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LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS Campo Grande 2022 Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Faculdade de Engenharias Arquitetura e Urbanismo e Geografia DISCIPLINA ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Prof Giovanni Pais Pellizzer Essa apresentação é baseada no material desenvolvido pelo docente Introdução Introdução As linhas de influência LI estão ligadas a análise de estruturas submetidas a ação de cargas móveis e acidentais Exemplos de estruturas submetidas a cargas móveis pontes rodoviárias e ferroviárias pórticos industriais que suportam pontes rolantes Introdução Os esforços internos variam agora não só com a magnitude das cargas mas também com o seu ponto de aplicação ao longo da estrutura É fundamental identificar qual é o ponto de aplicação da carga que gera os maiores valores de esforços internos para assim posteriormente dimensionar a estrutura O procedimento geral e objetivo para determinar as posições de cargas móveis e acidentais que provocam valores extremos de determinado esforço interno em uma seção transversal de uma estrutura é feito com o auxílio das linhas de influência O traçado das linhas de influência permite obter as chamadas envoltórias limites de esforços internos que são necessárias para o dimensionamento de estruturas submetidas a cargas móveis ou acidentais Essas envoltórias limites de esforços internos descrevem para um conjunto de cargas permanentes e cargas móveis ou acidentais os valores máximos e mínimos dos esforços internos momento fletor esforço cortante e esforço normal em todas as seções transversais da estrutura As envoltórias são em geral obtidas por interpolação de valores máximos e mínimos respectivamente de esforços internos calculados em um determinado número de seções transversais ao longo da estrutura Introdução Definição Uma Linha de Influência LI é um diagrama cujas ordenadas que são plotadas como uma função da distância ao longo do vão fornecem o valor de esforço solicitante interno ou uma reação de apoio ou um deslocamento ou uma rotação em um ponto específico de uma estrutura quando uma carga unitária por exemplo igual a 10 kN se move pela estrutura Linhas de influência Linhas de influência Uma LI descreve a variação de um determinado efeito reação de apoio esforço solicitante interno deslocamento rotação em uma dada seção transversal da estrutura em função da posição de uma força vertical orientada para baixo e unitária que percorre a estrutura A Figura abaixo mostra a LI de momento fletor em uma seção S indicada Linhas de influência Nessa figura a carga P1 é posicionada em um ponto da estrutura que possui coordenada igual a x a partir do apoio da esquerda e uma coordenada do eixo y representa o valor do momento fletor na seção S em função da coordenada x LIMS MSx Linhas de influência Exemplo Vamos agora exemplificar o cálculo do momento fletor máximo e mínimo na seção S da viga apresentada na figura abaixo Consideramos que na viga agem dois tipos de carregamento o permanente e o acidental O carregamento permanente constituído do peso próprio da estrutura é representado por uma força uniformemente distribuída agindo ao longo de toda a viga Linhas de influência Exemplo Considerando que o momento fletor em S é função da posição x de uma força concentrada unitária ou seja MSx o valor do momento fletor em S devido ao carregamento permanente MSgx pode ser obtido por integração do produto da força infinitesimal g dx por MSx ao longo da estrutura MSgx 012m MSx g dx Linhas de influência O carregamento acidental de ocupação é representado por uma força uniformemente distribuída que por ser acidental pode atuar parcialmente ao longo da estrutura conforme indicado abaixo Exemplo Linhas de influência Exemplo O que se procura são as posições que a carga q deve assumir para que o momento fletor em S seja maximizado e minimizado Neste caso o valor máximo do momento fletor em S devido a carga acidental MSqmáx é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas positivas da linha de influência de momentos fletores conforme a figura abaixo Linhas de influência Exemplo De maneira análoga o valor mínimo do momento fletor em S devido a carga acidental MSqmín é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas negativas da linha de influência de momentos fletores conforme a figura abaixo Linhas de influência Linhas de influência Linhas de influência Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Expressões analíticas para linhas de influência em estruturas isostáticas podem ser