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Unidade 5 Torção Unidade 5 Torção Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal Se o ângulo de rotação for pequeno o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados 51 Deformação por torção de um eixo circular Embora o torque devido às tensões de cisalhamento seja conhecido a distribuição das tensões não é Ao contrário da tensão normal devido a cargas axiais a distribuição das tensões de cisalhamento devido a cargas de torção não pode ser assumida uniforme dA dF T O conjunto das tensões de cisalhamento internas resulta em um torque interno igual e oposto ao torque aplicado A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada considerando um eixo formado por tiras axiais separadas As tiras deslizam umas em relação as outras quando torques iguais e opostos são aplicados às extremidades do eixo A experiência mostra que o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra L T Quando submetido à torção cada seção transversal de um eixo circular permanece plana e indeformada Seções transversais para barras circulares cheias ou vazadas permanecem planas e indeformadas porque a barra circular é axissimétrica Seções transversais de barras não circulares são distorcidos quando submetidas à torção Destacando da barra um cilindro de raio Como uma carga de torção é aplicada um elemento no interior do cilindro deforma em um losango Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planares a deformação de cisalhamento é igual ao ângulo entre as linhas BA e BA ou 1 L L Quando γ é pequeno AA é igual a Deformação de cisalhamento é proporcional ao ângulo de torção e ao raio max max e r L r Multiplicando a equação anterior pelo módulo de elasticidade transversal max G r G max r Da Lei de Hooke G então A tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição radial na seção Lembrese que a soma dos momentos da distribuição de tensões internas é igual ao torque na seção da barra 2 max max p T dA dA I r r Ip momento polar de inércia da seção Os resultados são conhecidos como fórmulas de torção no regime elástico max e 2 p p Tr T I I 52 Tensões no Regime Elástico Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces formadas por dois planos contendo o eixo da barra Convenção de sinais Exemplo 1 O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção aa do eixo Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo 4 7 4 pI 75mm 497 10 mm 2 1 250 kN mm 0 3 000 0 4 250 T T M x O momento polar de inércia para o eixo é Visto que A se encontra em ρ 75 mm Da mesma forma para B em ρ 15 mm temos Exercício de fixação 1O eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito aos carregamentos de torção mostrados Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e faça um rascunho da tensão de cisalhamento nesses pontos Respostas τA742MPa e τB679MPa 2O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligadas por uma redução em B O tubo menor tem diâmetro externo de 075in e interno de 068in enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 1in e diâmetro interno de 086in Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quanto o conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo chave Resposta τAB782 ksi τBC236 ksi Exercício de fixação 3O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50mm Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo Considere T120Nm Resposta 538MPa Exercício de fixação O eixo de seção circular BC é vazado com diâmetros interno e externo de 90 mm e 120 mm respectivamente Os eixos de seção circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d Para o carregamento mostrado na figura determine a as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC b o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa Exemplo 2 Cortar seções ao longo das barras AB e BC e realizar análise de equilíbrio estático para encontrar cargas de torque aAplicar fórmulas de torção elástica para encontrar tensões mínima e máxima na barra BC IP π 2 604 454 139 106mm4 IP π 2 r2 4 r1 4 𝜏𝑚á𝑥 𝜏2 𝑇𝐵𝐶𝑟2 𝐼𝑃 20 106𝑁𝑚𝑚 60𝑚𝑚 139 106𝑚𝑚4 862𝑀𝑃𝑎 τmín τ1 TBCr1 IP 20 106Nmm 45mm 139 106mm4 647MPa τmáx 862MPa τmín 647MPa bDada a tensão de cisalhamento admissível e torque aplicado invertese a fórmula de torção elástica e encontrase o diâmetro necessário d2r778mm τmáx TABr IP TABr π 2 r4 TAB π 2 r3 τ𝐚𝐝𝐦 TAB π 2 r3 65MPa 6 103Nmm π 2 r3 r 389mm Das equações 1 2 e da Lei de Hooke temos o ângulo de torção p TL I G G módulo de elasticidade ao cisalhamento L comprimento do eixo ϕ ângulo de torção rad L 1 p τTρ 2 I Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento i i i pi i T L I G