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Engenharia de Minas ·
Estatística e Probabilidades
· 2023/2
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40 / PROBABILIDADE 2.10. Um mecanismo complexo pode falhar em 15 estágios. De quantas maneiras poderá ocorrer que ele falhe em 3 estágios? 2.11. Existem 12 categorias de defeitos menores de uma peça manufaturada, e 10 tipos de defeitos graves. De quantas maneiras poderão ocorrer 1 defeito menor e 1 grave? E 2 defeitos menores e 2 graves? 2.12. Um mecanismo pode ser posto em uma dentre quatro posições: a, b, c e d. Existem 8 desses mecanismos incluídos em um sistema. (a) De quantas maneiras esse sistema pode ser disposto? (b) Admita que esses mecanismos sejam instalados em determinadas ordem (linear) preestabelecida. De quantas maneiras o sistema poderá ser disposto, se não houver mecanismos adjacentes ao estarem em igual posição? (c) Quantas maneiras de dispor serão possíveis, se somente as posições a e b forem usadas, e o forem com igual frequência? (d) Quantas maneiras serão possíveis, se somente duas posições forem usadas, e dessas posições uma ocorrer três vezes mais frequentemente que a outra? 2.13. Suponha que de N objetos, n sejam escolhidos ao acaso, com reposição. Qual será a probabilidade de que nenhum objeto seja escolhido mais do que uma vez? (Admita n < N.) 2.14. Com as seis letras a, b, c, d, e, f quantas palavras-código de 4 letras poderão ser formadas se: (a) Nenhuma letra puder ser repetida? (b) Qualquer letra puder ser repetida qualquer número de vezes? 2.15. Supondo que oi(99 5 ) = a e (99 4 ) = b, expresse (100 95 ) em termos de a e b. (Sugerido: Não calcule as expressões acima, para resolver o problema.) 2.16. Uma caixa contém etiquetas numeradas 1, 2, ... , n. Duas etiquetas são escolhidas ao acaso. Determine a probabilidade de que os números das etiquetas sejam inteiros consecutivos se: (a) As etiquetas forem escolhidas sem reposição. (b) As etiquetas forem escolhidas com reposição. 2.17. Quantos subconjuntos se podem formar, contendo ao menos um elemento, de um conjunto de 100 elementos? 2.18. Um inteiro é escolhido ao acaso, dentre os números 1, 2, ... , 50. Qual será a probabilidade de que o número escolhido seja divisível por 6 ou por 8? 2.19. Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-se esses números. Qual será a probabilidade de que o produto seja um número positivo? 2.20. Determinado composto químico é obtido pela mistura de 5 líquidos diferentes. Propõe-se despejar um líquido em um tanque e, em seguida, juntar outros líquidos sucessivamente. Todas as sequências possíveis devem ser ensaiadas, para verificar-se qual delas dará o melhor resultado. Quantos ensaios deverão ser efetuados? Finalmente, observe-se que, simplesmente olhando a Fig. 3.8, podemos também calcular as outras probabilidades condicionadas: P(A | B) = 1/5 (desde que 1/5 da área total retangular representando B esteja ocupada por A); P(A' | B) = 4/5. Problemas 3.1. A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna 2 contém z bolas brancas e v bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. A seguir, uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca? 3.2. Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas são ensaiadas, uma a uma, até que ambas as defeituosas sejam encontradas. (a) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio? (b) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no terceiro ensaio? (c) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no quarto ensaio? (d) Some os números obtidos em (a), (b) e (c) acima. O resultado é surpreendente? 25 / INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE (c) Exatamente dois dos eventos ocorrem. (d) Não mais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente. 1.12. Demonstre o Teor 1.4. 1.13. (a) Verifique que para dois eventos quaisquer, A1 e A2, temos que P(A1 ∪ A2) ≤ P(A1) + P(A2). (b) Verifique que para quaisquer n eventos A1, ... , An, temos que P(A1 ∪ ... ∪ An) ≤ P(A1) + ... + P(An). [Sugestão: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em (b) é denominado desigualdade de Boole.] 1.14. O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos A ou B ocorra. O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente um de dois eventos A ou B ocorra. Verifique que p[(A ∩ B) ∪ (B ∩ A)] = P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B). 1.15. Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual será a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstâncias? 1.16. Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = 2, P(B) = y, e P(A ∩ B) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de z, y e z. (a) P(A ∪ B). (b) P(A ∩ B). (c) P(A ∪ B). (d) P(A ∩ B). 1.17. Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) = 1/4, P(A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0 e P(A ∩ C) = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra. 1.18. Uma instalação é constituída de duas caldeiras e uma máquina. Admita que o evento A seja que a máquina esteja em boas condições de funcionamento, enquanto os eventos B_k (k = 1, 2) são os eventos de que a k-ésima caldeira esteja em boas condições, O evento C é que a instalação possa funcionar. Se a instalação poder funcionar sempre que a máquina e pelo menos uma das caldeiras funcionar, expresse os eventos C e C', em termos de A e dos B_k. 1.19. Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e II. Suponha que se disponha de duas unidades do tipo I e três unidades do tipo II. Defina os eventos A_k, k = 1, 2 e B_j, j = 1, 2, 3 da seguinte maneira: A_k: a k-ésima unidade do tipo I está funcionando adequadamente; B_j: a j-ésima unidade do tipo II está funcionando adequadamente. Finalmente, admita que C represente o evento: o mecanismo funciona. Admita que o mecanismo funcione se ao menos uma unidade do tipo I e ao menos duas unidades do tipo II funcionarem; expresse o evento C em termos dos A_k e dos B_j. Problemas 1.1. Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros po- sitivos de 1 a 10. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, e C = {5, 6, 7}. Enu- mere os elementos dos seguintes conjuntos: (a) A ∩ B. (b) A ∪ B. (c) A ∩ B. (d) A ∩ (B ∩ C). (e) A ∩ (B ∪ C). 1.2. Suponha que o conjunto fundamental U seja dado por U = {x|0 ≤ x ≤ 2}. Sejam os conjuntos A e B definidos da forma seguinte: A = {x|1/2 < x ≤ 1} e B = {x|1/4 ≤ x < 3/2}. Descreva os seguintes con- juntos: (a) A ∪ B. (b) A ∪ B. (c) A ∩ B. (d) A ∩ B. 1.3. Quais das seguintes relações são verdadeiras? (a) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = A ∪ (B ∩ C). (b) (A ∪ B) = (A ∩ B) ∪ B. (c) A ∩ B = A ∪ B. (d) (A ∪ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C. (e) (A ∩ B) ∩ (B ∩ C) = ∅. 