obtidas a partir do equilíbrio explícito da estrutura submetida a uma força unitária 1 que possui ponto de aplicação segundo uma coordenada x Considere a seguinte viga biapoiada com balanços Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Queremos obter a LI na seção S para o esforço cortante e para o momento fletor Consideraremos dois casos Carga 1 aplicada a esquerda de S ou seja Carga 1 aplicada a direita de S ou seja Primeiramente impondo o equilíbrio para a estrutura como um todo podemos obter as reações de apoio conforme apresentado na seguinte figura e equações Linhas de influência para viga biapoida com balanços Linhas de influência para viga biapoida com balanços Linhas de influência para viga biapoida com balanços Linhas de influência para viga biapoida com balanços As LIs para os valores das reações de apoio podem ser traçadas a partir das equações de Ay e By A LI para a reação de apoio em A está representada na seguinte figura A LI para a reação de apoio em B está representada na seguinte figura Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Da mesma forma podese traçar as LIs para os esforços cortantes e momentos fletores para a seção transversal S a partir das equações obtidas Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Da mesma forma podese traçar as LIs para os esforços cortantes e momentos fletores para a seção transversal S a partir das equações obtidas Linhas de influência para viga biapoida com balanços Na linha de influência de esforço cortante na seção S LIVS é interessante notar que a LI é composta por duas retas paralelas a primeira passa pelo apoio da esquerda ponto A e por um ponto no apoio da direita deslocado de 1 para cima A segunda reta passa pelo apoio da direita ponto B e por um ponto no apoio da esquerda deslocado de 1 para baixo A LI é obtida com trechos dessas duas retas com uma descontinuidade unitária na seção S Linhas de influência para viga biapoida com balanços Na linha de influência de momento fletor na seção S LIMS é interessante notar que a LI é traçada com base em duas retas ligando os apoios a pontos deslocados para baixo de a no primeiro apoio e de b no segundo apoio As duas retas se interceptam exatamente na posição da seção S Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Para seções transversais localizadas nos balanços da viga biapoiada as LIs são obtidas facilmente impondo o equilíbrio no trecho em balanço conforme a seguinte figura Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado As envoltórias conforme já comentado anteriormente são gráficos que expressam como variam os valores mínimos e máximos de um determinado parâmetro mecânico esforço solicitante interno deslocamento rotação nas seções transversais da estrutura A seguir falaremos especificamente das envoltórias dos esforços solicitantes internos Não existem expressões analíticas para as envoltórias Os valores das envoltórias são obtidos buscandose posições críticas para as cargas móveis que conduzam a valores máximos e mínimos de esforços solicitantes internos nas diversas seções transversais da estrutura Assim as envoltórias são traçadas por interpolação de valores calculados em seções transversais selecionadas a cada metro a cada 3 metros etc Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Surgem então duas questões a serem respondidas 1ª Como determinar o posicionamento das cargas acidentais e móveis para obter os valores mínimo e máximo de um determinado esforço solicitante interno em uma determinada seção transversal 2ª Como calcular os valores mínimo e máximo Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Essas duas questões são respondidas por meio da utilização de LIs Para ilustrar a ideia apresentase o seguinte exemplo Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Antes de começar a calcular as envoltórias cabe um comentário a respeito dos dois tipos de carga atuando na estrutura A carga permanente igual a 20 kNm nesse caso corresponde as cargas que atuam na estrutura na maior parte do tempo de vida útil prevista para a mesma como por exemplo o peso próprio da estrutura que foi linearizado para efeitos de análise estrutural A carga móvel que é o veículo de projeto também chamado de tremtipo é um carregamento idealizado para representar em projeto os efeitos dos veículos principais e secundários de uma estrada rodoviária ou ferroviária No exemplo o veículo de projeto tem dois eixos representados pelas duas forças concentradas de 10 kN e 20 kN A carga móvel uniformemente distribuída de 10 kNm corresponde a chamada carga de multidão e representa os veículos secundários que trafegam