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22032021 1 Resultantes de um sistema de forças Prof Rafael Delucis CENGUFPel PPGCEMUFPel PPGCAmbUFPel 2 Equilíbrio de uma partícula Condição de equilíbrio de uma partícula Polias Molas Diagrama de corpo livre da partícula Sistemas de forças Sistemas coplanares Sistemas tridimensionais Recapitulando Prof Dr Rafael Delucis 3 Momento é a tendência ao torque de uma força em relação a um a um ponto fora de sua linha de ação M0 F d Momento de uma força Momento de uma força Formulação escalar Note que se θ 90 então M M0 pois dsen θ d Se θ 180º então M 0 Prof Dr Rafael Delucis 4 Momento de uma força Sentidodireção conforme a regra da mão direita está condicionada ao eixo de momento perpendicular ao plano que contém a força e o braço de momento As setas circular e reta dependem da regra da mão direita em 2D ou 3D conforme as ilustrações ao lado Prof Dr Rafael Delucis Momento de uma força Formulação escalar 5 Momento de uma força Momento resultante para o caso de um sistema de forças coplanares o momento resultante em z em relação ao um mesmo ponto 0 pode ser determinado por adição algébrica MR0 ΣFd MR0 F1d1 F2d2 F3d3 Quanto ao sinal por convenção os sentidos anti horário e horário para momentos positivo e negativo respectivamente Prof Dr Rafael Delucis 6 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Exemplo Determine os momentos resultantes das forças atuantes em cada barra mostrada abaixo em relação ao ponto 0 a b 22032021 2 7 Solução Figura a MR0 Fd MR0 7 kN4m 1m 210 kNm Figura b MR0 Fd MR0 40 kN4pés 2péscos 30 22928 kNpé Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis 8 Exercício Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada abaixo em relação ao ponto 0 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis 9 Solução MR0 Fd MR0 50 N 2m 60 N0 20 N3msen 30º 40 N4m 3mcos 30º MR0 334 Nm Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis 10 Momento de uma força Formulação vetorial Momento de uma força M0 r F i j k rx ry rz Fx Fy Fz Em que r é o vetor posição dirigido de 0 até algum ponto da linha de ação da força Prof Dr Rafael Delucis 11 Princípio da transmissibilidade Momento de uma força Por definição O vetor r utilizado pode ser qualquer desde que medido do ponto 0 a um ponto sobre a linha de ação da força F vetor deslizante Prof Dr Rafael Delucis MR0 ra F rb F rc F 12 Momento de uma força Momento resultante de um sistema de forças O momento resultante em relação ao ponto 0 de um corpo sujeito a um sistema de forças pode ser algebricamente descrito por No caso da figura ao lado Prof Dr Rafael Delucis MR0 r1 F1 r2 F2 r3 F3 MR Σrn Fn 22032021 3 13 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Exemplo Duas forças agem sobre a barra mostrada abaixo Determine o momento resultante produzido em relação ao flange em 0 Expresse o resultado nas formas vetorial e escalar 14 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão dos vetores posição rA 5j m rB 4i 5j 2k m Expressão dos vetores força dados F1 60i 40j 20k kN F2 80i 40j 30k kN 15 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor MR0 MR0 r F rA F1 rB F2 MR0 i j k 0 5 0 60 40 20 i j k 4 5 2 80 40 30 MR0 30i 40j 540k kNm Expressão do escalar MR0 MR0 30 2 40 2 540 2 5423 Nm 16 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Exercício Três forças agem sobre a barra mostrada abaixo Determine o momento resultante produzido em relação ao flange em A Expresse o resultado nas formas vetorial e escalar 17 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão dos vetores posição r1 r2 12k m r3 1j 8k m Expressão dos vetores força dados F1 400i 300j 120k N F2 100i 100j 60k N F3 500k N 18 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor MR0 MR0 r F r1 F1 r2 F2 r3 F3 MR0 i j k 0 0 12 400 300 120 i j k 0 0 12 100 100 60 i j k 0 1 8 0 0 500 MR0 3600i 4800j 1200i 1200j 500i MR0 1900i 6000j Nm Expressão do escalar MR0 MR0 1900 2 6000 2 629364 Nm 22032021 4 19 Momento utilizando a linha de ação da força Há casos frequentemente relatados nos livros sobre a resolução de problemas em que a intensidade da força e a linha de ação da força são conhecidos Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Nesses casos há um procedimento possível