Momentos de Inércia - Aula 13

Aula 13 Momentos de inércia Docente Mariana Ramos Chrusciak Dra Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil EC0301 Mecânica Geral Marianachrusciakufrrbr Momento de inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Considerando a área A que se encontra no plano xy Por definição os momentos de inércia de uma área plana infinitesimal dA em relação aos eixos x y são dIx y² dA e dIy x² dA Para toda a área os momentos de inércia são determinados por integração isto é Momento de inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Podemos também formular o segundo momento de dA em relação ao pólo O ou eixo z Esse momento é denominado momento polar de inércia dJO r² dA Nesse caso r é a distância perpendicular do pólo à área infinitesimal dA Para a área total o momento de inércia polar é EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Teorema dos eixos paralelos para uma área Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Observando a figura temos Momento de inércia da área em relação ao eixo que passa pelo centroide Área total A y distância ao centroide 0 EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Produto de Inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Em geral o momento de inércia de uma área é diferente para cada eixo em relação ao qual ele é considerado Para algumas aplicações em projetos estruturais ou mecânicos é necessário conhecer a orientação desses eixos que fornecem o máximo e mínimo momento de inércia Para isto primeiro definimos o produto de inércia EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Produto de Inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Obs Pode ser utilizado integral dupla ou um elemento de área com dimensão infinitesimal ou largura em apenas uma direção O produto de inércia tem unidades equivalentes aos momentos de inércia m4 mm4 etc Para o teorema dos eixos paralelos este se baseia nas regras anteriores EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Produto de Inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Obs Porém o produto de inércia pode ser positivo negativo ou nulo dependendo de x e y EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 1 Determine o produto de inércia Ixy do triângulo abaixo Produto de Inércia EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 01 Produto de Inércia EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 2 Calcule o produto de inércia Ixy da área da seção reta da viga abaixo em relação aos eixos que passam pelo centroide x y Produto de Inércia EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 02 Produto de Inércia EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos de inércia de uma área em relação a eixos inclinados Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Em projetos estruturais e mecânicos algumas vezes é necessário calcular os momentos e o produto de inércia Iu Iv e Iuv para uma área em relação a um par de eixos inclinados u e v quando os valores de θ Ix Iy e Ixy são conhecidos Para isso usase das equações de transformação que relacionam as coordenadas EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos de inércia de uma área em relação a eixos inclinados Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos de inércia de uma área em relação a eixos inclinados Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos principais de inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil As equações mostram que Iu Iv e Iuv dependem do ângulo de inclinação θ dos eixos u v Vamos determinar agora a orientação desses eixos em relação aos quais os momentos de inércia de área Iu Iv são máximos e mínimos Esses eixos em particular são chamados eixos principais da área e os momentos de inércia correspondentes em relação a esses eixos denominados momentos principais de inércia Em geral há um par de eixos principais para cada origem O escolhida geralmente esta está localizada no centroide da área de seção reta EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos principais de inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil O ângulo θ θp que define a orientação dos eixos principais para a área pode ser obtido derivandose a eq de Iu em função de θ e igualandose a zero A equação tem duas raízes θp1 e θp2 defasadas de 90o entre si que determinam as inclinações dos eixos principais EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos principais de inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Para substituirmos essas raízes inicialmente devemos definir EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos principais de inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Dependendo da escolha do sinal esse resultado fornece o máximo ou mínimo momento de inércia da área Além disso se as relações trigonométricas de θp1 e θp2 forem substituidas em Iuv veremos que será igual a zero isto é o produto de inércia em relaçao aos eixos principais é zero Portanto qualquer eixo de simetria representa um eixo principal de inércia da área EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos de inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Exemplo 3 Determine os momentos principais de inércia da área da seção transversal da viga em relação a um dos eixos que passa pelo centroide EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos de inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 03 EC0301 Mecânica Geral Aula 13 Momentos de inércia Universidade Federal de Roraima Departamento de Engenharia Civil Solução Ex 03 EC0301 Mecânica Geral Aula 13