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Flexão simples normal 74 generalidade No seço transversal de uma peça existe uma solicitação de flexão pura quando na mesma atua apenas um momento fletor M Neste caso os tensões normais de tração e de compressão produzidas pelo momentos se reduzem a um par de forças RC e RS que é equivalente a um momento Quando junto com o momento fletor atua uma força contante V a solicitação passa a ser denominada de flexão simples dm V dz e dV dz q Obs na flexão simples os tensões tangenciais produzidas pela peça contante não influiem nas tensões normais produzidas pelo momento fletor A solicitação de flexões pode ser classificada de acordo com a direção do traço do plano de solicitação sobre a seção transversal da peça em A reta ou normal quando o traço coincide com um dos eixos principais de inércia da seção B oblíqua quando o traço não coincide com nenhum dos eixos As cargas que atuam na viga fazem fletir ou curvar a sua deforma seu eixo em uma curva eixos imediatamente retos e sentidos flecionados em uma curva denominada curva de deflexão da viga 72 Tensões normais Considerar uma viga simplesmente apoiada suportando duas cargas P como se vê na figura ao lado Sua parte central não tem força cortante estando sujeito a um momento fletor igual a PA então dizse que esta parte da viga está caracterizada por flexão pura momento fletor etc Traços AB flexão pura tiram apenas momento fletor originando tensões normais nas seções tração e compressão Traços OA e BC flexão simples tendo momento fletor M e se esforço cortante V originando tensões normais tração e compressão e também tensões de cisalhamento em tangenciais Considerando que as forças ou vínculos estejam num plano que contém o eixo da viga ou barra Considerandose também que as forças são perpendiculares ao eixo e o plano que contém essas forças é por hipótese um plano de simetria da viga 73 Efeitos dessas cargas Os efeitos dessas forças e vínculos sobre a viga são A produzem deslocamentos nos diversos pontos do eixo da viga B dão origem a tensões normais e de cisalhamento nas diversas seções tensoriais 74 Comportamento da viga É conveniente imaginar que a viga seja formada por um número infinito de filões longitudinais Assim a viga da figura anterior fletemos encurvamse para baixos as filões da parte superior serão distendidas e os da parte inferior encurtados Essas variações de comprimento dão origem 741 Superfície neutra Existe um conjunto de filões na viga que forma uma superfície plana esses filões não estão submetidos nem a tração nem a compressão A ela dáse o nome de superfície neutra ou plano neutro 742 Eixo neutro A intersecção do plano neutro com a peça transversal considerado recebe o nome de eixo neutro Todos os filões que se situam no seço transversal do mesmo lado em relação à linha neutra estão submetidos à taxas os que estão do lado oposto estão submetidos à compressão A viga submetida a um carregamento qualquer perpendicular ao seu eixo longitudinal terá um seço deformado num diâmetro circular e as seções transversais são consideradas plenas e normais os filões longitudinais na realidadeisto é uma aproximação do modelo pois os seções não permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal elas deformam e rotacionam em relações axiais O material é homogêneo e obedece a lei de Hooke O material titula o mesmo módulo de elasticidade E para tração e para compre 75 Análise da Deformação Supõe que a viga esteja carregada por cargas atuantes no plano xy e que esta seja de madeira As deformações em diferentes elementos da viga também estão nessa viga Quando o material da viga é elástico e linear lei