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TEORIA DAS ESTRUTURAS I Parte 2 Notas de Aula CIV208 Ricardo Azoubel da Mota Silveira Colaboração Andréa Regina Dias da Silva Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto 2008 SUMÁRIO 1 Treliças Isostáticas 11 Aplicações 1 12 Tipos 2 13 Definição 3 14 Considerações de Projeto 3 15 Classificação 4 16 Grau de Indeterminação 5 17 Estabilidade 6 18 Observações Importantes 7 19 Análise e Métodos de Resolução 8 110 Treliças Compostas 16 111 Treliças Complexas 20 112 Treliças de Altura Constante 25 2 Grelhas Isostáticas 21 Introdução 35 22 Aplicações 36 23 Definição 38 24 Observações 38 25 Grelha EngastadaLivre 40 26 Grelha Isostática Triapoiada 41 27 Viga Balcão 42 Referências Bibliográficas 43 1 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Teoria das Estruturas I 1 11 APLICAÇÕES TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Teoria das Estruturas I 2 12 TIPOS 1 As barras são conectadas através de juntas idealizadas como rotuladas 2 O carregamento externo é aplicado apenas nas juntas pontos nodais Tensões principais Esforço Normal Tensões secundárias Momento Fletor Teoria das Estruturas I 3 13 DEFINIÇÃO 14 CONSIDERAÇÕES DE PROJETO São estruturas reticuladas indeformadas constituídas de barras retas com extremidades rotuladas formando malhas triangulares 2 500 N B 1 2 3 Barras elementos membros 1 2 3 Pontos nodais A B e C A C A gusset plate TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1 Treliças Simples 2 Treliças Compostas Teoria das Estruturas I 4 15 CLASSIFICAÇÃO Tipo 1 Tipo 2 simple trusses simple trusses Tipo 3 secondary simple trusses secondary simple trusses secondary simple trusses main simple trusses TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 3 Treliças Complexas Número de incógnitas número de barras b número de reações r Número de equações para cada nó j Fx 0 Fy 0 b r 2 j b r 2 j Estaticamente Determinada Treliça isostática Estaticamente Indeterminada Treliça hiperestática Portanto Teoria das Estruturas I 5 16 GRAU DE INDETERMINAÇÃO 17 ESTABILIDADE Se b r 2 j Treliça Instável Treliça hipostática TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1 Estabilidade Externa Situações de Instabilidade externamente instável Situações de Instabilidade externamente instável 2 Estabilidade Interna Situação de Estabilidade estabilidade interna Situação de Instabilidade instabilidade interna Teoria das Estruturas I 6 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Treliça composta Situação de Estabilidade estabilidade interna Treliça complexa Situação de Instabilidade instabilidade interna Portanto Teoria das Estruturas I 7 18 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Se Treliça instável Se b r 2 j Treliça instável se as reações de apoio são concorrentes ou paralelas ou se os componentes da treliça formam um mecanismo de colapso b r 2 j a Todo sistema reticulado deformável é instável hipostático Todo sistema indeformável é estável isostático ou hiperestático b Treliças isostáticas com cargas fora dos nós não são treliças ideais c Qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado rotulado em seus vértices é deformável e portanto hipostático exceto o caso do triângulo d Lei de Formação das Treliças Isostáticas e Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada ver figura abaixo e Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada ver figura abaixo f As treliças são geralmente de madeira ou de aço Esses materiais suportam bem os esforços de tração e compressão g Na prática a grande maioria das treliças é ISOSTÁTICA Teoria das Estruturas I 8 19 ANÁLISE E MÉTODOS DE RESOLUÇÃO TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Uma treliça biapoiada constituída por 3 barras formando um triângulo é isostática Se a partir dessa configuração básica acrescentarmos novos nós através de duas novas barras essa nova treliça será ainda isostática Isto porque surgem duas novas incógnitas no problema simultaneamente ao acréscimo de duas novas equações de equilíbrio ao sistema Análise de uma treliça Métodos de Resolução Análise de uma treliça Avaliação dos esforços normais nas barras e reações de apoio 1 Método do equilíbrio dos nós 2 Método das seções Método de Ritter 3 Método de Cremona 1 Método do equilíbrio dos nós a Idéia Básica dos Métodos de Resolução 2 Método das seções Método de Ritter Teoria das Estruturas I 9 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS A B C D E F G 2 m 2 m 2 m 2 m a a 2 m 2 m 2 m 1000 N 2 m 2 m C 2 m 2 m G 2 m C FGC FGF FGF FGC FBC FBC Dy Dx Ex 45O 45O 1000 N 500 N 45 B 500 N B FBA FBC 500 N 45O tração compressão FBC compressão FBA tração 45O B A C 45O 2 m 2 m G 3 Método de Cremona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3P 3P HA 3P VA 2P VD P a A B C D E F VA 2P a a a Nó A VA 2P HA 3P N7 N2 Nó E N3 N2 N1 Nó B N4 N3 N7 N8 N5 N4 N1 N6 3P Nó F N6 N9 VD P Nó D Teoria das Estruturas I 10 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS i As seções de Ritter não precisam ser retas elas podem ter formas quaisquer Porém devem ser contínuas e atravessar toda a treliça ii Devese escolher seções de Ritter que interceptem três barras não paralelas e não concorrentes no mesmo ponto Podem ocorrer entretanto seções de Ritter que interceptem mais de três barras e a partir das quais seja possível determinar os esforços normais em algumas das barras iii O Método