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Questão 3 1 ponto Escreva a função fx cosx como uma série de Taylor centrada em x π2 Questão 4 2 pontos Utilizando série de McLaurin estime o valor da integral definida 0π4 senx2 dx com erro inferior a 000001 Questão 1 2 pontos Encontre se existir o limite de cada uma das sequências a seguir a sennπn0 c 2n3nn1 b n12enn1 d 1sennn1 Questão 2 2 pontos Determine se cada série abaixo converge ou diverge justificando sua resposta a n0 23n c n2 1nn1 b n1 1n3 1n2 d n1 1nn d utilizando o teste de convergência condicional se am é sequência decrescente am 0 e lim m am 0 então a série m1 1m am converge no problema 1m é decrescente 1m 0 então pelo teste da convergência condicional m1 1m m converge Q3 fx cosx fx sinx fx cosx fx sinx f4x cosx a derivada de cosx segue o padrão f2k x 1k cosx f2k1 x 1k1 sinx k012 em x π2 cosπ20 sinπ21 e então as derivadas de ordem par se anulam e as ímpares f2k1 π2 1k1 A série de Taylor em x π2 é Cosx Σ m0 fmπ2m x π2m m 2k fmπ2 0 m 2k1 fmπ2 1k1 Cosx Σ k0 1k12k1 x π22k1 Q4 a série de semx em x 0 é Semx Σ m0 1m2m1 x2m1 fazendo x x2 a série de Taylor em x 0 de Semx2 é Semx2 Σ m0 1m2m1 x4m2 x2 x63 x105 x147 S 0π4 Semx2 dx 0π4 x2 x66 x10120 x145040 dx x33 x742 x111320 x1575600 0π4 π3192 π74742 π114111320 π1541575600 Teorema de estimacao de erro para séries de termos alternados S Σ m0 1m am Sm Σ k0m 1k ak Erro S Sm am1 no caso am π4m3 44m3 4m3 2m1 S 0π4 Semx2 dx a0 01615 a1 000844 a2 531105 a3 353107 para estimar com erro menor que 105 pelo teo de estimacao basta considerar a soma até m2 0π4 Semx2 dx π3192 π74742 π11 4111320 01572 Agora Semm1 Semm Cos1 Cosm Sem1 no limite m 1L 1L Cos1 0 Sem1 Cos1 1 outro assumdo b m² em m² em Para a função fx x² ex por LHospital derivando duas vezes lim x x² ex lim x 2x ex lim x 2 ex 0 A sequência é fm m² em então lim m m² em 0 d 1 semm Vamos demonstrar que não converge Por absurdo suponho que lim m 1 semm L Caso L0 lim m semm um absurdo pois semm 7 para todo m 1 Caso L 0 lim m semm 1 L Para a fórmula semx semy 2 cosxy2 semxy2 aplicada em x m1 y m1 semm1 semm1 2 cosm sem1 Como lim m semm1 semm1 1L 1L 0 temos lim m 2 cosm sem1 0 lim m cosm 0 Q1 a semmπ m0 Como semmπ 0 para todo m N a sequência é uma sequência constante 0 logo converge para zero lim m semmπ 0 c 2m 3m m1 2m 3m 23 m regra geral am em ln a p a 23 ln23 0 então m ln23 0 para todo m 1 23m em ln23 lim m 23m lim m em ln23 0 Q2 a soma geométrica Sm 1 a a² am a Sm a a² a³ am1 Sm a Sm 1 am1 Sm 1 am1 1 a em Sm 1 1 a am1 1 a Σ am m0 to lim m Sm Se a 1 lim m am1 1 a 0 logo Σ am m0 to 1 1 a No problema a 23 1 portanto Σ 23m m0 to converge b Σ 1n² 1n³ m1 to Teste da integral se an fm para f 1 R positivo e decrescente então Σ an converge se e somente se existe a integral imprópria 1 fx dx me problema ₁ 1x² dx 1x₁ 1 ₁ 1x³ dx 12x₁ 12 Logo as séries ₘ1 1m² e ₘ1 1m³ são convergentes pelo teste da integral Se duas séries convergem sua soma converge portanto ₘ1 1m² 1m³ converge c Temos a decomposição 1mm1 1m 1m1 ₘ2 1mm1 ₘ2 1m 1m1 Esta série pode ser calculada é uma soma telescópica Pl an 1m 1m1 m2 Sₙ a₂ a₃ a₄ aₙ 12 1 13 12 14 13 1n 1n1 logo ₘ2 1mm1 limₙ Sₙ limₙ 1 1n 1 e é convergente
