Exercícios Página 314 Até 318

ÁLGEBRA LINEAR Alfredo STEINBRUCH Paulo WINTERLE 138 problemas resolvidos 381 problemas propostos PEARSON τ cos θ sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1 OUTROS LIVROS NA ÁREA BOULOS Cálculo diferencial e integral 2 volumes Précálculo BOULOS Geometria analítica 3ª edição FLEMMING Cálculo A GONÇALVES Cálculo B LIPSCHUTZ Álgebra linear 3ª edição SIMMONS Cálculo com geometria analítica 2 volumes SPIEGEL Probabilidade e estatística STEINBRUCH Geometria analítica plana STEINBRUCH Introdução à álgebra linear WINTERLE Vetores e geometria analítica Makron Books é um selo da PEARSON wwwpearsoncombr ISBN 9780074504123 SUMÁRIO Prefácio da 2ª edição Capítulo 1 VETORES Vetores 1 Operações com vetores 3 Vetores no IR² 5 Igualdade e operações 6 Vetor definido por dois pontos 8 Produto escalar 9 Ângulo de dois vetores 10 Paralelismo e ortogonalidade de dois vetores 12 Vetores no IR³ 13 Capítulo 2 ESPAÇOS VETORIAIS Introdução 15 Espaços vetoriais 18 Propriedades dos espaços vetoriais 24 Subespaços vetoriais 25 Combinação linear 39 Espaços vetoriais finitamente gerados 53 Dependência e independência linear 53 Base e Dimensão 66 Espaços vetoriais isomorfos 86 Problemas Capítulo 3 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaços vetoriais 106 Espaço vetorial euclidiano 111 Módulo de um vetor 112 Ângulo de dois vetores 116 Vetores ortogonais 119 Conjunto ortogonal de vetores 120 Conjuntos ortogonais entre si 130 Complemento ortogonal 132 Problemas Capítulo 4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Transformações lineares 151 Núcleo de uma transformação linear 168 Imagem 171 Matriz de uma transformação linear 181 Operações com transformações lineares 192 Transformações lineares planas 195 Transformações lineares no espaço 206 Problemas Capítulo 5 OPERADORES LINEARES Operadores lineares 230 Operadores inversíveis 230 Mudança de base 234 Matrizes semelhantes 244 Operador ortogonal 252 Operador simétrico 261 Problemas Capítulo 6 VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS Vetor próprio e valor próprio de um operador linear 276 Determinação dos valores próprios e dos vetores próprios 278 Propriedades dos vetores próprios e valores próprios 286 Diagonalização de operadores 289 Diagonalização de matrizes simétricas 299 Problemas Capítulo 7 FORMAS QUADRÁTICAS Forma quadrática no plano 323 Cônicas 328 Notas complementares 347 Forma quadrática no espaço tridimensional 353 Quádricas 358 Problemas Apêndice A MATRIZESDETERMINANTESSISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES MATRIZES Definição de matriz 369 Matriz quadrada 371 Matriz zero 374 Igualdade de matrizes 374 Adição de matrizes 374 Produto de uma matriz por um escalar 375 Produto de uma matriz por outra 376 Matriz transposta 398 Matriz simétrica 400 Matriz antisimétrica 401 Matriz ortogonal 402 Matriz triangular superior 403 Matriz triangular inferior 403 Potência de uma matriz 404 DETERMINANTES Classe de uma permutação 420 Termo principal 421 Termo secundário 421 Determinante de uma matriz 421 Ordem de um determinante 421 Representação de um determinante 421 Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2a e de 3a ordem 422 Cálculo do determinante de 2a ordem 423 Cálculo do determinante de 3a ordem 426 Desenvolvimento de um determinante por uma linha ou por uma coluna 432 Propriedades dos determinantes 433 Cálculo de um determinante de qualquer ordem 446 INVERSÃO DE MATRIZES Matriz inversa 466 Matriz singular 466 Matriz nãosingular 467 Propriedades da matriz inversa 468 Operações elementares 470 Equivalência de matrizes 471 Inversão de uma matriz por meio de operações elementares 476 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Equação linear 505 Sistemas de equações lineares 505 Solução de um sistema linear 505 Sistema compatível 506 Sistemas equivalentes 507 Operações elementares e sistemas equivalentes 508 Sistema linear homogêneo 510 Estudo e solução dos sistemas de equações lineares 510 Problemas CAPÍTULO 1 VETORES 11 VETORES Este capítulo tem por finalidade precípua revisar resumidamente a noção de vetor no R2 e no R3 e suas propriedades as quais já devem ser do conhecimento do leitor Sabese que os vetores do plano ou do espaço são representados por segmentos orientados Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção o mesmo sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor Por exemplo no paralelogramo da Figura 11a os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v e escrevese v AB CD Figura 1 a O assunto pode ser visto em detalhes no livro Geometria Analítica dos autores desta Álgebra Linear Editora McGrawHill Quando escrevemos v AB estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B Porém qualquer outro segmento de mesmo comprimento mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor v Assim sendo cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor v O comprimento ou o módulo a direção e o sentido de um vetor v é o módulo a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes Indicase o módulo de v por v Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero ou vetor nulo que é indicado por 0 A cada vetor nãonulo v corresponde um vetor oposto v que tem o mesmo módulo a mesma direção porém sentido