sobre a estrutura A carga de multidão tem um comportamento de carga acidental isto é ela pode ser interrompida em trechos da estrutura para minimizar ou maximizar um determinado efeito A determinação das cargas móveis foge ao escopo deste curso Maiores informações podem ser obtidas em normas técnicas apropriadas Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Após os devidos desenvolvimentos algébricos obtémse os seguintes diagramas de esforços solicitantes internos para a carga permanente igual a 20 kNm nesse caso Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Agora devese calcular os valores mínimos e máximos para o esforço cortante nas seções selecionadas provocadas pela carga móvel Para cada uma das seções transversais são traçadas as LIs de esforço cortante com base nos procedimentos descritos anteriormente Para cada LI traçada posicionase a carga móvel sobre as ordenadas negativas para obterse os máximos conforme já descrito Os valores extremos maiores valores em módulo são obtidos quando a força concentrada do veículo de projeto com maior intensidade no caso 20 kN está posicionada sobre a maior ordenada em módulo da LI No exemplo isto é fácil pois existem somente duas forças concentradas no tremtipo e as LIs são relativamente simples A investigação da posição crítica para um tremtipo mais complexo mais eixos por exemplo e para LIs com mais variações de sinais inclusive com trechos curvos é uma tarefa relativamente trabalhosa que normalmente é feita com o auxílio de programas de computador Apresentamse os cálculos seção a seção no material fornecido pelo professor Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado A seguir veremos o cálculo do esforço cortante mínimo e do esforço cortante máximo em algumas seções transversais Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Seção Besq localizada no balanço Seção E localizada no vão Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoida com balanços Exemplo comentado Após o cálculo feito em todas as seções por meio de uma tabela é possível compor os esforços solicitantes internos esforços cortantes neste caso gerados pela carga permanente e pela carga móvel Seção Esforço cortante devido a carga permanente kN Esforço cortante devido a carga móvel kN Envoltória dos esforços cortantes kN A 000 Min 2000 B 000 Besq 6000 6000 000 12000 6000 Bdir 12000 875 9125 11125 21125 C 6000 1250 5750 4750 11750 D 000 3125 3125 3125 3125 E 6000 5750 1250 11750 4750 Fesq 12000 9125 875 21125 11125 Fdir 6000 000 6000 6000 12000 G 000 000 2000 000 2000 Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Com os valores da tabela podemos traçar a envoltória de esforços cortantes para a viga 250 200 150 100 050 000 050 100 150 200 250 0 3 6 9 12 15 18 V kN x m Envoltória Esforços cortantes Cortantes máximos Cortantes mínimos Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Agora devese calcular os valores mínimos e máximos para o momento fletor nas seções selecionadas provocadas pela carga móvel para assim traçar a envoltória de momentos fletores para a viga O processo de cálculo é análogo a aquele apresentado para o esforço cortante A principal diferença é que as envoltórias de momentos fletores não têm descontinuidades nos apoios das vigas e além disso os valores de momento fletor nas extremidades dos balanços seções e são sempre nulos Apresentamse os cálculos seção a seção no material fornecido pelo professor A seguir veremos o cálculo do momento fletor mínimo e do momento fletor máximo em algumas seções transversais Seção B Min MBcmmin 20 300 10 0 10 300 3 12 10500kNm MBcmmax 0 Seção E Min MEcmmin 20 225 10 0 10 075 3 12 10 225 3 12 90kNm MEcmmax 20 225 10 0 10 225 12 12 195kNm Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Após o cálculo feito em todas as seções por meio de uma tabela é possível compor os esforços solicitantes internos momentos fletores neste caso gerados pela carga permanente e pela carga móvel Seção Momento fletor devido a carga permanente kNm Momento fletor devido a carga móvel kNm Envoltória dos momentos fletores kNm Mín Máx Mín Máx 000 000 000 000 000 9000 10500 000 19500 9000 18000 9000 19500 9000 37500 27000 7500 25500 19500 52500 18000 9000 19500 9000 37500 9000 10500 000 19500 9000 000 000 000 000 000 Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Com os valores da tabela podemos traçar a envoltória de momentos fletores para a viga 300 200 100 000 100 200 300 400 500 600 0 3 6 9 12 15 18 M kNm x m Envoltória Momentos fletores Momentos máximos Momentos mínimos