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Questão 3 1 ponto Escreva a função fx cosx como uma série de Taylor centrada em x π2 Questão 4 2 pontos Utilizando série de McLaurin estime o valor da integral definida 0π4 senx2 dx com erro inferior a 000001 Questão 1 2 pontos Encontre se existir o limite de cada uma das sequências a seguir a sennπn0 c 2n3nn1 b n12enn1 d 1sennn1 Questão 2 2 pontos Determine se cada série abaixo converge ou diverge justificando sua resposta a n0 23n c n2 1nn1 b n1 1n3 1n2 d n1 1nn d utilizando o teste de convergência condicional se am é sequência decrescente am 0 e lim m am 0 então a série m1 1m am converge no problema 1m é decrescente 1m 0 então pelo teste da convergência condicional m1 1m m converge Q3 fx cosx fx sinx fx cosx fx sinx f4x cosx a derivada de cosx segue o padrão f2k x 1k cosx f2k1 x 1k1 sinx k012 em x π2 cosπ20 sinπ21 e então as derivadas de ordem par se anulam e as ímpares f2k1 π2 1k1 A série de Taylor em x π2 é Cosx Σ m0 fmπ2m x π2m m 2k fmπ2 0 m 2k1 fmπ2 1k1 Cosx Σ k0 1k12k1 x π22k1 Q4 a série de semx em x 0 é Semx Σ m0 1m2m1 x2m1 fazendo x x2 a série de Taylor em x 0 de Semx2 é Semx2 Σ m0 1m2m1 x4m2 x2 x63 x105 x147 S 0π4 Semx2 dx 0π4 x2 x66 x10120 x145040 dx x33 x742 x111320 x1575600 0π4 π3192 π74742 π114111320 π1541575600 Teorema de estimacao de erro para séries de termos alternados S Σ m0 1m am Sm Σ k0m 1k ak Erro S Sm am1 no caso am π4m3 44m3 4m3 2m1 S 0π4 Semx2 dx a0 01615 a1 000844 a2 531105 a3 353107 para estimar com erro menor que 105 pelo teo de estimacao basta considerar a soma até m2 0π4 Semx2 dx π3192 π74742 π11 4111320 01572 Agora Semm1 Semm Cos1 Cosm Sem1 no limite m 1L 1L Cos1 0 Sem1 Cos1 1 outro assumdo b m² em m² em Para a função fx x² ex por LHospital derivando duas vezes lim x x² ex lim x 2x ex lim x 2 ex 0 A sequência é fm m² em então lim m m² em 0 d 1 semm Vamos demonstrar que não converge Por absurdo suponho que lim m 1 semm L Caso L0 lim m semm um absurdo pois semm 7 para todo m 1 Caso L 0 lim m semm 1 L Para a fórmula semx semy 2 cosxy2 semxy2 aplicada em x m1 y m1 semm1 semm1 2 cosm sem1 Como lim m semm1 semm1 1L 1L 0 temos lim m 2 cosm sem1 0 lim m cosm 0 Q1 a semmπ m0 Como semmπ 0 para todo m N a sequência é uma sequência constante 0 logo converge para zero lim m semmπ 0 c 2m 3m m1 2m 3m 23 m regra geral am em ln a p a 23 ln23 0 então m ln23 0 para todo m 1 23m em ln23 lim m 23m lim m em ln23 0 Q2 a soma geométrica Sm 1 a a² am a Sm a a² a³ am1 Sm a Sm 1 am1 Sm 1 am1 1 a em Sm 1 1 a am1 1 a Σ am m0 to lim m Sm Se a 1 lim m am1 1 a 0 logo Σ am m0 to 1 1 a No problema a 23 1 portanto Σ 23m m0 to converge b Σ 1n² 1n³ m1 to Teste da integral se an fm para f 1 R positivo e decrescente então Σ an converge se e somente se existe a integral imprópria 1 fx dx me problema ₁ 1x² dx 1x₁ 1 ₁ 1x³ dx 12x₁ 12 Logo as séries ₘ1 1m² e ₘ1 1m³ são convergentes pelo teste da integral Se duas séries convergem sua soma converge portanto ₘ1 1m² 1m³ converge c Temos a decomposição 1mm1 1m 1m1 ₘ2 1mm1 ₘ2 1m 1m1 Esta série pode ser calculada é uma soma telescópica Pl an 1m 1m1 m2 Sₙ a₂ a₃ a₄ aₙ 12 1 13 12 14 13 1n 1n1 logo ₘ2 1mm1 limₙ Sₙ limₙ 1 1n 1 e é convergente