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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CAMPUS DE SANTA MARIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Rui Ricardo Keller CAMADA LIMITE TÉRMICA Santa Maria R S 2020 Rui Ricardo Keller CAMADA LIMITE TÉRMICA Trabalho de Mecânica dos Fluidos II apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Maria UFSM RS Campus Santa Maria como forma de avalição do aluno Orientador Prof Dr Cesar Addis Valverde Salvador Santa Maria RS 2020 resumo CAMADA LIMITE TÉRMICA AUTOR Rui Ricardo Keller ORIENTADOR Cesar Addis Valverde Salvador Um limite térmico também pode ser definido como a distância da superfície até o ponto onde a temperatura está dentro de 1 da temperatura do fluido de fluxo livre Fora da camada limite térmica o fluido é considerado um dissipador de calor a uma temperatura uniforme A camada limite térmica geralmente não é coincidente com a camada limite de velocidade embora seja certamente dependente dela Ou seja a velocidade a espessura da camada limite a variação da velocidade se o fluxo é laminar ou turbulento etc são todos os fatores que determinam a variação de temperatura na camada limite térmica A camada limite térmica e a camada limite de velocidade estão relacionadas pelo número de Prandtl O número de Prandtl é um número adimensional em homenagem ao físico alemão Ludwig Prandtl definido como a razão entre a difusividade do momento e a difusividade térmica Palavraschave limite fluxo temperatura abstract THERMAL BOUNDARY LAYER AUTHOR Rui Ricardo Keller ADVISOR Cesar Addis Valverde Salvador A thermal limit can also be defined as the distance from the surface to the point where the temperature is within 1 of the temperature of the free flowing fluid Outside the thermal boundary layer the fluid is considered a heat sink at a uniform temperature The thermal boundary layer generally does not coincide with the speed boundary layer although it is certainly dependent on it That is the speed the thickness of the boundary layer the speed variation whether the flow is laminar or turbulent etc are all factors that determine the temperature variation in the thermal boundary layer The thermal limit layer and the speed limit layer are related by the number of Prandtl The Prandtl number is a dimensionless number named after the German physicist Ludwig Prandtl defined as the ratio between the diffusivity of the moment and the thermal diffusivity Keywords limit flow t emperature liSTA DE FIGURAS Figura 1 Camada limite térmica em uma placa plana aquecida10 Figura 2 Cálculos mostrando comparação com os resultados de Aziz para Pr 072 13 Figura 3 Cálculo mostrando f0 θ0 e θ0 para diferentes valores de parâmetro 14 LISTA DE SÍMBOLOS α Coeficiente de transferência de calor β Coeficiente de expansão térmica 𝐾 1 λ C ondutividade térmica JmsK µ Viscosidade kgms Φ Ângulo ϱ Densidade kgm ³ ϑ Excesso de temperatura adimensional cₚ Capacidade térmica a pressão constante 𝐽 𝑘𝑔 1 𝐾 1 υ C omponente de velocidade na direção y ms u C omponente de velocidade na direção x ms Ec Número de Eckert Fr Número de Froude K ᵨ Número de expansão térmica S UMÁRIO INTRODUÇÃO 8 CAMAD A LIMITE TÉRMICA 9 21 Camadas de Limite Térmico Sem Ligação do Campo de Velocidade ao Campo de T emperatura 9 CAMADAS DE LIMITE TÉRMICO COM LIGAÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADE AO CAMPO DE TEMPERATURA 11 ANALISE DE ARTIGO 13 CONCLUSÃO 15 introdução Uma camada limite é uma camada fina de fluido viscoso perto da superfície sólida de uma parede em contato com uma corrente em movimento na qual a velocidade do fluxo varia de zero na parede onde o fluxo gruda na parede por causa de sua viscosidade até a velocidade do fluxo livre no limite estritamente falando a espessura da camada limite é um valor arbitrário porque a força de atrito dependendo da interação molecular entre o fluido e o corpo sólido diminui com a distância da