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Universidade Federal de Pelotas Disciplina Algebra Semana 3 1 Grupos numéricos multiplicativos K K 0 1 Grupo multiplicativo dos racionais Q onde Q é 0 conjunto dos ntimeros racionais e é 0 pro duto usual i abc abc VabcEQ ii Existee 1Q tal quelaalaVaEQ iii Va 0 Q existe Q tal quea 1 iv abbaVabEQ Note que o sistema Z Z 0 com a operacao usual de multiplicagaéo nao é um grupo Ocorre que nenhum inteiro a salvo 1 e 1 tem inverso em Z 2 Grupo multiplicativo dos reais IR onde R R 0 e 6a operacao usual de multiplicagao 3 Grupo multiplicativo dos complexos C onde C C 0 Sejam zabiewcdio produto é definido por zw ac bd ad bci E facil de verificar que esse grupo é associativo e comutativo o elemento neutro é 110ze0 inverso de z a bi nao nulo é6 z aha sai 2 Grupo das matrizes inversiveis de ordem n Seja K QR ou C e MK 0 conjunto das matrizes de ordem n sobre K é um grupo aditivo Sejam A a e B b entao n AB ciz onde Cij SC ands i7 12n k1 Vale a associatividade e conta com um elemento neutro que é 10 0 O01 O 00 JI 00 O 00 O Observe que por exemplo a matriz nula 0 Lo nao tem matriz inversa 00 O Observagaéo Uma mtriz A MK é inversivel se e somente se detA 0 1 Denotaremos 0 conjunto das matrizes inversiveis por GInK O grupo GLnK é um grupo nao comutativo n 1 pois A eB sao matrizes inversiveis onde 1 1 1 0 2 1 aesirri 2 1 0 1 1 1 1 pa1 1 o14 2 3 Grupo multiplicativo de classe de restos Seja Zm definimos o produto em Z por b ab para todo ab Zm Zm 6 associativo e comutativo a classe 1 é 0 elemento neutro uma vez que 1 a14 ZX x Ze 3 G b abab Seja Z Zm 0 nem sempre o conjunto restante Z 6 um grupo multiplicativo De fato por exemplo Zi nem sequer o produto 6 uma operacao sobre esse conjunto pois 22 0 e 0 Zi Teorema 31 O produto definido acima é uma operagao sobre Z se e somente se m um ntimero primo Demonstragao Suponhamos que m nao é um numero primo Como m 1 podem ser encontrados ab 1 tais que ab m entao ab m logo b ab 0 0 que é impossivel contradizendo a hipdtese Suponhamos que o produto definido em Z nao é uma operacao isso implicaria ab 0 ab Omodm entaéo mab e portanto ma ou mb Se ma entao a mq para algum q Z logo mg mg 0G 0 portanto a 0 o que é um absurdo visto que Z Analogamente se mb chegamos a um absurdo Assim obtemos o resultado Teorema 32 Z comm primo um grupo comutativo Demonstragao E facil provar que Z é associativo e comutativo A unidade é 1 basta mostrar que qualquer que seja Z podese encontrar b Z tal que b 1 De fato se Z entéo a nao é miltiplo de m logo como m é primo obtemos mcdm a 1 Dai mzo ayo 1 para nuimeros inteiros 2x9 yo mx ayo MNLo AYo Gyo 1 o que mostra que definindo b Yo é a inversa de G Exemplo 31 Determinar a inversa de 3 em Zi Ora uma slucdo 529 3yo 1 pode ser resolvida por 23 Logo yo 3 5x9 3yo 1 implica 390 1 Portanto o inverso de 3 é 3 2 2
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Universidade Federal de Pelotas Disciplina Algebra Semana 3 1 Grupos numéricos multiplicativos K K 0 1 Grupo multiplicativo dos racionais Q onde Q é 0 conjunto dos ntimeros racionais e é 0 pro duto usual i abc abc VabcEQ ii Existee 1Q tal quelaalaVaEQ iii Va 0 Q existe Q tal quea 1 iv abbaVabEQ Note que o sistema Z Z 0 com a operacao usual de multiplicagaéo nao é um grupo Ocorre que nenhum inteiro a salvo 1 e 1 tem inverso em Z 2 Grupo multiplicativo dos reais IR onde R R 0 e 6a operacao usual de multiplicagao 3 Grupo multiplicativo dos complexos C onde C C 0 Sejam zabiewcdio produto é definido por zw ac bd ad bci E facil de verificar que esse grupo é associativo e comutativo o elemento neutro é 110ze0 inverso de z a bi nao nulo é6 z aha sai 2 Grupo das matrizes inversiveis de ordem n Seja K QR ou C e MK 0 conjunto das matrizes de ordem n sobre K é um grupo aditivo Sejam A a e B b entao n AB ciz onde Cij SC ands i7 12n k1 Vale a associatividade e conta com um elemento neutro que é 10 0 O01 O 00 JI 00 O 00 O Observe que por exemplo a matriz nula 0 Lo nao tem matriz inversa 00 O Observagaéo Uma mtriz A MK é inversivel se e somente se detA 0 1 Denotaremos 0 conjunto das matrizes inversiveis por GInK O grupo GLnK é um grupo nao comutativo n 1 pois A eB sao matrizes inversiveis onde 1 1 1 0 2 1 aesirri 2 1 0 1 1 1 1 pa1 1 o14 2 3 Grupo multiplicativo de classe de restos Seja Zm definimos o produto em Z por b ab para todo ab Zm Zm 6 associativo e comutativo a classe 1 é 0 elemento neutro uma vez que 1 a14 ZX x Ze 3 G b abab Seja Z Zm 0 nem sempre o conjunto restante Z 6 um grupo multiplicativo De fato por exemplo Zi nem sequer o produto 6 uma operacao sobre esse conjunto pois 22 0 e 0 Zi Teorema 31 O produto definido acima é uma operagao sobre Z se e somente se m um ntimero primo Demonstragao Suponhamos que m nao é um numero primo Como m 1 podem ser encontrados ab 1 tais que ab m entao ab m logo b ab 0 0 que é impossivel contradizendo a hipdtese Suponhamos que o produto definido em Z nao é uma operacao isso implicaria ab 0 ab Omodm entaéo mab e portanto ma ou mb Se ma entao a mq para algum q Z logo mg mg 0G 0 portanto a 0 o que é um absurdo visto que Z Analogamente se mb chegamos a um absurdo Assim obtemos o resultado Teorema 32 Z comm primo um grupo comutativo Demonstragao E facil provar que Z é associativo e comutativo A unidade é 1 basta mostrar que qualquer que seja Z podese encontrar b Z tal que b 1 De fato se Z entéo a nao é miltiplo de m logo como m é primo obtemos mcdm a 1 Dai mzo ayo 1 para nuimeros inteiros 2x9 yo mx ayo MNLo AYo Gyo 1 o que mostra que definindo b Yo é a inversa de G Exemplo 31 Determinar a inversa de 3 em Zi Ora uma slucdo 529 3yo 1 pode ser resolvida por 23 Logo yo 3 5x9 3yo 1 implica 390 1 Portanto o inverso de 3 é 3 2 2