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05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 19 6 Integração Numérica A integração numérica é útil em situações nas quais não se conhece a expressão analítica da função a ser integrada ou quando a função primitiva é difícil de se obter ou não existe Uma forma de se calcular uma aproximação numérica para uma integral é por meio da integração do polinômio interpolador Esse processo é conhecido como quadratura de NewtonCotes e é desenvolvido por meio das sistemáticas conhecidas como Regra dos Trapézios Regra 13 de Simpson e Regra 38 de Simpson Antes de apresentarmos as fórmulas de NewtonCotes vamos relembrar um pouco do Cálculo Considere uma função contínua no intervalo Então sabemos que em que a função é a fprimitiva ou antiderivada de ou seja é tal que Graficamente considerando a função para todo podemos interpretar a intergral como a área entre a curva de e o eixo das abcissas Figura 61 A integral definida como área sob o gráfico 𝑓𝑥 𝑎 𝑏 𝐼 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑏 𝐹𝑎 𝑏 𝑎 𝐹𝑥 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 𝐹 𝑓𝑥 0 𝑥 𝑎 𝑏 𝐼 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓 61 Soma de Riemann A forma mais simples de obter um valor aproximado para uma integral definida é por meio da soma de Riemann Para isto dividese o intervalo de integração em subintervalos e somamse as áreas dos retângulos definidos em cada subintervalo A largura de cada retângulo será dado por e a altura será dada por para algum dentro do subintervalo com Uma escolha natural para o valor de é um dos extremos do intervalo o extremo esquerdo pela esquerda ou o extremo direito pela direita 𝑎 𝑏 𝑛 ℎ 𝑥𝑛 𝑥0 𝑛 𝑓𝑥 𝑥 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑖 0 1 𝑛 𝑥 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 29 Figura 62 Somas de Riemann pela direita e pela esquerda Claramente podemos aumentar a acurácia da aproximação obtida aumentando o número de subintervalos A regra do ponto médio considera a altura do retângulo definida em cada subintervalo como sendo o valor da função no ponto médio entre e 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑓𝑥𝑑𝑥 ℎ𝑓 𝑏 𝑎 𝑖0 𝑛1 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 2 Exemplo 61 Nesse exemplo vamos calcular a integral usando sympy para obter a solução exata e então vamos obter aproximações usando soma de Riemann pela esquerda pela direita e pela regra do ponto médio e comparar os resultados Primeiramente vamos obter a primitiva usando sympy 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 08 01 𝑥2 In 41 Calculando o resultado a integral definida In 42 Agora o resultado aproximado pela soma de Riemann com 7 subintervalos ou seja ℎ 01 In 43 Out41 log 𝑥 𝑥3 3 𝑥3 9 00940934155044049 h 01 from sympy import x symbolsx initprintinguseunicodeTrue f x2logx integratef x F lambda x x3logx3 x39 I F08F01 printI import numpy as np xi nplinspace01 08 8 h xi1xi0 print hh 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 39 In 44 In 45 In 46 In 47 Nesse exemplo é possivel notar que a regra do ponto médio forneceu a melhor aproximação De modo geral os métodos numéricos para cálculo de integrais definidas consistem em aproximar a função pelo polinômio interpolador e integrar o polinômio Os casos ilustrados acima são polinômios de grau zero mas poderiamos utilizar polinômios de grau maior Assim de forma geral temos 𝑓𝑥 