para a contabilização do momento produzido em um determinado ponto referencial 20 Procedimento de análise 1º Expressar o vetor posição com base no ponto de referência 0 e um ponto sobre a linha de ação da força r xA x0 i yA y0 j zA z0 k 2º Expressar o vetor direção da força rF a partir das coordenadas de dois pontos sobre as linhas de ação da força rD xB xA i yB yA j zB zA k 3º Expressar o vetor F com base na intensidade da força F F F rD rD 4º Expressar o vetor momento como o produto vetorial entre os vetores posição e força MR r F Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis 21 Momento de uma força Exemplo Determine o momento produzido pela força F em relação ao ponto 0 na figura ao lado Expresse o resultado em forma de um vetor cartesiano Prof Dr Rafael Delucis 22 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor posição rA 12k m rB 4i 12j m Expressão do vetor força F 2kN 4i 12j 12k m 4 2 12 2 12 2 F 0458i 1376j 1376k kN 23 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Tanto rA quanto rB podem ser utilizados para o cálculo do momento Expressão do vetor MR0 usando rA MR0 rA F i j k 0 0 12 0458 1376 1376 MR0 01376 121376 i 120458 01376 j 01376 00458 k MR0 165 i 55 j kNm 24 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor MR0 usando rB MR0 rB F i j k 4 12 0 0458 1376 1376 MR0 121376 01376 i 00458 41376 j 41376 120458 k MR0 165 i 55 j kNm 22032021 5 25 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Exercício O poste da figura abaixo está sujeito a uma força de 60 N na direção de C para B Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte A Expresse o resultado nas formas vetorial e escalar 26 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor posição rB 1i 3j 2k m rC 3i 4j m Expressão do vetor posiçãoforça rD 1 3i 3 4j 2 0k m 2i 1j 2k m Expressão do vetor força F 60 2i 1j 2k m 2 2 1 2 2 2 40i 20j 40k N 27 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor MRA usando rB MRA rB F i j k 1 3 2 20 20 40 MRA 340 220 i 220 140 j 120 320 k MRA 160 i 80 j 40 k Nm Expressão do escalar MRA MRA 160 2 80 2 40 2 1833 Nm 28 O princípio dos momentos Teorema de Varignon Pierre Varignon 1654 1722 M0 r F r F1 F2 r F1 r F2 Por definição o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto Prof Dr Rafael Delucis Teorema de Varignon Assim em problemas bidimensionais é possível decompor as forças em suas componentes retangulares determinando o momento com base em uma análise escalar posterior M0 Fxy Fyx Em que x e y são as distâncias vertical e horizontal das componentes retangulares até o ponto de referência 29 O princípio dos momentos Prof Dr Rafael Delucis 30 O princípio dos momentos Exemplo Uma força de 200 N atua sobre o suporte mostrado abaixo Determine o momento da força em relação ao ponto A Prof Dr Rafael Delucis Apresente as formulações escalar e vetorial Resposta MA 141 Nm MA 141 k Nm 22032021 6 31 O princípio dos momentos Solução formulação escalar Cálculo do momento da força em relação ao ponto A MA 200sen 45 N02 m 200cos 45 N01 m MA 141 Nm Prof Dr Rafael Delucis 32 O princípio dos momentos Solução formulação vetorial Formulação do vetor posição r r 02 i 01 j m Formulação do vetor força F F 200cos 45 i 200sen 45 j m F 14142 i 14142 j N Cálculo do momento resultante MRA MRA r F i j k 02 01 0 14142 14142 0 141 k Nm Prof Dr Rafael Delucis 33 O princípio dos momentos Prof Dr Rafael Delucis Exercício Uma força de F está aplicada nos terminais de um suporte em ângulo mostrado abaixo Determine o momento da força em relação a 0 Apresente as formulações escalar e vetorial Resposta M0 986 Nm M0 986 k Nm 34 O princípio dos momentos Solução formulação escalar Cálculo do momento da força em relação ao ponto A M0 400sen 30 N02 m 400cos 30 N04 m M0 986 Nm Prof Dr Rafael Delucis 35 O princípio dos momentos Solução formulação vetorial Formulação do vetor posição r r 04 i 02 j m Formulação do vetor posição UF UF 400sen 30 i 400cos 30 j m UF 200 i 3464 j N Cálculo do momento resultante MRA MR0 r UF i j k 04 02 0 200 3464 0 986 k Nm Prof Dr Rafael Delucis 36 Próximos conteúdos Momento em relação a um eixo Redução de carregamento simples Simplificação de sistemas de forças coplanares Prof Dr Rafael Delucis Resultante de sistemas de forças
