·
Química ·
Cálculo 2
· 2022/2
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Questão 1 Questão 2 Questão 3 Considera a função fx y z 9x7y cosxyz2 Determine fx1 5 4 OBS 1 use como separador decimal 2 expresse a resposta com três casas decimais 3 ao calcular uma função trigonométrica utilize ângulos em radianos Resposta Considera a função fx y z 6x6y cosxyz4 Determine fy3 4 2 OBS 1 use como separador decimal 2 expresse a resposta com três casas decimais 3 ao calcular uma função trigonométrica utilize ângulos em radianos Resposta Considera a EDO y 4y 8y 3 cos2t com a condição inicial y0 1 y0 7 Determine y1 Obs use 3 casas decimais após a vírgula use como separador decimal se for necessário calcular alguma função trigonométrica utilize o ângulo em radianos Aplicandose a Transformada de Laplace na EDO dada I 𝑦 𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝐿 𝑦 𝑦 𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝑡 II 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Da tabela de Transformadas de Laplace temos que 𝐿 𝑓 𝑛𝑡 𝑠 𝑛𝐹𝑠 𝑠 𝑛1𝑓0 𝑠 𝑛2𝑓0 𝑓 𝑛10 𝐿 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡 𝑎 𝑠 2𝑎 2 Dessa maneira substituindose em II 𝑠 2𝐹𝑠 𝑠𝑦0 𝑦0 𝐹𝑠 2 𝑠 22 2 𝑠 2𝐹𝑠 2𝑠 1 𝐹𝑠 2 𝑠 22 2 𝐹𝑠 𝑠 2 1 2 𝑠 22 2 2𝑠 1 III 𝐹𝑠 2 𝑠 22 2𝑠 21 2𝑠 𝑠 21 1 𝑠 21 Para se calcular a transformada inversa é necessário separar o termo em 2 𝑠 22 2𝑠 21 frações parciais Segue que 2 𝑠 22 2𝑠 21 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 24 𝑎3𝑠𝑎4 𝑠 21 Multiplicandose os dois lados da equação por 𝑠 2 2 2𝑠 2 1 2 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 2 1 𝑎3𝑠 𝑎4𝑠 2 4 2 𝑎1𝑠 3 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 2 𝑎2 𝑎3𝑠 3 4𝑎3𝑠 𝑎4𝑠 2 4𝑎4 IV 2 𝑎1 𝑎3𝑠 3 𝑎1 4𝑎3𝑠 𝑎2 𝑎4𝑠 2 𝑎2 4𝑎4 A partir de IV temos o seguinte sistema de equações 𝑎1 𝑎3 0 𝑎1 4𝑎3 0 𝑎2 𝑎4 0 𝑎2 4𝑎4 2 Dessa maneira concluise que e Dessa maneira o termo pode ser substituído 𝑎1 0 𝑎2 2 3 𝑎3 0 𝑎4 2 3 2 𝑠 22 2𝑠 21 pelo termo 2 3 𝑠 24 2 3 𝑠 21 Voltando em III 𝐹𝑠 2 3 𝑠 24 2 3 𝑠 21 2𝑠 𝑠 21 1 𝑠 21 Manipulandose temos que 𝐹𝑠 1 3 2 𝑠 24 2 3 1 𝑠 21 2 𝑠 𝑠 21 1 𝑠 21 Aplicandose a Transformada de Laplace inversa 𝐿 1𝐹𝑠 1 3 𝐿 1 2 𝑠 24 2 3 𝐿 1 1 𝑠 21 2 𝐿 1 𝑠 𝑠 21 𝐿 1 1 𝑠 21 𝑦𝑡 1 3 𝑠𝑒𝑛2𝑡 2 3 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 IV 𝑦𝑡 1 3 𝑠𝑒𝑛2𝑡 5 3 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 Por fim calculandose o valor solicitado