𝑃𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑃𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑥𝑛 𝑥0 A seguir serão apresentados três métodos para integração numérica baseados na integração do polinômio interpolador conhecidos como Regras de Newton Cotes São eles a regra dos trapézios a regra 13 de Simpson e a regra 38 de Simpson 63 Regra dos trapézios Consiste am aproximar a integral da função em um intervalo 𝑎𝑏 pela integral do polinômio de grau 1 que passa pelos pontos 𝑎𝑓𝑎 e 𝑏𝑓𝑏 Se 𝑓𝑥0 em 𝑎𝑏 a área entre o gráfico da função e o eixo 𝑥 é aproximado pela área do trapézio de altura ℎ𝑏𝑎 e bases 𝑓𝑎 e 𝑓𝑏 Considere uma função definida nos pontos e no intervalo O polinômio de Lagrange para esses pontos considerando a mudança de variável é dado por e a integral pode ser aproximada como segue ou ainda que resulta em ou seja temse aqui a fórmula da área do trapézio Graficamente temse 𝑓𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥𝑥0 ℎ 𝑃𝑢 𝑓 1 𝑢 𝑓 𝑢 𝑥0 𝑥1 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 ℎ 𝑢𝑑𝑢 𝑥𝑛 𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑃1 1 0 𝑃1 ℎ 𝑢𝑑𝑢 ℎ 𝑓 1 𝑢 𝑓 𝑢𝑑𝑢 ℎ𝑓 1 𝑢𝑑𝑢 ℎ𝑓 𝑢𝑑𝑢 1 0 𝑃1 1 0 𝑥0 𝑥1 𝑥0 1 0 𝑥1 1 0 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓 𝑓 𝑥𝑛 𝑥0 ℎ 2 𝑥0 𝑥1 Ie 008743221791422254 Erro 000666119759018237 Id 009941082010533792 Erro 000531740460093301 Im 009443022564968762 Erro 0000336810145282709 f lambda x x2nplogx Ie hnpsumfxi01 printIeIe ErroabsIIe Id hnpsumfxi1 printIdId ErroabsIId Im hnpsumfxi01xi12 printImIm ErroabsIIm 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 49 Figura 63 Interpretação geométrica da regra dos trapézios Um limitante superior para o erro será dado por A regra dos trapézios repetida ou generalizada consiste na subdivisão do intervalo em subintervalos iguais de amplitude e e na aplicação da regra dos trapézios repetidamente a cada dois pontos consecutivos Assim temos E o limitante superior para o erro será dado por 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑥 𝐸1 ℎ3 12 𝑓 2 𝑥0 𝑥1 𝑎 𝑏 𝑛 ℎ 𝑥𝑛 𝑥0 𝑛 𝑎 𝑥0 𝑏 𝑥𝑛 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥𝑛 𝑥0 ℎ 2 𝑥0 𝑥1 ℎ 2 𝑥2 𝑥2 ℎ 2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑓 2𝑓 2𝑓 2𝑓 𝑓 ℎ 2 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑓 2𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 ℎ 2 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑥 𝐸𝑡 ℎ2 12 𝑥𝑛 𝑥0 𝑓 2 𝑥0 𝑥𝑛 Exemplo 62 Vamos calcular o valor aproximado da integral usando a regra dos trapézios Solução Basta fazer Resolvendo analiticamente o valor exato é que pode ser calculado usando uma calculadora obtendose O valor obtido pela regra do trapézio é maior como pode ser verificado observando na figura comparandose as áreas Vamos usar a regra dos trapézios repetida para 5 10 e 100 subintervalos para ver como fica 𝑑𝑥 55 15 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑓15 𝑓55 2 1697 55 15 1 𝑥 4 2 1 15 1 55 𝑙𝑛55 𝑙𝑛15 12992829841302609 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 59 In 48 A biblioteca numpy já traz uma implementação da regra dos trapézios Veja como usar no exemplo a seguir com os pontos o espaçameto e a função definidos acima In 49 A biblioteca scipy também possui funções para integrais definidas Para saber mais pesquise por scipyintegrate Exemplo 62 Vamos calcular o valor aproximado da integral usando a regra dos trapézios generalizada para 2 4 e 6 subintervalos e obter um limitante superior para o erro 𝑑𝑥 4 1 𝑥 In 50 