parede e tornase igual a zero no infinito O conceito fundamental de camada limite foi sugerido por Ludwig Prandtl ele define a camada limite como uma camada de fluido que se desenvolve em escoamentos com número de Reynolds muito alto ou seja com viscosidade relativamente baixa em comparação com as forças de inércia Isso é observado quando os corpos são expostos a um fluxo de fluido de alta velocidade ou quando os corpos são muito grandes e a velocidade do fluxo de fluido é moderada A Camada Limite Térmica é uma região de fluxo de fluido próxima a uma superfície sólida onde as temperaturas do fluido são diretamente influenciadas pelo aquecimento ou resfriamento da parede da superfície CAMADA LIMITE TÉRMICA Consider ando um fluxo de fluido a uma temperatura uniforme de T sobre uma placa pl ana isotérmica na temperatura Ts As partículas de fluido na camada adjacente à superfície atingirão o equilíbrio térmico com a placa e assumirão a temperatura da superfície Ts Essas partículas de fluido então trocarão energia com as partículas da camada de fluido adjacente e assim por diante Como resultado um perfil de temperatura se desenvolverá no campo d e fluxo que varia de Tsat a superfície para T suficientemente longe da superfície A região de fluxo sobre a superfície na qual a variação de temperatura na direção normal à superfície é significativa é a camada limite térmica Figura 1 Camada limite térmica em uma placa plana Fonte O autor Camadas de Limite Térmico Sem Ligação do Campo de Velocidade ao Campo de T emperatura O calor é transferido para o campo de fluxo através das paredes circundantes de modo que um campo de temperatura se forma junto com o campo de velocidade O campo de temperatura também tem um caráter de camada limite em números de Reynolds altos ou seja o campo de temperatura também pode ser dividido em duas regiões na região próxima à parede onde a condutividade térmica λ desempenha um papel e uma região onde λ pode ser desprezado Se um campo de velocidade e um campo de temperatura existem geralmente há também uma ligação mútua entre esses dois campos Os fluxos específicos com transferência de calor para os quais o campo de velocidade não é ligado ao campo de temperatura Este é o caso se as propriedades físicas ϱ e μ forem constantes podendo assim ser considerados independentes da temperatura e da pressão Podemos justificar essa suposição desde que as diferenças de temperatura e pressão dentro da camada limite sejam pequenas Para descrever o campo de temperatura a equação da energia térmica deve ser levada em consideração Se a condutividade térmica λ e a capacidade de calor específica isobárica cp também podem ser assumidas como constantes a equação de energia em coordenadas cartesianas para um fluxo bidimensional constante é ϱ cₚ u T x υ T y λ 2 T x ² ² T y ² Φ 1 e a função de dissipação é Φ µ 2 u x 2 υ x 2 υ x u x 2 2 A e qua ção 1 mostra que uma mudança co nvectiva na temperatura na energia interna é possível por meio de condução e dissipação Uma vez que os componentes da velocidade u x y e vx y aparecem na equação 1 o cálculo do campo de temperatura requer o campo de velocidade Podemos tomar o campo de velocidade como sendo um fluxo em alto número de Reynolds assim o fluxo terá caráter de camada limite Tendo como referência l V e T introduzindo quantidades adimensionais x y u v e ϑ ϑ é definido como a temperatura adimensional excedendo a temperatura T do fluxo externo unindo a equação da energia 1 com 2 e t omando o limite para grandes números de Reynolds Re obtemos a equação para a camada limite térmica na forma adimensional u ϑ x υ ϑ y 1 Pr ² ϑ y ² Ec u y 2 3 Com isso t emos os seguintes dois números adimensionais Número de Prandtl Pr µ cₚ λ 4 Número de Eckert Ec V 2 cₚ T 5 Assumindo que esses dois números característicos permanecem finitos ao tomar um grande numero limite de Reynolds O número de Prandtl é uma propriedade física pura O número de