Lista 7 - Teste de Hipóteses 2021-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA GES106 - Introdução à Estatística - II/2021 Prof. Renato Ribeiro de Lima REO 5 - 04 a 22/04/22 7a LISTA DE EXERCÍCIOS - Testes de hipóteses 1. Uma região do país é conhecida por ter uma população obesa. Sabe-se que a distribuição de probabilidade do peso dos homens entre 20 e 30 anos dessa região é normal com média de 90 kg. Um endocrinologista, juntamente com um professor de educação física, estão propondo um tratamento para combater a obesidade que consiste de exercícios físicos, dietas e ingestão de um medicamento. Eles armam que com o tratamento o peso médio dos homens dessa faixa etária diminuirá num período de três meses. Para vericar essa armação, o tratamento foi aplicado a uma amostra aleatória de n=30 homens da faixa etária de 20 a 30 anos e foi observado o peso desses homens após três meses, obtendo-se um peso médio de 85,54 kg, com o desvio padrão igual a 10 kg. Considerando α = 5%, o que podemos concluir a respeito do tratamento proposto? 2. Uma amostra de 10 adultos, na faixa de idade de 19 a 25 anos, apresentou uma frequência cardíaca média de 68,7 batidas/min, com desvio padrão de 8,67 batidas/min. Um manual de procedimento clínico indica que a pulsação média para indivíduos nessa faixa etária deve ser igual a 72 batidas/min. Admitindo que a variável medida se comporte de acordo com um modelo Normal e utilizando um nível de signicância igual a α = 5%, você diria que os dados fornecidos são compatíveis com a informação do manual? (Magalhães e Lima, 2002) 3. A um pesquisador foi dito que a produção de leite de uma determinada região tem distribuição Normal com média 10 kg/animal/dia. Porém, esse pesquisador suspeita que a produção média seja maior e, estudando essa região, encontrou um valor médio de 12 kg/animal/dia e uma variância de 16 kg2, numa amostra de 100 animais. Baseado nos resultados amostrais e em um teste estatístico adequado, qual será a conclusão do pesquisador, ao nível de 5% de signicância? 4. O número de pontos em um exame de inglês tem sido historicamente ao redor de 80. Sortearam- se 10 estudantes que zeram recentemente esse exame e observaram-se as notas: 65, 74, 78, 86, 59, 84, 75, 72, 81 e 83. Especialistas desconam que a média diminuiu e desejam testar essa armação por meio de um teste de hipóteses, com nível de signicância de 5%. Fazendo as suposições necessárias, qual a conclusão do teste? (Magalhães e Lima, 2002) 5. Uma prova de aptidão física é aplicada todos os anos a estudantes do sexo feminino de uma faixa etária em uma escola pública. Os dados obtidos no passado revelam que 50% das estudantes desse grupo, submetidas a essa prova, atingem o nível satisfatório (S). Um professor de Educação Física da escola desenvolveu um método especial de treinamento para as estudantes desse grupo e arma que com o seu método ele aumentaria a proporção de alunas que atingem o nível satisfatório. Assim, para vericar se a armação do professor estava correta e se o método proposto seria adotado, a direção da escola resolveu efetuar um ensaio. Para isso, selecionou ao acaso 40 estudantes desse grupo, que receberam o novo treinamento, sendo que dessas, 28 atingiram o nível satisfatório. Considerando essas informações e α = 5%, pode-se concluir que o método proposto aumentou a porcentagem de alunas que atingiram o nível satisfatório? 6. Sabe-se que uma semente de uma espécie orestal qualquer tem poder germinativo de 70%. Essa semente é submetida a um tratamento químico para desinfecção e prevenção contra doenças fúngicas e bacterianas. Suspeita-se que o tratamento afete a germinação das sementes, mas não 2 se conhece como é esse efeito, devido às complexas reações bioquímicas que ocorrem. Assim, o efeito pode ser no sentido de aumentar ou diminuir o poder germinativo das sementes. Um lote de n = 400 sementes foi submetido ao tratamento e vericou-se que 247 sementes germinaram no teste-padrão de germinação realizado posteriormente. O que pode-se concluir com respeito ao efeito do tratamento sobre a porcentagem de germinação das sementes? Considerando α = 5%, aplique o teste de hipótese adequado, concluindo corretamente. 