na questão 𝐹𝑠 𝑦𝑡 2 𝑠 22 2𝑠 21 2𝑠 𝑠 21 1 𝑠 21 1 3 𝑠𝑒𝑛2𝑡 5 3 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐹8 𝑦2 2 8 22 28 21 28 8 21 1 8 21 1 3 𝑠𝑒𝑛2 2 5 3 𝑠𝑒𝑛2 2 𝑐𝑜𝑠2 𝐹8 𝑦2 1 19746 𝐹8 𝑦2 1 197 Aplicandose a Transformada de Laplace na EDO dada I 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 0 𝐿 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 0 II 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 0 Da tabela de Transformadas de Laplace temos que 𝐿 𝑓 𝑛𝑡 𝑠 𝑛𝐹𝑠 𝑠 𝑛1𝑓0 𝑠 𝑛2𝑓0 𝑓 𝑛10 Dessa maneira substituindose em II 𝑠 3𝐹𝑠 𝑠 2𝑦0 𝑠𝑦0 𝑦0 𝑠 2𝐹𝑠 𝑠𝑦0 𝑦0 𝑠𝐹𝑠 𝑦0 𝐹𝑠 0 𝑠 3𝐹𝑠 5𝑠 2 4𝑠 8 𝑠 2𝐹𝑠 5𝑠 4 𝑠𝐹𝑠 5 𝐹𝑠 0 𝑠 3 𝑠 2 𝑠 1 𝐹𝑠 5𝑠 2 9𝑠 17 0 III 𝐹𝑠 5𝑠 29𝑠17 𝑠 3𝑠 2𝑠1 5𝑠 29𝑠17 𝑠 21𝑠1 Para se calcular a transformada inversa é necessário separar o termo em frações 5𝑠 29𝑠17 𝑠 21𝑠1 parciais Segue que 5𝑠 29𝑠17 𝑠 21𝑠1 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 21 𝑎3 𝑠1 Multiplicandose os dois lados da equação por 𝑠 2 1𝑠 1 5𝑠 2 9𝑠 17 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 1 𝑎3𝑠 2 1 5𝑠 2 9𝑠 17 𝑎1𝑠 2 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 𝑎2 𝑎3𝑠 2 𝑎3 IV 5𝑠 2 9𝑠 17 𝑎1 𝑎3𝑠 2 𝑎1 𝑎2𝑠 𝑎2 𝑎3 A partir de IV temos o seguinte sistema de equações 𝑎1 𝑎3 5 𝑎1 𝑎2 9 𝑎2 𝑎3 17 Resolvendose o sistema de equações acima temos que e Dessa maneira 𝑎1 3 2 𝑎2 21 2 𝑎3 13 2 𝐹𝑠 3 2 𝑠 21 2 𝑠 21 13 2 𝑠1 𝐹𝑠 3 2 𝑠 𝑠 21 21 2 1 𝑠 21 13 2 1 𝑠1 Aplicandose a Transformada de Laplace inversa 𝐿 1𝐹𝑠 3 2 𝐿 1 𝑠 𝑠 21 21 2 𝐿 1 1 𝑠 21 13 2 𝐿 1 1 𝑠1 V 𝑦𝑡 3 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 21 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 13 2 𝑒 𝑡 Por fim calculandose o valor solicitado na questão 𝐹𝑠 𝑦𝑡 5𝑠 29𝑠17 𝑠 3𝑠 2𝑠1 3 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 21 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 13 2 𝑒 𝑡 𝐹7 𝑦7 57 29717 7 37 271 3 2 𝑐𝑜𝑠7 21 2 𝑠𝑒𝑛7 13 2 𝑒 7 𝐹7 𝑦7 6 58593 𝐹7 𝑦7 6 586 Aplicandose a Transformada de Laplace na EDO dada I 𝑦 𝑦 0 𝐿 1𝑦 𝑦 0 II 𝐿 1𝑦 𝐿 1𝑦 0 𝑠 4𝐹𝑠 𝑠 3𝑦0 𝑠 2𝑦0 𝑠𝑦0 𝑦0 𝐹𝑠 0 𝑠 4 1𝐹𝑠 𝑠 2 0 III 𝐹𝑠 𝑠 2 𝑠 41 𝑠 2 𝑠 21𝑠 21 Para se calcular a transformada inversa é necessário separar o termo em 𝑠 2 𝑠 21𝑠 21 frações parciais Segue que 𝑠 2 𝑠 21𝑠 21 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 21 𝑎3𝑠𝑎4 𝑠 21 Multiplicandose os dois lados da equação por 𝑠 2 1𝑠 2 1 𝑠 2 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 2 1 𝑎3𝑠 𝑎4𝑠 2 1 𝑠 2 𝑎1𝑠 3 