Lista 7 - Física 3 2022 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE ENGENHARIA / CAMPUS V´ARZEA GRANDE Disciplina: F´ısica III Professor: Jo˜ao Bosco de Siqueira S´etima Lista de Exerc´ıcios: Campo Magn´etico 1. Um pr´oton se move com uma velocidade ⃗v = 2 m/sˆi − 4 m/s ˆj + 1 m/s ˆk em uma regi˜ao de um campo magn´etico dado por ⃗B = 1 Tˆi + 2 T ˆj − 1 T ˆk. Qual ´e a magnitude da for¸ca magn´etica sobre esta part´ıcula? 2. Um pr´oton move-se em uma orbita circular de raio 65 cm que ´e perpendicular a um campo magn´etico de 0, 75 T. (a) Qual ´e o per´ıodo da orbita do pr´oton? (b) Qual ´e a velocidade do pr´oton? (c) Qual ´e a energia cin´etica do pr´oton? 3. Um el´etron de energia cin´etica igual a 4, 5 keV move-se em uma orbita circular perpendicular a um campo magn´etico de intensidade 0, 325 T. (a) Determine o raio da ´orbita. (b) Encontre o per´ıodo e a frequˆencia do movimento do pr´oton. 4. Um pr´oton, um deut´erio e uma part´ıcula alfa seguem trajet´orias circulares de mesmo raio em uma regi˜ao de campo magn´etico uniforme. Um deut´erio possui a mesma carga do pr´oton e uma part´ıcula alfa possui o dobro da carga do pr´oton. Assuma mα = 2md = 4mp. Compare (a) suas velocidades, (b) suas energias cin´eticas e (c) a magnitude de seu momentos angulares em rela¸c˜ao ao centro de suas ´orbitas. 5. Na figura, o campo magn´etico possui intensidade de 60 mT, a distˆancia d vale 40 cm, e o ˆangulo θ mede 24o. Encontre a velocidade v com que a part´ıcula entra na regi˜ao e o ˆangulo de sa´ıda φ se a part´ıcula for um (a) pr´oton; (b) um deut´erio. Assuma que a massa do deut´erio ´e o dobro da massa do pr´oton. 6. Um segmento de fio retil´ıneo de comprimento de 2, 0 m faz um ˆangulo de 30o com um campo magn´etico de intensidade de 0, 37 T. Encontre a magnitude da for¸ca magn´etica sobre o fio, supondo que a corrente no fio ´e de 2, 6 A 7. Em seu laborat´orio de f´ısica, vocˆe constr´oi um medidor de campo magn´etico de Gauss (gauss´ımetro) simples para medir a componente horizontal do campo magn´etico. A montagem constitui em um fio r´ıgido de 50, 0 cm, pendurado verticalmente em um pivˆo, com a extremidade inferior livre para fazer contato com um piscina de merc´urio, conforme mostra a figura. O merc´urio fornece contato el´etrico para o fio sem conter seu movimento. O fio possui uma massa de 0, 5 g. (a) Qual ´e o deslocamento angular de equil´ıbrio, medido a partir da vertical, se a componente horizontal do campo magn´etico vale 0, 040 T e a corrente no fio ´e de 0.2 A? (b) Qual ´e a sensibilidade deste gauss´ımetro? Isto ´e, qual ´e a raz˜ao entre o ˆangulo medido e campo magn´etico (em radianos por Tesla)? 