de contatos entre átomos não existe. Mesmo uma superfície metálica altamente polida está longe de ser uma superfície plana em escala atômica. Além disso, a superfície dos objetos comuns possui uma camada de óxidos e outras impurezas que reduzem a soldagem a frio. Quando duas superfícies comuns são colocadas em contato, somente os pontos mais salientes se tocam. (É como se virássemos os Alpes Suíços de cabeça para baixo e os colocássemos em contato com os Alpes Austríacos.) A área microscópica de contato é muito menor que a aparente área de contato macroscópica, possivelmente 104 vezes menor. Mesmo assim, muitos pontos de contato se soldam a frio. Essas soldas são responsáveis pelo atrito estático que surge quando uma força aplicada tenta fazer uma superfície deslizar em relação à outra. Se a força aplicada é suficiente para fazer uma das superfícies deslizar, ocorre uma ruptura das soldas (no instante em que começa o movimento) seguida por um processo contínuo de formação e ruptura de novas soldas enquanto ocorre o movimento relativo e novos contatos são formados aleatoriamente (Fig. 6-2). A força de atrito cinético k que se opõe ao movimento é a soma vetorial das forças produzidas por esses contatos aleatórios. Se as duas superfícies são pressionadas uma contra a outra com mais força, mais pontos se soldam a frio. Nesse caso, para fazer as superfícies deslizarem uma em relação à outra, é preciso aplicar uma força maior, ou seja, o valor da força de atrito estático s é maior. Se as superfícies estão deslizando uma em relação à outra, passam a existir mais pontos momentâneos de soldagem a frio, de modo que a força de atrito cinético k também é maior. Frequentemente, o movimento de deslizamento de uma superfície em relação à outra ocorre “aos solavancos” porque os processos de soldagem e ruptura se alternam. Esses processos repetitivos de aderência e deslizamento podem produzir sons desagradáveis, como o cantar de pneus no asfalto, o barulho de uma unha arranhando um quadro-negro e o rangido de uma dobradiça enferrujada. Podem também produzir sons melodiosos, como os de um violino bem tocado. Figura 6-2 Mecanismo responsável pela força de atrito cinético. (a) A placa de cima está deslizando para a direita em relação à placa de baixo. (b) Nesta vista ampliada são mostrados dois pontos onde ocorreu soldagem a frio. É necessária uma força para romper as soldas e manter o movimento. Propriedades do Atrito A experiência mostra que, quando um corpo seco não lubrificado pressiona uma superfície nas mesmas condições e uma força tenta fazer o corpo deslizar ao longo da superfície, a força de atrito resultante possui três propriedades: Propriedade 1. Se o corpo não se move, a força de atrito estático s e a componente de paralela à superfície se equilibram. As duas forças têm módulos iguais e s tem o sentido oposto ao da componente de . Propriedade 2. O módulo de s possui um valor máximo fs,máx que é dado por em que μs é o coeficiente de atrito estático e FN é o módulo da força normal que a superfície exerce sobre o corpo. Se o módulo da componente de paralela à superfície excede fs,máx, o corpo começa a deslizar na superfície. Propriedade 3. Se o corpo começa a deslizar na superfície, o módulo da força de atrito diminui rapidamente para um valor fk dado por em que μk é o coeficiente de atrito cinético. Daí em diante, então, durante o deslizamento, uma força de atrito cinético k de módulo dado pela Eq. 6-2 se opõe ao movimento. O módulo FN da força normal aparece nas Propriedades 2 e 3 como uma medida da força com a qual o corpo pressiona a superfície. De acordo com a terceira lei de Newton, se o corpo pressiona com mais força, FN é maior. As Propriedades 1 e 2 foram expressas em termos de uma única força aplicada , mas também são válidas para a resultante de várias forças aplicadas ao corpo. As Eqs. 6-1 e 6-2 não são equações vetoriais; os vetores s e k são sempre paralelos à superfície e têm o sentido oposto ao da tendência de deslizamento; o vetor FN é perpendicular à superfície. Os coeficientes μs e μk são adimensionais e devem ser determinados experimentalmente. Seus valores dependem das propriedades tanto do corpo como da superfície; por isso, qualquer menção aos coeficientes de atrito costuma ser seguida pela preposição “entre”, como em “o valor de μs entre um ovo e uma frigideira de Teflon é 0,04, mas o valor entre uma bota de alpinista e uma pedra pode chegar a 1,2”. Em geral, supomos que o valor de μk não depende da velocidade com a qual o corpo desliza ao longo da superfície. Teste 1 Um bloco repousa em um piso. (a) Qual é o módulo da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco? (b) Se uma força horizontal de 5 N é aplicada ao bloco, mas o bloco não se move, qual é o módulo da força de atrito? (c) Se o valor máximo fs,máx da força de atrito estático que age sobre o bloco é 10 N, o bloco se move se o módulo da força aplicada horizontalmente for aumentado para 8 N? (d) E se o módulo da força for aumentado para 12 N? (e) Qual é o módulo da força de atrito no item (c)? Exemplo 6.01 Força inclinada aplicada a um bloco inicialmente em repouso Este exemplo envolve a aplicação de uma força inclinada em relação à superfície na qual repousa um bloco, o que torna necessário o uso de componentes da força aplicada para determinar a força de atrito. A maior dificuldade está em separar de forma correta as componentes. A Fig. 6-3a mostra uma força de módulo F = 12,0 N aplicada a um bloco de 8,0 kg. A força faz um ângulo θ = 30° para baixo com a superfície em que o bloco repousa. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é μs = 0,700 e o coeficiente de atrito cinético é μk = 0,400. O bloco começa a se mover quando a força é aplicada ou permanece em repouso? Qual é o valor do módulo da força de atrito que age sobre o bloco? IDEIAS-CHAVE (1) Quando um objeto está em repouso em uma superfície, a força de atrito estático equilibra a componente paralela à superfície da força que está tentando mover o objeto. (2) O valor máximo possível da força de atrito estático é dado pela Eq. 6-1 (fs,máx = μsfN). (3) Se a componente paralela à superfície for maior que o limite da força de atrito estático, o bloco começará a se mover. (4) Quando um objeto está em movimento, a força de atrito é chamada de força de atrito cinético e seu valor é dado pela Eq. 6-2 (fk = μkFN). Cálculos: Para saber se o bloco começa a se mover quando a força é aplicada, precisamos comparar a componente Fx (componente paralela à superfície) da força aplicada com o valor máximo fs,máx da força de atrito estático. De acordo com o triângulo da Fig. 6- 3b, De acordo com a Eq. 6-1, fs,máx = μsFN, o que significa que precisamos conhecer o módulo da força N para calcular fs,máx. Como a força normal é vertical, aplicamos a segunda lei de Newton às componentes verticais das forças que agem sobre o bloco, o que nos dá Fres,y = may. As componentes aparecem na Fig. 6-3c. A força gravitacional, cujo módulo é mg, aponta para baixo. A componente vertical da força aplicada também aponta para baixo e é dada por Fy = F sen θ. A força normal, cujo módulo é FN, aponta para cima. Como a aceleração ay é zero, temos o que nos dá Agora podemos calcular fs,máx = μsFN: Como a componente horizontal da força aplicada ao bloco, Fx = 10,39 N, é menor que a força máxima de atrito estático, fs,máx (= 59,08 N), o bloco permanece em repouso. A aplicação da segunda lei de Newton às componentes horizontais das forças que agem sobre o bloco nos dá Fres,x = max. As componentes aparecem na Fig. 6-3d. A componente horizontal da força aplicada aponta para a direita e a força de atrito aponta para a esquerda. Como a aceleração ax é zero, temos: ou seja, a força de atrito fs é igual a Fx. Figura 6-3 (a) Uma força é aplicada a um bloco inicialmente em repouso. (b) As componentes da força aplicada. (c) As componentes verticais das forças que agem sobre o bloco. (d) As componentes horizontais das forças que agem sobre o bloco. Exemplo 6.02 Derrapagens em estradas escorregadias, horizontais e inclinadas Alguns vídeos curiosos da internet mostram derrapagens em estradas escorregadias. Vamos comparar as distâncias que um carro que se move a uma velocidade inicial de 10,0 m/s (36 km/h) percorre até parar em uma pista horizontal seca, em uma pista horizontal coberta de gelo e (o caso mais divertido) em uma ladeira coberta de gelo. (a) Que distância um carro percorre até parar em uma pista horizontal seca (Fig. 6-4a) se o coeficiente de atrito cinético é μk = 0,60, um valor típico para pneus em bom estado em uma rua asfaltada? Vamos supor que as rodas estão travadas e que o carro está se movendo no sentido positivo de um eixo x. IDEIAS-CHAVE (1) A velocidade do carro diminui (o carro sofre uma aceleração) porque uma força de atrito horizontal age sobre os pneus no sentido negativo do eixo x. (2) Uma vez que as rodas estão travadas, a força de atrito é uma força de atrito cinético dada pela Eq. 6-2, fk = μkFN, em que FN é a força normal que o pavimento exerce sobre o carro. (3) Podemos relacionar a força de atrito à aceleração aplicando a segunda lei de Newton às componentes horizontais das forças que agem sobre o carro, o que nos dá Fres, x = max. Cálculos: A Fig. 6-4b mostra o diagrama de corpo livre do carro. A força normal aponta para cima, a força gravitacional aponta para baixo e a força de atrito é horizontal. Como a força de atrito é a única força com uma componente horizontal, a lei de Newton para as componentes horizontais nos dá Fazendo fk = μkFN, obtemos Como mostra a Fig. 6-4b, a força normal é equilibrada pela força gravitacional. Isso significa que podemos substituir FN por mg. Com isso, a massa m pode ser cancelada na Eq. 6-9 (ou seja, a distância percorrida pelo carro até parar não depende da massa do carro; o fato de o carro ser leve ou pesado não faz diferença). Explicitando ax, ax = – μkg. (6-10) Como a aceleração é constante, podemos usar as equações da Tabela 2-1. A mais direta para calcularmos a distância percorrida x − x0 é a Eq. 2-16, v2 = v + 2a (x – x0), que nos dá Substituindo ax pelo seu valor, dado pela Eq. 6-10, obtemos Fazendo v0 = 10,0 m/s, v = 0, μk = 0,60 e g = 9,8 m/s2, obtemos (b) Qual é a distância percorrida pelo carro se a pista está coberta de gelo e o coeficiente de atrito cinético diminui para μk = 0,10? Figura 6-4 (a) Um carro derrapando até parar, depois de um deslocamento x - x0. Diagrama de corpo livre do carro (b) em uma rua plana e (c) em uma ladeira. Cálculos: Como a Eq. 6-12 também é válida para este caso, basta substituir o valor de μk para uma pista seca pelo valor para uma pista coberta de gelo, o que nos dá x – x0 = 51 m. (Resposta) O resultado mostra que a distância percorrida é muito maior, o que aumenta consideravelmente o risco de colisão com um obstáculo qualquer. (c) Vamos agora considerar o caso de um carro que esteja descendo uma ladeira com uma inclinação de θ = 5,00° (uma inclinação suave, muito menor que a das ladeiras de Salvador). O diagrama de corpo livre da Fig. 6-4c é como o da Fig. 5-15b, exceto pelo fato de que, por coerência com a Fig. 6-4b, o sentido positivo do eixo x é para baixo. Qual é a distância que o carro percorre até parar? Cálculo: A passagem da situação da Fig. 6-4b para a situação da Fig. 6-4c envolve duas mudanças importantes. (1) Agora, a força gravitacional possui uma componente paralela ao piso, e, portanto, paralela à direção do movimento do carro. De acordo com a Fig. 5-15g, o valor dessa componente é mg sen θ, no sentido positivo do eixo x, como mostra a Fig. 6-4c. (2) Agora, a força normal equilibra apenas a componente da força gravitacional perpendicular ao piso. Como, de acordo com a Fig. 5-15i, o valor dessa componente é mg cos θ, temos FN = mg cos θ. Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento ao longo do eixo x (Fres,x = max), obtemos Explicitando a aceleração e substituindo os valores conhecidos, temos: Substituindo os valores da velocidade e da aceleração na Eq. 6-11, obtemos: o que equivale a quase meio quilômetro! Essas ladeiras geladas separam as pessoas que conhecem um pouco de física (e sabem quando é hora de ficar em casa) das pessoas que não conhecem (e acabam aparecendo em um vídeo da internet). 