In 51 In 52 64 Regra 13 de Simpson Consiste em aproximar a integral da função pela integral de um polinômio interpolador de grau 2 Para isso dividimos o intervalo de integração subintervalos e a cada 3 pontos usamos a integral do polinômio interplolador como aproximação da integral da função nesses dois subintervalos Então considere uma função definida em três pontos distintos e equidistantes no intervalo O polinômio de Lagrange para esses pontos considerando a mudança de variável é dado por A integral pode ser aproximada como segue ou ainda 𝑓𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥𝑥0 ℎ 𝑢 𝑓 𝑓 𝑓 𝑃2 𝑥0 3𝑢 2 𝑢2 2 𝑥1 2𝑢 𝑢2 1 𝑥2 𝑢 𝑢2 2 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 ℎ 𝑢𝑑𝑢 𝑥𝑛 𝑥0 𝑥2 𝑥0 𝑃2 2 0 𝑃2 n 5 I 13206255135651455 n 10 I 1304727563368882 n 100 I 12993378314867685 Out49 12993378314867685 Out50 6772340295647981 Out51 678322070363297 Out52 6786856407214704 x0 15 xn 55 f lambda x 1x for n in 510100 h xnx0n xi nplinspacex0 xn n1 It hfxi0fxi12 npsumfxi11 print nn IIt nptrapzfxidxh f lambda x npsqrtx xi nplinspace1 5 6 nptrapzfxi xi xi nplinspace1 5 11 nptrapzfxi xi xi nplinspace1 5 101 nptrapzfxi xi 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 69 Assim temos conhecida como Regra 13 de Simpson Graficamente temse Figura 64 Aproximação pela integral do polinômio interpolador de grau 2 Um limitante superior para o erro será dado por ℎ 𝑢𝑑𝑢 ℎ𝑓 𝑢 ℎ𝑓 𝑓 2 0 𝑃2 𝑥0 2 0 𝑥1 𝑥0 𝑢2 2 2 0 𝑓 2𝑓 𝑓 ℎ 2 𝑥2 𝑥1 𝑥0 𝑢3 3 𝑢2 2 2 0 2ℎ𝑓 2ℎ𝑓 2ℎ𝑓 𝑓 2𝑓 𝑓 𝑥0 𝑥1 𝑥0 ℎ 3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 𝑓 4𝑓 𝑓 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓 4𝑓 𝑓 𝑥𝑛 𝑥0 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝜉 𝐸2 ℎ5 90 𝑓 4 𝑥0 𝑥2 Exemplo 63 Calcule o valor aproximado da integral 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 usando a regra 13 de Simpson 15 05 In 53 A biblioteca scipy contém diversas funções para integração numérica dentre elas as regras de Simpson Veja um exemplo de como utilizar a seguir In 54 A regra 13 de Simpson repetida ou generalizada consiste em subdividirmos o intervalo de integração em subintervalos de ampliture que que é um número par de subintervalos com e então aplicando a regra 13 de Simpson a cada 2 subintervalos consecutivos obtemos 𝑎 𝑏 𝑛 ℎ 𝑛 𝑥0 𝑎 𝑏 𝑥𝑛 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓 4𝑓 𝑓 𝑓 4𝑓 𝑓 𝑥𝑛 𝑥0 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥2 ℎ 3 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑓 4𝑓 𝑓 ℎ 3 𝑥𝑛2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 Resultado 13 Simpson 05060852831621655 Out54 05182548311717724 x0 05 xn 15 n 2 h xnx0n f lambda x npcosx x nplinspacex0 xn n1 y fxi Regra 13 de Simpson Is h3y0 4y1 y2 print Resultado 13 Simpson Is import scipyintegrate as integrate integratesimpsfx x 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 79 Um limitante superior para o erro será dado por 𝑓 4𝑓 2𝑓 4𝑓 2𝑓 4𝑓 𝑓 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑓 4𝑓 𝑓 𝑓 2𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥3 𝑥𝑛1 𝑥2 𝑥4 𝑥𝑛2 𝑥𝑛 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝜉 𝐸2 ℎ4 180 𝑥𝑛 𝑥0 𝑓 4 𝑥0 𝑥𝑛 Exemplo 64 Calcule o valor aproximado da integral usando a regra 13 de Simpson para 10 20 e 100 subintervalos 𝑥 3𝑑𝑥 4 1 𝑒𝑥 In 63 ou In 64 In 65 In 58 64 Regra 38 de Simpson Consiste em aproximar a integral da função pela integral de um polinômio interpolador de grau 3 Para isso dividimos o intervalo de integração