de Ritter se presta admiravelmente ao cálculo das treliças de altura constante fazendoo recair até no cálculo de uma viga de substituição quando o carregamento é vertical 3P 2P N2 N7 A Nó A N2 N1 E B N8 N7 N4 N3 Nó B F N1 3P N6 N9 P D Nó D N2 N3 Nó E N4 N6 N5 Nó F Problema 1 Pedese avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo Defina também se essas forças são de tração ou compressão b Aplicações 1 Método do equilíbrio dos nós Teoria das Estruturas I 11 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 2 KN 3 m A 3 m 3 m B C D E F G 30O 60O 60O 60O 60O 30O 3 KN 3 KN Problema 2 Pedese avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo Defina também se essas forças são de tração ou compressão As reações são dadas Problema 1 Pedese indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem esforço normal nulo Característica Elementos com Esforço Normal Nulo Teoria das Estruturas I 12 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 175 lb 200 lb B C D 10 ft 10 ft A E F 30O 30O 45O 45O 60O 60O Ax 1414 lb Ay 1254 lb Ey 1910 lb B C A B C D E P Solução 1 Ponto nodal C 2 Ponto nodal A 1 Ponto nodal C 2 Ponto nodal A x CB y CD F 0 F 0 F 0 F 0 y AB AB x AE AE F 0 F sen 0 F 0 sen 0 F 0 F 0 0 F 0 θ θ Problema 2 Pedese indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem esforço normal nulo Solução 1 Ponto nodal D 2 Ponto nodal F y DF F 0 F 0 y CF CF F 0 F sen 0 0 F 0 sen 0 θ θ Teoria das Estruturas I 13 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS B C D P A E G F Problema 3 Pedese indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem esforço normal nulo Problema 1 Pedese avaliar o esforço normal nas barras BC GC e GF da treliça abaixo Defina se esses esforços são de tração ou compressão 2 Método das seções Método de Ritter Teoria das Estruturas I 14 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS A B C D E P G F H B C D a A E F G 2 m 2 m 2 m 2 m a 1000 N Solução Estratégia 1 Estratégia 2 Problema 2 Pedese avaliar o esforço normal nas barras CF e GC Defina se esses esforços são de tração ou compressão As reações de apoio são dadas Teoria das Estruturas I 15 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1000 N 2 m C 2 m G 2 m FGC FGF FBC 45O 1000 N 2 m 2 m C FGF FGC FBC Dy Dx Ey 45O G Problema 3 Pedese avaliar o esforço normal nas barras GF e GD Defina se esses esforços são de tração ou compressão As reações de apoio são dadas Solução FGF FGD FCD Formação conexão de duas ou mais treliças simples através de barras e pontos nodais Análise aplicação de ambos os métodos equilíbrio dos nós e seçõesRitter Tipo 1 Avaliar as reações treliça completa Avaliar as reações treliça completa Usar o método das seções cortar a treliça através da barra que faz a conexão das duas treliças simples Avaliar a força nessa barra ligação entre as trel iças Teoria das Estruturas I 16 110 TRELIÇAS COMPOSTAS Analisar as treliças simples usando o método do equilíbrio dos nós TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 4 m 3 m Ax 0 a a A B C D E F G H 6 kN 8 kN 2 kN Ey 7 kN Ay 9 kN 3 m 3 m 3 m 3 m Ax 0 a B C D simple trusses Tipo 2 Tipo 3 Teoria das Estruturas I 17 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS simple trusses secondary simple trusses secondary simple trusses secondary simple trusses main simple trusses Avaliar as reações treliça completa Usar o método das seções e cortar cada uma das três barras que faz a conexão das duas treliças simples Avaliar a força normal nessas barras diagrama de corpo livre Analisar as treliças simples usando o método do equilíbrio dos nós Remover as treliças secundárias usando membros fictícios linhas tracejadas para construir a treliça principal O efeito força exercido pelas treliças secundárias na treliça principal é introduzido nas juntas onde as treliças secundárias são conectadas à treliça principal Avaliar as forças nos membros fictícios linhas tracejadas usando o método do equilíbrio dos nós ou seções equilíbrio dos nós ou seções Essas forças são aplicadas nas juntas das treliças secundárias e assim usando o método do equilíbrio dos nós as forças nas barras das treliças secundárias podem ser avaliadas Problema 1 Indique como analisar a treliça composta abaixo As reações de apoio são dadas Solução Passo 1 Passo 2 Problema 2 Indique como analisar a treliça composta abaixo As reações de apoio são dadas Solução Passo 1 Passo 2 Teoria das Estruturas I 18 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 2m 2m 4m Ax 0 A B C D E F G K J I H a a 2m 2m 2m 2m 4 kN 2 kN 4 kN Ay 5 kN Ey 5 kN 6 ft 6 ft 6 ft 6 ft 12 ft 6 ft A B C D E F G H a a 45o 45o 45o Ax 0 6 ft 6 ft 6 ft 6 ft 6 ft Ay 3 k 3 k 3 k Fy 3 k Problema 3 Indique como analisar a treliça composta abaixo As reações de apoio são dadas Solução Teoria das Estruturas I 19 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 3 D E F 3 kN 3 kN 5o 5o 5o A B C G H Ax 0 Ay 462 kN Cy 462 kN 45o 6 m 6 m 5 5o 5o A E F G 3 kN 15 kN 15 kN FAE FAE C E F G 3 kN 15 kN 15 kN FEC FEC Formação Sua lei de formação não se enquadra nos casos das treliças simples ou compostas Análise Método do Equilíbrio dos Nós Procedimentos a Computacional Escrever as equações de equilíbrio para cada ponto nodal junta b Manual Treliças complexas pequenas GI baixo Procedimento de Análise MANUAL Determinar as reações de apoio Começar a imaginar como a treliça poderia ser analisada pelo método do equilíbrio dos nós