de Hooke σxz E εxz E K y diagramas lineares das tensões Posição da linha neutra LN ΣFzx 0 σxz dA 0 E K y dA 0 Se a seção transversal for simétrica em relação ao eixo z temos C1 C2 C então z1 z2 IC logo σz max σz min Mz 751 cálculo das resultantes das forças normais de tração e de compressão produzidas pelo momento fletor normal em uma certa seção transversal da viga A utilização dos módulos e os pontos de aplicação das forças resultantes de tração e compressão se dá da seguinte forma seja a viga com carregamentos concentrados conforme figura abaixo Analisando o equilíbrio da parte situada à esquerda de 6b temos Fx0 CT0 CT Fy0 VAP Mz0 1VAxxPxaC3T00 VAxPxaC3 Mas sabemos que MMx ao longo do eixo x então MVAxPxa Assim MC3 ou MT3 Portanto M é o momento fletor atuante na viga cálculo da estática I IIN é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra cálculo da mecânica geral AIN é o momento estático da área comprimida em relação à linha neutra cálculo da mecânica geral 2 RM I Analogamente TMI F força de tração módulo Exercício 1 Calcular os máximos tensões normais de tração e de compressão para a viga isostática submetida ao carregamento indicado g 11 kNm Cálculo dos Tensiveis normais máximos σx MyI 32 x 105 1694 12308 44043 kgfcm² tração σx MyI 32 x 105 251694 12308 20995 kgfcm² compressão Cálculo da Posição da força resultante de compressão 7c Pelo Teorema de Varignon cálculo do momento estático da área comprimida QAcLN cálculo da Força resultante de compressão C cálculo do momento estático da área tracionada QAtLN Dimensuramento ou projeto e Verificação de Vigas 31 Dimensuramento O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos a calcular os momentos fletor máximo b verificar os tensões máximas de tração e compressão em função do momento máximo c comparar os tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do material d calcular as dimensões da seção transversal 32 Em problemas de Verificação devese calcular o coeficiente de segurança seguindo os seguintes passos a calcular o momento máximo b calcular o coeficiente de segurança no ponto da peça mais solicitada Dimensuramento cont Sabese que σ MI y i Z Ic σ máx T σadm Z1 σ máx c M máxz1 σ máx C σadm Z2 M máxz2 33 Comparação de seções Para comparar diferentes formas de seções vamos considerar um retângulo de largura b e altura h Z Ih2 b h312 h22 b h26 0167 Ah consideremos agora uma seção circular de diâmetro D Z2 Z πD464d πD332 Z2 0125 AD concluise que a seção retangular é melhor que a circular para pesos mais altos pois ela possui um Z maior que Z1 o que dá mais resistência a viga a altura e nós a linguagem Seção quadrada Z 0148 AD Uma situação extrema seria colocar dois metades das áreas A2 a uma distância h2 de eixos neutros Assim temos que o módulo de resistência à flexão é dado por Z I c I h2 Ah2 4h Ah 2 Z 05 Ah Na prática esta situação é obtida com o emprego de perfis H e I pois a maior parte do aço estar nas mesas e não nas almas Para seções H padronizadas temos Z 035 Ah O perfil H é um perfil estável em planaflecha é um perfil económico tem o mesmo módulo de resistência que a seção de uma alma é perfil nos estruturas metálicas Exercícios 1 σx 50 m Pa 500kgcm² 5000Ncm² 50Nmm² σx Mz y 50 23 F x 10³ F 19312N σmáx M Zc Jodmt M Jodmt Zc P 1699 kgf Opções de seção para a viga a solução em perfil H W 8 x 40 Z₁ 3550 p4³ ativa 825 p0 4031 lft a solução em perfil H distanciado W 10 x 72 ativa 1050 p0 72 lft² Z 279 p4² a solução em perfil C C 12 x 30 ativa 18 p0 Z 270 p4³ a solução em perfil duplo C soldado 2C 10 x 20 Zmc 2669 1335 p4³ Zmc 26692 1335 p4³ Exercício 9 Translato 521 p182 Uma viga de madeira de seção reta circular e apoiada em A e