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Engenharia de Produção ·
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Fenômenos de Transporte Profª Drª Laiane Alves de Andrade Engenharia de Produção CPNA Análise quantitativa do comportamento do fluido em escoamento 2 Leis básicas para o estudo do comportamento do fluido 3 Basicamente a descrição do movimento dos fluidos é ancorada em 3 leis fundamentais Conservação da massa Conservação da energia mecânica Conservação do momento quantidade de movimento Expressar essas leis físicas em equacionamento s matemáticos Equações pela abordagem integral e pela abordagem diferencial FT Conservação da massa 4 0 dM dt constante M Acompanho minhas partículas ao longo do espaço Precisamos de uma nova equação para descrever o fluido escoando em um espaço preestabelecido Abordagem Integral ou abordagem diferencial euleriana Matematicamente para um sistema a conservação da massa pela visão lagrangeana é expressa por Se sigo as moléculas de CO2 sei que a massa se conserva Conservação do momento quantidade de movimento 5 O momento ou quantidade de movimento descreve como a energia de movimento é transferida para corpos interagindo entre si A transferência de quantidade de movimento momento linear é descrita pela segunda lei de Newton dv F m dt F ma Obs A segunda lei de newton também pode ser descrita em termo da variável momento linear P P mv dP mdv dividindo por dt dos 2 lados dP mdv dt dt dP F dt Como expressar a 2 lei de Newton para fluidos em escoamento Conservação da energia 1 lei da termodinâmica 6 Como é descrito a perda ou ganho de energia pelo fluido ao longo do escoamento dU Q W dt Reformulação da equação da 1 Lei para um fluido em escoamento lei da conservação da energia mecânica Objetivos da aula 7 Descrever a equação da conservação da massa Abordagem Integral Abordagem diferencial Visão Euleriana 1 2 3 Exemplos de aplicação para fluidos em escoamento Reescrever as leis básicas para serem aplicadas em um fluido em escoamento Formulação geral pela abordagem integral Equação geral para o comportamento do fluido pela formulação integral 8 9 Taxa de variação Fluxo de B que taxa de variação de de B cruza SC B dentro de VC Teorema do transporte de Reynolds A variação instantânea global de B no sistema é a soma de sua variação no interior do VC mais o seu fluxo que sai menos o seu fluxo que entra Seja B uma propriedade qualquer do fluido energia quantidade de movimento etc e β sua grandeza intensiva correspondente s c v c dBsis vndA dV dt t Conservação da massa e equação da continuidade 10 11 Conservação da massa a A Equação Integral da Conservação da Massa BM βMM β 1 0 dMsis dt A lei de conservação da massa estabelece s c v c dBsis vndA dV dt t s c v c dMsis vndA dV dt t 0 s c v c vndA dV t Equação da continuidade sendo ρ e V a massa específica do fluido e o volume considerado respectivamente 12 a A Equação Integral da Conservação da Massa v c s c dV vndA t Obs Para um determinado número de entradas e saídas considerando velocidades médias de um volume de controle podese escrever v c dV vA vA entrada saída t Própria definição de vazão mássica visto na aula passada v c dV m m entrada saída t 𝑚 sendo a vazão mássica de fluido kgs no SI 𝑚 13 a A Equação Integral da Conservação da Massa Casos especiais Escoamento Permanente Neste caso o termo de acúmulo é nulo ou seja não há variação da massa total no interior do volume de controle Logo v c dV m m entrada saída t Termo de acúmulo0 m m entrada saída Entendendo o termo do acúmulo 10 Lmin 10 Lmin Acúmulo10100 10 Lmin 5Lmin Acúmulo1055 15 a A Equação Integral da Conservação da Massa Casos especiais Escoamento Incompressível e Estacionário apresenta variações desprezíveis de massa específica e nada mais varia com o tempo Neste caso as massas específicas das correntes de entrada são iguais às das saídas Logo v c dV vA vA entrada saída t 0 Definição de vazão volumétrica aula passada vA vA entrada saída Fluido incompressível Q Q entrada saída sendo Q a vazão volumétrica de fluido m3s no SI 16 b A Equação diferencial da Conservação da Massa Comentário a equação da conservação de massa ou equação da continuidade pode ser obtida através de um balanço de massa num volume de controle diferencial ou infinitesimalabordagem euleriana Análise dos termos de entrada e saída em um elemento infinitesimal considere as taxas de massa que transpassam as faces de um volume de controle infinitesimal O volume do elemento abaixo é dado por dxdydz 17 b A Equação diferencial da Conservação da Massa Taxa mássica acumulada Taxa mássica que entra Taxa mássica que sai Análise do temo de acúmulo a taxa de variação da massa no interior do volume infinitesimal acúmulo de massa pode ser