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Engenharia Civil ·
Fundamentos de Oscilações e Ondas
· 2021/2
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Fundamentos de Oscilações e Ondas Alguns exemplos e exercícios Livro utilizado: Sears Física 2, Caps 13,15,16 Exemplo 13.8 UM PÊNDULO SIMPLES Calcule a frequência e o período de um pêndulo simples de 1000 m de comprimento em um local onde g = 9,800 m/s². SOLUÇÃO IDENTIFICAR: como se trata de um pêndulo simples, podemos usar as ideias discutidas nesta seção. PREPARAR: usaremos a Equação (13.34) para calcular o período T do pêndulo a partir de seu comprimento, e a Equação (3.1) para achar a frequência f a partir de T. EXECUTAR: pelas equações (13.34) e (3.1): T = 2π√(L/g) = 2π√(1000 m/9,800 m/s²) = 2,007 s f = 1/T = 1/2007s m = 0,4983 Hz AVALIAR: o período é quase exatamente igual a 2 s. De fato, quando o sistema métrico foi estabelecido, o segundo foi definido como a metade do período de um pêndulo de 1 m. Essa não foi uma boa escolha para um padrão de tempo, contudo, porque o valor de g varia de um local para outro. Na Seção 1.3, discutimos padrões mais modernos para o tempo. Exercícios Seção 13.1 Causas da oscilação 13.1 A corda de um piano emite um lá médio vibrando com uma frequência primária igual a 220 Hz. a) Calcule o período e a frequência angular. b) Calcule a frequência angular de uma soprano emitindo um lá uma oitava acima, que é igual a duas vezes a frequência da corda do piano. 13.2 Se um objeto sobre uma superfície horizontal, sem atrito, é preso a uma mola, deslocado e depois libertado, ele irá oscilar. Se ele for deslocado 0,120 m da sua posição de equilíbrio e libertado com velocidade inicial igual a zero, depois de 0,800 s verifica-se que o seu deslocamento é de 0,120 m no lado oposto e que ele ultrapassou uma vez a posição de equilíbrio durante esse intervalo. Ache (a) a amplitude, (b) o período, (c) a frequência. 13.3 A extremidade de um diapasão executa 440 vibrações completas em 0,500 s. Calcule a frequência angular e o período do movimento. 13.4 O deslocamento de um objeto oscilando em função do tempo é mostrado na Figura 13.30. Quais são (a) a frequência; (b) a amplitude; (c) o período; (d) a frequência angular desse movimento? Figura 13.30 Exercício 13.4. Seção 13.2 Movimento harmônico simples 13.5 A peça de uma máquina está se movendo em MHS com uma frequência igual a 5,0 Hz e amplitude igual a 1,80 cm. Quanto tempo leva para a peça ir de x = 0 até x = -1,80 cm? 13.6 Em um laboratório de física, você liga um planador de um trilho de ar com 0,200 kg à extremidade de uma mola ideal com massa desprezível e inicia a oscilação. O tempo decorrido entre o instante em que o cavaleiro ultrapassa a posição de equilíbrio e a segunda vez que ele ultrapassa esse ponto é igual a 2,60 s. Calcule o valor da constante da mola. 13.7 Quando um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a 120 N/m, verifica-se que ele oscila com uma frequência igual a 6,0 Hz. Ache a) o período, b) a frequência angular, c) a massa do corpo. 13.8 Quando uma massa de 0,750 kg oscila em uma mola ideal, a frequência é igual a 1,33 Hz. Qual será a frequência se 0,220 kg forem adicionados à massa original, e (b) subtraídos à massa original? Tente resolver este problema sem achar a constante da mola. 13.9 Um oscilador harmônico possui massa de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é igual a 140 N/m. Ache a) o período, b) a frequência, c) a frequência angular das oscilações. 13.10 Arrancada. A corda de um violão vibra com uma frequência igual a 440 Hz. Um ponto em seu centro se move com um MHS com amplitude igual a 3,0 mm e um ângulo de fase igual a zero. a) Escreva uma equação para a posição do centro da corda em função do tempo. b) Quais são os valores máximos dos módulos da velocidade e da aceleração do centro da corda? c) A derivada da aceleração em relação ao tempo pode ser chamada de 'arrancada'. Escreva uma equação para a arrancada do centro da corda em função do tempo e calcule o valor máximo do módulo da arrancada. 