Slide - Introdução - Mecânica dos Sólidos 1 2022 2

25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Introdução, Revisão e Critérios de Avaliação christoforoal@yahoo.com.br 02 Mecânica Aplicada (Estática): Mecânica dos Sólidos: - equilíbrio de corpos rígidos análise de estruturas geometricamente determinadas - número de equações de equilíbrio igual ao número de incógnitas; - equilíbrio de corpos deformáveis análise de estruturas geometricamente determinadas ou superdeterminadas. ∑F = 0 x ∑F = 0 y ( ) 0 z α = ∑ M 0 x y Fr Fr i Fr j = ⋅ + ⋅ = r r r r ( ) 0 z M z k Mr r α = ⋅ = r r r e 3 Eq. de Equilíbrio e 3 Incógnitas SPD ? ? A = ? y C = ? y C = ? x x y A = ? y C = ? y B = ? y D = ? y ∑F = 0 x ∑F = 0 y ( ) 0 z α = ∑ M redundante 2 Eq. de Equilíbrio e 4 Incógnitas estrutura 2 X hiperestática deformabilidade da estrutura + resulta em um SPD 25/06/2019 2 03 Objetivos da Mecânica dos Sólidos: Estabelecer relações entre cargas aplicadas e as forças internas (esforços solicitantes) que se desenvolvem no interior de um corpo deformável qualquer. zε − ∆ = = l l l l l i i f equilíbrio da parte seccionada barra auto equilibrada deformação específica (adimensional) seção permanece plana após a deformação tensão normal (força / área) : z z A P Fr F dF dA P A A σ σ σ = = ⇒ = ⋅ ⇒ = ∑ ∫ ∫ 04 Pressupostos e hipóteses básicas da Mecânica dos Sólidos: Continuidade Física: A matéria apresenta uma estrutura continua, ou seja, são desconsiderados todos os vazios e porosidades. Homogeneidade: O material apresenta as mesmas características mecânicas, de elasticidade e de resistência em todos os pontos. escala microscópica + = Material Elástico e Linear: Para certos níveis de força [em boa parte dos materiais de engenharia], as deformações (ε) geradas pelas tensões (σ) são totalmente Reversíveis, e a relação entre ambas as grandezas é de proporcionalidade (σ=E·ε), implicando na validade da superposição de efeitos. 25/06/2019 3 05 Pequenas Deformações e Pequenos Deslocamentos: As deformações são muito pequenas quando comparadas com as dimensões da estrutura. A forma deformada se confunde com a indeformada [teoria de Primeira Ordem]. Isotropia: O material apresenta as mesmas características elásticas em todas as direções. O equilíbrio é avaliado na configuração indeslocada, por esta se confundir com a forma deslocada da estrutura a ser projetada. 06 Elementos estruturais Placa Casca Elementos de Superfíce Chapa   ⇒   Bloco Elemento Tridimensional ⇒ Modelagem: Equações Diferenciais Parciais (EDPs) Na Mecânica dos Sólidos: Modelagem: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) 25/06/2019 4 07 Os fundamentos da Mecânica dos Sólidos constituem a base para o dimensionamento estrutural. Dimensionar uma estrutura implica em determinar as menores dimensões para que essa resista com segurança a ação das forças externas e que deforme de maneira controlada. Estática (Pré-Requisito) Mecânica dos Sólidos (1 e 2): - Análise Estrutural 1 e 2; - Estruturas de Concreto 1, 2, 3 e 4; - Sistemas Estruturais em Concreto Pré-moldado; - Estruturas em Concreto Pré-moldado; - Estruturas Mistas de Aço e Concreto - Patologia e Reforço de Estruturas; - Estruturas de Pontes; - Estruturas em Concreto Protendido; - Estruturas de Aço 1 e 2; - Estruturas de Aço em Perfis Formados a Frio - Estruturas de Madeira; - Alvenaria Estrutural; - Monitoramento de Estruturas. cerca de 18 disciplinas entre obrigatórias e optativas 01 08 Pré-requisitos para a Disciplina: - Equilíbrio de Partículas; - Equilíbrio de um Corpo Rígido; - Equilíbrio de um Sistema de Corpos Interligados; - Centroide de Seções Planas Compostas; - Momentos de Inércia para Áreas. Equilíbrio de partícula em 3D: linhas de ação das forças Fr = 0 r r equilíbrio de partícula x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ z z Fr F 0 = = ∑ x y z Fr = Fr i Fr j Fr k ⋅ + ⋅ + ⋅ r r r r = 0 i 0 0 k 0 j ⋅ + ⋅ + ⋅ r r r r 25/06/2019 5 09 Equilíbrio de um corpo rígido em 2D: condições de equilíbrio de corpo rígido: F = 0 ∑ r r Mα = 0 ∑ r r (Soma dos Momentos) e diagrama de corpo livre - DCL O x y M F d k = ⋅ ⋅ r r x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ A A Mr M 0 = = ∑ 2D: ap. móvel ap. inclinado ap. fixo pino engaste Vínculos: 10 Equilíbrio de sistema de corpos conectados em 2D: Treliças: Estruturas constituídas de barras conectadas por articulações e com geometria base triangular (rigida e leva), carregada apenas nas articulações. Pela forma de ligação dos elementos e pela condição de aplicação do carregamento, as barras retilíneas permanecem retilíneas pós a deformação, ou seja, não sofrem esforços de flexão (momento e esforço cortante). O único esforço atuante em cada elemento tem a direção do eixo das barras, intitulado esforço normal (N). convenção ∑F = 0 x ∑F = 0 y Método dos Nós: convenção 25/06/2019 6 11 Método dos Seções: FBC = ? ; FGC = ?; FGF = ? ou Vigas Gerber: tramo pré-moldado x y z x y z 3 Eq. de Equilíbrio 3 Eq. de Equilíbrio 6 Incógnitas 12 barra sob flexão barras solicitadas axialmente Reações nos vínculos: x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ A A Mr M 0 = = ∑ x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ Esforços Normais: x y z DCL x y DCL Estrutura composta por barras solicitadas na flexão e axialmente: 25/06/2019 7 13 Centroide de uma área: { A A A dA A x x x dA S A x dA A dA ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = ∫ ∫ ∫ ∫ y { A A A dA A y y y dA S A x dA A dA ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = ∫ ∫ ∫ ∫ x Do teorema dos momentos: Mr M α α =∑ depende do sistema de referências eleito A A dA = ∫ Momentos de área: >0, <0 ou =0 A S x dA = ⋅ ∫ y - em torno do eixo y: A S y dA = ⋅ ∫ x - em torno do eixo x: dim [ . ] S ou S u c 3 x y >0, <0 ou =0 Seções compostas: i i i A A x x ⋅ = ∑ ∑ i i i A A y y ⋅ = ∑ ∑ dim [ . ] x ou y u c 14 Momento de inércia de uma área: 2 2 2 2 2 ( ) A A A A dA x y dA x d r A y dA I I J = ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ∫ ∫ ∫ ∫ y o x >0 polar dim [ . ] I ou I u c 4 x y 2 A I y dA = ⋅ ∫ x >0 2 A I x dA = ⋅ ∫ y >0 retangulares torção do eixo ( ) T x x G φ ⋅ = ⋅ o J polar resistência ao giro e torno de um eixo 12 b h I ⋅ = 3 x 12 h b I ⋅ = 3 y para o CG x y z deflexão da viga retangular ( ) 3 2 3 ( ) 3 2 6 P v x x x E = ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ l l zI 25/06/2019 8 15 Teorema dos Eixos Paralelos: 2 ( y ) y A I y d dA I d A = + ⋅ = + ⋅ ∫ 2 x x 2 ( x ) x A I x d dA I d A = + ⋅ = + ⋅ ∫ 2 y y J J r A = + ⋅ 2 o o Seções Compostas: ( ) y I I d A = + ⋅ ∑ 2 x x ( ) J J r A = + ⋅ ∑ 2 o o 5 (10 2) 11,5 (3 8) 8,55 (10 2) (3 8) c y m ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = ⋅ + ⋅ centroide: Determinar os momentos de inercia em relação aos eixos x e y centroidais da seção T. 3 3 2 2 2 10 8 3 (8,55 5) 2 10 (11,5 8,55) 8 3 645,58 12 12 xI cm     ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ =         4 inércia: ( ) x I I d A = + ⋅ ∑ 2 y y (10 2) (3 8) 0 (10 2) (3 8) 0 0 i i i x A m x c A ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = = ⋅ + ⋅ ∑ ∑ 3 3 2 2 10 2 3 8 ( ) 2 10 ( ) 8 3 134,67 1 0 0 12 2 I cm     ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =         4 y 16 Centroides e Momentos de inércia de algumas figuras planas: 16 r I I π ⋅ = = 4 y x 8 r J π ⋅ = 4 o 0,11 ; 8 r I r I π ⋅ ≈ ⋅ = 4 4 y x 0,50 J r = ⋅ 4 o 4 r I I π ⋅ = = 4 y x 2 r J π ⋅ = 4 o 3 3 12 ; 12 b h h b I I ⋅ ⋅ = y = x 3 3 12 b h h b J ⋅ + ⋅ = o 3 3 36 ; 36 b h h b I I ⋅ ⋅ = y = x 3 3 36 b h h b J ⋅ + ⋅ o = 25/06/2019 9 17 Esforços Solicitantes (Capítulo 1): São forças internas que surgem para o equilíbrio das partes seccionadas da estrutura. corte hipotético x y z 3 GL x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ C C Mr M 0 = = ∑ ação parte AB: ou parte CB: reação NC = ? ; VC = ? ; MC = ? 18 A determinação dos esforços solicitantes extremos é de fundamental importância no dimensionamento da estrutura. x y z ( ) 2 ( ) 2 w M x L x x = ⋅ ⋅ − ( ) 2 L V x w x   = ⋅ −     x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ Mr M 0 α α = = ∑ 0 x L ≤ ≤ Trecho AB: momento fletor: cortante: diagramas 25/06/2019 10 19 Componentes de Tensão (Capítulo 2): * 0 lim * * A F F A A ρ ∆ → ∆ = = ∆ * cos( ) A A θ = F cos( ) A ρ θ = ⋅ ( ) ; ??? máx f σθ θ σ = = ( ) ; ??? máx g τθ θ τ = = 2 cos( ) F cos ( ) A θ ρ σ θ θ = ⋅ = ⋅ ( ) ( ) cos( ) F sen sen A θ ρ θ θ τ θ = ⋅ = ⋅ ⋅ tensão normal tensão cisalhante 20 Componentes de Deformação (Capítulo 3): Deformação consiste na razão entre variação de comprimento e o comprimento original. 2 2 ´ (250 2) (3) 248,018 AB mm = − + = 3 ´ 248,018 250 7,93 10 250 AB AB AB AB ε − − − = ⋅ − = = 3 ( ) 250 2 tg γ xy = ⇒ − 3 0,0121 250 2 xy arctag rad γ   ⇒ = =   −   deformação específica: não alteração da forma adimensional adimensional encurtamento ε>0 implica em tração (convenção) redução do ângulo reto γxy>0 alteração da forma deformação angular: 25/06/2019 11 21 + = 0 0 f x ε − = l l l ε σ material dúctil E ∆σ = ∆ε ∆σ ∆ε E σ ε = ⋅ 2 x F A F r π σ ⋅ = = Material Elástico e Linear: Para certos níveis de força, as deformações (ε) geradas pelas tensões (σ) são totalmente Reversíveis, e a relação entre ambas as grandezas é de proporcionalidade (σ=E·ε), implicando na validade da superposição de efeitos. Propriedades Mecânicas dos Materiais (Capítulo 4): 22 Solicitação Axial (Capítulo 5): A F A N x = − =σ = σ σ y = 0 = 0 τ i i i i i N L L E A ⋅ ∆ = ⋅ x N A σ = x x E σ ε = ⋅ x L L ε = ∆ 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 x x σ σ     =       representação para o estado triplo de tensão estado simples de tensão (EST) 25/06/2019 12 23 σ x = 0 σ y = 0 /2 t t T D T I τ ω ⋅ = = (i) (i) t i i i t M L G I φ ⋅ = ⋅ r A T r dA = τ ⋅ ∫ G τ γ = ⋅ análogo a solicitação axial t M 2 dφ = D γ dx ⋅ ⋅ ´ ( ) ´ bb tg bb dx dx γ γ γ ≈ = ⇒ = ⋅ ´ ( ) ´ / 2 2 bb D tg d d bb d D ϕ ϕ ϕ ≈ = ⇒ = ⋅ rτ τ r = D 2 r τ τ = r D 2 ⋅ Torção (Capítulo 6): estado simples de tensão (EST) 24 z x z M y I σ = ⋅ z xy z V S b I τ ⋅ = ⋅ Flexão, Cisalhamento e Deflexão de Vigas (Capítulo 7): estado plano de tensão (EPT) 25/06/2019 13 25 Transformação de Tensão (Capítulo 8): (2 ) (2 ) xy M Dif cos sen σθ θ τ θ = + ⋅ + (2 ) (2 ) xy Dif sen cos τθ θ τ θ = − ⋅ + x y M 2 σ σ + = x y Dif 2 σ σ − = sol. na flexão (EPT) sol. na torção (EST) sol. axial (EST) 1 2 2 2 xy M Dif σ τ = ± + 1 2 2 2 xy Dif τ τ = ± + convenção 1 p 1 tg 2 Dif τ θ −   =     * o p p 90 θ =θ + 1 c 1 Dif 2 tg θ τ −   = −    * o c c 90 θ =θ + convenção Para direções quaisquer: Tensões extremas: Direções de ocorrência: equilíbrio de partícula 26 Transformação da Deformação (Capítulo 9): implica em ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 estado plano de deformação (EPD) ´ ( ) ( ) 2 xy x M + Dif cos 2 sen 2 θ γ ε ε θ θ = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ( ) ( ) xy M sen 2 cos 2 2 2 θ γ γ θ θ = − ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ 2 x y M ε ε + = 1 2 2 xy 2 M Dif 2 γ ε   = ± +     xy 1 p x y 1 tg 2 γ θ ε ε −   =     −   * o p p 90 θ =θ + 1 2 2 xy Dif 2 2 γ γ   = ± +     ( ) x y 1 c xy 1 tg 2 ε ε θ γ −   − − =       * o c c 90 θ =θ + Para direções quaisquer: Deformações extremas: direções direções convenção (EPT) convenção 2 x y Dif ε ε − = 25/06/2019 14 27 Critérios de Resistência (Capítulo 10): estado simples de tensão (EST) solicitação axial σ máx ≤σ lim máx máx seg f F A ou F A σ    =    ⋅  lim fseg > 1 (EPT) Como avaliar o fenômeno de falha para 2 componentes de tensão atuando concomitantemente? 