6-2 FORÇA DE ARRASTO E VELOCIDADE TERMINAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de ... 6.04 Aplicar a relação que existe entre a força de arrasto a que está sujeito um objeto imerso em um fluido e a velocidade relativa entre o objeto e o fluido. 6.05 Calcular a velocidade terminal de um objeto em queda no ar. Ideias-Chave • Sempre que existe um movimento relativo entre o ar (e outro fluido qualquer) e um corpo, o corpo experimenta uma força de arrasto que se opõe ao movimento relativo e aponta na direção do movimento do fluido em relação ao corpo. O módulo de está relacionado ao módulo da velocidade relativa por meio da equação em que C é uma constante empírica denominada coeficiente de arrasto, r é a massa específica do fluido, A é a seção reta efetiva do corpo (área da seção reta do corpo perpendicular a ). • A velocidade de um objeto em queda no ar aumenta até que a força de arrasto seja igual à força gravitacional g. A partir desse momento, o corpo passa a cair com velocidade constante, conhecida como velocidade terminal, cujo valor é dado por Força de Arrasto e Velocidade Terminal Um fluido é uma substância, em geral um gás ou um líquido, capaz de escoar. Quando existe uma velocidade relativa entre um fluido e um corpo sólido (seja porque o corpo se move na presença do fluido, seja porque o fluido passa pelo corpo), o corpo experimenta uma força de arrasto que se opõe ao movimento relativo e é paralela à direção do movimento relativo do fluido. Examinaremos aqui apenas os casos em que o fluido é o ar, o corpo é rombudo (como uma bola) e não fino e pontiagudo (como um dardo) e o movimento relativo é suficientemente rápido para produzir uma turbulência no ar (formação de redemoinhos) atrás do corpo. Nesse caso, o módulo da força de arrasto está relacionado ao módulo da velocidade relativa por meio da equação em que C é um parâmetro determinado experimentalmente, conhecido como coeficiente de arrasto, ρ é a massa específica do ar (massa por unidade de volume) e A é a área da seção reta efetiva do corpo (a área de uma seção reta perpendicular à velocidade ). O coeficiente de arrasto C (cujos valores típicos variam de 0,4 a 1,0) não é, na verdade, constante para um dado corpo, já que pode mudar de valor para grandes velocidades; mas vamos ignorar esse tipo de complicação. Os esquiadores sabem muito bem que a força de arrasto depende de A e de v2. Para alcançar altas velocidades, um esquiador procura reduzir o valor de D, adotando, por exemplo, a “posição de ovo” (Fig. 6-5) para minimizar A. Karl-Josef Hildenbrand/dpa/Landov LLC Figura 6-5 A esquiadora se agacha na “posição de ovo” para minimizar a área da seção reta efetiva e assim reduzir a força de arrasto. Queda. Quando um corpo rombudo cai a partir do repouso, a força de arrasto produzida pela resistência do ar aponta para cima e seu módulo cresce gradualmente, a partir do zero, à medida que a velocidade do corpo aumenta. A força para cima se opõe à força gravitacional g, dirigida para baixo. Podemos relacionar essas forças à aceleração do corpo escrevendo a segunda lei de Newton para um eixo vertical y (Fres,y = may), como em que m é a massa do corpo. Como mostra a Fig. 6-6, se o corpo cai por um tempo suficiente, D acaba se tornando igual a Fg. De acordo com a Eq. 6-15, isso significa que a = 0 e, portanto, a velocidade do corpo para de aumentar. O corpo passa, então, a cair com velocidade constante, a chamada velocidade terminal vt. Para determinar vt, fazemos a = 0 na Eq. 6-15 e substituímos o valor de D, dado pela Eq. 6-14, obtendo A Tabela 6-1 mostra os valores de vt para alguns objetos comuns. Figura 6-6 Forças a que está submetido um corpo em queda livre no ar. (a) O corpo no momento em que começa a cair; a única força presente é a força gravitacional. (b) Diagrama de corpo livre durante a queda, incluindo a força de arrasto. (c) A força de arrasto aumentou até se tornar igual à força gravitacional. O corpo agora cai com velocidade constante, a chamada velocidade terminal. Tabela 6-1 Algumas Velocidades Terminais no Ar Objeto Velocidade terminal (m/s) Distância para 95%a (m) Peso (do arremesso de peso) 145 2500 Paraquedista em queda livre (típico) 60 430 Bola de beisebol 42 210 Bola de tênis 31 115 Bola de basquete 20 47 Bola de pingue-pongue 9 10 Gota de chuva (raio = 1,5 mm) 7 6 Paraquedista (típico) 5 3 aDistância de queda necessária para atingir 95% da velocidade terminal. Fonte: Adaptado de Peter J. Brancazio, Sport Science, 1984, Simon & Schuster, New York. De acordo com cálculos* baseados na Eq. 6-14, um gato precisa cair cerca de seis andares para atingir a velocidade terminal. Até que isso aconteça, Fg > D e o gato sofre uma aceleração para baixo porque a força resultante é diferente de zero. Como vimos no Capítulo 2, nosso corpo é um acelerômetro e não um velocímetro. Como o gato também sente a aceleração, ele fica assustado e mantém as patas abaixo do corpo, encolhe a cabeça e encurva a espinha para cima, reduzindo a área A, aumentando vt e provavelmente se ferindo na queda. Entretanto, se o gato atinge vt durante uma queda mais longa, a aceleração se anula e o gato relaxa um pouco, esticando as patas e o pescoço horizontalmente para fora e endireitando a espinha (o que o faz ficar parecido com um esquilo voador). Isso produz um aumento da área A e, consequentemente, de acordo com a Eq. 6-14, um aumento da força de arrasto D. O gato começa a diminuir de velocidade, já que, agora, D > Fg (a força resultante aponta para cima), até que uma velocidade terminal vt menor seja atingida. A diminuição de vt reduz a possibilidade de que o gato se machuque na queda. Pouco antes do fim da queda, ao perceber que o chão está próximo, o gato coloca novamente as patas abaixo do corpo, preparando-se para o pouso. Steve Fitchett/Taxi/Getty Images Figura 6-7 Paraquedistas na “posição de águia”, que maximiza a força de arrasto. Os seres humanos