13.11 Um bloco de 2,0 kg sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constante é igual a 300 N/m. Em t = 0 a mola não está comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com 12,0 m/s. Ache a) a amplitude, b) o ângulo de fase, c) Escreva uma equação para a posição em função do tempo. 13.12 Repita o Exercício 13.11, porém suponha que em t = 0 o bloco possua velocidade = -4,0 m/s e deslocamento igual a +0,200 m. 13.13 A ponta da agulha de uma máquina de costura se move com MHS ao longo de um eixo Ox com uma frequência igual a 2,5 Hz. Em t = 0 os componentes da posição e da velocidade são, respectivamente, +1,1 cm e -15 cm/s. a) Ache o componente da aceleração da agulha, para t = 0. b) Escreva equações para os componentes da posição, da velocidade e da aceleração do ponto considerado em função do tempo. 13.14 Um objeto executa um movimento harmônico simples com período de 1,200 s e amplitude igual a 0,600 m. Em t = 0 o objeto está em x = 0. Qual é a distância entre o objeto e a posição de equilíbrio quando t = 0,480 s? 13.15 Pesando astronautas. Este processo tem sido realmente usado para 'pesar' astronautas no espaço. Uma cadeira de 42,5 kg é presa a uma mola e deixada oscilar livremente. Quando vazia, a cadeira leva 1,30 s para completar uma vibração. Mas com uma astronauta sentada nela, sem apoiar os pés no chão, a cadeira leva 2,54 s para completar um ciclo. Qual é a massa da astronauta? 13.16 Um objeto de 0,400 kg em MHS possui uma aceleração a_x = -2,70 m/s² quando x = 0,300 m. Qual é a duração de uma oscilação? 13.17 Sobre um trilho de ar sem atrito, horizontal, um corpo oscila na extremidade de uma mola ideal de constante 2,50 N/cm. O gráfico da Figura 13.31 mostra a aceleração do corpo em função do tempo. Encontre (a) a massa do corpo; (b) o deslocamento máximo do corpo a partir do ponto de equilíbrio; (c) a força máxima que a mola exerce sobre o corpo. Figura 13.31 Exercício 13.17. 13.18 Uma massa de 0,500 kg oscilando em uma mola tem a velocidade em função do tempo dada por v_x(t) = (3,60 cm/s) sen [(4,71 s^-1)t - π/2]. Qual é (a) o período; (b) a amplitude; (c) a aceleração máxima da massa; (d) a constante da mola? 13.19 Uma massa de 1,50 kg oscilando em uma mola tem o deslocamento em função do tempo dado pela equação x(t) = (7,40 cm) cos [(4,16 s^-1)t - 2,42]. Encontre (a) o tempo de uma vibração completa; (b) a constante da mola; (c) a velocidade máxima da massa; (d) a força máxima sobre a massa; (e) a posição, velocidade e aceleração da massa em t = 1,00 s; (f) a força sobre a massa nesse instante. 13.20 Um objeto executa um movimento harmônico simples com período de 0,300 s e amplitude igual a 6,0 cm. Em t = 0 o objeto está instantaneamente em repouso em x = 6,0 cm. Calcule o tempo que o objeto leva para ir de x = 6,0 cm até x = -1,50 cm. Seção 13.3 Energia no movimento harmônico simples 13.21 Um diapasão projetado para medir 392 Hz possui a extremidade dos dois ramos do garfo vibrando com uma amplitude de 0,600 mm. a) Qual é a velocidade máxima da extremidade de um ramo? b) Uma mosca (Musca domestica) de massa igual a 0,0270 g está pousada na extremidade de um dos ramos. À medida que o ramo vibra, qual é a energia cinética máxima da mosca? Suponha que a massa da mosca possa efeito desprezível sobre a frequência da oscilação. 13.22 Um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A. a) Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual à energia cinética? (Suponha que U = 0 no equilíbrio.) b) Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo? Qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas? c) No momento em que o deslocamento é igual a A/2, qual é a fração da energia total do sistema referente à energia cinética e a qual fração corresponde à energia potencial? 13.23 Um corpo de 0,500 kg, ligado à extremidade de uma mola ideal de constante k = 450 N/m, executa um movimento harmônico simples com amplitude igual a 0,040 m. Calcule: a) a velocidade máxima do cavaleiro; b) a velocidade do cavaleiro quando ele está no ponto x = -0,015 m; c) o módulo da aceleração máxima do cavaleiro; d) a aceleração do cavaleiro quando ele está no ponto x = -0,015 m; e) a energia mecânica total do cavaleiro quando ele está em qualquer ponto. 