subintervalos e a cada 4 pontos usamos a integral do polinômio interpolador como aproximação da integral da função nesses 3 subintervalos Então considere uma função definida em quatro pontos distintos e equidistantes no intervalo O polinômio interpolador de Lagrange para esses pontos considerando a mudança de variável é dado por ou O que fornece 𝑓𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥𝑥0 ℎ 𝑢 𝑓 𝑓 𝑓 𝑃3 𝑥0 𝑢 1𝑢 2𝑢 3 6 𝑥1 𝑢𝑢 2𝑢 3 2 𝑥2 𝑢𝑢 1𝑢 3 2 𝑓 𝑥3 𝑢𝑢 1𝑢 2 6 𝑢 𝑓 𝑓 𝑓 𝑃3 𝑥0 6 11𝑢 6 𝑢3 𝑢2 6 𝑥1 5 6𝑢 𝑢3 𝑢2 2 𝑥2 4 3𝑢 𝑢3 𝑢2 2 𝑓 𝑥3 5 6𝑢 𝑢3 𝑢2 6 𝑓𝑥𝑑𝑥 ℎ 𝑢𝑑𝑢 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 𝑥3 𝑥0 3 0 𝑃3 3 8 𝑥0 𝑥1 𝑓2 𝑥3 n 10 I 1728109327815904 n 20 I 17279549085115607 n 100 I 17279445177011632 17281093278159045 17279549085115613 17279445177011632 x0 10 xn 40 f lambda x xnpexpx3 for n in 1020100 h xnx0n x nplinspacex0 xn n1 y fx I h3y0 4npsumy1n2 2npsumy2n2 y1 print nn II x nplinspace1 4 11 printscipyintegratesimpsfx x x nplinspace1 4 21 printscipyintegratesimpsfx x x nplinspace1 4 101 printscipyintegratesimpsfx x 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 89 Então que consiste na regra 38 de Simpson Graficamente temse Figura 65 Aproximação pela integral do polinômio interpolador de grau 3 Um limitante superior para o erro será dado por 𝑓𝑥𝑑𝑥 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 𝑥3 𝑥0 3 8 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝜉 𝐸3 3ℎ5 80 𝑓 4 𝑥0 𝑥3 Exemplo 65 Calcule o valor aproximado da integral 𝑙𝑛𝑥 9𝑑𝑥 usando a regra 38 de Simpson 7 1 In 59 In 60 A regra 38 de Simpson repetida ou generalizada consiste em subdividir o intervalo de integração em subintervalos de ampliture em que é um número múltiplo de 3 com e então aplicar a regra 38 de Simpson repetidamente a cada 3 subintervalos consecutivos Com isso obtémse que consiste na regra 38 de Simpson repetida 𝑎 𝑏 𝑛 ℎ 𝑛 𝑥0 𝑎 𝑏 𝑥𝑛 𝑓𝑥𝑑𝑥 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 𝑥𝑛 𝑥0 3 8 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 3 8 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 3 8 𝑥𝑛3 𝑥𝑛2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 ℎ 𝑓 3 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 3 8 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥4 𝑥5 𝑥𝑛2 𝑥𝑛1 2 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥3 𝑥6 𝑥𝑛3 𝑥𝑛 Um limitante superior para o erro é dado por 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝜉 𝐸3 ℎ4 80 𝑥𝑛 𝑥0 𝑓 4 𝑥0 𝑥𝑛 Exemplo 66 Calcule o valor aproximado da integral 𝑙𝑛𝑥 9𝑑𝑥 usando a regra 38 de Simpson para 8 20 e 40 subintervalos 6 1 15335299315082702 15331233468068582 x nplinspace174 h x1x0 f lambda x nplogx9 I 3h8fx0 3fx13fx2fx3 printI printscipyintegratesimpsfx x 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 99 In 67 O subpacote scipyintegrate de SciPy provê diversas funções para integração numérica incluindo as regras de NewtonCotes trapezoid cumulativetrapezoid e simpson Além destas outras funções disponíveis são quad dblquad e tplquad para integrais simples duplas e triplas respectivamente fixedquad e quadrature para quadratura Gaussiana e romberg para integração de Romberg Exercícios Encontre se possível a primitiva das seguintes funções usando sympy então obtenha a solução exata e compare com soluções numéricas usando somas de Riemann e os métodos de NewtonCotes para diferentes números de subintervalos Compare os resultados a b c d e f g h 𝑑𝑥 16 1 2𝑥 4 𝑥2 𝑑𝑥 1 0 𝑥2𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 𝜋4 0 𝑒𝑥3 𝑑𝑥 05 0 2 𝑥4 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 1 0 𝑥14 𝑑𝑥 1 0 𝑒2𝑥 𝑥2 5 𝑑𝑥 1 0 𝑙𝑛𝑥 1𝑥15 𝑑𝑥 1 0 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑥13 In n 4 I 11761407778686316 n 20 I 1175388556350441 n 40 I 12510405538009266 x0 10 xn 60 f lambda x nplogx9 for n in 42040 h xnx0n x nplinspacex0 xn n1 y fx Regra 38 de Simpson usando funções do numpy I 3h8y0 3npsumy1n13y2n3 2npsumy3n3 y1 print nn II