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 2 𝑎2 𝑎3𝑠 3 𝑎3𝑠 𝑎4𝑠 2 𝑎4 IV 𝑠 2 𝑎1 𝑎3 𝑠 3 𝑎3 𝑎1 𝑠 𝑎2 𝑎4𝑠 2 𝑎2 𝑎4 A partir de IV temos o seguinte sistema de equações 𝑎1 𝑎3 0 𝑎1 𝑎3 0 𝑎2 𝑎4 1 𝑎2 𝑎4 0 Resolvendose o sistema de equações acima temos que e Dessa maneira 𝑎1 0 𝑎2 1 2 𝑎3 0 𝑎4 1 2 𝐹𝑠 1 2 𝑠 21 1 2 𝑠 21 Aplicandose a Transformada de Laplace inversa 𝐿 1𝐹𝑠 𝐿 1 1 2 𝑠 21 𝐿 1 1 2 𝑠 21 𝑓𝑡 1 2 𝐿 1 1 𝑠 21 1 2 𝐿 1 1 𝑠 21 V 𝑓𝑡 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 1 2 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 Por fim calculandose o valor solicitado na questão 𝐹𝑠 𝑦𝑡 𝑠 2 𝑠 41 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 1 2 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝐹8 𝑦2 8 2 8 41 1 2 𝑠𝑒𝑛2 1 2 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝐹8 𝑦2 3 28395 𝐹8 𝑦2 3 284 Consideramse as variáveis y e z como constantes durante a derivação de f em relação a x Dessa maneira 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 9𝑥 7𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑥 δ9𝑥 7𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 δ𝑥 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑥 δ9𝑥 7𝑦 δ𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 9𝑥 7𝑦 δ𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 δ𝑥 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑥 63𝑥 6𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 9𝑥 7𝑦 𝑦𝑧 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑧 2 δ𝑓154 δ𝑥 63 1 6 5 𝑐𝑜𝑠1 5 4 2 9 1 7 5 5 4 2 𝑠𝑒𝑛1 5 4 2 δ𝑓154 δ𝑥 63 1 5 𝑐𝑜𝑠80 9 1 5 5 16 𝑠𝑒𝑛80 δ𝑓154 δ𝑥 315 𝑐𝑜𝑠80 3600 𝑠𝑒𝑛80 δ𝑓154 δ𝑥 3543 2272 δ𝑓154 δ𝑥 3543 227 Consideramse as variáveis x e z como constantes durante a derivação de f em relação a y Dessa maneira 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 6𝑥 6𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑦 δ6𝑥 6𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 δ𝑦 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑦 δ6𝑥 6𝑦 δ𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 6𝑥 6𝑦 δ𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 δ𝑦 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑦 6𝑥 6 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 6𝑥 7𝑦𝑧 4𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑧 4 δ𝑓342 δ𝑦 6 3 6 𝑐𝑜𝑠3 4 2 4 6 3 7 4 2 4𝑠𝑒𝑛3 4 2 4 δ𝑓342 δ𝑦 6 729 𝑐𝑜𝑠192 839808 𝑠𝑒𝑛192 δ𝑓342 δ𝑦 293990 8647 