·
Engenharia Elétrica ·
Probabilidade e Estatísticas
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
PROBABILIDADE 1. Conceitos iniciais: • Experimento aleatório: é um experimento que ao ser repetido sob as mesmas condições não produz o mesmo resultado, ou seja, os resultados do experimento são incertos. • Espaço amostral: é o conjunto formado por todos os possíveis resultados de um dado experimento aleatório. Notação: S • Evento: é um subconjunto qualquer do espaço amostral. Notação: A, B, C, . . . Obs.: 1) Os eventos contendo somente um ponto do espaço amostral são chamados de eventos simples. 2) S é o evento certo e Ø é o evento impossível. 3) São válidos para os eventos as operações com conjuntos. Operações com eventos: 1. União do evento A e do evento B: A ∪ B É o evento que ocorre se pelo menos um dos eventos A ou B ocorre. A ∪ B ⇒ A ou B 2. Interseção do evento A e do evento B: A ∩ B É o evento que ocorre se ambos os eventos A e B ocorrem, isto é, se ocorrem simultaneamente A e B. A ∩ B ⇒ A e B 3. Complementar de um evento A: A^ É o evento que ocorre quando A não ocorre. A^ ⇒ não A Os seguintes diagramas representam, respectivamente, a união de dois eventos, a interseção de dois eventos e o complementar de um evento. A ∪ B A ∩ B A^ Dizemos que dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é, se A ∩ B = Ø. Universidade Federal de Mato Grosso Exercícios - Probabilidade e Estatística 1) Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Calcule: (a) P(A^ ); (b) P(A ∪ B), no caso em que P (A ∩ B) = 0,2; (c) P(A ∪ B), no caso em que A e B são disjuntos. 2) Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. Temos ainda que 500 alunos são do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 são esportistas e da biologia diurno e 200 são esportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido ao acaso e pergunta-se a probabilidade de: (a) ser esportista. (b) ser esportista e aluno da biologia noturno. (c) não ser da biologia. (d) ser esportista ou aluno da biologia. P(E ∪ B) = P(E) + P(B) - P(E ∩ B) = 0,49 (e) não ser esportista nem aluno da biologia. P(E^ ∪ B^) = 1 - P(E ∪ B) = 1 - 0,49 = 0,51 3) Dois processadores tipos I e II são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo I é de 1/30, no tipo II, 1/80 e em ambos, 1/100. Qual a probabilidade de que: (a) pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? (b) nenhum processador tenha apresentado erro? (c) apenas o processador I tenha apresentado erro? 4) Uma empresa de manutenção recolheu a seguinte informação a respeito dos mecanismos de falha em sistemas de condicionamento de ar: Com escape Sem escape Total de gás de gás Presença de falha elétrica 55, 17 72 Ausência de falha elétrica 32 , 3 35 87 20 107 Suponha que selecionemos ao acaso um sistema de condicionamento. Encontre a probabilidade de que: a) tenha escape de gás; b) não tenha escape de gás; c) tenha falha elétrica e escape de gás; d) tenha falha elétrica ou escape de gás; e) tenha falha elétrica, dado que tem escape de gás; f) tenha escape de gás, dado que tem falha elétrica. 5) Um lote com 100 chips contém 20 defeituosos. São selecionados 2 chips três vezes, um de cada vez, sem reposição. Sejam os eventos: D1: “ocorre chip defeituoso na 1ª retirada”; B1 D2: “ocorre chip defeituoso na 2ª retirada”; B2 N1: “ocorre chip não defeituoso na 1ª retirada”; N2: “ocorre chip não defeituoso na 2ª retirada”. (a) Escreva o espaço amostral. (utilize a notação: D: defeituoso; N: não defeituoso) (b) Calcule a probabilidade de ocorrer chip defeituoso na primeira retirada e chip defeituoso na segunda retirada. (c) Calcule a probabilidade de ocorrer chip defeituoso na primeira retirada e chip não defeituoso na segunda retirada. P(D1 ∩ N2) = P (N1 / D1) . P (D1) — —-—— = (0,8) 20 19 20 P(D2 ∩ N1) = P (D1) . P(N1 ) P(D1 ∩ N2) = P(N1 /D1 ) . P (D1) = 0 ,3 (d) Recalcule o item (c) no caso em que as retiradas são com reposição. 6) Suponha que dois eventos A e B, associados a um experimento aleatório, sejam independentes com P(A) = 1/2 e P(B) = 1/4. (a) Determine P(A ∪ B). (b) Determine P(A ∩ B) e P (A^ ∩ B^). (obs.: ver as observações do tópico: Independência de eventos) 7) Sejam A e B eventos independentes, com P(A) = 1/2 e P(A ∪ B) = 2/3 . Encontre: (a) P(A ∩ B); (b) P(A /B); (c) P(B / A). 