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Engenharia Naval e Oceânica ·
Vibrações Mecânicas
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Vibração Forçada\n\nQuando o sistema é excitado por uma força extrema, a energia recebida transforma-se em movimento (ritmo). Existem diferentes tipos de forças, como\n\n- curta duração: impacto\n\n- longa duração\n\n - randômica (aleatória)\n - periódica - não harmônica\n\nHarmônica Vibração forçada não amortecida\n\nConsidere o sistema massa-mola a seguir,\n\n k\n |\n |\n m\n |\n x\n |\n | \n\nφ(t) = F·cos(ωt)\n\nD.O.L.\n\nΣFx = φ(t) - kx = mx\"\n\nm\"x + kx = F·cos(ωt)\n\nEquação de movimento Resposta Temporal\nA solução EDM é dividida no solução homogênea (característica do sistema) e na solução particular (excitação externa).\n\nSolução Homogênea\nmx'' + kx = 0\n(seu escrito)\nXh(t) = A1 sen(ωm t) + A2 cos(ωm t), ωm = √(k/m)\n\nSolução Particular\nAdotando uma solução do tipo:\nXp(t) = C. cos(ωt), derivando-a no tempo,\nXp'(t) = -C ω sen(ωt)\nXp''(t) = -C ω² cos(ωt)\n\nfrequência de\nexcitação Substituindo-os no EDM,\nmX'' + kXp = F cos(ωt)\nm(−C ω² cos(ωt)) + k(C cos(ωt)) = F cos(ωt)\n\nPara um instante ωt = 0,\n−mω²C + kC = F\nC = F / (k - mω²)\n\nPortanto,\nXp(t) = F / (k - mω²) cos(ωt)\n\nComo ωm = √(k/m) -> ω²m·m = k\n\nXp(t) = F / (ωm² - mω²) cos(ωt) = F/mω² cos(ωt) = F/m. cos(ωt)\nω² - ω²\n\nfrequência\nmaterial Solução Geral\nX(t) = Xh(t) + Xp(t) =\nX(t) = A1 sen(ωt) + A2 cos(ωt) + F/m. cos(ωt)\nω^2 - ω^2\n\nCondição inicial\nDado as condições iniciais como,\n{ X(0) = X0\n X'(0) = V0 }\n\nX'(t) = A1 ωm cos(ωt) - A2 ωm sen(ωt) - F/m.ω sen(ωt)\nω^2 - ω^2\n\nPara t = 0,\nX(0) = A1.0 + A2.1 + F/mω^2 - ω\n{ = X0 }\n\nX'(0) = A1.ωm.1 - A2.ωm.0 - 0 = V0\n\nA2 + F/mω^2 = X0 -> A2 = X0 - F/mω^2\nA1.ωm = V0 -> A1 = V0/wm\n Assim,\n\nx(t) = N0. sen(t) + [ x0 - F/m ] cos(ωt)\n ωn2 - ω2\n + F/m . cos(t)\n ωn2 - ω2\n\nRepresenta a soma de harmônicos com frequência diferentes\n\nQuestão no Mot162!\n\nxH(t) - resposta excitado pelo C.I.\nxP(t) - resposta excitado pela harmônica (longo)\n\nResposta geral é a soma dos respostas, se o\nsistema é linear.\n\n18 Fase da resposta forçada\n\nA resposta forçada (particular),\n\nxP(t) = F/m . cos(ωt) =\n\n= F/m . \n ωn2 - ω2\n 1 - ω2/ωn2\n = F/m .\n\nxP(t) = F/k\n 1 - r2;\n para r2 = ω2/ωn2 .\n\nRazão entre a freq. de excitação e freq. natural\n\n79 Caso 1 ; R < 1 (ω < ωm)\n\nSe r < 1, então s - r² > 0, ou seja, a amplitude do reposta é positiva se a força é positiva.\n\n|xp(t)| = F/k\n1 - r²\n\nSe quando a força f(t) é máxima, a resposta for máxima, então ambos os sincos estão em fase.