8. Um fio retil´ıneo de 10 cm de comprimento est´a colocado paralelamente ao eixo x e conduz uma corrente de 2, 0 A no sentido +x. A for¸ca neste fio devido a presen¸ca de um campo magn´etico vale 3, 0Nˆj + 2, 0Nˆk. Se este fio ´e rodado de modo a ficar paralelo com o eixo y, conduzindo a corrente no sentido positivo do eixo y, a for¸ca sobre ele se torna −3, 0Nˆi − 2, 0Nˆk. Determine o campo magn´etico ⃗B e sua intensidade | ⃗B|. 9. A por¸c˜ao de fio mostrada na figura abaixo carrega uma corrente de 1, 8 A, de a para b. Encontre a for¸ca magn´etica total no fio e mostre que ela ´e igual a for¸ca total sobre um fio retil´ıneo indo diretamente de a para b e carregando a mesma corrente. 10. Um seletor de velocidade possui um campo magn´etico que possui magnitude igual a 0, 28 T, e ´e perpendicular a um campo el´etrico de magnitude de 0, 46 MV/m. (a) Qual deve ser a velocidade de uma part´ıcula para que ela passe pelo seletor sem ser defletida? Qual deve ser a energia cin´etica, em joules e em el´etron-volts, para (b) pr´otons e (c) para el´etrons passarem pelo seletor sem serem defletidas. 11. Um feixe de pr´otons est´a se movendo com uma velocidade de 12, 4 km/s na regi˜ao em que um campo magn´etico ´e ortogonal a um campo el´etrico. O feixe n˜ao ´e defletido nesta regi˜ao. (a) Se o campo magn´etico possui intensidade de 0, 85 T e aponta no sentido positivo do eixo y, encontre a magnitude e a dire¸c˜ao do campo el´etrico? (b) Se el´etrons que possuam a mesma velocidade que os pr´otons entrarem na regi˜ao, eles ser˜ao defletidos? Se sim, em qual dire¸c˜ao. Se n˜ao, por quˆe? 12. Um feixe de 6Li e 7Li ionizados uma vez, passam atrav´es de um seletor de velocidades e entram em uma regi˜ao de campo magn´etico uniforme, com uma velocidade perpendicular a dire¸c˜ao do campo. Se o diˆametro da ´orbita dos ´ıons de 6Li ´e de 15, 0 cm, qual ´e o diˆametro da ´orbita dos ´ıons 7Li? Assuma que a fra¸c˜ao de suas massas ´e de 7 : 6. 13. O cloro possui dois is´otopos est´aveis, 35Cl e 37Cl. Um g´as de cloro, que consistem ´atomos de cloro ionizados uma vez, s˜ao separados nos seus componentes isot´opicos usando um es- pectrˆometro de massa. A magnitude do campo magn´etico no espectrˆometro ´e de 1, 2 T. Qual ´e o m´ınimo da diferen¸ca de potencial que esses ´ıons devem ser acelerados para a separa¸c˜ao entre eles, ap´os completar seu caminho semicircular seja de 1, 4 cm? 14. Um acelerador ciclotron de pr´otons possui campo magn´etico de intensidade de 1, 4 T e raio de 0, 70 m. (a) Qual ´e a frequˆencia de ciclotron? (b) Qual ´e a energia dos pr´otons quando eles emergem? (c) Como suas respostas mudar˜ao se usarmos deut´erio no lugar de pr´otons? 