Eckert é uma medida dos efeitos de dissipação no fluxo Com isso ele cresce em ao quadrado da velocidade e pode ser desprezado para velocidades pequenas Por conta da dissipação um campo de temperatura emerge mesmo se não houver transferência de calor como o caso das chamadas paredes adiabáticas A equação 1 é uma equação diferencial linear e sua solução geral pode ser escrita como uma superposição da solução sem dissipação u ϑ ₁ x υ ϑ ₁ y 1 Pr 2 ϑ ₁ y 2 6 E a solução que é devida à dissipação u ϑ ₂ x υ ϑ ₂ y 1 Pr 2 ϑ ₂ y 2 u y 2 7 Analisando as duas equações separadamente temos que em primeiro lugar a camada limite térmica sem dissipação será tratada ou seja teremos as soluções ϑ1 x y Pr Isso é permitido porque ou a velocidade é pequena o suficiente para que a dissipa çã o possa ser desprezada Ec 0 ou a solu çã o parcial devido à dissipa çã o pode sempre ser adicionada posteriormente cf Para completar temos a equação 3 para a camada limite térmica na forma dimensional ϱ cₚ u T x u T y λ 2 T y ² µ u y 2 8 CAMADAS DE LIMITE TÉRMICO COM LIGAÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADE AO CAMPO DE TEMPERATURA Camada limite térmica com o efeito das propriedades físicas variáveis Essas propriedades são a densidade a viscosidade μ a capacidade de calor específica isobárica cp e a condutividade térmica λ As propriedades normalmente dependem da temperatura e da pressão Uma consequência da dependência da densidade e da viscosidade com a temperatura é que existe uma ligação do campo de velocidade ao campo de temperatura Também tem a dependência da densidade com a temperatura o que significa que as forças de flutuabilidade no campo de gravidade aparecem na equação de momento As forças de flutuabilidade podem produzir fluxos chamados de convecção natural Em muitos casos práticos fluxos de líquidos fluxos de pressão constante podemos considerar só a dependência das propriedades físicas da temperatura Considerando apenas fluxos de calor moderados na parede ou só diferenças moderadas de temperatura podese descrever a dependência das propriedades físicas com a temperatura para uma boa aproximação por funções lineares da temperatura O cálculo das camadas limite é simplificado e leva a afirmações gerais sobre o efeito das propriedades físicas dependentes da temperatura Para derivar as equações da camada limite começamos com a forma adimensional das equações de movimento Para grandes valores do número de Reynolds ReRVl μR o domínio da solução pode ser dividido em duas regiões o fluxo externo invíscido e a camada limite de fricção As equações de movimento para a região da camada limite são simplificadas em comparação com as equações completas Isso é feito usando a transformação da camada limite cf Tomando o limite Re de acordo com a transformação da camada limite então não contêm o número de Reynolds porem contem os quatro números de características adimensionais Número de Froude Fr V gl 9 Número de Eckert Ec V 2 cₚ T 10 Número de Prandtl Pr µ cₚ λ v a 11 Número de expansão térmica K ᵨ β T 12 Os dois últimos números característicos são propriedades físicas puras O número de Froude é uma medida do efeito da gravidade e o número de Eckert caracteriza o efeito da dissipação Se o ângulo local de inclinação para a horizontal na posição x é α x temos g x gsen α gygcosα Assim as equações de movimento para fluxos de camada limite planos e estáveis na forma dimensional são ϱ u x ϱ υ y 0 13 ϱ u u x υ u y ϱ gsenα dp dx y µ u x 14 ϱ cₚ u T x υ T y y λ u x β Tu dp dx µ u y 2 15 ANALISE DE ARTIGO O artigo a ser analisado escrito por P O Olanrewaju OT Arulogun e K Adebimpe foi escolhido de por ter um maior enfoque na camada limite térmica e possuir um conteúdo claro e de fácil entendimento Esse artigo analisa os efeitos combinados da geração interna de calor e uma condição de contorno convectiva no fluxo da camada limite laminar sobre uma placa plana O estudo consiste em supor que