8) Um sistema de segurança em um processo industrial é constituído de três dispositivos A, B, C trabalhando independentemente, de modo que basta um deles funcionar para que o sistema funcione. Sabendo-se que as probabilidades de funcionamento de cada um dos dispositivos são respectivamente iguais a 0,95; 0,98 e 0,99 , calcule: (a) a probabilidade de funcionamento do sistema (ou seja, sua confiabilidade); (b) a probabilidade de que no máximo um dos dispositivos falhe. 9) Em um determinado posto de gasolina, 40% dos clientes usam gasolina comum, 35% usam gasolina aditivada e 25% usam gasolina Premium. Dos clientes que usam gasolina comum apenas 30% enchem o tanque; dentre os que usam gasolina aditivada 60% enchem o tanque; e dentre os que usam Premium 50% enchem o tanque. (a) Qual é a probabilidade de um cliente encher o tanque, sabendo-se que ele pediu gasolina comum? (b) Qual é a probabilidade de um cliente que pediu gasolina aditivada e encher o tanque? (c) Qual é a probabilidade de um cliente encher o tanque? (d) Dado que o cliente encheu o tanque, qual é a probabilidade de ter pedido gasolina comum? 2. Probabilidade: A probabilidade nos dá uma medida da incerteza associada aos resultados de um experimento aleatório. Veremos a seguir como atribuir probabilidades a eventos de um experimento aleatório. Definição Clássica de Probabilidade: Seja S um espaço amostral formado por N eventos simples e igualmente prováveis. Então, para qualquer evento A de S, P(A) = \frac{n^o де elementos de A}{N} Exemplo 3: Experimento: lançar uma moeda honesta e observar a face superior. Espaço amostral: S = {c, r}, com c representando cara e r coroa. Se A é o evento "ocorre cara" e B é o evento "ocorre coroa", então P(A) = P(B) = \frac{1}{2} Definição Frequente de Probabilidade: Consideremos a repetição de um experimento n vezes, sob as mesmas condições. A frequência relativa de A é definida por: f_A = \frac{n^o де ocorrências de A em n repetições}{n} Considera-se que à medida que n aumenta, a frequência relativa de A tende a probabilidade do evento A. Exemplo 4: Experimento: lançar uma moeda e não observar a face superior. Espaço amostral: S = {c, r}, com c representando cara e r coroa. Se A é o evento "ocorre cara", então, para um número grande de lançamentos, n obtemos a aproximação P(A) \approx \frac{n^o де ocorrências de cara em n lançamentos}{n} Axiomas de Probabilidade: Seja S um espaço amostral associado a um experimento aleatório. Probabilidade é uma função P que atribui um valor numérico aos eventos de S, satisfazendo as seguintes condições: a) para qualquer evento A de S, 0 <= P(A) <= 1; b) P(S) = 1; c) Se A_1, A_2,..., A_n são eventos dois a dois disjuntos, então P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) +...+ P(A_n) Propriedades da Probabilidade: Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S. 1) Probabilidade do evento impossível: P(∅) = 0. 2) Probabilidade do evento complementar: P(A') = 1 - P(A). P(F) = \frac{m(F)}{m(S)} = \frac{1}{50,063,860} 3) Probabilidade da união de eventos (Regra da Adição): P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Observe que se A e B forem disjuntos, então P(A \cup B) = P(A) + P(B). Partição do Espaço Amostral: Dizemos que um conjunto de eventos B_1, B_2,..., B_k formam uma partição do espaço amostral S se eles são dois a dois disjuntos e a união de todos eles é igual a S. Ou seja, B_1, B_2,..., B_k formam uma partição de S se valem: 1) B_i \cap B_j = ∅, para i ≠ j; 2) B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_k = S. Regra da Probabilidade Total: Sejam A um evento e B_1, B_2,..., B_k uma partição de um espaço amostral S. Então, P(A) = P(A | B_1) P(B_1) + P(A | B_2) P(B_2) + ... + P(A | B_k) P(B_k) = \sum_{j=1}^{k} P(A | B_j) P(B_j) Regra de Bayes: Suponha que os eventos B_1, B_2,..., B_k formam uma partição do espaço amostral S e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha ainda um evento A de S, tal que se conheçam as probabilidades condicionais P(A | B_1), P(A | B_2), ..., P(A | B_k). Então, para qualquer índice m, m = 1,...,k, temos que P(B_m | A) = \frac{P(A | B_m) P(B_m)}{\sum_{j=1}^{k} P(A | B_j) P(B_j)} Exemplo 1: Uma indústria produz um certo artigo. Da produção total 20% é proveniente da máquina I, 30% é proveniente da máquina II e 50% é proveniente da máquina III. As probabilidades das máquinas I, II e III produzirem peças defeituosas são 0,01; 0,05 e 0,02 , respectivamente. De um conjunto de unidade produzidas pela indústria, é selecionada