7. O consumidor de um certo suplemento alimentar acusou o fabricante de que o peso do pacote sempre está abaixo do peso indicado na embalagem. Para que o peso desse produto esteja de acordo com a legislação vigente, permite-se que 5% dos produtos comercializados apresentem peso até 2% abaixo do indicado na embalagem. Para conrmar sua acusação, o consumidor utilizou uma amostra de tamanho 35 e encontrou que 5,71% das embalagens estavam com mais de 2% do peso abaixo do indicado. Considerando α = 5%, aplique um teste de hipótese adequado para vericar se o consumidor tem razão, concluindo corretamente. 8. (adaptado de Regazzi, 1997) Num estudo sobre o consumo de combustível de uma marca de automóvel, 125 proprietários foram entrevistados em relação ao desempenho e ao consumo de combustível de seus carros. O resultado da pesquisa está resumido na seguinte tabela: Desempenho Consumo Péssimo Regular Bom Alto 29 27 42 Baixo 4 6 17 Vericar, ao nível de 5% de probabilidade, se podemos considerar que, no consenso geral, desem- penho e consumo não apresentam relação entre si. 9. (adaptado de VELAVERDE, L.G. Noções de Bioestatística. UFF) Um estudo foi conduzido para vericar se existe ou não relação entre o estado civil e o consumo de cafeína. Para isso avaliou 3888 homens cujos resultados foram: Consumo de cafeína (mg/dia) Estado civil 0 1-150 151-300 >300 Total Casado 652 1537 598 242 3029 Solteiro 218 327 106 67 718 Outro 36 46 38 21 141 Total 906 1910 742 330 3888 Aplique o teste de qui-quadrado ao nível de 5% de signicância e verique se as variáveis estado civil e consumo de cafeína não estão relacionadas. 10. Um estudo foi realizado no Estado do Ceará com o objetivo de avaliar associações entre variáveis que caracterizam aspectos comportamentais e as crenças da população cearense frente à pandemia de COVID-19 (LIMA et al., 2020). Por meio de um questionário eletrônico, foram avaliadas as opiniões de 2259 participantes. Uma das associações avaliadas foi entre a escolaridade e a pergunta "Você acredita que clima quente do Ceará reduzirá o número de infectados pelo vírus?". Os frequências absolutas obtidas foram: Escolaridade Resposta à pergunta 1o grau 2o grau Graduação Pós-Graduação Total SIM 16 141 473 334 964 NÃO 6 94 596 599 1295 Total 22 235 1069 933 2259 3 Verique se a escolaridade independe ou não da resposta à pergunta apresentada. Aplique o teste de qui-quadrado considerando α = 5%, concluindo corretamente. Referência: Exercício adaptado de LIMA, D.L.F. et al. Covid-19 in the State of Ceará: behaviors and beliefs in the arrival of the pandemic. Ciência & Saúde Coletiva, v.25, n.5, Maio 2020. <https://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1413- 81232020000501575&script=sci arttext&tlng=en>. 11. Um fabricante de esferas para rolamentos desenvolveu um novo método de produção, mais barato. Entretanto, ele descona que os novos lotes apresentam variabilidade no diâmetro das esferas maior do que aqueles produzidos pelo método antigo. Para vericar se estava correto, o fabricante selecionou aleatoriamente 15 esferas, produzidas por cada método, que forneceram as seguintes medidas descritivas: Método ¯X S2 Antigo 29,93 mm 0,03 mm2 Novo 29,89 mm 0,19 mm2 Verique e conclua, através de um teste de hipóteses adequado, se a suspeita do fabricante se conrma. Considere α = 1%. 12. Para comparar o grau de diversidade de duas populações primitivas, uma medida antropométrica foi obtida em fósseis coletados em dois sítios arqueológicos, fornecendo os seguintes resultados: Sítio n Média (cm) Variância (cm2) A 17 15,12 0,124 B 23 12,21 0,184 O que pode ser concluído a respeito das variâncias? Considere α = 5%, assuma as pressuposições necessárias e aplique o teste de hipótese adequado para responder à pergunta. (Magalhães e Lima, 2002) 13. Um estudo foi conduzido com o objetivo de se avaliar torques concêntrico e excêntrico de indi- víduos com e sem osteoartrose de joelho (OAJ). A osteoartrose ocasiona a diminuição da força muscular e pode acarretar progressiva perda de função, pois os músculos são importantes absor- vedores de choque que ajudam a estabilizar a articulação (Melo et al., 2008). Participaram desse estudo, 57 indivíduos, sendo 31 portadores de OAJ (6 homens e 25 mulheres) e 26 indivíduos sem OAJ, na forma de grupo controle (6 homens e 20 mulheres), selecionados por processo não- probabilístico do tipo intencional. Duas variáveis avaliadas foram: pico de torque concêntrico quadríceps dominante (PTCQD) e pico de torque excêntrico quadríceps dominante (PTEQD). Os dados obtidos para essas duas variáveis estão apresentados a seguir. Verique se existe dife- rença signicativa entre os PTCQD e os PTEQD médios do grupo controle e do grupo com OAJ. Considere α = 5% e tire as conclusões de interesse. Variável Tratamento n ¯X S2 PTCQG Com OAJ 31 44,10 17,64 Sem OAJ 26 78,17 28,09 PTEQD Com OAJ 31 60,01 26,01 Sem OAJ 26 60,56 53,14 Referência: Exercício adaptado de MELO, S.I.L. et al. Avaliação da força muscular de exores e extensores de joelho em indivíduos com e sem osteoartrose. Revista Brasileira de Cineantropometria e Desempenho Humano, v. 10, n.4, p.335-340, 2008. 