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Vibração Forçada\n\nQuando o sistema é excitado por uma força extrema, a energia recebida transforma-se em movimento (ritmo). Existem diferentes tipos de forças, como\n\n- curta duração: impacto\n\n- longa duração\n\n - randômica (aleatória)\n - periódica - não harmônica\n\nHarmônica Vibração forçada não amortecida\n\nConsidere o sistema massa-mola a seguir,\n\n k\n |\n |\n m\n |\n x\n |\n | \n\nφ(t) = F·cos(ωt)\n\nD.O.L.\n\nΣFx = φ(t) - kx = mx\"\n\nm\"x + kx = F·cos(ωt)\n\nEquação de movimento Resposta Temporal\nA solução EDM é dividida no solução homogênea (característica do sistema) e na solução particular (excitação externa).\n\nSolução Homogênea\nmx'' + kx = 0\n(seu escrito)\nXh(t) = A1 sen(ωm t) + A2 cos(ωm t), ωm = √(k/m)\n\nSolução Particular\nAdotando uma solução do tipo:\nXp(t) = C. cos(ωt), derivando-a no tempo,\nXp'(t) = -C ω sen(ωt)\nXp''(t) = -C ω² cos(ωt)\n\nfrequência de\nexcitação Substituindo-os no EDM,\nmX'' + kXp = F cos(ωt)\nm(−C ω² cos(ωt)) + k(C cos(ωt)) = F cos(ωt)\n\nPara um instante ωt = 0,\n−mω²C + kC = F\nC = F / (k - mω²)\n\nPortanto,\nXp(t) = F / (k - mω²) cos(ωt)\n\nComo ωm = √(k/m) -> ω²m·m = k\n\nXp(t) = F / (ωm² - mω²) cos(ωt) = F/mω² cos(ωt) = F/m. cos(ωt)\nω² - ω²\n\nfrequência\nmaterial Solução Geral\nX(t) = Xh(t) + Xp(t) =\nX(t) = A1 sen(ωt) + A2 cos(ωt) + F/m. cos(ωt)\nω^2 - ω^2\n\nCondição inicial\nDado as condições iniciais como,\n{ X(0) = X0\n X'(0) = V0 }\n\nX'(t) = A1 ωm cos(ωt) - A2 ωm sen(ωt) - F/m.ω sen(ωt)\nω^2 - ω^2\n\nPara t = 0,\nX(0) = A1.0 + A2.1 + F/mω^2 - ω\n{ = X0 }\n\nX'(0) = A1.ωm.1 - A2.ωm.0 - 0 = V0\n\nA2 + F/mω^2 = X0 -> A2 = X0 - F/mω^2\nA1.ωm = V0 -> A1 = V0/wm\n Assim,\n\nx(t) = N0. sen(t) + [ x0 - F/m ] cos(ωt)\n ωn2 - ω2\n + F/m . cos(t)\n ωn2 - ω2\n\nRepresenta a soma de harmônicos com frequência diferentes\n\nQuestão no Mot162!\n\nxH(t) - resposta excitado pelo C.I.\nxP(t) - resposta excitado pela harmônica (longo)\n\nResposta geral é a soma dos respostas, se o\nsistema é linear.\n\n18 Fase da resposta forçada\n\nA resposta forçada (particular),\n\nxP(t) = F/m . cos(ωt) =\n\n= F/m . \n ωn2 - ω2\n 1 - ω2/ωn2\n = F/m .\n\nxP(t) = F/k\n 1 - r2;\n para r2 = ω2/ωn2 .\n\nRazão entre a freq. de excitação e freq. natural\n\n79 Caso 1 ; R < 1 (ω < ωm)\n\nSe r < 1, então s - r² > 0, ou seja, a amplitude do reposta é positiva se a força é positiva.\n\n|xp(t)| = F/k\n1 - r²\n\nSe quando a força f(t) é máxima, a resposta for máxima, então ambos os sincos estão em fase.