a superfície inferior da placa está em contato com um fluido quente enquanto uma corrente de fluido frio flui continuamente sobre a superfície superior com uma fonte de calor que decai exponencialmente O estudo busca investigar os efeitos combinados de um a geração de calor interno expo nencialmente decadente e uma condição de contorno convectiva na camada limite térmica sobre uma placa plana Com uma abordagem de similaridade as equações de transporte são transformadas em equações diferenciais ordinárias não lineares e resolvidas numericamente usando uma técnica de interação de tiro junto com o esquema de integração RungeKutta de quarta ordem Após analise matemática do estudo obtémse para diferentes valores de combinação de parâmetros o s resultados dispostos na figura 2 o coeficiente do número de Nusselt l ocal é repre sentado por θ 0 e a tempe ratura da superfície da placa θ 0 para o caso de 0 λx sem geração de calor interno onde podemos fazer uma comparação com os resultados de Aziz e exibem uma concordância até cinco casas decimais Figura 2 Cálculos mostrando comparação com os resultados de Aziz para Pr 072 Fonte P O Olanrewaju 2012 p 3 Na figura 3 vemos o efeito da geração interna de calor na camada limite térmica com relação às características de transferência de calor do escoamento Para as condições de aquecimento fraco da placa Bix 01 os dados nas duas primeiras e últimas linhas mostram que o número de Nusselt local e a temperatura da superfície da placa aumentam rapidamente conforme a geração de calor interno local aumenta o número de Nusselt local aumenta ligeiramente com um aumento no refluxo de calor para a placa enquanto a temperatura das superfícies superiores da placa reduz ligeiramente Figura 3 Cálculo mostrando f0 θ0 e θ0 para diferentes valores de parâmetro conclusão conclusão Fonte P O Olanrewaju 2012 p 3 Podemos ver que os efeitos da geração de calor interno em decadência exponencial no fluxo da camada limite sobre a superfície superior de uma placa plana com uma condição de contorno convectiva em sua superfície inferior são investigados numericamente Os resultados revelam que a espessura da camada limite térmica diminui com um aumento no número de Prandtl local e no número de Biot local Um aumento na geração de calor interna impede o rápido fluxo de calor da superfície inferior para a superfície superior da placa 4 CONCLUSÃO Ao término deste trabalho podemos observar que a camada limite térmica é uma ampla área a ser estudada seu conceito fundamental foi sugerido por Ludwig Prandtl quando mostrou que essa região delgada poderia ser analisada separadamente do fluxo de fluido em massa em que a variação de pressão normal à parede pode ser desprezada e a pressão é dada por aquela impressa pela corrente livre Desde então se desenvolvem diversos estudos em diversas área s sobre a camada limite térmica pois possui grande sua importância em muitas aplicações práticas em um amplo espectro de sistemas de engenharia como reservatórios geotérmicos resfriamento de reatores nucleares isolamento térmico câmara de combustão foguete motor etc Referências bibliográficas FREIRE Atila Pantaleão Silva Teoria de Camada Limite Universidade Federal do Rio de Janeiro S l p 89 1 dez 2020 Disponível em httpwwwnidfufrjbrwpcontentuploads201905CursoCamadaLimiteAPSF2pdf Acesso em 9 dez 2020 WEYBURNE David 2006 A mathematical description of the fluid boundary layer Applied Mathematics and Computation vol 175 pp 16751684 BRUNETTI Franco Mecânica dos fluidos São Paulo Pearson 2005 410 p ISBN 8587918990 CAVALCANTI E P Notas de Dinâmica de Fluidos Universidade Federal da Paraíba 2001 Disponível em httpwwwdcaufcgedubrdownloadapostilasDinaFluidospdf Acesso em 9 dez 2020 P O Olanrewaju OT Arulogun K Adebimpe Internal Heat Generation Effect on Thermal Boundary Layer with a Convective Surface Boundary Condition 2012 American Journal of Fluid Dynamics DOI 105923jajfd2012020101 2 8 Capítulo 1 Introdução
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CAMPUS DE SANTA MARIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Rui Ricardo Keller CAMADA LIMITE TÉRMICA Santa Maria R S 2020 Rui Ricardo Keller CAMADA LIMITE TÉRMICA Trabalho de Mecânica dos Fluidos II apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Maria UFSM RS Campus Santa Maria como forma de avalição do aluno Orientador Prof Dr Cesar Addis Valverde Salvador Santa Maria RS 2020 resumo CAMADA LIMITE TÉRMICA AUTOR Rui Ricardo Keller ORIENTADOR Cesar Addis Valverde Salvador Um limite térmico também pode ser definido como a distância da superfície até o ponto onde a temperatura está dentro de 1 da temperatura do fluido de fluxo livre Fora da camada limite térmica o fluido é considerado um dissipador de calor a uma temperatura uniforme A camada limite térmica geralmente não é coincidente com a camada limite de velocidade embora seja certamente dependente dela Ou seja a velocidade a espessura da camada limite a variação da velocidade se o fluxo é laminar ou turbulento etc são todos os fatores que determinam a variação de temperatura na camada limite térmica A camada limite térmica e a camada limite de velocidade estão relacionadas pelo número de Prandtl O número de Prandtl é um número adimensional em homenagem ao físico alemão Ludwig Prandtl definido como a razão entre a difusividade do momento e a difusividade térmica Palavraschave limite fluxo temperatura abstract THERMAL BOUNDARY LAYER AUTHOR Rui Ricardo Keller ADVISOR Cesar Addis Valverde Salvador A thermal limit can also be defined as the distance from the surface to the point where the temperature is within 1 of the temperature of the free flowing fluid Outside the thermal boundary layer the fluid is considered a heat sink at a uniform temperature The thermal boundary layer generally does not coincide with the speed boundary layer although it is certainly dependent on it That is the speed the thickness of the boundary layer the speed variation whether the flow is laminar or turbulent etc are all factors that determine the temperature variation in the thermal boundary layer The thermal limit layer and the speed limit layer are related by the number of Prandtl The Prandtl number is a dimensionless number named after the German physicist Ludwig Prandtl defined as the ratio between the diffusivity of the moment and the thermal diffusivity Keywords limit flow t emperature liSTA DE FIGURAS Figura 1 Camada limite térmica em uma placa plana aquecida10 Figura 2 Cálculos mostrando comparação com os resultados de Aziz para Pr 072 13 Figura 3 Cálculo mostrando f0 θ0 e θ0 para diferentes valores de parâmetro 14 LISTA DE SÍMBOLOS α Coeficiente de transferência de calor β Coeficiente de expansão térmica 𝐾 1 λ C ondutividade térmica JmsK µ Viscosidade kgms Φ Ângulo ϱ Densidade kgm ³ ϑ Excesso de temperatura adimensional cₚ Capacidade térmica a pressão constante 𝐽 𝑘𝑔 1 𝐾 1 υ C omponente de velocidade na direção y ms u C omponente de velocidade na direção x ms Ec Número de Eckert Fr Número de Froude K ᵨ Número de expansão térmica S UMÁRIO INTRODUÇÃO 8 CAMAD A LIMITE TÉRMICA 9 21 Camadas de Limite Térmico Sem Ligação do Campo de Velocidade ao Campo de T emperatura 9 CAMADAS DE LIMITE TÉRMICO COM LIGAÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADE AO CAMPO DE TEMPERATURA 11 ANALISE DE ARTIGO 13 CONCLUSÃO 15 introdução Uma camada limite é uma camada fina de fluido viscoso perto da superfície sólida de uma parede em contato com uma corrente em movimento na qual a velocidade do fluxo varia de zero na parede onde o fluxo gruda na parede por causa de sua viscosidade até a velocidade do fluxo livre no limite estritamente falando a espessura da camada limite é um valor arbitrário porque a força de atrito dependendo da interação molecular entre o fluido e o corpo sólido diminui com a distância da parede e tornase igual a zero