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Engenharia Aeronáutica ·
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ESTADOS DE TENSÃO Introdução De acordo com o que foi visto no item 12 do capítulo 1 a intensidade e a intensidade e o tipo da tensão varia com a orientação do elemento a ser considerado Para relembrar este tópico considere o corpo abaixo submetido a ação de forças exteriores e que será secionado por planos com diferentes direções Figura 1 O plano aa seciona o corpo perpendicularmente a força R que é a resultante entre as forças externas P3 e P4 Considerando a figura 1b observase que na seção considerada apenas ocorre o Esforço Normal N o que dividido pela área produz TENSÃO NORMAL Na figura 1c o plano bb secciona o corpo numa direção inclinada em relação a resultante R e que provoca o aparecimento da FORÇA NORMAL N e da FORÇA CORTANTE Q as quais divididas pela área produzem TENSÕES NORMAIS e TENSÕES TANGENCIAIS respectivamente Assim podese verificar que para um mesmo ponto dependendo da orientação do plano as tensões poderão variar Considere a viga da figura 2 submetida a um carregamento P O elemento A da figura 2b está submetido a TENSÕES NORMAIS DE COMPRESSÃO por este estar situado acima da linha neutra e a TENSÕES DE CISALHAMENTO POSITIVAS as quais encontramse orientadas de acordo com o sentido da força P Neste caso as tensões normais e de cisalhamento são necessárias para descrever de forma completa todas as tensões que agem sobre o elemento isto é para definir o ESTADO DE TENSÃO DO ELEMENTO Observando a figura 2c verificase novamente que girando o plano de corte de um ângulo este provocará novas tensões as quais estão denominadas de 90 e as quais serão posteriormente discutidas P1 P2 a b b a P3 P4 a a N P3 P4 R F N Q b b P3 R P4 a b c Figure 2 De acordo com os exemplos anteriores demonstrarseá neste capítulo que através de alterações na orientação de um elemento giro de um ângulo é possível descrever o estado de tensão em um ponto de UM NÚMERO INFINITO DE MANEIRAS as quais são todas EQUIVALENTES ESTADO UNIAXIAL E BIAXIAL Como definiuse anteriormente as tensões variam com a orientação dos planos que seccionam o elemento Para a determinação das expressões analíticas as quais fornecem as tensões no entorno de um ponto considere a barra abaixo submetida a uma força P de tração y Figura 3 b a a b P x a 90 90 b c m n a P A P x n m A D B C xsen xcos x b c Seccionase a barra por um plano mn normal a sua seção e seja o elemento A submetido somente a tensão normal x determinada pelo quociente da força normal P e a área da seção transversal a qual atua na face AB e CD do elemento Logo x P A sendo este valor possível de ser determinado e representado na figura 3b Querse determinar as tensões normais e tangencial que atuam na face AC do elemento o qual girou de um ângulo conforme representado na figura 3c Para tanto aplicarseá as equações de equilíbrio da estática em função das tensões sendo necessário determinarse as áreas das faces do elemento Fazse então a área da face AC igual a unidade e assim temse as áreas das faces AB e BC como sendo cos e sen respectivamente Decompondo as tensões e fazendo o somatório das forças na direção do eixo x e y temse Fx 0 1 xsen cos 0 Fy 0 1 xcos cos 0 Assim x cos2 x sen 2 2 Estas expressões fornecem a tensão normal e a tensão tangencial respectivamente as quais atuam sobre um plano num elemento cuja normal forma um ângulo com o eixo x no qual atua a tensão x No ESTADO BIAXIAL no qual atuam tensões normais em duas direções a determinação das expressões é feita de modo análogo utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos Considere o estado de tensão abaixo y A A x x x B C B C y y a b Figura 4 As tensões x e y são conhecidas querse determinar as tensões e que ocorrem sobre o plano inclinado para tanto empregase o princípio da superposição dos efeitos