P3 Resolvida-2022 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS EPS7005 – PESQUISA OPERACIONAL AVALIAÇÃO 3 Anualmente os ônibus de uma empresa de transporte coletivo são inspecionados pelo órgão fiscalizador municipal, que avalia o estado de conservação em função de motor, chassis, carroceria, etc. Nesta avaliação os veículos são classificados em: excelente; bom; regular; ruim e péssimo. Para continuar em operação, é exigido que o veículo esteja pelo menos em estado regular, e que não tenha mais de 8 anos de operação, por conta do avanço tecnológico. Nesta empresa, observou-se que a transição entre estados de conservação segue a distribuição de probabilidade definida pela seguinte matriz: Para Excelente Bom Regular Ruim Péssimo Excelente 40% 40% 20% Bom 40% 40% 20% Regular 40% 40% 20% Ruim 40% 60% De Péssimo 100% Assim, sempre que conveniente, e desde que o veículo não tenha atingido os 8 anos de uso, a empresa poderá realizar uma reforma completa do ônibus inspecionado, recuperando o mesmo ao estado de novo (excelente). O custo médio da reforma e o custo anual médio de operação dependem do estado de conservação, e são estimados em: Estado Custo Anual de Operação (R$) Custo da Reforma (R$) Excelente 105.000,00 Bom 110.000,00 25.000,00 Regular 120.000,00 50.000,00 Ruim 140.000,00 100.000,00 Péssimo 180.000,00 175.000,00 Os preços médios dos veículos, pelos quais a empresa pode comprar e vender os ônibus no mercado, encontram-se apresentados na tabela abaixo: Estado de Conservação Idade (anos) Excelente Bom Regular Ruim Péssimo 0 500.000,00 1 425.000,00 403.750,00 363.375,00 308.868,00 247.094,00 2 361.250,00 343.187,00 308.868,00 262.537,00 210.029,00 3 307.062,00 291.708,00 262.537,00 223.156,00 178.524,00 4 261.002,00 247.951,00 223.155,00 189.681,00 151.744,00 5 221.851,00 210.758,00 189.682,00 161.229,00 128.983,00 6 188.573,00 179.144,00 161.229,00 137.044,00 109.635,00 7 160.287,00 152.272,00 137.044,00 116.487,00 93.189,00 8 136.243,00 129.430,00 116.487,00 99.013,00 79.210,00 Considerando que a taxa de mínima atratividade é de 10% ao ano, e que a política da empresa determina que a substituição de um ônibus usado sempre se dará por um novo, pede-se: a) construa o modelo de programação dinâmica; b) determine a política ótima de substituição e manutenção da frota; c) determine o custo anual médio de um ônibus, segundo a política ótima de manutenção e substituição da frota. Lista de Exercícios Programação Dinâmica 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS EPS7005 – PESQUISA OPERACIONAL AVALIAÇÃO 3 Anualmente os ônibus de uma empresa de transporte coletivo são inspecionados pelo órgão fiscalizador municipal, que avalia o estado de conservação em função de motor, chassis, carroceria, etc. Nesta avaliação os veículos são classificados em: excelente; bom; regular; ruim e péssimo. Para continuar em operação, é exigido que o veículo esteja pelo menos em estado regular, e que não tenha mais de 8 anos de operação, por conta do avanço tecnológico. Nesta empresa, observou-se que a transição entre estados de conservação segue a distribuição de probabilidade definida pela seguinte matriz: Para Excelente Bom Regular Ruim Péssimo Excelente 40% 40% 20% Bom 40% 40% 20% Regular 40% 40% 20% Ruim 40% 60% De Péssimo 100% Assim, sempre que conveniente, e desde que o veículo não tenha atingido os 8 anos de uso, a empresa poderá realizar uma reforma completa do ônibus inspecionado, recuperando o mesmo ao estado de novo (excelente). O custo médio da reforma e o custo anual médio de