uma unidade ao acaso. a) Qual a probabilidade de a unidade selecionada ser defeituosa, dado que foi produzida pela máquina I, pela máquina II? E pela máquina III? b) Qual a probabilidade de a unidade selecionada ser defeituosa? c) Se a unidade selecionada é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela máquina I. d) Se a unidade selecionada é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela máquina II. Exercício: 1) Uma companhia monta aparelhos cujas peças são produzidas em três de suas fábricas: I, II e III. Ela produzem, respectivamente, 15%, 35% e 50% do total. As probabilidades das fábricas I, II e III produzirem peças defeituosas são 0,02 ; 0,04 e 0,03 , respectivamente. Uma peça é escolhida ao acaso do conjunto de peças produzidas. a) Qual a probabilidade da peça escolhida ser defeituosa? b) Se a peça escolhida é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela fábrica III. 5 Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S. Probabilidade Condicional: Se P(B) > 0, a probabilidade condicional de A dado que B ocorre é dada por: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) Probabilidade da interseção de eventos (Regra do Produto): Segue da definição de probabilidade condicional a seguinte relação: P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) Independência de eventos: O evento A é dito independente do evento B se P(A | B) = P(A) ou, equivalentemente, se P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Ou seja, A é independente de B se a ocorrência ou não de B não altera a probabilidade de ocorrência de A. Obs.: 1) Se P(A | B) ≠ P(A), A e B são eventos dependentes. 2) Se A é independente de B, então B é independente de A. 3) Se A e B são eventos independentes, então são independentes: A' e B; A e B'; A' e B'. 4) Cuidado para não confundir eventos independentes e eventos disjuntos! Exemplo 5: Um experimento consiste em lançar uma moeda honesta duas vezes, e observar a sequência das faces obtidas. Qual a probabilidade condicional de ocorrer duas caras, dado que no primeiro lançamento ocorreu cara? Exemplo 6: Considere uma urna com 3 bolas brancas e 7 bolas verdes. Duas bolas são retiradas aleatoriamente de uma, uma após a outra, sem reposição. Sejam os eventos: A1: “ocorre bola branca na 1ª retirada”; A2: “ocorre bola branca na 2ª retirada”; V1: “ocorre bola verde na 1ª retirada”; V2: “ocorre bola verde na 2ª retirada”; a) Escreva o espaço amostral. b) Calcular a probabilidade de obter bola branca na primeira retirada e bola branca na segunda. c) Calcular a probabilidade de obter bola branca na primeira retirada e bola verde na segunda. d) Recalcule os itens b) e c) no caso em que as retiradas são com reposição. Exemplo 7: Se P(A ∪ B) = 0,8 , P(A) = 0,5 e P(B) = x , determine o valor de x no caso de: a) A e B serem mutuamente exclusivos b) A e B serem independentes. 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Definição e Classificação: ❖ Definição: Uma variável aleatória (v.a.) é uma função definida em um espaço amostral, que assume valores reais. (Uma v.a. dá uma descrição numérica do resultado de um experimento.) Notação: Denotaremos as variáveis aleatórias por letras maiúsculas: X, Y, Z, ... Denotaremos os valores que uma variável aleatória assume por letras minúsculas: x₁, x₂, x₃, ... ou y₁, y₂, y₃, ... , etc. Exemplo 1: Considere o seguinte experimento: uma moeda é lançada duas vezes e observa-se a ocorrência de cara (c) ou coroa (r) em cada lançamento. a) Escreva o espaço amostral S. b) Suponha que estamos interessados no número de caras obtidas. Seja X a função definida em S, tal que X: número de caras obtidas nos dois lançamentos. Liste os valores de X para cada resultado em S. Exemplo 2: Três peças são retiradas de uma linha de produção e observa-se para cada peça se ela é boa (b) ou defeituosa (d). a) Escreva o espaço amostral S. b) Seja Y: número de peças defeituosas entre as 3 peças retiradas da linha de produção. Liste os valores de Y para cada resultado em S. ❖ Classificação: As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. ➢ Uma variável aleatória é discreta se assume valores em um conjunto enumerável (é possível contar os possíveis valores que a variável pode assumir). ➢ Uma variável aleatória é contínua se assume valores em um intervalo qualquer da reta. Nota: É importante sabermos classificar qual o tipo da variável aleatória em estudo, para que se possa determinar quais técnicas estatísticas podem ser aplicadas para a sua análise. Exemplo 3: Exemplos de variáveis aleatórias: Variável aleatória X Valores que a v.a. Tipo pode assumir a. Número de artigos defeituosos entre 6 artigos retirados de um lote de uma fábrica. b. Número de pessoas usuárias da internet de um total de 100 pessoas. c. Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um dia. d. Duração de uma chamada telefônica. e. Tempo de vida de um componente eletrônico. Obs.: No caso de experimentos em que a variável de interesse não é numérica, podemos definir uma variável aleatória atribuindo valores numéricos arbitrários Exemplo: Em um estudo sobre a qualidade das peças produzidas por uma máquina, suponha o interesse em classificar uma peça como defeituosa ou não defeituosa. Podemos associar valores numéricos para as respostas, como por exemplo, 0 para defeituosa e 1 para não defeituosa, e definir a variável X, tal que X = { 0, se peça defeituosa 1, se peça não defeituosa } 2 2. Variáveis Aleatórias Discretas e suas Distribuições de Probabilidade 2.1. Distribuição de Probabilidade ❖ Definição: Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores x₁, x₂, x₃, ..., xn. Chamamos de função de probabilidade (f.p.) a função p que a cada valor xi associa a sua probabilidade de ocorrência, ou seja, p(xᵢ) = P(X = xᵢ), i = 1,..., n Uma função de probabilidade (f.p.) satisfaz as seguintes propriedades: a) 0 ≤ p(xᵢ) ≤ 1; b) Σ p(xᵢ) = 1. Chamamos de distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta X ao conjunto de valores xᵢ junto com suas respectivas probabilidades p(xᵢ), para i = 1,..., n. Tabela de distribuição de probabilidades x₁ x₂ x₃ ... xₙ p(x₁) p(x₂) p(x₃) ... p(xₙ) ❖ Definição: Definimos a média (ou esperança ou valor esperado) de uma variável aleatória discreta X como o valor E(X) = x₁p(x₁) + x₂p(x₂) + ... + xₙp(xₙ) = Σ xᵢp(xᵢ) Ou seja, a média de uma variável aleatória X é a soma dos produtos dos valores assumidos pela variável pelas suas respectivas probabilidades de assumirem tais valores. Pode-se denotar também por μ (leia-se mi) ou x̄. Propriedades: a) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias em um mesmo espaço amostral. Então, vale a seguinte relação: E(X + Y) = E(X) + E(Y) b) Se k é uma constante e X uma variável aleatória em um espaço amostral, então valem: E(k + X) = k + E(X) e E(kX) = k E(X) ❖ Definição: Dada uma variável aleatória discreta X, chamamos de variância de X ao valor Var(X) = E(X − μ)² = (x₁ − μ)²p(x₁) + (x₂ − μ)²p(x₂) + ... + (xₙ − μ)²p(xₙ) Denota-se a variância também por σ² ou σₓ² (σ: leia-se sigma). Podemos utilizar também a seguinte relação equivalente: Var(X) = E(X²) − μ² com E(X²) = x₁² p(x₁) + x₂² p(x₂) + ... + xₙ² p(xₙ). A variância de uma variável aleatória é uma medida que mede a dispersão dos valores da variável em torno de sua média. Propriedades: Se k é uma constante e X uma variável aleatória em um espaço amostral, então valem: Var(k + X) = Var(X) e Var(kX) = k² Var(X) ❖ Definição: Chamamos de desvio-padrão de X ao valor DP(X) = √Var(X). Denota-se o desvio-padrão também por σ ou σX. ❖ Definição: A função de distribuição acumulada (f.d.a) de uma variável aleatória X é uma função que a cada número real x associa o valor: F(X) = P(X ≤ x) Propriedades: a) 0 ≤ F(x) ≤ 1; b) F(x) é não decrescente e contínua à direita; c) lim F(x) = 0 e lim F(x) = 1. Exemplo 4: Seja X a v.a. definida no Exemplo 1. Considerando que a moeda é honesta, obtenha: a) p(0), p(1) e p(2); b) a tabela de distribuição de probabilidades e o gráfico da função de probabilidade; c) ∑pX(xi) d) a média de X; e) a média de 2X; f) a média de X2; g) a variância de X; h) o desvio padrão de X. i) a função de distribuição acumulada de X e o seu gráfico. Exercícios: 1. De uma caixa com 2 peças defeituosas e 4 não defeituosas, retira-se aleatoriamente uma peça. Seja X a v.a. definida como: X = {0, se defeituosa 1, se não defeituosa Obtenha: a) p(0) e p(1); b) a tabela de distribuição de probabilidades de X; c) a média de X; d) a média de X2; e) a variância de X e o desvio padrão de X; f) a função de distribuição acumulada de X e o seu gráfico. 2. A resistência X (em toneladas) de vigas produzidas por uma empresa, comporta-se conforme a distribuição de probabilidades abaixo: x 2 3 4 5 6 p(x) 0,1 0,1 0,4 0,2 0,2 Calcule: a) a média da resistência; b) a variância da resistência; c) o desvio padrão da resistência.