1.4. Suponha que o conjunto fundamental seja formado por todos os pontos (x, y) de coordenadas ambas inteiras, e que estejam dentro ou sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas x = 0, y = 0, x = 6 e y = 6. Enumere os ele- mentos dos seguintes conjuntos: (a) A = {(x, y)|x² + y² ≤ 6}. (b) B = {(x, y)|y ≤ x²}. (c) C = {(x, y)|x ≤ y²}. (d) B ∩ C. (e) (B ∪ A) ∩ C. 1.5. Empregue diagramas de Venn para estabelecer as seguintes relações: (a) A ⊂ B e B ⊂ C implica que A ⊂ C. (b) A ⊂ B implica que A = A ∩ B. (c) A ⊂ B implica que B ⊂ A. (d) A ⊂ B implica que A ∪ C ⊂ B ∪ C. (e) A ∩ B = ∅ e C ⊂ A implica que B ∩ C = ∅. 1.6. Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (N). As peças são inspecionadas e sua condição registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorra em primeiro lugar. Descreva um espaço amostral para este experimento. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS / 39 3 mulheres menores. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os seguintes eventos: A = [a pessoa é maior de 21 anos]; B = [a pessoa é menor de 21 anos]; C = [a pessoa é homem]; D = [a pessoa é mulher]. Calcule: (a) P(B ∪ D), (b) P(A ∩ C). 2.2. Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 até 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultânea- mente. O número de seu emblema é anotado. (a) Qual é a probabilidade de que o menor número de emblemas seja 5? (b) Qual é a probabilidade de que o maior número de emblemas seja 5? 2.3. (a) Suponha que os três dígitos 1, 2 e 3 sejam escritos em ordem alea- tória. Qual a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio? (b) O mesmo que em (a), com os dígitos 1, 2, 3 e 4. (c) O mesmo que em (a), com os dígitos 1, 2, 3, ..., n. Sugestão: Empregue (1.7). (d) Examine a resposta a (c), quando n for grande. 2.4. Uma remessa de 1.500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1.100 perfeitas. Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classi- ficadas. (a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas? (b) Qual a probabilidade de que se encontrem ao menos 2 peças defeituosas? 2.5. Dez fichas numeradas de 1 até 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas (X, Y), são extraídas da urna, successivamente e sem reposi- ção. Qual é a probabilidade de que seja X + Y = 10? 2.6. Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que: (a) Ele não tenha defeitos. (b) Ele não tenha defeitos graves. (c) Ele ou seja perfeito ou tenha defeitos graves. 2.7. Se do lote de artigos descrito no Probl. 2.6, dois artigos forem escolhidos (sem reposição), ache a probabilidade de que: (i) Ambos sejam perfeitos. (b) Ambos tenham defeitos graves. (c) Ao menos um seja perfeito. (d) No máximo um seja perfeito. (e) Exatamente um seja perfeito. (f) Nenhum deles tenha defeitos graves. (g) Nenhum deles seja perfeito. 2.8. Um produto é montado em três estágios. No primeiro estágio, exis- tem 5 linhas de montagem; no segundo estágio, existem 4 linhas de montagem e no terceiro estágio, existem 6 linhas de montagem. De quantas maneiras dife- rentes poderá o produto se deslocar durante o processo de montagem? 2.9. Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que os operários saibam quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação de suas visitas. De quantas maneiras isto poderá ser feito? PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA / 63 (e) A tenha mais desarranjo que B. (d) B tenha duas vezes mais desarranjos que A. (c) B tenha 4 desarranjos, quando se saiba que B já tenha tido 2 desar- ranjos. (p) O número mínimo de desarranjos das duas máquinas seja 3; seja menor que 3. (q) O número máximo de desarranjos das máquinas seja 3; seja maior que 3. Tab. 3.2 Número de desarranjos 0 1 2 3 4 5 6 A 0,1 0,2 0,3 0,2 0,09 0,07 0,04 B 0,3 0,1 0,1 0,1 0,1 0,15 0,15 3.22. Verifique pelas Eqs. (3.2) que, sendo A fixo, P(B|A) satisfaz os vários postulados da probabilidade. 3.23. Se cada elemento de um determinante de segundo ordem for zero ou um, qual será a probabilidade de que o valor do determinante seja positivo? (Admita que os elementos do determinante sejam escolhidos independentemente, e a cada valor se atribuindo a probabilidade 1/2.) 3.24. Verifique que o teorema da multiplicação P(A ∩ B) = P(A)P(B|A), estabelecido para dois eventos, pode ser estendido para três eventos, da seguinte maneira: P (A ∩ B ∩ C) = P(A|B ∩ C)P(B|C)P(C). 3.25. Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De procedimentos de ensaio anteriores, as seguintes probabilidades se admitem co- hecidas: P(A falhe) = 0,20, P(A e B falhem) = 0,15, P(B falhe sozinho) = 0,15. Calcule as seguintes probabilidades: (a) P(A falhe | B tenha falhado). (b) P(A falhe sozinho). 3.26. Conclua a análise do exemplo dado na Seção 3.2, pela decisão de qual dos dois tipos de caixa de bombons, A ou B, foi apresentada, baseado na evidência dos dois bombons que foram tirados na amostra. 3.27. Sempre que um experimento é realizado, a ocorrência de um parti- cular evento A é igual a 0,2. O experimento é repetido independentemente, até que A ocorra. Calcule a probabilidade de que seja necessário levar a cabo o experi- mento até a quarta vez. 3.28. Suponha que um equipamento possua N válvulas, todas necessárias para seu funcionamento. A fim de localizar uma válvula com mau funcionamento, faz-se a substituição de cada válvula, successivamente, por uma válvula nova. Calcule a probabilidade de que seja necessário trocar N válvulas, se a probabilidade (cons- tante) de uma válvula estar desarranjada por p. 3.29. Demonstre: Se P (A | B) > P (A), então, P (B | A) > P (B). ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS / 41 2.21. Um lote contém n peças, das quais se sabe serem r defeituosas. Se a ordem da inspeção das peças se fizer ao acaso, qual a probabilidade de que a peça inspecionada em k-ésimo lugar (k ≥ r) seja a última peça defeituosa contida no lote? 2.22. Dentre os números 0, 1, 2, ..., 9 são escolhidos ao acaso (sem reposição) r números (0 < r < 10). Qual é a probabilidade de que não ocorram dois números iguais? 62 / PROBABILIDADE (a) O dado mostre um número par e a carta seja de um naipe vermelho? (b) O dado mostre um número par ou a carta seja de um naipe vermelho? 