operação dependem do estado de conservação, e são estimados em: Estado Custo Anual de Operação (R$) Custo da Reforma (R$) Excelente 105.000,00 Bom 110.000,00 25.000,00 Regular 120.000,00 50.000,00 Ruim 140.000,00 100.000,00 Péssimo 180.000,00 175.000,00 Os preços médios dos veículos, pelos quais a empresa pode comprar e vender os ônibus no mercado, encontram-se apresentados na tabela abaixo: Estado de Conservação Idade (anos) Excelente Bom Regular Ruim Péssimo 0 500.000,00 1 425.000,00 403.750,00 363.375,00 308.868,00 247.094,00 2 361.250,00 343.187,00 308.868,00 262.537,00 210.029,00 3 307.062,00 291.708,00 262.537,00 223.156,00 178.524,00 4 261.002,00 247.951,00 223.155,00 189.681,00 151.744,00 5 221.851,00 210.758,00 189.682,00 161.229,00 128.983,00 6 188.573,00 179.144,00 161.229,00 137.044,00 109.635,00 7 160.287,00 152.272,00 137.044,00 116.487,00 93.189,00 8 136.243,00 129.430,00 116.487,00 99.013,00 79.210,00 Considerando que a taxa de mínima atratividade é de 10% ao ano, e que a política da empresa determina que a substituição de um ônibus usado sempre se dará por um novo, pede-se: a) construa o modelo de programação dinâmica; b) determine a política ótima de substituição e manutenção da frota; c) determine o custo anual médio de um ônibus, segundo a política ótima de manutenção e substituição da frota. Problema 1 Resposta (a) Vamos descrever 0 modelo de programagao dinaémica observando a ta- bela de possiveis transigdes que forma uma rede de resultados. Asso- ciamos os estados a nimeros para facilitar a representagao do modelo: Excelente (1), Bom (2), Regular (3), Ruim (4) e Péssimo (5). Na primeira transacao, nao é possivel cair diretamente para Ruim (4) ou Péssimo (5). Dependendo da opgao feita na segunda etapa, podemos completar um pouco mais a rede de quadros. NAVAVAVAVAY, » WY, WY WW WY As arestas em vermelho representam a intervengao no 6nibus para recupera-lo e deixé-lo em nivel excelente de uso. O divisor de Aguas 3 neste ponto é decidir se vamos deixar cair mais o nivel de qualidade do onibus. Excelente | Bom | Regular | Ruim | Péssimo_| Excelente | 40% | 40% | 20% | | | | Bom || | ome] om | & | Regular | es ee ee | Ruim | ee Péssima | 100% Figura 1: Tabela de transagoes entre estados Construimos uma tabela que descreve as transicoes entre os estados, segundo o material apresentado em sala de aula. Ano de avaliagao n = 1,2,3,4,5,6,7,8 Estado de conservacgao k=1,2,3,4,5 coo, tl ~ . . f(n=1,j FR Recorré s)= Jk) pt ungao Recorréncia f(n,s) pain r(s,k) + 1 410% As transigdes de acaéo sobre o 6nibus K; sao as possiveis acdes como manter o 6nibus no estado atual, reformar o 6nibus e vender o 6nibus. Considerar a venda do 6nibus torna a questao bem mais complexa, caso caia para regular a possibilidade de vender é inviabilizado porque a reforma para colocé-lo com excelente é bem mais caro. A rede a seguir mostra todas as transagdes da rede de estados: 4 (b) 1. Manter o veiculo no estado péssimo é inconcebivel quando se con- sideramos que 155 mil seria o maximo gasto se tivessemos feito a reforma sempre que ele caia a pelo menos estado de regular. Entao é melhor recuperar o veiculo nesse estado Regular para evitar gastos excedentes. O custo médio no final do periodo é E|X] = 50-0,4+ 100-0,4+4+175-0,2 = 95 O custo do ano rodando em estado Regular é 120 mil e no fim o custo para reformar seria 95 mil que totaliza uma eventual neces- sidade de 215 mil reais. 