Assim y y xsen x x xcos x x sy ysen ycos y a b c Figura 25 De modo análogo ao ESTADO UNIAXIAL determinase e Assim temse x cos2 x sen 2 2 Para a determinação das tensões e indicadas na figura 5c procedese de modo análogo Sabendose que a área da face AC é unitária logo a área das faces AB e BC será dada respectivamente pelo cos e pelo sen Aplicando as equações de equilíbrio da estática para as tensões dadas em relação aos eixos x e y temse Fx0 ycos sen 1 0 Fy0 ysen sen 1 0 Logo ysen2 ysen 2 2 Aplicando o princípio da superposição dos efeitos a temse Logo xcos2 ysen2 xysen 2 2 As expressões anteriores fornecem as tensões normais e tangenciais em um elemento sujeito a um estado biaxial cujo plano de corte sofreu uma rotação de um ângulo Convenção de Sinais Convencionase POSITIVO a TENSÃO NORMAL DE TRAÇÃO A TENSÃO TANGENCIAL será POSITIVA quando o giro for HORÁRIO considerando as tensões perpendiculares a direção x O giro do ângulo será POSITIVO quando ocorrer no sentido ANTI HORÁRIO em relação ao eixo plano de atuação de x Figura 26 ESTADO PLANO DE TENSÕES Neste estado atuam simultaneamente tensões normais e de cisalhamento conforme demonstrado na figura 27 y A A x x x B C B C y y a b Figura 27 As tensões nas faces AB e BC x y e são conhecidas querse determinar as tensões nas faces AC e Assim de modo análogo aos realizados anteriormente e empregando as equações de equilíbrio em função das tensões e o princípio da superposição dos efeitos temse Fx0 1 xcos sen ysen cos sen2 cos2 0 Fy0 1xcos 2ysen 2cos sen sen cos 0 Concluise que xcos2 ysen2 sen 2 xy sen 2cos 2 Estas expressões permitem determinar as tensões normais e tangenciais para qualquer estado de tensão sendo conhecidas as tensões normais x e y a tensão tangencial e o ângulo em que se deseja o plano de corte Tensões Principais e Planos Principais Para a Resistência dos Materiais o interesse é na determinação dos maiores valores possíveis das tensões Para tanto inicialmente devese determinar os planos em que estas tensões atuam fazendose a derivada da tensão em relação ao plano igual a zero ou seja d 2xcos sen 2ysen cos 2cos 2 219 d igualando a equação anterior a zero temse 2xcos sen 2ysen cos 2cos 2 0 220 xsen 2 ysen 2 2cos 2 0 221 Dividindo a equação anterior por cos2a xtg 2 ytg 2 2 0 222 Logo tg 2P 2 223 x y Esta equação define dois valores de p com diferença de 90o e portanto caracterizam dois planos que são ortogonais entre si o qual denominase de plano p e p90o Estes dois planos definem os chamados PLANOS PRINCIPAIS A equação anterior tem duas raízes pois a tangente de um ângulo apresenta o mesmo valor em quadrantes opostos conforme pode ser verificado na figura 28 xy 2 A 2p90o 2p o B OA OB x y 2 2 xy 2 2 Figura 28 De acordo com a figura 28 podese determinar os valores de sen 2p e cos 2p respectivamente sen 2p cateto oposto sen 2p90o hipotenusa xy22 2 cos 2p cos 2p90o cateto adjacente xy2 hipotenusa xy22 2 Substituindo estes valores na equação 223 temse tg 2p sen 2p 14xy2 2 cos 2p 12 xy 12 xy 14xy2 2 Após substituição e a simplificação de resultados chegase a expressão máx xy 1 xy2 42 224 min 2 2 Esta expressão indica duas tensões normais MÁXIMA E MÍNIMA que atuam nos planos principais sendo denominadas de TENSÕES PRINCIPAIS Nestes planos não ocorrem tensões de cisalhamento A tensão máxima será obtida da expressão quando utilizarse o sinal positivo antes do radical Para a determinação da tensão mínima utilizase o sinal negativo antes do radical Tensões e Planos de Máximas Tensões Tangenciais Estudo semelhante realizado para tensões normais poderá ser efetuado para a tensão de cisalhamento Assim inicialmente para a determinação dos planos que atuam as tensões de cisalhamento máximas fazse a derivada da equação 218 em relação ao plano igual a zero ou seja d 0 d Após a operação obtémse o resultado tg 2c xy2 225 Sendo c o plano onde a tensão de cisalhamento é máxima