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Engenharia Civil ·
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Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Capítulo 8 Dimensionamento de vigas Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 81 Vigas prismáticas Nossa principal discussão será a de projetar vigas Como escolher o material e as dimensões da seção transversal de uma dada viga de modo que ela não venha a falhar devido a um dado carregamento Iremos considerar vigas prismáticas vigas retas com uma seção uniforme e notar que seu projeto depende primeiramente da determinação dos maiores valores do momento fletor e esforço cortante gerados na viga por um dado carregamento Limitação material homogêneo e comportamento linear elástico máx máx V Q It máx máx M c I Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Projetar com base na resistência à flexão W módulo de resistência à flexão ou módulo resistente Uma vez conhecido o Wmín se a forma da seção transversal for simples como um quadrado círculo ou retângulo cujas proporções são conhecidas larguraaltura suas dimensões poderão ser conhecidas pela fórmula WIc I Wc máx máx M W máx mín adm M W Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Contudo se a seção transversal for composta por vários elementos como uma seção de abas largas poderá ser determinado um número infinito de dimensões para a alma e para as abas que satisfação o módulo de resistência requisitado Entretanto na prática os engenheiros escolhem as formas padronizadas oferecidas pelos fabricantes Muitas vezes há várias vigas com o mesmo módulo de resistência que podem ser relacionadas em tabelas Normalmente se escolherá a viga mais econômicas e mais leves Uma vez selecionada a viga podemos usar a fórmula da tensão de cisalhamento e confirmar se a tensão de cisalhamento admissível não foi ultrapassada Normalmente não será um problema mín W W Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Perfis de Aço W wide flange aba larga Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Seções de Madeira Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Outros tipos Cantoneira perfil C Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Projetar com base na resistência ao cisalhamento Vigas curtas com grandes cargas a tensão de cisalhamento poderá ditar o tamanho dela Se a viga tiver seção transversal retangular maciça a fórmula do cisalhamento será Se for de abas largas em geral será adequado considerar a tensão de cisalhamento média na área da seção transversal da alma da viga de modo que onde Aalma é o produto entre a altura da viga e a espessura da alma 15 máx adm mín V A máx adm alma V A Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Uma viga será feita de aço que tem tensão de flexão admissível é σadm 170 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm 100MPa Selecione uma forma W adequada para suportar a carga mostrada na figura abaixo Exemplo 1 Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Dos diagramas de força cortante e momento fletor Pela tabela as seguintes vigas são adequadas 6 3 3 2 12010 706 10 170 máx mín adm M Nmm W mm N mm Vmáx 90 kN Mmáx 120 kNm Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Vigas escolhidas W460x52942 W410x46774 W360x51794 W200x71709 Viga escolhida menor peso W410x46 Com 46kgm O momento máximo verdadeiro incluindo o peso próprio pode ser calculado e adequação da viga selecionada pode ser verificada Todavia em comparação com as cargas aplicadas o peso da viga provocará apenas um pequeno aumento de Mmáx1208kNm e de Wmín Apesar disso 3 46 981 6 27 10 27 kg m N kg m N kN mín W W 3 710 10 mm3 Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Verificação do cisalhamento Como é de abas largas Portanto W410x46 é adequado para suportar a carga da viga máx adm alma V A 90 103 3195MPa 403 699 100 3195MPa OK adm N mm mm MPa Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A viga de madeira laminada mostrada na figura abaixo suporta uma carga distribuída uniforme de 12kNm Se for necessário que a viga tenha uma relação alturalargura de 15 determine sua menor largura A tensão de flexão admissível é σadm 9 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm 06 MPa Despreze o peso da viga Exemplo 2 Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Dos diagramas de força cortante e momento fletor Aplicando a fórmula de flexão obtemos Considerando que a largura é a e a altura é h 15a máx mín adm M W 3 3 15 12 000119 15 2 mín a a I W m a c Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Aplicando a fórmula do cisalhamento para seções retangulares temos Considerando que o critério do cisalhamento falhou a viga tem de ser calculada novamente com base no cisalhamento Esta seção maior também resistirá adequadamente à tensão normal 3 2 15 20 10 06 15 15 183 máx adm V A N N mm a a a mm Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 1A viga simplesmente apoiada abaixo mostrada é construída em madeira para a qual valem σadm65MPa e τadm500kPa Determine as dimensões transversais mínimas se a seção transversal deve ser retangular com h125b Resposta b211mm Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 2Para a viga de aço mostrada abaixo valem σadm140MPa e τadm90MPa Determine a máxima carga P que pode ser suportada com segurança Resposta 952kN Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3Sabendo que para o aço valem σadm160MPa e τadm100MPa selecionar o perfil das abas largas W mais leves que possa ser usado para suportar o carregamento indicado com segurança Resposta W690x125 Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias
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Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Capítulo 8 Dimensionamento de vigas Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 81 Vigas prismáticas Nossa principal discussão será a de projetar vigas Como escolher o material e as dimensões da seção transversal de uma dada viga de modo que ela não venha a falhar devido a um dado carregamento Iremos considerar vigas prismáticas vigas retas com uma seção uniforme e notar que seu projeto depende primeiramente da determinação dos maiores valores do momento fletor e esforço cortante gerados na viga por um dado carregamento Limitação material homogêneo e comportamento linear elástico máx máx V Q It máx máx M c I Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Projetar com base na resistência à flexão W módulo de resistência à flexão ou módulo resistente Uma vez conhecido o Wmín se a forma da seção transversal for simples como um quadrado círculo ou retângulo cujas proporções são conhecidas larguraaltura suas dimensões poderão ser conhecidas pela fórmula WIc I Wc máx máx M W máx mín adm M W Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Contudo se a seção transversal for composta por vários elementos como uma seção de abas largas poderá ser determinado um número infinito de dimensões para a alma e para as abas que satisfação o módulo de resistência requisitado Entretanto na prática os engenheiros escolhem as formas padronizadas oferecidas pelos fabricantes Muitas vezes há várias vigas com o mesmo módulo de resistência que podem ser relacionadas em tabelas Normalmente se escolherá a viga mais econômicas e mais leves Uma vez selecionada a viga podemos usar a fórmula da tensão de cisalhamento e confirmar se a tensão de cisalhamento admissível não foi ultrapassada Normalmente não será um problema mín W W Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Perfis de Aço W wide flange aba larga Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Seções de Madeira Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Outros tipos Cantoneira perfil C Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Projetar com base na resistência ao cisalhamento Vigas curtas com grandes cargas a tensão de cisalhamento poderá ditar o tamanho dela Se a viga tiver seção transversal retangular maciça a fórmula do cisalhamento será Se for de abas largas em geral será adequado considerar a tensão de cisalhamento média na área da seção transversal da alma da viga de modo que onde Aalma é o produto entre a altura da viga e a espessura da alma 15 máx adm mín V A máx adm alma V A Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Uma viga será feita de aço que tem tensão de flexão admissível é σadm 170 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm 100MPa Selecione uma forma W adequada para suportar a carga mostrada na figura abaixo Exemplo 1 Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Dos diagramas de força cortante e momento fletor Pela tabela as seguintes vigas são adequadas 6 3 3 2 12010 706 10 170 máx mín adm M Nmm W mm N mm Vmáx 90 kN Mmáx 120 kNm Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Vigas escolhidas W460x52942 W410x46774 W360x51794 W200x71709 Viga escolhida menor peso W410x46 Com 46kgm O momento máximo verdadeiro incluindo o peso próprio pode ser calculado e adequação da viga selecionada pode ser verificada Todavia em comparação com as cargas aplicadas o peso da viga provocará apenas um pequeno aumento de Mmáx1208kNm e de Wmín Apesar disso 3 46 981 6 27 10 27 kg m N kg m N kN mín W W 3 710 10 mm3 Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Verificação do cisalhamento Como é de abas largas Portanto W410x46 é adequado para suportar a carga da viga máx adm alma V A 90 103 3195MPa 403 699 100 3195MPa OK adm N mm mm MPa Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A viga de madeira laminada mostrada na figura abaixo suporta uma carga distribuída uniforme de 12kNm Se for necessário que a viga tenha uma relação alturalargura de 15 determine sua menor largura A tensão de flexão admissível é σadm 9 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm 06 MPa Despreze o peso da viga Exemplo 2 Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Dos diagramas de força cortante e momento fletor Aplicando a fórmula de flexão obtemos Considerando que a largura é a e a altura é h 15a máx mín adm M W 3 3 15 12 000119 15 2 mín a a I W m a c Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Aplicando a fórmula do cisalhamento para seções retangulares temos Considerando que o critério do cisalhamento falhou a viga tem de ser calculada novamente com base no cisalhamento Esta seção maior também resistirá adequadamente à tensão normal 3 2 15 20 10 06 15 15 183 máx adm V A N N mm a a a mm Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 1A viga simplesmente apoiada abaixo mostrada é construída em madeira para a qual valem σadm65MPa e τadm500kPa Determine as dimensões transversais mínimas se a seção transversal deve ser retangular com h125b Resposta b211mm Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 2Para a viga de aço mostrada abaixo valem σadm140MPa e τadm90MPa Determine a máxima carga P que pode ser suportada com segurança Resposta 952kN Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3Sabendo que para o aço valem σadm160MPa e τadm100MPa selecionar o perfil das abas largas W mais leves que possa ser usado para suportar o carregamento indicado com segurança Resposta W690x125 Exercício de fixação Resistência dos Materiais I Estruturas II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias