Sistemas de Controle

Avaliação 4 Sistemas de Controle Curso Engenharia Elétrica Disciplina Sistemas de controle Semestre 20251 Ano 2025 Professor Vinicius de Cillo Moro Valor total da avaliação 100 pontos 50 pontos cada questão Instruções Prazo até 23h59m do dia 24092025 Tipo de entrega Digital Local Portal Acadêmico Observações A atividade é em DUPLA OU INDIVIDUAL isso exige UMA entrega POR ALUNO se fizer individualmente ou POR DUPLA se fizerem em dupla Esse trabalho deve ser entregue em um formato de relatório As fontes utilizadas para consulta e resolução do trabalho devem ser devidamente referenciadas conforme normas da ABNT TODOS os códigos de programação utilizados para realizar as questões DEVEM constar em ANEXO ao relatório Se os códigos não forem disponibilizados as questões terão sua pontuação reduzida para metade do valor original A entrega do trabalho fora do prazo será desconsiderada nota igual a zero Para evitar problemas com instabilidade do portal recomendase postar a atividade com certa antecedência em relação ao prazo final estabelecido Universidade Federal de Mato Grosso Questões 1 Considere o sistema da figura 1 sistema original em que 50 pontos 𝑮𝒔 𝟓 𝒔𝟐 𝒔 a Apresente os diagramas de Bode magnitude e fase da Função de Transferência de Malha Aberta para o sistema original Figura 1 Avalie a margem de ganho e margem de fase e responda o sistema sem compensação será estável em malha fechada Justifique sua resposta com base nas informações obtidas nos diagramas 025 b Considerando a realimentação unitária ver figura 1 determine a resposta do sistema original sem compensação à entrada do tipo degrau unitário Apresente o resultado graficamente 025 c Considerando a realimentação unitária ver figura 1 determine a resposta do sistema original sem compensação à entrada do tipo rampa unitária Apresente o resultado graficamente 025 d Considerando a Figura 2 projete um compensador AVANÇO DE FASE Gcs para que se obtenham os seguintes requisitos 15 𝒆𝒗 𝟎 𝟎𝟐 erro em regime permanente para entrada em rampa MF margem de fase 𝑴𝑭 𝟓𝟎 MG margem de ganho 𝑴𝑮 𝟏𝟎 𝐝𝐁 e Considerando a Figura 2 projete um compensador ATRASO DE FASE Gcs para que se obtenham os seguintes requisitos 15 𝒆𝒗 𝟎 𝟎𝟐 erro em regime permanente para entrada em rampa MF margem de fase 𝑴𝑭 𝟓𝟎 MG margem de ganho 𝑴𝑮 𝟏𝟎 𝐝𝐁 f Considerando ambos os projetos apresente os gráficos descritos abaixo e responda ao que se pede 125 I Gráfico 1 Respostas no domínio do tempo do sistema à entrada do tipo degrau unitário mostre a resposta do sistema original a resposta do sistema com compensação avanço e a resposta do sistema com compensação atraso de fase II Gráfico 2 Respostas no domínio do tempo do sistema à entrada do tipo rampa unitária mostre a resposta do sistema original a resposta do sistema com compensação avanço e a resposta do sistema com compensação atraso de fase III Gráfico 3 Diagramas de Bode da FTMA do sistema original do sistema com avanço de fase e do sistema com atraso de fase Apresente as margens de fase para cada FTMA IV Responda A partir dos gráficos 1 2 e 3 quais conclusões podem ser tiradas à respeito da atuação de cada um dos compensadores Compare ambos os resultados ATENÇÃO Para os itens d e e apresente todas as etapas percorridas no projeto seguindo os exemplos das aulas de projeto no domínio da frequência Identifique cuidadosamente as considerações realizadas Mostre que as especificações do projeto foram atendidas utilizando gráficos Diagramas de Bode e Respostas no domínio do tempo e explicações Figura 1 Figura 2 2 Considere o sistema da figura 3 sistema original em que 50 pontos 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝒔 𝟏𝒔 𝟓 a Apresente os diagramas de Bode magnitude e fase da FTMA para o sistema original sem nenhum tipo de compensador Avalie a margem de ganho e margem de fase e responda o sistema sem compensação será estável em malha fechada Justifique sua resposta com base nas informações obtidas nos diagramas 050 b Considerando a realimentação unitária ver figura 3 determine a resposta do sistema original sem compensação à entrada do tipo degrau Apresente o resultado graficamente 