contrário ao de v Figura 11b Um vetor v é unitário se v 1 Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção Em outras palavras u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas Figura 11c Se os vetores nãonulos u v e w o número de vetores não importa possuem representantes AB CD e EF pertencentes a um mesmo plano π Figura 11d dizse que eles são coplanares 12 OPERAÇÕES COM VETORES 121 Adição de Vetores Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC respectivamente Figura 12a Os pontos A e C determinam o vetor soma AC u v 1211 Propriedades da adição I Associativa u v w u v w II Comutativa u v v u III Existe um só vetor nulo 0 tal que para todo vetor v se tem v 0 0 v v IV Qualquer que seja o vetor v existe um só vetor v vetor oposto de v tal que v v v v 0 Observações 1 A diferença de dois vetores u e v quaisquer é o vetor u v Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e AC respectivamente Construído o paralelogramo ABCD Figura 12b verificase que a soma u v é representada pelo segmento orientado AD uma das diagonais e que a diferença u v é representada pelo segmento orientado CB a outra diagonal 2 Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto verificase que a a soma u v ou v u tem origem no referido ponto b a diferença u v tem origem na extremidade de v e por conseguinte a diferença v u tem origem na extremidade de u 122 Multiplicação de um Número Real por um Vetor Dado um vetor v 0 e um número real k 0 chamase produto do número real k pelo vetor v o vetor p kv tal que a módulo p kv kv b direção a mesma de v c sentido o mesmo de v se k 0 e contrário ao de v se k 0 A Figura 122 mostra o vetor v e os correspondentes 2v e 3v Observações 1 Se k 0 ou v 0 o vetor kv é o vetor 0 2 Se k 1 o vetor 1v é o oposto de v isto é 1v v Figura 122 1221 Propriedades da Multiplicação por um Número Real Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais temos I abu ab u II a b u au bu III au v au av IV 1u u 13 VETORES NO ℝ² O conjunto R² ℝ ℝ x y x y ℝ é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante segmento orientado OP cuja origem é a origem do sistema Figura 13a Em nosso estudo consideraremos geralmente vetores representados por segmentos orientados com origem na origem do sistema Nessas condições cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do segmento Assim o ponto Pxy individualiza o vetor v OP Figura 13b e escrevese v x y identificandose as coordenadas de P com as componentes de v Figura 13a Figura 13b A origem do sistema O0 0 representa o vetor nulo O vetor oposto de v x y é o vetor v x y 14 IGUALDADE E OPERAÇÕES 141 Igualdade Dois vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ são iguais se e somente se x₁ x₂ e y₁ y₂ e escrevese u v Exemplos 1 Os vetores u 3 5 e v 3 5 são iguais 2 Se o vetor u x 1 4 é igual ao vetor v 5 2y 6 de acordo com a definição de igualdade de vetores x 1 5 e 2y 6 4 ou x 4 e y 5 Assim se u v então x 4 e y 5 142 Operações Sejam os vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ e a ℝ Definese a u v x₁ x₂ y₁ y₂ b au ax₁ ay₁ Portanto para somar dois vetores somamse suas componentes correspondentes e para multiplicar um vetor por um número multiplicase cada componente do vetor por este número Por exemplo se u 4 1 e v 2 6 a Figura 142a mostra que u v 4 1 2 6 4 2 1 6 6 7 e a Figura 142b mostra que 2u 24 1 24 21 8 2 Figura 142a Figura 142b 15 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS Ocorre às vezes o caso de um vetor ser representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema Consideremos o vetor AB de origem no ponto Ax1 y1 e extremidade Bx2 y2 Figura 15 De acordo com o que foi visto no item 1211 Observação 2 o vetor AB é a diferença entre os vetores OB e OA AB OB OA e portanto AB x2 y2 x1 y1 ou AB x2 x1 y2 y1 isto é as componentes do vetor AB são obtidas pela diferença entre as coordenadas da extremidade B e as da origem A Por exemplo se A 1 3 e B 2 2 o vetor AB será AB B A 2 2 1 3 3 5 16 PRODUTO ESCALAR 161 Definição Chamase produto escalar ou produto interno usual de dois vetores u x1 y1 e v x2 y2 e se representa por uv ao número real uv x1x2 y1y2 O produto escalar de u por v também é indicado por u v e se lê u escalar v Por exemplo se u 2 3 e v 4 1 temse uv 24 31 8 3 5 162 Módulo de um Vetor Módulo de um vetor v x y representado por v é o número real nãonegativo v vv ou em coordenadas v x yx y ou ainda v x² y² Por exemplo se v 3 4 então v 3² 4² 9 16 25 5 A partir de cada vetor v 0 é possível obter um vetor unitário u fazendo u vv Por exemplo é unitário o vetor u 3 43 4 3 43² 4² 3 49 16 3 425 3 45 35 45 Observação Dado um vetor AB com extremidades nos pontos Ax1 y1 e Bx2 y2 o módulo desse vetor será AB x2 x1² y2 y1² Assinalese que a distância entre os pontos A e B é calculada pela mesma fórmula 163 Propriedades do Produto Escalar Dados os vetores u v e w quaisquer e k IR temse I uu 0 e uu 0 se e somente se u 0 00 II uv vu comutativa III uv w uv uw distributiva em relação à adição de vetores IV muv muv umv V uu u² Observações Como consequência das propriedades do produto escalar vem 1 u v² u² 2uv v² Com efeito u v² u vu v uu v vu v u v² uu uv vu vv u v² u² 2uv v² 2 De modo análogo mostrase que u v² u² 2uv v² 17 ÂNGULO DE DOIS VETORES O ângulo de dois vetores u OA e v OB nãonulos