muitas vezes saltam de grandes alturas apenas pelo prazer de “voar”. Em abril de 1987, durante um salto, o paraquedista Gregory Robertson percebeu que a colega Debbie Williams havia desmaiado ao colidir com um terceiro paraquedista e, portanto, não tinha como abrir o paraquedas. Robertson, que estava muito acima de Debbie e ainda não tinha aberto o paraquedas para a descida de 4 mil metros, colocou-se de cabeça para baixo para minimizar A e maximizar a velocidade da queda. Depois de atingir uma velocidade terminal estimada de 320 km/h, alcançou a moça e assumiu a “posição de águia” (como na Fig. 6-7) para aumentar D e conseguir agarrá-la. Ele abriu o paraquedas da moça e em seguida, após soltá-la, abriu o próprio paraquedas, quando faltavam apenas 10 segundos para o impacto. Williams sofreu várias lesões internas devido à falta de controle na aterrissagem, mas sobreviveu. Exemplo 6.03 Velocidade terminal de uma gota de chuva Uma gota de chuva, de raio R = 1,5 mm, cai de uma nuvem que está a uma altura h = 1200 m acima do solo. O coeficiente de arrasto C da gota é 0,60. Suponha que a gota permanece esférica durante toda a queda. A massa específica da água, ρa, é 1000 kg/m3 e a massa específica do ar, ρar, é 1,2 kg/m3. (a) De acordo com a Tabela 6-1, a gota atinge a velocidade terminal depois de cair apenas alguns metros. Qual é a velocidade terminal? IDEIA-CHAVE A gota atinge a velocidade terminal vt quando a força gravitacional e a força de arrasto se equilibram, fazendo com que a aceleração seja nula. Poderíamos aplicar a segunda lei de Newton e a equação da força de arrasto para calcular vt, mas a Eq. 6-16 já faz isso para nós. Cálculo: Para usar a Eq. 6-16, precisamos conhecer a área efetiva da seção reta A e o módulo Fg da força gravitacional. Como a gota é esférica, A é a área de um círculo (πR2) com o mesmo raio que a esfera. Para determinar Fg, usamos três fatos:(1) Fg = mg, em que m é a massa da gota; (2) o volume da gota (esférica) é V = πR3; (3) a massa específica da água da gota é igual à massa por unidade de volume: πa = m/V. Assim, temos Fg = Vρag = πR3ρag. Em seguida substituímos esse resultado, a expressão para A e os valores conhecidos na Eq. 6-16. Tomando cuidado para não confundir a massa específica do ar, ρar, com a massa específica da água, ρa, obtemos: Note que a altura da nuvem não entra no cálculo. (b) Qual seria a velocidade da gota imediatamente antes do impacto com o chão, se não existisse a força de arrasto? IDEIA-CHAVE Na ausência da força de arrasto para reduzir a velocidade da gota durante a queda, a gota cairia com a aceleração constante de queda livre g e, portanto, as equações do movimento com aceleração constante da Tabela 2-1 podem ser usadas. Cálculos: Como sabemos que a aceleração é g, a velocidade inicial v0 é zero e o deslocamento x − x0 é −h, usamos a Eq. 2-16 para calcular v: Se Shakespeare soubesse disso, dificilmente teria escrito: “Gota a gota ela cai, tal como a chuva benéfica do céu”. Na verdade, essa é a velocidade de uma bala disparada por uma arma de grosso calibre! 6-3 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo, você será capaz de... 6.06 Desenhar a trajetória de um corpo que descreve um movimento circular uniforme e explicar o comportamento dos vetores velocidade, aceleração e força durante o movimento. 6.07 Saber que, para um corpo descrever um movimento circular uniforme, ele deve ser submetido a uma força radial, conhecida como força centrípeta. 6.08 Conhecer a relação entre o raio da trajetória de um corpo que descreve um movimento circular uniforme e a velocidade do corpo, a massa do corpo e a força resultante que age sobre o corpo. Ideias-Chave • Se uma partícula descreve uma circunferência ou um arco de circunferência de raio R com velocidade constante v, dizemos que a partícula está descrevendo um movimento circular uniforme. Nesse caso, a partícula possui uma aceleração centrípeta cujo módulo é dado por • A aceleração centrípeta é produzida por uma força centrípeta cujo módulo é dado por em que m é a massa da partícula. Os vetores e apontam para o centro de curvatura da trajetória da partícula. Movimento Circular Uniforme Como vimos no Módulo 4-5, quando um corpo descreve uma circunferência (ou um arco de circunferência) com velocidade escalar constante v, dizemos que esse corpo se encontra em movimento circular uniforme. Vimos também que o corpo possui uma aceleração centrípeta (dirigida para o centro da circunferência) de módulo constante dado por 1. 2. em que R é o raio do círculo. Vamos examinar dois exemplos de movimento circular uniforme: Fazendo uma curva de carro. Você está sentado no centro do banco traseiro de um carro que se move em alta velocidade em uma estrada plana. Quando o motorista faz uma curva brusca para a esquerda e o carro descreve um arco de circunferência, você escorrega para a direita no assento e fica comprimido contra a porta do carro durante o resto da curva. O que está acontecendo? Enquanto o carro está fazendo a curva, ele se encontra em movimento circular uniforme, ou seja, possui uma aceleração dirigida para o centro da circunferência. De acordo com a segunda lei de Newton, deve haver uma força responsável por essa aceleração. Além disso, a força também deve estar dirigida para o centro da circunferência. Assim, trata-se de uma força centrípeta, expressão em que o adjetivo indica a direção da força. Neste exemplo, a força centrípeta é a força de atrito exercida pela estrada sobre os pneus; é graças a essa força que o carro consegue fazer a curva. Para você descrever um movimento circular uniforme junto com o carro, também deve existir uma força centrípeta agindo sobre você. Entretanto, aparentemente, a força centrípeta de atrito exercida pelo assento não foi suficiente para fazê-lo acompanhar o movimento circular do carro. Assim, o assento deslizou por baixo de você até a porta direita do carro se chocar com o seu corpo. A partir desse momento, a porta forneceu a força centrípeta necessária para fazer você acompanhar o carro no movimento