3.13. Um número binário é constituído apenas dos dígitos zero e um. (Por exemplo, 1011, 1100 etc.) Esses números têm importante papel na utilização de computadores eletrônicos. Suponha que um número binário seja formado de n dígitos. Suponha que a probabilidade de um dígito incorreto aparecer seja p e que os erros em diferentes dígitos sejam independentes uns dos outros. Qual será a probabilidade de formar-se um número incorreto? 3.14. Um dado é atirado n vezes. Qual é a probabilidade de que “6” apareça ao menos uma vez em n jogadas? 3.15. Cada uma de duas pessoas joga três moedas equilibradas. Qual é a probabilidade de que elas obtenham o mesmo número de caras? 3.16. Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números diferentes, qual é a probabilidade de que uma face seja 4? 3.17. Sabe-se que na fabricação de um certo artigo, defeitos de um tipo ocorrem com probabilidade 0,1 e defeitos de outro tipo com probabilidade 0,05. Qual será a probabilidade de que: (a) Um artigo não tenha ambos os tipos de defeitos? (b) Um artigo seja defeituoso? (c) Um artigo tenha apenas um tipo de defeito, sabido que é defeituoso? 3.18. Verifique que o número de condições impostas pela Eq. (3.8) é dado por 2^n = n − 1. 3.19. Demonstre que, se A e B forem eventos independentes, também o serão A e B, A e B, A e B. 3.20. Na Fig. 3.11 (a) e (b), suponha que a probabilidade de que cada relé esteja fechado seja p, e que cada relé seja aberto ou fechado independentemente um do outro. Em cada caso, determine a probabilidade de que a corrente passe de L para R. Fig. 3.11 3.21. Duas máquinas A e B, sendo operadas independentemente, podem ter alguns desarranjos cada dia. A Tab. 3.2 dá a distribuição de probabilidades dos desarranjos para cada máquina. Calcule as seguintes probabilidades: (a) A e B tenham o mesmo número de desarranjos. (b) O número total de desarranjos seja menor que 4; menor que 5. 64 / PROBABILIDADE 3.30. Uma válvula a vácuo pode provir de três fabricantes, com probabilidades p_1 = 0,25, p_2 = 0,50 e p_3 = 0,25. As probabilidades de que, durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são, respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4 para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de tempo especificado. 3.31. Um sistema elétrico é composto de dois comutadores do tipo A, um do tipo B, e quatro do tipo C, ligados como indica a Fig. 3.12. Calcule a probabilidade de que uma pane no circuito não possa ser eliminada com a chave K, se os comutadores A, B e C estiverem abertos (isto é, desligados) com probabilidades 0,3; 0,4 e 0,2, respectivamente, e se eles operarem independentemente. Fig. 3.12 3.32. A probabilidade de que um sistema fique sobrecarregado é 0,4 durante cada etapa de um experimento. Calcule a probabilidade de que o sistema deixe de funcionar em três tentativas independentes do experimento, se as probabilidades de falhas em 1, 2 ou 3 tentativas forem iguais, respectivamente, a 0,2; 0,5 e 0,8. 3.33. Quatro sinais de rádio são emitidos sucessivamente. Se a recepção de cada um for independente da recepção do outro, e se essas probabilidades forem 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4, respectivamente, calcule a probabilidade de que k sinais venham a ser recebidos para k = 0, 1, 2, 3, 4. 3.34. A seguinte (de algum modo simplória) previsão de tempo é empregada por um amador. O tempo, diariamente, é classificado como “seco” ou “úmido”, e supõe-se que a probabilidade de que qualquer dia dado seja igual ao dia anterior seja uma constante p (0 < p < 1). Com base em registros passados, admite-se que o último dia tenha tido probabilidade de 8 de ser dia “seco”. Fazendo θ_n = probabilidade de que o n-ésimo dia do ano seja “seco”, pede-se obter uma expressão para θ_n em termos de p e θ_0. Calcule também lim_{n → ∞} θ_n e interprete o seu resultado [Sugestão: Exprima θ_n em termos de θ_{n − 1} ] 3.35. Três jornais A, B e C são publicados em uma cidade e uma recente pesquisa entre os leitores indicou o seguinte: 20 por cento leem A; 26 por cento leem B; 14 por cento leem C; 8 por cento leem A e B; 5 por cento leem A e C; 3 por cento leem B e C; 4 por cento leem B e C. Para um adulto escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de que: (a) ele não leia qualquer dos jornais; RESPOSTAS A PROBLEMAS SELECIONADOS / 413 2.4. \(\begin{pmatrix} 400 \\ 90 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1100 \\ 110 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1500 \\ 200 \end{pmatrix}\) (a) \quad \begin{pmatrix} 400 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1100 \\ 200 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1100 \\ 199 \end{pmatrix}\) + \begin{pmatrix} 400 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1100 \\ 199 \end{pmatrix}\) 2.5. \quad 4 \over 45^5 2.6. \quad 5 \over 9 \\ 7 \over 8 \\ 3 \over 4 2.7. \quad 3 \over 8 \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 120 \end{pmatrix} \:\:\: 6 \over 7 \over 8 \\ 8 2.8. \quad 120. 2.9. \quad 720. 2.10. \quad 4055. 2.11. \quad (a) 120, (b) 2.970. 2.12. \quad (a) \begin{pmatrix} 4^k \end{pmatrix}, \: (b) 4 \cdot 3^7, \: (c) 70, \: (d) 336. 2.13. \quad \begin{pmatrix} (N - 1)!/(N - n)! \end{pmatrix}/N^{N - 1}. 2.14. \quad (a) 360, \: (b) 1.296. 2.15. \quad a + b. 2.16. \quad (a) 2/n; \: (b) 2(n - 1)/n^2. 2.18. \quad 0.24. 2.20. \quad 120. 2.21. \quad \begin{pmatrix} (r - 1)(n - r) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n \\ k - r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 - x \end{pmatrix}\over n - k + 1. 2.22. \quad \begin{pmatrix} 10! \end{pmatrix}/ \begin{pmatrix} 10^3(10 - r)! \end{pmatrix} Capítulo 3 3.1. \left( \dfrac{z}{z + y} \right) \left( \dfrac{z + 1}{z + v + 1} \right) + \left( \dfrac{y}{z + y} \right) \left( \dfrac{z}{z + v + 1} \right) 3.2. \quad \begin{pmatrix} a \: 1 \end{pmatrix}/6^{\circ}, \: (b) \: \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}/3^{\circ}, \: \begin{pmatrix} A \end{pmatrix}/2^{\circ}. 3.3. \quad 5 / 9 \over 95 \begin{pmatrix} 33 \end{pmatrix}/95 \begin{pmatrix} 9 \over 125 \end{pmatrix}\over 0. \begin{pmatrix} 50 \\ 23 \end{pmatrix} 3.4. \quad 2/5. 3.5. \quad (A \: 0, (b) \: 0. \begin{pmatrix} 1396 \end{pmatrix}(b) \: 0.049, (c) \: 0.25. 3.6. \quad (a) \ 33 \over 95; \ (b) 14 \over 95; \ (c) 48 \over 95. 3.12. \quad (a) 1 \over 4; \ (b) 3 \over 4. 3.13. \quad 1 - (1 - p)^n. 3.15. \quad 5 \over 16. 3.17. \quad (a) 0.095, (b) 0.145. 3.20. \quad (a) 2p^5 + 2p^3 - 5p^5 + 2p^5, \ (b) p + 3p^3 - 4p^2 + 3p^3 - p^6. 3.23. \quad 3 \over 16. 3.25. \quad (a) 0, 50; (b) 0, 05. 3.34. \quad \beta_n = \begin{pmatrix} 1 - (2p - 1)^n \end{pmatrix\end{pmatrix} + \beta - \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}/2^{(p - 1)}. 