13.24 Uma almofada de torcidas faz seu pompom oscilar em MHS com uma amplitude 18,0 cm e frequência igual a 0,850 Hz. Ache: a) o módulo da velocidade e da aceleração máxima; b) o módulo da velocidade e da aceleração quando a coordenada do pompom é x = +9,0 cm; c) o tempo necessário para ele se deslocar da posição de equilíbrio até o ponto x = 12,0 cm a partir de equilíbrio. d) Quais das grandezas solicitadas nas partes (a), (b) e (c) podem ser obtidas usando-se o método da energia da Seção 13.3 e quais não podem? Explique. 13.25 Para a situação descrita na parte (a) do Exemplo 13.5, qual deveria ser o valor m da porção de massa de vidroceróp para que a amplitude depois da colisão seja igual à metade da amplitude original? Para esse valor de m, qual é a fração da energia mecânica original convertida em calor? 13.26 Um brinquedo de 0,150 kg executa um movimento harmônico simples na extremidade de uma mola horizontal com uma constante k = 300 N/m. Quando o objeto está a uma distância de 0,012 m da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui uma velocidade igual a 0,300 m/s. Quais são a) a energia mecânica total do objeto quando ele está em qualquer ponto; b) a amplitude do movimento; c) a velocidade máxima atingida pelo objeto durante o movimento? 13.27 Você observa um objeto movendo-se em MHS. Quando o objeto é deslocado até 6,00 m à direita de sua posição de equilíbrio, sua velocidade é igual a 2,20 m/s para a direita, e sua aceleração é igual a 8,40 m/s² para a esquerda. A que distância máxima Exercícios sugeridos: 13.41, .44, .46, .49, .51, .55, .56, .59, .61 Seção 13.5 O pêndulo simples 13.41 Você puxa lateralmente um pêndulo simples de 0,240 m de comprimento até um ângulo de 3,50° e solta-o a seguir. a) Quanto tempo leva o peso do pêndulo para atingir a velocidade mais ele- vada? b) Quanto tempo levaria se o pêndulo simples fosse solto em um ângulo de 1,75° em vez de 3,50°? 13.42 Um alpinista de 85,0 kg planeja saltar, a partir do repouso, de uma saliência de um rochedo usando uma corda leve de 6,50 m de comprimento. Ele segura uma das extremidades da corda, e a outra extremidade é amarrada em uma parede de rocha mais acima. Como a saliência onde ele está não fica muito distante da parede de rocha, a corda forma um ângulo pequeno com a vertical. No ponto mais baixo do seu oscilcar, o alpinista planeja largar a corda e cair de uma altura não muito elevada até o chão. (a) Quanto tempo depois de saltar segurando a corda o alpinista chegará pela primeira vez ao seu ponto mais baixo? (b) Se ele perder a primeira oportuni- dade de soltar a corda, quanto tempo após o início de sua oscilação o alpinista chegará ao seu ponto mais baixo pela segunda vez? 13.43 Um prédio em São Francisco (EUA) tem enfeites luminosos que consistem em pequenos bulbos de 2,35 kg com quabra-luzes pendendo do teto na extremidade de cordas leves e finas de 1,50 m de comprimento. Se um terremoto de fraca intensidade ocorrer, quantas oscilações por segundo farão esses enfeites? 13.44 Um pêndulo em Marte. Um pêndulo simples possui na Terra um período igual a 1,60 s. Qual é o período na superfície de Marte onde g = 3,71 m/s²? 13.45 Uma maça pesa 10,0 N. Quando você a suspende na extremidade de uma mola longa de massa desprezável e consiste igual a 1,50 N/m, ela oscila para cima e para baixo com um MHS. Quando você interrompe a oscilação, e deixa a maça oscilar lateralmente em um ângulo pequeno, a frequência do pêndulo simples é igual à metade da frequência da oscilação vertical. (Como o ângulo é pequeno, a oscilação lateral não produz variação do comprimento da mola.) Determine o comprimento da mola quando ela não está esticada (sem a maça). 13.46 Uma pequena esfera de massa m está presa a uma barra de comprimento L com um pivô em sua extremidade superior, for- mando um pêndulo simples. O pêndulo é puxado lateralmente até um ângulo θ com a vertical e a seguir é liberado a partir do repou- so. a) Desenhe um diagrama mostrando o pêndulo logo após o instante em que ele é liberado. No diagrama, desenhe vetores representando as forças que atuam sobre a esfera e a aceleração da esfera. A precisão é importante! Nesse ponto, qual é a aceleração linear da esfera? b) Repita a parte (a) para o instante em que o pêndulo forma um ângulo θ/2 com a vertical. c) Repita a parte (a) para o instante em que o pêndulo está na direção vertical. Nesse ponto, qual é a velocidade linear da esfera? 