B e suporta uma carga uniforme q 500 kgfm ao longo do balanço Determine o diâmetro d da seção d 850 kgfcm² a 100 m b 200 m Dispensa o peso próprio da viga cálculo das reações de apoio 1000 kgf 200 m RA 2000 kgf cálculo do momento máximo Traço AB oc 2 x 1 m H RA x 1000 x 2 0 M1 0 M1 1000 kgfm² cálculo do diâmetro da peça Z πd³32 Z Mz d 229 mm Exercício 5 Translato 525 p128 Selecionar um perfil H no catálogo da fabricante C para suportar as cargas aplicadas na viga ativa se P 4000 kgf a 180 m e τadm 400 kgfcm² Dispensa o peso próprio Equações do momento fletor Traço AB 00 x 2 x 180 m Mx 4000x Traço oc 00 x 2 x ℓ Mx 7200 Traço oc 00 x 2 x 180 m Mx 4000x 9000x Z 7200 cm² 51428 cm³ Z 3137 p0 e² Exercício 6 Inc de Lito de EMZ 2013 A viga da figura abaixo é construída de material frágil e tem seção transversal retangular constante e vazada calcule O máximo valor da carga P a fim de que se torne suficientemente de recrutamento igual a 3 Dados σT 20K Ncm² σC 40K Ncm² cm 1 cálculo das reações de apoio RA 2P 2P150 PB3 P5 0 2P RA RB P 2P P F 2P 2 Análise geométrica da seção 21 cálculo da posição do centro de linha neutra ȳ ȳ ΣyiAi ΣAi P10x14 76x6 10x14 6x6 728 104 700 cm 22 cálculo do momento de inércia I x I x 10x13 12 6x6³ 12 217869 cm⁴ 3 Dimensionamento Mmax 2P kNm 31 E 2 I Mmax ȳ 31 2P1007 40 P 2075 kN P 1037 kN Conclusão 1 A derivada da força constante em relação a abscissa x é igual a ordenada de carga nesses trechos com o sinal negativo 2 A derivada do momento fletor em relação a abscissa x é igual a força constante nesses trechos da abscissa x Observamos que dV ρdx v2 v1 dV x2 x1 ρdx V2 V1 ΔV área do diagrama de cargas entre x1 e x2 dM Vdx m2 m1 dM x2 x1 Vdx M2 M1 ΔM área do diagrama de momentos entre x1 e x2 paris aqui 1998 aula 55 feira 21102010 apenas o exercício dos acordes p determinar o esboço de malha
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Flexão simples normal 74 generalidade No seço transversal de uma peça existe uma solicitação de flexão pura quando na mesma atua apenas um momento fletor M Neste caso os tensões normais de tração e de compressão produzidas pelo momentos se reduzem a um par de forças RC e RS que é equivalente a um momento Quando junto com o momento fletor atua uma força contante V a solicitação passa a ser denominada de flexão simples dm V dz e dV dz q Obs na flexão simples os tensões tangenciais produzidas pela peça contante não influiem nas tensões normais produzidas pelo momento fletor A solicitação de flexões pode ser classificada de acordo com a direção do traço do plano de solicitação sobre a seção transversal da peça em A reta ou normal quando o traço coincide com um dos eixos principais de inércia da seção B oblíqua quando o traço não coincide com nenhum dos eixos As cargas que atuam na viga fazem fletir ou curvar a sua deforma seu eixo em uma curva eixos imediatamente retos e sentidos flecionados em uma curva denominada curva de deflexão da viga 72 Tensões normais Considerar uma viga simplesmente apoiada suportando duas cargas P como se vê na figura ao lado Sua parte central não tem força cortante estando sujeito a um momento fletor igual a PA então dizse que esta parte da viga está caracterizada por flexão pura momento fletor etc Traços AB flexão pura tiram apenas momento fletor originando tensões normais nas seções tração e compressão Traços OA e BC flexão simples tendo momento fletor M e se esforço cortante V originando tensões normais tração e compressão e também tensões de cisalhamento em tangenciais Considerando que as forças ou vínculos estejam num plano que contém o eixo da viga ou barra Considerandose também que as forças são perpendiculares ao eixo e