δ𝑓342 δ𝑦 293990 8645 Aplicandose a Transformada de Laplace na EDO dada I 𝑦 4𝑦 8𝑦 3𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝐿 1𝑦 4𝑦 8𝑦 3𝐿 1𝑐𝑜𝑠2𝑡 II 𝐿 1𝑦 4𝐿 1𝑦 8𝐿 1𝑦 3𝐿 1𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠 2𝐹𝑠 𝑠𝑦0 𝑦0 4𝑠𝐹𝑠 𝑦0 8𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 22 2 𝑠 2𝐹𝑠 𝑠 7 4𝑠𝐹𝑠 1 8𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 22 2 𝑠 2 4𝑠 8𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 22 2 𝑠 3 𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠 24𝑠8 3 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠2 22 2 III 𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠2 22 2 Para se calcular a transformada inversa é necessário separar o termo em 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 frações parciais Segue que 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 24 𝑎3𝑠𝑎4 𝑠 24𝑠8 Multiplicandose os dois lados da equação por 𝑠 2 4𝑠 2 4𝑠 8 𝑠 𝑎1𝑠 𝑎2 𝑠 2 4𝑠 8 𝑎3𝑠 𝑎4 𝑠 2 4 IV 𝑠 𝑠 3𝑎1 𝑎3 𝑠 2 4𝑎1 𝑎4 𝑎2 𝑠8𝑎1 4𝑎2 4𝑎3 8𝑎2 4𝑎4 A partir de IV temos o seguinte sistema de equações 𝑎1 𝑎3 0 4𝑎1 𝑎4 𝑎2 0 8𝑎1 4𝑎2 4𝑎3 1 8𝑎2 4𝑎4 0 Resolvendose o sistema de equações acima temos que e Dessa maneira 𝑎1 1 20 𝑎2 1 5 𝑎3 1 20 𝑎4 2 5 𝐹𝑠 3 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 24 𝑎3𝑠𝑎4 𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠2 22 2 𝐹𝑠 3 1 20 𝑠 1 5 𝑠 24 1 20 𝑠 2 5 𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠2 22 2 Aplicandose a Transformada de Laplace inversa 𝐿 1𝐹𝑠 3 𝐿 1 1 20 𝑠 𝑠 24 3𝐿 1 1 5 𝑠 24 3 20 𝐿 1 𝑠 𝑠 24𝑠8 6 5 𝐿 1 1 𝑠 24𝑠8 𝐿 1 𝑠3 𝑠2 22 2 𝐿 1𝐹𝑠 3 𝐿 1 1 20 𝑠 𝑠 24 3𝐿 1 1 5 𝑠 24 3 20 𝐿 1 𝑠2 𝑠2 22 2 3 20 𝐿 1 2 𝑠2 22 2 6 10 𝐿 1 2 𝑠2 22 2 𝐿 1 𝑠2 𝑠2 22 2 𝐿 1 5 𝑠2 22 2 𝑦𝑡 3 20 𝑐𝑜𝑠2𝑡 3 10 𝑠𝑒𝑛2𝑡 3 20 𝑒 2𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡 3 20 𝑒 2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 6 10 𝑒 2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑒 2𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡 5 2 𝑒 2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑦𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 3 20 3 20 𝑒 2𝑡 𝑒 2𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 3 10 3 20 𝑒 2𝑡 6 10 𝑒 2𝑡 5 2 𝑒 2𝑡 𝑦𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 3 20 17 20 𝑒 2𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 3 10 59 20 𝑒 2𝑡 Dessa maneira temos que 𝑦1 𝑐𝑜𝑠2 3 20 17 20 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 3 10 59 20 𝑒 2 𝑦1 16 8717 𝑦1 16 872
