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Engenharia da Computação ·
Cálculo
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Profº: THIAGO YUKIO TANAKA AULA 13 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 1 Integrais Duplas Sobre Retângulos Nossa motivação para essa unidade, envolvendo o cálculo integral, começa em tentar encontrar o volume do sólido que se encontra abaixo gráfico de uma função até o plano z = 0 que é o resultado análogo em Cálculo 1 para encontrar área abaixo do gráfico. Seja f : R ⊆ R² → R uma função cujo domínio é dado pelo retângulo R = {(x, y) ∈ R²; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} Vamos supor inicialmente que f(x, y) ≥ 0 . Seja S o sólido que está acima da região dada pelo retângulo R e abaixo do gráfico de f . Nosso objetivo é tentar encontrar o volume de S . Para isso, iremos dividir os intervalos [a, b] e [c, d] em m e n subintervalos de mesmo tamanho [x_{i-1}, x_i] e [y_{j-1}, y_j] de comprimentos (b - a)/m e (d - c)/n respectivamente. Construímos assim, m.n subretângulos do tipo R_{ij} = [x_{i-1}, x_i] × [y_{j-1}, y_j] Cuja área é igual a ΔA = ΔxΔy = (b−a)(d−c)/mn . Tome um ponto qualquer (x'_{ij}, y'_{ij}) em R_{ij} e calcule o valor da função nesse ponto e multiplique pela área do retângulo, isso corresponde ao volume de uma caixa de área da base ΔA e altura f(x'_{ij},y'_{ij}) e ao fazer isso para todos os subretângulos, obtemos: Vol(S) ≈ Σ_{i=1}^{m} Σ_{j=1}^{n} f(x'_{ij},y'_{ij})ΔA Para melhorar a aproximação, iremos aumentar a quantidade de divisões m e n e esperamos que: Vol(S) = lim m→∞n→∞ Σ_{i=1}^{m} Σ_{j=1}^{n} f(x'_{ij},y'_{ij})ΔA Definição 1.1 A integral dupla de f sobre o retângulo R é ∬_R f(x, y)dA = lim m→∞n→∞ Σ_{i=1}^{m} Σ_{j=1}^{n} f(x'_{ij},y'_{ij})ΔA SE esse limite existir. O nome do somatório é dito Soma de Riemann. Quando a função é não negativa, ou seja, f(x, y) ≥ 0, se ela for integrável, então o volume do sólido acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f será exatamente Vol(S) = ∬_R f(x, y)dA Quando estimamos o volume tomando como pontos (x'_{ij}, y'_{ij}) como pontos médios de R_{ij} temos a Regra do Ponto Médio. Definição 1.2 (VALOR MÉDIO) O valor médio de um função f de duas variáveis em um retângulo R contido em seu domínio será dado por 1 f_médio = ——————— ∬_R f(x, y)dA Area(R) Exemplo 1.1 Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = xy e acima do retângulo R = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 4} a) Use a soma de Riemann com m = 3 e n = 2 e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada subretângulo.b) Use agora a Regra do Ponto médio e estime novamente o volume.c) Estime o valor médio dos resultados de a) e b) 2 Integrais Iteradas Com os mesmos dados de antes, considere a seguinte função: A(x) = ∫_{c}^{d} f(x, y)dy Aqui, como a integração é sobre a variável y, então x é tido como constante. Se a função A(x) é integrável, obtemos: ∫_{a}^{b} A(x)dx = ∫_{a}^{b} (∫_{c}^{d} f(x, y)dy)dx = ∫_{a}^{b} (∫_{c}^{d} f(x, y)dx)dy A integral do lado direito é dita integral iterada e a expressão acima indica que primeiro integramos com relação a y e depois com relação a x. Teorema 2.1 (FUBINI) Se f for contínua no retângulo R como antes, então ∬_R f(x, y)dA = ∫_{a}^{b} (∫_{c}^{d} f(x, y)dy) dx = ∫_{c}^{d} (∫_{a}^{b} f(x, y)dx) dy Exemplo 2.1 Calcule a integral dupla ∬_R cos(x + 2y)dA, R = [0, π] × [0, π/2] Exemplo 2.2 Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = 1 + e^x sin(y) e pelos planos x = −1, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0. EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.1 e 15.2 02. 