15. Um determinado ciclotron, que possui campo magn´etico de 1, 8 T, ´e projetado para acelerar pr´otons a uma energia cin´etica de 25 MeV. (a) Qual ´e a frequˆencia de revolu¸c˜ao? (b) Qual ´e o raio m´ınimo do ciclotron para atingir esta energia? (c) Se a diferen¸ca de potencial alternada aplicada possui um valor m´aximo 50 keV, quantas revolu¸c˜oes devem ser realizadas pelo pr´oton para atingir os 25 MeV? 16. Um ´ım˜a forte ´e colocado abaixo de um condutor circular de raio r que conduz uma corrente I conforme mostra a figura. Se o campo magn´etico faz um ˆangulo θ com a vertical na posi¸c˜ao do anel, qual ´e (a) o m´odulo e (b) a dire¸c˜ao da for¸ca magn´etica sobre o anel? 17. Um campo magn´etico uniforme de magnitude 0, 150 T est´a direcionado no sentido positivo do eixo x. Um p´ositron se movendo com velocidade de m´odulo 5, 00 × 106 m/s entra na regi˜ao de campo fazendo um ˆangulo θ = 85, 0o com o eixo x. Encontre (a) o afastamento entre dois c´ırculos adjacentes p e (b) o raio dos c´ırculos. 18. Um feixe de pr´otons se movendo a uma velocidade de m´odulo 1, 20 km/s entra em uma regi˜ao de campo magn´etico uniforme, com velocidade perpendicular ao campo. O feixe deixa a regi˜ao de campo se movendo com uma velocidade perpendicular a dire¸c˜ao original de seu movimento, conforme mostra a figura. Se a distˆancia que o feixe percorre em presen¸ca do campo ´e 1, 18 cm, qual ´e a magnitude do campo? (1) Próton -> carga elementar (+ e) e = 1,6.10^{-19} C \overrightarrow{F}= q \overrightarrow{v} x \overrightarrow{B} (Fórmula para carga em movimento em um campo magnético) \overrightarrow{v} x \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -4 & 1 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = (4\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) (4\hat{i} \hat{j} \hat{k}) Setas para a direita (+) Setas para a esquerda (-) \overrightarrow{v} x \overrightarrow{B} = (4\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}) - (-4\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k} + 4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k} \overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} x \overrightarrow{B}) = 1,6.10^{-19}( 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \overrightarrow{F} = (3,2\hat{i} + 4,8\hat{j} + 12,8\hat{k}).10^{-19} N Queremos a magnitude de \overrightarrow{F}, portanto, o módulo do vetor ||\overrightarrow{F}|| = F = 10^{-19} \sqrt{3,2^{2} + 4,8^{2} + 12,8^{2}} = 14.04.10^{-19} N F = 14.04.10^{-19} N (2) Para determinar se \overrightarrow{B} está entrando ou saindo do plano utilizamos a regra da mão direita pela fórmula: \overrightarrow{F} = e \overrightarrow{v} x \overrightarrow{B} (a) A força magnética é a resultante centrípeta, portanto: F_{M} = \frac{mv^{2}}{R} = qvB Em movimentos circulares, sabemos que V = \omega R dasda \frac{mv}{R} = qB \Rightarrow \frac{m}{R}(\omega R) = qB, sabemos que \omega = \frac{2\pi}{T} m\omega = qB \Rightarrow m (\frac{2\pi}{T}) = qB T = \frac{2\pi m}{qB} massa do próton = mp = 1,673.10^{-27} kg q = e = 1,6.10^{-19} C B = 9,75 T T = \frac{2\pi.1,673.10^{-27}}{1,6.10^{-19}.9,75} = 8,760.10^{8} = 87,60 ns (b) V = \omega. R = \frac{2\pi. R}{T} = \frac{2\pi . 