o plano que contém essas forças é por hipótese um plano de simetria da viga 73 Efeitos dessas cargas Os efeitos dessas forças e vínculos sobre a viga são A produzem deslocamentos nos diversos pontos do eixo da viga B dão origem a tensões normais e de cisalhamento nas diversas seções tensoriais 74 Comportamento da viga É conveniente imaginar que a viga seja formada por um número infinito de filões longitudinais Assim a viga da figura anterior fletemos encurvamse para baixos as filões da parte superior serão distendidas e os da parte inferior encurtados Essas variações de comprimento dão origem 741 Superfície neutra Existe um conjunto de filões na viga que forma uma superfície plana esses filões não estão submetidos nem a tração nem a compressão A ela dáse o nome de superfície neutra ou plano neutro 742 Eixo neutro A intersecção do plano neutro com a peça transversal considerado recebe o nome de eixo neutro Todos os filões que se situam no seço transversal do mesmo lado em relação à linha neutra estão submetidos à taxas os que estão do lado oposto estão submetidos à compressão A viga submetida a um carregamento qualquer perpendicular ao seu eixo longitudinal terá um seço deformado num diâmetro circular e as seções transversais são consideradas plenas e normais os filões longitudinais na realidadeisto é uma aproximação do modelo pois os seções não permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal elas deformam e rotacionam em relações axiais O material é homogêneo e obedece a lei de Hooke O material titula o mesmo módulo de elasticidade E para tração e para compre 75 Análise da Deformação Supõe que a viga esteja carregada por cargas atuantes no plano xy e que esta seja de madeira As deformações em diferentes elementos da viga também estão nessa viga Quando o material da viga é elástico e linear lei de Hooke σxz E εxz E K y diagramas lineares das tensões Posição da linha neutra LN ΣFzx 0 σxz dA 0 E K y dA 0 Se a seção transversal for simétrica em relação ao eixo z temos C1 C2 C então z1 z2 IC logo σz max σz min Mz 751 cálculo das resultantes das forças normais de tração e de compressão produzidas pelo momento fletor normal em uma certa seção transversal da viga A utilização dos módulos e os pontos de aplicação das forças resultantes de tração e compressão se dá da seguinte forma seja a viga com carregamentos concentrados conforme figura abaixo Analisando o equilíbrio da parte situada à esquerda de 6b temos Fx0 CT0 CT Fy0 VAP Mz0 1VAxxPxaC3T00 VAxPxaC3 Mas sabemos que MMx ao longo do eixo x então MVAxPxa Assim MC3 ou MT3 Portanto M é o momento fletor atuante na viga cálculo da estática I IIN é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra cálculo da mecânica geral AIN é o momento estático da área comprimida em relação à linha neutra cálculo da mecânica geral 2 RM I Analogamente TMI F força de tração módulo Exercício 1 Calcular os máximos tensões normais de tração e de compressão para a viga isostática submetida ao carregamento indicado g 11 kNm Cálculo dos Tensiveis normais máximos σx MyI 32 x 105 1694 12308 44043 kgfcm² tração σx MyI 32 x 105 251694 12308 20995 kgfcm² compressão Cálculo da Posição da força resultante de compressão 7c Pelo Teorema de Varignon cálculo do momento estático da área comprimida QAcLN cálculo da Força resultante de compressão C cálculo do momento estático da área tracionada QAtLN Dimensuramento ou projeto e Verificação de Vigas 31 Dimensuramento O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos a calcular os momentos fletor máximo b verificar os tensões máximas de tração e compressão em função do momento máximo c comparar os tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do