2 1 2 2 x y x y xy 2 2 σ σ σ σ σ τ + −   = ± +     flexão superfície de falha 1 . 2 lim 2 lim 2 2 1 2 lim 1  ≤     +   −      σ σ σ σ σ σ σ critério de Von Mises materiais dúcteis 28 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, v.1 e 2, 1971. NASH, W. A. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973. POPOV, E. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1984. 25/06/2019 15 29 SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harper & Row do Brasil Ltda., 1984. SHAMES, I. H. Introdução à mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro; Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1983. TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint Gráfica S. A., v.1 e 2, 1976. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., v.1 e 2, 1984 TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da elasticidade. Editora Guanabara Dois, 3a edição, 1980. WILLEMS, N.; EASLEY, J. T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. e CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. e LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C; BEER, F. P. e JOHNSTON Jr, E. R. 30 Critérios de Avaliação: { { 85% 15% 0,85 0,15 2 2 P P L L x + +     = ⋅ + ⋅         1 2 1 2 P1 (Capítulos de 1 a 7) e P2 (Capítulos de 8 a 11) – Provas L1 (Capítulos de 1 a 7) e L2 (Capítulos de 8 a 11) – Listas de exercícios - Entregar Lista 1 no dia e no horário da Prova 1 (ver cronograma doc.x ou pdf) - Entregar Lista 2 no dia e no horário da Prova 2 (ver cronograma doc.x ou pdf) - Não serão aceitas listas pós o dia e horário das respectivas provas. No caso de algum imprevisto, o aluno interessado em entregar as listas deverá solicitar a um colega para que a entregue para mim no dia e no horário das respectivas provas. Essa abordagem motiva o aluno a não deixar as listas para serem feitas às vésperas de cada prova, visto que o mesmo tem quase dois meses para a realização de cada lista, e por isso não serão aceitas listas fora do dia e do horário de cada prova independente da condição do aluno; - As listas não serão avaliadas apenas com base nos resultados (certo ou errado). Essas serão julgadas considerado os seguintes itens: presença do diagrama de corpo livre completo e correto, todas as contas (sem pular etapas), organização, legibilidade e capricho. O não atendimento desses itens poderá comprometer significativamente a nota de cada lista, que deve ter capa e ser feita preferencialmente com folhas sulfite. Para verificar se o desenvolvimento da lista está de acordo com as expectativas, recomendo ao aluno interessado solicitar minha avaliação sobre o que ele fez no decorrer dos bimestres; 25/06/2019 16 31 - As provas conterão entre 4 a cinco questões, com tempo de duração de 2 horas aproximadamente. Será disponibilizado formulário para a execução das provas. Calculadoras poderão ser usadas, mas celulares de forma alguma, e que inclusive deverão estar desligados na hora das provas. Trazer consigo lápis ou lapiseira e também caneta esferográfica; - A vista das provas será feita antes da realização das mesmas, e não pós a aplicação, como usualmente é feita por outros docentes e em outras disciplinas. Isso possibilita o aluno ficar mais tranquilo e focado na realização da prova (contribui por reduzir possíveis falhas por distração), além consistir em mais uma possibilidade de aprendizado. As questões serão julgadas com base apenas nos resultados visto à prova ter sido toda discutida antes da realização das mesmas. Questão incorreta receberá 30% caso não haja falhas conceituais, e naturalmente 100% se corretas; - As monitorias ocorrerão comigo mesmo e no final de cada aula, em que poderei reservar 30 minutos para isso, e também todas as Sextas-feiras das 13:30 as 15:00 na minha sala no DECiv; - Não há prova substitutiva; - No caso do aluno não comparecer no dia da prova, para realizar uma segunda, esse deverá ter documentos que justifiquem a sua ausência. O dia, horário e local para a realização dessa prova deverá ser combinado; - Caso o aluno não alcance 6,00 em cada uma das provas, exercícios de recuperação serão aplicados com o propósito de recuperar as respectivas notas das provas (apenas para quem obteve nota inferior a 6,00 em cada uma das provas). Do conteúdo da prova 1 será elaborado 1 exercício de recuperação, o mesmo para a prova 2. Cada exercício vale 2 pontos a serem somados sobre a nota da respectiva prova, entretanto, a nota da prova somada com o exercício não ultrapassará 6,00. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 1 – Esforços Solicitantes christoforoal@yahoo.com.br 02 Esforços Solicitantes (Capítulo 2): Como discutido na Introdução, esforços solicitantes são forças internas que surgem para o equilíbrio das partes seccionadas da estrutura. Na Figura abaixo objetiva-se determinar apenas os esforços no ponto C da viga. corte hipotético x y z 3 GL x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ C C Mr M 0 = = ∑ ação parte AB: parte CB: reação NC = ? ; VC = ? ; MC = ? 25/06/2019 2 03 Como visto na Estática, dado uma função carga contínua qualquer p(x) [força / unidade de comprimento], a resultante do carregamento e a sua localização são: ( ) Rv p(x) p(x dx) dx d = + + ⋅ y y 0 0 v p(x) p(x dx) Fr F dx p(x) dx 2 R + +   = ⇒ = ⋅ = ⋅     ∑ ∫ ∫ l l para dx→0 0 v 0 0 p(x) dx Mr M R p(x) x dx x x ) d x p(x x α α ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ∫ ∑ ∫ ∫ l l l Convenção dos Esforços Solicitantes: tração tração horário horário tração nas fibras inferiores + + + + + + + + + + 04 x y z ( ) 2 ( ) 2 w M x L x x = ⋅ ⋅ − ( ) 2 L V x w x   = ⋅ −     x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ Mr M 0 α α = = ∑ 0 x L ≤ ≤ Trecho AB: momento fletor: cortante: diagramas Uma forma de avaliar os esforços solicitantes consiste em fazer um número finito de cortes hipotéticos e descrever a variação dos esforços por trecho (intervalos) como funções da coordenada de posição. De forma imediata, essa abordagem possibilita determinar os esforços extremos e os respectivos locais de ocorrência. 25/06/2019 3 01 05 Critério para a definição do número mínimo de cortes hipotéticos: - Não só a localização do referencial pode variar trecho a trecho ao longo da estrutura como a orientação do eixo (“direita” ou “esquerda”) também. Os esforços solicitantes surgem para o equilíbrio das partes seccionadas, cabendo destacar o uso da 3a lei de Newton (ação e reação). A escolha da parte a ser analisada fica a critério do engenheiro. - Na existência de uma força concentrada (horizontal, vertical ou inclinada) ou de um momento de binário concentrado, fazer um corte antes e um após a localização dessa força ou desse momento; - Na existência de um trecho apenas com força distribuída, fazer um único corte hipotético; - A origem do “eixo x” pode ser mantida em um único ponto para toda a estrutura como pode ser realocada em cada extremo dos trechos em análise; 06 Relações diferenciais (p, V, M): variação dos esforços da esquerda para a direita origem Com base no tipo do carregamento p(x) (polinômios entre outros), as relações diferenciais possibilitam determinar as funções dos esforços solicitantes, e servem também como critério de verificação na solução dos problemas. y V dV F 0 : V p x (V V) 0 p p x dx ∆ = − ⋅∆ − + ∆ = = − ⇒ = ∆ − ⇒ ∑ 0 x ∆ → x M x dM M 0: M V x p x (M M) 0 V p V 2 x 2 dx ∆ ∆ ∆ = + ⋅∆ − ⋅ ∆ ⋅ − + ∆ = ⇒ = − ⋅ ⇒ = ∆ ∑ 2s 0 x ∆ → 25/06/2019 4 07 dV p(x) dx dM V dx  =   =  − + corte à direita dV p(x) dx dM V dx  =   =  + − corte à esquerda ( ) ( ) dV p(x) V dx dx dM V M dx d p(x (x ) V x )  = ⇒ = − ⋅   = ⇒ = ⋅  ∫ ∫ ∫ ∫ − + ( ) ( ) dV p(x) V dx dx dM V M dx dx V p (x (x) )  = ⇒ = ⋅   = ⇒ = ⋅  ∫ ∫ ∫ ∫ + − − p(x) V(x) M(x) 0 (concentrada) constante linear constante linear quadrático linear Quadrático cúbico quadrático Cúbico quártico sen(x) - cos(x) - sen(x) cos(x) sen(x) - cos(x) } 2 2 2 2 d dx dM d M dV d M V p(x) dx dx dx dx   = ⇒ = ⇒ =     0 < − dV p(x) dx = − Sendo nula a força cortante V, que é a derivada primeira do momento fletor M, tem-se que o momento é máximo, pois a derivada segunda é sempre negativa. 