circular uniforme. Girando em torno da Terra. Desta vez, você está a bordo da Estação Espacial Internacional, em órbita em torno da Terra, e flutua como se não tivesse peso. O que está acontecendo? Tanto você como o ônibus espacial estão em movimento circular uniforme e possuem uma aceleração dirigida para o centro da circunferência. Novamente, pela segunda lei de Newton, forças centrípetas são a causa das acelerações. Desta vez, as forças centrípetas são atrações gravitacionais (a atração sobre você e a atração sobre o ônibus espacial) exercidas pela Terra e dirigidas para o centro da Terra. Tanto no carro como no ônibus espacial, você está em movimento circular uniforme sob a ação de uma força centrípeta, mas experimenta sensações bem diferentes nas duas situações. No carro, comprimido contra a porta traseira, você tem consciência de que está sendo submetido a uma força. No ônibus espacial, está flutuando e tem a impressão de que não está sujeito a nenhuma força. Qual é a razão da diferença? A diferença se deve à natureza das duas forças centrípetas. No carro, a força centrípeta é a compressão a que é submetida a parte do seu corpo que está em contato com a porta do carro. Você pode sentir essa compressão. No ônibus espacial, a força centrípeta é a atração gravitacional da Terra sobre todos os átomos do seu corpo. Assim, nenhuma parte do corpo sofre uma compressão, e você não sente nenhuma força. (A sensação é conhecida como “ausência de peso”, mas essa descrição é enganosa. A atração exercida pela Terra sobre você certamente não desapareceu e, na verdade, é apenas ligeiramente menor que a que existe quando você está na superfície da Terra.) A Fig. 6-8 mostra outro exemplo de força centrípeta. Um disco de metal descreve uma circunferência com velocidade constante v, preso por uma corda a um eixo central. Desta vez, a força centrípeta é a tração exercida radialmente pela corda sobre o disco. Sem essa força, o disco se moveria em linha reta em vez de se mover em círculos. Observe que a força centrípeta não é um novo tipo de força; o nome simplesmente indica a direção da força. A força centrípeta pode ser uma força de atrito, uma força gravitacional, a força exercida pela porta de um carro, a força exercida por uma corda, ou qualquer outra força. Em todas essas situações, Uma força centrípeta acelera um corpo, modificando a direção da velocidade do corpo sem mudar a velocidade escalar. De acordo com a segunda lei de Newton e a Eq. 6-17 (a = v2/R), podemos escrever o módulo F de uma força centrípeta (ou de uma força centrípeta resultante) como Como a velocidade escalar v, nesse caso, é constante, os módulos da aceleração centrípeta e da força centrípeta também são constantes. Por outro lado, as direções da aceleração centrípeta e da força centrípeta não são constantes; variam continuamente de modo a apontar sempre para o centro do círculo. Por essa razão, os vetores força e aceleração são, às vezes, desenhados ao longo de um eixo radial r que se move com o corpo e se estende do centro do círculo até o corpo, como na Fig. 6-8. O sentido positivo do eixo aponta radialmente para fora, mas os vetores aceleração e força apontam para dentro ao longo da direção radial. Teste 2 Como toda criança sabe, a roda-gigante é um brinquedo de parque de diversões com assentos montados em uma grande roda que gira em torno de um eixo horizontal. Quando você anda de roda-gigante com velocidade constante, qual é a direção da sua aceleração e da força normal N exercida pelo assento (que está sempre na vertical) quando você passa (a) pelo ponto mais alto e (b) pelo ponto mais baixo da roda? (c) O módulo de no ponto mais alto da roda é maior ou menor que no ponto mais baixo? (d) O módulo de N no ponto mais alto da roda é maior ou menor que no ponto mais baixo? Figura 6-8 Vista, de cima, de um disco de metal que se move com velocidade constante v em uma trajetória circular de raio R em uma superfície horizontal sem atrito. A força centrípeta que age sobre o disco é , a tração da corda, dirigida para o centro da circunferência ao longo do eixo radial r que passa pelo disco. Exemplo 6.04 Diavolo executa um loop vertical Graças aos automóveis, estamos mais acostumados com o movimento circular horizontal do que com o movimento circular vertical. Neste exemplo, um movimento circular vertical parece violar a força da gravidade. Em 1901, em um espetáculo de circo, Allo “Dare Devil” Diavolo apresentou pela primeira vez um número de acrobacia que consistia em descrever um loop vertical pedalando uma bicicleta (Fig. 6-9a). Supondo que o loop seja um círculo, de raio R = 2,7 m, qual é a menor velocidade v que Diavolo podia ter na parte mais alta do loop para permanecer em contato com a pista? Fotografia reproduzida com permissão do Circus World Museum Figura 6-9 (a) Cartaz da época anunciando o número de Diavolo e (b) diagrama de corpo livre do artista na parte mais alta do loop. IDEIA-CHAVE Podemos supor que Diavolo e sua bicicleta passam pela parte mais alta do loop como uma única partícula em movimento circular uniforme. No alto, a aceleração da partícula deve ter um módulo a = v2/R dado pela Eq. 6-17 e estar voltada para baixo, em direção ao centro do loop circular. Cálculos: As forças que agem sobre a partícula quando esta se encontra na parte mais alta do loop são mostradas no diagrama de corpo livre da Fig. 6-9b. A força gravitacional g aponta para baixo ao longo do eixo y; o mesmo acontece com a força normal N exercida pelo loop sobre a partícula. A segunda lei de Newton para as componentes y (Fres,y = may) nos dá 1. 2. 4. 