material d calcular as dimensões da seção transversal 32 Em problemas de Verificação devese calcular o coeficiente de segurança seguindo os seguintes passos a calcular o momento máximo b calcular o coeficiente de segurança no ponto da peça mais solicitada Dimensuramento cont Sabese que σ MI y i Z Ic σ máx T σadm Z1 σ máx c M máxz1 σ máx C σadm Z2 M máxz2 33 Comparação de seções Para comparar diferentes formas de seções vamos considerar um retângulo de largura b e altura h Z Ih2 b h312 h22 b h26 0167 Ah consideremos agora uma seção circular de diâmetro D Z2 Z πD464d πD332 Z2 0125 AD concluise que a seção retangular é melhor que a circular para pesos mais altos pois ela possui um Z maior que Z1 o que dá mais resistência a viga a altura e nós a linguagem Seção quadrada Z 0148 AD Uma situação extrema seria colocar dois metades das áreas A2 a uma distância h2 de eixos neutros Assim temos que o módulo de resistência à flexão é dado por Z I c I h2 Ah2 4h Ah 2 Z 05 Ah Na prática esta situação é obtida com o emprego de perfis H e I pois a maior parte do aço estar nas mesas e não nas almas Para seções H padronizadas temos Z 035 Ah O perfil H é um perfil estável em planaflecha é um perfil económico tem o mesmo módulo de resistência que a seção de uma alma é perfil nos estruturas metálicas Exercícios 1 σx 50 m Pa 500kgcm² 5000Ncm² 50Nmm² σx Mz y 50 23 F x 10³ F 19312N σmáx M Zc Jodmt M Jodmt Zc P 1699 kgf Opções de seção para a viga a solução em perfil H W 8 x 40 Z₁ 3550 p4³ ativa 825 p0 4031 lft a solução em perfil H distanciado W 10 x 72 ativa 1050 p0 72 lft² Z 279 p4² a solução em perfil C C 12 x 30 ativa 18 p0 Z 270 p4³ a solução em perfil duplo C soldado 2C 10 x 20 Zmc 2669 1335 p4³ Zmc 26692 1335 p4³ Exercício 9 Translato 521 p182 Uma viga de madeira de seção reta circular e apoiada em A e B e suporta uma carga uniforme q 500 kgfm ao longo do balanço Determine o diâmetro d da seção d 850 kgfcm² a 100 m b 200 m Dispensa o peso próprio da viga cálculo das reações de apoio 1000 kgf 200 m RA 2000 kgf cálculo do momento máximo Traço AB oc 2 x 1 m H RA x 1000 x 2 0 M1 0 M1 1000 kgfm² cálculo do diâmetro da peça Z πd³32 Z Mz d 229 mm Exercício 5 Translato 525 p128 Selecionar um perfil H no catálogo da fabricante C para suportar as cargas aplicadas na viga ativa se P 4000 kgf a 180 m e τadm 400 kgfcm² Dispensa o peso próprio Equações do momento fletor Traço AB 00 x 2 x 180 m Mx 4000x Traço oc 00 x 2 x ℓ Mx 7200 Traço oc 00 x 2 x 180 m Mx 4000x 9000x Z 7200 cm² 51428 cm³ Z 3137 p0 e² Exercício 6 Inc de Lito de EMZ 2013 A viga da figura abaixo é construída de material frágil e tem seção transversal retangular constante e vazada calcule O máximo valor da carga P a fim de que se torne suficientemente de recrutamento igual a 3 Dados σT 20K Ncm² σC 40K Ncm² cm 1 cálculo das reações de apoio RA 2P 2P150 PB3 P5 0 2P RA RB P 2P P F 2P 2 Análise geométrica da seção 21 cálculo da posição do centro de linha neutra ȳ ȳ ΣyiAi ΣAi P10x14 76x6 10x14 6x6 728 104 700 cm 22 cálculo do momento de inércia I x I x 10x13 12 6x6³ 12 217869 cm⁴ 3 Dimensionamento Mmax 2P kNm 31 E 2 I Mmax ȳ 31 2P1007 40 P 2075 kN P 1037 kN Conclusão 1 A derivada da força constante em relação a abscissa x é igual a ordenada de carga nesses trechos com o sinal negativo 2 A derivada do momento fletor em relação a abscissa x é igual a força constante nesses trechos da abscissa x Observamos que dV ρdx v2 v1 dV x2 x1 ρdx V2 V1 ΔV área do diagrama de cargas entre x1 e x2 dM Vdx m2 m1 dM x2 x1 Vdx M2 M1 ΔM área do diagrama de momentos entre x1 e x2 paris aqui 1998 aula 55 feira 21102010 apenas o exercício dos acordes p determinar o esboço de malha