definido como Variação da taxa mássica taxa que entra taxa que sai u v w i j k t t t 18 Posto que o operador vetorial em coordenadas retangulares é dado por i j k t t t b A Equação diferencial da Conservação da Massa u v w i j k v t t t Desta forma a equação da continuidade pode também ser escrita em uma forma compacta 19 Casos Especiais da Equação da Continuidade b A Equação diferencial da Conservação da Massa Escoamento Incompressível as variações de massa específica são desprezíveis Ma 03 0 sai de dentro do operador divergente 0 0 v v 0 u v w i j t t t 21 Exemplo 1 Na secção 1 D2ft de um conduto escoa em estado estacionário um fluido newtoniano e escoamento incompressível cuja a velocidade nesse ponto é de 3fts Nesse conduto existe uma zona de expansão cujo o diâmetro é de 3ft Determine a velocidade média do fluido na secção 2 e a vazão volumétrica 22 Exemplo 2 Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos conforme mostrado no diagrama abaixo As áreas das seções são A1 02 m2 A2 02 m2 e A3 0149 m2 O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício no ponto 4 com uma vazão volumétrica estimada em 0099 m3 s As velocidades médias nas seções 1 e 3 são V1 5ms e V3 12 ms respectivamente Determine a velocidade do escoamento na seção 2 V2 em ms 23 Exemplo 3 Um tanque cilíndrico de água com 3ft de altura cuja a parte superior está aberta para a atmosfera inicialmente está cheio com água Agora a tampa de descarga próxima à parte inferior é retirada e são um jato de água através do tubo que se encontra na base cujo o diâmetro é 5t Sabendo que a velocidade média do jato é dada por onde h é a altura de água no tanque e g é a aceleração da gravidade Determine o tempo necessário para que o nível de água no tanque caia para 2ft Dados g 322 fts2 Área da base do tanque 1 ft2 24 Outra forma de descrever a eq Da continuidade em escoamentos incompressíveis v c dV vA vA entrada saída t v c dV vA vA entrada saída t Massa especifica constante ao longo do volume v c dV V mV V vA vA entrada saída t mv dm vA vA entrada saída t dm m m entrada saída dt 26 DÚVIDAS via Portal Drauzio Varella on GIPHY Obrigada 27 contato laianeandradeufmsbr Aulas gravadas disponíveis em Créditos template dos slides Slidesgo Referências 28 Mecânica dos fluidos White M Frank 8ªed Notas de aula Professor Dyrney Araújo IQUFG Fenômenos de Transporte Celso Liv via Salon Line on GIPHY
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Fenômenos de Transporte Profª Drª Laiane Alves de Andrade Engenharia de Produção CPNA Análise quantitativa do comportamento do fluido em escoamento 2 Leis básicas para o estudo do comportamento do fluido 3 Basicamente a descrição do movimento dos fluidos é ancorada em 3 leis fundamentais Conservação da massa Conservação da energia mecânica Conservação do momento quantidade de movimento Expressar essas leis físicas em equacionamento s matemáticos Equações pela abordagem integral e pela abordagem diferencial FT Conservação da massa 4 0 dM dt constante M Acompanho minhas partículas ao longo do espaço Precisamos de uma nova equação para descrever o fluido escoando em um espaço preestabelecido Abordagem Integral ou abordagem diferencial euleriana Matematicamente para um sistema a conservação da massa pela visão lagrangeana é expressa por Se sigo as moléculas de CO2 sei que a massa se conserva Conservação do momento quantidade de movimento 5 O momento ou quantidade de movimento descreve como a energia de movimento é transferida para corpos interagindo entre si A transferência de quantidade de movimento momento linear é descrita pela segunda lei de Newton dv F m dt F ma Obs A segunda lei de newton também pode ser descrita em termo da variável momento linear P P mv dP mdv dividindo por dt dos 2 lados dP mdv dt dt dP F dt Como expressar a 2 lei de Newton para fluidos em escoamento Conservação da energia 1 lei da termodinâmica 6 Como é descrito a perda ou ganho de energia pelo fluido ao longo do escoamento dU Q W dt Reformulação da equação da 1 Lei para um fluido em escoamento lei da conservação da energia mecânica Objetivos da aula 7 Descrever a equação da conservação da massa Abordagem Integral Abordagem diferencial Visão Euleriana 1 2 3 Exemplos de aplicação para fluidos em escoamento Reescrever as leis básicas para serem aplicadas em um fluido em escoamento Formulação geral pela abordagem integral Equação geral para o comportamento do fluido pela formulação integral 8 9 Taxa de variação Fluxo de B que taxa de variação de de B cruza SC B dentro de VC Teorema do transporte de Reynolds A variação instantânea global de B no sistema é a soma de sua variação no interior do VC mais o seu fluxo que sai menos o seu fluxo que entra Seja B uma propriedade qualquer