1ª Lista de Exercícios Seção 15.1 - 2, 4-7, 9, 11-14*, 17-18* Seção 15.2 - Ímpares (1-31), 35-36 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Profº: THIAGO YUKIO TANAKA AULA 14 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 1 Integrais Duplas Sobre Regiões Quaisquer Seja f : X ⊆ R² → R onde X é uma região limitada qualquer e suponha que queremos calcular a integral dupla de f sobre X. Note que só sabemos calcular integral sobre retângulos, mas como X é uma região limitada, então podemos construir um retângulo R que contém X . Em seguida, iremos definir uma nova função F da seguinte forma: { f(x,y), se (x, y) ∈ X; F(x, y) = { { 0, se (x, y) ∈ R\X. Note que ao integrarmos F em R , a contribuição de F na parte R\X é nula e portanto, ∬_X f(x, y)dA = ∬_R F(x, y)dA A evolução do conceito é portanto natural. A nossa maior dificuldade é tentar escrever a região X de maneira eficiente para que o cálculo da integral seja facilitado. Basicamente iremos trabalhar com DOIS tipos de regiões: REGIÃO DO TIPO 1: Se f é contínua em uma região X tal que X = {(x, y); a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)} Então, ∬ f(x, y)dA = ∫_{a}^{b} (∫_{g(x)}^{h(x)} f(x, y)dy)dx REGIÃO DO TIPO 2: Se f é contínua em um região X tal que X = {(x, y); g(y) ≤ x ≤ h(y),c ≤ y ≤ d} Então, ∬ f(x, y)dA = ∫_{c}^{d} (∫_{g(y)}^{h(y)} f(x, y)dx)dy Aqui, a ordem de integração importa. É importante que o aluno saiba esboçar gráficos de funções elementares comumente usadas no curso de cálculo 1, pois uma maneira fácil de visualizar o tipo de região consiste em traçar retas horizontais ou verticais e tentar chegar de uma curva para outra. Se traçarmos retas verticais e sempre conseguimos chegar de uma curva para outra, então temos uma região do tipo 1. Se o traçado for por retas horizontais, então temos uma região do tipo 2. Exemplo 1.1 (TIPO 1) Calcule ∬_D (x + 2y)dA , onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x². Exemplo 1.2 (TIPO 1 ou 2) Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x^2 + y^2 e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x^2. Exemplo 1.3 (TIPO 2) Calcule ∬D xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y^2 = 2x + 6. Exemplo 1.4 (TIPO 0) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2 , x = 2y, x = 0 e z = 0. Exemplo 1.5 (TROCAR OS LIMITES DE INTEGRAÇÃO) Calcule a integral iterada ∫(x=0, x=√π)∫(y=0, y=sin(x^2))sin(y^3)dy dx PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA 01. ∬(X) (f(x,y) + g(x,y))dA = ∬(X) f(x,y)dA + ∬(X) g(x,y)dA 02. ∬(X) λf(x,y)dA = λ∬(X) f(x,y)dA , onde λ ∈ R é uma constante. 03. Se f(x,y) ≥ g(x,y) em X , então ∬(X) f(x,y)dA ≥ ∬(X) g(x,y)dA 04. Se X = X1∪X2 (união disjunta) então ∬(X) f(x,y)dA = ∬(X1) f(x,y)dA + ∬(X2) f(x,y)dA 05. Área da Região(X) = ∬(X) 1dA 06. Se m ≤ f(x,y) ≤ M em X então mÁrea(X) ≤ ∬(X) f(x,y)dA ≤ M Área(X) EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.3 02. 2ª Lista de Exercícios Seção 15.3 - 1-27 (ímpares), 31-34*, 39-56*, 61 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Profº: THIAGO YUKIO TANAKA AULA 15 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 Exercícios de Revisão 01. Escreva a integral dupla que dá volume do sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e 3x + 2y + z = 6. 