ou mínima Esta equação também fornece duas raízes sendo estes dois planos perpendiculares entre si Observando a equação acima verificase que o valor é o inverso com sinal negativo da equação dos planos principais Isto significa que os planos onde as tensões de cisalhamento são máximas e mínimas atuam formando um ângulo de 45o com os planos das tensões principais Assim podese escrever c p 45o 226 Para a determinação das tensões cisalhantes máximas e mínimas substituise de modo análogo o seno e o cosseno do ângulo c na equação 218 e após simplificações obtémse máx 1 xy2 42 227 mín 2 Os sinais da equação não apresentam significado físico Assim podem ser suprimidos sendo então a tensão designada apenas por TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Ao contrário do que ocorre nos planos principais onde as tensões de cisalhamento não ocorrem os planos onde as tensões de cisalhamento máximas atuam poderão atuar também tensões normais Substituindose na equação 2 o valor obtido para c concluise que as tensões que atuam nestes planos serão dadas pela equação x y 228 2 o que demonstra que há uma tensão normal atuando simultaneamente com a tensão de cisalhamento máxima a menos que a soma anterior seje nula Círculo de MOHR 261 Construção do Círculo de Mohr As etapas recomendadas a seguir servem como um procedimento sistematizado para facilitar a construção do círculo e para a determinação das tensões A figura 210 representa um círculo de Mohr típico 1 Constróise um esquema do elemento no qual as tensões normais x e y e as tensões de cisalhamento são conhecidas indicando o sentido correto das mesmas conforme convenção adotada 2 Para a construção do círculo Orientase um sistema de eixos coordenados retangulares no qual o eixo horizontal é o eixo das tensões normais e o eixo vertical é o eixo das tensões de cisalhamento Os sentidos positivos dos eixos são os usuais para cima e para à direita 3 A partir das tensões x y e indicadas pelo elemento marcase os pontos Ax e By sendo que as tensões de tração são sempre positivas 4 Fazse a localização do centro do círculo o qual situase sobre o eixo horizontal à distância x y2 da origem Com o auxílio de um compasso traçase o círculo 5 Com o transferidor a partir do ponto A marcase o ângulo 2 conforme convenção anteriormente adotada os ângulos positivos serão marcados no sentido ANTIHORÁRIO Determinase o ponto denominado de S cujas coordenadas representam as tensões normal e tangencial que atuam no plano inclinado 6 A interseção do círculo com o eixo das abscissas determinam para o maior valor máx e para o menor valor mín 7 Um eixo paralelo ao eixo da ordenadas passando pelo centro determina o valor de máx 8 O ângulo formado entre a reta AB e o eixo das tensões é o ângulo 2p Exercícios Dado os estados de tensão abaixo determinar a A tensões normais e tangenciais nos planos indicados b As tensões normais máximas e os planos que elas atuam c As tensões de cisalhamento máxima e o plano que ela atua d Círculo de Mohr 1 2 3 5 MPA 5 MPA 6 MPA 6 MPA 15 MPA 31º 45 MPA 45MPA 2 MPA 25º 3 MPA 3 MPA 05 MPA 05 MPA 16 MPA 33ºº Exercícios Determinar as tensões normais e tangenciais nos planos indicados nos estados de tensão abaixo 11MPa 11MPa 5 MPa 5MPa 54 MPa 22º 75 MPa 75 MPa 25 MPa 25 MPa 15 MPA 23º 15 MPa A 25 MPa 25 MPa 35 MPa 35 MPa 25 MPa 30º 25 MPa B 205 MPa 205MPa 9 MPa 45º C 9 MPa D 124 MPA 21 MPA 21 MPA 124 MPA 56º E 114 MPa 114 MPa MPA 89 MPa 89 MPa 206 MPa 52º F 206 MPa Dado os estados de tensão abaixo determinar e A tensões normais e tangenciais nos planos indicados f As tensões normais máximas e os planos que elas atuam g As tensões de cisalhamento máxima e o plano que ela atua d Construir o círculo de Mohr 12MPA 12MPA 6 MPA 6MPA 54 MPA 21º 15 MPA 15MPA 32 MPA 32 MPA 20 MPA 15º 245 MPA 245MPA 8 MPA 35º 150 MPA 150 MPA 45 MPA 45 MPA 150 MPA 32º 150 MPA 224 MPA 11 MPA 11 MPA 224 MPA 66º 114MPA 114MPA 89 MPA 89MPA 206 MPA 52º
