Cisalhamento em Elementos Retos - Resistência dos Materiais I

Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Capítulo 7 Cisalhamento Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 71 Cisalhamento em elementos retos O cisalhamento V é o resultado de uma distribução de tensões de cisalhamento transversal que age na seção da viga Devido à propriedade complementar de cisalhamento as tensões de cisalhamento longitudinais associadas também agirão ao longo dos planos longitudinais da viga Por exemplo um elemento retirado de um ponto interno está sujeito a tensões de cisalhamento transversal e longitudinal Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Os esforços suportados por uma viga são de dois tipos Tensões normais causadas pelo momento fletor Tensões cisalhantes causadas pelo esforço cortante Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias É possível explicar fisicamente por que a tensão de cisalhamento se desenvolve nos planos longitudinais de uma viga considerandoa composta por três tábuas Se as superfícies forem lisas e as tábuas estiverem soltas deslizam uma sobre a outra Do contrário surgirão tensões que impedirão que deslizem e a viga agirá como uma unidade única Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias As tensões tenderão a distorcer a seção transversal de uma maneira bastante complexa Quando o cisalhamento V é aplicado essa distribuição não uniforme na seção transversal fará com que ela se deforme isto é não permaneça plana Lembrese que no desenvolvimento da fórmula de flexão consideramos que as seções permaneciam planas Embora essa regra seja infringida podemos considerar que a distorção da seção é pequena o suficiente para se desprezada Essa consideração é particularmente verdadeira para o caso mais comum como de uma viga esbelta cuja largura é pequena em relação ao seu comprimento Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Neste caso onde a distribuição não é uniforme nem linear a distribuição de tensões não é facilmente descrita em termos matemáticos então desenvolveremos uma fórmula para tensão indiretamente por meio da relação entre o momento e o cisalhamento dM dx V 72 A fórmula do cisalhamento Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Considere o segmento na parte superior do elemento secionado em y em relação ao eixo neutro b Como a diferença entre os momentos resultantes em cada lado do elemento é dM podemos ver que na figura d o somatório de força em x só será zero se uma tensão de cisalhamento longitudinal agir sobre a face inferior do segmento Considerando que a tensão de cisalhamento seja constante em toda a largura t da face inferior e age em tdx Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias x F 0 0 0 1 A A A A A A dA dA tdx M dM M ydA ydA tdx I I dM ydA tdx I dM ydA It dx A VQ It Q ydA Momento de primeira ordem da área A em torno do eixo neutro Pela definição de centroide da área A Q y A Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão de cisalhamento na seção transversal onde Q y A Q momento estático da área A em relação à LN linha neutra τ tensão de cisalhamento no elemento V força de cisalhamento interna resultante I momento de inércia da área da seção transversal inteira t largura da área da seção transversal do elemento VQ It Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR Para uma viga com seção transversal retangular a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a altura A tensão de cisalhamento máxima ocorre ao longo do eixo neutro 73 Tensões de cisalhamento em vigas VQ It Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Para uma viga com seção transversal retangular Aplicando a fórmula 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 4 1 6 2 4 1 4 12 Q y A h A y b h y y y h h h Q y A y y y b y b h V y b VQ V h y It bh bh b Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Este resultado indica que a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal é parabólica Como y varia de h2 até h2 o seu máximo valor ocorre em y0 e será válida somente para SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR 2 2 3 6 4 V h y bh 2 3 6 4 máx V h bh 15 máx V A Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A viga é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento vertical interna resultante V 3 kN a Determine a tensão de cisalhamento na viga no ponto P e b calcule a tensão de cisalhamento máxima na viga Exemplo 1 Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 4 3 1 125 50 50 100 1875 10 mm 2 Q yA 4 6 3 3 1628 10 mm 12 100 125 1 12 1 bh I a O momento de inércia da área da seção transversal calculado em torno do eixo neutro é Aplicando a fórmula do cisalhamento temos 3 4 3 6 4 3 10 1875 10 1628 10 100 0346 MPa P P N mm VQ It mm mm Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias ba tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo neutro visto que t é constante em toda a seção Aplicando a fórmula do cisalhamento temos 4 mm3 1953 10 100 62 5 2 62 5 y A Q máx 0360 MPa 100 28 10 16 1953 10 10 3 6 4 3 It VQ máx Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 1 A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira Se for submetida a um cisalhamento V20kN e a250mm determine a tensão de cisalhamento máxima e trace uma curva da variação de tensão de cisalhamento Resposta τmáx032MPa Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 2 A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível τadm16ksi Se for submetida a um cisalhamento V4kip determine a menor dimensão a de sua parte inferior e 15a de seus lados Resposta a158in Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR MACIÇA Para uma viga com seção transversal circular 2 2 3 4 3 4 2 2 4 3 4 2 2 3 2 3 4 2 4 4 3 3 3 2 4 máx Q y A r A r y r r r r Q y A t r I V r VQ V V r It r A r 133 máx V A A válida somente para SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR MACIÇA Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3 O raio da haste de aço é 125in Se ela for submetida a um cisalhamento V5kip determine a tensão de cisalhamento máxima Resposta τmáx136ksi Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR VAZADA Para uma viga com seção transversal circular 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 133 máx r r r r V A r r válida somente para SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR VAZADA E MACIÇA Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 4 Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento V75kN determine a tensão de cisalhamento máxima nele Resposta τmáx 432MPa Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias VIGAS DE ABAS LARGAS Consistem em duas abas largas e uma alma Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 5 Uma viga de aço tem as dimensões mostradas na figura abaixo Se for submetida a uma força cortante V80kN a trace uma curva da distribuição da tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga e b determine a força de cisalhamento à qual a alma resiste Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Respostas a τCτmáx252MPa Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 6 Se a força P800lb determine a tensão máxima de cisalhamento desta viga Resposta 998psi Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 7 A viga T mostrada na figura abaixo está sujeita ao carregamento indicado Determine a tensão de cisalhamento máxima desta viga Resposta 147MPa Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 8 Para a viga com o carregamento mostrado determine o valor da tensão de cisalhamento nos pontos a e b localizados na seção transversal nn Respostas 1961ksi e 294ksi Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 9 A viga mostrada na figura abaixo é feita com duas tábuas Determine a tensão de cisalhamento máxima necessária na cola para que ela mantenha as tábuas unidas ao longo da linha de junção Os apoios B e C exercem apenas reações verticais na viga Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Respostas