08 Algumas observações: - forças concentradas verticais geram* descontinuidades no diagrama do esforço cortante (V) da estrutura; - forças concentradas horizontais (axiais) geram* descontinuidades no diagrama do esforço normal (N) da estrutura; - momentos concentrados geram* descontinuidades no diagrama do esforço momento fletor (M) da estrutura; (*) – dependendo da localização da força ou do momento pontual na estrutura, a descontinuidade pode não ser percebida. Trecho BC ( ): 5 10m ≤ 2x ≤ 2 cortes ausência de forças axiais x y z ∑F = 0 y ( ) 0 z α = ∑ M descontinuidade diagramas + + -- tração nas fibras inferiores Trecho AB ( ): 0 5m ≤ 1x ≤ 25/06/2019 5 09 + tração nas fibras inferiores https://alemdainercia.wordpress.com/2016/09/22/concreto- armado-flexao-simples-e-os-dominios/ tração na face inferior compressão na face superior forma defletida da viga de concreto y x y z seção transversal reforço por barras de aço No concreto, a resistência à tração é aproximadamente 12x inferior à resistência na compressão. tração nas fibras inferiores convenção utilizada no concreto armado + + + + + 10 dV w(x) dx dM V dx  =   =  − + w(x) é aqui a função carga Construção dos diagramas com base nas relações diferenciais: x dV w dx = − dM V dx = + coeficiente angular da reta tangente dos pontos x da função cortante [V(x)] coeficiente angular da reta tangente dos pontos x da função momento fletor [M(x)] 25/06/2019 6 11 Exemplo 1.1: Determinar os diagramas dos esforços solicitantes da viga da figura abaixo. A A Fx 0: H F 0 H F = + = ⇒ = − ∑ A C A C Fy 0 : V V P 0 V P V = + − = ⇒ = − ∑ C C A P a M 0: P a V 0 V ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⇒ = ∑ l l A P b V ⋅ = l HA , VA e VC foram assim arbitrados do DCL referencial adotado x y z a b = + l Reações nos vínculos: Esforços solicitantes: 12 Corte I (0 ≤ x ≤ a) – Trecho AB: convenção x y z referencial adotado Corte II (a ≤ x ≤ b) – Trecho BC: x y z referencial adotado AB Fx 0: F N 0 N N (x) F = − + = ⇒ = = ∑ + constante AB P b P b M 0: x M 0 M M (x) x ⋅ ⋅ = + ⋅ − = ⇒ = = ⋅ ∑ s l l variação linear AB y P b P b F 0: V 0 V V (x) ⋅ ⋅ = + − = ⇒ = = ∑ l l + constante dM dx = +V OK!!! Fx 0: F N 0 N F = − + = ⇒ = ∑ + BC y P b P a F 0: P V 0 V V (x) ⋅ ⋅ = − − = ⇒ = = ∑ l l − ( ) P b M 0: + x P x a M 0 ⋅ = ⋅ − ⋅ − − = ⇒ ∑ s l ( ) BC P b M=M (x) x P x a ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ − l variação linear constante constante a b = + l 25/06/2019 7 13 Corte II (0 ≤ x ≤ b) – Trecho CB: x y z referencial adotado Se o corte II for considerado de C para B ao invés de B para C como feito no slide anterior: Se o corte II for considerado de B para C mas com origem em B e não em A como no slide anterior: Corte II (0 ≤ x ≤ b) – Trecho BC: x y z referencial adotado x CB y CB CB F 0 N (x) F 0 V (x) M 0 M (x)  = ⇒  = ⇒   = ⇒  ∑ ∑ ∑ S x CB y CB CB F 0 N (x) F 0 V (x) M 0 M (x)  = ⇒  = ⇒   = ⇒  ∑ ∑ ∑ S dM V dx = − critério de correção dM V dx = + critério de correção 14 Independente das escolhas, os diagramas dos esforços solicitantes para esse problema resultam: Dos diagramas: N – toda a viga é tracionada; V – a intensidade das forças nos vínculos A e C são iguais às intensidades das cortantes nesses mesmos pontos; M – as fibras da face inferior ao eixo da viga são tracionadas, o momento é nulo nos apoios pois os apoios não absorvem momentos. descontinuidade N V M 25/06/2019 8 15 Exemplo 1.2: Determinar os diagramas dos esforços solicitantes da viga da figura abaixo. x y z ( ) 2 ( ) 2 w M x L x x = ⋅ ⋅ − ( ) 2 L V x w x   = ⋅ −     x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ Mr M 0 α α = = ∑ 0 x L ≤ ≤ Trecho AB: momento fletor: cortante: diagramas 16 Exemplo 1.3: Determinar os diagramas dos esforços solicitantes da viga da figura abaixo. Corte I (0 ≤ x ≤ ℓ): reações de apoio Esforços de solicitantes: e e y M M F 0: V 0 V = − + = ⇒ = ∑ l l e e M M M 0: + x M 0 M x = ⋅ − = ⇒ = ⋅ ∑ s l l x y z Diagramas: dM V dx = + OK!!! V M tração nas fibras inferiores 25/06/2019 9 17 Exemplo 1.4: Determinar os diagramas dos esforços solicitantes da viga da figura abaixo. reações de apoio Corte I (0 ≤ x ≤ ℓ): Esforços de solicitantes: x y z N = −F constante V = P constante ( ) M(0) P M P x M( ) 0 = − ⋅  = ⋅ −  =  l l l linear tração nas fibras inferiores viga toda comprimida Diagramas: 18 Exemplo 1.5: Determinar os diagramas dos esforços solicitantes da viga da figura abaixo. Esforços solicitantes: Se o corte for feito do balanço para o engaste, não é necessário calcular as reações para depois calcular os esforços solicitantes. Corte I (0 ≤ x ≤ ℓ): x y z 2 2 2 M(0) 0 p p M 2 x M( / 2) 8 p M( ) 2   =  ⋅  = ⋅ =  −   ⋅ = −  −  l l l l concavidade orientada para baixo V = p x ⋅ linear quadrática V M tração nas fibras superiores convenção do concreto armado função momento fletor Diagramas: 25/06/2019 10 19 Exemplo 1.5: Determinar os diagramas dos esforços solicitantes da viga da figura abaixo. Corte I (0 ≤ x ≤ 1m): trecho AB Corte III (5m ≤ x ≤ 6,5m): trecho CD Corte II (1m ≤ x ≤ 5m): trecho BC 20 Diagramas: tração z y compressão y z tração compressão viga defletida 25/06/2019 11 21 Exemplo 1.6: Determinar o diagrama dos esforços solicitantes do eixo da figura abaixo. Trecho AB: Trecho BC: x NAB (x) 5 kN = + tração cte x NBC (x) 3 kN = − compressão cte reação horizontal em A I II III Trecho DC: x NDC (x) 7 kN = − compressão cte Diagrama: 22 Exemplo 1.7: Determinar o diagrama dos esforços solicitantes da coluna da figura abaixo. + 75 kN 75 kN N (kN) - 40 kN 40 kN N (kN) - 80 kN 80 kN N (kN) + + = pelo princípio da superposição de efeitos 25/06/2019 12 23 Exemplo 1.8: Determinar o diagrama dos esforços solicitantes da viga da figura abaixo. 1/3 4/3 4/3 eq 0 x 500 F 500 x dx x 375 4/3 x = ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫ resultante no intervalo x 375⋅x4/3 x eq 0 F w(x) dx = ⋅ ∫ l 4/3 4/3 Fx 0: 375 N(x) 0 N(x) 375 x x = − ⋅ + = ⇒ ⋅ = + ∑ tração 24 Momento torçor T T T regra da mão direita Os diagramas de momentos torçores podem ser obtidos de forma análoga ao que se foi discutido sobre solicitação axial. 25/06/2019 13 25 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, v.1 e 2, 1971. NASH, W. A. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973. POPOV, E. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1984. 26 SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harper & Row do Brasil Ltda., 1984. SHAMES, I. H. Introdução à mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro; Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1983. TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint Gráfica S. A., v.1 e 2, 1976. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., v.1 e 2, 1984 TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da elasticidade. Editora Guanabara Dois, 3a edição, 1980. WILLEMS, N.; EASLEY, J. T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. e CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. e LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C; BEER, F. P. e JOHNSTON Jr, E. R. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 2 – Componentes de Tensão christoforoal@yahoo.com.br 02 Componentes de Tensão Médias: * cos( ) A A θ = F cos( ) A ρ θ = ⋅ ( ) ; ??? máx f σθ θ σ = = ( ) ; ??? máx g τθ θ τ = = 2 cos( ) F cos ( ) A θ ρ σ θ θ = ⋅ = ⋅ ( ) ( ) cos( ) F sen sen A θ ρ θ θ τ θ = ⋅ = ⋅ ⋅ tensão normal média tensão cisalhante média * lim 0 * * A F F A A ρ ∆ → ∆ = = ∆ tensão efetiva média 25/06/2019 2 03 - Tensor de tensão: ΔA 0 ΔF ρ lim ΔA → = ΔA 0 ΔFn σ lim ΔA → = ΔA 0 ΔFt τ lim ΔA → = 04 , , yx y yz P la n o xz τ σ τ → , , zx zy z P la n o yz τ τ σ → ( , , ) x yx zx xy y zy xz yz z x y z σ τ τ σ τ σ τ τ τ σ     =         Tensor das Tensões: 9 componentes ΔAx 0 x x x ΔF ρ lim → ΔA = ΔAx 0 x,n x x ΔF σ lim ΔA → = ΔAx 0 x,t x x ΔF τ lim ΔA → = ΔAx 0 y x,t xy x ΔF τ lim → ΔA = ΔAx 0 zx,t xz x ΔF τ lim → ΔA = 25/06/2019 3 01 05 zy yz τ τ = y z x z y x yz zy ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ τ τ tensão Força área tensão Força área - Em torno do eixo y: zx xz τ τ = - Em torno do eixo z: xy yx τ τ = ij ji τ τ = - Teorema de Cauchy: x xy xz yx y yz zx zy z σ τ τ σ τ σ τ τ τ σ     =         x xy xz xy y yz xz yz z σ τ τ σ τ σ τ τ τ σ     =         6 componentes x xy xz xy y yz xz yz z σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ     =         em notação de engenharia 06 0 0 0 0 0 x xy x xy xy y xy y σ τ σ τ σ τ σ τ σ       = =             Não considerada nos modelos da Mecânica dos Sólidos (elemento de barra) viga parede - Estado Plano de Tensão (EPT): 25/06/2019 4 07 0 0 0 0 0 0 0 x xy x xy xy xy σ τ σ τ σ τ τ       = =             Estados de tensão nos elementos de barra: 08 Relação entre componentes de tensão e esforços solicitantes x x x A A N F dF σ dA = = = ∫ ∫ y y y xy A A Q F dF dA τ = = = ∫ ∫ z z z xz A A Q F dF dA τ = = = ∫ ∫ ( ) x y z A T M dF z dF y = = ⋅ − ⋅ ⇒ ∫ ( ) xy xz A T z y dA τ τ ⇒ = ⋅ − ⋅ ∫ ( ) y x x A A M dF z zdA σ = − ⋅ = − ⋅ ∫ ∫ ( ) z x x A A M dF y ydA σ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ x x dF = σ dA y xy dF dA τ = z xz dF dA τ = Esforços Seccionais: 25/06/2019 5 09 Tensão normal média méd N A σ = Força axial aplicada sobre o eixo da barra promove distribuição uniforme da tensão normal, e nessas condições, a tensão em qualquer ponto (local) da seção transversal é a mesma e igual a tensão média. N – esforço normal A – área da seção transversal 35 mm 10 mm seção transversal máxima = ??? σ 6 2 30.000 85,71 10 / 85,71 0,035 0,010 máx máx N m MPa A N σ = = = ⋅ = ⋅ barra toda tracionada esforço normal máximo ( ) N kN 10 85 kg dBA = 10 mm dBC = 8 mm g = 9,81 m/s2 Determinar a tensão normal na haste BA (σBA). 0 0 x y F F  =  =  ∑ ∑ 632,4 395,2 B BA C N N N N =   =  2 632,4 8,05 (0,005) BA BA BA N MPa A σ π = = = ⋅ 25/06/2019 6 11 Tensão de cisalhamento média 2 2 V F F V ⋅ = ⇒ = méd V A τ = V – esforço cortante A – área da seção transversal 2 méd F A V r τ π = ⋅ = Cisalhamento simples: Cisalhamento duplo: méd t d F σ = ⋅ tensão normal de esmagamento / 2 2 méd F F A A V A τ = = = ⋅ em cada face / 2 2 méd F F A A V A τ = = = ⋅ em cada face A 12 Exemplo 2.1: A barra inclinada de madeira da figura abaixo encontra-se sujeita a uma força de compressão de 3.000N. Determinar a tensão normal de compressão média ao longo das áreas AB e BC e a tesão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal EDB. x y 0: 3.000 (3/5) 0 1.800 x AB AB F N N N = − ⋅ = ⇒ = ∑ 0: 3.000 (4/5) 0 2.400 y BC BC F N N N = − ⋅ = ⇒ = ∑ 2 1.800 1,80 / 1,8 25 40 AB AB AB N N mm MPa A σ = = = = ⋅ 2 2.400 1,20 / 1,2 50 40 BC BC BC N N mm MPa A σ = = = = ⋅ 2 1.800 0,60 / 0,6 75 40 méd BDE V N mm MPa A τ = = = = ⋅ 25/06/2019 7 13 Exemplo 2.2: Se a tensão de cisalhamento admissível dos pinos é de τadm = 90 MPa e a tensão normal admissível de tração na haste BC é de σt,adm = 115 MPa, determinar o diâmetro mínimo dos pinos de conexão A e B e o diâmetro da haste BC. cisalhamento duplo cisalhamento simples / 2 2 A F F A A V A τ = = = ⋅ méd V F A A τ = = { 3 2 9010 5,68 6,3 ( / 2 2 2 ) A A A A P A a V mm A d d τ π ⋅ = = ⇒ = ⋅   ⋅  ⋅  k x x Fr F 0 = = ∑ y y Fr F 0 = = ∑ A A Mr M 0 = = ∑ x y z Diâmetro dos pinos: { 3 2 9010 6,67 9,7 ( / 2) B B B P B B a V d d mm A τ π ⋅ = = ⇒ = ⋅ k Diâmetro da haste: { 3 115 2 10 6,67 8,59 ( / 2) BC B B B a C C C P BC N d mm A d σ π ⋅ = = ⇒ = ⋅ k 14 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, v.1 e 2, 1971. NASH, W. A. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973. POPOV, E. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1984. 25/06/2019 8 15 SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harper & Row do Brasil Ltda., 1984. SHAMES, I. H. Introdução à mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro; Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1983. TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint Gráfica S. A., v.1 e 2, 1976. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., v.1 e 2, 1984 TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da elasticidade. Editora Guanabara Dois, 3a edição, 1980. WILLEMS, N.; EASLEY, J. T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. E CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. E LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C e BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 3 – Componentes de Deformação christoforoal@yahoo.com.br 02 Componentes de deformação : ( 1) 1 y tg dx ∆ γ γ = ≅ ( 2 ) 2 x tg dy ∆ γ γ = ≅ xz x z dz dx ∆ ∆ γ = + yz y z dz dy ∆ ∆ γ = + xy x y dy dx ∆ ∆ γ = + xy 1 2 γ γ γ = + São propriedades associadas às variações nas dimensões e na forma dos elementos estruturais quando carregados. Por definição (variação de comprimento / comprimento de referência), são quantidades adimensionais. Componentes de deformação específica: estão atreladas às mudanças nas dimensões, e não na forma da estrutura. Componentes de deformação angular: estão associadas às mudanças na forma da estrutura. x x dx ε = ∆ y y dy ∆ ε = z z dz ∆ ε = deformação específica pequenas deformações deformação angular 25/06/2019 2 03 EPT > 0 > 0 > 0 convenção - σx>0 e σy>0 – tração nas faces do elemento; - τxy>0– em uma face, se σx>0 e atua na direção do eixo x, τxy é positivo concordante com a orientação do eixo y de referência; - εx>0 e εy>0 – alongamento nas faces do elemento; - γxy – redução do ângulo originalmente reto. EPD convenção Associação entre componentes de tensão e deformação: Se conhecidas εx e εy: x x dx dx dx dx ε ε ∆ = ∆ ⇒ = ⋅ x y dy dy dy dy ε ε ∆ = ∆ ⇒ = ⋅ efeitos 04 Exemplo 3.1 – Para a chapa da figura abaixo, determinar as componentes de deformação médias. 2 2 ´ (250 2) (3) 248,018 AB mm = − + = 3 ´ 248,018 250 7,93 10 250 AB AB AB AB ε − − − = ⋅ − = = 3 ( ) 250 2 tg γ xy = ⇒ − 3 0,0121 250 2 xy arctag rad γ   ⇒ = =   −   deformação específica: não alteração da forma adimensional adimensional encurtamento ε>0 implica em tração (convenção) redução do ângulo reto γxy>0 alteração da forma deformação angular: 25/06/2019 3 01 05 Exemplo 3.2 – A barra horizontal rígida é suportada por um pino em A e por dois cabos deformáveis. Se a carga P provocar um deslocamento de 10mm no ponto C, determinar a deformação normal nos cabos BD e CE. 0,01 0,0025 4 CE CE C m L m δ ε = + = = 0,00429 0,0010725 4 BD B BD m L m δ ε = = + = 10 4,29 7 3 B B mm δ δ = ⇒ = Deformação no cabo CE: Deformação no cabo CE: 06 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, v.1 e 2, 1971. NASH, W. A. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973. POPOV, E. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1984. 25/06/2019 4 07 SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harper & Row do Brasil Ltda., 1984. SHAMES, I. H. Introdução à mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro; Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1983. TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint Gráfica S. A., v.1 e 2, 1976. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., v.1 e 2, 1984 TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da elasticidade. Editora Guanabara Dois, 3a edição, 1980. WILLEMS, N.; EASLEY, J. T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. E CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. E LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C e BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 4 – Propriedades Mecânicas dos Materiais christoforoal@yahoo.com.br 02 Diagramas tensão×deformação convencional e real: i 1 i F F F A A σ + − = ∆ = o o i 1 i ε + − = ∆ = l l l l l o o ( ) tE d d σ ε ε = Tensão e deformação convencionais: Tensão e deformação reais: v o o d ln ε   = =     ∫ l l l l l l i v i F A σ = Módulo de elasticidade tangente: Módulo de elasticidade longitudinal: dúctil frágil 1 1 i i i i E σ σ σ σ ε ε ε ε + + − ∆ = = = − ∆ fase elástica E σ ε = ⋅ lei de Hooke unidade? 25/06/2019 2 03 Exemplos de diagramas tensão×deformação de materiais dúcteis: borracha natural sem fase linear liga de alumínio 04 Exemplos de diagramas tensão×deformação de materiais frágeis: tração compressão ferro fundido cinzento concreto típico tração compressão σc,máx≈12,5∙σt,máx 25/06/2019 3 01 05 Deformação permanente e histerese mecânica: carregamento descarregamento material dúctil propriedade importante na seleção de materiais para amortecedores de elementos estruturais e de máquinas área interna = energia dissipada medição mais cuidadosa 06 Energia de deformação e módulo de resiliência: elemento material V x y z ∆ = ∆ ⋅∆ ⋅∆ F F transformando tensão em força: (tensão X área) área y z F σ ∆ = ⋅∆ ⋅∆ 123 relacionando deslocamento longitudinal com deformação: x x x x x x δ δ ε ε = ∆ ⇒ = ⋅∆ ∆ ∆ 1 2 deslocament x orça o f u y z x σ ε ∆ = ⋅ ⋅ ∆ ⋅∆ ⋅ ⋅∆ 14243 123 área sob o gráfico u ∆ trabalho ou energia 1 2 u F δ ∆ = ⋅∆ ⋅ ∆ módulo de resiliência 1 1 2 2 x x V u x y z V σ ε σ ε ∆ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅∆ ⋅∆ ⋅∆ = ⋅ ⋅ ⋅∆ 14243 1 2 x u u V σ ε = ∆ = ⋅ ⋅ ∆ densidade de energia de deformação { 2 / 1 1 2 2 x E x u E ε σ σ σ ε = = ⋅ ⋅ = ⋅ 2 1 2 u E σ = ⋅ lp r módulo de resiliência capacidade de absorver energia sem sofrer dano permanente resiliência: 25/06/2019 4 07 Coeficiente de Poisson: Uma barra tracionada alonga na direção da força aplicada e sofre encurtamentos no plano da seção transversal, efeito contrário quando comprimida. Na fase elástica, a razão entre as deformações longitudinal (εℓ) e transversal (εt) é constante, conhecida como coeficiente de Poisson (ν), que assim como o módulo elástico é também uma propriedade dos materiais. ε ν ε = − t l - para os materiais não porosos:1/ 4 1/3 ≤ν ≤ - demonstra-se que: 0 0,5 ≤ν ≤ - é adimensional ν L d δ ε δ ε  =   =  ´ t l 08 Diagramas tensão×deformação de cisalhamento: xy xy G τ γ = ⋅ lei de Hooke módulo de elasticidade transversal ( ) E G 2 1 ν = ⋅ + demostra-se que: 25/06/2019 5 09 Características dos materiais isotrópicos e anisotrópicos: Falha de materiais por fluência e fadiga: Isotrópicos: Metais, concretos não fissurados, etc E G ν    Anisotrópicos: Madeira, concreto fissurado, concreto armado etc. Longitudinal Radial Tangencial 1 2 3 E E E    12 13 23 G G G    12 13 23 ν ν ν    material ortotrópico aço inoxidável a 650oC e deformação por fluência de 1% por fluência por fadiga escala logarítmica 10 Exemplo 4.1: Um cilindro de concreto com 150 mm de diâmetro e 300 mm de comprimento é testado na compressão. Os resultados de forças e deslocamentos obtidos são apresentados na tabela abaixo. Desenhar o diagrama tensão X deformação e calcular o módulo de elasticidade na compressão desse corpo. [mm/mm] 300 co i ε mp = − ∆ = − ∆ l l l ( ) 2 2 [ /m =Pa] 0,15 N / 2 i comp N N A σ π = = − − ⋅ σ (MPa) ε (mm/mm) – [1∙10-3] 0 - 0 - 1,41 - 0,05 - 2,69 - 0,10 - 4,67 - 0,17 - 5,80 - 0,22 - 7,22 - 0,28 - 8,49 - 0,33 - 9,76 - 0,38 - 10,89 - 0,42 - 13,16 - 0,52 - 14,15 - 0,58 - 15 -0,63 25/06/2019 6 11 σ (MPa) ε (mm/mm) – [1∙10-3] 0 - 0 - 1,41 - 0,05 - 2,69 - 0,10 - 4,67 - 0,17 - 5,80 - 0,22 - 7,22 - 0,28 - 8,49 - 0,33 - 9,76 - 0,38 - 10,89 - 0,42 - 13,16 - 0,52 - 14,15 - 0,58 - 15 -0,63 3 3 4,67 2,69 2828 2,828 0,17 10 0,10 10 Ecomp MPa GPa σ ε − − − − − = ∆ = = = ∆ − ⋅ − − ⋅ módulo de elasticidade: 12 Exemplo 4.2: A Figura abaixo ilustra um diagrama tensão-deformação para fibra de vidro. Se uma barra de 50mm de diâmetro e 2 metros de comprimento fabricada com esse material for submetida a uma carga de tração de 60kN, determine o alongamento dessa barra. 3 6 2 60 10 30,56 10 (0,05/2) N Pa A σ π ⋅ = = = ⋅ ⋅ 6 1/ 2 ( ) 300 10 σ ε ε = ⋅ ⋅ 6 1/2 6 30,56 10 0,1019 300 10 ε ⋅ = = ⋅ 2 ( ) 0,0104 ε = { 0,0104 2000 20,8 mm mm ε ε = ∆ ⇒ ∆ = ⋅ = ⋅ = l l l l tensão normal: da relação tensão-deformação: alongamento: 25/06/2019 7 13 Exemplo 4.3: A Figura abaixo ilustra um diagrama tensão-deformação para as fibras elásticas que compõe a pele e os músculos dos seres humanos. Determine o módulo de elasticidade das fibras e estime os módulos de resiliência e de tenacidade. módulo de elasticidade: 77 38,5 2 E E kPa σ σ ε ε = ⋅ ⇒ = = = fase elástica módulo de resiliência: consiste na área (associada a fase linear) abaixo do diagrama tensão-deformação 2 2 1 1 (77) 77 2 2 (38,5) lp u kPa E σ = ⋅ = ⋅ = r 77 2 77 2 2 b h u kPa ⋅ ⋅ = = = r ou módulo de resiliência: consiste na área abaixo de todo o diagrama tensão-deformação (como apresentado na teoria) 77 2 (385 77) 0,25 134,75 2 2 triangulo trapézio u A A kPa ⋅ + = + = + ⋅ = t 14 Exemplo 4.4: A Figura abaixo ilustra um diagrama tensão-deformação para o poliestireno. Determine o maior valor da força P antes da ruptura de qualquer das barras da treliça. Desconsidere o efeito de flambagem. BC N BA N P θ x y 0 0 x y F F  =  =  ∑ ∑ Equilíbrio: 1,34 1,67 BC BA N P N P + ⋅ − =   = ⋅  tração compressão } 2 6 , 1,34 536 35 10 536 65,3 0,0025 tr BC BC l B ação t m C N P P P P kN A σ σ ⋅ = = = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ ⇒ = 123 } 6 , 1,67 1757,89 175 10 1757,89 99,55 0,00095 compressão c BA BA l BA N P P P P kN A σ σ ⋅ = = = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ ⇒ = 65,3 P kN = ∴ 2 950 ABA mm = 2 2500 ABC mm = 25/06/2019 8 15 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, v.1 e 2, 1971. NASH, W. A. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973. POPOV, E. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1984. 16 SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harper & Row do Brasil Ltda., 1984. SHAMES, I. H. Introdução à mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro; Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1983. TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint Gráfica S. A., v.1 e 2, 1976. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., v.1 e 2, 1984 TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da elasticidade. Editora Guanabara Dois, 3a edição, 1980. WILLEMS, N.; EASLEY, J. T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. e CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. e LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C; BEER, F. P. e JOHNSTON Jr, E. R. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 5 – Solicitação Axial christoforoal@yahoo.com.br 02 Princípio de Saint-Venant: Para sistemas de força estaticamente equivalentes, a distribuição das tensões em regiões afastadas da localização das cargas apresenta ser uniforme e de mesmo valor. sist. de forças estaticamente equivalentes E σ ε = ⋅ fase elástica variação na forma deformada do objeto implica também em variação no campo das tensões. 25/06/2019 2 03 Deformação elástica na solicitação axial: ε x Δdx = d N σ A = σ = E ε ⋅ elementar N Δdx = E A dx ⋅ ⋅ Δ (x) x 0 0 N Δdx E A dx = ⋅ ⋅ ∫ ∫ l N Δ x x ( ) E A ⋅ = ⋅ l Δ (0) 0 N Δ ( ) E A =  ⋅ =  ⋅  l l l l deslocamento relativo entre duas seções transversais seção transv. constante convenção N E Δdx A dx = ⋅ Δ = Δ A B B l l Δ Δ Δ Δ = = + AC BC C AB l l l l deslocamentos absolutos vínculo 04 E AE AB BC CD DE Δ Δ Δ Δ Δ Δ = = + + + l l l l l l 1 1 E ; A A B C D F 2 2 E ; A 2 2 E ; A E 3F N Δ E A ⋅ = ⋅ l l 2F F + - N trecho da barra sob compressão trecho da barra sob tração existe um ponto ao longo do comprimento da barra em que o deslocamento axial é nulo AB BC CD DE E 1 1 2 2 2 2 3 3 ( F) ( F) ( F) ( F 2 2 ) Δ E A E A E A E A + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + − l l l l l Eixo estaticamente indeterminado: Observações: 1 1 E ; A A B C D 2 2 E ; A 2 2 E ; A E 3F uma equação de equilíbrio não redundante: duas forças reativas incógnitas: + equação de compatibilidade: Ax x E xF = 0 x ∑ x x A E 3 F 0 + − ⋅ = AB BC CD DE Δ Δ Δ Δ Δ = + + + = AE 0 l l l l l x x N(x) = f (A , E ) 25/06/2019 3 01 05 Seção transversal variável: ε x Δdx d = σ = E ε ⋅ elementar x 0 N Δ (x) E A(x) dx = ⋅ ⋅ ∫ l N σ A( ) x = A( ) A A(x) x A( 0 a b ) A =  = + ⋅  =  0 1 l A A A(x) A x −   = + ⋅     1 0 0 l constante N x A(x) l A0 A1 x 0 N Δ (x) E A(x) dx = ⋅ ⋅ ∫ l ( ) 0 1 0 0 0 1 N Δ (x) Ln A (A A ) x Ln( ) Ln(A ) E (A A ) ⋅   = ⋅ − ⋅ + − ⋅ + +   ⋅ − l l l l 06 Barra sujeita à ação do peso próprio: Reação: x A F 0 V γ A = ⇒ = ⋅ ⋅ ∑ l Esforço normal: xF = 0: ∑ γ P V = P = m g ⋅ peso específico V = A ⋅l constante Tensão normal: Deslocamento axial: ( ) N(x x 0 ) γ A x Δ (x) dx E A ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ∫ 64748 l l x x γ Δ (x) E − 2   = ⋅  ⋅    2 l l x y x y ( ) N γ A x = ⋅ ⋅ − l ( ) γ A x N σ A A ⋅ ⋅ − = = l ( ) σ γ x = ⋅ − l x y conc. p/a baixo 25/06/2019 4 07 Variação de temperatura: Δ = ⋅α ΔT ⋅ l l Δ = α ΔT ⋅ l l xε = α ΔT ⋅ x x x σ E ε σ E α ΔT = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ x x N σ N σ A N E A α ΔT = A ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ deslocamento: deformação: tensão: esforço: alongamento Reservatório cilíndrico de parede fina: circunferencial longitudinal pressão uniforme tensão circunferencial: { { c F 0 σ e p 2 r 0 = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ z A A 2 l l c p r σ e ⋅ = transformar tensões e pressão em forças para o equilíbrio tensão longitudinal: F = p A ⋅ N = σ A ⋅ 2 F 0 σ 2 π r e p π r 0 = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ∑ x l p r σ 2 e ⋅ = ⋅ l 08 Método das forças para eixos estaticamente indeterminados: Será visto em detalhes no curso de Análise de Estruturas, aplicado com ênfase em estruturas hiperestáticas. O processo é repetitivo no caso de várias forças ativas. = + est. fictícia isostática P alongamento > 0 B F est. fictícia isostática encurtamento < 0 B F reação ? P + A B C -- B F A B C + ( ) δ δ 0 + ↓ − = P B L L L L P 0 E A E A E A E A 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     + + =     ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅     CB B AC AC B CB F F P L (L L ) 0 E A E A     ⋅ ⋅ +   =     ⋅ ⋅    −  B CB L AC AC F 64748 L P L   = ⋅    AC B F est. 1 X hiperestática E A e = te c E para uma folga de 1mm em B? ( ) δ δ m + ↓ − = P B 0,001 25/06/2019 5 09 Concentração de tensão: Geometrias angulosas, presença de furos e mudanças abruptas na geometria causam perturbação no campo das tensões. O fator de intensidade de tensões (K) possibilita, com base na tensão normal média, determinar a tesão máxima pelo concentrador de tensões do problema. σ σ = ⋅ méd máx K Teoria da Elasticidade Métodos Numéricos e / ou K = ? Ábacos σ A = N = méd P Redução da concentração de tensões: Amenor Amaior K superior a 3 σ σ = ⋅ méd máx K P σ A = ⋅ má r x meno K 10 h < W 25/06/2019 6 11 Deformação axial inelástica: Carga plástica: Com base nos modelos σ×ε idealizados, é possível determinar a força de plastificação que leva a falha de um determinado componente estrutural. dist. uniforme P σ σ ⇒ ↑ = e } A e A ct P σ dA σ dA σ A = ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ Equilíbrio entre força interna e externa: deforma sem acréscimos de tensão modelo elastoplástico }te A A c P σ dA σ dA σ A = ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ e e e pl P σ A = ⋅ las e p 12 Exemplo 5.1: Da Figura abaixo, determinar os valores máximos da tensão normal e do deslocamento longitudinal, indicando suas posições. Determinar também a posição dos pontos onde o deslocamento axial é nulo. Dado: E = 15.000 kN/cm2. Diagrama – N (kN): Tensões: N σ A = 25 σ 12,5 kN/cm² = 2,0 = AB − 15 σ 7,5 kN/cm² = 2,0 = + BC 15 σ 10,0 kN/cm² 1,5 = + = CD máx Deslocamentos: ( ) N x Δ x E A ⋅ = ⋅ l ( ) 1 25 200 Δ 1,667 10 cm 15000 2,0 − ⋅ = = − − ⋅ ⋅ AB l ( ) 2 15 100 Δ 5 10 cm 15000 2,0 − ⋅ = = + + ⋅ ⋅ BC l ( ) 1 15 300 Δ 2 10 cm 15000 1,5 − ⋅ = = + + ⋅ ⋅ CD l 1 B AB Δ Δ 1,667 10 − cm = = − ⋅ l l 1 C AC AB BC Δ Δ Δ Δ 1,167 10 − cm = = + = − ⋅ l l l l 2 D AD AB BC CD Δ Δ Δ Δ Δ 8,333 10 − cm = = + + = ⋅ l l l l l máx semelhança de triângulos ( ) 1 2 300 x' x ' x' 175cm 1,167 10 8,333 10 − − − = ⇒ = ⋅ ⋅ 25/06/2019 7 13 Exemplo 5.2: Para a Figura abaixo, determinar os valores da força F de modo que as tensões normais admissíveis não sejam ultrapassadas. Dados: tensão normal de tração admissível σt,adm = 80 MPa, tensão normal de compressão admissível σc,adm = 250 MPa. Corte I (0 ≤ x ≤ 2,5m): Fx 0 N F 0 N F = ⇒ − = ⇒ = + ∑ Corte II (2,5m ≤ x ≤ 4,1m): Fx 0 N 20 F 0 N F 20 = ⇒ + − = ⇒ = − ∑ Corte III (4,1m ≤ x ≤ 4,6m) Fx = 0 ⇒ ∑ N 4F 20 F 0 N 3F 20 ⇒ + + − = ⇒ = − − Esforços: 14 Valores da força F: N DC = +F N F 20 = − CB N 3F 20 = − − BA Corte I (0 ≤ x ≤ 2,5m): Corte II (2,5m ≤ x ≤ 4,1m): Corte III (4,1m ≤ x ≤ 4,6m) - Trecho BA: adm 3F 20 σ 1,5F 10 σ 2,0 − − = = − − ≤ Na tração: σ ≤ σt,adm = 80 MPa = 8 kN/cm² Na compressão: σ ≤ σc,adm = 250 MPa = 25 kN/cm² material frágil N σ A = - Trecho CB: ( ) ,adm t,adm σ σ 1,5F 10 σ 8 kN/cm² F 12 kN ≤ ⇒ − − ≤ = ⇒ ≥ − + + t tração ( ) ,adm c,adm σ σ 1,5F 10 σ 25 kN/cm² F 10 kN ≤ ⇒ − − ≤ = ⇒ ≤ − − c compressão adm F 20 σ 0,625F 12,5 σ 1,6 − = = − ≤ F 32,8 kN ≤ F 20 kN ≥ − - Trecho DC: adm F σ 0,8F σ = 1,25 = ≤ F 10 kN ≤ F −31,3 kN ≥ solução F (kN): 25/06/2019 8 15 Exemplo 5.3: Determinar o deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga da Figura abaixo. Dados: módulo de deformação longitudinal E = 20.000 kN/cm2; área da seção transversal da barra deformável A = 1,5 cm2; constante da mola k = 600 kN/cm. estrutura 1 X hiperestática (2) (1) (1) 3 eq. de equilíbrio M = 0 ∑ B b m 3 F F 100 ⇒ ⋅ + = é suficiente para relacionar as reações Fm e Fb Eq. de compatibilidade: m m x Δ Δ 3 x 1 = 3 ⇒ = ⋅ l l barra tracionada e mola comprimida b m b m F 150 F 3 F F 20000 1,5 600 ⋅ = ⋅ − ⇒ = ⋅ N E A ⋅ ∆ = ⋅ l l m m F = k x ⋅ sistema de equações medidas do triângulo Fm −25 kN = bF +25 kN = 25 150 0,125 m 20000 1,5 ⋅ ∆ = = ⋅ l Deslocamento δP: δp Δ 2 = 3 l - P 2 8,33· δ 10 cm ⇒ = 16 Exemplo 5.4: Determinar a tensão normal nos pontos das seções transversais das barras 1 e 2 da Figura abaixo. Dados: módulo de deformação longitudinal E = 20000 kN/cm2; área da seção transversal das barras, A1 = 1 cm2 e A2 = 2 cm2. A B C M = 0 ∑ B Considerando est. isostática: convenção Eq. de compatibilidade: 1 δP 2 3 = ∆ l 1 N 20 150 Δ 0,15 cm E A 20000 1,0 ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ + l l 1F = +20 kN tração P 0 2 3 δ ,15 = δP 0,1 cm 0,05 cm = > folga est. hiperestática 25/06/2019 9 17 Relação de equilíbrio entre as forças F1 e F2: Eq. de compatibilidade: tração compressão M = 0 ∑ B 1 2 3 F 2 F 60 ⇒ ⋅ + ⋅ = 2 1 1 2 Δ 0,05 Δ Δ 1,5 Δ 0,075 3 2 + = ⇒ = ⋅ + l l l l 1 2 1 2 F 150 F 100 1,5 0,075 F 0,5 F 10 20000 1 20000 2 ⋅ ⋅ = ⋅ − + ⇒ − ⋅ = + ⋅ ⋅ Resolvendo o sistema de equações: 1 2 1 2 3 F 2 F 60 F 0,5 F 10 ⋅ + ⋅ =   − ⋅ = +  1 2 F 14,28 kN F 8,57 kN =   = −  tração comp. Tensões normais: N 14,28 σ 14,28 kN/cm² A 1,0 = = = tração Barra 1: 8,57 N σ 4,28 kN/cm² A 2,0 − = = = compressão Barra 2: 18 Exemplo 5.5: Determinar os esforços normais nas 3 barras da Figura abaixo. Dados: módulo de deformação longitudinal E = 15.000 kN/cm2; área da seção transversal A = 2 cm2. Equilíbrio: x y 1 2 3 estrutura 1 X hiperestática Eq. de compatibilidade: y Fx 0 F 0  =  =  ∑ ∑ 1 1 3 3 Δ cos 60° Δ 0,5 Δ = Δ ⇒ = ⋅ l l l l ( 3) 1 1 3 F 300 F 300 0,5 F 0,5 F 15000 2 15000 2 − ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ comp. tração tração 2 2 3 3 Δ cos 60° F 0,5 F = Δ ⇒ = ⋅ l l F1 = F2 = 15 kN (tração) F3 = 30 kN (compressão) x 1 2 F 0 F sen 60° F sen 60° 0 = ⇒ − ⋅ + ⋅ = ∑ y 1 2 3 F 0 F cos 60° F cos 60° F 45 0 = ⇒ ⋅ + ⋅ + − = ∑ 25/06/2019 10 19 150000 N N N N = a + c x Fx 0: N N 150000 = + = − ∑ c a N 0,440 N ⇒ = ⋅ a c N N 150000 N 0,440 N + = −   = ⋅  a c a c N 104.166,67 N 45.833,33 N N = −   = −  a c 2 A total A a 104.166,67 σ 3,53 MPa 2,953 10− − = − = ⋅ c 14243 c c to 2 2 9 a A l A a t 9 a N N 0,02 0,2 200 10 6 π 29 10 π A 2 2 ⋅ ⋅ ∆ = ∆ ⇒ = ⇒                 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −                     a a 1,20 1,20 l l 14243 14243 N E A ⋅ ∆ = ⋅ l l 2 45.833,33/ σ 24,31 MPa 0,02 π 2 = − =   ⋅ ⋅    a 6 1 Exemplo 5.6: A coluna feita de concreto (Ec = 29GPa) com 100mm de diâmetro e reforçada com seis barras de aço (Ea = 200GPa) de 20mm de diâmetro cada é sujeita a ação de uma força de compressão de 150 kN. Determinar a tensão no concreto e em cada barra de aço. Esforço normal: Eq. de