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ESTADOS DE TENSÃO Introdução De acordo com o que foi visto no item 12 do capítulo 1 a intensidade e a intensidade e o tipo da tensão varia com a orientação do elemento a ser considerado Para relembrar este tópico considere o corpo abaixo submetido a ação de forças exteriores e que será secionado por planos com diferentes direções Figura 1 O plano aa seciona o corpo perpendicularmente a força R que é a resultante entre as forças externas P3 e P4 Considerando a figura 1b observase que na seção considerada apenas ocorre o Esforço Normal N o que dividido pela área produz TENSÃO NORMAL Na figura 1c o plano bb secciona o corpo numa direção inclinada em relação a resultante R e que provoca o aparecimento da FORÇA NORMAL N e da FORÇA CORTANTE Q as quais divididas pela área produzem TENSÕES NORMAIS e TENSÕES TANGENCIAIS respectivamente Assim podese verificar que para um mesmo ponto dependendo da orientação do plano as tensões poderão variar Considere a viga da figura 2 submetida a um carregamento P O elemento A da figura 2b está submetido a TENSÕES NORMAIS DE COMPRESSÃO por este estar situado acima da linha neutra e a TENSÕES DE CISALHAMENTO POSITIVAS as quais encontramse orientadas de acordo com o sentido da força P Neste caso as tensões normais e de cisalhamento são necessárias para descrever de forma completa todas as tensões que agem sobre o elemento isto é para definir o ESTADO DE TENSÃO DO ELEMENTO Observando a figura 2c verificase novamente que girando o plano de corte de um ângulo este provocará novas tensões as quais estão denominadas de 90 e as quais serão posteriormente discutidas P1 P2 a b b a P3 P4 a a N P3 P4 R F N Q b b P3 R P4 a b c Figure 2 De acordo com os exemplos anteriores demonstrarseá neste capítulo que através de alterações na orientação de um elemento giro de um ângulo é possível descrever o estado de tensão em um ponto de UM NÚMERO INFINITO DE MANEIRAS as quais são todas EQUIVALENTES ESTADO UNIAXIAL E BIAXIAL Como definiuse anteriormente as tensões variam com a orientação dos planos que seccionam o elemento Para a determinação das expressões analíticas as quais fornecem as tensões no entorno de um ponto considere a barra abaixo submetida a uma força P de tração y Figura 3 b a a b P x a 90 90 b c m n a P A P x n m A D B C xsen xcos x b c Seccionase a barra por um plano mn normal a sua seção e seja o elemento A submetido somente a tensão normal x determinada pelo quociente da força normal P e a área da seção transversal a qual atua na face AB e CD do elemento Logo x P A sendo este valor possível de ser determinado e representado na figura 3b Querse determinar as tensões normais e tangencial que atuam na face AC do elemento o qual girou de um ângulo conforme representado na figura 3c Para tanto aplicarseá as equações de equilíbrio da estática em função das tensões sendo necessário determinarse as áreas das faces do elemento Fazse então a área da face AC igual a unidade e assim temse as áreas das faces AB e BC como sendo cos e sen respectivamente Decompondo as tensões e fazendo o somatório das forças na direção do eixo x e y temse Fx 0 1 xsen cos 0 Fy 0 1 xcos cos 0 Assim x cos2 x sen 2 2 Estas expressões fornecem a tensão normal e a tensão tangencial respectivamente as quais atuam sobre um plano num elemento cuja normal forma um ângulo com o eixo x no qual atua a tensão x No ESTADO BIAXIAL no qual atuam tensões normais em duas direções a determinação das expressões é feita de modo análogo utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos Considere o estado de tensão abaixo y A A x x x B C B C y y a b Figura 4 As tensões x e y são conhecidas querse determinar as tensões e que ocorrem sobre o plano inclinado para tanto empregase o princípio da superposição dos efeitos Assim y y xsen x x xcos x x sy ysen ycos