02. Esboce o sólido dado pela integral iterada ∫(0,1)∫(x^2,1) 1 – z dy dx. 03. Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral trocando a ordem de integração de ∫(0,3)∫(√y,3) e^x dx dy 1 Integrais Duplas - Coordenadas Polares No plano cartesiano, um ponto de coordenadas (x, y) pode ser representado pelas coordenadas (r, θ) com r ≥ 0 e θ ∈ [0, 2π], onde x = r cos θ, y = r sin θ tan θ = y/x A utilidade dessa mudança de coordenadas se evidencia no seguinte exemplo Exemplo 1.1 Escreva a região S dada pelo interior da curva x^2 + y^2 = 1 como uma região do tipo 1 ou 2. Como uma região do tipo polar teremos S = {(r, θ); r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π]} Assim, temos Mudança para Coordenadas Polares em Integral Dupla Se f é contínua no retângulo polar R = {(r, θ); r ∈ [a, b], θ ∈ [α, β]}, onde 0 ≤ S ≤ L = a ≤ S rπm – eπ = l1, então: ∬(R) f(x,y)dA = ∫(α,β) ∫(a,b) f(r cos θ, r sin θ)r drdθ rdrdθ pode ser visto como um pedaço infinitesimal de área de um retângulo polar. Exemplo 1.2 Calcule ∬(R) 3x + 4y^2dA onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4. Exemplo 1.3 Determine o volume do sólido pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1 – x^2 – y^2. Se f é contínua em uma região polar da forma D = {(r, θ); θ ∈ [α, β], r ∈ [g(θ), h(θ)]} Então ∬(D) f(x, y)dA = ∫(α,β) ∫(g(θ),h(θ)) f(r cos θ, r sin θ)r drdθ Exemplo 1.4 Use integral dupla para estimar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas r = cos 2θ Exemplo 1.5 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x^2 + y^2, acima do plano xy e dentro do cilindro x^2 + y^2 = 2x EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.4 02. 2ª Lista de Exercícios Seção 15.4 - 1-27* (ímpares), 29-32* UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Prof°. THIAGO YUKIO TANAKA AULA 16 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 01. Determine o volume do sólido que está a) Abaixo do paraboloide z = 3x² + y² e acima da região delimitada por y = x e x = y² - y. b) No primeiro octante e limitado pelo cilindro y² + x² = 4 e pelo plano x = 2y. 02. Escreva os limites de integração para ∫∫∫G em coordenadas polares se G é a) A região à esquerda do eixo y e entre as circunferências x² + y² = 1 e x² + y² = 4. b) A região do primeiro quadrante entre os círculos x² + y² = 4 e x² + 3y² = 2x. 1 Integrais Triplas Estudaremos agora integração para funções do tipo f : X ⊆ ℝ³ → ℝ. Teorema 1.1 (FUBINI) Se f é contínua em uma caixa retangular B = [a, b] × [c, d] × [e, f], então ∫∫∫B f (x, y, z )dV = ∫b_a ∫d_c ∫f_e f (x, y, z )dz dy dx Existem outras 5 maneiras diretas para integral acima. Mas nem todas as regiões em ℝ³ são caixas. Se X ⊂ ℝ³ for uma região qualquer, iremos resolver a integral da maneira mais simples possível, de forma que teremos algo do tipo ∫∫∫X f (x, y, z )dV = ∫∫D ∫M(x,y)_g(x,y) f (x, y, z )dz dA = ∫∫D ∫N(y,z)_n(y,z) f (x, y, z )dy dz = ∫∫D ∫P(x,z)_p(x,z) f (x, y, z )dx dz de forma que a região de integração D estará respectivamente nos planos xy, zx e yz e os limites de integração deverão ser feitos como no estudo para integrais duplas. Exemplo 1.1 Dada a integral ∫∫∫E zdV, onde E é o sólido delimitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1 . Esboce a região E e calcule a integral. Exemplo 1.2 Dada a