do fluido energia quantidade de movimento etc e β sua grandeza intensiva correspondente s c v c dBsis vndA dV dt t Conservação da massa e equação da continuidade 10 11 Conservação da massa a A Equação Integral da Conservação da Massa BM βMM β 1 0 dMsis dt A lei de conservação da massa estabelece s c v c dBsis vndA dV dt t s c v c dMsis vndA dV dt t 0 s c v c vndA dV t Equação da continuidade sendo ρ e V a massa específica do fluido e o volume considerado respectivamente 12 a A Equação Integral da Conservação da Massa v c s c dV vndA t Obs Para um determinado número de entradas e saídas considerando velocidades médias de um volume de controle podese escrever v c dV vA vA entrada saída t Própria definição de vazão mássica visto na aula passada v c dV m m entrada saída t 𝑚 sendo a vazão mássica de fluido kgs no SI 𝑚 13 a A Equação Integral da Conservação da Massa Casos especiais Escoamento Permanente Neste caso o termo de acúmulo é nulo ou seja não há variação da massa total no interior do volume de controle Logo v c dV m m entrada saída t Termo de acúmulo0 m m entrada saída Entendendo o termo do acúmulo 10 Lmin 10 Lmin Acúmulo10100 10 Lmin 5Lmin Acúmulo1055 15 a A Equação Integral da Conservação da Massa Casos especiais Escoamento Incompressível e Estacionário apresenta variações desprezíveis de massa específica e nada mais varia com o tempo Neste caso as massas específicas das correntes de entrada são iguais às das saídas Logo v c dV vA vA entrada saída t 0 Definição de vazão volumétrica aula passada vA vA entrada saída Fluido incompressível Q Q entrada saída sendo Q a vazão volumétrica de fluido m3s no SI 16 b A Equação diferencial da Conservação da Massa Comentário a equação da conservação de massa ou equação da continuidade pode ser obtida através de um balanço de massa num volume de controle diferencial ou infinitesimalabordagem euleriana Análise dos termos de entrada e saída em um elemento infinitesimal considere as taxas de massa que transpassam as faces de um volume de controle infinitesimal O volume do elemento abaixo é dado por dxdydz 17 b A Equação diferencial da Conservação da Massa Taxa mássica acumulada Taxa mássica que entra Taxa mássica que sai Análise do temo de acúmulo a taxa de variação da massa no interior do volume infinitesimal acúmulo de massa pode ser definido como Variação da taxa mássica taxa que entra taxa que sai u v w i j k t t t 18 Posto que o operador vetorial em coordenadas retangulares é dado por i j k t t t b A Equação diferencial da Conservação da Massa u v w i j k v t t t Desta forma a equação da continuidade pode também ser escrita em uma forma compacta 19 Casos Especiais da Equação da Continuidade b A Equação diferencial da Conservação da Massa Escoamento Incompressível as variações de massa específica são desprezíveis Ma 03 0 sai de dentro do operador divergente 0 0 v v 0 u v w i j t t t 21 Exemplo 1 Na secção 1 D2ft de um conduto escoa em estado estacionário um fluido newtoniano e escoamento incompressível cuja a velocidade nesse ponto é de 3fts Nesse conduto existe uma zona de expansão cujo o diâmetro é de 3ft Determine a velocidade média do fluido na secção 2 e a vazão volumétrica 22 Exemplo 2 Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos conforme mostrado no diagrama abaixo As áreas das seções são A1 02 m2 A2 02 m2 e A3 0149 m2 O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício no ponto 4 com uma vazão volumétrica estimada em 0099 m3 s As velocidades médias nas seções 1 e 3 são V1 5ms e V3 12 ms respectivamente Determine a velocidade do escoamento na seção 2 V2 em ms 23 Exemplo 3 Um tanque cilíndrico de água com 3ft de altura cuja a parte superior está aberta para a atmosfera inicialmente está cheio com água Agora a tampa de descarga próxima à parte inferior é retirada e são um jato de água através do tubo que se encontra na base cujo o diâmetro é 5t Sabendo que a velocidade média do jato é dada por onde h é a altura de água no tanque e g é a aceleração da gravidade Determine o tempo necessário para que o nível de água no tanque caia para 2ft Dados g 322 fts2 Área da base do tanque 1 ft2 24 Outra forma de descrever a eq Da continuidade em escoamentos incompressíveis v c dV vA vA entrada saída t v c dV vA vA entrada saída t Massa especifica constante ao longo do volume v c dV V mV V vA vA entrada saída t mv dm vA vA entrada saída t dm m m entrada saída dt 26 DÚVIDAS via Portal Drauzio Varella on GIPHY Obrigada 27 contato laianeandradeufmsbr Aulas gravadas disponíveis em Créditos template dos slides Slidesgo Referências 28 Mecânica dos fluidos White M Frank 8ªed Notas de aula Professor Dyrney Araújo IQUFG Fenômenos de Transporte Celso 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