4 14. Os dados abaixo referem-se a um estudo do efeito da aplicação de Phlorizin, em ruminantes, em relação ao controle (sem aplicação). Duas das variáveis avaliadas foram: teor de glucose arterial (em mM) e uxo de sangue arterial (em l/h). Para essas variáveis, foram obtidos os seguintes resultados: (Adaptado de Bauer et al., 1995) Média Variância Tamanho da Variável Tratamento ( ¯X) (S2) amostra (n) Teor de glucose Controle 3,21 0,85 10 arterial (mM) Phlorizin 3,11 0,80 14 Fluxo de sangue Controle 94 4 10 arterial (l/h) Phlorizin 120 36 14 Verique se existe diferença signicativa nos teores médios de glucose arterial e nos uxos médios do grupo controle e do grupo tratado com Phlorizin. Considere α = 5% e tire as conclusões de interesse. Referência: Exercício adaptado de BAUER, M.L. et al. Adaptation to small intestinal starch assimilation and glucose transport in ruminant. Journal of Animal Science, v.73, n.6, p.1828-1838, 1995. 15. (adaptado de Vieira, 2008) Um medicamento é tradicionalmente usado para alívio de dor nos casos de enxaqueca. Um laboratório oferece um genérico e para vericar se o tempo de efeito do genérico é signicativamente inferior, realizou um ensaio com sete voluntários. Todos os voluntários usaram, em períodos distintos, tanto o medicamento tradicional quanto o genérico. Os tempos de alívio da dor, em horas, registrados pelos voluntários, com o uso de ambos os medicamentos, foram: Medicamento Voluntário Tradicional Genérico 1 4,5 4 2 5,5 5,5 3 6 6 4 6 5 5 5,5 4,5 6 5,5 6 7 8 6,5 O que o laboratório pode concluir sobre o tempo médio de alívio da dor? Os dois medicamentos garantem em média o mesmo tempo de alívio? Aplique um teste de hipótese adequado, concluindo corretamente. Considere α = 5%. 16. (adaptado de Shimakura, 2016) Um estudo foi executado com o objetivo de avaliar a efetividade de uma dieta combinada com um programa de exercícios físicos na redução do nível de colesterol. Na tabela a seguir apresentam-se os níveis de colesterol de 12 participantes no início e no nal do programa: Início (X1) 201 231 221 260 228 237 326 235 240 267 284 201 Final (X2) 200 236 216 233 224 216 296 195 207 247 210 209 Considerando que a variável nível de colesterol tenha distribuição Normal, pode-se concluir que a dieta é eciente na redução do nível médio de colesterol? Considere α = 5%. 5 RESPOSTAS 1. tcalc = −2, 44; ttab = −1, 699 (teste unilateral à esquerda); Rejeita-se H0. 2. tcalc = −1, 20; |ttab| = 2, 262 (teste bilateral); Não se rejeita H0. 3. tcalc = 5; ttab = 1, 660 (teste unilateral à direita); Rejeita-se H0. 4. tcalc = −1, 57; ttab = −1, 833 (teste unilateral à esquerda); Não se rejeita H0. 5. Zcalc = 2, 53; Ztab = 1, 645 (teste unilateral à direita); Rejeita-se H0. 6. Zcalc = −3, 60; |Ztab| = 1, 96 (teste bilateral); Rejeita-se H0. 7. Zcalc = 0, 19; Ztab = 1, 645 (teste unilateral à direita); Não se rejeita-se H0. 8. χ2 calc = 3, 80; χ2 tab = 5, 991 (teste unilateral à direita); Não se rejeita H0. 9. χ2 calc = 51, 65; χ2 tab = 12, 592 (teste unilateral à direita); Rejeita-se H0. 10. χ2 calc = 56, 07; χ2 tab = 7, 815 (teste unilateral à direita); Rejeita-se H0. 11. Fcalc = 6, 33; Ftab = 3, 70 (teste unilateral à direita); Rejeita-se H0. 12. Fcalc = 1, 48; Ftab = 2, 25 (teste unilateral à direita); Não se rejeita H0. 13. Variável PTCQG: ˆ Teste F: Fcalc = 1, 59; Ftab = 1, 88; Não se rejeita H′ 0 ⇒ CASO A. ˆ Teste t: tcalc = −27, 08; |ttab| = 2, 00 (teste bilateral); Rejeita-se H0. Variável PTEQD: ˆ Teste F: Fcalc = 2, 04; Ftab = 1, 88; Rejeita-se H′ 0 ⇒ CASO B. ˆ Teste t: tcalc = −0, 33; |ttab| = 2, 02 (teste bilateral); Não se rejeita H0. 14. Variável teor de glucose arterial: ˆ Teste F: Fcalc = 1, 06; Ftab = 2, 71; Não se rejeita H′ 0 ⇒ CASO A. ˆ Teste t: tcalc = 0, 27; |ttab| = 2, 07 (teste bilateral); Não se rejeita H0. Variável uxo de sangue arterial: ˆ Teste F: Fcalc = 9, 0; Ftab = 3, 05; Rejeita-se H′ 0 ⇒ CASO B. ˆ Teste t: tcalc = −15, 08; |ttab| = 2, 12 (teste bilateral); Rejeita-se H0. 15. tcalc = 1, 87; ttab = 1, 943 (teste unilateral à direita); Não se rejeita H0. 16. tcalc = −3, 02; ttab = −1, 796 (teste unilateral à esquerda); Rejeita-se H0.