integral ∫∫∫E √x² + z² +3y dV, onde E é a região limitada pelo paraboloide y = x² + z² e pelo plano y = 4. Esboce a região E e calcule a integral. Exemplo 1.3 Escreva a integral tripla que determina o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2 , z = 2y e z = 0 Exemplo 1.4 Escreva a integral tripla que determina o volume de uma pirâmide de altura 1 e base um quadrado de área 2. RESUMO 1. Cálculo de área da região é dada pela integral dupla da unidade (I), ∫∫X 1dA 2. Cálculo de volume da região corresponde a integral dupla da função (volume abaixo do gráfico) ∫∫X f (x, y)dA = (FUBINI) ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dydx Ou pela integral tripla da unidade, ∫∫∫X 1dV 3. Para resolver integral tripla, transformar dV em dzdA ou dydA ou dxdA da maneira que fique mais fácil a estimativa da região para a integral dupla. EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.6 02. 4ª Lista de Exercícios Seção 15.6 - 1-8, 9-22*, 27-28*, 29-32**, 33-36*. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Prof°. THIAGO YUKIO TANAKA AULA 17 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 1 Coordenadas Cilíndricas e Esféricas As coordenadas cilíndricas consistem em escrevemos um ponto (x, y, z) ∈ ℝ³ como um ponto pertencente a lateral de um cilindro, precisamos assim de três informações: o raio do cilindro, a orientação radial em relação a base e por fim a altura do ponto. Elas serão utilizadas quando ao transformarmos dV em dzdA ou dydA ou dxdA, temos no plano yz ou zx ou xy uma região D do tipo polar. Como escrito acima, o cilindro está padronizado com altura em relação aos eixos x, y e z de forma que teremos respectivamente: dV = dx(rdrdθ) = dy(rdrdθ) = dz(rdrdθ) Exemplo 1.1 Calcule ∫∫∫E √x² + z² +2y dV, onde E é a região limitada pelo paraboloide y = x² + z² e pelo plano y = 4. Exemplo 1.2 Calcule ∫²_−² ∫√4−x²_−√4−x² ∫√z²+y²_√z²+y² x² + y² dz dy dx Exemplo 1.3 Seja C o cilindro dado por x²+ y² = 1 e é limitado pelos planos z = 0 e z = 2 a) Escreva a expressão para o volume em coordenadas cartesianas b) Escreva a expressão para o volume em coordenadas cilíndricas As coordenadas esféricas consistem em escrever um ponto (x, y, z) ∈ ℝ³ como um ponto pertencente a superfície de uma esfera, para isso precisamos de três informações: o raio da esfera, o ângulo ϕ entre o raio e o eixo z e o ângulo θ entre a projeção do raio no plano xy e o eixo dos x . Teremos assim as novas coordenadas (ρ, θ, ϕ), onde x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ cos θ z = ρ cos ϕ Exemplo 1.4 Calcule ∭B e^{(x^2+y^2+z^2)^3/2} dV , onde B é a região dada por B = {(x,y,z); x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1} Exemplo 1.5 Seja S a esfera centrada na origem e de raio R . a) Escreva a expressão para o volume em coordenadas cartesianas b) Escreva a expressão para o volume em coordenadas cilíndricas c) Escreva a expressão para o volume em coordenadas esféricas Exemplo 1.6 Seja S o sólido delimitado pelo cone z = √(x^2 + y^2) e pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = z a) Escreva a expressão do volume em coordenadas cartesianas b) Escreva a expressão do volume em coordenadas cilíndricas c) Escreva a expressão do volume em coordenadas esféricas EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.7, 15.8 02. 5ª Lista de Exercícios 15.7 - 1-12, 13*, 15-22*, 27-28 15.8 - 1-13, 15-27* Seção 15.6 - 1-8, 9-22**, 27-28*, 29-32**, 33-36**.