no infinito O conceito fundamental de camada limite foi sugerido por Ludwig Prandtl ele define a camada limite como uma camada de fluido que se desenvolve em escoamentos com número de Reynolds muito alto ou seja com viscosidade relativamente baixa em comparação com as forças de inércia Isso é observado quando os corpos são expostos a um fluxo de fluido de alta velocidade ou quando os corpos são muito grandes e a velocidade do fluxo de fluido é moderada A Camada Limite Térmica é uma região de fluxo de fluido próxima a uma superfície sólida onde as temperaturas do fluido são diretamente influenciadas pelo aquecimento ou resfriamento da parede da superfície CAMADA LIMITE TÉRMICA Consider ando um fluxo de fluido a uma temperatura uniforme de T sobre uma placa pl ana isotérmica na temperatura Ts As partículas de fluido na camada adjacente à superfície atingirão o equilíbrio térmico com a placa e assumirão a temperatura da superfície Ts Essas partículas de fluido então trocarão energia com as partículas da camada de fluido adjacente e assim por diante Como resultado um perfil de temperatura se desenvolverá no campo d e fluxo que varia de Tsat a superfície para T suficientemente longe da superfície A região de fluxo sobre a superfície na qual a variação de temperatura na direção normal à superfície é significativa é a camada limite térmica Figura 1 Camada limite térmica em uma placa plana Fonte O autor Camadas de Limite Térmico Sem Ligação do Campo de Velocidade ao Campo de T emperatura O calor é transferido para o campo de fluxo através das paredes circundantes de modo que um campo de temperatura se forma junto com o campo de velocidade O campo de temperatura também tem um caráter de camada limite em números de Reynolds altos ou seja o campo de temperatura também pode ser dividido em duas regiões na região próxima à parede onde a condutividade térmica λ desempenha um papel e uma região onde λ pode ser desprezado Se um campo de velocidade e um campo de temperatura existem geralmente há também uma ligação mútua entre esses dois campos Os fluxos específicos com transferência de calor para os quais o campo de velocidade não é ligado ao campo de temperatura Este é o caso se as propriedades físicas ϱ e μ forem constantes podendo assim ser considerados independentes da temperatura e da pressão Podemos justificar essa suposição desde que as diferenças de temperatura e pressão dentro da camada limite sejam pequenas Para descrever o campo de temperatura a equação da energia térmica deve ser levada em consideração Se a condutividade térmica λ e a capacidade de calor específica isobárica cp também podem ser assumidas como constantes a equação de energia em coordenadas cartesianas para um fluxo bidimensional constante é ϱ cₚ u T x υ T y λ 2 T x ² ² T y ² Φ 1 e a função de dissipação é Φ µ 2 u x 2 υ x 2 υ x u x 2 2 A e qua ção 1 mostra que uma mudança co nvectiva na temperatura na energia interna é possível por meio de condução e dissipação Uma vez que os componentes da velocidade u x y e vx y aparecem na equação 1 o cálculo do campo de temperatura requer o campo de velocidade Podemos tomar o campo de velocidade como sendo um fluxo em alto número de Reynolds assim o fluxo terá caráter de camada limite Tendo como referência l V e T introduzindo quantidades adimensionais x y u v e ϑ ϑ é definido como a temperatura adimensional excedendo a temperatura T do fluxo externo unindo a equação da energia 1 com 2 e t omando o limite para grandes números de Reynolds Re obtemos a equação para a camada limite térmica na forma adimensional u ϑ x υ ϑ y 1 Pr ² ϑ y ² Ec u y 2 3 Com isso t emos os seguintes dois números adimensionais Número de Prandtl Pr µ cₚ λ 4 Número de Eckert Ec V 2 cₚ T 5 Assumindo que esses dois números característicos permanecem finitos ao tomar um grande numero limite de Reynolds O número de Prandtl é uma propriedade física pura O número de Eckert é uma medida dos