y a b c Figura 25 De modo análogo ao ESTADO UNIAXIAL determinase e Assim temse x cos2 x sen 2 2 Para a determinação das tensões e indicadas na figura 5c procedese de modo análogo Sabendose que a área da face AC é unitária logo a área das faces AB e BC será dada respectivamente pelo cos e pelo sen Aplicando as equações de equilíbrio da estática para as tensões dadas em relação aos eixos x e y temse Fx0 ycos sen 1 0 Fy0 ysen sen 1 0 Logo ysen2 ysen 2 2 Aplicando o princípio da superposição dos efeitos a temse Logo xcos2 ysen2 xysen 2 2 As expressões anteriores fornecem as tensões normais e tangenciais em um elemento sujeito a um estado biaxial cujo plano de corte sofreu uma rotação de um ângulo Convenção de Sinais Convencionase POSITIVO a TENSÃO NORMAL DE TRAÇÃO A TENSÃO TANGENCIAL será POSITIVA quando o giro for HORÁRIO considerando as tensões perpendiculares a direção x O giro do ângulo será POSITIVO quando ocorrer no sentido ANTI HORÁRIO em relação ao eixo plano de atuação de x Figura 26 ESTADO PLANO DE TENSÕES Neste estado atuam simultaneamente tensões normais e de cisalhamento conforme demonstrado na figura 27 y A A x x x B C B C y y a b Figura 27 As tensões nas faces AB e BC x y e são conhecidas querse determinar as tensões nas faces AC e Assim de modo análogo aos realizados anteriormente e empregando as equações de equilíbrio em função das tensões e o princípio da superposição dos efeitos temse Fx0 1 xcos sen ysen cos sen2 cos2 0 Fy0 1xcos 2ysen 2cos sen sen cos 0 Concluise que xcos2 ysen2 sen 2 xy sen 2cos 2 Estas expressões permitem determinar as tensões normais e tangenciais para qualquer estado de tensão sendo conhecidas as tensões normais x e y a tensão tangencial e o ângulo em que se deseja o plano de corte Tensões Principais e Planos Principais Para a Resistência dos Materiais o interesse é na determinação dos maiores valores possíveis das tensões Para tanto inicialmente devese determinar os planos em que estas tensões atuam fazendose a derivada da tensão em relação ao plano igual a zero ou seja d 2xcos sen 2ysen cos 2cos 2 219 d igualando a equação anterior a zero temse 2xcos sen 2ysen cos 2cos 2 0 220 xsen 2 ysen 2 2cos 2 0 221 Dividindo a equação anterior por cos2a xtg 2 ytg 2 2 0 222 Logo tg 2P 2 223 x y Esta equação define dois valores de p com diferença de 90o e portanto caracterizam dois planos que são ortogonais entre si o qual denominase de plano p e p90o Estes dois planos definem os chamados PLANOS PRINCIPAIS A equação anterior tem duas raízes pois a tangente de um ângulo apresenta o mesmo valor em quadrantes opostos conforme pode ser verificado na figura 28 xy 2 A 2p90o 2p o B OA OB x y 2 2 xy 2 2 Figura 28 De acordo com a figura 28 podese determinar os valores de sen 2p e cos 2p respectivamente sen 2p cateto oposto sen 2p90o hipotenusa xy22 2 cos 2p cos 2p90o cateto adjacente xy2 hipotenusa xy22 2 Substituindo estes valores na equação 223 temse tg 2p sen 2p 14xy2 2 cos 2p 12 xy 12 xy 14xy2 2 Após substituição e a simplificação de resultados chegase a expressão máx xy 1 xy2 42 224 min 2 2 Esta expressão indica duas tensões normais MÁXIMA E MÍNIMA que atuam nos planos principais sendo denominadas de TENSÕES PRINCIPAIS Nestes planos não ocorrem tensões de cisalhamento A tensão máxima será obtida da expressão quando utilizarse o sinal positivo antes do radical Para a determinação da tensão mínima utilizase o sinal negativo antes do radical Tensões e Planos de Máximas Tensões Tangenciais Estudo semelhante realizado para tensões normais poderá ser efetuado para a tensão de cisalhamento Assim inicialmente para a determinação dos planos que atuam as tensões de cisalhamento máximas fazse a derivada da equação 218 em relação ao plano igual a zero ou seja d 0 d Após a operação obtémse o resultado tg 2c xy2 225 Sendo c o plano onde a tensão de cisalhamento é máxima ou mínima Esta equação também fornece