13.47 Depois de pousar em um planeta desconhecido, uma explo- radora do espaço constrói um pêndulo simples de 50,0 cm de comprimento. Ela verifica que o pêndulo simples executa 100 oscilações completas em 136 s. Qual é o valor de g nesse planeta? 13.48 Um pêndulo simples, de 2,0 m de comprimento, oscila em um ângulo máximo de 30,0° com a vertical. Calcule o seu período (a) supondo uma amplitude pequena e (b) usando os três primeiros termos da Equação (13.35). (c) Qual das respostas às partes (a) e (b) é mais precisa? A resposta menos precisa está errada em que porcentagem em relação à resposta mais precisa? 13.51 Mostre que expressão do período de um pêndulo físico se reduz ao caso do pêndulo simples quando o pêndulo físico for constituído de uma partícula de massa m presa na extremidade de um fio sem massa de comprimento L. 13.52 Uma macaca mecânico de 1,80 kg é suspenso por um eixo localizado a uma distância de 0,250 m do seu centro de massa e começa a oscilar como um pêndulo físico. O período da oscilação com a função pequena é igual a 0,940 s. a) Qual é o momento de inércia do macaco em relação a um eixo passando pelo pivo? b) Quando ele é deslocado 0,040 rad da sua posição de equilíbrio, qual é sua velocidade angular quando ele passa pela posição de equilíbrio? 13.53 Dois pêndulos possuem as mesmas dimensões (comprimento L) e massa total (m). O pêndulo A é uma esfera bem pequena oscilando na extremidade de uma barra uniforme de massa desprezível. No pêndulo B, metade da massa pertence à bola e outra metade à barra uniforme. Encontre o período de cada pêndulo para oscilações pequenas. Qual dos dois pêndulos leva menos tempo para completar uma oscilação? 13.54 Um enfeite de Natal com forma de esfera cça com massa C = 4e;0,015 kg e raio R = 0,050 m é pendurado em um ramo de uma árvore por um pequeno fio preso à superfície da esfera. Se o enrameto é deslocado de um ângulo pequeño e solto a seguir, ele oscila como um pêndulo físico com atrito desprezivel. Calcule seu período. (Surgesto: Use o teorema dos eixos paralelos para aencotrar o momento de inércia cãa esfera ao redor do pivo situado no ramo da ávorre.) 13.55 Cada um dos dois pêndulos mostrados na Figura 13.34 consiste em uma sólida esfera uniforme de massa M sustentada por uma corda de massa desprezável, porém a esfera do pêndulo A é muito pequena, enquanto a esfera do pêndulo B é bem maior. Calcule o período de cada pêndula para deslocamentos pequenos. Qual das esferas leva meio tempo para completar uma oscilação? aha im em 3.15 i. Calciou u modlua o constante de amortecimento o. 13.59 O movimento de um oscilador com sbamortecimento é desc rto pela Equeleão (13.42). Considere o ângulo de fase {e igual a zero) a. b) De acordo com esta equação, qual é o valor tír e em t = 0? b) Qual é o módulo, a direção o sentido da velocidade em t = 0? O que esse resultado infroma sobre a inclinação do gráfico de e em a função de ras vizinhañnas d (re = 0)? Obtenha uma expreso para a aceleração a, qrr a = r. o. Para que valores um intervalo de verlores da constante do tamortecimento b (em termos de k e m) é a aceloração para rr = 0 negativa, nula o positiva? Discuta cada caso em termos do gráfico de x em função de r nas vizinhanças de r = 0. Seção 13.8 Oscilações forçadas e ressonância 13.60 Uma força propulsora variando senoidalmente é aplicada a um oscilador harmónico amortecido de massa m e constante de mol n. Se a constante do amortecimento possui valo b, a amplitude é A. a) quando a freitência angular da força propulsora é igual \ Vklm. Em termos de Ay, qual é a ampllitude para a mesma freqiôência angular da força propulsora e a mesma amplitude da força propulsora Faur quando a constante de amorteimento for b; 3a) b) támogatenciais b) /? c) 13.61 Uma força propulsora variando suavoliolicamente é aplicada a um oscilador harmónico amortecido. a) Quais são as unidades da constante de amortecimento b?) b) Mostre que a grandeza V om 6possui as mesmas dimensôes de b). En términos de Pena, edoe Ve. qual é é amplitude para oil voz Vjkm quando b) in a; O_2 V kn é en m b = 0.4^/kn? Compare seus resultado com a Figura 13.28.