Se numa determinada junta existem 3 incógnitas remova um dos membros e o substitua por um membro imaginário introduzido em outro lugar na treliça Etapa 1 treliça Treliça Modificada Treliça Original Teoria das Estruturas I 20 Resolver o sistema de equações resultante A N B Idéia da superposição do efeitos 111 TRELIÇAS COMPLEXAS TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Introduzir o carregamento externo na treliça modificada Avaliar através do método do equilíbrio dos nós os esforços normais Si em cada membro i Na treliça exemplo Etapa 2 Treliça Modificada AB AF FE FC DE DC EB EC BC Junta A S e S Junta F S e S Junta D S e S ambos são nulos Junta E S e S Junta B S Retirar o carregamento externo na treliça modificada Introduzir cargas unitárias colineares na treliça modificada nas duas juntas que definiam o membro que foi retirado Resolver a treliça modificada para esse carregamento avaliar através do método do equilíbrio dos nós os esforços normais si em cada membro i Na treliça exemplo Etapa 3 AB AF FE FC DE DC EB EC BC Junta A s e s Junta F s e s Junta D s e s Junta E s e s Junta B s Treliça Modificada Teoria das Estruturas I 21 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Combinar os efeitos dos dois carregamentos superposição dos efeitos i i i S S x s Si S S x s 0 x Etapa 4 Determinação de x para o membro i de substituição empregado i i i i i S S S x s 0 x s EC EC EC EC EC S S S x s 0 x s Na treliça exemplo membro EC Problema Determine o esforço normal de cada membro da treliça complexa mostrada na figura abaixo Assuma que as juntas B F e D estão na mesma linha horizontal Defina também se os esforços são de tração ou compressão Teoria das Estruturas I 22 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS C 5 k A B D E F 8 ft 3 ft 4 ft 45o 45o Solução Etapa 1 Introduzir o carregamento externo na treliça modificada Avaliar os esforços normais Si em cada membro i CB CD FA FE EB ED DA DB BA Junta C S e S Junta F S e S ambos são nulos Junta E S e S Junta D S e S Junta B S Etapa 2 Membro Membro CB CD FA FE EB ED DA DB BA 354 354 0 0 0 438 534 250 250 i S Teoria das Estruturas I 23 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Determinar as reações de apoio Remover um dos membros e empregar um membro imaginário introduzido em outro lugar na treliça C 5 k C 5 k A B D E F 8 ft 3 ft 4 ft 45o 45o A B D E 45o 45o 5 k 438 k 438 k CB CD FA FE EB ED Junta C s e s Junta F s e s Junta E s e s Etapa 3 EB ED DA DB BA Junta E s e s Junta D s e s Junta B s Membro si CB CD FA FE EB ED DA DB BA 0707 0707 0833 0833 0712 0250 0712 1167 0250 i i i S S x s DB DB DB S S x s 0 Etapa 4 Combinar os efeitos dos dois carregamentos superposição dos efeitos em que x é uma incógnita DB DB DB DB DB S S x s 0 S 25 x s 1167 x 2142 Membro si x si Si CB CD FA FE EB ED DA DB BA 354 354 0 0 0 438 534 250 250 0707 0707 0833 0833 0712 0250 0712 1167 0250 151 151 178 178 153 0536 152 250 0535 202 T 505 C 178 T 178 T 153 C 491 C 381 T 0 196 T i S Teoria das Estruturas I 24 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Na treliça modificada introduzir cargas unitárias colineares nas duas juntas que definiam o membro que foi retirado Resolver a treliça modificada para esse carregamento D C B F 1 k 1 k A E D B Determinar x para o membro DB de substituição empregado Tipos Análise Viga de Substituição Treliça com uma Treliça com uma diagonal por painel Treliça com duas diagonais por painel Vigas Hässler 1 Treliça com uma diagonal por painel Idéia básica Viga de Substituição a Barras Horizontais inferiores e superiores b Barras Diagonais c Barras Verticais Análise P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 S1 S2 O1 O2 O3 D E F G H I J K V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 D2 D1 D3 VA VB S1 S2 h A B C A A C D E F G B B C O1 O2 O3 U1 U2 U3 2t 2t 2t 2t 2t V3 V0 i V0 s V1 s V2 s V1 i V2 i D1 s D1 i D2 s D2 i D3 s D3 i P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 S1 S2 O1 O2 O3 D E F G H I J K V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 D2 D1 D3 VA VB S1 S2 h A B C P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k Teoria das Estruturas I 25 112 TRELIÇAS DE ALTURA CONSTANTE TRELIÇAS ISOSTÁTICAS a Barras Horizontais inferiores Avaliação de U3 G A 1 2 3 3 A 1 2 3 3 M 0 V 3d P 3d P 2d P d U h 0 V 3d P 3d P 2d P d U h Momento fletor na seção g Viga de Substituição g A 1 2 3 M V 3d P 3d P 2d P d Portanto g 3 M U h Sinal positivo TRAÇÃO Barras Horizontais superiores Avaliação de O3 F A 1 2 3 A 1 2 3 M 0 V 2d P 2d P d O h 0 V 2d P 2d P d O h Momento fletor na seção f Viga de Substituição P d V 2d P 2d M 2 1 A f Portanto f 3 M O h Sinal negativo COMPRESSÃO P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k d P1 P2 P3 VA S1 S1 U3 h A D E F G d d D3 O3 ϕ F Teoria das Estruturas I 26 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS b Barras Diagonais Avaliação de D F 0 V P P P D sen 0 ϕ Avaliação de D3 Y A 1 2 3 3 A 1 2 3 3 F 0 V P P P D sen 0 V P P P D sen ϕ ϕ Esforço cortante no trecho fg Viga de Substituição 3 2 1 A f g P P P V Q Portanto f g 3 Q D sen ϕ Caso Geral Sinal estudar cada caso c Barras Verticais Avaliação de V3 Y A 1 3 4 3 2 3 A 1 2 3 4 F 0 V P P P P V 0 V V P P P P 3 A 1 2 3 4 V V P P P P Esforço cortante no trecho gh Viga de Substituição 4 3 2 1 A g h P P P P V Q Portanto 3 g h V Q Caso Geral Sinal estudar cada caso d P1 P2 P3 VA S1 S1 U3 h A D E F G d d D3 O3 ϕ F P1 P2 P3 VA S2 V3 A D E F G F P4 H S2 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k Teoria das Estruturas I 27 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Observação casos de barras verticais que não é possível utilizar a Seção de Ritter caso de interceptar mais ou menos de três barras caso de interceptar mais ou menos de três barras V0 VA compressão V2 P3 compressão V5 VB compressão V7 P8 compressão Solução Método do equilíbrio dos nós No caso Aplicação Problema 1 Determine o esforço normal de cada membro da treliça altura constante e uma diagonal por painel mostrada na figura abaixo A treliça é carregada superiormente 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 3 m 3 m 3 m 3 m h 3 m VA A F B K V0 VA V2 P3 P3 V5 VB VB V7 PB PB Teoria das Estruturas I 28 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Solução 1 Viga de substituição h M U g 3 Fórmulas h 3 h M O f 3 Qtrecho int erceptado V Qtrecho int erceptado sen 1 D ϕ Problema 2 Obter os esforços normais para as barras da treliçamarquise da figura a seguir Teoria das Estruturas I 29 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 5 t 5 t DMF 9 mt 9 mt 12 mt 3 t 3 t 1 t 1 t 1 t 1 t 3 t 3 t DMF DEC h 3 m A A B C D E V1 U U U U O4 O3 O2 O1 V2 V3 V4 D4 D3 D2 D1 S1 S2 4 m 4 m 4 m 4 m A U1 U2 U3 U4 S1 S2 3t 3t 3t 3t ϕ 2 Treliça com Duas Diagonais por Painel Treliça de Hässler Idéia básica Viga de Substituição Idéia básica Viga de Substituição a Barras Horizontais inferiores e superiores b Barras Diagonais c Barras Verticais Análise 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t C D E F G H I J h 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m A B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 V3 S1 S1 S2 S2 h2 A B C D E F G H I J h2 D3 s D3 i ϕ ϕ U3 O3 V2 i V2 s P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c Teoria das Estruturas I 30 Problema 3 A figura abaixo representa uma treliça de altura constante Porém estão faltando as diagonais uma em cada painel Pedese a Dispor as diagonais para que com o carregamento indicado trabalhem todas a tração b Calcular a menor altura h de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não ultrapasse em módulo o valor de 8 tf valor de 8 tf c Para esse valor de h achar os esforços normais nas barras TRELIÇAS ISOSTÁTICAS a Barras Horizontais inferiores Avaliação de U3 E A 1 3 2 M 0 V 2d P 2d P d U h 0 Avaliação de U3 E A 1 3 2 A 1 2 3 M 0 V 2d P 2d P d U h 0 V 2d P 2d P d U h P d V 2d P 2d M 2 1 A e Portanto e 3 M U h Sinal positivo TRAÇÃO b Barras Horizontais superiores Avaliação de O3 A 1 2 3 ME 0 V 2d P 2d P d O h 0 V 2d P 2d P d Portanto e 3 M O h Sinal negativo COMPRESSÃO A 1 2 3 V 2d P 2d P d O h P d V 2d P 2d M 2 1 A e d d VA U3 O3 P1 P2 P3 S1 S1 V2 s V2 I P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c d d VA U3 O3 P1 P2 P3 S1 S1 V2 s V2 I P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c Teoria das Estruturas I 31 Momento fletor na seção e viga de substituição Momento fletor na seção e viga de substituição TRELIÇAS ISOSTÁTICAS b Barras Diagonais Esforço cortante no trecho ef Viga de Substituição 3 2 1 A e f P P P V Q Portanto i s e f 3 3 Q D D 2sen ϕ Caso Geral Sinal estudar cada caso c Barras Verticais Avaliação de V2 i ϕ ϕ D sen V 0 V D sen 0 F i 2 i 2 i 2 i 2 Y Esforço cortante no trecho de Viga de Substituição P P V Q Esforço cortante no trecho de Viga de Substituição Portanto Caso Geral Sinal estudar cada caso 2 1 A d e P P V Q d e i 2 Q V 2 i d e 2 Q D 2sen ϕ Mas a diagonal i s i s X 3 3 3 3 F 0 D cos D cos 0 D D ϕ ϕ i s Y A 1 2 3 3 3 i s A 1 2 3 3 3 F 0 V P P P D sen D sen 0 V P P P D D 2 sen ϕ ϕ ϕ VA ½ Qef P1 P2 P3 D2 D3 D3 ½ Qef ϕ P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c D2 V2 E ½ Qde P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c Teoria das Estruturas I 32 i i i i s TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Avaliação de D3 s e D3 i Avaliação de V2 s i s Y A 1 2 3 2 2 F 0 V P P P V V 0 s i 2 A 1 2 3 2 V V P P P V Avaliação de V3 ϕ ϕ ϕ ϕ D sen D sen V 0 V D sen D sen 0 F i 4 i 3 3 3 i 4 i 3 Y i e f 3 Q D 2sen ϕ 3 e f f g 1 V Q Q 2 4 3 P V 2 COMPRESSÃO f g i 4 Q D 2sen ϕ Mas e Assim No caso Caso Geral Sinal estudar cada caso VA U3 O3 P1 P2 P3 S1 S1 V2 s V2 D3 i D4 V3 P42 3 A i i 1 1 V P 2 4 A i i 1 1 V P 2 Teoria das Estruturas I 33 i i TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Observação no caso de carregamento inferior obteríamos inicialmente pelo equilíbrio do nó E e em seguida o valor de através da condição FY 0 s 2 V i V2 Determine o esforço normal de cada membro da treliça de Hässler altura constante e duas diagonais por painel mostrada a seguir A treliça é carregada inferiormente Problema 4 Teoria das Estruturas I 34 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS A B C O1 O2 O3 V3 V0 i V0 s V1 s V2 s D1 s D1 i D2 s D2 i D3 s D3 i 2t 2t A C D E F G B U1 U2 U3 2t 2t 2t 2t 2t V0 V1 i V2 i D2 D3 2t 2t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Teoria das Estruturas I 43 Gonçalves PB Conceitos Básicos de Análise Estrutural Notas de aula Departamento de Engenharia Civil PUCRio Rio de Janeiro 2003 Hibbeler RC Structural Analysis 7ª edição Prentice Hall 2008 Soriano HL Estática das Estruturas 1ª Edição Editora Ciência Moderna 2007 Süssekind JC Curso de Análise Estrutural Vol 1 12ª edição Editora Globo Porto Alegre 1994
