Trabalho de Álgebra Linear

QUESTÕES QUESTÃO 01 VALOR 35 Considere o espaço vetorial R³ e um dado vetor n R³ I Determine as matrizes de projeção Pn e de reflexão Hn sobre o eixo definido por n II Obtenha um conjunto linearmente independente de vetores perpendiculares à n III Utilize o método de GramSchmidt para construir uma base ortonormal U û v n IV Obtenha as matrizes de transição PC U e PU C que conectam os vetores de coordenadas da base U com a base canônica C V Utilizando as matrizes de transição determine a matriz Rn θ que realiza uma rotação de ângulo θ sobre o eixo definido pelo vetor n VI Utilizando as matrizes de transição determine a matriz Sn α que realiza uma reescala de fator α sobre o eixo definido pelo vetor n O vetor n a ser utilizado por cada aluno está definido na TABELA I QUESTÃO 02 VALOR 30 Considere o espaço vetorial Pn de polinômios de ordem menor ou igual à n e as seguintes transformações lineares definidas no espaço T1 Pn Pn T1 px p a1 x b1 T2 Pn Pn1 T2 px a2 x b2 p x Partindo de um polinômio p P2 determine as matrizes de transformação definidas a seguir I Matriz M1 associada a transformação T1 p x II Matriz M21 associada a transformação T2 T1 p x III Matriz M2 associada a transformação T2 p x IV Matriz M12 associada a transformação T1 T2 p x Os conjuntos de parâmetros a1 b1 e a2 b2 serem utilizados por cada aluno estão definidos na TABELA II QUESTÃO 03 VALOR 35 Considere a equação geral de segundo grau em R² definida por Ax² 2Bxy Cy² Dx Ey F 0 I Realize as operações de rotação e translação apropriadas para obter a forma centrada reduzida da equação II Determine o valor dos coeficientes característicos para identificar a forma cônica descrita pela equação parâmetros a b e c conforme livro e esboce o gráfico da forma As equações específicas a serem consideradas por cada aluno estão definidas na TABELA III ELIZ DRUSIAO n 23 1 12 ELIZ DRUSIAO a1 b1 1 43 a2 b2 34 4 ELIZ DRUSIAO 108x2 11880xy 6228y2 8028x 2364y 6115 0 QUESTÃO 01 VALOR 35 Considere o espaço vetorial R3 e um dado vetor n R3 I Determine as matrizes de projeção Pn e de reflexão Hn sobre o eixo definido por n n 23 1 12 Vamos chamar de Pn a matriz de projeção ortogonal sobre o eixo gerado por n e de Hn a matriz de reflexão em relação a esse mesmo eixo Primeiro encontramos o quadrado da norma de n Como n 23 1 12 temos n n 232 12 122 49 1 14 44 99 9136 6136 A matriz de projeção ortogonal sobre a direção de n é dada por Pn n nT n n Calculando o produto externo n nT 2323 231 2312 123 11 112 1223 121 1212 49 23 13 23 1 12 13 12 14 logo Pn 3661 49 23 13 23 1 12 13 12 14 1661 2461 1261 2461 3661 1861 1261 1861 961 Para a reflexão em relação ao eixo de n usase Hn 2Pn I3 Subtraindo a identidade e multiplicando por 2 obtemos Hn 2961 4861 2461 4861 1161 3661 2461 3661 4361 048 079 039 079 018 059 039 059 070 Dessa forma ficam determinadas as matrizes de projeção Pn e de reflexão Hn sobre o eixo definido por n II Obtenha um conjunto linearmente independente de vetores perpendiculares à n Para encontrar vetores v x y z ortogonais a n 23 1 12 impomos v n 23x y 12z 0 Multiplicando ambos os lados por 6 para evitar frações 4x 6y 3z 0 Como temos uma equação única para três incógnitas podemos escolher dois parâmetros livres e expressar a terceira coordenada em função deles Se escolhermos x 0 e y 1 então 40 61 3z 0 6 3z 0 3z 6 z 2 Fica assim um vetor v1 0 1 2 Se escolhermos x 1 e y 0 então 41 60 3z 0 4 3z 0 3z 4 z 43 Isso dá o vetor v2 1 0 43 Para evitar frações podemos multiplicar v2 por 3 obtendo v2 3 0 4 Os dois vetores v1 v2 012 304 são linearmente independentes e satisfazem vn 0 Isso forma um conjunto de base para o subespaço ortogonal a n III Utilize o método de GramSchmidt para construir uma base ortonormal U û v ĥ Aplicando GramSchmidt ao conjunto v1 012 v2 304 n 23 1 12 observase que v1 e v2 já são ortogonais a n logo o terceiro vetor ortogonal resultante será simplesmente a normalização de n A norma de v1 é v1 02 12 22 5 portanto û v1 v1 0 15 25 Projetase v2 sobre û v2û 30 015 425 85 e definese w v2 v2ûû 304 85 0 15 25 3 85 45 Calculase a norma de w w2 32 852 452 9 6425 1625 9 8025 9 165 615 logo w 615 305 5 Assim v w w 3 85 45 3055 15305 8305 4305 Por fim n já é ortogonal a û e a v pois nû 1 15 0 nv 10 8 2305 0 Por fim n já é ortogonal a û e a v pois nû 1 15 0 nv 10 8 2305 0 A norma de n é n 6136 61 6 de onde ĥ n n 661 23 1 12 461 661 361 A base ortonormal resultante é U û v ĥ 0 15 25 15305 8305 4305 461 661 361 IV Obtenha as matrizes de transição PCU e PUC que conectam os vetores de coordenadas da base U com a base canônica C A matriz de transição de U para a base canônica C que chamaremos PUC é obtida tomando como colunas as coordenadas na base canônica dos vetores de U û v ĥ Já a matriz de transição de C para U PCU é a inversa de PUC como U é ortonormal essa inversa coincide com a transposta As coordenadas dos vetores de U na base canônica são û 0 15 25 v 15305 8305 4305 ĥ 461 661 361 Portanto PUC 0 15305 461 15 8305 661 25 4305 361 pois para um vetor quaisquer cujas coordenadas em U sejam xu xv xhᵀ suas coordenadas na base canônica são xC PUC xu xv xhᵀ Como U é ortonormal a transposta de PUC é sua inversa logo PCU PUCᵀ 0 15 25 15305 8305 4305 461 661 361 V Utilizando as matrizes de transição determine a matriz Rn θ que realiza uma rotação de ângulo θ sobre o eixo definido pelo vetor n Para realizar a rotação de ângulo θ em torno do eixo definido por n usase o fato de que na base ortonormal U û v ĥ em que ĥ coincide com a direção de n a rotação deixa inalterada a componente ao longo de ĥ e gira o plano ortogonal a ele A matriz de rotação nesse sistema de coordenadas U é RUθ cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Para trazer essa rotação à base canônica C fazse a mudança de base usando PUC û v h PCU PUCT Logo a matriz de rotação na base canônica é Rnθ PUC RU θ PCU Substituindo PUC 0 15305 461 15 8305 661 25 4305 361 obtémse Rnθ 0 15305 461 15 8305 661 25 4305 361 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 0 15 25 15305 8305 4305 461 661 361 Multiplicando essas três matrizes chegase à forma explícita de Rnθ em coordenadas canônicas Como atalho elegante observase que Rnθ coincide com a fórmula de Rodrigues Rnθ cosθ I3 1 cosθ h hT sinθ h em que h 461 661 361 e h é a matriz de produto vetorial h 0 361 661 361 0 461 661 461 0 0 361 661 361 0 461 661 461 0 Dessa forma obtémse de modo completo e detalhado a matriz de rotação Rnθ em torno do eixo definido por n A