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Questão 1 Questão 2 Questão 3 Considera a função fx y z 9x7y cosxyz2 Determine fx1 5 4 OBS 1 use como separador decimal 2 expresse a resposta com três casas decimais 3 ao calcular uma função trigonométrica utilize ângulos em radianos Resposta Considera a função fx y z 6x6y cosxyz4 Determine fy3 4 2 OBS 1 use como separador decimal 2 expresse a resposta com três casas decimais 3 ao calcular uma função trigonométrica utilize ângulos em radianos Resposta Considera a EDO y 4y 8y 3 cos2t com a condição inicial y0 1 y0 7 Determine y1 Obs use 3 casas decimais após a vírgula use como separador decimal se for necessário calcular alguma função trigonométrica utilize o ângulo em radianos Aplicandose a Transformada de Laplace na EDO dada I 𝑦 𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝐿 𝑦 𝑦 𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝑡 II 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Da tabela de Transformadas de Laplace temos que 𝐿 𝑓 𝑛𝑡 𝑠 𝑛𝐹𝑠 𝑠 𝑛1𝑓0 𝑠 𝑛2𝑓0 𝑓 𝑛10 𝐿 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡 𝑎 𝑠 2𝑎 2 Dessa maneira substituindose em II 𝑠 2𝐹𝑠 𝑠𝑦0 𝑦0 𝐹𝑠 2 𝑠 22 2 𝑠 2𝐹𝑠 2𝑠 1 𝐹𝑠 2 𝑠 22 2 𝐹𝑠 𝑠 2 1 2 𝑠 22 2 2𝑠 1 III 𝐹𝑠 2 𝑠 22 2𝑠 21 2𝑠 𝑠 21 1 𝑠 21 Para se calcular a transformada inversa é necessário separar o termo em 2 𝑠 22 2𝑠 21 frações parciais Segue que 2 𝑠 22 2𝑠 21 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 24 𝑎3𝑠𝑎4 𝑠 21 Multiplicandose os dois lados da equação por 𝑠 2 2 2𝑠 2 1 2 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 2 1 𝑎3𝑠 𝑎4𝑠 2 4 2 𝑎1𝑠 3 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 2 𝑎2 𝑎3𝑠 3 4𝑎3𝑠 𝑎4𝑠 2 4𝑎4 IV 2 𝑎1 𝑎3𝑠 3 𝑎1 4𝑎3𝑠 𝑎2 𝑎4𝑠 2 𝑎2 4𝑎4 A partir de IV temos o seguinte sistema de equações 𝑎1 𝑎3 0 𝑎1 4𝑎3 0 𝑎2 𝑎4 0 𝑎2 4𝑎4 2 Dessa maneira concluise que e Dessa maneira o termo pode ser substituído 𝑎1 0 𝑎2 2 3 𝑎3 0 𝑎4 2 3 2 𝑠 22 2𝑠 21 pelo termo 2 3 𝑠 24 2 3 𝑠 21 Voltando em III 𝐹𝑠 2 3 𝑠 24 2 3 𝑠 21 2𝑠 𝑠 21 1 𝑠 21 Manipulandose temos que 𝐹𝑠 1 3 2 𝑠 24 2 3 1 𝑠 21 2 𝑠 𝑠 21 1 𝑠 21 Aplicandose a Transformada de Laplace inversa 𝐿 1𝐹𝑠 1 3 𝐿 1 2 𝑠 24 2 3 𝐿 1 1 𝑠 21 2 𝐿 1 𝑠 𝑠 21 𝐿 1 1 𝑠 21 𝑦𝑡 1 3 𝑠𝑒𝑛2𝑡 2 3 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 IV 𝑦𝑡 1 3 𝑠𝑒𝑛2𝑡 5 3 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 Por fim calculandose o valor solicitado na questão 𝐹𝑠 𝑦𝑡 2 𝑠 22 2𝑠 21 2𝑠 𝑠 21 1 𝑠 21 1 3 𝑠𝑒𝑛2𝑡 5 3 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐹8 𝑦2 2 8 22 28 21 28 8 21 1 8 21 1 3 𝑠𝑒𝑛2 2 5 3 𝑠𝑒𝑛2 2 𝑐𝑜𝑠2 𝐹8 𝑦2 1 19746 𝐹8 𝑦2 1 197 Aplicandose a Transformada de Laplace na EDO dada I 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 0 𝐿 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 0 II 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 𝐿 𝑦 0 Da tabela de Transformadas de Laplace temos que 𝐿 𝑓 𝑛𝑡 𝑠 𝑛𝐹𝑠 𝑠 𝑛1𝑓0 𝑠 𝑛2𝑓0 𝑓 𝑛10 Dessa maneira substituindose em II 𝑠 3𝐹𝑠 𝑠 2𝑦0 𝑠𝑦0 𝑦0 𝑠 2𝐹𝑠 𝑠𝑦0 𝑦0 𝑠𝐹𝑠 𝑦0 𝐹𝑠 0 𝑠 3𝐹𝑠 5𝑠 2 4𝑠 8 𝑠 2𝐹𝑠 5𝑠 4 𝑠𝐹𝑠 5 𝐹𝑠 0 𝑠 3 𝑠 2 𝑠 1 𝐹𝑠 5𝑠 2 9𝑠 17 0 III 𝐹𝑠 5𝑠 29𝑠17 𝑠 3𝑠 2𝑠1 5𝑠 29𝑠17 𝑠 21𝑠1 Para se calcular a transformada inversa é necessário separar o termo em frações 5𝑠 29𝑠17 𝑠 21𝑠1 parciais Segue que 5𝑠 29𝑠17 𝑠 21𝑠1 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 21 𝑎3 𝑠1 Multiplicandose os dois lados da equação por 𝑠 2 1𝑠 1 5𝑠 2 9𝑠 17 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 1 𝑎3𝑠 2 1 5𝑠 2 9𝑠 17 𝑎1𝑠 2 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 𝑎2 𝑎3𝑠 2 𝑎3 IV 5𝑠 2 9𝑠 17 𝑎1 𝑎3𝑠 2 𝑎1 𝑎2𝑠 𝑎2 𝑎3 A partir de IV temos o seguinte sistema de equações 𝑎1 𝑎3 5 𝑎1 𝑎2 9 𝑎2 𝑎3 17 Resolvendose o sistema de equações acima temos que e Dessa maneira 𝑎1 3 2 𝑎2 21 2 𝑎3 13 2 𝐹𝑠 3 2 𝑠 21 2 𝑠 21 13 2 𝑠1 𝐹𝑠 3 2 𝑠 𝑠 21 21 2 1 𝑠 21 13 2 1 𝑠1 Aplicandose a Transformada de Laplace inversa 𝐿 1𝐹𝑠 3 2 𝐿 1 𝑠 𝑠 21 21 2 𝐿 1 1 𝑠 21 13 2 𝐿 1 1 𝑠1 V 𝑦𝑡 3 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 21 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 13 2 𝑒 𝑡 Por fim calculandose o valor solicitado na questão 𝐹𝑠 𝑦𝑡 5𝑠 29𝑠17 𝑠 3𝑠 2𝑠1 3 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 21 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 13 2 𝑒 𝑡 𝐹7 𝑦7 57 29717 7 37 271 3 2 𝑐𝑜𝑠7 21 2 𝑠𝑒𝑛7 13 2 𝑒 7 𝐹7 𝑦7 6 58593 𝐹7 𝑦7 6 586 Aplicandose a Transformada de Laplace na EDO dada I 𝑦 𝑦 0 𝐿 1𝑦 𝑦 0 II 𝐿 1𝑦 𝐿 1𝑦 0 𝑠 4𝐹𝑠 𝑠 3𝑦0 𝑠 2𝑦0 𝑠𝑦0 𝑦0 𝐹𝑠 0 𝑠 4 1𝐹𝑠 𝑠 2 0 III 𝐹𝑠 𝑠 2 𝑠 41 𝑠 2 𝑠 21𝑠 21 Para se calcular a transformada inversa é necessário separar o termo em 𝑠 2 𝑠 21𝑠 21 frações parciais Segue que 𝑠 2 𝑠 21𝑠 21 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 21 𝑎3𝑠𝑎4 𝑠 21 Multiplicandose os dois lados da equação por 𝑠 2 1𝑠 2 1 𝑠 2 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 