·
Engenharia de Controle e Automação ·
Geometria Analítica
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Para verificar se a matriz é inversível, devemos calcular seu determinante. (Para ser inversível, o determinante deve ser diferente de zero). a) Tomando a 1ª linha como referência: |-|+|+| + + + + + + |3 -2 6| |2 3 6| |2 0 -0+1. 0 -1 0 -0| |0 1 5| 0 0 5 = |- -2 6| |-2 3 6| |-2 3| |2 0 1| |2 0 -2| |0 -1| |0 1 5| |0 1 5| 0 0 = -[(30+0-6)-(0+0+10)]+[(+0+0+0)-(+0+0+0)] = -[24-10]-10=-14-10=24≠0 Como o determinante é diferente de zero a matriz A é inversível. Determinando a inversa: x+2y-z=m x+y-2z=5 2x-5y+mz=4 [1 2 -1 | m] [1 1 -2 | 5] [2 5 m | 4] L2-L1 L3-2L1 [1 2 -1 | m] [0 -1 1 | 5-m] [0 1-2 | 4-2m] [1 2 -1 | m] [0 -1 1 | 5-m] [0 1-2 | 4-2m] L3-L2 [1 2 -1 | m] [0 -1 1 | 5-m] [0 0 m+1] 0x+0y+(m+1)z=9-3m Para o sistema ser possível e determinado: m+1≠0 ⇒ m≠-1 Para o sistema ser possível e indeterminado: m+1=0 ⇒ m=-1 e 9-3m=0 ⇒ m=3 Para o sistema ser impossível: m+1=0 ⇒ m=-1 e 9-3m≠0 ⇒ m≠3 [1 0 0 0 | 0] [0 1 0 0 | 0] [0 0 1 0 | 2] [0 0 0 1 | -1] x = 0 y = 0 z = 2 w = -1 X = [0] [0] [2] [-1] [1 0 -1 0 | 1 0 0 0] [2 3 -2 6 | 0 1 0 0] [0 -1 2 0 | 0 0 1 0] [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [L1: (-L1) L1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [2 3 -2 6 | 0 1 0 0] L2: L2-2L1 [0 -1 2 0 | 0 0 1 0] [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 3 0 6 | 2 1 0 0] L2: 1/3 L2 [-1 2 0 0 | 0 0 1 0] [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] L3: L3+L2 [0 -1 2 0 | 0 0 1 0] [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] [0 0 2 2 | 1/3 1/3 1 0] L3: 1/2 L3 [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] [0 0 1 1 | 1/3 1/6 1/2 0] [0 0 0 4 | -1/3 -1/6 -1/2 1] L4: L4-L3 [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] [0 0 1 1 | 1/3 1/6 1/2 0] [0 0 0 1 | -1/12 -1/24 -1/8 1/4] L4: 1/4 L4 [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [1 0 2 2 | 1/3 1/3 0 0] L1: L1+L3 [0 0 1 1 | 1/3 1/6 1/2 0] [0 0 0 1 | -1/12 -1/24 -1/8 1/4] [1 0 0 1 | -1/3 -1/6 1/2 0] L1: L1-L4 [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] L2: L2-L4 [0 0 0 1 | -1/12 -1/24 -1/8 1/4] L3: L3-L4 [1 0 0 0 | -3/12 5/24 5/8 -1/4] [0 1 0 0 | 5/6 5/12 1/4 -1/2] [0 0 1 0 | 5/12 5/24 5/8 -3/4] [0 0 0 1 | -1/12 -1/24 -1/8 1/4] Assim, [A^-1 = [ -3/12 5/24 5/8 -1/4 ] [ 5/6 5/12 1/4 -1/2 ] [ 5/12 5/24 5/8 -3/4 ] [ -1/12 -1/24 -1/8 1/4 ] [ B = [ -1 2 6 2 ] [ 1 3 3 -2 ] [ 0 7 4 0 ] [ 2 1 -1 -4 ] Como a primeira coluna é proporcional a quarta coluna (c4 = -2c1), temos que det(B) = 0 Portanto, não existe B^-1.