duas raízes sendo estes dois planos perpendiculares entre si Observando a equação acima verificase que o valor é o inverso com sinal negativo da equação dos planos principais Isto significa que os planos onde as tensões de cisalhamento são máximas e mínimas atuam formando um ângulo de 45o com os planos das tensões principais Assim podese escrever c p 45o 226 Para a determinação das tensões cisalhantes máximas e mínimas substituise de modo análogo o seno e o cosseno do ângulo c na equação 218 e após simplificações obtémse máx 1 xy2 42 227 mín 2 Os sinais da equação não apresentam significado físico Assim podem ser suprimidos sendo então a tensão designada apenas por TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Ao contrário do que ocorre nos planos principais onde as tensões de cisalhamento não ocorrem os planos onde as tensões de cisalhamento máximas atuam poderão atuar também tensões normais Substituindose na equação 2 o valor obtido para c concluise que as tensões que atuam nestes planos serão dadas pela equação x y 228 2 o que demonstra que há uma tensão normal atuando simultaneamente com a tensão de cisalhamento máxima a menos que a soma anterior seje nula Círculo de MOHR 261 Construção do Círculo de Mohr As etapas recomendadas a seguir servem como um procedimento sistematizado para facilitar a construção do círculo e para a determinação das tensões A figura 210 representa um círculo de Mohr típico 1 Constróise um esquema do elemento no qual as tensões normais x e y e as tensões de cisalhamento são conhecidas indicando o sentido correto das mesmas conforme convenção adotada 2 Para a construção do círculo Orientase um sistema de eixos coordenados retangulares no qual o eixo horizontal é o eixo das tensões normais e o eixo vertical é o eixo das tensões de cisalhamento Os sentidos positivos dos eixos são os usuais para cima e para à direita 3 A partir das tensões x y e indicadas pelo elemento marcase os pontos Ax e By sendo que as tensões de tração são sempre positivas 4 Fazse a localização do centro do círculo o qual situase sobre o eixo horizontal à distância x y2 da origem Com o auxílio de um compasso traçase o círculo 5 Com o transferidor a partir do ponto A marcase o ângulo 2 conforme convenção anteriormente adotada os ângulos positivos serão marcados no sentido ANTIHORÁRIO Determinase o ponto denominado de S cujas coordenadas representam as tensões normal e tangencial que atuam no plano inclinado 6 A interseção do círculo com o eixo das abscissas determinam para o maior valor máx e para o menor valor mín 7 Um eixo paralelo ao eixo da ordenadas passando pelo centro determina o valor de máx 8 O ângulo formado entre a reta AB e o eixo das tensões é o ângulo 2p Exercícios Dado os estados de tensão abaixo determinar a A tensões normais e tangenciais nos planos indicados b As tensões normais máximas e os planos que elas atuam c As tensões de cisalhamento máxima e o plano que ela atua d Círculo de Mohr 1 2 3 5 MPA 5 MPA 6 MPA 6 MPA 15 MPA 31º 45 MPA 45MPA 2 MPA 25º 3 MPA 3 MPA 05 MPA 05 MPA 16 MPA 33ºº Exercícios Determinar as tensões normais e tangenciais nos planos indicados nos estados de tensão abaixo 11MPa 11MPa 5 MPa 5MPa 54 MPa 22º 75 MPa 75 MPa 25 MPa 25 MPa 15 MPA 23º 15 MPa A 25 MPa 25 MPa 35 MPa 35 MPa 25 MPa 30º 25 MPa B 205 MPa 205MPa 9 MPa 45º C 9 MPa D 124 MPA 21 MPA 21 MPA 124 MPA 56º E 114 MPa 114 MPa MPA 89 MPa 89 MPa 206 MPa 52º F 206 MPa Dado os estados de tensão abaixo determinar e A tensões normais e tangenciais nos planos indicados f As tensões normais máximas e os planos que elas atuam g As tensões de cisalhamento máxima e o plano que ela atua d Construir o círculo de Mohr 12MPA 12MPA 6 MPA 6MPA 54 MPA 21º 15 MPA 15MPA 32 MPA 32 MPA 20 MPA 15º 245 MPA 245MPA 8 MPA 35º 150 MPA 150 MPA 45 MPA 45 MPA 150 MPA 32º 150 MPA 224 MPA 11 MPA 11 MPA 224 MPA 66º 114MPA 114MPA 89 MPA 89MPA 206 MPA 52º