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22032021 1 Resultantes de um sistema de forças Prof Rafael Delucis CENGUFPel PPGCEMUFPel PPGCAmbUFPel 2 Equilíbrio de uma partícula Condição de equilíbrio de uma partícula Polias Molas Diagrama de corpo livre da partícula Sistemas de forças Sistemas coplanares Sistemas tridimensionais Recapitulando Prof Dr Rafael Delucis 3 Momento é a tendência ao torque de uma força em relação a um a um ponto fora de sua linha de ação M0 F d Momento de uma força Momento de uma força Formulação escalar Note que se θ 90 então M M0 pois dsen θ d Se θ 180º então M 0 Prof Dr Rafael Delucis 4 Momento de uma força Sentidodireção conforme a regra da mão direita está condicionada ao eixo de momento perpendicular ao plano que contém a força e o braço de momento As setas circular e reta dependem da regra da mão direita em 2D ou 3D conforme as ilustrações ao lado Prof Dr Rafael Delucis Momento de uma força Formulação escalar 5 Momento de uma força Momento resultante para o caso de um sistema de forças coplanares o momento resultante em z em relação ao um mesmo ponto 0 pode ser determinado por adição algébrica MR0 ΣFd MR0 F1d1 F2d2 F3d3 Quanto ao sinal por convenção os sentidos anti horário e horário para momentos positivo e negativo respectivamente Prof Dr Rafael Delucis 6 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Exemplo Determine os momentos resultantes das forças atuantes em cada barra mostrada abaixo em relação ao ponto 0 a b 22032021 2 7 Solução Figura a MR0 Fd MR0 7 kN4m 1m 210 kNm Figura b MR0 Fd MR0 40 kN4pés 2péscos 30 22928 kNpé Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis 8 Exercício Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada abaixo em relação ao ponto 0 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis 9 Solução MR0 Fd MR0 50 N 2m 60 N0 20 N3msen 30º 40 N4m 3mcos 30º MR0 334 Nm Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis 10 Momento de uma força Formulação vetorial Momento de uma força M0 r F i j k rx ry rz Fx Fy Fz Em que r é o vetor posição dirigido de 0 até algum ponto da linha de ação da força Prof Dr Rafael Delucis 11 Princípio da transmissibilidade Momento de uma força Por definição O vetor r utilizado pode ser qualquer desde que medido do ponto 0 a um ponto sobre a linha de ação da força F vetor deslizante Prof Dr Rafael Delucis MR0 ra F rb F rc F 12 Momento de uma força Momento resultante de um sistema de forças O momento resultante em relação ao ponto 0 de um corpo sujeito a um sistema de forças pode ser algebricamente descrito por No caso da figura ao lado Prof Dr Rafael Delucis MR0 r1 F1 r2 F2 r3 F3 MR Σrn Fn 22032021 3 13 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Exemplo Duas forças agem sobre a barra mostrada abaixo Determine o momento resultante produzido em relação ao flange em 0 Expresse o resultado nas formas vetorial e escalar 14 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão dos vetores posição rA 5j m rB 4i 5j 2k m Expressão dos vetores força dados F1 60i 40j 20k kN F2 80i 40j 30k kN 15 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor MR0 MR0 r F rA F1 rB F2 MR0 i j k 0 5 0 60 40 20 i j k 4 5 2 80 40 30 MR0 30i 40j 540k kNm Expressão do escalar MR0 MR0 30 2 40 2 540 2 5423 Nm 16 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Exercício Três forças agem sobre a barra mostrada abaixo Determine o momento resultante produzido em relação ao flange em A Expresse o resultado nas formas vetorial e escalar 17 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão dos vetores posição r1 r2 12k m r3 1j 8k m Expressão dos vetores força dados F1 400i 300j 120k N F2 100i 100j 60k N F3 500k N 18 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor MR0 MR0 r F r1 F1 r2 F2 r3 F3 MR0 i j k 0 0 12 400 300 120 i j k 0 0 12 100 100 60 i j k 0 1 8 0 0 500 MR0 3600i 4800j 1200i 1200j 500i MR0 1900i 6000j Nm Expressão do escalar MR0 MR0 1900 2 6000 2 629364 Nm 22032021 4 19 Momento utilizando a linha de ação da força Há casos frequentemente relatados nos livros sobre a resolução de problemas em que a intensidade da força e a linha de ação da força são conhecidos Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Nesses casos há um procedimento possível para