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LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS Campo Grande 2022 Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Faculdade de Engenharias Arquitetura e Urbanismo e Geografia DISCIPLINA ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Prof Giovanni Pais Pellizzer Essa apresentação é baseada no material desenvolvido pelo docente Introdução Introdução As linhas de influência LI estão ligadas a análise de estruturas submetidas a ação de cargas móveis e acidentais Exemplos de estruturas submetidas a cargas móveis pontes rodoviárias e ferroviárias pórticos industriais que suportam pontes rolantes Introdução Os esforços internos variam agora não só com a magnitude das cargas mas também com o seu ponto de aplicação ao longo da estrutura É fundamental identificar qual é o ponto de aplicação da carga que gera os maiores valores de esforços internos para assim posteriormente dimensionar a estrutura O procedimento geral e objetivo para determinar as posições de cargas móveis e acidentais que provocam valores extremos de determinado esforço interno em uma seção transversal de uma estrutura é feito com o auxílio das linhas de influência O traçado das linhas de influência permite obter as chamadas envoltórias limites de esforços internos que são necessárias para o dimensionamento de estruturas submetidas a cargas móveis ou acidentais Essas envoltórias limites de esforços internos descrevem para um conjunto de cargas permanentes e cargas móveis ou acidentais os valores máximos e mínimos dos esforços internos momento fletor esforço cortante e esforço normal em todas as seções transversais da estrutura As envoltórias são em geral obtidas por interpolação de valores máximos e mínimos respectivamente de esforços internos calculados em um determinado número de seções transversais ao longo da estrutura Introdução Definição Uma Linha de Influência LI é um diagrama cujas ordenadas que são plotadas como uma função da distância ao longo do vão fornecem o valor de esforço solicitante interno ou uma reação de apoio ou um deslocamento ou uma rotação em um ponto específico de uma estrutura quando uma carga unitária por exemplo igual a 10 kN se move pela estrutura Linhas de influência Linhas de influência Uma LI descreve a variação de um determinado efeito reação de apoio esforço solicitante interno deslocamento rotação em uma dada seção transversal da estrutura em função da posição de uma força vertical orientada para baixo e unitária que percorre a estrutura A Figura abaixo mostra a LI de momento fletor em uma seção S indicada Linhas de influência Nessa figura a carga P1 é posicionada em um ponto da estrutura que possui coordenada igual a x a partir do apoio da esquerda e uma coordenada do eixo y representa o valor do momento fletor na seção S em função da coordenada x LIMS MSx Linhas de influência Exemplo Vamos agora exemplificar o cálculo do momento fletor máximo e mínimo na seção S da viga apresentada na figura abaixo Consideramos que na viga agem dois tipos de carregamento o permanente e o acidental O carregamento permanente constituído do peso próprio da estrutura é representado por uma força uniformemente distribuída agindo ao longo de toda a viga Linhas de influência Exemplo Considerando que o momento fletor em S é função da posição x de uma força concentrada unitária ou seja MSx o valor do momento fletor em S devido ao carregamento permanente MSgx pode ser obtido por integração do produto da força infinitesimal g dx por MSx ao longo da estrutura MSgx 012m MSx g dx Linhas de influência O carregamento acidental de ocupação é representado por uma força uniformemente distribuída que por ser acidental pode atuar parcialmente ao longo da estrutura conforme indicado abaixo Exemplo Linhas de influência Exemplo O que se procura são as posições que a carga q deve assumir para que o momento fletor em S seja maximizado e minimizado Neste caso o valor máximo do momento fletor em S devido a carga acidental MSqmáx é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas positivas da linha de influência de momentos fletores conforme a figura abaixo Linhas de influência Exemplo De maneira análoga o valor mínimo do momento fletor em S devido a carga acidental MSqmín é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas negativas da linha de influência de momentos fletores conforme a figura abaixo Linhas de influência Linhas de influência Linhas de influência Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Expressões analíticas para linhas de influência em estruturas isostáticas podem ser obtidas a partir do equilíbrio explícito da estrutura submetida a uma força