·
Engenharia Civil ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Aula 10 Centroide e Centro de gravidade Docente Mariana Ramos Chrusciak Dra Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil EC0301 Mecânica Geral Marianachrusciakufrrbr Centro de gravidade de um sistema de pontos materiais Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil EC0301 Mecânica Geral Aula 10 O centro de gravidade G ou baricentro é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um sistema de pontos materiais Para mostrar como determinar esse ponto considere o sistema de n pontos materiais fixo em uma região do espaço Centro de gravidade de um sistema de pontos materiais Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Os pesos dos pontos materiais compreendem um sistema de forças paralelas que pode ser substituído por um único equivalente peso resultante aplicado no ponto G Para encontrarmos as coordenadas ҧ𝑥 ത𝑦 𝑒 ҧ𝑧 de G lembramos dos sistemas equivalentes Isso requer que EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de gravidade de um sistema de pontos materiais Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil A soma dos momentos dos pesos de todos os pontos materiais em relação aos eixos x y e z é então igual ao momento do peso resultante em relação a esses eixos Então Assim generalizando as fórmulas temos EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de massa de um sistema de pontos materiais Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Para o estudo de problemas que dizem respeito ao movimento da matéria sob a influência de forças isto é problemas de dinâmica é necessário localizar um ponto chamado de centro de massa Como a aceleração da gravidade g para cada ponto material é constante então W mg Substituindo nas equações de centro de gravidade e cancelando g no denominador obtemos OBS Comparandose percebese que ambos tem a mesma localização Porém vale lembrar que pontos materiais têm peso apenas quando estão sob influência da atração gravitacional enquanto o centro de massa é independente da gravidade EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de gravidade de um corpo Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Um corpo rígido é composto de um infinito número de partículas Dessa maneira se os princípios utilizados para determinar as equações de centro de gravidade de um sistema de pontos materiais são aplicados ao sistema de partículas que compõem esse corpo tornase necessário usar a operação de integração em vez da natureza discreta de somatórios Considerando a partícula abaixo as equações resultantes são EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de gravidade de um corpo Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Para a aplicação adequada dessas equações o peso infinitesimal dW deve ser expresso em função de seu volume infinitesimal associado dV Se γ representa o peso específico do corpo medido como o peso por unidade de volume então dW γ dV e portanto Nesse caso a integração deve ser efetuada por todo o volume do corpo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de massa de um corpo Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil A densidade ρ ou massa por unidade de volume se relaciona com γ pela equação γ ρg onde g é a aceleração gravitacional Substituindo essa relação nas equações anteriores centro de gravidade e cancelando g do numerador e do denominador obtemos equações similares com ρ no lugar de γ que podem ser utilizadas para determinar o centro de massa do corpo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil O centroide C é um ponto que define o centro geométrico de um objeto Sua localização pode ser determinada a partir de formulas semelhantes àquelas utilizadas para obter o centro de gravidade ou o centro de massa de um corpo Se o material que compõe o corpo for uniforme ou homogêneo a densidade ou peso específico será constante por todo o corpo e consequentemente esse termo poderá sair da chave de integração e ser cancelado nos numeradores e denominadores das equações anteriores As fórmulas resultantes definem o centroide de um corpo uma vez que elas são independentes do peso dele dependendo apenas de sua geometria EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Volume Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Se um objeto é subdividido em elementos de volumes infinitesimais dV a localização do centroide C ҧ𝑥 ത𝑦 ҧ𝑧 para o volume do objeto pode ser determinado pelo cálculo dos momentos dos elementos infinitesimais em relação a cada eixo de coordenadas As fórmulas resultantes são EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Área Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil De forma análoga temos para área EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Linha Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil De forma análoga temos para linha EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Algumas observações Escolher o melhor sistema as vezes coordenadas polares Os termos obtidos referemse aos braços dos momentos ou coordenadas do centro de gravidade ou centroide para o elemento infinitesimal EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Simetria Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Os centroides de algumas formas geométricas devem ser parcial ou completamente especificados por meio das condições de simetria Nos casos em que a forma geométrica tem um eixo de simetria o centroide dela ficará sobre esse eixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 1 Localize o centroide da barra curvada no formato de um arco parabólico como mostrado abaixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 01 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 01 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 2 Localize o centroide da área mostrada abaixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 02 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 3 Determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado abaixo sabendo que sua densidade varia diretamente com sua distância a partir da base isto é ρ 200 z kgm³ EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 03 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 03 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Um corpo composto consiste em um conjunto de corpos de formatos mais simples que podem ser retangulares triangulares semicirculares etc Esse corpo frequentemente pode ser dividido em suas partes constituintes e contanto que o peso e a localização de cada uma das partes sejam conhecidos podemos eliminar a necessidade de integração para obter o centro de gravidade do corpo como um todo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Esse procedimento requer que cada uma das partes seja tratado como partícula e seja utilizado as equações anteriores de equilíbrios de pontos materiais EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil OBS Quando um corpo tem densidade ou peso específico constante o centro de gravidade coincide com o centroide do corpo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 4 Localize o centroide do fio mostrado abaixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 04 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 04 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 5 Localize o centroide da área mostrada abaixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 05 EC0301 Mecânica Geral Aula 10