2 1 𝑎3𝑠 𝑎4𝑠 2 1 𝑠 2 𝑎1𝑠 3 𝑎1𝑠 𝑎2𝑠 2 𝑎2 𝑎3𝑠 3 𝑎3𝑠 𝑎4𝑠 2 𝑎4 IV 𝑠 2 𝑎1 𝑎3 𝑠 3 𝑎3 𝑎1 𝑠 𝑎2 𝑎4𝑠 2 𝑎2 𝑎4 A partir de IV temos o seguinte sistema de equações 𝑎1 𝑎3 0 𝑎1 𝑎3 0 𝑎2 𝑎4 1 𝑎2 𝑎4 0 Resolvendose o sistema de equações acima temos que e Dessa maneira 𝑎1 0 𝑎2 1 2 𝑎3 0 𝑎4 1 2 𝐹𝑠 1 2 𝑠 21 1 2 𝑠 21 Aplicandose a Transformada de Laplace inversa 𝐿 1𝐹𝑠 𝐿 1 1 2 𝑠 21 𝐿 1 1 2 𝑠 21 𝑓𝑡 1 2 𝐿 1 1 𝑠 21 1 2 𝐿 1 1 𝑠 21 V 𝑓𝑡 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 1 2 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 Por fim calculandose o valor solicitado na questão 𝐹𝑠 𝑦𝑡 𝑠 2 𝑠 41 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 1 2 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝐹8 𝑦2 8 2 8 41 1 2 𝑠𝑒𝑛2 1 2 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝐹8 𝑦2 3 28395 𝐹8 𝑦2 3 284 Consideramse as variáveis y e z como constantes durante a derivação de f em relação a x Dessa maneira 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 9𝑥 7𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑥 δ9𝑥 7𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 δ𝑥 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑥 δ9𝑥 7𝑦 δ𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 9𝑥 7𝑦 δ𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 δ𝑥 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑥 63𝑥 6𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 2 9𝑥 7𝑦 𝑦𝑧 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑧 2 δ𝑓154 δ𝑥 63 1 6 5 𝑐𝑜𝑠1 5 4 2 9 1 7 5 5 4 2 𝑠𝑒𝑛1 5 4 2 δ𝑓154 δ𝑥 63 1 5 𝑐𝑜𝑠80 9 1 5 5 16 𝑠𝑒𝑛80 δ𝑓154 δ𝑥 315 𝑐𝑜𝑠80 3600 𝑠𝑒𝑛80 δ𝑓154 δ𝑥 3543 2272 δ𝑓154 δ𝑥 3543 227 Consideramse as variáveis x e z como constantes durante a derivação de f em relação a y Dessa maneira 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 6𝑥 6𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑦 δ6𝑥 6𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 δ𝑦 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑦 δ6𝑥 6𝑦 δ𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 6𝑥 6𝑦 δ𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 δ𝑦 δ𝑓𝑥𝑦𝑧 δ𝑦 6𝑥 6 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦𝑧 4 6𝑥 7𝑦𝑧 4𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑧 4 δ𝑓342 δ𝑦 6 3 6 𝑐𝑜𝑠3 4 2 4 6 3 7 4 2 4𝑠𝑒𝑛3 4 2 4 δ𝑓342 δ𝑦 6 729 𝑐𝑜𝑠192 839808 𝑠𝑒𝑛192 δ𝑓342 δ𝑦 293990 8647 δ𝑓342 δ𝑦 293990 8645 