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Profº: THIAGO YUKIO TANAKA AULA 13 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 1 Integrais Duplas Sobre Retângulos Nossa motivação para essa unidade, envolvendo o cálculo integral, começa em tentar encontrar o volume do sólido que se encontra abaixo gráfico de uma função até o plano z = 0 que é o resultado análogo em Cálculo 1 para encontrar área abaixo do gráfico. Seja f : R ⊆ R² → R uma função cujo domínio é dado pelo retângulo R = {(x, y) ∈ R²; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} Vamos supor inicialmente que f(x, y) ≥ 0 . Seja S o sólido que está acima da região dada pelo retângulo R e abaixo do gráfico de f . Nosso objetivo é tentar encontrar o volume de S . Para isso, iremos dividir os intervalos [a, b] e [c, d] em m e n subintervalos de mesmo tamanho [x_{i-1}, x_i] e [y_{j-1}, y_j] de comprimentos (b - a)/m e (d - c)/n respectivamente. Construímos assim, m.n subretângulos do tipo R_{ij} = [x_{i-1}, x_i] × [y_{j-1}, y_j] Cuja área é igual a ΔA = ΔxΔy = (b−a)(d−c)/mn . Tome um ponto qualquer (x'_{ij}, y'_{ij}) em R_{ij} e calcule o valor da função nesse ponto e multiplique pela área do retângulo, isso corresponde ao volume de uma caixa de área da base ΔA e altura f(x'_{ij},y'_{ij}) e ao fazer isso para todos os subretângulos, obtemos: Vol(S) ≈ Σ_{i=1}^{m} Σ_{j=1}^{n} f(x'_{ij},y'_{ij})ΔA Para melhorar a aproximação, iremos aumentar a quantidade de divisões m e n e esperamos que: Vol(S) = lim m→∞n→∞ Σ_{i=1}^{m} Σ_{j=1}^{n} f(x'_{ij},y'_{ij})ΔA Definição 1.1 A integral dupla de f sobre o retângulo R é ∬_R f(x, y)dA = lim m→∞n→∞ Σ_{i=1}^{m} Σ_{j=1}^{n} f(x'_{ij},y'_{ij})ΔA SE esse limite existir. O nome do somatório é dito Soma de Riemann. Quando a função é não negativa, ou seja, f(x, y) ≥ 0, se ela for integrável, então o volume do sólido acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f será exatamente Vol(S) = ∬_R f(x, y)dA Quando estimamos o volume tomando como pontos (x'_{ij}, y'_{ij}) como pontos médios de R_{ij} temos a Regra do Ponto Médio. Definição 1.2 (VALOR MÉDIO) O valor médio de um função f de duas variáveis em um retângulo R contido em seu domínio será dado por 1 f_médio = ——————— ∬_R f(x, y)dA Area(R) Exemplo 1.1 Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = xy e acima do retângulo R = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 4} a) Use a soma de Riemann com m = 3 e n = 2 e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada subretângulo.b) Use agora a Regra do Ponto médio e estime novamente o volume.c) Estime o valor médio dos resultados de a) e b) 2 Integrais Iteradas Com os mesmos dados de antes, considere a seguinte função: A(x) = ∫_{c}^{d} f(x, y)dy Aqui, como a integração é sobre a variável y, então x é tido como constante. Se a função A(x) é integrável, obtemos: ∫_{a}^{b} A(x)dx = ∫_{a}^{b} (∫_{c}^{d} f(x, y)dy)dx = ∫_{a}^{b} (∫_{c}^{d} f(x, y)dx)dy A integral do lado direito é dita integral iterada e a expressão acima indica que primeiro integramos com relação a y e depois com relação a x. Teorema 2.1 (FUBINI) Se f for contínua no retângulo R como antes, então ∬_R f(x, y)dA = ∫_{a}^{b} (∫_{c}^{d} f(x, y)dy) dx = ∫_{c}^{d} (∫_{a}^{b} f(x, y)dx) dy Exemplo 2.1 Calcule a integral dupla ∬_R cos(x + 2y)dA, R = [0, π] × [0, π/2] Exemplo 2.2 Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = 1 + e^x sin(y) e pelos planos x = −1, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0. EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.1 e 15.2 02. 