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
PROBABILIDADE 1. Conceitos iniciais: • Experimento aleatório: é um experimento que ao ser repetido sob as mesmas condições não produz o mesmo resultado, ou seja, os resultados do experimento são incertos. • Espaço amostral: é o conjunto formado por todos os possíveis resultados de um dado experimento aleatório. Notação: S • Evento: é um subconjunto qualquer do espaço amostral. Notação: A, B, C, . . . Obs.: 1) Os eventos contendo somente um ponto do espaço amostral são chamados de eventos simples. 2) S é o evento certo e Ø é o evento impossível. 3) São válidos para os eventos as operações com conjuntos. Operações com eventos: 1. União do evento A e do evento B: A ∪ B É o evento que ocorre se pelo menos um dos eventos A ou B ocorre. A ∪ B ⇒ A ou B 2. Interseção do evento A e do evento B: A ∩ B É o evento que ocorre se ambos os eventos A e B ocorrem, isto é, se ocorrem simultaneamente A e B. A ∩ B ⇒ A e B 3. Complementar de um evento A: A^ É o evento que ocorre quando A não ocorre. A^ ⇒ não A Os seguintes diagramas representam, respectivamente, a união de dois eventos, a interseção de dois eventos e o complementar de um evento. A ∪ B A ∩ B A^ Dizemos que dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é, se A ∩ B = Ø. Universidade Federal de Mato Grosso Exercícios - Probabilidade e Estatística 1) Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Calcule: (a) P(A^ ); (b) P(A ∪ B), no caso em que P (A ∩ B) = 0,2; (c) P(A ∪ B), no caso em que A e B são disjuntos. 2) Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. Temos ainda que 500 alunos são do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 são esportistas e da biologia diurno e 200 são esportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido ao acaso e pergunta-se a probabilidade de: (a) ser esportista. (b) ser esportista e aluno da biologia noturno. (c) não ser da biologia. (d) ser esportista ou aluno da biologia. P(E ∪ B) = P(E) + P(B) - P(E ∩ B) = 0,49 (e) não ser esportista nem aluno da biologia. P(E^ ∪ B^) = 1 - P(E ∪ B) = 1 - 0,49 = 0,51 3) Dois processadores tipos I e II são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo I é de 1/30, no tipo II, 1/80 e em ambos, 1/100. Qual a probabilidade de que: (a) pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? (b) nenhum processador tenha apresentado erro? (c) apenas o processador I tenha apresentado erro? 4) Uma empresa de manutenção recolheu a seguinte informação a respeito dos mecanismos de falha em sistemas de condicionamento de ar: Com escape Sem escape Total de gás de gás Presença de falha elétrica 55, 17 72 Ausência de falha elétrica 32 , 3 35 87 20 107 Suponha que selecionemos ao acaso um sistema de condicionamento. Encontre a probabilidade de que: a) tenha escape de gás; b) não tenha escape de gás; c) tenha falha elétrica e escape de gás; d) tenha falha elétrica ou escape de gás; e) tenha falha elétrica, dado que tem escape de gás; f) tenha escape de gás, dado que tem falha elétrica. 5) Um lote com 100 chips contém 20 defeituosos. São selecionados 2 chips três vezes, um de cada vez, sem reposição. Sejam os eventos: D1: “ocorre chip defeituoso na 1ª retirada”; B1 D2: “ocorre chip defeituoso na 2ª retirada”; B2 N1: “ocorre chip não defeituoso na 1ª retirada”; N2: “ocorre chip não defeituoso na 2ª retirada”. (a) Escreva o espaço amostral. (utilize a notação: D: defeituoso; N: não defeituoso) (b) Calcule a probabilidade de ocorrer chip defeituoso na primeira retirada e chip defeituoso na segunda retirada. (c) Calcule a probabilidade de ocorrer chip defeituoso na primeira retirada e chip não defeituoso na segunda retirada. P(D1 ∩ N2) = P (N1 / D1) . P (D1) — —-—— = (0,8) 20 19 20 P(D2 ∩ N1) = P (D1) . P(N1 ) P(D1 ∩ N2) = P(N1 /D1 ) . P (D1) = 0 ,3 (d) Recalcule o item (c) no caso em que as retiradas são com reposição. 6) Suponha que dois eventos A e B, associados a um experimento aleatório, sejam independentes com P(A) = 1/2 e P(B) = 1/4. (a) Determine P(A ∪ B). (b) Determine P(A ∩ B) e P (A^ ∩ B^). (obs.: ver as observações do tópico: Independência de eventos) 7) Sejam A e B eventos independentes, com P(A) = 1/2 e P(A ∪ B) = 2/3 . Encontre: (a) P(A ∩ B); (b) P(A /B); (c) P(B / A). 