Figura 17a é o ângulo θ formado pelas semiretas OA e OB Figura 17b e tal que 0 θ π 171 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores Sejam os vetores u 0 e v 0 O ângulo θ formado por u e v pode ser calculado pela fórmula cos θ u v u v Com efeito aplicando a lei dos cosenos ao triângulo ABC da Figura 171 vem u v² u² v² 2 u v cos θ 1 Mas de acordo com o item 163 Observação 2 podese escrever u v² u² 2u v v² 2 Comparando as igualdades 2 e 1 u² 2u v v² u² v² 2 u v cos θ logo u v u v cos θ e cos θ u v u v 171 Uma vez calculado o cos θ o ângulo θ é encontrado numa tabela de cosenos Por exemplo se u 2 2 e v 0 2 o ângulo θ pode ser calculado por intermédio da Fórmula 171 cos θ u v u v 2 2 0 2 2² 2² 0² 2² cos θ 4 4 4 0 4 4 8 4 4 22 2 cos θ 12 2 2 θ arc cos2 2 θ 45 18 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES a Se dois vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ são paralelos ou colineares existe um número k tal que u kv ou x₁ y₁ kx₂ y₂ o que implica x₁ x₂ y₁ y₂ k isto é dois vetores u e v são paralelos quando suas componentes são proporcionais Representase por u v dois vetores u e v paralelos Por exemplo os vetores u 2 3 e v 4 6 são paralelos pois 2 4 3 6 ou seja u 12 v b Se dois vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ são ortogonais o ângulo θ por eles formado é de 90 e portanto cos θ cos 90 0 o que implica pela Fórmula 171 u v 0 ou x₁ x₂ y₁ y₂ 0 isto é dois vetores u e v são ortogonais quando o produto escalar deles é nulo Representase por u v dois vetores u e v ortogonais Por exemplo os vetores u 2 3 e v 3 2 são ortogonais pois u v 23 32 6 6 0 19 VETORES NO IR³ O conjunto IR³ IR IR IR x y z x y z IR é interpretado geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional Oxyz Da mesma forma como fizemos para o plano consideraremos geralmente vetores representados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema Nessas condições cada vetor do espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento Assim o ponto Px y z individualiza o vetor v OP Figura 19 e escrevese v x y z identificandose as coordenadas de P com as componentes de v A origem do sistema O0 0 0 representa o vetor nulo O vetor oposto de v x y z é o vetor v x y z De forma análoga à que tivemos no plano teremos no espaço i Dois vetores u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 são iguais se e somente se x1 x2 y1 y2 e z1 z2 II Dados os vetores u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 e a IR definese u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 au ax1 ay1 az1 III Se Ax1 y1 z1 e Bx2 y2 z2 são dois pontos quaisquer no espaço então AB x2 x1 y2 y1 z2 z1 IV O produto escalar dos vetores u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 é o número real u v x1x2 y1y2 z1z2 V O módulo do vetor v x y z é dado por v x² y² z² VI se u e v são vetores nãonulos e θ é o ângulo formado por eles então cos θ u v uv VII Para u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 temse a u v se e somente se x1x2 y1y2 z1z2 b u v se e somente se x1x2 y1y2 z1z2 0 CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS 21 INTRODUÇÃO Sabese que o conjunto IR² x y x y IR é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano Um par x y pode ser encarado como um ponto Figura 21a e nesse caso x e y são coordenadas ou pode ser encarado como um vetor Figura 21b e nesse caso x e y são componentes ou coordenadas Essa mesma idéia em relação ao plano estendese para o espaço tridimensional que é a interpretação geométrica do conjunto IR³ Embora se perca a visão geométrica de espaços com dimensão acima de 3 é possível estender essa idéia a espaços como IR⁴ IR⁵ IRⁿ Assim Figura 21a Figura 21b quádruplas de números x1 x2 x3 x4 podem ser vistas como pontos ou vetores no espaço IR⁴ de quarta dimensão A quíntupla 2 1 3 5 4 será interpretada como um ponto ou um vetor no espaço IR⁵ de dimensão cinco Então o espaço de dimensão n ou espaço ndimensional será constituído pelo conjunto de todas as nuplas ordenadas e representado por IRⁿ isto é IRⁿ x1 x2 xn xj IR A maneira de se trabalhar nesses espaços é idêntica àquela vista em IR² e em IR³ Por exemplo se u x1 x2 xn e v y1 y2 yn são vetores no IRⁿ e α um escalar definese a u v se e somente se x1 y1 x2 y2 xn yn b u v x1 y1 x2 y2 xn yn c αu αx1 αx2 αxn d u v x1y1 x2y2 xnyn e u u u x1² x2² xn² Desde já é bom observar que o vetor u x1 x2 xn aparecerá às vezes com a notação matricial matrizcoluna n 1 u x1 x2 xnᵀ e é fácil ver que u v e αu na notação matricial são os vetores u v x1 x2 xnᵀ y1 y2 ynᵀ x1 y1 x2 y2 xn ynᵀ Vamos agora transmitir uma idéia nova Para tanto consideremos dois conjuntos o IRn e o conjunto das matrizes reais de ordem m x n representado por Mm n Como nesses conjuntos estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar constatase a existência de uma série de propriedades comuns a seguir enumeradas Se u v w IRn se α β IR e se A B C Mmn podemos verificar que a Em relação à adição valem as propriedades 1 u v w u v w e A B C A B C associatividade da adição 2 u v v u e A B B A comutatividade da adição 3 Existe um só elemento em IRn e um só em Mm n indicado por 0 e tal que u 0 u e A 0 A existência do elemento neutro O elemento 0 nesse caso será o vetor 0 0 0 0 IRn na primeira igualdade e a matriz