1ª Lista de Exercícios Seção 15.1 - 2, 4-7, 9, 11-14*, 17-18* Seção 15.2 - Ímpares (1-31), 35-36 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Profº: THIAGO YUKIO TANAKA AULA 14 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 1 Integrais Duplas Sobre Regiões Quaisquer Seja f : X ⊆ R² → R onde X é uma região limitada qualquer e suponha que queremos calcular a integral dupla de f sobre X. Note que só sabemos calcular integral sobre retângulos, mas como X é uma região limitada, então podemos construir um retângulo R que contém X . Em seguida, iremos definir uma nova função F da seguinte forma: { f(x,y), se (x, y) ∈ X; F(x, y) = { { 0, se (x, y) ∈ R\X. Note que ao integrarmos F em R , a contribuição de F na parte R\X é nula e portanto, ∬_X f(x, y)dA = ∬_R F(x, y)dA A evolução do conceito é portanto natural. A nossa maior dificuldade é tentar escrever a região X de maneira eficiente para que o cálculo da integral seja facilitado. Basicamente iremos trabalhar com DOIS tipos de regiões: REGIÃO DO TIPO 1: Se f é contínua em uma região X tal que X = {(x, y); a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)} Então, ∬ f(x, y)dA = ∫_{a}^{b} (∫_{g(x)}^{h(x)} f(x, y)dy)dx REGIÃO DO TIPO 2: Se f é contínua em um região X tal que X = {(x, y); g(y) ≤ x ≤ h(y),c ≤ y ≤ d} Então, ∬ f(x, y)dA = ∫_{c}^{d} (∫_{g(y)}^{h(y)} f(x, y)dx)dy Aqui, a ordem de integração importa. É importante que o aluno saiba esboçar gráficos de funções elementares comumente usadas no curso de cálculo 1, pois uma maneira fácil de visualizar o tipo de região consiste em traçar retas horizontais ou verticais e tentar chegar de uma curva para outra. Se traçarmos retas verticais e sempre conseguimos chegar de uma curva para outra, então temos uma região do tipo 1. Se o traçado for por retas horizontais, então temos uma região do tipo 2. Exemplo 1.1 (TIPO 1) Calcule ∬_D (x + 2y)dA , onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x². Exemplo 1.2 (TIPO 1 ou 2) Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x^2 + y^2 e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x^2. Exemplo 1.3 (TIPO 2) Calcule ∬D xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y^2 = 2x + 6. Exemplo 1.4 (TIPO 0) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2 , x = 2y, x = 0 e z = 0. Exemplo 1.5 (TROCAR OS LIMITES DE INTEGRAÇÃO) Calcule a integral iterada ∫(x=0, x=√π)∫(y=0, y=sin(x^2))sin(y^3)dy dx PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA 01. ∬(X) (f(x,y) + g(x,y))dA = ∬(X) f(x,y)dA + ∬(X) g(x,y)dA 02. ∬(X) λf(x,y)dA = λ∬(X) f(x,y)dA , onde λ ∈ R é uma constante. 03. Se f(x,y) ≥ g(x,y) em X , então ∬(X) f(x,y)dA ≥ ∬(X) g(x,y)dA 04. Se X = X1∪X2 (união disjunta) então ∬(X) f(x,y)dA = ∬(X1) f(x,y)dA + ∬(X2) f(x,y)dA 05. Área da Região(X) = ∬(X) 1dA 06. Se m ≤ f(x,y) ≤ M em X então mÁrea(X) ≤ ∬(X) f(x,y)dA ≤ M Área(X) EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.3 02. 2ª Lista de Exercícios Seção 15.3 - 1-27 (ímpares), 31-34*, 39-56*, 61 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Profº: THIAGO YUKIO TANAKA AULA 15 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 Exercícios de Revisão 01. Escreva a integral dupla que dá volume do sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e 3x + 2y + z = 6. 