Lista de Otimização - Programação Linear

Uma refinaria de petróleo produz dois tipos de gasolina normal e premium que a refinaria vende a sua cadeia de postos por 12barril e 14barril respectivamente Os dois tipos de gasolina são obtidos da mistura de dois óleos combustíveis refinados os quais a refinaria dispõe em estoque denominados de óleo doméstico e óleo estrangeiro As gasolinas devem atender às seguintes especificações Gasolina Pressão Máxima de Vapor Taxa de Octanagem Minima Demanda Máxima bblsem Entrega Mínima bblsem Normal 23 88 100000 50000 Premium 23 93 20000 5000 As características dos dois óleos refinados em estoque são como segue Óleo Pressão de Vapor Taxa de Octanagem Estoque bbl Custo bbl Doméstico 25 87 40000 8 Estrangeiro 15 98 60000 15 Determine as quantidades dos dois óleos a serem utilizadas para produzir os dois tipos de gasolina de forma a maximizar o lucro semanal da refinaria Nota bbl é uma unidade americana para barril barrel 3 4 A Machine Problem Kantorovich 1939 Formulate the following problem An assembled item consists of two different metal parts The milling work can be done on different machines milling machines turret lathes or on automatic turret lathes The basic data are available in the following table Productivity of the Machines for Two Parts Type of Machine Number of Machines Maximum Output per Machine per Hour First Part Second Part Milling Machines 3 10 20 Turret Lathes 3 20 30 Automatic Turret Lathes 1 30 80 a Divide the work time of each machine to obtain the maximum number of completed items per hour 8 9 Consider the following problem Maximize 3x1 2x2 Subject to x1 x2 1 6x1 4x2 24 x1 0 x2 2 a Solve the problem graphically b Set up the problem in tableau form for the simplex method and obtain an initial basic feasible solution c Perform one pivot After one pivot i indicate the basic vectors ii indicate the values of all variables iii is the solution optimal Solve the following problem by the simplex method Maximize x1 2x2 x3 Subject to x1 x2 x3 12 2x1 x2 x3 6 x1 3x2 9 x1 x2 x3 0 A nut packager has on hand 150 pounds of peanuts 100 pounds of cashews and 50 pounds of almonds The packager can sell three kinds of mixtures of these nuts a cheap mix consisting of 80 peanuts and 20 cashews a party mix with 50 peanuts 30 cashews and 20 almonds and a deluxe mix with 20 peanuts 50 cashews and 30 almonds If the 12ounce can of the cheap mix the party mix and the deluxe mix can be sold for 090 110 and 130 respectively how many cans of each type would the packager produce in order to maximize his return 11 A manufacturer produces two types of bearings A and B utilizing three types of machines lathes grinders and drill presses The machinery requirements for one unit of each product in hours are expressed in the following table Machine Bearing Lathe Grinder Drill Press A 01 03 03 B 02 01 015 Weekly machine capacity hr 400 450 480 He makes a Profit of 10 cents per type A bearing and 15 cents per type B bearing What should his weekly production of each bearing be in order to maximize his profits c 8 Imagine que a Abecitrus Associação Brasileira dos Exportadores de Cítricos que congrega as empresas produtoras e exportadoras de sucos e assemelhados esteja interessada em ajudar na coordenação e otimização dos custos de transporte da indústria Suponha que existam 3 regiões produtoras no Brasil e 5 destinos mercados importantes para os produtos As quantidades produzidas os volumes consumidos pelos mercados assim como os custos de transporte entre origens e destinos podem ser vistos na tabela 32 O interesse da Abecitrus é escoar toda a produção atendendo aos mercados consumidores com custo de transporte mínimo Da região produtora Unidade Mercosul Chile UE Japão ÁsiaPacífico Produção 1000 m3 São Paulo I USm3 52 77 145 280 267 771 São Paulo II USm3 60 85 150 285 272 964 