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05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 19 6 Integração Numérica A integração numérica é útil em situações nas quais não se conhece a expressão analítica da função a ser integrada ou quando a função primitiva é difícil de se obter ou não existe Uma forma de se calcular uma aproximação numérica para uma integral é por meio da integração do polinômio interpolador Esse processo é conhecido como quadratura de NewtonCotes e é desenvolvido por meio das sistemáticas conhecidas como Regra dos Trapézios Regra 13 de Simpson e Regra 38 de Simpson Antes de apresentarmos as fórmulas de NewtonCotes vamos relembrar um pouco do Cálculo Considere uma função contínua no intervalo Então sabemos que em que a função é a fprimitiva ou antiderivada de ou seja é tal que Graficamente considerando a função para todo podemos interpretar a intergral como a área entre a curva de e o eixo das abcissas Figura 61 A integral definida como área sob o gráfico 𝑓𝑥 𝑎 𝑏 𝐼 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑏 𝐹𝑎 𝑏 𝑎 𝐹𝑥 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 𝐹 𝑓𝑥 0 𝑥 𝑎 𝑏 𝐼 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓 61 Soma de Riemann A forma mais simples de obter um valor aproximado para uma integral definida é por meio da soma de Riemann Para isto dividese o intervalo de integração em subintervalos e somamse as áreas dos retângulos definidos em cada subintervalo A largura de cada retângulo será dado por e a altura será dada por para algum dentro do subintervalo com Uma escolha natural para o valor de é um dos extremos do intervalo o extremo esquerdo pela esquerda ou o extremo direito pela direita 𝑎 𝑏 𝑛 ℎ 𝑥𝑛 𝑥0 𝑛 𝑓𝑥 𝑥 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑖 0 1 𝑛 𝑥 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 29 Figura 62 Somas de Riemann pela direita e pela esquerda Claramente podemos aumentar a acurácia da aproximação obtida aumentando o número de subintervalos A regra do ponto médio considera a altura do retângulo definida em cada subintervalo como sendo o valor da função no ponto médio entre e 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑓𝑥𝑑𝑥 ℎ𝑓 𝑏 𝑎 𝑖0 𝑛1 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 2 Exemplo 61 Nesse exemplo vamos calcular a integral usando sympy para obter a solução exata e então vamos obter aproximações usando soma de Riemann pela esquerda pela direita e pela regra do ponto médio e comparar os resultados Primeiramente vamos obter a primitiva usando sympy 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 08 01 𝑥2 In 41 Calculando o resultado a integral definida In 42 Agora o resultado aproximado pela soma de Riemann com 7 subintervalos ou seja ℎ 01 In 43 Out41 log 𝑥 𝑥3 3 𝑥3 9 00940934155044049 h 01 from sympy import x symbolsx initprintinguseunicodeTrue f x2logx integratef x F lambda x x3logx3 x39 I F08F01 printI import numpy as np xi nplinspace01 08 8 h xi1xi0 print hh 