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TEORIA DAS ESTRUTURAS I Parte 2 Notas de Aula CIV208 Ricardo Azoubel da Mota Silveira Colaboração Andréa Regina Dias da Silva Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto 2008 SUMÁRIO 1 Treliças Isostáticas 11 Aplicações 1 12 Tipos 2 13 Definição 3 14 Considerações de Projeto 3 15 Classificação 4 16 Grau de Indeterminação 5 17 Estabilidade 6 18 Observações Importantes 7 19 Análise e Métodos de Resolução 8 110 Treliças Compostas 16 111 Treliças Complexas 20 112 Treliças de Altura Constante 25 2 Grelhas Isostáticas 21 Introdução 35 22 Aplicações 36 23 Definição 38 24 Observações 38 25 Grelha EngastadaLivre 40 26 Grelha Isostática Triapoiada 41 27 Viga Balcão 42 Referências Bibliográficas 43 1 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Teoria das Estruturas I 1 11 APLICAÇÕES TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Teoria das Estruturas I 2 12 TIPOS 1 As barras são conectadas através de juntas idealizadas como rotuladas 2 O carregamento externo é aplicado apenas nas juntas pontos nodais Tensões principais Esforço Normal Tensões secundárias Momento Fletor Teoria das Estruturas I 3 13 DEFINIÇÃO 14 CONSIDERAÇÕES DE PROJETO São estruturas reticuladas indeformadas constituídas de barras retas com extremidades rotuladas formando malhas triangulares 2 500 N B 1 2 3 Barras elementos membros 1 2 3 Pontos nodais A B e C A C A gusset plate TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1 Treliças Simples 2 Treliças Compostas Teoria das Estruturas I 4 15 CLASSIFICAÇÃO Tipo 1 Tipo 2 simple trusses simple trusses Tipo 3 secondary simple trusses secondary simple trusses secondary simple trusses main simple trusses TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 3 Treliças Complexas Número de incógnitas número de barras b número de reações r Número de equações para cada nó j Fx 0 Fy 0 b r 2 j b r 2 j Estaticamente Determinada Treliça isostática Estaticamente Indeterminada Treliça hiperestática Portanto Teoria das Estruturas I 5 16 GRAU DE INDETERMINAÇÃO 17 ESTABILIDADE Se b r 2 j Treliça Instável Treliça hipostática TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1 Estabilidade Externa Situações de Instabilidade externamente instável Situações de Instabilidade externamente instável 2 Estabilidade Interna Situação de Estabilidade estabilidade interna Situação de Instabilidade instabilidade interna Teoria das Estruturas I 6 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Treliça composta Situação de Estabilidade estabilidade interna Treliça complexa Situação de Instabilidade instabilidade interna Portanto Teoria das Estruturas I 7 18 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Se Treliça instável Se b r 2 j Treliça instável se as reações de apoio são concorrentes ou paralelas ou se os componentes da treliça formam um mecanismo de colapso b r 2 j a Todo sistema reticulado deformável é instável hipostático Todo sistema indeformável é estável isostático ou hiperestático b Treliças isostáticas com cargas fora dos nós não são treliças ideais c Qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado rotulado em seus vértices é deformável e portanto hipostático exceto o caso do triângulo d Lei de Formação das Treliças Isostáticas e Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada ver figura abaixo e Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada ver figura abaixo f As treliças são geralmente de madeira ou de aço Esses materiais suportam bem os esforços de tração e compressão g Na prática a grande maioria das treliças é ISOSTÁTICA Teoria das Estruturas I 8 19 ANÁLISE E MÉTODOS DE RESOLUÇÃO TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Uma treliça biapoiada constituída por 3 barras formando um triângulo é isostática Se a partir dessa configuração básica acrescentarmos novos nós através de duas novas barras essa nova treliça será ainda isostática Isto porque surgem duas novas incógnitas no problema simultaneamente ao acréscimo de duas novas equações de equilíbrio ao sistema Análise de uma treliça Métodos de Resolução Análise de uma treliça Avaliação dos esforços normais nas barras e reações de apoio 1 Método do equilíbrio dos nós 2 Método das seções Método de Ritter 3 Método de Cremona 1 Método do equilíbrio dos nós a Idéia Básica dos Métodos de Resolução 2 Método das seções Método de Ritter Teoria das Estruturas I 9 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS A B C D E F G 2 m 2 m 2 m 2 m a a 2 m 2 m 2 m 1000 N 2 m 2 m C 2 m 2 m G 2 m C FGC FGF FGF FGC FBC FBC Dy Dx Ex 45O 45O 1000 N 500 N 45 B 500 N B FBA FBC 500 N 45O tração compressão FBC compressão FBA tração 45O B A C 45O 2 m 2 m G 3 Método de Cremona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3P 3P HA 3P VA 2P VD P a A B C D E F VA 2P a a a Nó A VA 2P HA 3P N7 N2 Nó E N3 N2 N1 Nó B N4 N3 N7 N8 N5 N4 N1 N6 3P Nó F N6 N9 VD P Nó D Teoria das Estruturas I 10 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS i As seções de Ritter não precisam ser retas elas podem ter formas quaisquer Porém devem ser contínuas e atravessar toda a treliça ii Devese escolher seções de Ritter que interceptem três barras não paralelas e não concorrentes no mesmo ponto Podem ocorrer entretanto seções de Ritter que interceptem mais de três barras e a partir das quais seja possível determinar os esforços normais em algumas das barras iii O Método de Ritter se presta admiravelmente ao