compatibilidade: Resolvendo o sistema de equações: Tensões normais: aço: concreto: 20 Exemplo 5.7: Determinar a força suportada por cada poste circular de aço e de alumínio quando a força de 150kN/m é aplicada à viga rígida, considerando que os postes sofrem variação de comprimento de 20 para 80 graus centígrados. al 3 2 Faço F 90 10 ⋅ + = ⋅ Fy = 0 ∑ Eq. de compatibilidade: a al ço δ δ = Eq. de equilíbrio: 1 X hiperestática ( ) ( ) al aço aç al o ( ) ( ) δ δ δ δ + + − − = T F F T simetria δT L α T = ⋅ ⋅ ∆ F N L δ E A ⋅ = ⋅ simetria alumínio aço o f i T T 80 20 60 C T = − = − = ∆ alongamento ( > 0) a aço 3 l F 1,216 F 165,9 10 = ⋅ − ⋅ al a 3 3 aço aço l 2 F F 90 10 F 1,216 F 165,9 10  ⋅ + = ⋅  = ⋅ − ⋅  Eaço 200 GPa = 6 o αaço 12 10 − / C = ⋅ Eal 73,1 GPa = 6 o αal 23 10 − / C = ⋅ rígida Faço −16,40 kN = Fal +123 kN = comp. tração 25/06/2019 11 21 Exemplo 5.8: Determinar as reações nos vínculos da estrutura abaixo geradas pela variação na temperatura de 150 para 20 graus centígrados. A B C o f i T T 20 150 130 C T = − = − = − ∆ retração Ax x C ( ) x F 0 → = ∑ x x A F = C = 1 X hiperestática Eq. de equilíbrio: Eq. de compatibilidade: ( ) δ T encurtamento + ( ) δ F alongamento Cx F = ( ) ( ) T F F ( ) ( ) T δ δ 0 δ δ ⇒ = − = + T T lat ( ) ( ) ( ) F F al a lat ( l ) δ δ δ δ + = + lat lat lat la al al al al al al t lat lat N L N L L α T L α T E A E A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ + ⋅ ⋅∆ = + ⋅ ⋅ F = 6,99 kN ∴ x x 6,9 N A k C 9 = = Esforço normal: la a t N l N F = = + tração 22 Exemplo 5.9: Para a estrutura da Figura abaixo, determinar o valor da carga w de modo que ocorra: a) escoamento em apenas um dos cabos; b) escoamento nos dois cabos. δB C δ 400mm 250mm N δ E A ⋅ = ⋅ l C B C B δ δ δ 1,625 δ 400 = 650 ⇒ = ⋅ BE CD d d 4mm = = 200 Pa 3 2 aço G E = 200 10 N / mm ⋅ 64447444 8 530 M Pa 2 σ = 530 N / mm e 644744 8 Eq. de equilíbrio: Eq. de compatibilidade: a) NBE CD N 800 w ⋅ BE CD N N > CD BE N > N ou ? MA = 0 ∑ 1 X hiperestática BE CD N 1,625 N 800 w + ⋅ = ⋅ (I) CD BE N =1,625 N ⋅ B CD E N N > CD plastifica primeiro (II) p 2 e p e CD N σ N σ A N 530 (π 2 ) 6.660,176 N = A ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ∴ CD BE N =1,625 N ⋅ NBE 4.031,584 N = Subst. NCD e NBE na Eq. (I): 18,57 m w kN / = b) Subst. NCD e NBE na Eq. (I): 21,85 m w kN / = p CD BE e N N N σ A 6.660,176 N = = = ⋅ = plastificação dos dois cabos 25/06/2019 12 23 Exemplo 5.10: Para o corpo de prova de aço da figura abaixo, determinar: (a) o maior valor da força P na iminência da plastificação localizada; (b) o maior valor da força P que a amostra pode suportar. σ 250 MPa = e (a) Pe ocorre quando σmáx=σe 8 r 4 0,125 h = 40 = − w 40 1,25 h 40 8 = = − / h W < slide 10 ∴ K 1,75 = { 2 máx méd 250 N / mm K 1 P σ σ (4 8 ,75 0 ) 2 ⋅   = ⋅ ⋅  − ⋅  =  e P 9,1 k 4 N = e Pp ocorre quando: e e P σ P σ A = A ⇒ = ⋅ ⇒ p p sem provocar escoamento do material Pe = carga elástica máxima provoca escoamento de todo o material da menor seção transversal Pp = carga plástica (b) P 250 [(40 8) 2] k 16 N ⇒ = ⋅ − ⋅ = p máx méd K σ σ = ⋅ 24 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, v.1 e 2, 1971. NASH, W. A. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973. POPOV, E. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1984. 25/06/2019 13 25 SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harper & Row do Brasil Ltda., 1984. SHAMES, I. H. Introdução à mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro; Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1983. TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint Gráfica S. A., v.1 e 2, 1976. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., v.1 e 2, 1984 TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da elasticidade. Editora Guanabara Dois, 3a edição, 1980. WILLEMS, N.; EASLEY, J. T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. e CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. e LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C; BEER, F. P. e JOHNSTON Jr, E. R. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 6 – Torção christoforoal@yahoo.com.br 02 Para seções circulares maciças : ' ( / 2) bb D dφ = ⋅ bb' = γ dx ⋅ máxima hipótese máxima 25/06/2019 2 03 Comparando com a solicitação axial ( ) N x A ⋅ x ∆ = ⋅ l E A x N dA σ = ⋅ ∫ x x E σ ε = ⋅ x dx dx ε = ∆ A r T r dA τ = ⋅ ∫ G τ γ = ⋅ 2 dφ = D γ dx ⋅ ⋅ t t M τ ω = 3 t π 16 ω ⋅D = 4 t π 32 I ⋅D = módulo de resistência à torção momento de inércia à torção seção circular cheia It e ωt de outras seções? ( ) t t x M x I φ ⋅ = ⋅ G [rad] adimensional propriedades geométricas x N A σ = propriedade geométrica esforço solicitante 04 tubo de parede grossa (e > d/20): tubo de parede fina (e ≤ d/20): e = (D − d)/2 dm = (D + d)/2 2 m t π d e ω 2 ⋅ ⋅ = 3 m t π d e I 32 ⋅ ⋅ = τ constante na espessura ( ) 4 4 t π D d ω 16 D ⋅ − = ⋅ ( ) 4 4 t π D d I 32 ⋅ − = e = (D − d)/2 τ variável na espessura 3 t a ω 4,81 = 4 t a I 7,10 = 3 t a ω 20 = 4 t a I 46 = 2 t π a b ω 2 ⋅ ⋅ = 3 3 t 2 2 π a b I a b ⋅ ⋅ = + máx t Mt τ ω τ = = máxima ( ) r r τ τ = cálculo proporcional ( ) t i t M I x x G φ ⋅ = ⋅ [rad] adimensional [ ] t ω = uc 3 [ ] tI = uc 4 uc - unidade de comprimento 25/06/2019 3 01 05 Característica das seções: distribuição uniforme de τ distribuição não uniforme de τ perfil I perfil U seção vazada quadrada fechada seção celular ??? ??? ??? ??? Mecânica dos Sólidos 2 ωt e It = ???? 06 Convenção: T T T regra da mão direita corte x x corte Pela regra da mão direita, o sentido do vetor momento torçor “foge” da seção de corte. Se for adotada convenção contrária, o momento torçor “entra” na seção de corte. Na torção a resistência da peça independe do sentido do torçor aplicado. 25/06/2019 4 07 t máx T τ ω = ⋅ K 3 t π 6 ω 1 ⋅ = d < D d Concentração de tensão: 08 Torção Inelástica: Torque elástico máximo: e e c c τ τ ρ τ τ = ρ ⇒ = ⋅ máx e τ τ = seção circular maciça não linearidade física 25/06/2019 5 09 Torque elástico-plástico: e e e e τ τ ρ τ τ ρ ρ ρ = ⇒ = ⋅ Torque plástico: 10 TD = 15.(10 + 10) = 300 kN.cm [horário - h] Torque no ponto D: Esforços solicitantes: A B D 2m 2m 1m C (I) (II) 670 kN∙cm 300 kN∙cm D 3m 300 kN∙cm Mt BA > 0 670kN∙cm B x ( x 5m) ≤ ≤ 3 300 kN∙cm Mt > 0 DB x (0 x 3m) ≤ ≤ D t 300 k m M N = + ⋅ DB t 370 k m M N = − ⋅ BA Mt (k N m) ⋅ A B D Exemplo 6.1: Verificar se o carregamento do eixo excede o limite admissível e determinar o deslocamento vertical dos pontos de aplicação das cargas P = 15 kN. Considerar apenas o efeito dos momentos torçores. Dados: G = 8000 kN/cm2; valor admissível da tensão de cisalhamento τadm = 90 MPa. 25/06/2019 6 11 Mt (k N m) ⋅ A B D Tensões de cisalhamento máximas: Trecho BA: 370 τ 8,7 kN/cm² 42,4 = − = adm 9 kN/cm² não exc )e τ ( ed = < Trecho CB: 300 τ 7,1 kN/cm² = 42,4 = adm 9 kN/cm² não exc )e τ ( ed = < Trecho DC: D d 6 4 d e 1cm 2 2 20 − − = = = > parede grossa máx t t τ ω M τ = = 3 t π D ω 16 ⋅ = maciça ( ) 4 4 t π D d ω 16 D ⋅ − = ⋅ parede grossa 2 m t π d e ω 2 ⋅ ⋅ = parede fina 300 τ 8,8 kN/cm² = 34,0 = adm 9 kN ² τ /cm = < 12 Mt (k N m) ⋅ A B D Deslocamento angular, rotação ou giro: ( ) t t M x φ x G I ⋅ = ⋅ 4 t π D I 32 = ⋅ ( ) 4 4 t π D d I 32 ⋅ − = maciça parede grossa ( ) 2 AB 370 200 φ 7,270 10 rad 8000 127,2 − − − ⋅ = = ⋅ ⋅ 2 BC 300 100 φ 2,947 10 rad 8000 127,2 − = ⋅ + ⋅ = ⋅ 2 CD 300 200 φ 7,346 10 rad 8000 102,1 − = ⋅ + ⋅ = ⋅ B 2 A φ φ 7,270 10 − rad = = − ⋅ B A 2 B BC φ φ φ 4,323 10 − rad = + = ⋅ − C AB 2 BC CD φ φ φ φ 3,023 10 − rad + = + + = ⋅ D P AD AD 1 P AD δ (φ ) φ 10 δ φ 10 3,023 10 cm tg − = ⇒ ⇒ = ⋅ = ⋅ ≅ A B C D (10 2 − rad) φ −7,270 4,323 − 3,023 x 2 2 4,323 10 3,023 10 x 2 x − − − ⋅ ⋅ = − x 1,117 m = pequenos deslocamentos Deslocamento vertical: 25/06/2019 7 13 C C C (T 40) 3 T 2 0 T 24 kN m ⇒ − ⋅ + ⋅ = + ⇒ = ⋅ (AB) (BC) t AB t BC AC AB BC t t M M φ 0 φ φ 0 0 G I G I ⋅ ⋅ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ ⋅ ⋅ l l ( ) t M AB = −16 kN m ⋅ TC = +24 kN m ⋅ 40 kN m ⋅ TA = ? A Mt 0 T +16 kN m = ⇒ = ⋅ ∑ Equação de compatibilidade: Equação de equilíbrio: Esforços solicitantes: ( ) t M BC = +24 kN m ⋅ Tensão de cisalhamento: t t M τ ω = 3 t π D ω 16 ⋅ = τ(AB) 4,72 kN/cm² = τ(BC) 7,07 kN/cm² = máx Deslocamento da seção B: 4 t π D I 32 ⋅ = t t M φ G I ⋅ = ⋅ l C AB 2 B φ φ 2,947 10 − rad = = − ⋅ 40 kN m ⋅ - + + C T = ? = TC + + TC 40 − A B C 3 m 2 m Mt (k N m) ⋅ contrário ao esforço axial !! Exemplo 6.2: Da figura abaixo, calcular a tensão de cisalhamento máxima e o giro da seção B. Dado: módulo de deformação transversal: G = 8000 kN/cm². ∴ 14 Exemplo 6.3: Da Figura abaixo, determinar a tensão de cisalhamento máxima. Dados: G = 8.000 kN/cm2; E = 20.000 kN/cm2; área da seção transversal A = 2 cm2. estrutura 1 X hiperestática Equilíbrio: TA 10 FB ⋅ 2 000 kN cm ⋅ ⋅ b TA 10 F 2.000 + ⋅ = Mt = 0 ∑ b C b T F D F 10 = ⋅ = ⋅ tração tração horário b N = F Reação em C: 25/06/2019 8 15 Esforços solicitantes: Corte I (0 ≤ x ≤ 2m): Corte II (2m ≤ x ≤ 3m): Mt A T ( ) t AB A M T = − Mt = 0 ∑ Equação de compatibilidade: t t M G I ⋅ = ⋅ φ l N E A ⋅ = ⋅ l Δ l C A B φ AB C 1 φ φ 5 Δ + = ⋅ l 14243 − } N (AB) (BC) t AB t BC b b t t M M F 1 G I G I 5 E A ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 l l l > − A b T = 34,45 F ⋅ A ( t M BC) T 2.000 = − + Mt = 0 ∑ TA Mt 2 000 kN cm ⋅ ⋅ b A b A T 10 F 2.000 T 34,45 F + ⋅ =   = ⋅  equilíbrio compatibilidade b TA 1.550 kN cm 15,50 kN m F 45 kN = + = ⋅ = + ⋅    2 2 2 barra 4 4 t E 20.000 kN/cm G 8.000 kN/cm A 2 cm I (π D )/32 981,75 cm  =   =  =   = ⋅ =  AC AC (φ ) Δ φ 5 tg ≅ = l − pequenos deslocamentos da convenção Mt 0 N > 0 <    along. ah 16 Diagrama dos esforços solicitantes: Tensões de cisalhamento: t t M τ ω = 3 3 3 t π D π 10 ω 196,35 cm 16 16 ⋅ ⋅ = = = ( BC) 450 τ 2,29 kN/cm² = 196,35 = ( AB) 1550 τ 7,89 kN/cm² 196,35 = − = máxima 25/06/2019 9 17 Exemplo 6.4: O eixo da Figura abaixo é composto de um núcleo de latão e um tubo de aço. Faça a representação gráfica da distribuição da tensão de cisalhamento em uma seção transversal qualquer. 