Slide Pt7 - Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuições - Estatística 1 2020 1

07/09/2020 1 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires VIDEOAULA Variáveis aleatórias discretas e distribuições PARTE 7 1 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires Variáveis aleatórias discretas e distribuições Distribuição de Poisson. Pré-requisito: Exercício de Fixação 7. Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires Distribuição de Poisson XP(t) Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson quando ela conta o número de eventos que ocorrem em um intervalo de números reais de unidade t (tempo, distância, volume, área etc). X: número de eventos em t unidades. • Função de probabilidade: 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥 𝑥! , 𝑥 = 0, 1, 2, … em que  é o número médio de eventos por unidade t. • Esperança e variância: 𝐸 𝑋 = 𝜆𝑡; 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜆𝑡 3 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires 4 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires Exemplo 8 Suponha que possa ser assumido que o número de navios petroleiros que chegam por dia a um porto tenha distribuição de probabilidade de Poisson com média igual a 10 navios-dia. Sabendo-se que as instalações do porto podem suportar até 15 navios por dia, responda: a) Qual é a probabilidade de que cheguem exatamente 12 navios em 1 dia? 5 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑒−10(10)𝑥 𝑥! Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires b) Qual é a probabilidade de que cheguem exatamente 25 navios em 2 dias? c) Qual o número esperado de navios que chegam em 5 dias? 6 𝑃 𝑌 = 𝑦 = 𝑒−20(20)𝑦 𝑦! 07/09/2020 2 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires Tabela da Distribuição Poisson Acumulada • Foram criadas tabelas para facilitar os cálculos que envolvem a distribuição Poisson. • Para determinados valores de t e 𝑥 a tabela fornece 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)quando 𝑋~𝑃(𝜆𝑡). • Cálculos do tipo 𝑃 𝑋 = 𝑥 também podem ser realizados fazendo 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 − 1) 7 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires Exemplo 8 (continuação) c) Qual é a probabilidade de que, em um certo dia, navios não consigam aportar ? 8 𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 15 = 1 − 0,95126 = 0,04874 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires Exemplo 9 Falhas ocorrem ao acaso ao longo do comprimento de um fio delgado de cobre. Suponha que, em média, ocorram 2,3 falhas por milímetro. a) Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 10 falhas em 5 milímetros de fio? 9 𝑃 𝑋 = 10 = 𝑃 𝑋 ≤ 10 − 𝑃 𝑋 ≤ 9 = 0,40173 − 0,28879 = 0,11294 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆𝑡) 𝜆𝑡 = 2,3 ∙ 5 = 11,5 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires b) Qual a probabilidade de ocorrerem no mínimo 2 falhas em 2 milímetros de fio? 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆𝑡) ; 𝜆𝑡 = 2,3 ∙ 2 = 4,6 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 𝑃 𝑋 < 2 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 1 = = 1 − 0,05629 = 0,94371 10 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires Exercício de Fixação 8 Astrônomos tratam o número de estrelas em um dado volume do espaço como sendo uma variável aleatória de Poisson. A densidade na Galáxia Via Láctea, na vizinhança de nosso sistema solar é 1 estrela por 16 (anos-luz)3. a) Qual é a probabilidade de duas ou mais estrelas em 16 (anos-luz)3? R: 0,26424 b) Quantos (anos-luz)3 de espaço devem ser estudados de modo que a probabilidade de uma ou mais estrelas exceda 0,95? R: 48 (anos-luz)3 11 Departamento de Estatística - UFMG Profa. Magda Carvalho Pires 12 * Créditos das imagens utilizadas nessa apresentação: rawpixel.com e freepik.com