2. Caso o estado caia para Bom, em consequéncia ele pode cair até para o estado Ruim. O gasto em caso de reforma é 130 mil e caso ele nao reforme o custo médio para uma futura reforma sera de E|X] = 25-0,4+50-0,4+ 100-0, 2 = 50 Assim o custo médio de manter em estado Bom e reformar no final do periodo é de 160 mil, enquanto reformar o 6nibus tem caso certo de 135 mil. Nao faz sentido pagar mais na média e tentar economizar com a reforma. 3. Considerando ainda que nao reformemos o 6nibus que fique no estado bom, o custo médio sera de E|X] =0,4-0+0,4- 50.000 + 0,2 - 100.000 = 40.000 que ¢ em média mais barato que reformar o 6nibus de entrada. Entao custa menos esperar algo do que propriamente reformar. 5 4. Considerando ainda que nao reformemos o é6nibus que fique no estado regular, o custo médio sera de E|X] =0,4-0+0,4- 100.000 + 0, 2 - 175.000 = 75.000 que custa mais na média que reformar imediatamente que sairia por 50000. Logo a politica 6tima resumida fica da seguinte forma: (a) Se o 6nibus estiver em estado excelente, nao precisa reforma, ven- der. (b) Se o 6nibus estiver em estado bom, manda para a reforma. Pois o custo médio se nao reformar é maior. (c) Se o 6nibus estiver em estado regular, manda para a reforma. Pois o custo médio para manter ou mesmo para reformar no final do periodo é maior. Pelo principio de Bellman, podemos considerar que a replicagao desta politica nas etapas forma um metodologia 6tima. (c) Aplicando-se a politica adotada no item anterior, o caminho tracado pela empresa é apresentado a seguir, pois impusemos uma reforma sem- pre que o veiculo cair de nivel para bom (2) ou regular (3). A matriz transigéo aqui se mantém sempre em estado excelente, pois a queda implica reforma. Calculamos os valores anuais para custeio nessa politica no Excel: 6 Manutengao Operacgao Venda Total Ano 1: 105000,00 105000,00 Ano (2-3-4-5-6-7- 3 Excelente 0,00 Bom 25000,00 ieyea0] els 50000,00 Média 20000,00} 105000,00 125000,00 Ano 8: Excelente 136.243,00 Bom 129.430,00 Regular 116.487,00 Média 129566,60 Custo Esperado em 8 anos de operacao: Figura 2: Tabela de custos da manutengao e operacao do 6nibus Assim o fluxo de caixa é 125 mil em 7 anos e 105 mil no ano de estreia. O valor trazido a valor presente é V = 1054 125 4 125 4 125 4 125 4 125 4 125 4 125 7 1,1 61,12) «21,18 =1,14% 1,15 1,16 = 1,17 Assim o valor presente é de R$ 713.552,35. A segunda op¢ao que com- pararemos é 7 A matriz deste sistema é dada por 0,4 0,4 0,2 0 O 0 0,4 0,4 0,2 0 0 O 0,4 0,4 0,2 0 O OO 0,4 0,6 0 OO O ODO 1 Com a politica adotada, s6 existem dois estado videntes. O excelente e o bom. 0,6 0,4 0,6 0,4 Assim 60% do tempo o transporte esta excelente e 40% em estado bom. O custo é 0,6-105+0,4-110 0,2-50 0,6-1054+0,4-110 0,24-50+0,08- 75 C _— 105 ? ? ? ? ? ? ? t 1,1 t 1,1 t 1,1? t 1,1? t 40:6 -105+0,4- 110 | 0,24 -50 + 0,08 - 7 0,6 -105+0,4- 110 | 0,24 -50 + 0,08 - 1D 1,1 1,13 1,14 1,14 40:6 -105+0,4- 110 0, 24-50 + 0,08 . 7 0,6 -105+0,4- 110 0, 24-50 + 0,08 -75 1,15 1,15 1, 1° 1, 1° Esta opc¢ao de gestao gera um custo de R$642.134, 86. Dentre as duas opcoes, a melhor até o momento é a segunda. (a) Se o estado do 6nibus for excelente no ano atual mantém se nao tiver completado 7 anos de uso; (b) Se o estado do 6nibus for bom no ano atual mantém se nao tiver com- pletado 7 anos de uso; (c) Se o estado do 6nibus for regular no ano atual, reforma e deixa-o no estado excelente se nao tive completado 7 anos de uso; (d) Se o estado do 6nibus for ruim no ano atual, reforma e deixa-o no estado excelente se nao tive completado 7 anos de uso; (ce) Ao completar 7 anos o 6nibus sera vendido independente do estado em que este se encontra. 8