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Fundamentos de Oscilações e Ondas Alguns exemplos e exercícios Livro utilizado: Sears Física 2, Caps 13,15,16 Exemplo 13.8 UM PÊNDULO SIMPLES Calcule a frequência e o período de um pêndulo simples de 1000 m de comprimento em um local onde g = 9,800 m/s². SOLUÇÃO IDENTIFICAR: como se trata de um pêndulo simples, podemos usar as ideias discutidas nesta seção. PREPARAR: usaremos a Equação (13.34) para calcular o período T do pêndulo a partir de seu comprimento, e a Equação (3.1) para achar a frequência f a partir de T. EXECUTAR: pelas equações (13.34) e (3.1): T = 2π√(L/g) = 2π√(1000 m/9,800 m/s²) = 2,007 s f = 1/T = 1/2007s m = 0,4983 Hz AVALIAR: o período é quase exatamente igual a 2 s. De fato, quando o sistema métrico foi estabelecido, o segundo foi definido como a metade do período de um pêndulo de 1 m. Essa não foi uma boa escolha para um padrão de tempo, contudo, porque o valor de g varia de um local para outro. Na Seção 1.3, discutimos padrões mais modernos para o tempo. Exercícios Seção 13.1 Causas da oscilação 13.1 A corda de um piano emite um lá médio vibrando com uma frequência primária igual a 220 Hz. a) Calcule o período e a frequência angular. b) Calcule a frequência angular de uma soprano emitindo um lá uma oitava acima, que é igual a duas vezes a frequência da corda do piano. 13.2 Se um objeto sobre uma superfície horizontal, sem atrito, é preso a uma mola, deslocado e depois libertado, ele irá oscilar. Se ele for deslocado 0,120 m da sua posição de equilíbrio e libertado com velocidade inicial igual a zero, depois de 0,800 s verifica-se que o seu deslocamento é de 0,120 m no lado oposto e que ele ultrapassou uma vez a posição de equilíbrio durante esse intervalo. Ache (a) a amplitude, (b) o período, (c) a frequência. 13.3 A extremidade de um diapasão executa 440 vibrações completas em 0,500 s. Calcule a frequência angular e o período do movimento. 13.4 O deslocamento de um objeto oscilando em função do tempo é mostrado na Figura 13.30. Quais são (a) a frequência; (b) a amplitude; (c) o período; (d) a frequência angular desse movimento? Figura 13.30 Exercício 13.4. Seção 13.2 Movimento harmônico simples 13.5 A peça de uma máquina está se movendo em MHS com uma frequência igual a 5,0 Hz e amplitude igual a 1,80 cm. Quanto tempo leva para a peça ir de x = 0 até x = -1,80 cm? 13.6 Em um laboratório de física, você liga um planador de um trilho de ar com 0,200 kg à extremidade de uma mola ideal com massa desprezível e inicia a oscilação. O tempo decorrido entre o instante em que o cavaleiro ultrapassa a posição de equilíbrio e a segunda vez que ele ultrapassa esse ponto é igual a 2,60 s. Calcule o valor da constante da mola. 13.7 Quando um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a 120 N/m, verifica-se que ele oscila com uma frequência igual a 6,0 Hz. Ache a) o período, b) a frequência angular, c) a massa do corpo. 13.8 Quando uma massa de 0,750 kg oscila em uma mola ideal, a frequência é igual a 1,33 Hz. Qual será a frequência se 0,220 kg forem adicionados à massa original, e (b) subtraídos à massa original? Tente resolver este problema sem achar a constante da mola. 13.9 Um oscilador harmônico possui massa de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é igual a 140 N/m. Ache a) o período, b) a frequência, c) a frequência angular das oscilações. 13.10 Arrancada. A corda de um violão vibra com uma frequência igual a 440 Hz. Um ponto em seu centro se move com um MHS com amplitude igual a 3,0 mm e um ângulo de fase igual a zero. a) Escreva uma equação para a posição do centro da corda em função do tempo. b) Quais são os valores máximos dos módulos da velocidade e da aceleração do centro da corda? c) A derivada da aceleração em relação ao tempo pode ser chamada de 'arrancada'. Escreva uma equação para a arrancada do centro da corda em função do tempo e calcule o valor máximo do módulo da arrancada. 13.11 Um bloco de 2,0 kg sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constante é igual a 300 N/m. Em t = 0 a mola não está comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com 12,0 m/s. Ache a) a amplitude, b) o ângulo de fase, c) Escreva uma equação para a posição em função do tempo. 