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 39 In 44 In 45 In 46 In 47 Nesse exemplo é possivel notar que a regra do ponto médio forneceu a melhor aproximação De modo geral os métodos numéricos para cálculo de integrais definidas consistem em aproximar a função pelo polinômio interpolador e integrar o polinômio Os casos ilustrados acima são polinômios de grau zero mas poderiamos utilizar polinômios de grau maior Assim de forma geral temos 𝑓𝑥 𝑃𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑃𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑥𝑛 𝑥0 A seguir serão apresentados três métodos para integração numérica baseados na integração do polinômio interpolador conhecidos como Regras de Newton Cotes São eles a regra dos trapézios a regra 13 de Simpson e a regra 38 de Simpson 63 Regra dos trapézios Consiste am aproximar a integral da função em um intervalo 𝑎𝑏 pela integral do polinômio de grau 1 que passa pelos pontos 𝑎𝑓𝑎 e 𝑏𝑓𝑏 Se 𝑓𝑥0 em 𝑎𝑏 a área entre o gráfico da função e o eixo 𝑥 é aproximado pela área do trapézio de altura ℎ𝑏𝑎 e bases 𝑓𝑎 e 𝑓𝑏 Considere uma função definida nos pontos e no intervalo O polinômio de Lagrange para esses pontos considerando a mudança de variável é dado por e a integral pode 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consecutivos Assim temos E o limitante superior para o erro será dado por 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑥 𝐸1 ℎ3 12 𝑓 2 𝑥0 𝑥1 𝑎 𝑏 𝑛 ℎ 𝑥𝑛 𝑥0 𝑛 𝑎 𝑥0 𝑏 𝑥𝑛 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥𝑛 𝑥0 ℎ 2 𝑥0 𝑥1 ℎ 2 𝑥2 𝑥2 ℎ 2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑓 2𝑓 2𝑓 2𝑓 𝑓 ℎ 2 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑓 2𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 ℎ 2 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑥 𝐸𝑡 ℎ2 12 𝑥𝑛 𝑥0 𝑓 2 𝑥0 𝑥𝑛 Exemplo 62 Vamos calcular o valor aproximado da integral usando a regra dos trapézios Solução Basta fazer Resolvendo analiticamente o valor exato é que pode ser calculado usando uma calculadora obtendose O valor obtido pela regra do trapézio é maior como pode ser verificado observando na figura comparandose as áreas Vamos usar a regra dos trapézios repetida para 5 10 e 100 subintervalos para ver como fica 𝑑𝑥 55 15 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑓15 𝑓55 2 1697 55 15 1 𝑥 4 2 1 15 1 55 𝑙𝑛55 𝑙𝑛15 12992829841302609 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 59 In 48 A biblioteca numpy já traz uma implementação da regra dos trapézios Veja como usar no exemplo a seguir com os pontos o espaçameto e a função definidos acima In 49 A biblioteca scipy também possui funções para integrais definidas Para saber mais pesquise por scipyintegrate Exemplo 62 Vamos calcular o valor aproximado da integral usando a regra dos trapézios generalizada para 2 4 e 6 subintervalos e obter um limitante superior para o erro 𝑑𝑥 4 1 𝑥 In 50 In 51 In 52 64 Regra 13 de Simpson Consiste em aproximar a integral da função pela integral de um polinômio interpolador de grau 2 Para isso dividimos o intervalo de integração subintervalos e a cada 3 pontos usamos a integral do polinômio interplolador como aproximação da integral da função nesses dois subintervalos Então considere uma função definida em três pontos distintos e equidistantes no intervalo O polinômio de Lagrange para esses pontos considerando a mudança de variável é dado por A integral pode ser aproximada como segue ou ainda 