cálculo das treliças de altura constante fazendoo recair até no cálculo de uma viga de substituição quando o carregamento é vertical 3P 2P N2 N7 A Nó A N2 N1 E B N8 N7 N4 N3 Nó B F N1 3P N6 N9 P D Nó D N2 N3 Nó E N4 N6 N5 Nó F Problema 1 Pedese avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo Defina também se essas forças são de tração ou compressão b Aplicações 1 Método do equilíbrio dos nós Teoria das Estruturas I 11 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 2 KN 3 m A 3 m 3 m B C D E F G 30O 60O 60O 60O 60O 30O 3 KN 3 KN Problema 2 Pedese avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo Defina também se essas forças são de tração ou compressão As reações são dadas Problema 1 Pedese indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem esforço normal nulo Característica Elementos com Esforço Normal Nulo Teoria das Estruturas I 12 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 175 lb 200 lb B C D 10 ft 10 ft A E F 30O 30O 45O 45O 60O 60O Ax 1414 lb Ay 1254 lb Ey 1910 lb B C A B C D E P Solução 1 Ponto nodal C 2 Ponto nodal A 1 Ponto nodal C 2 Ponto nodal A x CB y CD F 0 F 0 F 0 F 0 y AB AB x AE AE F 0 F sen 0 F 0 sen 0 F 0 F 0 0 F 0 θ θ Problema 2 Pedese indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem esforço normal nulo Solução 1 Ponto nodal D 2 Ponto nodal F y DF F 0 F 0 y CF CF F 0 F sen 0 0 F 0 sen 0 θ θ Teoria das Estruturas I 13 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS B C D P A E G F Problema 3 Pedese indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem esforço normal nulo Problema 1 Pedese avaliar o esforço normal nas barras BC GC e GF da treliça abaixo Defina se esses esforços são de tração ou compressão 2 Método das seções Método de Ritter Teoria das Estruturas I 14 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS A B C D E P G F H B C D a A E F G 2 m 2 m 2 m 2 m a 1000 N Solução Estratégia 1 Estratégia 2 Problema 2 Pedese avaliar o esforço normal nas barras CF e GC Defina se esses esforços são de tração ou compressão As reações de apoio são dadas Teoria das Estruturas I 15 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1000 N 2 m C 2 m G 2 m FGC FGF FBC 45O 1000 N 2 m 2 m C FGF FGC FBC Dy Dx Ey 45O G Problema 3 Pedese avaliar o esforço normal nas barras GF e GD Defina se esses esforços são de tração ou compressão As reações de apoio são dadas Solução FGF FGD FCD Formação conexão de duas ou mais treliças simples através de barras e pontos nodais Análise aplicação de ambos os métodos equilíbrio dos nós e seçõesRitter Tipo 1 Avaliar as reações treliça completa Avaliar as reações treliça completa Usar o método das seções cortar a treliça através da barra que faz a conexão das duas treliças simples Avaliar a força nessa barra ligação entre as trel iças Teoria das Estruturas I 16 110 TRELIÇAS COMPOSTAS Analisar as treliças simples usando o método do equilíbrio dos nós TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 4 m 3 m Ax 0 a a A B C D E F G H 6 kN 8 kN 2 kN Ey 7 kN Ay 9 kN 3 m 3 m 3 m 3 m Ax 0 a B C D simple trusses Tipo 2 Tipo 3 Teoria das Estruturas I 17 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS simple trusses secondary simple trusses secondary simple trusses secondary simple trusses main simple trusses Avaliar as reações treliça completa Usar o método das seções e cortar cada uma das três barras que faz a conexão das duas treliças simples Avaliar a força normal nessas barras diagrama de corpo livre Analisar as treliças simples usando o método do equilíbrio dos nós Remover as treliças secundárias usando membros fictícios linhas tracejadas para construir a treliça principal O efeito força exercido pelas treliças secundárias na treliça principal é introduzido nas juntas onde as treliças secundárias são conectadas à treliça principal Avaliar as forças nos membros fictícios linhas tracejadas usando o método do equilíbrio dos nós ou seções equilíbrio dos nós ou seções Essas forças são aplicadas nas juntas das treliças secundárias e assim usando o método do equilíbrio dos nós as forças nas barras das treliças secundárias podem ser avaliadas Problema 1 Indique como analisar a treliça composta abaixo As reações de apoio são dadas Solução Passo 1 Passo 2 Problema 2 Indique como analisar a treliça composta abaixo As reações de apoio são dadas Solução Passo 1 Passo 2 Teoria das Estruturas I 18 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 2m 2m 4m Ax 0 A B C D E F G K J I H a a 2m 2m 2m 2m 4 kN 2 kN 4 kN Ay 5 kN Ey 5 kN 6 ft 6 ft 6 ft 6 ft 12 ft 6 ft A B C D E F G H a a 45o 45o 45o Ax 0 6 ft 6 ft 6 ft 6 ft 6 ft Ay 3 k 3 k 3 k Fy 3 k Problema 3 Indique como analisar a treliça composta abaixo As reações de apoio são dadas Solução Teoria das Estruturas I 19 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 3 D E F 3 kN 3 kN 5o 5o 5o A B C G H Ax 0 Ay 462 kN Cy 462 kN 45o 6 m 6 m 5 5o 5o A E F G 3 kN 15 kN 15 kN FAE FAE C E F G 3 kN 15 kN 15 kN FEC FEC Formação Sua lei de formação não se enquadra nos casos das treliças simples ou compostas Análise Método do Equilíbrio dos Nós Procedimentos a Computacional Escrever as equações de equilíbrio para cada ponto nodal junta b Manual Treliças complexas pequenas GI baixo Procedimento de Análise MANUAL Determinar as reações de apoio Começar a imaginar como a treliça poderia ser analisada pelo método do equilíbrio dos nós Se numa determinada junta existem 3 