0 \beta. 3.35. \quad (a) 0.65; \ (b) 0.22; \ (c) 0/35. 24 / PROBABILIDADE 1.7. (a) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com fila- mento partido. Essas lâmpadas não verificadas uma a uma, até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. Descreva um espaço amostral para este experimento. (b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosas tenham sido encontradas. Descreva o espaço amostral para este experimento. 1.8. Considere quatro objetos, a, b, c,d. Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listados represente o resultado de um experimento. Sejam os eventos A e B definidos assim: A = [a está na primeira posição]; B = [b está na segunda posição]. (a) Enumere todos os elementos do espaço amostral. (b) Enumere todos os elementos dos eventos A ∩ B ∈ A U B. 1.9. Um lote contém peças pesando 5, 10, 15,..., 50 gramas. Admita-se que ao menos duas peças de cada peso sejam encontradas no lote. Duas peças são retiradas do lote. Sejam X o peso da primeira peça escolhida e Y o peso da segunda. Portanto, o par de números (X, Y) representa um resultado possível do experimento. Empregando o plano XY, marque o espaço amostral e os seguinte eventos: (a) X > Y (b) Y > X (c) A segunda peça é duas vezes mais pesada que a primeira. (d) A primeira peça pesa menos 10 gramas que a segunda peça. (e) O peso médio de duas peças é menor do que 30 gramas. 1.10. Durante um período de 24 horas, em algum momento X, uma chave é posta na posição "ligada". Depois, em algum momento futuro Y (ainda du- rante o mesmo período de 24 horas), a chave é virada para a posição "desligada". Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números (X, Y). (a) Descreva o espaço amostral. (b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos: (i) O circuito está ligado por uma hora ou menos. (ii) O circuito está ligado no tempo x, onde x é algum instante no período dado de 24 horas. (iii) O circuito é ligado antes do tempo t_1 e desligado depois do tempo t_2 (onde também t_1 < t_2 são dois instantes durante o período de 24 horas especificado). (iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado. 1.11. Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em notações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais: (a) Ao menos um dos eventos ocorre. (b) Exatamente um dos eventos ocorre. PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA / 61 3.3. Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita? 3.4. No problema anterior, as válvulas são verificadas extraindo-se uma válvula ao acaso, ensaiando-a e repetindo-se o procedimento até que todas as válvulas defeituosas sejam encontradas. Qual será a probabilidade de que a quarta válvula defeituosa seja encontrada: (a) No quinto ensaio? (b) No décimo ensaio? 3.5. Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um ex- perimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade da ocorrência de A for igual a 0,4, determine a probabilidade da ocorrência de B. 3.6. Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspecionais ao mesmo tempo. Se essas peças forem extraídas ao acaso, qual será a probabilidade de que: (a) As duas primeiras peças sejam defeituosas? (b) As duas primeiras peças sejam perfeitas? (c) Das duas primeiras peças inspecionadas, uma seja perfeita e a outra defeituosa? 3.7. Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada urna com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata em outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas é aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a probabili- dade de que a moeda provinha de urna 2? 3.8. Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as duas outras moedas são normais e não viciadas. Uma moeda é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em seqüência. Se sair cara toda vez, qual será a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? 3.9. Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máqui- na, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e se verifica ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C? 3.10. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0.4, enquanto P(A U B) = 0.7. Seja P(B) = p. (a) Para que valor de p, A e B são mutuamente excludentes? (b) Para que valor de p, A e B serão independentes? 3.11. Três componentes C1, C2 e C3 de um mecanismo são postos em série (em linha reta). Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem alea- tória. Seja R o evento (C1 está à direita de C1), e seja S o evento (C1 está à direita de C1). Os eventos R e S são independentes? Por quê? 3.12. Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de um baralho completo (52 cartas). Qual será a probabilidade de que: PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA / 65 (b) ele leia exatamente um-dos jornais; (c) ele leia ao menos 𝐴 𝑒 𝐵, se se souber que ele lê ao, menos um dos jornais publicados. 3.36. Uma moeda equilibrada é jogada 2𝑛 vezes. (a) Obtenha a probabi- lidade de que ocorrerá um igual número de caras e coroas; (b) Mostre que a probabilidade calculada em (a) é uma função decrescente de 𝑛. 3.37. Cada urna 𝑛ₐ𝑠 𝑛 urnas: Urna 1, Urna 2, . . . , Urna 𝑛, contém α bolas brancas e β bolas pretas. Uma bola é retirada da Urna 1 e posta na Urna 2; em se- guida, uma bola é retirada da Urna 2 e posta na Urna 3, e assim por diante. Final- mente, uma bola é retirada da Urna n. Se a primeira bola transferida for branca, qual será a probabilidade de que a última bola escolhida seja branca? Que aconte- ce, se 𝑛 → ∞? [Sugestão: Faça 𝑝ₙ = Prob (a 𝑛-ésima bola transferida seja branca) e exprima 𝑝ₙ em termos de 𝑝ₙ₋₁ ]. 3.38. A Urna 1 contém α bolas brancas e β bolas pretas, enquanto a Urna 2 contém β bolas brancas e α pretas. Uma bola é extraída de uma das urnas e é em seguida reposta naquela urna. Se a bola extraída for branca, escolha a próxima bola da Urna 1; se a bola extraída for preta, escolha a próxima bola da Urna 2. Continue a operar dessa maneira. Dado que a primeira bola escolhida vem da Urna 1, calcule Prob (𝑛-ésima bola escolhida seja branca) e também o limite dessa probabilidade, quando 𝑛 → ∞. 3.39. Uma máquina impressora pode imprimir n letras, digamos α₁, α₂, . . . , αₙ. Ela é acionada por impulsos elétricos, cada letra sendo produzida por um impulso diferente. Suponha que exista uma probabilidade constante p de imprimir a letra correta e também suponha independência, Um dos n impulsos, escolhido ao acaso, foi alimentado na máquina duas vezes e, em ambas, a letra α₁ foi im- pressa, Calcule a probabilidade de que o impulso escolhido tenha sido para impri- ir α₁ .