13.12 Repita o Exercício 13.11, porém suponha que em t = 0 o bloco possua velocidade = -4,0 m/s e deslocamento igual a +0,200 m. 13.13 A ponta da agulha de uma máquina de costura se move com MHS ao longo de um eixo Ox com uma frequência igual a 2,5 Hz. Em t = 0 os componentes da posição e da velocidade são, respectivamente, +1,1 cm e -15 cm/s. a) Ache o componente da aceleração da agulha, para t = 0. b) Escreva equações para os componentes da posição, da velocidade e da aceleração do ponto considerado em função do tempo. 13.14 Um objeto executa um movimento harmônico simples com período de 1,200 s e amplitude igual a 0,600 m. Em t = 0 o objeto está em x = 0. Qual é a distância entre o objeto e a posição de equilíbrio quando t = 0,480 s? 13.15 Pesando astronautas. Este processo tem sido realmente usado para 'pesar' astronautas no espaço. Uma cadeira de 42,5 kg é presa a uma mola e deixada oscilar livremente. Quando vazia, a cadeira leva 1,30 s para completar uma vibração. Mas com uma astronauta sentada nela, sem apoiar os pés no chão, a cadeira leva 2,54 s para completar um ciclo. Qual é a massa da astronauta? 13.16 Um objeto de 0,400 kg em MHS possui uma aceleração a_x = -2,70 m/s² quando x = 0,300 m. Qual é a duração de uma oscilação? 13.17 Sobre um trilho de ar sem atrito, horizontal, um corpo oscila na extremidade de uma mola ideal de constante 2,50 N/cm. O gráfico da Figura 13.31 mostra a aceleração do corpo em função do tempo. Encontre (a) a massa do corpo; (b) o deslocamento máximo do corpo a partir do ponto de equilíbrio; (c) a força máxima que a mola exerce sobre o corpo. Figura 13.31 Exercício 13.17. 13.18 Uma massa de 0,500 kg oscilando em uma mola tem a velocidade em função do tempo dada por v_x(t) = (3,60 cm/s) sen [(4,71 s^-1)t - π/2]. Qual é (a) o período; (b) a amplitude; (c) a aceleração máxima da massa; (d) a constante da mola? 13.19 Uma massa de 1,50 kg oscilando em uma mola tem o deslocamento em função do tempo dado pela equação x(t) = (7,40 cm) cos [(4,16 s^-1)t - 2,42]. Encontre (a) o tempo de uma vibração completa; (b) a constante da mola; (c) a velocidade máxima da massa; (d) a força máxima sobre a massa; (e) a posição, velocidade e aceleração da massa em t = 1,00 s; (f) a força sobre a massa nesse instante. 13.20 Um objeto executa um movimento harmônico simples com período de 0,300 s e amplitude igual a 6,0 cm. Em t = 0 o objeto está instantaneamente em repouso em x = 6,0 cm. Calcule o tempo que o objeto leva para ir de x = 6,0 cm até x = -1,50 cm. Seção 13.3 Energia no movimento harmônico simples 13.21 Um diapasão projetado para medir 392 Hz possui a extremidade dos dois ramos do garfo vibrando com uma amplitude de 0,600 mm. a) Qual é a velocidade máxima da extremidade de um ramo? b) Uma mosca (Musca domestica) de massa igual a 0,0270 g está pousada na extremidade de um dos ramos. À medida que o ramo vibra, qual é a energia cinética máxima da mosca? Suponha que a massa da mosca possa efeito desprezível sobre a frequência da oscilação. 13.22 Um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A. a) Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual à energia cinética? (Suponha que U = 0 no equilíbrio.) b) Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo? Qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas? c) No momento em que o deslocamento é igual a A/2, qual é a fração da energia total do sistema referente à energia cinética e a qual fração corresponde à energia potencial? 13.23 Um corpo de 0,500 kg, ligado à extremidade de uma mola ideal de constante k = 450 N/m, executa um movimento harmônico simples com amplitude igual a 0,040 m. Calcule: a) a velocidade máxima do cavaleiro; b) a velocidade do cavaleiro quando ele está no ponto x = -0,015 m; c) o módulo da aceleração máxima do cavaleiro; d) a aceleração do cavaleiro quando ele está no ponto x = -0,015 m; e) a energia mecânica total do cavaleiro quando ele está em qualquer ponto. 