a contabilização do momento produzido em um determinado ponto referencial 20 Procedimento de análise 1º Expressar o vetor posição com base no ponto de referência 0 e um ponto sobre a linha de ação da força r xA x0 i yA y0 j zA z0 k 2º Expressar o vetor direção da força rF a partir das coordenadas de dois pontos sobre as linhas de ação da força rD xB xA i yB yA j zB zA k 3º Expressar o vetor F com base na intensidade da força F F F rD rD 4º Expressar o vetor momento como o produto vetorial entre os vetores posição e força MR r F Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis 21 Momento de uma força Exemplo Determine o momento produzido pela força F em relação ao ponto 0 na figura ao lado Expresse o resultado em forma de um vetor cartesiano Prof Dr Rafael Delucis 22 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor posição rA 12k m rB 4i 12j m Expressão do vetor força F 2kN 4i 12j 12k m 4 2 12 2 12 2 F 0458i 1376j 1376k kN 23 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Tanto rA quanto rB podem ser utilizados para o cálculo do momento Expressão do vetor MR0 usando rA MR0 rA F i j k 0 0 12 0458 1376 1376 MR0 01376 121376 i 120458 01376 j 01376 00458 k MR0 165 i 55 j kNm 24 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor MR0 usando rB MR0 rB F i j k 4 12 0 0458 1376 1376 MR0 121376 01376 i 00458 41376 j 41376 120458 k MR0 165 i 55 j kNm 22032021 5 25 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Exercício O poste da figura abaixo está sujeito a uma força de 60 N na direção de C para B Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte A Expresse o resultado nas formas vetorial e escalar 26 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor posição rB 1i 3j 2k m rC 3i 4j m Expressão do vetor posiçãoforça rD 1 3i 3 4j 2 0k m 2i 1j 2k m Expressão do vetor força F 60 2i 1j 2k m 2 2 1 2 2 2 40i 20j 40k N 27 Momento de uma força Prof Dr Rafael Delucis Solução Expressão do vetor MRA usando rB MRA rB F i j k 1 3 2 20 20 40 MRA 340 220 i 220 140 j 120 320 k MRA 160 i 80 j 40 k Nm Expressão do escalar MRA MRA 160 2 80 2 40 2 1833 Nm 28 O princípio dos momentos Teorema de Varignon Pierre Varignon 1654 1722 M0 r F r F1 F2 r F1 r F2 Por definição o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto Prof Dr Rafael Delucis Teorema de Varignon Assim em problemas bidimensionais é possível decompor as forças em suas componentes retangulares determinando o momento com base em uma análise escalar posterior M0 Fxy Fyx Em que x e y são as distâncias vertical e horizontal das componentes retangulares até o ponto de referência 29 O princípio dos momentos Prof Dr Rafael Delucis 30 O princípio dos momentos Exemplo Uma força de 200 N atua sobre o suporte mostrado abaixo Determine o momento da força em relação ao ponto A Prof Dr Rafael Delucis Apresente as formulações escalar e vetorial Resposta MA 141 Nm MA 141 k Nm 22032021 6 31 O princípio dos momentos Solução formulação escalar Cálculo do momento da força em relação ao ponto A MA 200sen 45 N02 m 200cos 45 N01 m MA 141 Nm Prof Dr Rafael Delucis 32 O princípio dos momentos Solução formulação vetorial Formulação do vetor posição r r 02 i 01 j m Formulação do vetor força F F 200cos 45 i 200sen 45 j m F 14142 i 14142 j N Cálculo do momento resultante MRA MRA r F i j k 02 01 0 14142 14142 0 141 k Nm Prof Dr Rafael Delucis 33 O princípio dos momentos Prof Dr Rafael Delucis Exercício Uma força de F está aplicada nos terminais de um suporte em ângulo mostrado abaixo Determine o momento da força em relação a 0 Apresente as formulações escalar e vetorial Resposta M0 986 Nm M0 986 k Nm 34 O princípio dos momentos Solução formulação escalar Cálculo do momento da força em relação ao ponto A M0 400sen 30 N02 m 400cos 30 N04 m M0 986 Nm Prof Dr Rafael Delucis 35 O princípio dos momentos Solução formulação vetorial Formulação do vetor posição r r 04 i 02 j m Formulação do vetor posição UF UF 400sen 30 i 400cos 30 j m UF 200 i 3464 j N Cálculo do momento resultante MRA MR0 r UF i j k 04 02 0 200 3464 0 986 k Nm Prof Dr Rafael Delucis 36 Próximos conteúdos Momento em relação a um eixo Redução de carregamento simples Simplificação de sistemas de forças coplanares Prof Dr Rafael Delucis Resultante de sistemas de forças