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Para verificar se a matriz é inversível, devemos calcular seu determinante. (Para ser inversível, o determinante deve ser diferente de zero). a) Tomando a 1ª linha como referência: |-|+|+| + + + + + + |3 -2 6| |2 3 6| |2 0 -0+1. 0 -1 0 -0| |0 1 5| 0 0 5 = |- -2 6| |-2 3 6| |-2 3| |2 0 1| |2 0 -2| |0 -1| |0 1 5| |0 1 5| 0 0 = -[(30+0-6)-(0+0+10)]+[(+0+0+0)-(+0+0+0)] = -[24-10]-10=-14-10=24≠0 Como o determinante é diferente de zero a matriz A é inversível. Determinando a inversa: x+2y-z=m x+y-2z=5 2x-5y+mz=4 [1 2 -1 | m] [1 1 -2 | 5] [2 5 m | 4] L2-L1 L3-2L1 [1 2 -1 | m] [0 -1 1 | 5-m] [0 1-2 | 4-2m] [1 2 -1 | m] [0 -1 1 | 5-m] [0 1-2 | 4-2m] L3-L2 [1 2 -1 | m] [0 -1 1 | 5-m] [0 0 m+1] 0x+0y+(m+1)z=9-3m Para o sistema ser possível e determinado: m+1≠0 ⇒ m≠-1 Para o sistema ser possível e indeterminado: m+1=0 ⇒ m=-1 e 9-3m=0 ⇒ m=3 Para o sistema ser impossível: m+1=0 ⇒ m=-1 e 9-3m≠0 ⇒ m≠3 [1 0 0 0 | 0] [0 1 0 0 | 0] [0 0 1 0 | 2] [0 0 0 1 | -1] x = 0 y = 0 z = 2 w = -1 X = [0] [0] [2] [-1] [1 0 -1 0 | 1 0 0 0] [2 3 -2 6 | 0 1 0 0] [0 -1 2 0 | 0 0 1 0] [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [L1: (-L1) L1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [2 3 -2 6 | 0 1 0 0] L2: L2-2L1 [0 -1 2 0 | 0 0 1 0] [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 3 0 6 | 2 1 0 0] L2: 1/3 L2 [-1 2 0 0 | 0 0 1 0] [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] L3: L3+L2 [0 -1 2 0 | 0 0 1 0] [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] [0 0 2 2 | 1/3 1/3 1 0] L3: 1/2 L3 [0 0 1 5 | 0 0 0 1] [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] [0 0 1 1 | 1/3 1/6 1/2 0] [0 0 0 4 | -1/3 -1/6 -1/2 1] L4: L4-L3 [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] [0 0 1 1 | 1/3 1/6 1/2 0] [0 0 0 1 | -1/12 -1/24 -1/8 1/4] L4: 1/4 L4 [1 0 -1 0 | -1 0 0 0] [1 0 2 2 | 1/3 1/3 0 0] L1: L1+L3 [0 0 1 1 | 1/3 1/6 1/2 0] [0 0 0 1 | -1/12 -1/24 -1/8 1/4] [1 0 0 1 | -1/3 -1/6 1/2 0] L1: L1-L4 [0 1 0 2 | 1/3 1/3 0 0] L2: L2-L4 [0 0 0 1 | -1/12 -1/24 -1/8 1/4] L3: L3-L4 [1 0 0 0 | -3/12 5/24 5/8 -1/4] [0 1 0 0 | 5/6 5/12 1/4 -1/2] [0 0 1 0 | 5/12 5/24 5/8 -3/4] [0 0 0 1 | -1/12 -1/24 -1/8 1/4] Assim, [A^-1 = [ -3/12 5/24 5/8 -1/4 ] [ 5/6 5/12 1/4 -1/2 ] [ 5/12 5/24 5/8 -3/4 ] [ -1/12 -1/24 -1/8 1/4 ] [ B = [ -1 2 6 2 ] [ 1 3 3 -2 ] [ 0 7 4 0 ] [ 2 1 -1 -4 ] Como a primeira coluna é proporcional a quarta coluna (c4 = -2c1), temos que det(B) = 0 Portanto, não existe B^-1.