𝑓𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥𝑥0 ℎ 𝑢 𝑓 𝑓 𝑓 𝑃2 𝑥0 3𝑢 2 𝑢2 2 𝑥1 2𝑢 𝑢2 1 𝑥2 𝑢 𝑢2 2 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 ℎ 𝑢𝑑𝑢 𝑥𝑛 𝑥0 𝑥2 𝑥0 𝑃2 2 0 𝑃2 n 5 I 13206255135651455 n 10 I 1304727563368882 n 100 I 12993378314867685 Out49 12993378314867685 Out50 6772340295647981 Out51 678322070363297 Out52 6786856407214704 x0 15 xn 55 f lambda x 1x for n in 510100 h xnx0n xi nplinspacex0 xn n1 It hfxi0fxi12 npsumfxi11 print nn IIt nptrapzfxidxh f lambda x npsqrtx xi nplinspace1 5 6 nptrapzfxi xi xi nplinspace1 5 11 nptrapzfxi xi xi nplinspace1 5 101 nptrapzfxi xi 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 69 Assim temos conhecida como Regra 13 de Simpson Graficamente temse Figura 64 Aproximação pela integral do polinômio interpolador de grau 2 Um limitante superior para o erro será dado por ℎ 𝑢𝑑𝑢 ℎ𝑓 𝑢 ℎ𝑓 𝑓 2 0 𝑃2 𝑥0 2 0 𝑥1 𝑥0 𝑢2 2 2 0 𝑓 2𝑓 𝑓 ℎ 2 𝑥2 𝑥1 𝑥0 𝑢3 3 𝑢2 2 2 0 2ℎ𝑓 2ℎ𝑓 2ℎ𝑓 𝑓 2𝑓 𝑓 𝑥0 𝑥1 𝑥0 ℎ 3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 𝑓 4𝑓 𝑓 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓 4𝑓 𝑓 𝑥𝑛 𝑥0 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝜉 𝐸2 ℎ5 90 𝑓 4 𝑥0 𝑥2 Exemplo 63 Calcule o valor aproximado da integral 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 usando a regra 13 de Simpson 15 05 In 53 A biblioteca scipy contém diversas funções para integração numérica dentre elas as regras de Simpson Veja um exemplo de como utilizar a seguir In 54 A regra 13 de Simpson repetida ou generalizada consiste em subdividirmos o intervalo de integração em subintervalos de ampliture que que é um número par de subintervalos com e então aplicando a regra 13 de Simpson a cada 2 subintervalos consecutivos obtemos 𝑎 𝑏 𝑛 ℎ 𝑛 𝑥0 𝑎 𝑏 𝑥𝑛 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓 4𝑓 𝑓 𝑓 4𝑓 𝑓 𝑥𝑛 𝑥0 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥2 ℎ 3 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑓 4𝑓 𝑓 ℎ 3 𝑥𝑛2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 Resultado 13 Simpson 05060852831621655 Out54 05182548311717724 x0 05 xn 15 n 2 h xnx0n f lambda x npcosx x nplinspacex0 xn n1 y fxi Regra 13 de Simpson Is h3y0 4y1 y2 print Resultado 13 Simpson Is import scipyintegrate as integrate integratesimpsfx x 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 79 Um limitante superior para o erro será dado por 𝑓 4𝑓 2𝑓 4𝑓 2𝑓 4𝑓 𝑓 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑓 4𝑓 𝑓 𝑓 2𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 ℎ 3 𝑥0 𝑥1 𝑥3 𝑥𝑛1 𝑥2 𝑥4 𝑥𝑛2 𝑥𝑛 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝜉 𝐸2 ℎ4 180 𝑥𝑛 𝑥0 𝑓 4 𝑥0 𝑥𝑛 Exemplo 64 Calcule o valor aproximado da integral usando a regra 13 de Simpson para 10 20 e 100 subintervalos 𝑥 3𝑑𝑥 4 1 𝑒𝑥 In 63 ou In 64 In 65 In 58 64 Regra 38 de Simpson Consiste em aproximar a integral da função pela integral de um polinômio interpolador de grau 3 Para isso dividimos o intervalo de integração subintervalos e a cada 4 pontos usamos a integral do polinômio interpolador como aproximação da integral da função nesses 3 subintervalos Então considere uma função definida em quatro pontos distintos e equidistantes no intervalo O polinômio interpolador de Lagrange para esses pontos considerando a mudança de variável é dado por ou O que fornece 𝑓𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥𝑥0 ℎ 𝑢 𝑓 𝑓 𝑓 𝑃3 𝑥0 𝑢 1𝑢 2𝑢 3 6 𝑥1 𝑢𝑢 2𝑢 3 2 𝑥2 𝑢𝑢 1𝑢 3 2 𝑓 𝑥3 𝑢𝑢 1𝑢 2 6 𝑢 𝑓 𝑓 𝑓 𝑃3 𝑥0 6 11𝑢 6 𝑢3 𝑢2 6 𝑥1 5 6𝑢 𝑢3 𝑢2 2 𝑥2 4 3𝑢 𝑢3 𝑢2 2 𝑓 𝑥3 5 6𝑢 𝑢3 𝑢2 6 𝑓𝑥𝑑𝑥 ℎ 