efeitos de dissipação no fluxo Com isso ele cresce em ao quadrado da velocidade e pode ser desprezado para velocidades pequenas Por conta da dissipação um campo de temperatura emerge mesmo se não houver transferência de calor como o caso das chamadas paredes adiabáticas A equação 1 é uma equação diferencial linear e sua solução geral pode ser escrita como uma superposição da solução sem dissipação u ϑ ₁ x υ ϑ ₁ y 1 Pr 2 ϑ ₁ y 2 6 E a solução que é devida à dissipação u ϑ ₂ x υ ϑ ₂ y 1 Pr 2 ϑ ₂ y 2 u y 2 7 Analisando as duas equações separadamente temos que em primeiro lugar a camada limite térmica sem dissipação será tratada ou seja teremos as soluções ϑ1 x y Pr Isso é permitido porque ou a velocidade é pequena o suficiente para que a dissipa çã o possa ser desprezada Ec 0 ou a solu çã o parcial devido à dissipa çã o pode sempre ser adicionada posteriormente cf Para completar temos a equação 3 para a camada limite térmica na forma dimensional ϱ cₚ u T x u T y λ 2 T y ² µ u y 2 8 CAMADAS DE LIMITE TÉRMICO COM LIGAÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADE AO CAMPO DE TEMPERATURA Camada limite térmica com o efeito das propriedades físicas variáveis Essas propriedades são a densidade a viscosidade μ a capacidade de calor específica isobárica cp e a condutividade térmica λ As propriedades normalmente dependem da temperatura e da pressão Uma consequência da dependência da densidade e da viscosidade com a temperatura é que existe uma ligação do campo de velocidade ao campo de temperatura Também tem a dependência da densidade com a temperatura o que significa que as forças de flutuabilidade no campo de gravidade aparecem na equação de momento As forças de flutuabilidade podem produzir fluxos chamados de convecção natural Em muitos casos práticos fluxos de líquidos fluxos de pressão constante podemos considerar só a dependência das propriedades físicas da temperatura Considerando apenas fluxos de calor moderados na parede ou só diferenças moderadas de temperatura podese descrever a dependência das propriedades físicas com a temperatura para uma boa aproximação por funções lineares da temperatura O cálculo das camadas limite é simplificado e leva a afirmações gerais sobre o efeito das propriedades físicas dependentes da temperatura Para derivar as equações da camada limite começamos com a forma adimensional das equações de movimento Para grandes valores do número de Reynolds ReRVl μR o domínio da solução pode ser dividido em duas regiões o fluxo externo invíscido e a camada limite de fricção As equações de movimento para a região da camada limite são simplificadas em comparação com as equações completas Isso é feito usando a transformação da camada limite cf Tomando o limite Re de acordo com a transformação da camada limite então não contêm o número de Reynolds porem contem os quatro números de características adimensionais Número de Froude Fr V gl 9 Número de Eckert Ec V 2 cₚ T 10 Número de Prandtl Pr µ cₚ λ v a 11 Número de expansão térmica K ᵨ β T 12 Os dois últimos números característicos são propriedades físicas puras O número de Froude é uma medida do efeito da gravidade e o número de Eckert caracteriza o efeito da dissipação Se o ângulo local de inclinação para a horizontal na posição x é α x temos g x gsen α gygcosα Assim as equações de movimento para fluxos de camada limite planos e estáveis na forma dimensional são ϱ u x ϱ υ y 0 13 ϱ u u x υ u y ϱ gsenα dp dx y µ u x 14 ϱ cₚ u T x υ T y y λ u x β Tu dp dx µ u y 2 15 ANALISE DE ARTIGO O artigo a ser analisado escrito por P O Olanrewaju OT Arulogun e K Adebimpe foi escolhido de por ter um maior enfoque na camada limite térmica e possuir um conteúdo claro e de fácil entendimento Esse artigo analisa os efeitos combinados da geração interna de calor e uma condição de contorno convectiva no fluxo da camada limite laminar sobre uma placa plana O estudo consiste em supor que a superfície inferior da