Apostila - Interpolação Pelo Método das Diferenças Divididas - 2024-1

Interpolação pelo Método das Diferenças Divididas de Newton Diferenças divididas Seja fx função tabelada em n1 pontos distintos x0 x1 xn Definise o operador de diferenças divididas por 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑥0 Dizemos que 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 é a diferença dividida de ordem k da função 𝑓𝑥 sobre k1 pontos Conhecidos os valores que 𝑓𝑥 assume nos pontos distintos x0 x1 xn podemos construir a tabela exemplo para um polinômio de grau 3 Xi Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 X0 𝑓𝑥0 X1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 X2 𝑓𝑥2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥2 X3 𝑓𝑥3 𝑓𝑥2 𝑥3 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 Podese provar que cada coeficiente 𝑎𝑛 do polinômio interpolador de Newton corresponde ao operador de grau n de diferenças divididas 𝑓𝑥0 𝑎0 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑎1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑎2 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑎𝑛 Polinômio Interpolador 𝑃𝑛𝑥 𝑎0 𝑎1𝑥 𝑥0 𝑎2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑎𝑛𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥𝑛1 Exemplo Dada a seguinte tabela de pontos x y Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 1 4 4 0 1 1 3 2 1 1 1 23 𝑃2𝑥 𝑎0 𝑎1𝑥 𝑥0 𝑎2𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑃2𝑥 4 3𝑥 1 2 3 𝑥 1𝑥 0 𝑃2𝑥 1 7 3 𝑥 2 3 𝑥2