0,65}{87,6.10^{-9}} = 0,04662.10^{9} m/s = 4,66.10^{7} m/s (c) K = \frac{1}{2}mv^{2} = 1,673.10^{-27}.(4,66.10^{7})^{2} = 18,17.10^{-13} J = 1,82.10^{-12} J = 114.10^{7} eV (3) (a) K = 4,5 KeV = \frac{mv^{2}}{2} Com o elétron em órbita circular: Fm = Fcp => \frac{mv^{2}}{R} = qvB => mv^{2} = qvBR (;2) => \frac{mv^{2}}{2} = qvB \frac{R}{2} => R = \frac{2K}{qvB} \quad (precisamos da velocidade) Da energia cinética: K = \frac{mv^{2}}{2} => v = \sqrt{\frac{2K}{m}} R = \frac{2H}{qB} \frac{1}{\sqrt{\frac{2mH}{qB}}} me = 9,1.10^{-31} kg q = e = 1,6.10^{-19} C B = 0,325 T H = 4,5 KeV = 4,5.10^{3}.1,6.10^{-19} = k = 7,2.10^{-16} R = \frac{2.9,1.10^{-31}.7,2.10^{-16}}{1,6.10^{-19}.0,325} = 6,96.10^{-4} m = 0,696 mm (b) T = \frac{2\pi}{\omega} \; \; \omega = \frac{v}{R} \; \; v = \sqrt{\frac{2H}{m}} T = 2\pi R \frac{\sqrt{\frac{m}{2H}}}{m} = 2\pi.6,96.10^{-4}\sqrt{\frac{9,1.10^{-31}}{2.7.2.10^{-16}} = 10,99.10^{-11} = 1,10.10^{-10} s f = \frac{1}{T} = 0,91.10^{10}Hz = 9,1.10^{9} Hz 𝐹⃗_𝑀 = 𝑖𝐿⃗ × 𝐵⃗ 𝐼⃗ aponta no sentido da corrente pela regra da mão direita: 𝐵⃗ 𝐿⃗ 𝐹⃗_𝑀 𝐹_𝑀 = i𝐿𝐵sen30° = 2,6 ⋅ 0,37 ⋅ \frac{1}{2} = 0,962 N (10) (a) Com a configuração adotada para os campos \[\vec{E}\] e \[\vec{B}\], as forças vão se opor independentemente da carga: \[q \vec{v} B \neq q \vec{E}\] \[q \vec{v} B = q \vec{E}\] \[V = \frac{E}{B} = \frac{0,46 \cdot 10^6}{0,28} = 1,64 \cdot 10^6 \text{m/s}\] (b) \[K_p = \frac{1}{2} m_p v^2 = \frac{1,673 \cdot 10^{-27} \cdot (1,64 \cdot 10^6)^2}{2} = 2,25 \cdot 10^{-15} J = \frac{(1,6 \cdot 10^{-19})}{1} = 1,4 \cdot 10^4 eV\] (c) \[K_e = \frac{1}{2} m_e v^2 = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot (1,64 \cdot 10^6)^2}{2} = 12,24 \cdot 10^{-19} J = \frac{(1,6 \cdot 10^{-19})}{1} = 7,65 eV\] (11) (a). O feixe não é defletido: \[\vec{F}_E + \vec{F}_M = 0\] \[\vec{F}_E = -\vec{F}_M = -q \vec{v} \times \vec{B}\] para cima \[q \vec{E} = -q \vec{v} \times \vec{B}\] para baixo Com isso percebemos \[\vec{E} \neq \vec{v} \times \vec{B} = E\hat{j}\] \[E = V \cdot B = 12 \mu_{10}^3 \cdot 0,85\] \[E = 10,54 \frac{NV}{m}\] (b) Não serão defletidos. Pois \[\vec{F}_E + \vec{F}_M = -e \vec{E} - e \vec{v} \times \vec{B}\] Pelas condições apresentadas \[\vec{E} = -\vec{v} \times \vec{B} \Rightarrow\] \[\vec{F}_E + \vec{F}_M = -e (-\vec{v} \times \vec{B} + \vec{v} \times \vec{B}) = \vec{0}\] Não há deflexão (12) \[_{~6}^{~7}Li\] ionizados 1 vez significam carga (+e) para cada íon. Já sabemos que pela fórmula o raio é: \[R = \frac{mv}{qB} \Rightarrow 2R = D = \frac{2mv}{qB}\] \[D_{7Li^+} = \frac{2 m_{7Li^+} \cdot