02. Esboce o sólido dado pela integral iterada ∫(0,1)∫(x^2,1) 1 – z dy dx. 03. Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral trocando a ordem de integração de ∫(0,3)∫(√y,3) e^x dx dy 1 Integrais Duplas - Coordenadas Polares No plano cartesiano, um ponto de coordenadas (x, y) pode ser representado pelas coordenadas (r, θ) com r ≥ 0 e θ ∈ [0, 2π], onde x = r cos θ, y = r sin θ tan θ = y/x A utilidade dessa mudança de coordenadas se evidencia no seguinte exemplo Exemplo 1.1 Escreva a região S dada pelo interior da curva x^2 + y^2 = 1 como uma região do tipo 1 ou 2. Como uma região do tipo polar teremos S = {(r, θ); r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π]} Assim, temos Mudança para Coordenadas Polares em Integral Dupla Se f é contínua no retângulo polar R = {(r, θ); r ∈ [a, b], θ ∈ [α, β]}, onde 0 ≤ S ≤ L = a ≤ S rπm – eπ = l1, então: ∬(R) f(x,y)dA = ∫(α,β) ∫(a,b) f(r cos θ, r sin θ)r drdθ rdrdθ pode ser visto como um pedaço infinitesimal de área de um retângulo polar. Exemplo 1.2 Calcule ∬(R) 3x + 4y^2dA onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4. Exemplo 1.3 Determine o volume do sólido pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1 – x^2 – y^2. Se f é contínua em uma região polar da forma D = {(r, θ); θ ∈ [α, β], r ∈ [g(θ), h(θ)]} Então ∬(D) f(x, y)dA = ∫(α,β) ∫(g(θ),h(θ)) f(r cos θ, r sin θ)r drdθ Exemplo 1.4 Use integral dupla para estimar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas r = cos 2θ Exemplo 1.5 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x^2 + y^2, acima do plano xy e dentro do cilindro x^2 + y^2 = 2x EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.4 02. 2ª Lista de Exercícios Seção 15.4 - 1-27* (ímpares), 29-32* UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Prof°. THIAGO YUKIO TANAKA AULA 16 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 01. Determine o volume do sólido que está a) Abaixo do paraboloide z = 3x² + y² e acima da região delimitada por y = x e x = y² - y. b) No primeiro octante e limitado pelo cilindro y² + x² = 4 e pelo plano x = 2y. 02. Escreva os limites de integração para ∫∫∫G em coordenadas polares se G é a) A região à esquerda do eixo y e entre as circunferências x² + y² = 1 e x² + y² = 4. b) A região do primeiro quadrante entre os círculos x² + y² = 4 e x² + 3y² = 2x. 1 Integrais Triplas Estudaremos agora integração para funções do tipo f : X ⊆ ℝ³ → ℝ. Teorema 1.1 (FUBINI) Se f é contínua em uma caixa retangular B = [a, b] × [c, d] × [e, f], então ∫∫∫B f (x, y, z )dV = ∫b_a ∫d_c ∫f_e f (x, y, z )dz dy dx Existem outras 5 maneiras diretas para integral acima. Mas nem todas as regiões em ℝ³ são caixas. Se X ⊂ ℝ³ for uma região qualquer, iremos resolver a integral da maneira mais simples possível, de forma que teremos algo do tipo ∫∫∫X f (x, y, z )dV = ∫∫D ∫M(x,y)_g(x,y) f (x, y, z )dz dA = ∫∫D ∫N(y,z)_n(y,z) f (x, y, z )dy dz = ∫∫D ∫P(x,z)_p(x,z) f (x, y, z )dx dz de forma que a região de integração D estará respectivamente nos planos xy, zx e yz e os limites de integração deverão ser feitos como no estudo para integrais duplas. Exemplo 1.1 Dada a integral ∫∫∫E zdV, onde E é o sólido delimitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1 . Esboce a região E e calcule a integral. Exemplo 1.2 Dada a integral ∫∫∫E √x² + z² +3y dV, onde E é a região limitada