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40 / PROBABILIDADE 2.10. Um mecanismo complexo pode falhar em 15 estágios. De quantas maneiras poderá ocorrer que ele falhe em 3 estágios? 2.11. Existem 12 categorias de defeitos menores de uma peça manufaturada, e 10 tipos de defeitos graves. De quantas maneiras poderão ocorrer 1 defeito menor e 1 grave? E 2 defeitos menores e 2 graves? 2.12. Um mecanismo pode ser posto em uma dentre quatro posições: a, b, c e d. Existem 8 desses mecanismos incluídos em um sistema. (a) De quantas maneiras esse sistema pode ser disposto? (b) Admita que esses mecanismos sejam instalados em determinadas ordem (linear) preestabelecida. De quantas maneiras o sistema poderá ser disposto, se não houver mecanismos adjacentes ao estarem em igual posição? (c) Quantas maneiras de dispor serão possíveis, se somente as posições a e b forem usadas, e o forem com igual frequência? (d) Quantas maneiras serão possíveis, se somente duas posições forem usadas, e dessas posições uma ocorrer três vezes mais frequentemente que a outra? 2.13. Suponha que de N objetos, n sejam escolhidos ao acaso, com reposição. Qual será a probabilidade de que nenhum objeto seja escolhido mais do que uma vez? (Admita n < N.) 2.14. Com as seis letras a, b, c, d, e, f quantas palavras-código de 4 letras poderão ser formadas se: (a) Nenhuma letra puder ser repetida? (b) Qualquer letra puder ser repetida qualquer número de vezes? 2.15. Supondo que oi(99 5 ) = a e (99 4 ) = b, expresse (100 95 ) em termos de a e b. (Sugerido: Não calcule as expressões acima, para resolver o problema.) 2.16. Uma caixa contém etiquetas numeradas 1, 2, ... , n. Duas etiquetas são escolhidas ao acaso. Determine a probabilidade de que os números das etiquetas sejam inteiros consecutivos se: (a) As etiquetas forem escolhidas sem reposição. (b) As etiquetas forem escolhidas com reposição. 2.17. Quantos subconjuntos se podem formar, contendo ao menos um elemento, de um conjunto de 100 elementos? 2.18. Um inteiro é escolhido ao acaso, dentre os números 1, 2, ... , 50. Qual será a probabilidade de que o número escolhido seja divisível por 6 ou por 8? 2.19. Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-se esses números. Qual será a probabilidade de que o produto seja um número positivo? 2.20. Determinado composto químico é obtido pela mistura de 5 líquidos diferentes. Propõe-se despejar um líquido em um tanque e, em seguida, juntar outros líquidos sucessivamente. Todas as sequências possíveis devem ser ensaiadas, para verificar-se qual delas dará o melhor resultado. Quantos ensaios deverão ser efetuados? Finalmente, observe-se que, simplesmente olhando a Fig. 3.8, podemos também calcular as outras probabilidades condicionadas: P(A | B) = 1/5 (desde que 1/5 da área total retangular representando B esteja ocupada por A); P(A' | B) = 4/5. Problemas 3.1. A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna 2 contém z bolas brancas e v bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. A seguir, uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca? 3.2. Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas são ensaiadas, uma a uma, até que ambas as defeituosas sejam encontradas. (a) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio? (b) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no terceiro ensaio? (c) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no quarto ensaio? (d) Some os números obtidos em (a), (b) e (c) acima. O resultado é surpreendente? 25 / INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE (c) Exatamente dois dos eventos ocorrem. (d) Não mais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente. 1.12. Demonstre o Teor 1.4. 1.13. (a) Verifique que para dois eventos quaisquer, A1 e A2, temos que P(A1 ∪ A2) ≤ P(A1) + P(A2). (b) Verifique que para quaisquer n eventos A1, ... , An, temos que P(A1 ∪ ... ∪ An) ≤ P(A1) + ... + P(An). [Sugestão: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em (b) é denominado desigualdade de Boole.] 1.14. O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos A ou B ocorra. O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente um de dois eventos A ou B ocorra. Verifique que p[(A ∩ B) ∪ (B ∩ A)] = P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B). 1.15. Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual será a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstâncias? 1.16. Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = 2, P(B) = y, e P(A ∩ B) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de z, y e z. (a) P(A ∪ B). (b) P(A ∩ B). (c) P(A ∪ B). (d) P(A ∩ B). 1.17. Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) = 1/4, P(A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0 e P(A ∩ C) = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra. 1.18. Uma instalação é constituída de duas caldeiras e uma máquina. Admita que o evento A seja que a máquina esteja em boas condições de funcionamento, enquanto os eventos B_k (k = 1, 2) são os eventos de que a k-ésima caldeira esteja em boas condições, O evento C é que a instalação possa funcionar. Se a instalação poder funcionar sempre que a máquina e pelo menos uma das caldeiras funcionar, expresse os eventos C e C', em termos de A e dos B_k. 1.19. Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e II. Suponha que se disponha de duas unidades do tipo I e três unidades do tipo II. Defina os eventos A_k, k = 1, 2 e B_j, j = 1, 2, 3 da seguinte maneira: A_k: a k-ésima unidade do tipo I está funcionando adequadamente; B_j: a j-ésima unidade do tipo II está funcionando adequadamente. Finalmente, admita que C represente o evento: o mecanismo funciona. Admita que o mecanismo funcione se ao menos uma unidade do tipo I e ao menos duas unidades do tipo II funcionarem; expresse o evento C em termos dos A_k e dos B_j. Problemas 1.1. Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros po- sitivos de 1 a 10. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, e C = {5, 6, 7}. Enu- mere os elementos dos seguintes conjuntos: (a) A ∩ B. (b) A ∪ B. (c) A ∩ B. (d) A ∩ (B ∩ C). (e) A ∩ (B ∪ C). 1.2. Suponha que o conjunto fundamental U seja dado por U = {x|0 ≤ x ≤ 2}. Sejam os conjuntos A e B definidos da forma seguinte: A = {x|1/2 < x ≤ 1} e B = {x|1/4 ≤ x < 3/2}. Descreva os seguintes con- juntos: (a) A ∪ B. (b) A ∪ B. (c) A ∩ B. (d) A ∩ B. 1.3. Quais das seguintes relações são verdadeiras? (a) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = A ∪ (B ∩ C). (b) (A ∪ B) = (A ∩ B) ∪ B. (c) A ∩ B = A ∪ B. (d) (A ∪ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C. (e) (A ∩ B) ∩ (B ∩ C) = ∅. 