𝑢𝑑𝑢 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 𝑥3 𝑥0 3 0 𝑃3 3 8 𝑥0 𝑥1 𝑓2 𝑥3 n 10 I 1728109327815904 n 20 I 17279549085115607 n 100 I 17279445177011632 17281093278159045 17279549085115613 17279445177011632 x0 10 xn 40 f lambda x xnpexpx3 for n in 1020100 h xnx0n x nplinspacex0 xn n1 y fx I h3y0 4npsumy1n2 2npsumy2n2 y1 print nn II x nplinspace1 4 11 printscipyintegratesimpsfx x x nplinspace1 4 21 printscipyintegratesimpsfx x x nplinspace1 4 101 printscipyintegratesimpsfx x 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 89 Então que consiste na regra 38 de Simpson Graficamente temse Figura 65 Aproximação pela integral do polinômio interpolador de grau 3 Um limitante superior para o erro será dado por 𝑓𝑥𝑑𝑥 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 𝑥3 𝑥0 3 8 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝜉 𝐸3 3ℎ5 80 𝑓 4 𝑥0 𝑥3 Exemplo 65 Calcule o valor aproximado da integral 𝑙𝑛𝑥 9𝑑𝑥 usando a regra 38 de Simpson 7 1 In 59 In 60 A regra 38 de Simpson repetida ou generalizada consiste em subdividir o intervalo de integração em subintervalos de ampliture em que é um número múltiplo de 3 com e então aplicar a regra 38 de Simpson repetidamente a cada 3 subintervalos consecutivos Com isso obtémse que consiste na regra 38 de Simpson repetida 𝑎 𝑏 𝑛 ℎ 𝑛 𝑥0 𝑎 𝑏 𝑥𝑛 𝑓𝑥𝑑𝑥 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 𝑥𝑛 𝑥0 3 8 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 3 8 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 ℎ 𝑓 3𝑓 3𝑓 𝑓 3 8 𝑥𝑛3 𝑥𝑛2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 ℎ 𝑓 3 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 3 8 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥4 𝑥5 𝑥𝑛2 𝑥𝑛1 2 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥3 𝑥6 𝑥𝑛3 𝑥𝑛 Um limitante superior para o erro é dado por 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝜉 𝐸3 ℎ4 80 𝑥𝑛 𝑥0 𝑓 4 𝑥0 𝑥𝑛 Exemplo 66 Calcule o valor aproximado da integral 𝑙𝑛𝑥 9𝑑𝑥 usando a regra 38 de Simpson para 8 20 e 40 subintervalos 6 1 15335299315082702 15331233468068582 x nplinspace174 h x1x0 f lambda x nplogx9 I 3h8fx0 3fx13fx2fx3 printI printscipyintegratesimpsfx x 05012023 2101 06integracaonumerica Jupyter Notebook localhost8888notebooksMATCOMP06integraçãonuméricaeaplicações06integracaonumericaipynb 99 In 67 O subpacote scipyintegrate de SciPy provê diversas funções para integração numérica incluindo as regras de NewtonCotes trapezoid cumulativetrapezoid e simpson Além destas outras funções disponíveis são quad dblquad e tplquad para integrais simples duplas e triplas respectivamente fixedquad e quadrature para quadratura Gaussiana e romberg para integração de Romberg Exercícios Encontre se possível a primitiva das seguintes funções usando sympy então obtenha a solução exata e compare com soluções numéricas usando somas de Riemann e os métodos de NewtonCotes para diferentes números de subintervalos Compare os resultados a b c d e f g h 𝑑𝑥 16 1 2𝑥 4 𝑥2 𝑑𝑥 1 0 𝑥2𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 𝜋4 0 𝑒𝑥3 𝑑𝑥 05 0 2 𝑥4 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 1 0 𝑥14 𝑑𝑥 1 0 𝑒2𝑥 𝑥2 5 𝑑𝑥 1 0 𝑙𝑛𝑥 1𝑥15 𝑑𝑥 1 0 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑥13 In n 4 I 11761407778686316 n 20 I 1175388556350441 n 40 I 12510405538009266 x0 10 xn 60 f lambda x nplogx9 for n in 42040 h xnx0n x nplinspacex0 xn n1 y fx Regra 38 de Simpson usando funções do numpy I 3h8y0 3npsumy1n13y2n3 2npsumy3n3 y1 print nn II