unitária 1 que possui ponto de aplicação segundo uma coordenada x Considere a seguinte viga biapoiada com balanços Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Queremos obter a LI na seção S para o esforço cortante e para o momento fletor Consideraremos dois casos Carga 1 aplicada a esquerda de S ou seja Carga 1 aplicada a direita de S ou seja Primeiramente impondo o equilíbrio para a estrutura como um todo podemos obter as reações de apoio conforme apresentado na seguinte figura e equações Linhas de influência para viga biapoida com balanços Linhas de influência para viga biapoida com balanços Linhas de influência para viga biapoida com balanços Linhas de influência para viga biapoida com balanços As LIs para os valores das reações de apoio podem ser traçadas a partir das equações de Ay e By A LI para a reação de apoio em A está representada na seguinte figura A LI para a reação de apoio em B está representada na seguinte figura Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Da mesma forma podese traçar as LIs para os esforços cortantes e momentos fletores para a seção transversal S a partir das equações obtidas Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Da mesma forma podese traçar as LIs para os esforços cortantes e momentos fletores para a seção transversal S a partir das equações obtidas Linhas de influência para viga biapoida com balanços Na linha de influência de esforço cortante na seção S LIVS é interessante notar que a LI é composta por duas retas paralelas a primeira passa pelo apoio da esquerda ponto A e por um ponto no apoio da direita deslocado de 1 para cima A segunda reta passa pelo apoio da direita ponto B e por um ponto no apoio da esquerda deslocado de 1 para baixo A LI é obtida com trechos dessas duas retas com uma descontinuidade unitária na seção S Linhas de influência para viga biapoida com balanços Na linha de influência de momento fletor na seção S LIMS é interessante notar que a LI é traçada com base em duas retas ligando os apoios a pontos deslocados para baixo de a no primeiro apoio e de b no segundo apoio As duas retas se interceptam exatamente na posição da seção S Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Para seções transversais localizadas nos balanços da viga biapoiada as LIs são obtidas facilmente impondo o equilíbrio no trecho em balanço conforme a seguinte figura Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Linhas de influência para viga biapoiada com balanços Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado As envoltórias conforme já comentado anteriormente são gráficos que expressam como variam os valores mínimos e máximos de um determinado parâmetro mecânico esforço solicitante interno deslocamento rotação nas seções transversais da estrutura A seguir falaremos especificamente das envoltórias dos esforços solicitantes internos Não existem expressões analíticas para as envoltórias Os valores das envoltórias são obtidos buscandose posições críticas para as cargas móveis que conduzam a valores máximos e mínimos de esforços solicitantes internos nas diversas seções transversais da estrutura Assim as envoltórias são traçadas por interpolação de valores calculados em seções transversais selecionadas a cada metro a cada 3 metros etc Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Surgem então duas questões a serem respondidas 1ª Como determinar o posicionamento das cargas acidentais e móveis para obter os valores mínimo e máximo de um determinado esforço solicitante interno em uma determinada seção transversal 2ª Como calcular os valores mínimo e máximo Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Essas duas questões são respondidas por meio da utilização de LIs Para ilustrar a ideia apresentase o seguinte exemplo Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Antes de começar a calcular as envoltórias cabe um comentário a respeito dos dois tipos de carga atuando na estrutura A carga permanente igual a 20 kNm nesse caso corresponde as cargas que atuam na estrutura na maior parte do tempo de vida útil prevista para a mesma como por exemplo o peso próprio da estrutura que foi linearizado para efeitos de análise estrutural A carga móvel que é o veículo de projeto também chamado de tremtipo é um carregamento idealizado para representar em projeto os efeitos dos veículos principais e secundários de uma estrada rodoviária ou ferroviária No exemplo o veículo de projeto tem dois eixos representados pelas duas forças concentradas de 10 kN e 20 kN A carga móvel uniformemente distribuída de 10 kNm corresponde a chamada carga de multidão e representa