transformação de reescalonamento de fator α ao longo do eixo definido por n pode ser construída de modo análogo à rotação passando pela base ortonormal U û v h em que h aponta na direção de n Na base U essa reescalagem deixa inalteradas as componentes em û e v e multiplica por α a componente em h Assim a matriz em coordenadas U é SU α 1 0 0 0 1 0 0 0 α Para expressar esse operador na base canônica C usamos as matrizes de transição PUC û v h e PCU PUCT Logo Sn α PUC SU α PCU Uma forma mais direta sem multiplicar matrizes 33 usa a projeção sobre o eixo Ph h hT onde h 461 661 361 Como a parte ortogonal a h deve permanecer igual e a parte ao longo de h é multiplicada por α temse Sn α I3 α 1 Ph Explicitamente Ph 461 661 361 461 661 361 161 16 24 12 24 36 18 12 18 9 Portanto Sn α I3 α 161 16 24 12 24 36 18 12 18 9 Esse é o operador que expande ou contrai em α a componente ao longo de n mantendo inalteradas as demais QUESTÃO 02 VALOR 30 Considere o espaço vetorial Pn de polinômios de ordem menor ou igual à n e as seguintes transformações lineares definidas no espaço T1 Pn Pn T1 px pa1x b1 T2 Pn Pn1 T2 px a2x b2 px Partindo de um polinômio p P2 determine as matrizes de transformação definidas a seguir I Matriz M1 associada a transformação T1 px a1 b1 1 43 a2 b2 34 4 A transformação T1 P2 P2 age por substituição T1 px pa1 x b1 com a1 b1 1 43 ou seja T1 px px 43 Escolhendo como base canônica de P2 o conjunto 1 x x2 encontrase a matriz M1 cujas colunas são as coordenadas de T1 1 T1 x e T1 x2 nessa base Observando cada caso Para o polinômio constante 1 temse T1 1 1 Para o polinômio x T1 x x 43 43 1 1 x 0 x2 portanto as coordenadas são 43 1 0T Para o polinômio x2 T1 x2 x 432 x2 2 43 x 432 169 1 83 x 1 x2 e as coordenadas são 169 83 1T Reunindo essas colunas a matriz de T1 na base 1 x x2 fica M1 1 43 169 0 1 83 0 0 1 A transformação composta T2 T1 P2 P3 é dada por T2 T1px T2pa1x b1 a2x b2pa1x b1 com a1 b1 1 43 e a2 b2 34 4 Escolhendo como base canônica de P2 o conjunto 1 x x2 e de P3 o conjunto 1 x x2 x3 obtemos a matriz M21 cujas colunas são as coordenadas de T2 T11 T2 T1x e T2 T1x2 na base de P3 Para px 1 T11 1 T21 34 x 4 1 34 x 4 Isso corresponde ao vetor coluna 4 34 0 0T Para px x T1x x 43 T2x 43 34 x 4x 43 34 x2 3x 163 As coordenadas são 163 3 34 0T Para px x2 T1x2 x 432 x2 83 x 169 T2x2 83 x 169 34 x 4x2 83 x 169 34 x3 2x2 283 x 649 Isso dá o vetor coluna 649 283 2 34T Reunindo as colunas a matriz M21 vale M21 4 163 649 34 3 283 0 34 2 0 0 34 onde cada coluna corresponde respectivamente a T2 T11 T2 T1x e T2 T1x2 III Matriz M2 associada a transformação T2 px A transformação T2 P2 P3 é dada por T2px a2 x b2px a2 b2 34 4 Na base canônica de P2 1 x x2 e na base canônica de P3 1 x x2 x3 cada coluna de M2 corresponde às coordenadas de T21 T2x e T2x2 respectivamente Para o polinômio 1 T21 34 x 4 1 4 34 x que em coordenadas fica 0 4 34 0T Para o polinômio x2 T2x2 34 x 4 x2 4 x2 34 x3 cuja vetorcoluna é 0 0 4 34T Reunindo essas colunas obtémse M2 4 0 0 34 4 0 0 34 4 0 0 34 onde a primeira coluna é T21 a segunda é T2x e a terceira é T2x2 IV Matriz M12 associada a transformação T1 T2 px A transformação composta T1 T2 age em px P2 da seguinte forma primeiro T2px a2 x b2px com a2 b2 34 4 e em seguida T1qx qa1 