025 c Considerando a realimentação unitária ver figura 3 determine a resposta do sistema original sem compensação à entrada do tipo rampa Apresente o resultado graficamente 025 d Considerando a Figura 4 projete um compensador ATRASO DE FASE Gcs para que se obtenham os seguintes requisitos 40 𝒌𝒗 𝟐𝟎 MF margem de fase 𝑴𝑭 𝟒𝟎 MG margem de ganho 𝑴𝑮 𝟏𝟎 𝐝𝐁 ATENÇÃO Para o itens d apresente todas as etapas percorridas no projeto seguindo os exemplos das aulas de projeto no domínio da frequência Identifique cuidadosamente as considerações realizadas Mostre que as especificações do projeto foram atendidas utilizando gráficos Diagramas de Bode e Respostas no domínio do tempo e explicações 𝑮𝒔 𝟓 𝒔𝟐 𝒔 𝟓 𝒔𝟐 𝒔 𝑮𝒄 Figura 3 Figura 4 𝐺𝑠 10 𝑠𝑠 1𝑠 5 𝑮𝒔 𝑮𝒄 1 Questão 1 letra a Considere o sistema em realimentação negativa unitária da FIG 1 Gs Rs Us Y s Figura 1 Sistema em realimentação negativa unitária Seja Gs 5 s2 s 5 ss 1 O diagrama de Bode deste sistema é apresentado na FIG 2 Observase que o sistema atinge 0 dB em ω 213 rads e a fase do sistema é 1548 Ou seja a margem de fase do sistema é ϕm 252 Figura 2 Diagrama de Bode de Gs Em contrapartida a fase do sistema atingiria 180 em ω Como a margem 1 de fase começa a cair 40 dBdec se ω a magnitude do sistema será Logo a margem de ganho é Gm Como Gm e ϕm são positivos o sistema em malha fechada será estável letra b A função de transferência da malha fechada é Fs Y s Rs Gs 1 Gs 5 ss 1 1 5 ss 1 5 ss 1 5 5 s2 s 5 se o denominador é da forma s2 2ζωns ω2 n então 2ζωn 1 ωn 5 ou seja ωn 5 ζ 1 2 5 A resposta do sistema a entrada degrau é yt 1 eζωnt cos ωdt ζ 1 ζ2 sen ωdt 1 e05t cos 19t 2 1 19 sen 19t 2 Graficamente esta resposta é mostrada na FIG 3 com o auxílio computacional do MATLAB A resposta é típica do um sistema de segunda ordem subamortecido com 485 de sobressinal e tempo de acomodação de 756 s 2 Figura 3 Resposta ao degrau unitário do sistema sem compensação letra c Para uma entrada rampa unitária Rs 1s2 segue Y s FsRs 5 s2 s 5 1 s2 5 s2s2 s 5 fazendo a expansão em frações parciais Y s 1 s2 1 5 1 s 1 5 s 05 s2 s 5 45 s2 s 5 Mas como s 05 s2 s 5 s 05 s 052 192 2 e 45 s2 s 5 9 19 192 s 052 1922 Aplicando a transformada inversa de Laplace segue yt t 1 5 1 5e05t cos 19t 2 9 19 sen 19t 2 3 Graficamente esta resposta é mostrada na FIG 14 com o auxílio computacio nal do MATLAB O erro de seguimento de velocidade é de ev 02 Figura 4 Resposta à rampa unitária do sistema sem compensação letra d Considere um compensador de avanço de fase na forma Gcs Kcα Ts 1 αTs 1 Kc s 1 T s 1 αT 0 α 1 Para obter o erro de regime permanente desejado a constante de velocidade é Kv 1 ev 1 002 50 s1 Então Kv lim s0 sGcsGs lim s0 s Kcα Ts 1 αTs 1 5 ss 1 5Kcα 50 Definindo K Kcα segue K 50 5 10 4 Fazendo o diagrama de Bode de KGs segue Figura 5 Diagrama de Bode de KGs A margem de fase do sistema é de 8 e para atingir os 50 desejados é necessário um acréscimo de ϕ 42 5 47 Então o fator de atenuação deve ser α 1 sen ϕ 1 sen ϕ 01552 Observe que 1 α 1 01552 25386 8092 dB Analisando no diagrama de Bode onde o ganho é 809 dB obtémse ωc 1124 rads Selecionase essa frequência para ser a nova frequência de cruzamento de ga nho Logo 1 T αωc 44276 5 e 1 αT ωc α 285344 Por fim o ganho é Kc K α 644473 O compensador de avanço projetado é Gc1s 644473 s 44276 s 285344 Verificando o diagrama de Bode do sistema compensado GcsGs temos Figura 6 Diagrama de Bode de GcsGs Como se observa a margem de fase é de 52 e a margem de ganho é ilimitada O projeto atendeu aos requisitos de projeto 6 letra e Considere um compensador de atraso de fase na forma Gcs Kcβ Ts 1 βTs 1 Kc s 1 T s 1 βT β 1 Para satisfazer ao erro de regime permanente devese ter K βKc 10 O diagrama de Bode de KGs já foi apresentado na FIG 5 e observase que o sistema atinge a fase de 180 50 9 121 em ωc 06 rads Nesta frequência o nódulo do sistema é de 10Gj06 37081 dB que precisa ser atenuado Ou seja 20 log 1 β 37081 resolvendo β 103708120 714579 Selecionando esta frequência como a nova frequência de cruzamento de ganho segue que o zero do compensador de atraso deve ser adicionado uma década abaixo isto é 1 T 006 e a frequência do polo é 1 βT 