3. Se a partícula possui a menor velocidade v necessária para permanecer em contato com a pista, ela está na iminência de perder contato com o loop (cair do loop), o que significa que FN = 0 no alto do loop (a partícula e o piso se tocam, mas não há força normal). Substituindo FN por 0 na Eq. 6-19, explicitando v e substituindo os valores conhecidos, obtemos Comentários: Diavolo sempre se certificava de que sua velocidade no alto do loop era maior que 5,1 m/s, a velocidade mínima necessária para não perder contato com o loop e cair. Note que essa velocidade não depende da massa de Diavolo e sua bicicleta. Mesmo que tivesse se empanturrado antes de se apresentar, a velocidade mínima necessária para não cair do loop seriam os mesmos 5,1 m/s. Exemplo 6.05 Carro em uma curva não compensada Correndo de cabeça para baixo: Os carros de corrida modernos são projetados de tal forma que o ar em movimento os empurra para baixo, permitindo que façam as curvas em alta velocidade sem derrapar. Essa força para baixo é chamada de sustentação negativa. Um carro de corrida pode ter uma sustentação negativa suficiente para andar de cabeça para baixo no teto de um túnel, como fez um carro fictício no filme MIB – Homens de Preto? A Fig. 6-10a mostra um carro de corrida, de massa m = 600 kg, em uma pista plana na forma de um arco de circunferência de raio R = 100 m. Devido à forma do carro e aos aerofólios, o ar exerce sobre o carro uma sustentação negativa S dirigida para baixo. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,75. (Suponha que as forças sobre os quatro pneus são iguais.) (a) Se o carro está na iminência de derrapar para fora da curva quando a velocidade é 28,6 m/s, qual é o módulo de S? IDEIAS-CHAVE Como a trajetória do carro é um arco de circunferência, ele está sujeito a uma força centrípeta; essa força aponta para o centro de curvatura do arco (no caso, é uma força horizontal). A única força horizontal a que o carro está sujeito é a força de atrito exercida pela pista sobre os pneus. Assim, a força centrípeta é uma força de atrito. Como o carro não está derrapando, a força de atrito é a força de atrito estático (Fig. 6-10a). Como o carro está na iminência de derrapar, o módulo fs da força de atrito é igual ao valor máximo fs,máx = μsFN, em que FN é o módulo da força normal N que a pista exerce sobre o carro. Cálculos para a direção radial: A força de atrito é mostrada no diagrama de corpo livre da Fig. 6-10b. Ela aponta no sentido negativo do eixo radial r que se estende do centro de curvatura até o carro. A força produz uma aceleração centrípeta de módulo v2/R. Podemos relacionar a força e a aceleração escrevendo a segunda lei de Newton para as componentes ao longo do eixo r (Fres,r = mar) na forma Substituindo fs por fs,máx = μsFN, temos Cálculos para a direção vertical: Vamos considerar em seguida as forças verticais que agem sobre o carro. A força normal N aponta para cima, no sentido positivo do eixo y da Fig. 6-10b. A força gravitacional g = m e a sustentação negativa S apontam para baixo. A aceleração do carro ao longo do eixo y é zero. Assim, podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao longo do eixo y (Fres,y = may) na forma Combinação dos resultados: Agora podemos combinar os resultados ao longo dos dois eixos explicitando FN na Eq. 6-21 e substituindo na Eq. 6-22. Fazendo isso e explicitando FS, obtemos (b) Da mesma forma que a força de arrasto (Eq. 6-14), a sustentação negativa do carro é proporcional a v2, o quadrado da velocidade do carro. Assim, a sustentação negativa é maior quando o carro está se movendo mais depressa, como acontece quando se desloca em um trecho reto da pista. Qual é o módulo da sustentação negativa para uma velocidade de 90 m/s? Essa sustentação é suficiente para que um carro possa andar de cabeça para baixo no teto de um túnel? IDEIA-CHAVE FS é proporcional a v2. Cálculos: Podemos escrever a razão entre a sustentação negativa Fs,90 para v = 90 m/s e o nosso resultado para a sustentação negativa FS correspondente a v = 28,6 m/s como Fazendo FS = 663,7 N e explicitando Fs,90, obtemos Correndo de cabeça para baixo: A força gravitacional é, naturalmente, a força a ser vencida para que o carro possa correr de cabeça para baixo: Figura 6-10 (a) Um carro de corrida descreve uma curva em uma pista plana com velocidade escalar constante v. A força centrípeta necessária para que o carro faça a curva é a força de atrito , orientada segundo um eixo radial r. (b) Diagrama de corpo livre do carro (fora de escala), em um plano vertical passando por r. Com o carro de cabeça para baixo, a sustentação negativa é uma força para cima de 6600 N, que excede a força gravitacional para baixo de 5880 N. Assim, um carro de corrida pode se sustentar de cabeça para baixo contanto que a velocidade seja da ordem de 90 m/s (= 324 km/h). Entretanto, como andar a essa velocidade é muito perigoso, mesmo em uma pista reta e com o carro na posição normal, não espere ver esse truque realizado fora do cinema. Exemplo 6.06 Carro em uma curva compensada Este problema é difícil de formular em termos matemáticos, mas pode ser resolvido em poucas linhas. Precisamos levar em conta, não só o movimento circular, mas também o movimento em um plano inclinado. Entretanto, não é necessário usar um sistema de coordenadas em que um dos eixos é paralelo e o outro é perpendicular ao plano inclinado, como nos problemas anteriores envolvendo planos inclinados. Em vez disso, escolhemos um instante do movimento e trabalhamos com um eixo x horizontal e um eixo y vertical. O primeiro passo para podermos aplicar a segunda lei de Newton é identificar a força responsável pelo movimento circular uniforme. As curvas das rodovias costumam ser compensadas (inclinadas) para evitar que os carros derrapem. Quando a estrada está seca, a força de atrito entre os pneus e o piso é suficiente para evitar derrapagens, mesmo sem compensação. Quando a pista está molhada, porém, a força de atrito diminui muito e a compensação se torna necessária. A Fig. 6-11a mostra um carro, de massa m, que se move com velocidade constante v de 20 m/s em uma pista circular compensada com R = 190 m de raio. (Trata-se de um carro normal e não de um carro de corrida, o que significa que não existe sustentação negativa.) Se a força de atrito exercida pelo piso é desprezível, qual é o menor valor do ângulo de elevação θ para o qual o carro não derrapa? IDEIAS-CHAVE Ao contrário do que acontece no exemplo anterior, a pista possui uma inclinação para