x b1 com a1 b1 1 43 Como base de P2 tomamos 1 x x2 e em P3 1 x x2 x3 Cada coluna de M12 é o vetor de coordenadas de T1 T21 T1 T2x e T1 T2x2 na base de P3 Para px 1 T21 34 x 4 T134 x 4 34 x 43 4 34 x 3 Coordenadas 3 34 0 0T Para px x T2x 34 x2 4x T134 x2 4x 34 x 432 4x 43 4 2x 34 x2 Coordenadas 4 2 34 0T Para px x2 T2x2 34 x3 4 x2 T134 x3 4 x2 34 x 433 4 x 432 163 203 x x2 34 x3 Coordenadas 163 203 1 34T Portanto M12 3 4 163 34 2 203 0 34 1 0 0 34 onde a primeira coluna é T1 T21 a segunda é T1 T2x e a terceira é T1 T2x2 QUESTÃO 03 VALOR 35 Considere a equação geral de segundo grau em R2 definida por A x2 2 B x y C y2 D x E y F 0 I Realize as operações de rotação e translação apropriadas para obter a forma centrada reduzida da equação 108 x2 11880 x y 6228 y2 8028 x 2364 y 6115 0 A primeira etapa é colocar a forma quadrática 108 x2 11880 x y 6228 y2 8028 x 2364 y 6115 0 no formato matricial x y Q x yT 2 D E x yT F 0 onde Q 108 5940 5940 6228 D E 4014 1182 F 6115 Para encontrar os autovalores λ resolvese detQ λI det108 λ 59405940 6228 λ 0 Expandindo vem 108 λ6228 λ 5940² 0 λ² 6228 108λ 1086228 5940² 0 λ² 6120λ 35956224 0 O discriminante é Δ 6120² 435956224 37454400 143824896 181279296 13464² Logo λ 6120 134642 6120 134642 6120 134642 λ₁ 73442 3672 λ₂ 195842 9792 Dessa forma os autovalores de Q são λ₁ 3672 λ₂ 9792 Para cada autovalor resolvese Q λIv 0 Começando por λ₁ 3672 Q λ₁I 108 3672 59405940 6228 3672 3564 59405940 9900 A equação linear correspondente é 3564vₓ 5940vᵧ 0 vᵧ vₓ 35645940 297495 35 Podemos escolher v₁ 5 3 A norma é v₁ 5² 3² 34 logo o autovetor unitário é v₁ 1345 3 Para λ₂ 9792 Q λ₂I 108 9792 59405940 6228 9792 9900 59405940 3564 A equação é 9900vₓ 5940vᵧ 0 vᵧ vₓ 99005940 16599 53 Tomando v₂ 3 5 sua norma também é 34 e o autovetor unitário é v₂ 1343 5 Reunindo em P as colunas v₁ v₂ temos P 534 334334 534 que satisfaz PᵀP I e diagonaliza Q via Q P diagλ₁ λ₂Pᵀ A mudança de variáveis x y P X Y elimina o termo misto pois na nova forma quadrática só restam λ₁X² λ₂Y² Os coeficientes lineares originais divididos por 2 são D E 4014 1182 Em X Y eles transformamse em D E D EP 48634 52834 Como cada termo linear na equação aparece multiplicado por 2 a forma quadrática fica λ₁X² λ₂Y² 2DX 2EY F 0 com λ₁ 3672 λ₂ 9792 e F 6115 Para encontrar o centro completase o quadrado em cada variável λ₁X Dλ₁² λ₂Y Eλ₂² F D²λ₁ E²λ₂ 4896 Os deslocamentos são Xc Dλ₁ 486343672 96834 Yc Eλ₂ 528349792 1120434 Definindo X X Xc Y Y Yc a equação reduzse a λ₁X² λ₂Y² 4896 Dividindo ambos os lados por 4896 e lembrando que λ₁ 0 λ₂ 0 obtémse X²48963672 Y²48969792 1 X²43 Y²12 1 Portanto a cônica é uma hipérbole girada por θ tal que tan 2θ 165176 e transladada para o centro x₀ y₀ PXc Yc 12 23 Em resumo no sistema X Y obtido por rotação e translação a forma canônica é X²43 Y²12 1 e de volta ao sistema x y o centro é 12 23 II Determine o valor dos coeficientes característicos para identificar a forma cônica descrita pela equação parâmetros a b e c conforme livro e esboce o gráfico da forma Os coeficientes característicos e o esboço da hipérbole em coordenadas X Y ficam a² 43 b² 12 c² a² b² 43 12 116 c 116 excentricidade e ca 11623 118 1122 Na forma padrão a hipérbole vale X²43 Y²12 1 Gráfico esquemático da hipérbole