1.4. Suponha que o conjunto fundamental seja formado por todos os pontos (x, y) de coordenadas ambas inteiras, e que estejam dentro ou sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas x = 0, y = 0, x = 6 e y = 6. Enumere os ele- mentos dos seguintes conjuntos: (a) A = {(x, y)|x² + y² ≤ 6}. (b) B = {(x, y)|y ≤ x²}. (c) C = {(x, y)|x ≤ y²}. (d) B ∩ C. (e) (B ∪ A) ∩ C. 1.5. Empregue diagramas de Venn para estabelecer as seguintes relações: (a) A ⊂ B e B ⊂ C implica que A ⊂ C. (b) A ⊂ B implica que A = A ∩ B. (c) A ⊂ B implica que B ⊂ A. (d) A ⊂ B implica que A ∪ C ⊂ B ∪ C. (e) A ∩ B = ∅ e C ⊂ A implica que B ∩ C = ∅. 1.6. Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (N). As peças são inspecionadas e sua condição registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorra em primeiro lugar. Descreva um espaço amostral para este experimento. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS / 39 3 mulheres menores. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os seguintes eventos: A = [a pessoa é maior de 21 anos]; B = [a pessoa é menor de 21 anos]; C = [a pessoa é homem]; D = [a pessoa é mulher]. Calcule: (a) P(B ∪ D), (b) P(A ∩ C). 2.2. Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 até 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultânea- mente. O número de seu emblema é anotado. (a) Qual é a probabilidade de que o menor número de emblemas seja 5? (b) Qual é a probabilidade de que o maior número de emblemas seja 5? 2.3. (a) Suponha que os três dígitos 1, 2 e 3 sejam escritos em ordem alea- tória. Qual a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio? (b) O mesmo que em (a), com os dígitos 1, 2, 3 e 4. (c) O mesmo que em (a), com os dígitos 1, 2, 3, ..., n. Sugestão: Empregue (1.7). (d) Examine a resposta a (c), quando n for grande. 2.4. Uma remessa de 1.500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1.100 perfeitas. Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classi- ficadas. (a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas? (b) Qual a probabilidade de que se encontrem ao menos 2 peças defeituosas? 2.5. Dez fichas numeradas de 1 até 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas (X, Y), são extraídas da urna, successivamente e sem reposi- ção. Qual é a probabilidade de que seja X + Y = 10? 2.6. Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que: (a) Ele não tenha defeitos. (b) Ele não tenha defeitos graves. (c) Ele ou seja perfeito ou tenha defeitos graves. 2.7. Se do lote de artigos descrito no Probl. 2.6, dois artigos forem escolhidos (sem reposição), ache a probabilidade de que: (i) Ambos sejam perfeitos. (b) Ambos tenham defeitos graves. (c) Ao menos um seja perfeito. (d) No máximo um seja perfeito. (e) Exatamente um seja perfeito. (f) Nenhum deles tenha defeitos graves. (g) Nenhum deles seja perfeito. 2.8. Um produto é montado em três estágios. No primeiro estágio, exis- tem 5 linhas de montagem; no segundo estágio, existem 4 linhas de montagem e no terceiro estágio, existem 6 linhas de montagem. De quantas maneiras dife- rentes poderá o produto se deslocar durante o processo de montagem? 2.9. Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que os operários saibam quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação de suas visitas. De quantas maneiras isto poderá ser feito? PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA / 63 (e) A tenha mais desarranjo que B. (d) B tenha duas vezes mais desarranjos que A. (c) B tenha 4 desarranjos, quando se saiba que B já tenha tido 2 desar- ranjos. (p) O número mínimo de desarranjos das duas máquinas seja 3; seja menor que 3. (q) O número máximo de desarranjos das máquinas seja 3; seja maior que 3. Tab. 3.2 Número de desarranjos 0 1 2 3 4 5 6 A 0,1 0,2 0,3 0,2 0,09 0,07 0,04 B 0,3 0,1 0,1 0,1 0,1 0,15 0,15 3.22. Verifique pelas Eqs. (3.2) que, sendo A fixo, P(B|A) satisfaz os vários postulados da probabilidade. 3.23. Se cada elemento de um determinante de segundo ordem for zero ou um, qual será a probabilidade de que o valor do determinante seja positivo? (Admita que os elementos do determinante sejam escolhidos independentemente, e a cada valor se atribuindo a probabilidade 1/2.) 3.24. Verifique que o teorema da multiplicação P(A ∩ B) = P(A)P(B|A), estabelecido para dois eventos, pode ser estendido para três eventos, da seguinte maneira: P (A ∩ B ∩ C) = P(A|B ∩ C)P(B|C)P(C). 3.25. Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De procedimentos de ensaio anteriores, as seguintes probabilidades se admitem co- hecidas: P(A falhe) = 0,20, P(A e B falhem) = 0,15, P(B falhe sozinho) = 0,15. Calcule as seguintes probabilidades: (a) P(A falhe | B tenha falhado). (b) P(A falhe sozinho). 3.26. Conclua a análise do exemplo dado na Seção 3.2, pela decisão de qual dos dois tipos de caixa de bombons, A ou B, foi apresentada, baseado na evidência dos dois bombons que foram tirados na amostra. 3.27. Sempre que um experimento é realizado, a ocorrência de um parti- cular evento A é igual a 0,2. O experimento é repetido independentemente, até que A ocorra. Calcule a probabilidade de que seja necessário levar a cabo o experi- mento até a quarta vez. 3.28. Suponha que um equipamento possua N válvulas, todas necessárias para seu funcionamento. A fim de localizar uma válvula com mau funcionamento, faz-se a substituição de cada válvula, successivamente, por uma válvula nova. Calcule a probabilidade de que seja necessário trocar N válvulas, se a probabilidade (cons- tante) de uma válvula estar desarranjada por p. 3.29. Demonstre: Se P (A | B) > P (A), então, P (B | A) > P (B). ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS / 41 2.21. Um lote contém n peças, das quais se sabe serem r defeituosas. Se a ordem da inspeção das peças se fizer ao acaso, qual a probabilidade de que a peça inspecionada em k-ésimo lugar (k ≥ r) seja a última peça defeituosa contida no lote? 2.22. Dentre os números 0, 1, 2, ..., 9 são escolhidos ao acaso (sem reposição) r números (0 < r < 10). Qual é a probabilidade de que não ocorram dois números iguais? 62 / PROBABILIDADE (a) O dado mostre um número par e a carta seja de um naipe vermelho? (b) O dado mostre um número par ou a carta seja de um naipe vermelho? 