8) Um sistema de segurança em um processo industrial é constituído de três dispositivos A, B, C trabalhando independentemente, de modo que basta um deles funcionar para que o sistema funcione. Sabendo-se que as probabilidades de funcionamento de cada um dos dispositivos são respectivamente iguais a 0,95; 0,98 e 0,99 , calcule: (a) a probabilidade de funcionamento do sistema (ou seja, sua confiabilidade); (b) a probabilidade de que no máximo um dos dispositivos falhe. 9) Em um determinado posto de gasolina, 40% dos clientes usam gasolina comum, 35% usam gasolina aditivada e 25% usam gasolina Premium. Dos clientes que usam gasolina comum apenas 30% enchem o tanque; dentre os que usam gasolina aditivada 60% enchem o tanque; e dentre os que usam Premium 50% enchem o tanque. (a) Qual é a probabilidade de um cliente encher o tanque, sabendo-se que ele pediu gasolina comum? (b) Qual é a probabilidade de um cliente que pediu gasolina aditivada e encher o tanque? (c) Qual é a probabilidade de um cliente encher o tanque? (d) Dado que o cliente encheu o tanque, qual é a probabilidade de ter pedido gasolina comum? 2. Probabilidade: A probabilidade nos dá uma medida da incerteza associada aos resultados de um experimento aleatório. Veremos a seguir como atribuir probabilidades a eventos de um experimento aleatório. Definição Clássica de Probabilidade: Seja S um espaço amostral formado por N eventos simples e igualmente prováveis. Então, para qualquer evento A de S, P(A) = \frac{n^o де elementos de A}{N} Exemplo 3: Experimento: lançar uma moeda honesta e observar a face superior. Espaço amostral: S = {c, r}, com c representando cara e r coroa. Se A é o evento "ocorre cara" e B é o evento "ocorre coroa", então P(A) = P(B) = \frac{1}{2} Definição Frequente de Probabilidade: Consideremos a repetição de um experimento n vezes, sob as mesmas condições. A frequência relativa de A é definida por: f_A = \frac{n^o де ocorrências de A em n repetições}{n} Considera-se que à medida que n aumenta, a frequência relativa de A tende a probabilidade do evento A. Exemplo 4: Experimento: lançar uma moeda e não observar a face superior. Espaço amostral: S = {c, r}, com c representando cara e r coroa. Se A é o evento "ocorre cara", então, para um número grande de lançamentos, n obtemos a aproximação P(A) \approx \frac{n^o де ocorrências de cara em n lançamentos}{n} Axiomas de Probabilidade: Seja S um espaço amostral associado a um experimento aleatório. Probabilidade é uma função P que atribui um valor numérico aos eventos de S, satisfazendo as seguintes condições: a) para qualquer evento A de S, 0 <= P(A) <= 1; b) P(S) = 1; c) Se A_1, A_2,..., A_n são eventos dois a dois disjuntos, então P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) +...+ P(A_n) Propriedades da Probabilidade: Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S. 1) Probabilidade do evento impossível: P(∅) = 0. 2) Probabilidade do evento complementar: P(A') = 1 - P(A). P(F) = \frac{m(F)}{m(S)} = \frac{1}{50,063,860} 3) Probabilidade da união de eventos (Regra da Adição): P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Observe que se A e B forem disjuntos, então P(A \cup B) = P(A) + P(B). Partição do Espaço Amostral: Dizemos que um conjunto de eventos B_1, B_2,..., B_k formam uma partição do espaço amostral S se eles são dois a dois disjuntos e a união de todos eles é igual a S. Ou seja, B_1, B_2,..., B_k formam uma partição de S se valem: 1) B_i \cap B_j = ∅, para i ≠ j; 2) B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_k = S. Regra da Probabilidade Total: Sejam A um evento e B_1, B_2,..., B_k uma partição de um espaço amostral S. Então, P(A) = P(A | B_1) P(B_1) + P(A | B_2) P(B_2) + ... + P(A | B_k) P(B_k) = \sum_{j=1}^{k} P(A | B_j) P(B_j) Regra de Bayes: Suponha que os eventos B_1, B_2,..., B_k formam uma partição do espaço amostral S e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha ainda um evento A de S, tal que se conheçam as probabilidades condicionais P(A | B_1), P(A | B_2), ..., P(A | B_k). Então, para qualquer índice m, m = 1,...,k, temos que P(B_m | A) = \frac{P(A | B_m) P(B_m)}{\sum_{j=1}^{k} P(A | B_j) P(B_j)} Exemplo 1: Uma indústria produz um certo artigo. Da produção total 20% é proveniente da máquina I, 30% é proveniente da máquina II e 50% é proveniente da máquina III. As probabilidades das máquinas I, II e III produzirem peças defeituosas são 0,01; 0,05 e 0,02 , respectivamente. De um conjunto de unidade produzidas pela indústria, é selecionada uma unidade ao acaso. a) Qual