incógnitas remova um dos membros e o substitua por um membro imaginário introduzido em outro lugar na treliça Etapa 1 treliça Treliça Modificada Treliça Original Teoria das Estruturas I 20 Resolver o sistema de equações resultante A N B Idéia da superposição do efeitos 111 TRELIÇAS COMPLEXAS TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Introduzir o carregamento externo na treliça modificada Avaliar através do método do equilíbrio dos nós os esforços normais Si em cada membro i Na treliça exemplo Etapa 2 Treliça Modificada AB AF FE FC DE DC EB EC BC Junta A S e S Junta F S e S Junta D S e S ambos são nulos Junta E S e S Junta B S Retirar o carregamento externo na treliça modificada Introduzir cargas unitárias colineares na treliça modificada nas duas juntas que definiam o membro que foi retirado Resolver a treliça modificada para esse carregamento avaliar através do método do equilíbrio dos nós os esforços normais si em cada membro i Na treliça exemplo Etapa 3 AB AF FE FC DE DC EB EC BC Junta A s e s Junta F s e s Junta D s e s Junta E s e s Junta B s Treliça Modificada Teoria das Estruturas I 21 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Combinar os efeitos dos dois carregamentos superposição dos efeitos i i i S S x s Si S S x s 0 x Etapa 4 Determinação de x para o membro i de substituição empregado i i i i i S S S x s 0 x s EC EC EC EC EC S S S x s 0 x s Na treliça exemplo membro EC Problema Determine o esforço normal de cada membro da treliça complexa mostrada na figura abaixo Assuma que as juntas B F e D estão na mesma linha horizontal Defina também se os esforços são de tração ou compressão Teoria das Estruturas I 22 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS C 5 k A B D E F 8 ft 3 ft 4 ft 45o 45o Solução Etapa 1 Introduzir o carregamento externo na treliça modificada Avaliar os esforços normais Si em cada membro i CB CD FA FE EB ED DA DB BA Junta C S e S Junta F S e S ambos são nulos Junta E S e S Junta D S e S Junta B S Etapa 2 Membro Membro CB CD FA FE EB ED DA DB BA 354 354 0 0 0 438 534 250 250 i S Teoria das Estruturas I 23 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Determinar as reações de apoio Remover um dos membros e empregar um membro imaginário introduzido em outro lugar na treliça C 5 k C 5 k A B D E F 8 ft 3 ft 4 ft 45o 45o A B D E 45o 45o 5 k 438 k 438 k CB CD FA FE EB ED Junta C s e s Junta F s e s Junta E s e s Etapa 3 EB ED DA DB BA Junta E s e s Junta D s e s Junta B s Membro si CB CD FA FE EB ED DA DB BA 0707 0707 0833 0833 0712 0250 0712 1167 0250 i i i S S x s DB DB DB S S x s 0 Etapa 4 Combinar os efeitos dos dois carregamentos superposição dos efeitos em que x é uma incógnita DB DB DB DB DB S S x s 0 S 25 x s 1167 x 2142 Membro si x si Si CB CD FA FE EB ED DA DB BA 354 354 0 0 0 438 534 250 250 0707 0707 0833 0833 0712 0250 0712 1167 0250 151 151 178 178 153 0536 152 250 0535 202 T 505 C 178 T 178 T 153 C 491 C 381 T 0 196 T i S Teoria das Estruturas I 24 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Na treliça modificada introduzir cargas unitárias colineares nas duas juntas que definiam o membro que foi retirado Resolver a treliça modificada para esse carregamento D C B F 1 k 1 k A E D B Determinar x para o membro DB de substituição empregado Tipos Análise Viga de Substituição Treliça com uma Treliça com uma diagonal por painel Treliça com duas diagonais por painel Vigas Hässler 1 Treliça com uma diagonal por painel Idéia básica Viga de Substituição a Barras Horizontais inferiores e superiores b Barras Diagonais c Barras Verticais Análise P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 S1 S2 O1 O2 O3 D E F G H I J K V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 D2 D1 D3 VA VB S1 S2 h A B C A A C D E F G B B C O1 O2 O3 U1 U2 U3 2t 2t 2t 2t 2t V3 V0 i V0 s V1 s V2 s V1 i V2 i D1 s D1 i D2 s D2 i D3 s D3 i P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 S1 S2 O1 O2 O3 D E F G H I J K V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 D2 D1 D3 VA VB S1 S2 h A B C P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k Teoria das Estruturas I 25 112 TRELIÇAS DE ALTURA CONSTANTE TRELIÇAS ISOSTÁTICAS a Barras Horizontais inferiores Avaliação de U3 G A 1 2 3 3 A 1 2 3 3 M 0 V 3d P 3d P 2d P d U h 0 V 3d P 3d P 2d P d U h Momento fletor na seção g Viga de Substituição g A 1 2 3 M V 3d P 3d P 2d P d Portanto g 3 M U h Sinal positivo TRAÇÃO Barras Horizontais superiores Avaliação de O3 F A 1 2 3 A 1 2 3 M 0 V 2d P 2d P d O h 0 V 2d P 2d P d O h Momento fletor na seção f Viga de Substituição P d V 2d P 2d M 2 1 A f Portanto f 3 M O h Sinal negativo COMPRESSÃO P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k d P1 P2 P3 VA S1 S1 U3 h A D E F G d d D3 O3 ϕ F Teoria das Estruturas I 26 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS b Barras Diagonais Avaliação de D F 0 V P P P D sen 0 ϕ Avaliação de D3 Y A 1 2 3 3 A 1 2 3 3 F 0 V P P P D sen 0 V P P P D sen ϕ ϕ Esforço cortante no trecho fg Viga de Substituição 3 2 1 A f g P P P V Q Portanto f g 3 Q D sen ϕ Caso Geral Sinal estudar cada caso c Barras Verticais Avaliação de V3 Y A 1 3 4 3 2 3 A 1 2 3 4 F 0 V P P P P V 0 V V P P P P 3 A 1 2 3 4 V V P P P P Esforço cortante no trecho gh Viga de Substituição 4 3 2 1 A g h P P P P V Q Portanto 3 g h V Q Caso Geral Sinal estudar cada caso d P1 P2 P3 VA S1 S1 U3 h A D E F G d d D3 O3 ϕ F P1 P2 P3 VA S2 V3 A D E F G F