3.13. Um número binário é constituído apenas dos dígitos zero e um. (Por exemplo, 1011, 1100 etc.) Esses números têm importante papel na utilização de computadores eletrônicos. Suponha que um número binário seja formado de n dígitos. Suponha que a probabilidade de um dígito incorreto aparecer seja p e que os erros em diferentes dígitos sejam independentes uns dos outros. Qual será a probabilidade de formar-se um número incorreto? 3.14. Um dado é atirado n vezes. Qual é a probabilidade de que “6” apareça ao menos uma vez em n jogadas? 3.15. Cada uma de duas pessoas joga três moedas equilibradas. Qual é a probabilidade de que elas obtenham o mesmo número de caras? 3.16. Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números diferentes, qual é a probabilidade de que uma face seja 4? 3.17. Sabe-se que na fabricação de um certo artigo, defeitos de um tipo ocorrem com probabilidade 0,1 e defeitos de outro tipo com probabilidade 0,05. Qual será a probabilidade de que: (a) Um artigo não tenha ambos os tipos de defeitos? (b) Um artigo seja defeituoso? (c) Um artigo tenha apenas um tipo de defeito, sabido que é defeituoso? 3.18. Verifique que o número de condições impostas pela Eq. (3.8) é dado por 2^n = n − 1. 3.19. Demonstre que, se A e B forem eventos independentes, também o serão A e B, A e B, A e B. 3.20. Na Fig. 3.11 (a) e (b), suponha que a probabilidade de que cada relé esteja fechado seja p, e que cada relé seja aberto ou fechado independentemente um do outro. Em cada caso, determine a probabilidade de que a corrente passe de L para R. Fig. 3.11 3.21. Duas máquinas A e B, sendo operadas independentemente, podem ter alguns desarranjos cada dia. A Tab. 3.2 dá a distribuição de probabilidades dos desarranjos para cada máquina. Calcule as seguintes probabilidades: (a) A e B tenham o mesmo número de desarranjos. (b) O número total de desarranjos seja menor que 4; menor que 5. 64 / PROBABILIDADE 3.30. Uma válvula a vácuo pode provir de três fabricantes, com probabilidades p_1 = 0,25, p_2 = 0,50 e p_3 = 0,25. As probabilidades de que, durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são, respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4 para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de tempo especificado. 3.31. Um sistema elétrico é composto de dois comutadores do tipo A, um do tipo B, e quatro do tipo C, ligados como indica a Fig. 3.12. Calcule a probabilidade de que uma pane no circuito não possa ser eliminada com a chave K, se os comutadores A, B e C estiverem abertos (isto é, desligados) com probabilidades 0,3; 0,4 e 0,2, respectivamente, e se eles operarem independentemente. Fig. 3.12 3.32. A probabilidade de que um sistema fique sobrecarregado é 0,4 durante cada etapa de um experimento. Calcule a probabilidade de que o sistema deixe de funcionar em três tentativas independentes do experimento, se as probabilidades de falhas em 1, 2 ou 3 tentativas forem iguais, respectivamente, a 0,2; 0,5 e 0,8. 3.33. Quatro sinais de rádio são emitidos sucessivamente. Se a recepção de cada um for independente da recepção do outro, e se essas probabilidades forem 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4, respectivamente, calcule a probabilidade de que k sinais venham a ser recebidos para k = 0, 1, 2, 3, 4. 3.34. A seguinte (de algum modo simplória) previsão de tempo é empregada por um amador. O tempo, diariamente, é classificado como “seco” ou “úmido”, e supõe-se que a probabilidade de que qualquer dia dado seja igual ao dia anterior seja uma constante p (0 < p < 1). Com base em registros passados, admite-se que o último dia tenha tido probabilidade de 8 de ser dia “seco”. Fazendo θ_n = probabilidade de que o n-ésimo dia do ano seja “seco”, pede-se obter uma expressão para θ_n em termos de p e θ_0. Calcule também lim_{n → ∞} θ_n e interprete o seu resultado [Sugestão: Exprima θ_n em termos de θ_{n − 1} ] 3.35. Três jornais A, B e C são publicados em uma cidade e uma recente pesquisa entre os leitores indicou o seguinte: 20 por cento leem A; 26 por cento leem B; 14 por cento leem C; 8 por cento leem A e B; 5 por cento leem A e C; 3 por cento leem B e C; 4 por cento leem B e C. Para um adulto escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de que: (a) ele não leia qualquer dos jornais; RESPOSTAS A PROBLEMAS SELECIONADOS / 413 2.4. \(\begin{pmatrix} 400 \\ 90 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1100 \\ 110 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1500 \\ 200 \end{pmatrix}\) (a) \quad \begin{pmatrix} 400 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1100 \\ 200 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1100 \\ 199 \end{pmatrix}\) + \begin{pmatrix} 400 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1100 \\ 199 \end{pmatrix}\) 2.5. \quad 4 \over 45^5 2.6. \quad 5 \over 9 \\ 7 \over 8 \\ 3 \over 4 2.7. \quad 3 \over 8 \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 120 \end{pmatrix} \:\:\: 6 \over 7 \over 8 \\ 8 2.8. \quad 120. 2.9. \quad 720. 2.10. \quad 4055. 2.11. \quad (a) 120, (b) 2.970. 2.12. \quad (a) \begin{pmatrix} 4^k \end{pmatrix}, \: (b) 4 \cdot 3^7, \: (c) 70, \: (d) 336. 2.13. \quad \begin{pmatrix} (N - 1)!/(N - n)! \end{pmatrix}/N^{N - 1}. 2.14. \quad (a) 360, \: (b) 1.296. 2.15. \quad a + b. 2.16. \quad (a) 2/n; \: (b) 2(n - 1)/n^2. 2.18. \quad 0.24. 2.20. \quad 120. 2.21. \quad \begin{pmatrix} (r - 1)(n - r) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n \\ k - r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 - x \end{pmatrix}\over n - k + 1. 2.22. \quad \begin{pmatrix} 10! \end{pmatrix}/ \begin{pmatrix} 10^3(10 - r)! \end{pmatrix} Capítulo 3 3.1. \left( \dfrac{z}{z + y} \right) \left( \dfrac{z + 1}{z + v + 1} \right) + \left( \dfrac{y}{z + y} \right) \left( \dfrac{z}{z + v + 1} \right) 3.2. \quad \begin{pmatrix} a \: 1 \end{pmatrix}/6^{\circ}, \: (b) \: \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}/3^{\circ}, \: \begin{pmatrix} A \end{pmatrix}/2^{\circ}. 3.3. \quad 5 / 9 \over 95 \begin{pmatrix} 33 \end{pmatrix}/95 \begin{pmatrix} 9 \over 125 \end{pmatrix}\over 0. \begin{pmatrix} 50 \\ 23 \end{pmatrix} 3.4. \quad 2/5. 3.5. \quad (A \: 0, (b) \: 0. \begin{pmatrix} 1396 \end{pmatrix}(b) \: 0.049, (c) \: 0.25. 3.6. \quad (a) \ 33 \over 95; \ (b) 14 \over 95; \ (c) 48 \over 95. 3.12. \quad (a) 1 \over 4; \ (b) 3 \over 4. 3.13. \quad 1 - (1 - p)^n. 3.15. \quad 5 \over 16. 3.17. \quad (a) 0.095, (b) 0.145. 3.20. \quad (a) 2p^5 + 2p^3 - 5p^5 + 2p^5, \ (b) p + 3p^3 - 4p^2 + 3p^3 - p^6. 3.23. \quad 3 \over 16. 3.25. \quad (a) 0, 50; (b) 0, 05. 3.34. \quad \beta_n = \begin{pmatrix} 1 - (2p - 1)^n \end{pmatrix\end{pmatrix} + \beta - \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}/2^{(p - 1)}. 0 \beta. 3.35. \quad (a) 0.65; \ (b) 0.22; \ (c) 0/35. 