nula 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mmn na segunda igualdade 4 Para cada vetor u IRn e para cada matriz A Mmn existe um só vetor u IRn e uma só matriz A Mm n tais que u u 0 e A A 0 existência do elemento simétrico Por exemplo se tivermos u x1 x2 xn então o vetor simétrico é u x1 x2 xn e caso semelhante para a matriz A e sua correspondente simétrica A b Em relação à multiplicação por escalar valem as propriedades 1 αβ u α βu e αβ A α β A 2 α β u αu βu e α β A αA βA 3 α u v αu αv e α A B αA αB 4 1u u e 1A A Conforme acabamos de ver os conjuntos IRn e Mm n munidos desse par de operações apresentam uma estrutura comum em relação a essas operações Esse fato não só vale para esses dois conjuntos com essas operações mas para muitos outros razão porque vamos estudálos simultaneamente Esses conjuntos serão chamados espaços vetoriais A Em relação à adição A1 u v w u v w u v w V A2 u v v u u v V A3 0 V u V u 0 u A4 u V u V u u 0 M Em relação à multiplicação por escalar M1 αβ u α βu M2 α β u αu βu M3 α u v αu αv M4 1u u para u v V e α β IR Observações 1 Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores independentemente de sua natureza Pode parecer estranho e à primeira vista não deixa de ser o fato de se chamar de vetores os polinômios quando V for constituído de polinômios as matrizes quando V for constituído por matrizes os números quando V for um conjunto numérico e assim por diante A justificativa está no fato de as operações de adição e multiplicação por escalar realizadas com esses elementos de natureza tão distinta se comportarem de forma idêntica como se estivéssemos trabalhando com os próprios vetores do IR2 ou do IR3 Assim a familiaridade que temos com os vetores do IR2 e do IR3 terá continuidade nesses conjuntos chamando seus elementos também de vetores 2 Se na definição acima tivéssemos tomado para escalares o conjunto C dos números complexos V seria um espaço vetorial complexo Daqui por diante salvo referência expressa em contrário serão considerados somente espaços vetoriais reais Assim quando se disser que V é um espaço vetorial deve ficar subentendido que V é um espaço vetorial sobre o conjunto IR dos números reais Exemplos 1 O conjunto V IR2 x yx y IR é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 αx y αx αy Essas são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar Para verificarmos os oito axiomas de espaço vetorial consideremos u x1 y1 v x2 y2 e w x3 y3 Temse A1 u v w x1 y1 x2 y2 x3 y3 u v w x1 x2 y1 y2 x3 y3 u v w x1 x2 x3 y1 y2 y3 u v w x1 x2 x3 y1 y2 y3 u v w x1 y1 x2 x3 y2 y3 u v w x1 y1 x2 y2 x3 y3 u v w u v w A2 u v x1 y1 x2 y2 u v x1 x2 y1 y2 u v x2 x1 y2 y1 u v x2 y2 x1 y1 u v v u A3 0 0 0 IR2 u IR2 u 0 x1 y1 0 0 u 0 x1 0 y1 0 u 0 x1 y1 u 0 u A4 u x1 y1 IR2 u x1 y1 IR2 u v x1 y1 x1 y1 u u x1 x1 y1 y1 u u 0 0 0 M1 αβu αβx1 y1 αβx1 αβy1 αβx1 αβy1 αβ u α βx1 βy1 α βx1 y1 αβ u α βu M2 α β u α βx1 y1 α βx1 α βy1 αx1 βx1 αy1 βy1 α β u αx1 αy1 βx1 βy1 α x1 y1 β x1 y1 α β u αu βu M3 αu v αx1 y1 x2 y2 αx1 x2 y1 y2 αx1 x2 αy1 y2 αu v αx1 αx2 αy1 αy2 αx1 αy1 αx2 αy2 αu v αx1 y1 αx2 y2 αu αv M4 1u 1x1 y1 1x1 1y1 x1 y1 1u u 2 Os conjuntos IR3 IR4 IRn são espaços vetoriais com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais Depois de verificados os oito axiomas de espaço vetorial para o IR2 os mesmos ficam também evidentes nos conjuntos acima citados 3 O conjunto IR em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar Os vetores nesse caso são números reais e sabese que a adição de números reais verifica as propriedades A1 A2 A3 e A4 da definição de espaço vetorial Assim também o produto de reais é um número real e a operação multiplicação satisfaz os axiomas M1 M2 M3 e M4 4 O conjunto Mm n das matrizes m n com as operações adição e multiplicação por escalar usuais Em particular o conjunto Mn n das matrizes quadradas de ordem n é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações 5 O conjunto Pn a0 a1 x a2 x2 an xn ai IR dos polinômios com coeficientes reais de grau n mais o polinômio nulo em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar Em particular o conjunto P2 a0 a1 x a2 x2 ai IR é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações 6 O conjunto V f IR IR das funções reais definidas em toda reta Se f g V e α IR definese f g IR IR x f gx fx gx e αf IR IR x αfx αfx 7 O conjunto V x x2x IR com as operações definidas por x1 x12 x2 x22 x1 x2 x1 x22 α x x2 αx α2 x2 é um espaço vetorial sobre IR Os símbolos e são utilizados para indicar que a adição e a multiplicação por escalar não são as usuais 8 O conjunto V x yx y 0 é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar definidas assim x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 α x y xα yα O trabalho de testar os oito axiomas de espaço vetorial é um ótimo exercício para o leitor o qual observará por exemplo que o elemento neutro da adição axioma A3 é o vetor 1 1 e que o elemento simétrico axioma A4 de cada vetor x y in V é o vetor 1x 1y in V 9 Seja o conjunto R2 a ba b in R Vamos mostrar que o conjunto R2 não é um espaço vetorial em relação às operações assim definidas a b c d a c b d ka b ka b Ora como a adição aqui definida é a usual verificamse os axiomas A1 A2 A3 e A4 de espaço vetorial conforme vimos no exemplo 1 Logo devem falhar