Perímetros irrigados do NE USm3 110 135 115 301 287 193 Exportação do setor 1000 18 7 1680 159 64 1927 Exportação do setor US M 9 4 840 79 32 964 G 135 Bazaraa Jarvis e Sherali 1990 A qualidade do ar em uma região depende principalmente das emissões de efluentes eg CO2 SO2 CH4 etc na atmosfera pelas n indústrias existentes Cada instalação industrial pode utilizar m diferentes tipos de combustível Suponha que a energia total necessária à indústria j é b j calorias por dia e que c ij é a emissão de efluentes por tonelada do combustível i pela indústria j Além disso suponha que o combustível do tipo i custa ci dólares por tonelada e que cada tonelada deste tipo de combustível gera αij calorias na indústria j O nível de poluição do ar na região não pode exceder b microgramas por metro cúbico Finalmente seja γj um parâmetro meteorológico que relaciona emissões da indústria j à qualidade do ar da região Escrever o modelo do problema para determinar a mistura de combustíveis a ser utilizada por cada indústria M Uma empresa produz determinado produto em 4 fábricas I II III e IV e os envia para 3 centros de distribuição A B e C A fábrica I pode produzir por mês 100 unidades do produto a fábrica II 300 unidades a fábrica III 400 unidades e a fábrica IV 600 unidades Por sua vez cada centro de distribuição quer 400 unidades do produto por mês O custo de transportar 1 unidade do produto entre cada fábrica e cada centro de distribuição está dado na tabela abaixo Fábrica Centro Dist A Centro Dist B Centro Dist C I 7 3 6 II 11 8 2 III 9 7 8 IV 3 4 Nada pode ser transportado da fábrica IV para o Centro C Considerando que o objetivo é minimizar o custo total de transporte como o produto deve ser enviado de cada fábrica para cada Centro de Distribuição e qual será o custo total 391 The temperatures measured at various points inside a heated wall are given below Distance from the heated surface as a percentage of wall thickness xᵢ 0 20 40 60 80 100 Temperature tᵢ C 400 350 250 175 100 50 It is decided to use a linear model to approximate the measured values as t a bx 1 where t is the temperature x the percentage of wall thickness and a and b the coefficients that are to be estimated Obtain the best estimates of a and b using linear programming with the following objectives a Minimize the sum of absolute deviations between the measured values and those given by Eq 1 Σᵢ a bxᵢ tᵢ b Minimize the maximum absolute deviation between the measured values and those given by Eq 1 Maxᵢ a bxᵢ tᵢ 393 A company produces three types of bearings B₁ B₂ and B₃ on two machines A₁ and A₂ The processing times of the bearings on the two machines are indicated in the following table Machine Processing Time min for Bearing B₁ B₂ B₃ A₁ 10 6 12 A₂ 8 4 4 The times available on machines A₁ and A₂ per day are 1200 and 1000 minutes respectively The profits per unit of B₁ B₂ and B₃ are 4 2 and 3 respectively The maximum number of units the company can sell are 500 400 and 600 for B₁ B₂ and B₃ respectively Formulate and solve the problem for maximizing the profit 397 A bank offers four different types of certificates of deposits CDs as indicated below CD Type Duration yr Total Interest at Maturity 1 05 5 2 10 7 3 20 10 4 40 15 3101 A grocery store wants to buy five different types of vegetables from four farms in a month The prices of the vegetables at different farms the capacities of the farms and the minimum requirements of the grocery store are indicated in the following table Price ton of Vegetable Type Maximum of All Types Combined They Can Supply Farm 1 Potato 2 Tomato 3 Okra 4 Eggplant 5 Spinach 1 200 600 1600 800 1200 180 2 300 550 1400 850 1100 200 3 250 650 1500 700 1000 100 4 150 500 1700 900 1300 120 Minimum amount required tons 100 60 20 80 40 Formulate the problem of determining the buying scheme that corresponds to a minimum cost