00008397 O ganho do compensador de atraso é Kc K β 01399 O compensador de atraso projetado é Gc2s 01399 s 006 s 00008397 7 Verificando o diagrama de Bode do sistema compensado Gc2sGs temos Figura 7 Diagrama de Bode de GcsGs Como se observa a margem de fase é de 53 e a margem de ganho é ilimitada O projeto atendeu aos requisitos de projeto letra f I Figura 8 Resposta ao degrau 8 II Figura 9 Resposta a rampa III Figura 10 Resposta em frequência Todos os parâmetros de desempenho temporal e em frequência são IV A partir dos gráficos e da TAB 1 podese tecer algumas conclusões Ambos os compensadores de avanço e atraso foram capazes de atingir os requisitos de 9 Tabela 1 Desempenho dos sistemas Parâmetro sem compensador avanço de fase atraso de fase ts s 75607 06001 251215 tr s 05533 01026 20308 Mp 485 230 190 ev 1 002 002 Gm dB ϕm deg 252 521 533 projeto Entretanto o regime transitório destes é substancialmente diferente O compensador em atraso de fase por mais que ele atenda aos requisitos do projeto o seu regime transitório é muito mais prolongado porque os zeros e polos próximos da origem acabam retardando a acomodação do sistema Isto levou a um tempo de acomodação elevado Já o compensador de avanço de fase foi capaz de aprimorar o transitório reduzindo o tempo de acomodação e o sobressinal 2 Questão 2 letra a Considere o sistema em realimentação negativa unitária da FIG 11 Gs Rs Us Y s Figura 11 Sistema em realimentação negativa unitária Seja Gs 10 ss 1s 5 O diagrama de Bode deste sistema é apresentado na FIG 12 Observase que o sistema atinge 0 dB em ω 123 rads e a fase do sistema é 1546 Ou seja a margem de fase do sistema é ϕm 254 A fase do sistema atinge 180 em ω 224 rads e o módulo do sistema nesta 10 Figura 12 Diagrama de Bode de Gs frequência é 954 dB ou seja a margem de ganho é Gm 954 dB Como Gm e ϕm são positivos o sistema em malha fechada será estável letra b A função de transferência da malha fechada é Fs Y s Rs Gs 1 Gs 10 ss 1s 5 1 10 ss 1s 5 10 s3 6s2 5s 10 10 s 5418s2 05822s 1846 Graficamente esta resposta é mostrada na FIG 13 com o auxílio computacio nal do MATLAB A resposta é típica do um sistema de segunda ordem subamortecido com 485 de sobressinal e tempo de acomodação de 127 s 11 Figura 13 Resposta ao degrau unitário do sistema sem compensação letra c Para uma entrada rampa unitária Rs 1s2 segue Y s FsRs 10 s 5418s2 05822s 1846 1 s2 10 s2s 5418s2 05822s 1846 Graficamente esta resposta é mostrada na FIG 14 com o auxílio computacio nal do MATLAB O erro de regime permanente é de ev 05 letra d Considere um compensador de atraso de fase na forma Gcs Kcβ Ts 1 βTs 1 Kc s 1 T s 1 βT β 1 Para obter a constante de velocidade segue que Kv lim s0 sGcsGs lim s0 s Kcβ Ts 1 βTs 1 10 ss 1s 5 2Kcβ 20 12 Figura 14 Resposta à rampa unitária do sistema sem compensação Definindo K Kcβ segue K 20 2 10 Fazendo o diagrama de Bode de KGs segue Observase que o sistema atinge a fase de 180 40 7 133 em ωc 07 rads Nesta frequência o nódulo do sistema é de 10Gj07 273025 dB que precisa ser atenuado Ou seja 20 log 1 β 273025 resolvendo β 103708120 231806 Selecionando esta frequência como a nova frequência de cruzamento de ganho segue que o zero do compensador de atraso deve ser adicionado uma década abaixo isto é 1 T 007 13 Figura 15 Diagrama de Bode de KGs e a frequência do polo é 1 βT 000302 O ganho do compensador de atraso é Kc K β 04314 O compensador de atraso projetado é Gc2s 04314 s 007 s 000302 O diagrama de Bode do sistema compensado Gc2sGs é mostrado na FIG 16 Como se observa a margem de fase é de ϕm 415 e a margem de ganho é Gm 161 dB O projeto atendeu aos requisitos de projeto nestes requisitos da frequência A resposta a entrada degrau e rampa é apresentada a seguir no qual é visto na FIG 17 Observe que o erro de regime permanente da velocidade é 120 005 como requerido no projeto Cumprindo todos os requisitos de projeto Comparando a resposta do sistema sem compensação se observa que o com pensador de atraso reduziu o tempo de acomodação e o sobressinal 14 Figura 16 Diagrama de Bode de GcsGs a resposta ao degrau b resposta a rampa Figura 17 Respostas temporais da malha fechada 15