os veículos secundários que trafegam sobre a estrutura A carga de multidão tem um comportamento de carga acidental isto é ela pode ser interrompida em trechos da estrutura para minimizar ou maximizar um determinado efeito A determinação das cargas móveis foge ao escopo deste curso Maiores informações podem ser obtidas em normas técnicas apropriadas Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Após os devidos desenvolvimentos algébricos obtémse os seguintes diagramas de esforços solicitantes internos para a carga permanente igual a 20 kNm nesse caso Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Agora devese calcular os valores mínimos e máximos para o esforço cortante nas seções selecionadas provocadas pela carga móvel Para cada uma das seções transversais são traçadas as LIs de esforço cortante com base nos procedimentos descritos anteriormente Para cada LI traçada posicionase a carga móvel sobre as ordenadas negativas para obterse os máximos conforme já descrito Os valores extremos maiores valores em módulo são obtidos quando a força concentrada do veículo de projeto com maior intensidade no caso 20 kN está posicionada sobre a maior ordenada em módulo da LI No exemplo isto é fácil pois existem somente duas forças concentradas no tremtipo e as LIs são relativamente simples A investigação da posição crítica para um tremtipo mais complexo mais eixos por exemplo e para LIs com mais variações de sinais inclusive com trechos curvos é uma tarefa relativamente trabalhosa que normalmente é feita com o auxílio de programas de computador Apresentamse os cálculos seção a seção no material fornecido pelo professor Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado A seguir veremos o cálculo do esforço cortante mínimo e do esforço cortante máximo em algumas seções transversais Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Seção Besq localizada no balanço Seção E localizada no vão Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoida com balanços Exemplo comentado Após o cálculo feito em todas as seções por meio de uma tabela é possível compor os esforços solicitantes internos esforços cortantes neste caso gerados pela carga permanente e pela carga móvel Seção Esforço cortante devido a carga permanente kN Esforço cortante devido a carga móvel kN Envoltória dos esforços cortantes kN A 000 Min 2000 B 000 Besq 6000 6000 000 12000 6000 Bdir 12000 875 9125 11125 21125 C 6000 1250 5750 4750 11750 D 000 3125 3125 3125 3125 E 6000 5750 1250 11750 4750 Fesq 12000 9125 875 21125 11125 Fdir 6000 000 6000 6000 12000 G 000 000 2000 000 2000 Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Com os valores da tabela podemos traçar a envoltória de esforços cortantes para a viga 250 200 150 100 050 000 050 100 150 200 250 0 3 6 9 12 15 18 V kN x m Envoltória Esforços cortantes Cortantes máximos Cortantes mínimos Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Agora devese calcular os valores mínimos e máximos para o momento fletor nas seções selecionadas provocadas pela carga móvel para assim traçar a envoltória de momentos fletores para a viga O processo de cálculo é análogo a aquele apresentado para o esforço cortante A principal diferença é que as envoltórias de momentos fletores não têm descontinuidades nos apoios das vigas e além disso os valores de momento fletor nas extremidades dos balanços seções e são sempre nulos Apresentamse os cálculos seção a seção no material fornecido pelo professor A seguir veremos o cálculo do momento fletor mínimo e do momento fletor máximo em algumas seções transversais Seção B Min MBcmmin 20 300 10 0 10 300 3 12 10500kNm MBcmmax 0 Seção E Min MEcmmin 20 225 10 0 10 075 3 12 10 225 3 12 90kNm MEcmmax 20 225 10 0 10 225 12 12 195kNm Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Após o cálculo feito em todas as seções por meio de uma tabela é possível compor os esforços solicitantes internos momentos fletores neste caso gerados pela carga permanente e pela carga móvel Seção Momento fletor devido a carga permanente kNm Momento fletor devido a carga móvel kNm Envoltória dos momentos fletores kNm Mín Máx Mín Máx 000 000 000 000 000 9000 10500 000 19500 9000 18000 9000 19500 9000 37500 27000 7500 25500 19500 52500 18000 9000 19500 9000 37500 9000 10500 000 19500 9000 000 000 000 000 000 Envoltórias dos esforços solicitantes internos em viga biapoiada com balanços Exemplo comentado Com os valores da tabela podemos traçar a envoltória de momentos fletores para a viga 300 200 100 000 100 200 300 400 500 600 0 3 6 9 12 15 18 M kNm x m Envoltória Momentos fletores Momentos máximos Momentos mínimos