algum ou alguns dos axiomas relativos à multiplicação Vamos testálos Consideremos u x1 y1 v x2 y2 e alpha beta in R Temos então M1 alpha beta u alpha beta x1 y1 alpha beta x1 y1 alpha beta x1 y1 alpha beta x1 y1 alpha beta u alpha beta x1 y1 alpha beta u Este axioma se verifica M2 alpha beta u alpha beta x1 y1 alpha beta x1 y1 alpha x1 beta x1 y1 alpha u beta u alpha x1 y1 beta x1 y1 alpha x1 y1 beta x1 y1 alpha x1 beta x1 2 y1 Como se vê alpha beta u eq alpha u beta u e portanto não se verifica o axioma M2 o que comprova não ser um espaço vetorial o conjunto de que trata esse exemplo 23 PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades I Existe um único vetor nulo em V elemento neutro da adição II Cada vetor u in V admite apenas um simétrico u in V III Para quaisquer u v w in V se u w v w então u v IV Qualquer que seja v in V temse v v isto é o oposto de v é v V Quaisquer que sejam u v in V existe um e somente um x in V tal que u x v Esse vetor x será representado por x v u VI Qualquer que seja v in V temse 0v 0 Naturalmente o primeiro zero é o número real zero e o segundo é o vetor 0 in V VII Qualquer que seja lambda in R temse lambda 0 0 VIII lambda v 0 implica lambda 0 ou v 0 IX Qualquer que seja v in V temse 1 v v X Quaisquer que sejam v in V e lambda in R temse lambda v lambda v lambda v 24 SUBESPAÇOS VETORIAIS Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto nãovazio de V O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial de V deveríamos testar os oito axiomas de espaço vetorial relativos à adição e à multiplicação por escalar No entanto como S é parte de V que já se sabe ser um espaço vetorial não há necessidade da verificação de certos axiomas em S Por exemplo o axioma A2 diz que u v v u forall u v in V Ora se a comutatividade da adição é válida para todos os vetores de V ela valerá conseqüentemente para todos os vetores de S Existem outros axiomas de espaço vetorial merecedores de comentário idêntico O teorema seguinte estabelece as condições para que um subconjunto S de um espaço vetorial V seja um subespaço vetorial de V 241 Teorema Um subconjunto S nãovazio de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições I Para quaisquer u v in S temse u v in S II Para quaisquer alpha in R u in S temse alpha u in S Vamos mostrar que sendo válidas essas duas condições em S os oito axiomas de espaço vetorial também se verificam em S De fato Seja u um vetor qualquer de S Pela condição II alpha u in S para todo alpha in R Fazendo alpha 0 vem 0u in S ou seja 0 in S axioma A3 Fazendo alpha 1 segue 1 u u in S axioma A4 Os demais axiomas A1 A2 M1 M2 M3 e M4 de espaço vetorial são verificados em S pelo fato de ser S um subconjunto nãovazio de V Observação Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços o conjunto 0 chamado subespaço zero ou subespaço nulo e o próprio espaço vetorial V Esses dois são os subespaços triviais de V Os demais subespaços são denominados subespaços próprios de V Por exemplo os subespaços triviais de V R3 são 000 verificar as condições I e II do teorema 241 e o próprio R3 Os subespaços próprios do R3 são as retas e os planos que passam pela origem Para V R2 os subespaços triviais são 00 e R2 enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem Exemplos 1 Sejam V R2 e S xy R2 y 2x ou S x2x x R isto é S é o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira Evidentemente S pois 00 S Verifiquemos as condições I e II Para ux1 2x1 S e vx2 2x2 S temse I uv x1x2 2x12x2 x1x2 2x1x2 S pois a segunda componente de uv é igual ao dobro da primeira II αu αx1 2x1 αx1 2αx1 S pois a segunda componente de αu é igual ao dobro da primeira Portanto S é um subespaço vetorial de R2 Esse subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem Figura 241a Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta o vetor soma uv ainda é da reta E se multiplicarmos um vetor u da reta por um número real α o vetor αu ainda estará na reta O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem Por exemplo a reta S x 42x x R não é um subespaço vetorial do R2 Se escolhermos os vetores u 12 e v 20 de S temos uv 32 S Figura 241b Observemos ainda que αu S para α 1 Os exemplos destas duas últimas retas sugerem para qualquer subconjunto S de um espaço vetorial V que sempre que 0 S S não é subespaço de V Aliás esse fato é sempre útil para detectar muitas vezes de imediato que um subconjunto S não é subespaço vetorial No entanto não nos enganemos pensando que se 0 S S é subespaço pois podemos ter 0 S sem que S seja subespaço É o caso do subconjunto S x x x R R2 Observemos que 00 S e que se tomarmos os vetores u33 e v22 de S teremos uv15 S Figura 241c Observemos ainda que αu S α0 Observação Nos exemplos trabalharemos somente com conjuntos nãovazios ficando dispensada a necessidade de mostrar que o conjunto é nãovazio 2 Sejam V R3 e S xyz R3 ax by cz 0 Nesse caso u x1 y1 z1 S implica ax1 by1 cz1 0 v x2 y2 z2 S implica ax2 by2 cz2 0 I Somando essas igualdades resulta ax1 x2 by1 y2 cz1 z2 0 e essa igualdade mostra que u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 S pois as coordenadas de u v satisfazem a equação ax by cz 0 II Por outro lado αu αx1 αy1 αz1 S pois se ax1 by1 cz1 0 então αax1 by1 cz1 α0 ou aαx1 bαy1 cαz1 0 o que vem mostrar que as