placa está em contato com um fluido quente enquanto uma corrente de fluido frio flui continuamente sobre a superfície superior com uma fonte de calor que decai exponencialmente O estudo busca investigar os efeitos combinados de um a geração de calor interno expo nencialmente decadente e uma condição de contorno convectiva na camada limite térmica sobre uma placa plana Com uma abordagem de similaridade as equações de transporte são transformadas em equações diferenciais ordinárias não lineares e resolvidas numericamente usando uma técnica de interação de tiro junto com o esquema de integração RungeKutta de quarta ordem Após analise matemática do estudo obtémse para diferentes valores de combinação de parâmetros o s resultados dispostos na figura 2 o coeficiente do número de Nusselt l ocal é repre sentado por θ 0 e a tempe ratura da superfície da placa θ 0 para o caso de 0 λx sem geração de calor interno onde podemos fazer uma comparação com os resultados de Aziz e exibem uma concordância até cinco casas decimais Figura 2 Cálculos mostrando comparação com os resultados de Aziz para Pr 072 Fonte P O Olanrewaju 2012 p 3 Na figura 3 vemos o efeito da geração interna de calor na camada limite térmica com relação às características de transferência de calor do escoamento Para as condições de aquecimento fraco da placa Bix 01 os dados nas duas primeiras e últimas linhas mostram que o número de Nusselt local e a temperatura da superfície da placa aumentam rapidamente conforme a geração de calor interno local aumenta o número de Nusselt local aumenta ligeiramente com um aumento no refluxo de calor para a placa enquanto a temperatura das superfícies superiores da placa reduz ligeiramente Figura 3 Cálculo mostrando f0 θ0 e θ0 para diferentes valores de parâmetro conclusão conclusão Fonte P O Olanrewaju 2012 p 3 Podemos ver que os efeitos da geração de calor interno em decadência exponencial no fluxo da camada limite sobre a superfície superior de uma placa plana com uma condição de contorno convectiva em sua superfície inferior são investigados numericamente Os resultados revelam que a espessura da camada limite térmica diminui com um aumento no número de Prandtl local e no número de Biot local Um aumento na geração de calor interna impede o rápido fluxo de calor da superfície inferior para a superfície superior da placa 4 CONCLUSÃO Ao término deste trabalho podemos observar que a camada limite térmica é uma ampla área a ser estudada seu conceito fundamental foi sugerido por Ludwig Prandtl quando mostrou que essa região delgada poderia ser analisada separadamente do fluxo de fluido em massa em que a variação de pressão normal à parede pode ser desprezada e a pressão é dada por aquela impressa pela corrente livre Desde então se desenvolvem diversos estudos em diversas área s sobre a camada limite térmica pois possui grande sua importância em muitas aplicações práticas em um amplo espectro de sistemas de engenharia como reservatórios geotérmicos resfriamento de reatores nucleares isolamento térmico câmara de combustão foguete motor etc Referências bibliográficas FREIRE Atila Pantaleão Silva Teoria de Camada Limite Universidade Federal do Rio de Janeiro S l p 89 1 dez 2020 Disponível em httpwwwnidfufrjbrwpcontentuploads201905CursoCamadaLimiteAPSF2pdf Acesso em 9 dez 2020 WEYBURNE David 2006 A mathematical description of the fluid boundary layer Applied Mathematics and Computation vol 175 pp 16751684 BRUNETTI Franco Mecânica dos fluidos São Paulo Pearson 2005 410 p ISBN 8587918990 CAVALCANTI E P Notas de Dinâmica de Fluidos Universidade Federal da Paraíba 2001 Disponível em httpwwwdcaufcgedubrdownloadapostilasDinaFluidospdf Acesso em 9 dez 2020 P O Olanrewaju OT Arulogun K Adebimpe Internal Heat Generation Effect on Thermal Boundary Layer with a Convective Surface Boundary Condition 2012 American Journal of Fluid Dynamics DOI 105923jajfd2012020101 2 8 Capítulo 1 Introdução