13.24 Uma almofada de torcidas faz seu pompom oscilar em MHS com uma amplitude 18,0 cm e frequência igual a 0,850 Hz. Ache: a) o módulo da velocidade e da aceleração máxima; b) o módulo da velocidade e da aceleração quando a coordenada do pompom é x = +9,0 cm; c) o tempo necessário para ele se deslocar da posição de equilíbrio até o ponto x = 12,0 cm a partir de equilíbrio. d) Quais das grandezas solicitadas nas partes (a), (b) e (c) podem ser obtidas usando-se o método da energia da Seção 13.3 e quais não podem? Explique. 13.25 Para a situação descrita na parte (a) do Exemplo 13.5, qual deveria ser o valor m da porção de massa de vidroceróp para que a amplitude depois da colisão seja igual à metade da amplitude original? Para esse valor de m, qual é a fração da energia mecânica original convertida em calor? 13.26 Um brinquedo de 0,150 kg executa um movimento harmônico simples na extremidade de uma mola horizontal com uma constante k = 300 N/m. Quando o objeto está a uma distância de 0,012 m da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui uma velocidade igual a 0,300 m/s. Quais são a) a energia mecânica total do objeto quando ele está em qualquer ponto; b) a amplitude do movimento; c) a velocidade máxima atingida pelo objeto durante o movimento? 13.27 Você observa um objeto movendo-se em MHS. Quando o objeto é deslocado até 6,00 m à direita de sua posição de equilíbrio, sua velocidade é igual a 2,20 m/s para a direita, e sua aceleração é igual a 8,40 m/s² para a esquerda. A que distância máxima Exercícios sugeridos: 13.41, .44, .46, .49, .51, .55, .56, .59, .61 Seção 13.5 O pêndulo simples 13.41 Você puxa lateralmente um pêndulo simples de 0,240 m de comprimento até um ângulo de 3,50° e solta-o a seguir. a) Quanto tempo leva o peso do pêndulo para atingir a velocidade mais ele- vada? b) Quanto tempo levaria se o pêndulo simples fosse solto em um ângulo de 1,75° em vez de 3,50°? 13.42 Um alpinista de 85,0 kg planeja saltar, a partir do repouso, de uma saliência de um rochedo usando uma corda leve de 6,50 m de comprimento. Ele segura uma das extremidades da corda, e a outra extremidade é amarrada em uma parede de rocha mais acima. Como a saliência onde ele está não fica muito distante da parede de rocha, a corda forma um ângulo pequeno com a vertical. No ponto mais baixo do seu oscilcar, o alpinista planeja largar a corda e cair de uma altura não muito elevada até o chão. (a) Quanto tempo depois de saltar segurando a corda o alpinista chegará pela primeira vez ao seu ponto mais baixo? (b) Se ele perder a primeira oportuni- dade de soltar a corda, quanto tempo após o início de sua oscilação o alpinista chegará ao seu ponto mais baixo pela segunda vez? 13.43 Um prédio em São Francisco (EUA) tem enfeites luminosos que consistem em pequenos bulbos de 2,35 kg com quabra-luzes pendendo do teto na extremidade de cordas leves e finas de 1,50 m de comprimento. Se um terremoto de fraca intensidade ocorrer, quantas oscilações por segundo farão esses enfeites? 13.44 Um pêndulo em Marte. Um pêndulo simples possui na Terra um período igual a 1,60 s. Qual é o período na superfície de Marte onde g = 3,71 m/s²? 13.45 Uma maça pesa 10,0 N. Quando você a suspende na extremidade de uma mola longa de massa desprezável e consiste igual a 1,50 N/m, ela oscila para cima e para baixo com um MHS. Quando você interrompe a oscilação, e deixa a maça oscilar lateralmente em um ângulo pequeno, a frequência do pêndulo simples é igual à metade da frequência da oscilação vertical. (Como o ângulo é pequeno, a oscilação lateral não produz variação do comprimento da mola.) Determine o comprimento da mola quando ela não está esticada (sem a maça). 13.46 Uma pequena esfera de massa m está presa a uma barra de comprimento L com um pivô em sua extremidade superior, for- mando um pêndulo simples. O pêndulo é puxado lateralmente até um ângulo θ com a vertical e a seguir é liberado a partir do repou- so. a) Desenhe um diagrama mostrando o pêndulo logo após o instante em que ele é liberado. No diagrama, desenhe vetores representando as forças que atuam sobre a esfera e a aceleração da esfera. A precisão é importante! Nesse ponto, qual é a aceleração linear da esfera? b) Repita a parte (a) para o instante em que o pêndulo forma um ângulo θ/2 com a vertical. c) Repita a parte (a) para o instante em que o pêndulo está na direção vertical. Nesse ponto, qual é a velocidade linear da esfera? 