que a força normal N que age sobre o carro tenha uma componente na direção do centro da curva (Fig. 6-11b). Assim, N possui agora uma componente centrípeta, de módulo FNr, na direção radial r. Queremos calcular o valor do ângulo de inclinação θ para que essa componente centrípeta mantenha o carro na pista circular sem necessidade do atrito. Cálculo na direção radial: Como mostra a Fig. 6-11b (e o leitor pode verificar), o ângulo que a força N faz com a vertical é igual ao ângulo de inclinação θ da pista. Assim, a componente radial FNr é igual a FN sen θ, e a segunda lei de Newton para as componentes ao longo do eixo r (Fres,r = mar) assume a seguinte forma: Não podemos obter o valor de θ usando apenas a Eq. 6-23 porque ela envolve as incógnitas FN e m. Cálculo na direção vertical: Vamos considerar as forças e acelerações ao longo do eixo y da Fig. 6-11b. A componente vertical da força normal é FNy = FN cos θ, a força gravitacional g tem módulo mg, e a aceleração do carro ao longo do eixo y é zero. Assim, a segunda lei de Newton para as componentes ao longo do eixo y (Fres,y = may) assume a seguinte forma: FN cos θ – mg = m(0), donde 1- Uma motocicleta parte do repouso e acelera conforme mostra a figura 1 abaixo. Determine (a) a velocidade escalar da motocicleta em t = 4,00 s e em t = 14,0 s, e (b) a distância percorrida nos primeiros 14,0 s. Resolução: a) Nos primeiros 4 segundos a moto tem uma aceleração constante de 5 𝑚/𝑠2, segundo o gráfico acima. E a fórmula para encontrar a velocidade é: 𝑉 = 𝑉0 + 𝑎𝑡 Como a moto parte do repouso, a velocidade inicial é 0 𝑚/𝑠. 𝑉 = 0 + (5 𝑚/𝑠2). (4 𝑠) 𝑉 = 20 𝑚/𝑠 Até os 12 segundos a moto mantém a velocidade de 20 𝑚/𝑠, porém, dos 12 aos 14 há uma aceleração contrária ao movimento inicial. Sendo descrita por: 𝑉 = 20 𝑚/𝑠 + (−4 𝑚/𝑠2). (2 𝑠) 𝑉 = 12 𝑚/𝑠 b) Para encontrarmos a distância percorrida usamos a fórmula abaixo: 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 + 1 2 𝑎𝑡2 Durante os 4 primeiros segundos temos: 𝑆 = 0 + 0. (4 𝑠) + 1 2 (5 𝑚/𝑠2)(4 𝑠)2 𝑆 = 40 𝑚 Até os 12 segundos a moto tem velocidade constante, logo: 𝑆 = 𝑣𝑡 𝑆 = (20 𝑚/𝑠)(8 𝑠) 𝑆 = 160 𝑚 Por fim, temos todos os dados para encontrar a distância final. 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 + 1 2 𝑎𝑡2 𝑆 = 200 𝑚 + (12 𝑚/𝑠)(2 𝑠) + 1 2 (4 𝑚/𝑠2)(2 𝑠)2 𝑆 = 232 𝑚 2- Um menino gira uma pedra presa a uma corda segundo um círculo horizontal acima de sua cabeça. O raio do círculo é de 0,96m e o tempo de uma revolução é de 1,1s. a) Qual o módulo da velocidade da pedra? b) Qual o módulo da aceleração? Resolução: a) O módulo da velocidade pode ser encontrado pela fórmula abaixo: 𝑇 = 2𝜋𝑟 𝑣 Onde, o 𝑇 é o período de revolução e 𝑟 o raio. 𝑣 = 2𝜋𝑟 𝑇 Substituindo os valores: 𝑣 = 2𝜋(0,96 𝑚) 1,1 𝑠 𝑣 = 5,48 𝑚/𝑠 b) E a aceleração é dada pela seguinte fórmula: 𝑎 = 𝑣2 𝑟 Substituindo os valores: 𝑎 = (5,48 𝑚/𝑠)2 0,96 𝑚 𝑎 = 31,28 𝑚/𝑠2 3- Um coelho corre por um jardim de forma que os componentes x e y de seu deslocamento como função dos tempos são dados por 𝑥(𝑡) = −0,45𝑡2 − 6,5𝑡 + 25 e 𝑦(𝑡) = 0,35𝑡2 + 8,3𝑡 + 34. (Tanto x quanto y estão em metros e t está em segundos.) a) Calcule a posição do coelho (módulo e orientação) em t= 10 s. b) Calcule a velocidade do coelho em t = 10 s. c) Determine o vetor aceleração em t = 10 s. Resolução: a) Em 𝑡 = 10 𝑠, as componentes escalares são descritas por: 𝑥 = −0,45(10)2 − 6,5(10) + 25 = −85 𝑚 𝑦 = 0,35(10)2 + 8,3(10) + 34 = 152 𝑚 O que nos dá o seguinte vetor posição: 𝑟⃗ = −(85 𝑚)𝑖̂ + (152 𝑚)𝑗̂ Para encontrarmos o módulo e a orientação, fazemos o seguinte: 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−85 𝑚)2 + (152 𝑚)2 = 174,15 𝑚 𝜃 = tan−1 𝑦 𝑥 = tan−1 (152 𝑚 −85 𝑚) = −60,79𝑜 b) A velocidade pode ser encontrada derivando a posição e aplicando o tempo. Para a componente 𝑥. 𝑣𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 (−0,45𝑡2 − 6,5𝑡 + 25) 𝑣𝑥 = −0,90𝑡 − 6,5 Aplicando 𝑡 = 10 𝑠. 𝑣𝑥 = −15,5 𝑚/𝑠 Componente 𝑦. 𝑣𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 (0,35𝑡2 + 8,3𝑡 + 34) 𝑣𝑦 = 0,70𝑡 + 8,3 Aplicando 𝑡 = 10 𝑠. 𝑣𝑦 = 15,3 𝑚/𝑠 Por fim, a velocidade é dada pelo módulo das velocidades acima: 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 = √(−15,5 𝑚/𝑠)2 + (15,3 𝑚/𝑠)2 = 21,78 𝑚/𝑠 c) A aceleração é obtida derivando a velocidade, logo: Para a componente 𝑥. 𝑎𝑥 = 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 (−0,90𝑡 − 6,5) 𝑎𝑥 = −0,90 𝑚/𝑠2 Para a componente 𝑦. 𝑎𝑦 = 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 (0,70𝑡 + 8,3) 𝑎𝑦 = 0,70 𝑚/𝑠2 Por fim, o vetor aceleração é: 𝑎⃗ = (−0,90 𝑚/𝑠2)𝑖̂ + (0,70 𝑚/𝑠2)𝑗̂ 4- Uma bola de futebol americano, lançada sobre um campo plano, percorre uma distância horizontal de 17m antes de atingir o solo. O ponto de liberação da bola está a 1,5m acima do solo e o ângulo de projeção com relação à horizontal é de 16°. Qual a velocidade inicial da bola? Resolução: A imagem abaixo descreve a trajetória da bola: Quando a bola atinge o solo, as coordenadas que a descrevem são 𝑥 = 17 𝑚 e 𝑦 = −1,5 𝑚. E para o movimento oblíquo temos as seguintes equações. 𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 . 𝑡 𝑦 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛 𝜃 . 𝑡 − 𝑔𝑡2 2 Isolando o tempo na primeira equação e substituindo na segunda chegamos a: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑥 − 𝑔 2𝑣0 2. cos2 𝜃 𝑥2 Simplificando 𝑠𝑒𝑛 𝜃/𝑐𝑜𝑠𝜃 = tan 𝜃. 𝑦 = tan 𝜃 . 𝑥 − 𝑔 2𝑣0 2. cos2 𝜃 𝑥2 Substituindo os valores dados pelo enunciado. −1,5 = tan 16𝑜 . (17) − 9,8 2𝑣0 2. cos2 16𝑜 . 172 Resolvendo a equação acima, encontramos: 𝑣0 = 15,5 𝑚/𝑠 5- Você joga um balão d’água da janela de seu quarto, 80,0 m acima da cabeça de seu amigo. Em 2,00 s após jogar o balão, sem perceber que tem água dentro, seu amigo dispara um dardo de uma pistola, que está na mesma altura que sua cabeça, diretamente para cima em direção ao balão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s. a) Em quanto tempo o dardo explodirá o balão após ele ser solto? b) Quanto tempo após o dardo atingir o balão seu amigo terá que sair do caminho da água que cai em sua direção? Presuma que o balão freia instantaneamente no contato com o dardo. Resolução: a) A trajetória, na vertical, que o balão segue é descrita por: 𝑦𝑏 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 + 1 2 𝑎𝑡2 Onde, a aceleração é negativa, sendo a aceleração da gravidade, e a velocidade inicial é 0 𝑚/𝑠. 