coordenadas de αu satisfazem a equação ax by cz 0 Logo S é um subespaço vetorial de R³ Esse subespaço S representa um plano qualquer passando pela origem no R³ 3 Sejam V R⁴ e S x y z 0 x y z R isto é S é o conjunto dos vetores de R⁴ que têm a quarta componente nula Verifiquemos as condições I e II de subespaço Para u x1 y1 z1 0 S e v x2 y2 z2 0 S temse I u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 0 S pois a quarta componente de u v é nula II αu αx1 αy1 αz1 0 S pois a quarta componente de αu é nula Logo S é um subespaço vetorial de R⁴ 4 Sejam V M2 2 a b c d a b c d R e S a b 0 0 a b R isto é S é o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 cujos elementos da segunda linha são nulos Para quaisquer u a₁ b₁ 0 0 S v a₂ b₂ 0 0 S e α R temse I u v S II αu S Logo S é um subespaço vetorial de M2 2 Observação É interessante observar que se tivéssemos considerado V R⁴ e S a b 0 0 a b R o raciocínio seria idêntico ao que foi feito para as matrizes acima 5 Sejam V Mn n B uma matriz fixa de V e S A Mn nAB 0 isto é S é o conjunto das matrizes que multiplicadas à esquerda por B têm como resultado a matriz nula Então A₁ S implica A₁B 0 A₂ S implica A₂B 0 I Somando essas igualdades vem A₁B A₂B 0 ou A₁ A₂B 0 e portanto A₁ A₂ S II Multiplicando por α real a primeira igualdade vem αA₁B α0 ou αA₁B 0 e portanto αA₁ S Logo S é um subespaço vetorial de M2 2 6 Sejam V M3 1 e S o conjuntosolução de um sistema linear homogêneo a três variáveis Consideremos o sistema homogêneo 3x 4y 2z 0 2x y z 0 x y 3z 0 Fazendo A 3 4 2 2 1 1 1 1 3 X x y z e 0 0 0 0 o sistema em notação matricial será dado por AX 0 sendo X elemento do conjuntosolução S Se u X₁ x₁ y₁ z₁ e v X₂ x₂ y₂ z₂ são soluções do sistema então AX₁ 0 e AX₂ 0 I Somando essas igualdades vem AX₁ AX₂ 0 ou AX₁ X₂ 0 o que implica X₁ X₂ S isto é a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema II Multiplicando por α real a primeira igualdade vem αAX₁ α0 ou AαX₁ 0 o que implica αX₁ S isto é o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução Logo o conjuntosolução S do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de M3 1 Observações 1 Esse conjuntosolução S pode também ser considerado subespaço de R³ pois um vetor x y z R³ tem notação matricial x y z 2 Esse subespaço S é também chamado espaçosolução do sistema AX 0 3 Se tivermos um sistema homogêneo de m equações lineares com n variáveis o espaçosolução será um subespaço de Rⁿ 4 Se um sistema linear é nãohomogêneo o seu conjuntosolução S não é um subespaço vetorial verificação a cargo do leitor 7 Sejam V R² e S x y x 0 isto é S é o conjunto dos vetores de R² cuja primeira componente é positiva Sendo u x₁ y₁ x₁ 0 e v x₂ y₂ x₂ 0 vetores quaisquer do S temos I u v x₁ x₂ y₁ y₂ S pois x₁ x₂ 0 isto é a soma de dois vetores com a primeira componente positiva é um vetor cuja primeira componente é também positiva II αu αx₁ αy₁ S quando α 0 isto é nem sempre o produto de um vetor com a primeira componente positiva por um número real α resulta um vetor cuja primeira componente é positiva Por exemplo u 3 4 S e 23 4 6 8 S Logo S não é subespaço de R² Para chegar a essa conclusão poderíamos ter usado o fato de que 0 0 S imediata 242 Interseção de dois Subespaços Vetoriais Sejam S₁ e S₂ dois subespaços vetoriais de V A interseção S de S₁ e S₂ que se representa por S S₁ S₂ é o conjunto de todos os vetores v V tais que v S₁ e v S₂ 2421 Teorema A interseção S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V De fato I se u v S1 então u v S1 se u v S2 então u v S2 Logo u v S1 S2 S II Para qualquer λ R se v S1 então λv S1 se v S2 então λv S2 Logo λv S1 S2 S Exemplos 1 Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 V a b abcd R c d Sejam S1 e S2 subespaços vetoriais de V S1 a b ab R 0 0 S2 a 0 ac R c 0 A interseção S S1 S2 é um subespaço vetorial de V S a 0 a R 0 0 2 Seja o espaço vetorial R3 abc abc R e os subespaços vetoriais S1 ab0 ab R e S2 00c c R A interseção S1 S2 é o subespaço vetorial S 000 0 243 Soma de dois Subespaços Vetoriais Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V A soma S de S1 e S2 que se representa por S S1 S2 é o conjunto de todos os vetores u v de V tais que u S1 e v S2 2431 Teorema A soma S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V De fato I se u1 u2 S1 então u1 u2 S1 se v1 v2 S2 então v1 v2 S2 Por outro lado u1 v1 S u2 v2 S logo u1 v1 u2 v2 u1 u2 v1 v2 S1 S2 S II Para qualquer λ R se u1 S1 então λu1 S1 se v1 S2 então λv1 S2 Por outro lado u1 v1 S logo λu1 v1 λu1 λv1 S1 S2 S Exemplos 1 A soma S dos subespaços vetoriais S1 e S2 referidos no exemplo 1 de 2421 é um subespaço vetorial de V S a b abc R c 0 2 Sejam os subespaços vetoriais S1 ab0 ab R e S2 00c c R do espaço vetorial R3 abc abc R A soma S1 S2 é o subespaço vetorial S abc abc R que no caso é o próprio R3 244 Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V Dizse que V é a soma direta de S1 e S2 e se representa por V S1 S2 se V S1 S2 e S1 S2 0 2441 Teorema Se V é a soma direta de S1 e S2 todo vetor v V se escreve de modo único na forma v u w onde u S1 e w S2 De fato de V S1 S2 vem para qualquer v V v u w onde u S1 e v S2 2441I Suponhamos que v pudesse exprimirse também pela forma v u w onde u S1 e w S2 2441II As igualdades 2441I e 2441II permitem escrever u w u w ou u u w