Exercício de fixação 4O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido aos torques mostrados na figura Foi feito um furo de 44mm de diâmetro na parte CD do eixo Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual G77GPa determine o ângulo de torção na extremidade A Resposta 231 A 5O eixo de aço A36 de 20mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados Determine o ângulo de torção da extremidade B G75GPa Resposta 574 B Exercício de fixação Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo Para um eixo rotativo com torque a potência é Watts onde a velocidade angular do eixo é rpm rads isto que Para o projeto do eixo o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é P T 1 ciclo 2 rad adm pI T r Transmissão de potência adm p Tr I Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3750 W do motor M ao qual está acoplado Se o eixo girar a ω 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τadm 100 MPa determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm Exemplo 3 O torque no eixo é 1min 2 rad 175 1833 60 1rot 3750 1833 2046 Nm rpm rad s seg P T T T Assim 4 adm 13 13 2 adm 2 2 2 2046 1000 1092 mm 100 pI r T r r T Nmm r N mm Visto que 2r 2184 mm selecione um eixo com diâmetro 22 mm 6 O motor de engrenagens pode desenvolver 100W quando gira a 80 rpm Se a tensão de cisalhamento admissível pra o eixo τadm 28MPa determine com aproximação de múltiplos de 5mm o menor diâmetro do eixo que pode ser usado Resposta d15mm Exercício de fixação 7 O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25mm e está apoiado em mancais lisos em D e E O eixo está acoplado a um motor em C que transmite 3kW de potência ao eixo quando está girando a 50revs Se as engrenagens A e B absorverem 1kW e 2kW respectivamente determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no interior das regiões AB e BC O eixo é livre pra girar em seus mancais de apoio D e E Respostas τAB104MPa τBC311MPa Exercício de fixação 8 Um eixo é feito de uma liga de aço com tensões de cisalhamento admissível τadm12ksi Se o diâmetro do eixo for 15in determine o torque máximo T que pode ser transmitido Qual seria o torque máximo T se fosse feito um furo de 1in de diâmetro no eixo Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso Respostas T795kip in e T638kip in Exercício de fixação
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Unidade 5 Torção Unidade 5 Torção Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal Se o ângulo de rotação for pequeno o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados 51 Deformação por torção de um eixo circular Embora o torque devido às tensões de cisalhamento seja conhecido a distribuição das tensões não é Ao contrário da tensão normal devido a cargas axiais a distribuição das tensões de cisalhamento devido a cargas de torção não pode ser assumida uniforme dA dF T O conjunto das tensões de cisalhamento internas resulta em um torque interno igual e oposto ao torque aplicado A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada considerando um eixo formado por tiras axiais separadas As tiras deslizam umas em relação as outras quando torques iguais e opostos são aplicados às extremidades do eixo A experiência mostra que o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra L T Quando submetido à torção cada seção transversal de um eixo circular permanece plana e indeformada Seções transversais para barras circulares cheias ou vazadas permanecem planas e indeformadas porque a barra circular é axissimétrica Seções transversais de barras não circulares são distorcidos quando submetidas à torção Destacando da barra um cilindro de raio Como uma carga de torção é aplicada um elemento no interior do cilindro deforma em um losango Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planares a deformação de cisalhamento é igual ao ângulo entre as linhas BA e BA ou 1 L L Quando γ é pequeno AA é igual a Deformação de cisalhamento é proporcional ao ângulo de torção e ao raio max max e r L r Multiplicando a equação anterior pelo módulo de elasticidade transversal max G r G max r Da Lei de Hooke G então A tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição radial na seção Lembrese que a soma dos momentos da distribuição de tensões internas é igual ao torque na seção da barra 2 max max p T dA dA I r r Ip momento polar de inércia da seção Os resultados são conhecidos como fórmulas de torção no regime elástico max e 2 p p Tr T I I 52 Tensões no Regime Elástico Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces formadas por dois planos contendo o eixo da barra Convenção de sinais Exemplo 1 