24 / PROBABILIDADE 1.7. (a) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com fila- mento partido. Essas lâmpadas não verificadas uma a uma, até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. Descreva um espaço amostral para este experimento. (b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosas tenham sido encontradas. Descreva o espaço amostral para este experimento. 1.8. Considere quatro objetos, a, b, c,d. Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listados represente o resultado de um experimento. Sejam os eventos A e B definidos assim: A = [a está na primeira posição]; B = [b está na segunda posição]. (a) Enumere todos os elementos do espaço amostral. (b) Enumere todos os elementos dos eventos A ∩ B ∈ A U B. 1.9. Um lote contém peças pesando 5, 10, 15,..., 50 gramas. Admita-se que ao menos duas peças de cada peso sejam encontradas no lote. Duas peças são retiradas do lote. Sejam X o peso da primeira peça escolhida e Y o peso da segunda. Portanto, o par de números (X, Y) representa um resultado possível do experimento. Empregando o plano XY, marque o espaço amostral e os seguinte eventos: (a) X > Y (b) Y > X (c) A segunda peça é duas vezes mais pesada que a primeira. (d) A primeira peça pesa menos 10 gramas que a segunda peça. (e) O peso médio de duas peças é menor do que 30 gramas. 1.10. Durante um período de 24 horas, em algum momento X, uma chave é posta na posição "ligada". Depois, em algum momento futuro Y (ainda du- rante o mesmo período de 24 horas), a chave é virada para a posição "desligada". Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números (X, Y). (a) Descreva o espaço amostral. (b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos: (i) O circuito está ligado por uma hora ou menos. (ii) O circuito está ligado no tempo x, onde x é algum instante no período dado de 24 horas. (iii) O circuito é ligado antes do tempo t_1 e desligado depois do tempo t_2 (onde também t_1 < t_2 são dois instantes durante o período de 24 horas especificado). (iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado. 1.11. Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em notações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais: (a) Ao menos um dos eventos ocorre. (b) Exatamente um dos eventos ocorre. PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA / 61 3.3. Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita? 3.4. No problema anterior, as válvulas são verificadas extraindo-se uma válvula ao acaso, ensaiando-a e repetindo-se o procedimento até que todas as válvulas defeituosas sejam encontradas. Qual será a probabilidade de que a quarta válvula defeituosa seja encontrada: (a) No quinto ensaio? (b) No décimo ensaio? 3.5. Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um ex- perimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade da ocorrência de A for igual a 0,4, determine a probabilidade da ocorrência de B. 3.6. Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspecionais ao mesmo tempo. Se essas peças forem extraídas ao acaso, qual será a probabilidade de que: (a) As duas primeiras peças sejam defeituosas? (b) As duas primeiras peças sejam perfeitas? (c) Das duas primeiras peças inspecionadas, uma seja perfeita e a outra defeituosa? 3.7. Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada urna com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata em outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas é aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a probabili- dade de que a moeda provinha de urna 2? 3.8. Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as duas outras moedas são normais e não viciadas. Uma moeda é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em seqüência. Se sair cara toda vez, qual será a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? 3.9. Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máqui- na, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e se verifica ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C? 3.10. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0.4, enquanto P(A U B) = 0.7. Seja P(B) = p. (a) Para que valor de p, A e B são mutuamente excludentes? (b) Para que valor de p, A e B serão independentes? 3.11. Três componentes C1, C2 e C3 de um mecanismo são postos em série (em linha reta). Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem alea- tória. Seja R o evento (C1 está à direita de C1), e seja S o evento (C1 está à direita de C1). Os eventos R e S são independentes? Por quê? 3.12. Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de um baralho completo (52 cartas). Qual será a probabilidade de que: PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA / 65 (b) ele leia exatamente um-dos jornais; (c) ele leia ao menos 𝐴 𝑒 𝐵, se se souber que ele lê ao, menos um dos jornais publicados. 3.36. Uma moeda equilibrada é jogada 2𝑛 vezes. (a) Obtenha a probabi- lidade de que ocorrerá um igual número de caras e coroas; (b) Mostre que a probabilidade calculada em (a) é uma função decrescente de 𝑛. 3.37. Cada urna 𝑛ₐ𝑠 𝑛 urnas: Urna 1, Urna 2, . . . , Urna 𝑛, contém α bolas brancas e β bolas pretas. Uma bola é retirada da Urna 1 e posta na Urna 2; em se- guida, uma bola é retirada da Urna 2 e posta na Urna 3, e assim por diante. Final- mente, uma bola é retirada da Urna n. Se a primeira bola transferida for branca, qual será a probabilidade de que a última bola escolhida seja branca? Que aconte- ce, se 𝑛 → ∞? [Sugestão: Faça 𝑝ₙ = Prob (a 𝑛-ésima bola transferida seja branca) e exprima 𝑝ₙ em termos de 𝑝ₙ₋₁ ]. 3.38. A Urna 1 contém α bolas brancas e β bolas pretas, enquanto a Urna 2 contém β bolas brancas e α pretas. Uma bola é extraída de uma das urnas e é em seguida reposta naquela urna. Se a bola extraída for branca, escolha a próxima bola da Urna 1; se a bola extraída for preta, escolha a próxima bola da Urna 2. Continue a operar dessa maneira. Dado que a primeira bola escolhida vem da Urna 1, calcule Prob (𝑛-ésima bola escolhida seja branca) e também o limite dessa probabilidade, quando 𝑛 → ∞. 3.39. Uma máquina impressora pode imprimir n letras, digamos α₁, α₂, . . . , αₙ. Ela é acionada por impulsos elétricos, cada letra sendo produzida por um impulso diferente. Suponha que exista uma probabilidade constante p de imprimir a letra correta e também suponha independência, Um dos n impulsos, escolhido ao acaso, foi alimentado na máquina duas vezes e, em ambas, a letra α₁ foi im- pressa, Calcule a probabilidade de que o impulso escolhido tenha sido para impri- ir α₁ .