P4 H S2 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k Teoria das Estruturas I 27 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j k TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Observação casos de barras verticais que não é possível utilizar a Seção de Ritter caso de interceptar mais ou menos de três barras caso de interceptar mais ou menos de três barras V0 VA compressão V2 P3 compressão V5 VB compressão V7 P8 compressão Solução Método do equilíbrio dos nós No caso Aplicação Problema 1 Determine o esforço normal de cada membro da treliça altura constante e uma diagonal por painel mostrada na figura abaixo A treliça é carregada superiormente 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 3 m 3 m 3 m 3 m h 3 m VA A F B K V0 VA V2 P3 P3 V5 VB VB V7 PB PB Teoria das Estruturas I 28 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Solução 1 Viga de substituição h M U g 3 Fórmulas h 3 h M O f 3 Qtrecho int erceptado V Qtrecho int erceptado sen 1 D ϕ Problema 2 Obter os esforços normais para as barras da treliçamarquise da figura a seguir Teoria das Estruturas I 29 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 5 t 5 t DMF 9 mt 9 mt 12 mt 3 t 3 t 1 t 1 t 1 t 1 t 3 t 3 t DMF DEC h 3 m A A B C D E V1 U U U U O4 O3 O2 O1 V2 V3 V4 D4 D3 D2 D1 S1 S2 4 m 4 m 4 m 4 m A U1 U2 U3 U4 S1 S2 3t 3t 3t 3t ϕ 2 Treliça com Duas Diagonais por Painel Treliça de Hässler Idéia básica Viga de Substituição Idéia básica Viga de Substituição a Barras Horizontais inferiores e superiores b Barras Diagonais c Barras Verticais Análise 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t C D E F G H I J h 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m A B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 V3 S1 S1 S2 S2 h2 A B C D E F G H I J h2 D3 s D3 i ϕ ϕ U3 O3 V2 i V2 s P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c Teoria das Estruturas I 30 Problema 3 A figura abaixo representa uma treliça de altura constante Porém estão faltando as diagonais uma em cada painel Pedese a Dispor as diagonais para que com o carregamento indicado trabalhem todas a tração b Calcular a menor altura h de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não ultrapasse em módulo o valor de 8 tf valor de 8 tf c Para esse valor de h achar os esforços normais nas barras TRELIÇAS ISOSTÁTICAS a Barras Horizontais inferiores Avaliação de U3 E A 1 3 2 M 0 V 2d P 2d P d U h 0 Avaliação de U3 E A 1 3 2 A 1 2 3 M 0 V 2d P 2d P d U h 0 V 2d P 2d P d U h P d V 2d P 2d M 2 1 A e Portanto e 3 M U h Sinal positivo TRAÇÃO b Barras Horizontais superiores Avaliação de O3 A 1 2 3 ME 0 V 2d P 2d P d O h 0 V 2d P 2d P d Portanto e 3 M O h Sinal negativo COMPRESSÃO A 1 2 3 V 2d P 2d P d O h P d V 2d P 2d M 2 1 A e d d VA U3 O3 P1 P2 P3 S1 S1 V2 s V2 I P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c d d VA U3 O3 P1 P2 P3 S1 S1 V2 s V2 I P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c Teoria das Estruturas I 31 Momento fletor na seção e viga de substituição Momento fletor na seção e viga de substituição TRELIÇAS ISOSTÁTICAS b Barras Diagonais Esforço cortante no trecho ef Viga de Substituição 3 2 1 A e f P P P V Q Portanto i s e f 3 3 Q D D 2sen ϕ Caso Geral Sinal estudar cada caso c Barras Verticais Avaliação de V2 i ϕ ϕ D sen V 0 V D sen 0 F i 2 i 2 i 2 i 2 Y Esforço cortante no trecho de Viga de Substituição P P V Q Esforço cortante no trecho de Viga de Substituição Portanto Caso Geral Sinal estudar cada caso 2 1 A d e P P V Q d e i 2 Q V 2 i d e 2 Q D 2sen ϕ Mas a diagonal i s i s X 3 3 3 3 F 0 D cos D cos 0 D D ϕ ϕ i s Y A 1 2 3 3 3 i s A 1 2 3 3 3 F 0 V P P P D sen D sen 0 V P P P D D 2 sen ϕ ϕ ϕ VA ½ Qef P1 P2 P3 D2 D3 D3 ½ Qef ϕ P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c D2 V2 E ½ Qde P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 VA VB d e f g h i j c Teoria das Estruturas I 32 i i i i s TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Avaliação de D3 s e D3 i Avaliação de V2 s i s Y A 1 2 3 2 2 F 0 V P P P V V 0 s i 2 A 1 2 3 2 V V P P P V Avaliação de V3 ϕ ϕ ϕ ϕ D sen D sen V 0 V D sen D sen 0 F i 4 i 3 3 3 i 4 i 3 Y i e f 3 Q D 2sen ϕ 3 e f f g 1 V Q Q 2 4 3 P V 2 COMPRESSÃO f g i 4 Q D 2sen ϕ Mas e Assim No caso Caso Geral Sinal estudar cada caso VA U3 O3 P1 P2 P3 S1 S1 V2 s V2 D3 i D4 V3 P42 3 A i i 1 1 V P 2 4 A i i 1 1 V P 2 Teoria das Estruturas I 33 i i TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Observação no caso de carregamento inferior obteríamos inicialmente pelo equilíbrio do nó E e em seguida o valor de através da condição FY 0 s 2 V i V2 Determine o esforço normal de cada membro da treliça de Hässler altura constante e duas diagonais por painel mostrada a seguir A treliça é carregada inferiormente Problema 4 Teoria das Estruturas I 34 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS A B C O1 O2 O3 V3 V0 i V0 s V1 s V2 s D1 s D1 i D2 s D2 i D3 s D3 i 2t 2t A C D E F G B U1 U2 U3 2t 2t 2t 2t 2t V0 V1 i V2 i D2 D3 2t 2t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Teoria das Estruturas I 43 Gonçalves PB Conceitos Básicos de Análise Estrutural Notas de aula Departamento de Engenharia Civil PUCRio Rio de Janeiro 2003 Hibbeler RC Structural Analysis 7ª edição Prentice Hall 2008 Soriano HL Estática das Estruturas 1ª Edição Editora Ciência Moderna 2007 Süssekind JC Curso de Análise Estrutural Vol 1 12ª edição Editora Globo Porto Alegre 1994