w onde u u S1 e w w S2 Tendo em vista que S1 S2 0 u u w w 0 isto é u u e w w Exemplo O espaço vetorial R3 abc abc R é a soma direta dos subespaços vetoriais S1 ab0 ab R e S2 00c c R pois qualquer vetor abc R3 pode ser escrito como soma de um vetor de S1 e um vetor de S2 de modo único abc ab0 00c e portanto R3 S1 S2 25 COMBINAÇÃO LINEAR Sejam os vetores v1 v2 vn do espaço vetorial V e os escalares a1 a2 an Qualquer vetor v V da forma v a1 v1 a2 v2 an vn é uma combinação linear dos vetores v1 v2 vn Exemplo No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau 2 o polinômio v 7x2 11x 26 é uma combinação linear dos polinômios v1 5x2 3x 2 e v2 2x2 5x 8 De fato v 3v1 4v2 isto é 7x2 11x 26 35x2 3x 2 42x2 5x 8 7x2 11x 26 15x2 9x 6 8x2 20x 32 7x2 11x 26 7x2 11x 26 251 Problemas Resolvidos Para os problemas de 1 a 4 consideremos no R3 os seguintes vetores v1 1 3 2 e v2 2 4 1 1 Escrever o vetor v 4 18 7 como combinação linear dos vetores v1 e v2 Solução Pretendese que v a1 v1 a2 v2 sendo a1 e a2 escalares a determinar Então devemos ter 4 18 7 a1 1 3 2 a2 2 4 1 ou 4 18 7 a1 3a1 2a1 2a2 4a2 a2 ou 4 18 7 a1 2a2 3a1 4a2 2a1 a2 Pela condição de igualdade de dois vetores resulta o sistema a1 2a2 4 3a1 4a2 18 2a1 a2 7 cuja solução é a1 2 e a2 3 Portanto v 2v1 3v2 Observação Esse sistema e outros deste Capítulo estão resolvidos no Apêndice 2 Mostrar que o vetor v 4 3 6 não é combinação linear dos vetores v1 e v2 Solução Devese mostrar que não existem escalares a1 e a2 tais que v a1 v1 a2 v2 Com procedimento análogo ao do problema anterior temos 4 3 6 a1 1 3 2 a2 2 4 1 de onde resulta o sistema a1 2a2 4 3a1 4a2 3 2a1 a2 6 Observemos que esse sistema difere do anterior pelos termos independentes Como é incompatível o vetor v não pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2 3 Determinar o valor de k para que o vetor u 1 k 7 seja combinação linear de v1 e v2 Solução Devemos ter u a1 v1 a2 v2 ou 1 k 7 a1 1 3 2 a2 2 4 1 de onde vem o sistema a1 2a2 1 3a1 4a2 k 2a1 a2 7 do qual resulta como solução do problema proposto k 13 a1 3 e a2 1 De fato 1 13 7 3 1 3 2 1 2 4 1 1 13 7 3 9 6 2 4 1 1 13 7 1 13 7 4 Determinar a condição para x y e z de modo que xyz seja combinação linear dos vetores v1 e v2 Solução Devemos ter xyz a1 1 3 2 a2 2 4 1 de onde vem o sistema a1 2a2 x 3a1 4a2 y 2a1 a2 z O vetor x y z somente será combinação linear de v1 e v2 se o sistema tiver solução e isto somente ocorre se x y 2z 0 ou x y 2z Assim todos os vetores x y z IR3 que são combinações lineares de v1 e v2 têm a forma y 2z y z com y z R Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado Observemos que os vetores v1 e v2 não são colineares O vetor a1 v1 tem a direção de v1 e o vetor a2 v2 a direção de v2 Logo todos os vetores x y z R3 do tipo x y z a1 v1 a2 v2 formam um plano π que passa pela origem conforme sugere a figura 251 Esse plano tem equação x y 2z 0 que estabelece a condição solicitada entre os componentes x y e z Figura 251 5 Mostrar que o vetor v 3 4 IR2 pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação linear dos vetores v1 1 0 v2 0 1 e v3 2 1 Solução Temse 3 4 a 1 0 b 0 1 c 2 1 donde a 2c 3 b c 4 ou a 3 2c b 4 c e portanto para cada valor de c obtémse um valor para a e outro para b 252 Subespaços Gerados Seja V um espaço vetorial Consideremos um subconjunto A v1 v2 vn V A O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V De fato se u a1 v1 a2 v2 an vn e v b1 v1 b2 v2 bn vn são dois vetores quaisquer de S podese escrever u v a1 b1 v1 a2 b2 v2 an bn vn αu αa1 v1 αa2 v2 αan vn Tendo em vista que u v S e que αu S por serem combinações lineares de v1 v2 vn concluise que S é um subespaço vetorial de V Simbolicamente o subespaço S é S v Vv a1 v1 an vn a1 an IR Observações 1 O subespaço S dizse gerado pelos vetores v1 v2 vn ou gerado pelo conjunto A e representase por S v1 v2 vn ou S GA Os vetores v1 v2 vn são chamados geradores do subespaço S enquanto A é o conjunto gerador de S 2 Para o caso particular de A definese 0 3 A GA ou seja v1 vn v1 vn 4 Todo conjunto A V gera um subespaço vetorial de V podendo ocorrer GA V Nesse caso A é um conjunto gerador de V Exemplos 1 Os vetores i 1 0 e j 0 1 geram o espaço vetorial R2 pois qualquer x y R2 é combinação linear de i e j x y xi yj x1 0 y0 1 x 0 0 y x y Então i j R2 2 Os vetores i 1 0 0 e j 0 1 0 do R3 geram o subespaço S x y 0 IR3 x y IR pois x y 0 x1 0 0 y0 1 0 Então i j S é um subespaço próprio do R3 e representa geometricamente o plano xOy 3 Os vetores e1 1 0 0 e2 0 1 0 e e3 0 0 1 geram o espaço vetorial R3 pois qualquer v x y z R3 é combinação linear de e1 e2 e e3 x y z x1 0 0 y0 1 0 z0 0 1 ou v x e1 y e2 z e3 Então e1 e2 e3 IR3 Observação Antes de resolvermos alguns problemas e fornecermos certas interpretações geométricas atentemos para um fato importante Dados n vetores v1 vn de um espaço vetorial V se w V é tal que w a1 v1 an vn então v1 vn w v1 vn pois todo vetor v que é combinação linear de v1 vn w é também combinação linear de v1 vn Supondo que v v1 vn w então existem números reais b1 bn b tais que v b1v1 bnvn bw mas w a1v1 anvn logo v b1v1 bnvn ba1v1 anvn ou v b1 a1bv1 bn anbvn e portanto v é combinação linear de v1 vn isto é v v1 vn A recíproca ou seja se v v1 vn então v v1 vn w é trivial pois se v a1v1 anvn então v a1v1 anvn 0w Assim