20 mm 40 mm latão aço T = 250 N∙m Gaço = 80 GPa = 80 N/mm2 Glat = 36 GPa = 36 N/mm2 Esforço solicitante: 250 N m ⋅ ( ) (al) ( t t a t t l ) M M M = + total x Mt = 0 ∑ ( ) (lat) t t M al M 250 + = − 1 Eq. e 2 incógnitas Equação de compatibilidade: seção permanece plana após a deformação ( aço) (la )t φ φ = t t M G I ⋅ = ⋅ φ l 4 t π d I 32 ⋅ = maciça ( ) 4 4 t π D d I 32 ⋅ − = parede grossa aço aço aço ( ) ( ) t t lat ( ) ( ) ( ) ( ) t t lat lat M M G I G I ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ l l ( ) ( ) lat t a t ço M = 33,33 M ⋅ lat lat ( ) ( ) t t ( ) aço a ( ço) t t M M 250 M 33,33 M −  + =  = ⋅  equilíbrio compatibilidade ( ) t ( ) t lat M aço 242,72 N m M 7,28 N m − −  = ⋅  = ⋅  18 20 mm 40 mm latão aço T = 250 N∙m Gaço = 80 GPa = 80 N/mm2 Glat = 36 GPa = 36 N/mm2 ( ) t ( ) t lat M aço 242,72 N m M 7,28 N m − −  = ⋅  = ⋅  ( ) 4 4 t π D d ω 16 D ⋅ − = ⋅ 3 t π d ω 16 ⋅ = maciça vazada Tensões de cisalhamento: Latão: t t (lat ) 3 t M M τ 4,63 MPa ω π d 16 = = = ⋅ máx ( ) t aço t ( ) 4 4 t M M τ 20,60 MPa ω π D d 16 D = = = ⋅ − ⋅ máx Aço: (aço ) τ = 20,60 MPa máx (aço ) τ = mín ? r 10 mm = R 20 mm = (aço ) τ =10,30 MPa mín descontinuidade latão Gaço G ≠ τ = G γ ⋅ mesmo valor de γ 25/06/2019 10 19 Exemplo 6.5: Conhecido o diagrama τ × γ de um eixo tubular feito de uma liga de alumínio, determinar o torque elástico máximo e o torque plástico. Torque elástico máximo: { ( ) ( ) t e 6 e e 4 4 4 4 t τ T T M τ 20 10 3,42 kN m ω π D d π 0,1 0,06 16 D 16 0,1 T = = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ á e m x Torque plástico: ( ) 6 0,05 6 0,05 pl 0,03 A 0,03 d 3 e A τ 125,66 10 T τ dA 20 10 2 π d 4,10 kN m 3 T r r r r ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ r 14243 14243 ( ) 4 4 t π D d I 32 ⋅ − = máx t τ r τ I = ⋅ r 6 τmáx τ 20 10 Pa = = ⋅ e 20 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. 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R. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 7 – Flexão, Cisalhamento e Deflexão de Vigas christoforoal@yahoo.com.br 02 Objetivos O projeto das vigas, assim como de outros sistemas estruturais, é realizado com base no cálculo das tensões normal [ σ ] (de flexão) e de cisalhamento [ τ ] e dos deslocamentos (deflexão). z xy z V S b I τ ⋅ = ⋅ à ser demonstrada z x z M y I σ = ⋅ à ser demonstrada 25/06/2019 2 03 r y dx dx = ∆ x dx y dx r ε ∆ = = x x y E E r σ ε = ⋅ = ⋅ x A N dA = ∫σ A E N y d 0 A = r ⋅ = ∫ R x F F = ⇒ ∑ A y dA = 0 ∫ LN passa pelo CG z A x M y dA σ = ⋅ ∫ z ( R ) z M M = ⇒ ∑ 2 z A E M y dA = r ⋅∫ . z z y M σ = I / z z z á z m x y I W M M σ = = z z E I M r ⋅ = seção simétrica y A x M z dA σ = ⋅ ∫ ( ) R y y M M = ⇒ ∑ z z y A z M y M dA I 0 ⋅ = ⋅ = ∫ z z A z M d 0 I y A ⋅ ⋅ = ∫ y e z devem ser eixos principais de inércia Tensão normal na flexão pura: 04 Distribuição da tensão normal em seção retangular: z x z y M I σ = ⋅ 3 12 z b h I ⋅ = 3 12 z y M b h σ ⋅ = ⋅ ⋅ 2 2 ( / 2) 6 /( ) ( 0) 0 ( / 2) 6 /( ) z z h M b h h M b h y y y σ σ σ  = = ⋅ ⋅  = =   = = + ⋅ − ⋅ −  + tração compressão linha neutra fibras transversais tração onde y>0 x y flexão pura (compre s ) 0 são σ < tra ( o) 0 çã σ > 0 σ = LN – linha neutra fibras longitudinais x 0 ( ) ( ) ( 0 ) N x V x M x =   =   = + Me 25/06/2019 3 01 05 inf inf z A A M F dA y dA I σ = = ⋅ ∫ ∫ inf inf z A A M F dA y d dA d I d σ = = ⋅ ∫ ∫ 0 0 F b dx =τ ⋅ ⋅ ∑ Fx = 0 0 ) ( 0 = + − + dF F F F F = dF 0 inf inf 0 z z A A dM dM b dx y dA y dA I I τ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ inf 0 1 z A dM y dA b I dx τ = ⋅ ⋅ ⋅ ∫ 0 z z V S b I τ ⋅ = ⋅ Tensão de cisalhamento na flexão simples: tensões tensões ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 N x V x M x    ≠ ≠ = flexão simples forças inf A fibra 06 Observação : tábuas soltas deslizamentos maior deflexão tábuas unidas menor deflexão resistência aos deslizamentos longitudinal transversal teorema de Cauchy viga de madeira maciça orientação das fibras falha por cisalhamento longitudinal h/2 h/2 O cisalhamento ocorre tanto na direção horizontal quanto na vertical. 25/06/2019 4 07 Distribuição da tensão cisalhante em seção retangular: h 2 2 (j) 2 h 2 2 y y z, b b h S y b dy y y 2 2 4 +     = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ −           ∫ inf (j) z, A S y dA = ⋅ ∫ sup sup ( j) z, A S y dA = ⋅ ∫ inf inf ou (j) (j) z, z, S S 0 + = inf sup pois: z A S y d 0 A = ⋅ = ∫ em relação ao eixo z centroidal y 2 (j) z, h 2 2 b h S y b dy y 2 4 − −   = ⋅ ⋅ = ⋅ −       ∫ sup A A y dA A 0 z d ⋅ = = ∫ ∫ momento estático centróide fibra ( ) ( ) j z j z V S b I τ ⋅ = ⋅ 3 z b h I 12 ⋅ = 2 2 ( ) ) 3 ( 6 4 j j z z V V I h S h b b τ ⋅   ⋅ = = ⋅ −     ⋅ ⋅   y momento estático: abaixo da fibra j: acima da fibra j: 08 2 3 6 4 V h b h τ   ⋅ = ⋅ −     ⋅   2 y máxima mínima mínima 3 12 z M b h σ ⋅ = ⋅ ⋅ y máxima máxima mínima Representação no plano: 25/06/2019 5 09 Distribuição das tensões cisalhante e normal em outras seções simétricas: n ( ) ( ) z z i i i 1 S S A y = = = ⋅ = ∑ 1 5 0 ( ) ( ) ( ) 3 Sz 10 4 15,5 −620 cm = ⋅ ⋅ − = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z 3 S 10 4 15,5 4 13,5 6,75 984,5 cm = ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − = − 3 ( ) ( ) 3 Sz 20 4 10,5 840 cm = ⋅ ⋅ = 4 Propriedades geométricas da seção para o CG: CG y A y 17,5 cm A ⋅ = = ∑ ∑ 2 4 z z y I (I d A) 22.689,3 cm = + ⋅ = ∑ f. do 2o grau máximo em módulo máximo + máximo em módulo Diagrama dos esforços: ( ) ( ) ( ) ( ) 120 22.689,3 z j j z j j z V b b S I S τ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ Distribuição das tensões: kN cm ⋅ 9000 22.689,3 z x z M y y I σ + = ⋅ = ⋅ 10 Limitações da expressão da tensão cisalhante: Teoria da Elasticidade Teoria da Elasticidade Mecânica dos Sólidos A ser visto na Mecânica dos Sólidos 2: Fluxo de cisalhamento em elementos de parede fina: Centro de cisalhamento para seções transversais abertas: z z V b S I ⋅ = ⋅ τ z z V S b I ⋅ = ⋅ = q τ flexão + torção resultantes do fluxo de cisalhamento F = ∫ ⋅dx q F F F Para apenas flexão, quem é e? 0 M A = ∑ F = ∫ ⋅dx q F F F Teoria da Elasticidade 25/06/2019 6 11 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 N x V x M x    ≠ ≠ = flexão simples ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 N x V x M x    ≠ ≠ ≠ flexão composta ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 N x V x M x    = ≠ = flexão pura reação reação reação Esforços solicitantes: 2 2 ( ) ) 3 ( 6 4 j j z z V V I h S h b b τ ⋅   ⋅ = = ⋅ −     ⋅ ⋅   y ( ) ( ) ( ) A A A H V x V M N x x x V    ⋅  + = + = = tração tração nas fib. inf. Tensão normal na flexão composta e simétrica: 3 12 z z z M M I b h σ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ flexão y y HA N A b h σ + = = ⋅ axial tração Tensões normais: Tensão cisalhante: σ σ σ = + fl axial exão superp. de efeitos 3 12 z HA M b h b h σ ⋅ = + + ⋅ ⋅ ⋅ y distribuição de σ e τ Flexão simétrica: seção simétrica e plano de carga coincidente com um dos eixos de simetria. 12 3 12 z A M H b h b h σ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ y + T T σ σ σ = flexão + axial C T T + C T + T máx. no CG LN não passa pelo CG 2 2 ( ) ) 3 ( 6 4 j j z z V V I h S h b b τ ⋅   ⋅ = = ⋅ −     ⋅ ⋅   y A H VA B V F P ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 N x V x M x    ≠ ≠ ≠ flexão simétrica composta distribuição de σ e τ 25/06/2019 7 13 Concentração de tensão na flexão: máx z z M M y K K I σ ω = ⋅ ⋅ = ⋅ 14 A ser visto na Mecânica dos Sólidos 2: Outros casos de flexão: Flex. Assimétrica y z z y y M M z I I σ − + = ⋅ ⋅ 0 LN M atua fora dos eixos de simetria y z z y y M M z N A I I σ − + = ⋅ ⋅ − Flex. Assimétrica F x z y 0 LN F atua fora dos eixos de simetria Flex. Assimétrica seção transversal assimétrica y z z y y M I z M σ = + I + ⋅ ⋅ 0 LN eixos principais de inércia Flexão inelástica: σ ( ) = ? aço T ( ) σ = ? conc. C Vigas compostas: M = ? e M = ? plast. Núcleo de inércia: Mec. Sól. 1 flexão simétrica 25/06/2019 8 15 . z M y I σ = x E σ ε = ⋅ . x z M E y I ε⋅ = ´´( ) . z M E v x y y I ⋅ ⋅ = Deformação na Flexão: Me 0 > 1 0 ρ = r < v(x) x v(x) > 0 para baixo : horário θ(x > 0 : ) tração na face inferior x v(x) v(x) > 0 para baixo : anti- horário θ (x) > 0 : x dx y dx r ε ∆ = = 1 ´´( ) x x y v x y r ε ε = ⋅ ⇒ = ⋅ influencia apenas do momento fletor ´´( ) z M v x = E I ⋅ ´´( ) z M v x E I = ⋅ − ( ) v'' x ⇒ 0 Me > 0 < EDO de 2a ordem 0 2 2 3 2 2 d v 1 dx r dv 1 dx =      +          2 2 1 d v r dx = ( ) dv x dx θ(x) = inclinação 16 Se v(x) for orientado positivamente para cima: Me 0 > 1 0 ρ = r < v(x) x par a cima v(x) > : 0 anti- horário θ (x) > 0 : tração na face inferior 0 < 0 < x v(x) par a cima v(x) > : 0 horário θ(x > 0 : ) ´´( ) z M v x E I = ⋅ + ( ) v'' x ⇒ 0 Me > 0 > ( (x) ) dv x dx θ = Cada autor adota um referencial para v(x) (para cima ou para baixo), e devemos ficar atentos na função dos deslocamentos e das rotações dos casos elementares dispostos nesses livros. 25/06/2019 9 17 Exemplo numérico:Determinar a função dos deslocamentos e das rotações para a viga abaixo. Função momento fletor: ( ) 2 p M(x) x x = 2 ⋅ − + ⋅ l M = 0 ∑ s Função dos descolamentos: ( ) ( ) z M x v x E I = ⋅ ´´ − ( ) 2 2 2 z d v 1 p x x E I 2 dx = − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ l 3 2 z dv p x x dx 2 E I 3 2   = − ⋅ − + ⋅ +     ⋅ ⋅   c1 l ( ∫ ) ( ) ∫ Condições de contorno (sol. particular): 4 3 z p x x v x 2 E I 12 6   = − ⋅ − + ⋅ + ⋅ +     ⋅ ⋅   1 2 c c l família de curvas sol. geral da EDO 4 3 z p x x v x 2E I 12 6   = − ⋅ − + ⋅ + ⋅ +     ⋅   1 2 c c l v(x ) 0 v(x ) 0 = 0 =   = =  l sistema 2x2 3 4 4 z p x x x v(x) 2 24 E I   ⋅       = ⋅ − ⋅ +         ⋅ ⋅           l l l l Função das rotações: dv(x) θ(x) dx = 4 2 3 3 4 z p 1 x x θ(x) 6 4 24 E I   ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅   ⋅ ⋅     l l l l rad v(x) x para baixo v(x) > 0 : horário θ(x > 0 : ) E ⋅ Iz = te c da forma deformada: / 2 horário 0 x θ(x) ≤ < l > : 0 anti- / 2 horário (x) x θ ≤ ≤ l l < : 0 18 Condições de continuidade: Devem ser consideradas quando duas ou mais funções do momento fletor [M(x)] são utilizadas para avaliar a variação do momento fletor em toda a estrutura. 