V}{eB}\] \[D_{6Li^+} = \frac{2 m_{6Li^+} \cdot V}{eB}\] \[\Rightarrow\] \[\frac{D_{7Li^+}}{D_{6Li^+}} = \frac{m_{7Li^+}}{m_{6Li^+}} = \frac{7}{6} \Rightarrow\] \[D_{7Li^+} = \frac{7}{6} \cdot 15 = 17,5 \text{cm}\] (13) Da mesma maneira que no exercício anterior podemos escrever o diâmetro: D = \frac{2mv}{eB} \text{(veja que quanto maior } m, \text{} maior o diâmetro)} D_{37Q^+} \text{= } D_{35Q^+} \text{ = } 1,4 \text{cm = } d (1) Vale dizer que m_{37Q^+} \text{ e } m_{35Q^+} \text{ são massa de isótopos} ou seja, m_{r_i} = \frac{M_H}{N_A} Sabemos que \quad q\Delta V = \Delta U = -\Delta H Supondo que \; K_o = 0: \Delta V = \frac{-K_f}{q} = \frac{1}{2} e \frac{v_f^2}{m_a} \Rightarrow v_f = \sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}\\ De (1) \frac{d}{eB} = \frac{2}{eB} (\sqrt{m_{y_2} e \Delta V} , m_{v_i})_{V_i} = \frac{2}{eB} (\sqrt{2m_{a_2} e \Delta V} - \sqrt{2m_e e \Delta V}) d = \frac{2}{eB} \sqrt{2e\Delta V} (\sqrt{m_{a_2}}, \sqrt{m_{r_i}}) \Rightarrow \Delta V = \frac{1}{8} \frac{d^2B^2 e}{(\frac{1}{m_{37Q^+}} - \frac{1}{m_{25Q^+}})^2} \approx 1,22 \times 10^5 V (14) (a) Sabemos que o período pode ser escrito como\; T = \frac{2\pi m}{qB} \frac{1}{f} = \frac{2\pi m}{qB} \Rightarrow f = \frac{qB}{2\pi m} = \frac{1,6 \times 10^{-19} \times 1,14}{2\pi \times 1,673 \times 10^{-27}} = 2,13 \times 10^7 Hz (b) Sabemos que nesse caso: R = \frac{mv}{qB} \Rightarrow \frac{v^2}{R} = \frac{RB^2 e^2}{m^2} \Rightarrow K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{R^2e^2B^2}{2m} K = \frac{0,7^2 \times (1,6 \times 10^{-19})^2 \times 1,14^2}{2 \times 1,1673 \times 10^{-27}} = 7,35 \times 10^{-2} J = 45,9 MeV (c) Como \; F \propto \frac{1}{m} \; e \; H \propto \frac{1}{m} Quando consideramos deutério: m_d = 2m_p; F_d = \frac{f_p}{2} \; e \; H_d = \frac{K_p}{2} \Rightarrow F_d = 1,07 \times 10^7 Hz H_d = 3,68 \times 10^{-2} = 23,0 MeV (15) (a) Pela fórmula: F = \frac{qB}{2\pi m} = \frac{1,6 \times 10^{-19} \times 1,8}{2\pi \times 1,673 \times 10^{-27}} = 2,74 \times 10^7 Hz (b) R = \frac{mv}{qB},\; \quad se \; K = 25 MeV \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = K \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2K}{m}} R = \frac{\sqrt{2Km}}{eB} = \left(\frac{\sqrt{2\times 25 \times 10^6 \times e \times 1,673 \times 10^{-27}}}{e^2 \times 1,8}\right) = 0,4\ m (c) A cada volta ele aumenta sua energia em\; 250 keV: n \cdot 100 keV = 25 MeV \Rightarrow n = 250\;voltas O feixe percorre 1,18 cm - \frac{1}{4} de circunferência : . \frac{2 \pi r}{4} = 1,18 \Rightarrow r = \frac{2 \cdot 1,18}{\pi} Da fórmula para o raio: r = \frac{mv}{qB} \Rightarrow B = \frac{mv}{qr} = \frac{1,673 \cdot 10^{-27} \cdot 1,2 \cdot 10^3}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot \frac{2 \cdot 1,18}{\pi}} = 1,667 \cdot 10^{-5} T \newline