Aplicandose a Transformada de Laplace na EDO dada I 𝑦 4𝑦 8𝑦 3𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝐿 1𝑦 4𝑦 8𝑦 3𝐿 1𝑐𝑜𝑠2𝑡 II 𝐿 1𝑦 4𝐿 1𝑦 8𝐿 1𝑦 3𝐿 1𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠 2𝐹𝑠 𝑠𝑦0 𝑦0 4𝑠𝐹𝑠 𝑦0 8𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 22 2 𝑠 2𝐹𝑠 𝑠 7 4𝑠𝐹𝑠 1 8𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 22 2 𝑠 2 4𝑠 8𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 22 2 𝑠 3 𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠 24𝑠8 3 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠2 22 2 III 𝐹𝑠 3 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠2 22 2 Para se calcular a transformada inversa é necessário separar o termo em 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 frações parciais Segue que 𝑠 𝑠 24𝑠 24𝑠8 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 24 𝑎3𝑠𝑎4 𝑠 24𝑠8 Multiplicandose os dois lados da equação por 𝑠 2 4𝑠 2 4𝑠 8 𝑠 𝑎1𝑠 𝑎2 𝑠 2 4𝑠 8 𝑎3𝑠 𝑎4 𝑠 2 4 IV 𝑠 𝑠 3𝑎1 𝑎3 𝑠 2 4𝑎1 𝑎4 𝑎2 𝑠8𝑎1 4𝑎2 4𝑎3 8𝑎2 4𝑎4 A partir de IV temos o seguinte sistema de equações 𝑎1 𝑎3 0 4𝑎1 𝑎4 𝑎2 0 8𝑎1 4𝑎2 4𝑎3 1 8𝑎2 4𝑎4 0 Resolvendose o sistema de equações acima temos que e Dessa maneira 𝑎1 1 20 𝑎2 1 5 𝑎3 1 20 𝑎4 2 5 𝐹𝑠 3 𝑎1𝑠𝑎2 𝑠 24 𝑎3𝑠𝑎4 𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠2 22 2 𝐹𝑠 3 1 20 𝑠 1 5 𝑠 24 1 20 𝑠 2 5 𝑠 24𝑠8 𝑠3 𝑠2 22 2 Aplicandose a Transformada de Laplace inversa 𝐿 1𝐹𝑠 3 𝐿 1 1 20 𝑠 𝑠 24 3𝐿 1 1 5 𝑠 24 3 20 𝐿 1 𝑠 𝑠 24𝑠8 6 5 𝐿 1 1 𝑠 24𝑠8 𝐿 1 𝑠3 𝑠2 22 2 𝐿 1𝐹𝑠 3 𝐿 1 1 20 𝑠 𝑠 24 3𝐿 1 1 5 𝑠 24 3 20 𝐿 1 𝑠2 𝑠2 22 2 3 20 𝐿 1 2 𝑠2 22 2 6 10 𝐿 1 2 𝑠2 22 2 𝐿 1 𝑠2 𝑠2 22 2 𝐿 1 5 𝑠2 22 2 𝑦𝑡 3 20 𝑐𝑜𝑠2𝑡 3 10 𝑠𝑒𝑛2𝑡 3 20 𝑒 2𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡 3 20 𝑒 2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 6 10 𝑒 2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑒 2𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡 5 2 𝑒 2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑦𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 3 20 3 20 𝑒 2𝑡 𝑒 2𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 3 10 3 20 𝑒 2𝑡 6 10 𝑒 2𝑡 5 2 𝑒 2𝑡 𝑦𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 3 20 17 20 𝑒 2𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 3 10 59 20 𝑒 2𝑡 Dessa maneira temos que 𝑦1 𝑐𝑜𝑠2 3 20 17 20 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 3 10 59 20 𝑒 2 𝑦1 16 8717 𝑦1 16 872