𝑦𝑏 = 80 + 1 2 (−9,8)𝑡2 𝑦𝑏 = 80 − (4,9)𝑡2 E a trajetória do dardo é: 𝑦𝑑 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 + 1 2 𝑎𝑡2 Sendo o ponto inicial 0 𝑚, a aceleração da gravidade também, e a velocidade inicial dada pelo enunciado. Porém, o tempo é 2 segundos atrasado. 𝑦𝑑 = (20)(𝑡 − 2) − (4,9)(𝑡 − 2)2 𝑦𝑑 = −4,9𝑡2 + 39,6𝑡 − 59,6 Portanto, para encontrar o tempo de intersecção entre o balão e o dardo igualamos as equações acima: 80 − (4,9)𝑡2 = −4,9𝑡2 + 39,6𝑡 − 59,6 39,6𝑡 = 139,6 𝑡 = 3,525 𝑠 b) Para encontrar o tempo que o balão chega até o amigo, igualamos a equação do balão a zero, depois subtraímos do tempo que o dardo atinge o balão: 𝑦𝑏 = 80 − 4,9𝑡2 = 0 4,9𝑡2 = 80 𝑡 = √80 4,9 = 4,04 𝑠 Encontrando o tempo de reação necessário: 𝑡 = 4,04 − 3,525 𝑡 = 0,516 𝑠 6- Um avião voa 483 km para leste, da cidade A para a cidade B, em 45,0 min, e depois 966 km para o sul, da cidade B para a cidade C, em 1,50 h. Determine, para a viagem inteira, (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento do avião, (c) o módulo e (d) a direção da velocidade média e (e) a velocidade escalar média. Resolução: a) Primeiro precisamos definir as direções de cada eixo e vamos usar 𝑖̂ para leste e 𝑗̂ para o norte. O deslocamento para leste é: 𝑟⃗𝐴𝐵 = (483 𝑘𝑚)𝑖̂ Para o norte: 𝑟⃗𝐵𝐶 = (−966 𝑘𝑚)𝑗̂ Logo, o deslocamento total é: 𝑟⃗ = (483 𝑘𝑚)𝑖̂ + (−966 𝑘𝑚)𝑗̂ E o módulo: |𝑟| = √(483)2 + (−966)2 = 1,08.103 𝑘𝑚 b) A direção é encontrada pelo ângulo que a trajetória do avião forma: E o ângulo 𝜃 pode ser encontrado pela fórmula que abaixo: tan 𝜃 = 𝑐𝑜 𝑐𝑎 tan 𝜃 = −966 483 𝜃 = tan−1 (− 966 483) = −63,4𝑜 Sendo um ângulo de 63,4𝑜 ao sul do leste. c) O módulo da velocidade é encontra pela seguinte fórmula: 𝑣𝑚 = |𝑟| 𝑡 𝑣𝑚 = 1,08.103 𝑘𝑚 2,25 ℎ 𝑣𝑚 = 480 𝑘𝑚/ℎ d) A direção da velocidade média é a mesma do deslocamento, sendo um ângulo de 63,4𝑜 ao sul do leste. e) Por fim, a velocidade escalar média é descrita por: 𝑣𝑒𝑚 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑡 𝑣𝑒𝑚 = 483 𝑘𝑚 + 966 𝑘𝑚 2,25 ℎ 𝑣𝑒𝑚 = 644 𝑘𝑚/ℎ 7- Um vento moderado acelera um seixo em um plano horizontal 𝑥𝑦 com uma aceleração constante 𝑎⃗ = (5,00 𝑚/𝑠²)𝑖̂ + (7,00 𝑚/𝑠²)𝑗̂.No instante t = 0, a velocidade é (4,00 𝑚/𝑠)𝑖̂. Dado o exposto, responda: a) Qual o módulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao eixo 𝑥? b) Qual o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo 𝑥? Resolução: a) O enunciado nos diz que a aceleração é constante, portanto, pode ser descrita pela equação abaixo: ∆𝑆 = 𝑣0𝑡 + 𝑎𝑡2 2 Nós temos um movimento apenas na direção 𝑥. Substituindo os valores: 12 = 4𝑡 + 5𝑡2 2 5𝑡2 + 8𝑡 − 24 = 0 Usando Bháskara para resolver a equação acima: 𝑡 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑡 = −8 ± √82 − 4.5. (−24) 2.5 𝑡1 = 1,53 𝑡2 = −3,13 Queremos apenas 𝑡 ≥ 0. Logo, usaremos 𝑡 = 1,53 𝑠. Agora, temos que calcular as velocidades em cada componente com a equação 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡. 𝑣𝑥 = 4 + 5.1,53 = 11,65 𝑚/𝑠 𝑣𝑦 = 0 + 7.1,53 = 10,71 𝑚/𝑠 Por fim, podemos achar o módulo da velocidade: |𝑣| = √11,652 + 10,712 = 15,82 𝑚/𝑠 b) Já sabem como é calculado o ângulo, certo? 𝜃 = tan−1 (𝑣𝑥 𝑣𝑦 ) = tan−1 (10,71 11,65) 𝜃 = 42,6𝑜 8- A velocidade de lançamento de um projétil é cinco vezes maior que a velocidade na altura máxima. Determine o ângulo de lançamento 𝜃 desse projétil. Resolução: Quando temos um projétil na altura máxima, a velocidade da componente 𝑦 é zero. Portanto, temos que: 𝑣𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 E o enunciado nos diz que na altura máxima a velocidade é: 𝑣 = 𝑣0 5 Logo, substituindo as equações definidas. 𝑣0 5 = 𝑣0 cos 𝜃 1 5 = cos 𝜃 𝜃 = cos−1 1 5 𝜃 = 78,46𝑜 9- Dois segundos após ter sido lançado a partir do solo, um projétil deslocou-se 40 m horizontalmente e 53 m verticalmente em relação ao ponto de lançamento. Quais são as componentes (a) horizontal e (b) vertical da velocidade inicial do projétil? (c) Qual é o deslocamento horizontal em relação ao ponto de lançamento no instante em que o projétil atinge a altura máxima em relação ao solo? Resolução: a) O movimento horizontal é uniforme, portanto, pode ser descrito pela equação abaixo: ∆𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 𝑣0𝑥 = ∆𝑥 𝑡 Substituindo os valores do enunciado: 𝑣0𝑥 = 40 𝑚 2 𝑠 𝑣0𝑥 = 20 𝑚/𝑠 b) O movimento vertical é uniformemente variado, por conta da gravidade: ∆𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 − 𝑔𝑡2 2 𝑣0𝑦 = ∆𝑦 𝑡 + 𝑔𝑡 2 𝑣0𝑦 = 53 𝑚 2 𝑠 + (9,8 𝑚/𝑠2)(2 𝑠) 2 𝑣0𝑦 = 36,3 𝑚/𝑠 c) Podemos encontrar o tempo que o projetil leva para chegar na altura máxima pela equação abaixo: 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡′ Na altura máxima a velocidade é 0. 0 = 36,3 𝑚/𝑠 − (9,8 𝑚/𝑠2)𝑡′ 𝑡′ = 3,7 𝑠 Agora, encontramos o deslocamento na horizontal pela fórmula já usada anteriormente. ∆𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 ∆𝑥 = (20 𝑚/𝑠)(3,7) = 74 𝑚 10- Um ventilador realiza 1200 revoluções por minuto. Considere um ponto situado na extremidade de uma das pás, que descreve uma circunferência com 0,15 m de raio. a) Que distância o ponto percorre em uma revolução? Quais são b) Qual a velocidade do ponto? c) Qual o módulo da aceleração? d) Qual é o período do movimento? Resolução: a) A distância percorrida é o perímetro da circunferência, sendo calculada por: 𝑐 = 2𝜋𝑟 = 2𝜋(0,15 𝑚) = 0,94 𝑚 b) Antes de encontrarmos a velocidade, precisamos achar o período necessário para que ocorra uma revolução: 1200 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 = 60 𝑠 1 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢çã𝑜 = 1 20 𝑠 Portanto, a velocidade é: 𝑣 = 2𝜋𝑟 𝑇 = 0,94 𝑚 1 20 𝑠 = 18,8 𝑚/𝑠 c) A aceleração, como já vimos em uma questão anterior é: 𝑎⃗ = (18,8 𝑚/𝑠)2 0,15 𝑚 = 2,4.103 𝑚/𝑠2 d) Por fim, o período já calculamos, que é: 𝑇 = 1 20 𝑠 = 0,05 𝑠