sendo S um subespaço gerado por um conjunto A ao acrescentarmos vetores de S a esse conjunto A os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço S Esse fato faz entender que um determinado subespaço S pode ser gerado por uma infinidade de vetores porém existe um número mínimo de vetores para gerilo 2521 Problemas Resovidos 6 Seja V IR3 Determinar o subespaço gerado pelo vetor v1 1 2 3 Solução Temos v1 x y z IR3 x y z a1 2 3 a IR Da igualdade x y z a 1 2 3 vem x a y 2a z 3a donde y 2x z 3x Logo v1 x y z IR3 y 2x e z 3x ou v1 x 2x 3x x IR O subespaço gerado por um vetor v1 IR3 v1 0 é uma reta que passa pela origem Figura 252a Se a esse vetor acrescentarmos v2 v3 todos colineares entre si o subespaço gerado por 2 3 vetores continuará sendo a mesma reta v1 v1 v2 v1 v2 v3 Figura 252b 7 Seja V IR3 Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A v1 v2 sendo v1 1 2 1 e v2 2 1 1 Solução Temos v1 v2 x y z IR3x y z a1 1 2 1 a2 2 1 1 a1 a2 IR Da igualdade acima vem a1 2a2 x 2a1 a2 y a1 a2 z O vetor x y z v1 v2 se e somente se o sistema tem solução e isto somente ocorre quando x 3y 5z 0 exercício a cargo do leitor Logo v1 v2 x y z IR3 x 3y 5z 0 O subespaço gerado pelos vetores v1 v2 IR3 nãocolineares é um plano π que passa pela origem Figura 252c Se a esses dois vetores acrescentarmos v3 v4 todos coplanares o subespaço gerado por 3 4 vetores continuará sendo o mesmo plano π v1 v2 v1 v2 v3 v1 v2 v3 v4 Figura 252d 8 Seja V ℝ³ Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A v₁ v₂ v₃ sendo v₁ 1 1 1 v₂ 1 1 0 e v₃ 1 0 0 Solução Para todo vetor x y z v₁ v₂ v₃ temse x y z a₁ 1 1 1 a₂ 1 1 0 a₃ 1 0 0 Desta igualdade vem a₁ a₂ a₃ x a₁ a₂ y a₁ z ou a₁ z a₂ y z a₃ x y Portanto x y z z1 1 1 y z1 1 0 x y1 0 0 e por conseguinte os vetores v₁ v₂ e v₃ geram o ℝ³ pois cada vetor do ℝ³ é combinação linear dos vetores dados Logo v₁ v₂ v₃ ℝ³ O subespaço gerado por três vetores nãocoplanares é o próprio ℝ³ Figura 252e Se a esses três vetores acrescentarmos v₄ v₅ quaisquer o subespaço gerado pelos 4 5 vetores continuará sendo o próprio ℝ³ v₁ v₂ v₃ v₁ v₂ v₃ v₄ 9 Mostrar que o conjunto A 3 1 5 2 gera o ℝ² Solução Vamos mostrar que todo vetor x y ℝ² é combinação linear dos vetores do conjunto A isto é sempre existem os números reais a₁ e a₂ tais que x y a₁ 3 1 a₂ 5 2 Daí vem o sistema 3a₁ 5a₂ x a₁ 2a₂ y que resolvido em termos de x e y fornece a₁ 2x 5y e a₂ 3y x Portanto x y 2x 5y3 1 3y x5 2 isto é GA ℝ² 10 Sejam V M2 2 e o subconjunto A 1 2 3 1 2 3 1 1 Determinar o subespaço GA Solução Para todo vetor v x y z t GA temse x y z t a 1 2 2 3 b 3 1 1 1 e daí o sistema a 3b x 2a b y 2a b z 3a b t que é compatível se z y e x 2y t Logo GA 2y t y y t y t ℝ 26 ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A AV tal que VGA Com exceção do Exemplo 6 de 22 os demais exemplos de espaços vetoriais citados até aqui são finitamente gerados Por exemplo vimos que o IR³ é gerado pelo conjunto finito de três vetores A100 010 001 pois para todo xyz IR³ temse xyzx100y010z001 Em nosso estudo trataremos somente de espaços vetoriais finitamente gerados Um exemplo de espaço vetorial que não é finitamente gerado é o espaço P de todos os polinômios reais Na verdade dado Ap₁pₙP onde pᵢ é um polinômio de grau i e pₙ o de mais alto grau qualquer combinação linear a₁p₁ a₂p₂ aₙpₙ tem grau n Assim o subespaço p₁pₙ contém somente polinômios de grau menor ou igual ao grau de pₙ Como P é formado por todos os polinômios existem nele polinômios de grau maior que o de pₙ Logo GA P para todo conjunto finito AP 27 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR No problema 8 de 2521 chamamos a atenção para o fato de que o espaço vetorial IR³ pode ser gerado por três vetores ou também por quatro ou por cinco etc Assim três vetores constituem o número mínimo necessário para gerar o IR³ No entanto quatro cinco ou mais vetores podem gerar o IR³ Porém nesse caso sobram vetores no conjunto gerador Em nosso estudo temos grande interesse no conjunto gerador que seja o menor possível Para a determinação do menor conjunto gerador de um espaço vetorial precisamos ter a noção de dependência e independência linear 271 Definição Sejam V um espaço vetorial e Av₁vₙV Consideremos a equação a₁v₁ aₙvₙ0 27 Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução a₁0 a₂0 aₙ0 chamada solução trivial O conjunto A dizse linearmente independente LI ou os vetores v₁ vₙ são LI caso a equação 27 admita apenas a solução trivial Se existirem soluções aᵢ0 dizse que o conjunto A é linearmente dependente LD ou que os vetores v₁ vₙ são LD Exemplos 1 No espaço vetorial VIR³ os vetores v₁213 v₂102 e v₃231 formam um conjunto linearmente dependente pois 3v₁ 4v₂ v₃0 ou seja 32134102231000 2 No espaço vetorial VIR⁴ os vetores v₁2234 v₂0531 e v₃0042 são linearmente independentes De fato a2234b053b004c2c0000 2a2a3a4a05b3bb004c2c0000 2a2a5b3a3b4c4ab2c0000 isto é 2a 0 2a 5b 0 3a 3b 4c0 4a b 2c0 O sistema admite unicamente a solução a0 b0 e c0 3 No espaço vetorial IR³ o conjunto e₁ e₂ e₃ tal que e₁100 e₂010 e e₃001 é LI De fato a equação a₁e₁ a₂e₂ a₃e₃0 ou a₁100 a₂010 a₃001 000 transformase em a₁ a₂ a₃ 000 e portanto a₁ a₂ a₃ 0 Logo o conjunto 100010001 é LI De forma análoga mostrase que os vetores e₁1000 e₂0100 eₙ0001 formam um conjunto linearmente independente no IRⁿ