13.47 Depois de pousar em um planeta desconhecido, uma explo- radora do espaço constrói um pêndulo simples de 50,0 cm de comprimento. Ela verifica que o pêndulo simples executa 100 oscilações completas em 136 s. Qual é o valor de g nesse planeta? 13.48 Um pêndulo simples, de 2,0 m de comprimento, oscila em um ângulo máximo de 30,0° com a vertical. Calcule o seu período (a) supondo uma amplitude pequena e (b) usando os três primeiros termos da Equação (13.35). (c) Qual das respostas às partes (a) e (b) é mais precisa? A resposta menos precisa está errada em que porcentagem em relação à resposta mais precisa? 13.51 Mostre que expressão do período de um pêndulo físico se reduz ao caso do pêndulo simples quando o pêndulo físico for constituído de uma partícula de massa m presa na extremidade de um fio sem massa de comprimento L. 13.52 Uma macaca mecânico de 1,80 kg é suspenso por um eixo localizado a uma distância de 0,250 m do seu centro de massa e começa a oscilar como um pêndulo físico. O período da oscilação com a função pequena é igual a 0,940 s. a) Qual é o momento de inércia do macaco em relação a um eixo passando pelo pivo? b) Quando ele é deslocado 0,040 rad da sua posição de equilíbrio, qual é sua velocidade angular quando ele passa pela posição de equilíbrio? 13.53 Dois pêndulos possuem as mesmas dimensões (comprimento L) e massa total (m). O pêndulo A é uma esfera bem pequena oscilando na extremidade de uma barra uniforme de massa desprezível. No pêndulo B, metade da massa pertence à bola e outra metade à barra uniforme. Encontre o período de cada pêndulo para oscilações pequenas. Qual dos dois pêndulos leva menos tempo para completar uma oscilação? 13.54 Um enfeite de Natal com forma de esfera cça com massa C = 4e;0,015 kg e raio R = 0,050 m é pendurado em um ramo de uma árvore por um pequeno fio preso à superfície da esfera. Se o enrameto é deslocado de um ângulo pequeño e solto a seguir, ele oscila como um pêndulo físico com atrito desprezivel. Calcule seu período. (Surgesto: Use o teorema dos eixos paralelos para aencotrar o momento de inércia cãa esfera ao redor do pivo situado no ramo da ávorre.) 13.55 Cada um dos dois pêndulos mostrados na Figura 13.34 consiste em uma sólida esfera uniforme de massa M sustentada por uma corda de massa desprezável, porém a esfera do pêndulo A é muito pequena, enquanto a esfera do pêndulo B é bem maior. Calcule o período de cada pêndula para deslocamentos pequenos. Qual das esferas leva meio tempo para completar uma oscilação? aha im em 3.15 i. Calciou u modlua o constante de amortecimento o. 13.59 O movimento de um oscilador com sbamortecimento é desc rto pela Equeleão (13.42). Considere o ângulo de fase {e igual a zero) a. b) De acordo com esta equação, qual é o valor tír e em t = 0? b) Qual é o módulo, a direção o sentido da velocidade em t = 0? O que esse resultado infroma sobre a inclinação do gráfico de e em a função de ras vizinhañnas d (re = 0)? Obtenha uma expreso para a aceleração a, qrr a = r. o. Para que valores um intervalo de verlores da constante do tamortecimento b (em termos de k e m) é a aceloração para rr = 0 negativa, nula o positiva? Discuta cada caso em termos do gráfico de x em função de r nas vizinhanças de r = 0. Seção 13.8 Oscilações forçadas e ressonância 13.60 Uma força propulsora variando senoidalmente é aplicada a um oscilador harmónico amortecido de massa m e constante de mol n. Se a constante do amortecimento possui valo b, a amplitude é A. a) quando a freitência angular da força propulsora é igual \ Vklm. Em termos de Ay, qual é a ampllitude para a mesma freqiôência angular da força propulsora e a mesma amplitude da força propulsora Faur quando a constante de amorteimento for b; 3a) b) támogatenciais b) /? c) 13.61 Uma força propulsora variando suavoliolicamente é aplicada a um oscilador harmónico amortecido. a) Quais são as unidades da constante de amortecimento b?) b) Mostre que a grandeza V om 6possui as mesmas dimensôes de b). En términos de Pena, edoe Ve. qual é é amplitude para oil voz Vjkm quando b) in a; O_2 V kn é en m b = 0.4^/kn? Compare seus resultado com a Figura 13.28.