pelo paraboloide y = x² + z² e pelo plano y = 4. Esboce a região E e calcule a integral. Exemplo 1.3 Escreva a integral tripla que determina o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2 , z = 2y e z = 0 Exemplo 1.4 Escreva a integral tripla que determina o volume de uma pirâmide de altura 1 e base um quadrado de área 2. RESUMO 1. Cálculo de área da região é dada pela integral dupla da unidade (I), ∫∫X 1dA 2. Cálculo de volume da região corresponde a integral dupla da função (volume abaixo do gráfico) ∫∫X f (x, y)dA = (FUBINI) ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dydx Ou pela integral tripla da unidade, ∫∫∫X 1dV 3. Para resolver integral tripla, transformar dV em dzdA ou dydA ou dxdA da maneira que fique mais fácil a estimativa da região para a integral dupla. EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.6 02. 4ª Lista de Exercícios Seção 15.6 - 1-8, 9-22*, 27-28*, 29-32**, 33-36*. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II Prof°. THIAGO YUKIO TANAKA AULA 17 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 1 Coordenadas Cilíndricas e Esféricas As coordenadas cilíndricas consistem em escrevemos um ponto (x, y, z) ∈ ℝ³ como um ponto pertencente a lateral de um cilindro, precisamos assim de três informações: o raio do cilindro, a orientação radial em relação a base e por fim a altura do ponto. Elas serão utilizadas quando ao transformarmos dV em dzdA ou dydA ou dxdA, temos no plano yz ou zx ou xy uma região D do tipo polar. Como escrito acima, o cilindro está padronizado com altura em relação aos eixos x, y e z de forma que teremos respectivamente: dV = dx(rdrdθ) = dy(rdrdθ) = dz(rdrdθ) Exemplo 1.1 Calcule ∫∫∫E √x² + z² +2y dV, onde E é a região limitada pelo paraboloide y = x² + z² e pelo plano y = 4. Exemplo 1.2 Calcule ∫²_−² ∫√4−x²_−√4−x² ∫√z²+y²_√z²+y² x² + y² dz dy dx Exemplo 1.3 Seja C o cilindro dado por x²+ y² = 1 e é limitado pelos planos z = 0 e z = 2 a) Escreva a expressão para o volume em coordenadas cartesianas b) Escreva a expressão para o volume em coordenadas cilíndricas As coordenadas esféricas consistem em escrever um ponto (x, y, z) ∈ ℝ³ como um ponto pertencente a superfície de uma esfera, para isso precisamos de três informações: o raio da esfera, o ângulo ϕ entre o raio e o eixo z e o ângulo θ entre a projeção do raio no plano xy e o eixo dos x . Teremos assim as novas coordenadas (ρ, θ, ϕ), onde x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ cos θ z = ρ cos ϕ Exemplo 1.4 Calcule ∭B e^{(x^2+y^2+z^2)^3/2} dV , onde B é a região dada por B = {(x,y,z); x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1} Exemplo 1.5 Seja S a esfera centrada na origem e de raio R . a) Escreva a expressão para o volume em coordenadas cartesianas b) Escreva a expressão para o volume em coordenadas cilíndricas c) Escreva a expressão para o volume em coordenadas esféricas Exemplo 1.6 Seja S o sólido delimitado pelo cone z = √(x^2 + y^2) e pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = z a) Escreva a expressão do volume em coordenadas cartesianas b) Escreva a expressão do volume em coordenadas cilíndricas c) Escreva a expressão do volume em coordenadas esféricas EXERCÍCIOS 01. Reescrever as resoluções dos exemplos das seções 15.7, 15.8 02. 5ª Lista de Exercícios 15.7 - 1-12, 13*, 15-22*, 27-28 15.8 - 1-13, 15-27* Seção 15.6 - 1-8, 9-22**, 27-28*, 29-32**, 33-36**.