O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção aa do eixo Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo 4 7 4 pI 75mm 497 10 mm 2 1 250 kN mm 0 3 000 0 4 250 T T M x O momento polar de inércia para o eixo é Visto que A se encontra em ρ 75 mm Da mesma forma para B em ρ 15 mm temos Exercício de fixação 1O eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito aos carregamentos de torção mostrados Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e faça um rascunho da tensão de cisalhamento nesses pontos Respostas τA742MPa e τB679MPa 2O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligadas por uma redução em B O tubo menor tem diâmetro externo de 075in e interno de 068in enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 1in e diâmetro interno de 086in Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quanto o conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo chave Resposta τAB782 ksi τBC236 ksi Exercício de fixação 3O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50mm Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo Considere T120Nm Resposta 538MPa Exercício de fixação O eixo de seção circular BC é vazado com diâmetros interno e externo de 90 mm e 120 mm respectivamente Os eixos de seção circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d Para o carregamento mostrado na figura determine a as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC b o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa Exemplo 2 Cortar seções ao longo das barras AB e BC e realizar análise de equilíbrio estático para encontrar cargas de torque aAplicar fórmulas de torção elástica para encontrar tensões mínima e máxima na barra BC IP π 2 604 454 139 106mm4 IP π 2 r2 4 r1 4 𝜏𝑚á𝑥 𝜏2 𝑇𝐵𝐶𝑟2 𝐼𝑃 20 106𝑁𝑚𝑚 60𝑚𝑚 139 106𝑚𝑚4 862𝑀𝑃𝑎 τmín τ1 TBCr1 IP 20 106Nmm 45mm 139 106mm4 647MPa τmáx 862MPa τmín 647MPa bDada a tensão de cisalhamento admissível e torque aplicado invertese a fórmula de torção elástica e encontrase o diâmetro necessário d2r778mm τmáx TABr IP TABr π 2 r4 TAB π 2 r3 τ𝐚𝐝𝐦 TAB π 2 r3 65MPa 6 103Nmm π 2 r3 r 389mm Das equações 1 2 e da Lei de Hooke temos o ângulo de torção p TL I G G módulo de elasticidade ao cisalhamento L comprimento do eixo ϕ ângulo de torção rad L 1 p τTρ 2 I Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento i i i pi i T L I G Exercício de fixação 4O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido aos torques mostrados na figura Foi feito um furo de 44mm de diâmetro na parte CD do eixo Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual G77GPa determine o ângulo de torção na extremidade A Resposta 231 A 5O eixo de aço A36 de 20mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados Determine o ângulo de torção da extremidade B G75GPa Resposta 574 B Exercício de fixação Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo Para um eixo rotativo com torque a potência é Watts onde a velocidade angular do eixo é rpm rads isto que Para o projeto do eixo o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é P T 1 ciclo 2 rad adm pI T r Transmissão de potência adm p Tr I Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3750 W do motor M ao qual está acoplado Se o eixo girar a ω 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τadm 100 MPa determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm Exemplo 3 O torque no eixo é 1min 2 rad 175 1833 60 1rot 3750 1833 2046 Nm rpm rad s seg P T T T Assim 4 adm 13 13 2 adm 2 2 2 2046 1000 1092 mm 100 pI r T r r T Nmm r N mm Visto que 2r 2184 mm selecione um eixo com diâmetro 22 mm 6 O motor de engrenagens pode desenvolver 100W quando gira a 80 rpm Se a tensão de cisalhamento admissível pra o eixo τadm 28MPa determine com aproximação de múltiplos de 5mm o menor diâmetro do eixo que pode ser usado Resposta d15mm Exercício de fixação 7 O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25mm e está apoiado em mancais lisos em D e E O eixo está acoplado a um motor em C que transmite 3kW de potência ao eixo quando está girando a 50revs Se as engrenagens A e B absorverem 1kW e 2kW respectivamente determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no interior das regiões AB e BC O eixo é livre pra girar em seus mancais de apoio D e E Respostas τAB104MPa τBC311MPa Exercício de fixação 8 Um eixo é feito de uma liga de aço com tensões de cisalhamento admissível τadm12ksi Se o diâmetro do eixo for 15in determine o torque máximo T que pode ser transmitido Qual seria o torque máximo T se fosse feito um furo de 1in de diâmetro no eixo Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso Respostas T795kip in e T638kip in Exercício de fixação