P2 - Equações Diferenciais C 2021-1

Segunda Prova de EDC — 2021/1 QUESTAO 1 — Sabendo que a transformada de Laplace de Vt é nm 1 c{viy(s) = 4, 82 calcule a transformada de laplace de f(t) = —. QUESTAO 2 — Resolva, via transformada de Laplace, o PVI y" + 2y! — 2y = 1, y(0) = y'(0) = 0. QUESTAO 8 - Seja 2, se0<t<l, t) = I) ‘a set> 1. (a) Utilizando a definicéo de convolucao, determine as expressoes de f x f ede f x f x f. (b) Conjecture a expressio de f* := f x fx--- f. e—_———_$. N vezes (c) Utilize a transformada de Laplace para computar f*™. QUESTAO 4 — Um modelo simples para explicar a acao enzimatica é o chamado modelo de Michaelis-Menten: . E+Ss = Bs “5 B+P Neste modelo a enzima (E) liga-se ao substrato (S) para formar um complexo enzima- substrato (ES). Este pode se separar novamente em enzima e substrato livre ou transformar o substrato em produto (P). Supondo reacoes elementares, a velocidade de cada passo serd proporcional a concentracao dos reagentes desse passo, resultando no seguinte sistema: d[S 18) _ i (B)[5] + IBS d[E LE _ _ [EES] + keLES] + Kea LES} E MES! by [BUS] ~ kel 2S] — hea lS} d[P] —— = keat |ES]. oo = hea lBS Esse ´e um sistema de EDOs n˜ao-linear, como se vˆe pelo termo [E][S]. Por´em, ´e de praxe que a concentra¸c˜ao de enzimas no sistema seja muito menor que a do substrato, em especial no in´ıcio da rea¸c˜ao. Dessa forma, para intervalos de tempo relativamente curtos, a concentra¸c˜ao de substrato livre, [S], pode ser aproximada pela concentra¸c˜ao inicial de substrato no meio reacional. Suponha que a determinado substrato, a uma concentra¸c˜ao de 10mol/L, seja adicionada uma enzima em tal quantidade que haja 0, 1mol de enzima para cada litro de solu¸c˜ao. Suponha tamb´em que, para esse par enzima-substrato, tenhamos (em unidades do SI) kf = 0, 5, kr = 0, 05 e kcat = 2 (a) Escreva o sistema linear de EDOs obtido, j´a com todas as hip´oteses e simplifica¸c˜oes necess´arias, explicitando tamb´em a condi¸c˜ao inicial. (b) Determine a concentra¸c˜ao de enzima livre, de complexo enzima-substrato e do produto ao longo do tempo.