a probabilidade de a unidade selecionada ser defeituosa, dado que foi produzida pela máquina I, pela máquina II? E pela máquina III? b) Qual a probabilidade de a unidade selecionada ser defeituosa? c) Se a unidade selecionada é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela máquina I. d) Se a unidade selecionada é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela máquina II. Exercício: 1) Uma companhia monta aparelhos cujas peças são produzidas em três de suas fábricas: I, II e III. Ela produzem, respectivamente, 15%, 35% e 50% do total. As probabilidades das fábricas I, II e III produzirem peças defeituosas são 0,02 ; 0,04 e 0,03 , respectivamente. Uma peça é escolhida ao acaso do conjunto de peças produzidas. a) Qual a probabilidade da peça escolhida ser defeituosa? b) Se a peça escolhida é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela fábrica III. 5 Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S. Probabilidade Condicional: Se P(B) > 0, a probabilidade condicional de A dado que B ocorre é dada por: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) Probabilidade da interseção de eventos (Regra do Produto): Segue da definição de probabilidade condicional a seguinte relação: P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) Independência de eventos: O evento A é dito independente do evento B se P(A | B) = P(A) ou, equivalentemente, se P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Ou seja, A é independente de B se a ocorrência ou não de B não altera a probabilidade de ocorrência de A. Obs.: 1) Se P(A | B) ≠ P(A), A e B são eventos dependentes. 2) Se A é independente de B, então B é independente de A. 3) Se A e B são eventos independentes, então são independentes: A' e B; A e B'; A' e B'. 4) Cuidado para não confundir eventos independentes e eventos disjuntos! Exemplo 5: Um experimento consiste em lançar uma moeda honesta duas vezes, e observar a sequência das faces obtidas. Qual a probabilidade condicional de ocorrer duas caras, dado que no primeiro lançamento ocorreu cara? Exemplo 6: Considere uma urna com 3 bolas brancas e 7 bolas verdes. Duas bolas são retiradas aleatoriamente de uma, uma após a outra, sem reposição. Sejam os eventos: A1: “ocorre bola branca na 1ª retirada”; A2: “ocorre bola branca na 2ª retirada”; V1: “ocorre bola verde na 1ª retirada”; V2: “ocorre bola verde na 2ª retirada”; a) Escreva o espaço amostral. b) Calcular a probabilidade de obter bola branca na primeira retirada e bola branca na segunda. c) Calcular a probabilidade de obter bola branca na primeira retirada e bola verde na segunda. d) Recalcule os itens b) e c) no caso em que as retiradas são com reposição. Exemplo 7: Se P(A ∪ B) = 0,8 , P(A) = 0,5 e P(B) = x , determine o valor de x no caso de: a) A e B serem mutuamente exclusivos b) A e B serem independentes. 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Definição e Classificação: ❖ Definição: Uma variável aleatória (v.a.) é uma função definida em um espaço amostral, que assume valores reais. (Uma v.a. dá uma descrição numérica do resultado de um experimento.) Notação: Denotaremos as variáveis aleatórias por letras maiúsculas: X, Y, Z, ... Denotaremos os valores que uma variável aleatória assume por letras minúsculas: x₁, x₂, x₃, ... ou y₁, y₂, y₃, ... , etc. Exemplo 1: Considere o seguinte experimento: uma moeda é lançada duas vezes e observa-se a ocorrência de cara (c) ou coroa (r) em cada lançamento. a) Escreva o espaço amostral S. b) Suponha que estamos interessados no número de caras obtidas. Seja X a função definida em S, tal que X: número de caras obtidas nos dois lançamentos. Liste os valores de X para cada resultado em S. Exemplo 2: Três peças são retiradas de uma linha de produção e observa-se para cada peça se ela é boa (b) ou defeituosa (d). a) Escreva o espaço amostral S. b) Seja Y: número de peças defeituosas entre as 3 peças retiradas da linha de produção. Liste os valores de Y para cada resultado em S. ❖ Classificação: As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. ➢ Uma variável aleatória é discreta se assume valores em um conjunto enumerável (é possível contar os possíveis valores que a variável pode assumir). ➢ Uma variável aleatória é contínua se assume valores em um intervalo qualquer da reta. Nota: É importante sabermos classificar qual o tipo da variável aleatória em estudo, para que se possa determinar quais técnicas estatísticas podem ser aplicadas para a sua análise. Exemplo 3: Exemplos de variáveis aleatórias: Variável aleatória X Valores que a v.a. Tipo pode assumir a. Número de artigos defeituosos entre 6 artigos retirados de um lote de uma fábrica. b. Número de pessoas usuárias da internet de um total de 100 pessoas. c. Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um dia. d. Duração de uma chamada telefônica. e. Tempo de vida de um componente eletrônico. Obs.: No caso de experimentos em que a variável de interesse não é numérica, podemos definir uma variável aleatória atribuindo valores numéricos arbitrários Exemplo: Em um estudo sobre a qualidade das peças produzidas por uma máquina, suponha o interesse em classificar uma peça como defeituosa ou não defeituosa. Podemos associar valores numéricos para as respostas, como por exemplo, 0 para defeituosa e 1 para não defeituosa, e definir a variável X, tal que X = { 0, se peça defeituosa 1, se peça não defeituosa } 2 2. Variáveis Aleatórias Discretas e suas Distribuições de Probabilidade 2.1. Distribuição de Probabilidade ❖ Definição: Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores x₁, x₂, x₃, ..., xn. Chamamos de função de probabilidade (f.p.) a função p que a cada valor xi associa a sua probabilidade de ocorrência, ou seja, p(xᵢ) = P(X = xᵢ), i = 1,..., n Uma função de probabilidade (f.p.) satisfaz as seguintes propriedades: a) 0 ≤ p(xᵢ) ≤ 1; b) Σ p(xᵢ) = 1. Chamamos de distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta X ao conjunto de valores xᵢ junto com suas respectivas probabilidades p(xᵢ), para i = 1,..., n. Tabela de distribuição de probabilidades x₁ x₂ x₃ ... xₙ p(x₁) p(x₂) p(x₃) ... p(xₙ) ❖ Definição: Definimos a média (ou esperança ou valor esperado) de uma variável aleatória discreta X como o valor E(X) = x₁p(x₁) + x₂p(x₂) + ... + xₙp(xₙ) = Σ xᵢp(xᵢ) Ou seja, a média de uma variável aleatória X é a soma dos produtos dos valores assumidos pela variável pelas suas respectivas probabilidades de assumirem tais valores. Pode-se denotar também por μ (leia-se mi) ou x̄. Propriedades: a) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias em um mesmo espaço amostral. Então, vale a seguinte relação: E(X + Y) = E(X) + E(Y) b) Se k é uma constante e X uma variável aleatória em um espaço amostral, então valem: E(k + X) = k + E(X) e E(kX) = k E(X) ❖ Definição: Dada uma variável aleatória discreta X, chamamos de variância de X ao valor Var(X) = E(X − μ)² = (x₁ − μ)²p(x₁) + (x₂ − μ)²p(x₂) + ... + (xₙ − μ)²p(xₙ) Denota-se a variância também por σ² ou σₓ² (σ: leia-se sigma). Podemos utilizar também a seguinte relação equivalente: Var(X) = E(X²) − μ² com E(X²) = x₁² p(x₁) + x₂² p(x₂) + ... + xₙ² p(xₙ). A variância de uma variável aleatória é uma medida que mede a dispersão dos valores da variável em torno de sua média. Propriedades: Se k é uma constante e X uma variável aleatória em um espaço amostral, então valem: Var(k + X) = Var(X) e Var(kX) = k² Var(X) ❖ Definição: Chamamos de desvio-padrão de X ao valor DP(X) = √Var(X). Denota-se o desvio-padrão também por σ ou σX. ❖ Definição: A função de distribuição acumulada (f.d.a) de uma variável aleatória X é uma função que a cada número real x associa o valor: F(X) = P(X ≤ x) Propriedades: a) 0 ≤ F(x) ≤ 1; b) F(x) é não decrescente e contínua à direita; c) lim F(x) = 0 e lim F(x) = 1. Exemplo 4: Seja X a v.a. definida no Exemplo 1. Considerando que a moeda é honesta, obtenha: a) p(0), p(1) e p(2); b) a tabela de distribuição de probabilidades e o gráfico da função de probabilidade; c) ∑pX(xi) d) a média de X; e) a média de 2X; f) a média de X2; g) a variância de X; h) o desvio padrão de X. i) a função de distribuição acumulada de X e o seu gráfico. Exercícios: 1. De uma caixa com 2 peças defeituosas e 4 não defeituosas, retira-se aleatoriamente uma peça. Seja X a v.a. definida como: X = {0, se defeituosa 1, se não defeituosa Obtenha: a) p(0) e p(1); b) a tabela de distribuição de probabilidades de X; c) a média de X; d) a média de X2; e) a variância de X e o desvio padrão de X; f) a função de distribuição acumulada de X e o seu gráfico. 2. A resistência X (em toneladas) de vigas produzidas por uma empresa, comporta-se conforme a distribuição de probabilidades abaixo: x 2 3 4 5 6 p(x) 0,1 0,1 0,4 0,2 0,2 Calcule: a) a média da resistência; b) a variância da resistência; c) o desvio padrão da resistência.