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Aula 10 Centroide e Centro de gravidade Docente Mariana Ramos Chrusciak Dra Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil EC0301 Mecânica Geral Marianachrusciakufrrbr Centro de gravidade de um sistema de pontos materiais Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil EC0301 Mecânica Geral Aula 10 O centro de gravidade G ou baricentro é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um sistema de pontos materiais Para mostrar como determinar esse ponto considere o sistema de n pontos materiais fixo em uma região do espaço Centro de gravidade de um sistema de pontos materiais Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Os pesos dos pontos materiais compreendem um sistema de forças paralelas que pode ser substituído por um único equivalente peso resultante aplicado no ponto G Para encontrarmos as coordenadas ҧ𝑥 ത𝑦 𝑒 ҧ𝑧 de G lembramos dos sistemas equivalentes Isso requer que EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de gravidade de um sistema de pontos materiais Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil A soma dos momentos dos pesos de todos os pontos materiais em relação aos eixos x y e z é então igual ao momento do peso resultante em relação a esses eixos Então Assim generalizando as fórmulas temos EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de massa de um sistema de pontos materiais Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Para o estudo de problemas que dizem respeito ao movimento da matéria sob a influência de forças isto é problemas de dinâmica é necessário localizar um ponto chamado de centro de massa Como a aceleração da gravidade g para cada ponto material é constante então W mg Substituindo nas equações de centro de gravidade e cancelando g no denominador obtemos OBS Comparandose percebese que ambos tem a mesma localização Porém vale lembrar que pontos materiais têm peso apenas quando estão sob influência da atração gravitacional enquanto o centro de massa é independente da gravidade EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de gravidade de um corpo Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Um corpo rígido é composto de um infinito número de partículas Dessa maneira se os princípios utilizados para determinar as equações de centro de gravidade de um sistema de pontos materiais são aplicados ao sistema de partículas que compõem esse corpo tornase necessário usar a operação de integração em vez da natureza discreta de somatórios Considerando a partícula abaixo as equações resultantes são EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de gravidade de um corpo Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Para a aplicação adequada dessas equações o peso infinitesimal dW deve ser expresso em função de seu volume infinitesimal associado dV Se γ representa o peso específico do corpo medido como o peso por unidade de volume então dW γ dV e portanto Nesse caso a integração deve ser efetuada por todo o volume do corpo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centro de massa de um corpo Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil A densidade ρ ou massa por unidade de volume se relaciona com γ pela equação γ ρg onde g é a aceleração gravitacional Substituindo essa relação nas equações anteriores centro de gravidade e cancelando g do numerador e do denominador obtemos equações similares com ρ no lugar de γ que podem ser utilizadas para determinar o centro de massa do corpo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil O centroide C é um ponto que define o centro geométrico de um objeto Sua localização pode ser determinada a partir de formulas semelhantes àquelas utilizadas para obter o centro de gravidade ou o centro de massa de um corpo Se o material que compõe o corpo for uniforme ou homogêneo a densidade ou peso específico será constante por todo o corpo e consequentemente esse termo poderá sair da chave de integração e ser cancelado nos numeradores e denominadores das equações anteriores As fórmulas resultantes definem o centroide de um corpo uma vez que elas são independentes do peso dele dependendo apenas de sua geometria EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Volume Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Se um objeto é subdividido em elementos de volumes infinitesimais dV a localização do centroide C ҧ𝑥 ത𝑦 ҧ𝑧 para o volume do objeto pode ser determinado pelo cálculo dos momentos dos elementos infinitesimais em relação a cada eixo de coordenadas As fórmulas resultantes são EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Área Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil De forma análoga temos para área EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Linha Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil De forma análoga temos para linha EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Algumas observações Escolher o melhor sistema as vezes coordenadas polares Os termos obtidos referemse aos braços dos momentos ou coordenadas do centro de gravidade ou centroide para o elemento infinitesimal EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Simetria Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Os centroides de algumas formas geométricas devem ser parcial ou completamente especificados por meio das condições de simetria Nos casos em que a forma geométrica tem um eixo de simetria o centroide dela ficará sobre esse eixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 1 Localize o centroide da barra curvada no formato de um arco parabólico como mostrado abaixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 01 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 01 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 2 Localize o centroide da área mostrada abaixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 02 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 3 Determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado abaixo sabendo que sua densidade varia diretamente com sua distância a partir da base isto é ρ 200 z kgm³ EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 03 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Centroide Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 03 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Um corpo composto consiste em um conjunto de corpos de formatos mais simples que podem ser retangulares triangulares semicirculares etc Esse corpo frequentemente pode ser dividido em suas partes constituintes e contanto que o peso e a localização de cada uma das partes sejam conhecidos podemos eliminar a necessidade de integração para obter o centro de gravidade do corpo como um todo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Esse procedimento requer que cada uma das partes seja tratado como partícula e seja utilizado as equações anteriores de equilíbrios de pontos materiais EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil OBS Quando um corpo tem densidade ou peso específico constante o centro de gravidade coincide com o centroide do corpo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 4 Localize o centroide do fio mostrado abaixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 04 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 04 EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 5 Localize o centroide da área mostrada abaixo EC0301 Mecânica Geral Aula 10 Corpos compostos Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 05 EC0301 Mecânica Geral Aula 10