2 2 ( ) ( ) z d v x M x E I dx = ⋅ AB AB − Trecho AB: 1 0 2 m x m ≤ ≤ três cortes hipotéticos E ⋅ Iz = te c ( ) ∫ ∫dx dx ( ) ( ) v x f x c x c = + ⋅ + 1 2 AB 2 2 ( ) ( ) z d v x M x E I dx = ⋅ BC BC − Trecho BC: 2 2 3 m x m ≤ ≤ ( ) ∫ ∫dx dx ( ) ( ) v x g x c x c = + ⋅ + 3 4 BC 2 2 ( ) ( ) z d v x M x E I dx = ⋅ CD CD − Trecho CD: 3 3 4,5 m x m ≤ ≤ ( ) ∫ ∫dx dx ( ) ( ) v x h x c x c = + ⋅ + 5 6 CD 6 cte ao todo e 3 funções v(x) independentes Para tornar as funções v(x) dependentes: ( 0) 0 v x = = AB ( 2) ( 2) v x v x = = = BC AB ( 2) ( 2) dv x dv x dx dx = = = BC AB ( 3) ( 3) dv x dv x dx dx = = = CD BC ( 4,5) 0 v x = = CD ( 3) ( 3) v x v x = = = CD BC v(x) x 2 2 ( ) ( ) z d v x M x E I dx = ⋅ − referencial único adotado 25/06/2019 10 19 três cortes hipotéticos E ⋅ Iz = te c Alterando a posição do referencial: 2 2 ( ) ( ) z d v x M x E I dx = ⋅ AB AB − Trecho AB: 1 0 2 m x m ≤ ≤ ( ) ∫ ∫dx dx ( ) ( ) v x f x c x c = + ⋅ + 1 2 AB 2 2 ( ) ( ) z d v x M x E I dx = ⋅ BC BC − Trecho BC: 2 0 1 m x m ≤ ≤ ( ) ∫ ∫dx dx ( ) ( ) v x g x c x c = + ⋅ + 3 4 BC 2 2 ( ) ( ) z d v x M x E I dx = ⋅ DC DC − Trecho DC: 3 0 1,5 m x m ≤ ≤ ( ) ∫ ∫dx dx ( ) ( ) v x h x c x c = + ⋅ + 5 6 DC 6 cte ao todo e 3 funções v(x) independentes Para tornar as funções v(x) dependentes: ( 0) 0 v x = = AB ( 2) ( 0) v x v x = = = BC AB ( 0) ( 2) dv x dv x dx dx = = = BC AB ( 1,5) 0 v x = = DC ( 1) ( 1,5) v x v x = = = DC BC ( 1) ( 1,5) dv x dv x dx dx = = = − C BC D v(x) x v(x) x h ( o x) rário θ > 0 : ant -i horário θ(x) > 0 : 20 Função v(x) dependente do carregamento: v(x) x v(x) > 0 para baixo : horário θ(x > 0 : ) E ⋅ Iz = te c 2 2 ( ) ( ) z d v x M x E I dx = ⋅ − dV p(x) dx dM V dx  =   =  − + corte à direita Das relações diferenciais: } 2 3 3 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) V z z z d v x M x d v x d d dx dx M d v x V E I E I E I dx dx dx +   = ⇒ = ⋅ ⇒ =     ⋅ ⋅ ⋅   − − − { 4 3 4 3 4 4 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) z z z p x d v x V d v x V d v x E I E I E I dx dx dx d d dx p x x d   = ⇒ = ⋅ ⇒ = +     ⋅ ⋅ ⋅   − − − EDO de 4a ordem 4 4 ( ( ) ) z d v I x p d x x = + E ⋅ } 4 4 ( ) z d v x E I d p x = + ⋅ cte ( ) ( ) ( ) dx dx dx dx ∫ ∫ ∫ ∫ 3 4 4 z p x x x v(x) 2 24 E I   ⋅       = ⋅ − ⋅ +         ⋅ ⋅           l l l l 4 3 2 1 2 3 4 z 1 p c c v(x) x x x c x c E I 24 6 2   = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +   ⋅   sol. geral da EDO Condições de contorno (sol. particular): ( 0) 0 v x = = ( ) 0 v x = = l ( ) (' ) ' z M x E I v x ⋅ ⋅ = − (0) 0 ( 0) 0 '' M v x = ⇒ = = ( ) 0 ( ) 0 '' M v x = ⇒ = = l l 25/06/2019 11 21 Método da superposição: v(x) x + ( ) ( ) 4 3 3 1 z 3 2 2 3 1 z p v (x) 16 x 24 x 9 x 0 x /2 384 E I p v (x) 8 x 24 x 17 x /2 x 384 E I  = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ≤ ≤  ⋅ ⋅  ⋅  = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ≤ ≤  ⋅ ⋅  l l l l l l l l l v(x) x trecho AB trecho CB ( ) 2 3 2 z F v (x) 3 x 4 x 0 x /2 = 48 E I ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ≤ ≤ ⋅ ⋅ l l simetria = E ⋅ Iz = te c l = 8 m Deslocamento v do ponto C ? ( ) 2 4 3 z 1 z 5 p F v v (x /2) v (x / 2) 768 E I 48 E I ⋅ ⋅ ⋅ = = + = = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ↓ C l l l l 22 3 3 z z L 5 L 5 0 48 E I 3 E I 16 ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ y y B B P P B B v + v = ' 0 condição de compatibilidade: Sistemática do processo dos esforços: + = redundante eleita v(x) x ( ) 3 B z 5 L v 48 E I ⋅ ⋅ ⋅ ↓ ⋅ = + P ( ) 3 B z L v 3 E I ↑ ⋅ = ⋅ ⋅ − By ' ? est. isostáticas fictícias carregamento real redundante eleita aplicada - Carregamentos variados: considerar cada caso isoladamente; - Duas ou mais redundantes eleitas: considerar a aplicação de cada uma dessas de forma isolada; - Equação de compatibilidade: uma redundante (est. 1 x hiperestática) implica em uma única equação de compatibilidade, duas redundantes resulta em um sistema 2x2 e assim sucessivamente. Vigas estaticamente indeterminadas e o método da superposição: 25/06/2019 12 23 Do exemplo anterior, se a redundante eleita for o momento no engaste: 2 z z L L 3 0 L 16 E I 3 E I 16 ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + − A A M P M P A A θ + θ = ' 0 condição de compatibilidade: + = v(x) x ( ) 2 A z L θ 16 E ho io I rár ⋅ = ⋅ + ⋅ P ( ) A z L θ 3 E horári I o ⋅ = ⋅ + ⋅ MA ' ? redundante eleita carregamento real redundante eleita aplicada 24 Outro exemplo: = + + B B B C C C v v v v v v + + =   + + =  '' 0 '' 0 ' ' condições de compatibilidade: 25/06/2019 13 25 Exemplo 7.1: Para a viga da Figura á seguir, determinar os valores máximos da tensão de cisalhamento e da tensão normal. ( ) 0 x 2m ≤ ≤ Trecho AB : ( ) 2 x 5m ≤ ≤ Trecho BC : M (kN.m) V (kN) Esforços solicitantes: 26 Determinação das propriedades geométricas: ' i i CG i A z z 0 cm A ⋅ = = ∑ ∑ ' i i CG i A y 14 24 12 10 10 17 y 9,88 cm A 14 24 10 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = − ⋅ − ⋅ ∑ ∑ ref. arbitrado Centroide: Momentos de área: ( ) i i fibra S A y = ⋅ ∑ z ( ) ( ) 3 Sz 2 14 9,88 4,94 683,3 cm ⋅ ⋅ = − = ( ) 3 Sz 3 14 12 8,12 10 10 7,12 652,2 cm = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − Para determinar a tensão de cisalhamento máxima, é suficiente avaliar os pontos das fibras (2) e (3). Momento de inércia Iz: ( ) 2 z z,i i i I I A d = + ⋅ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 4 z 14 24 10 10 I 14 24 2,12 10 10 7,12 11735,3 cm 12 12     ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =             25/06/2019 14 27 ( ) 3 Sz 2 683,3 cm = ( ) 3 Sz 3 652,2 cm = 4 zI 11735,3 cm = Tensão de cisalhamento máxima: z z V S τ b I ⋅ = ⋅ ( ) 2 100 683,3 τ 2 0,42 kN/cm 14 11735,3 ⋅ = = ⋅ ( ) 2 100 652,2 τ 3 1,39 kN/cm 11735,3 ⋅ = = ⋅ abaixo 4 máxima Tensão normal máxima: V (kN) M (kN.m) máx. máx. tração apenas na face inferior (M>0) { } ,máx ,m m á x σ á x σ ,σ = c t máx É suficiente calcular a tensão normal nos pontos da fibra (5). ( ) ( ) 2 12500 σ 5 14,12 15,04 kN/cm = 11735,3 ⋅ + = máxima 28 Exemplo 7.2: Verificar se o carregamento excede os limites admissíveis. Dados: tensão de cisalhamento admissível τadm = 4 kN/cm2; tensão normal de tração admissível σt,adm = 6 kN/cm2; tensão normal de compressão admissível σc,adm = 30 kN/cm2. V (kN) M (kN.m) Diagramas: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 4 z 3 15 15 5 I 3 15 6,25 15 5 3,75 3812,5 cm 12 12     ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − =             ( ) ( ) 3 Sz 2 3 13,75 6,875 283,6 cm − = ⋅ ⋅ = suficiente Propriedades geométricas: Tensão de cisalhamento: z z V S τ b I ⋅ = ⋅ ( ) 2 2 a dm 45 283,6 τ 2 1,12 kN/cm τ 4 kN/cm 3 3812,5 ⋅ = = < = ⋅ Tensão normal: z M σ y = I ⋅ 2 c,adm 2 t,adm σ(1) 11,04 k 30 N/cm σ σ 3812,5 σ(4) 5,02 kN/cm σ 62,5  = < +  = ⋅  = < +  −  y 2 t,adm 2 c,adm σ(1) 7,21 kN/ 200 cm σ σ 3812,5 σ(4) 3,28 σ 0 kN/cm −  = −  = ⋅  = <  + > y excede 25/06/2019 15 29 Exemplo 7.3: Desenhar, com os devidos valores numéricos, os diagramas da tensão de cisalhamento e da tensão normal para as seções transversais dos esforços solicitantes máximos. F 3 z z S (1) S (5) 0 cm = = 4 zI 9000 cm = Diagramas dos esforços: conjugado Vmáx 60 kN = Mmín = −40 kN m ⋅ seções A ou B Mmáx = 50 kN m ⋅ seção C seções A ou B compressão flexão composta 3 z z S (2) S (4) 562,5 cm = = Propriedades geométricas: 3 z S (3) 600 cm = 30 Distribuição da tensão de cisalhamento máxima (seções A ou B): 3 z z S (1) S (5) 0 cm = = 4 zI 9000 cm = 3 z z S (2) S (4) 562,5 cm = = 3 z S (3) 600 cm = z z V S τ b I ⋅ = ⋅ Vmáx 60 kN = Distribuição da tensão normal máxima (seção C): Mmáx = +50 kN m ⋅ tração na face inferior N −400 kN = compressão z z N M σ σ σ y A I = + = + ⋅ N M 4 zI 9000 cm = 2 A 180 cm = ( 400) ( 5000) σ 180 9000 = − + + ⋅ y T C LN não coincide com o CG y σ 4 cm = ⇒ = + 0 LN 4 cm abaixo do CG 25/06/2019 16 31 Exemplo 7.4: Determinar a equação da linha elástica e a inclinação para a viga da Figura abaixo admitindo a rigidez contra a flexão E∙Iz constante. Desprezar o efeito da força cortante. ( ) 0 x / 2 ≤ ≤ l Trecho AB : P M(x) = 2 x ⋅ 2 2 2 2 z z d v M(x) d v P x E I 2 E I dx dx − − = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( ) ∫dx dx ∫ z 2 1 3 P x v x 2 c c E I 6 = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ sol. geral da EDO da simetria: x 0 v(x / 2) 0 dv(x) θ(x / 2) 0 dx = = =   = = =  l l 3 3 z P x 4 x v(x) 16 E I 3   ⋅     = ⋅ − ⋅       ⋅ ⋅         l l l ( ) 0 2 x / ≤ ≤ l 3 2 3 z v(x) P 1 x θ(x) 4 16 E I d dx   ⋅ = = ⋅  − ⋅  ⋅ ⋅     l l l ( ) 0 2 x / ≤ ≤ l v(x) xx P ( ) 0 x / 2 ≤ ≤ l Trecho AB : AB P M (x) = 2 x ⋅ 2 3 B 1 A z P x v (x) x 2 E I c c 6 = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ( ) 0 x / 2 ≤ ≤ l Trecho CB : CB P M (x) = 2 x ⋅ 4 3 B 3 C z P x v (x) x 2 E I c c 6 = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ Condições de contorno: vAB (x 0) 0 = = AB BC v (x /2) v (x /2) = = = l l vCB (x 0) 0 = = AB v x CB v x AB BC θ (x / 2) θ (x / 2) − = = = l l 32 Exemplo 7.5: Determinar a equação da linha elástica e a inclinação para a viga da Figura abaixo admitindo a rigidez contra a flexão E∙Iz constante. Desprezar o efeito da força cortante. ( ) 0 ≤ x ≤ l Trecho BA : 2 BA p M (x) 2 x = ⋅ − M = 0 ∑ s 2 2 2 2 2 z z d v M(x) d v p x E I 2 E I dx dx = ⇒ ⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅ ( ) ∫dx dx ∫ v(x) x 2 4 z 1 c p x v(x) x 2 E c I 12 = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ Condições de contorno: 4 4 z p x x v(x) 3 4 24 E I   ⋅     = ⋅ − ⋅ +       ⋅ ⋅         l l l ( ) 0 ≤ x ≤ l 4 3 4 z d dx v(x) p 1 x θ(x) 6 E I   ⋅ = = ⋅ − +   ⋅ ⋅     l l l ( ) 0 ≤ x ≤ l x v(x) v(x ) 0 ; θ(x d dx ) 0 = = = = = = l l l 25/06/2019 17 33 Exemplo 7.6: Determinar o deslocamento transversal do eixo da viga na seção C utilizando a superposição das linhas elásticas do carregamento aplicado. Dado: rigidez contra a flexão E∙Iz=30.000 kN∙m2 . v(x) x v(x) x 3 3 z P x x v (x) 2 3 6 E I   ⋅     = ⋅ − ⋅ +       ⋅ ⋅         2 l l l ( ) 0 ≤ x ≤ l 4 4 z p x x v (x) 3 4 24 E I   ⋅     = ⋅ − ⋅ +       ⋅ ⋅         1 l l l ( ) 0 ≤ x ≤ l = + v tg(θ) ≈ θ = l v θ = ⋅l 1,C 2,C v v + v = C v ,C v ( 1,4 0) θ (0) = + ⋅ 1 1 1 v1,B θ1,B v ,C v ( 0 + ,60) = 2 2 2 vC 1,63 10 − m = + ⋅ >0 <0 34 Exemplo 7.7: A viga da Figura abaixo é engastada em A e suportada também por uma haste BC de 12 mm de diâmetro. Sendo E = 210 GPa o módulo de elasticidade para ambos os elementos estruturais (viga e haste) e Iz = 186∙106 mm4 o momento de inércia da viga, determinar a força normal desenvolvida na haste BC. reta Est. 1 x hiperestática cond. de compatibilidade: v(x) x 3 3 z P x x v(x) 2 3 6 E I   ⋅     = ⋅ − ⋅ +       ⋅ ⋅         l l l ( ) 0 ≤ x ≤ l v ,B v(x ) θ(x 0 ) 2 0 = = = + ⋅ 1 >0 ,B ,B B v v ∆ + = 2 1 l BC B 2 E (π r ) ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ +NBC l l tração v ,B v 0 (x ) = = 2 <0 ? 3 2 2 ,B z z z P P P v ( 3) 3 E I 2 E I 3 E I 2 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ ⋅ 1 l l l l 3 ,B z ( ) v 3 E I ⋅ = ⋅ − ⋅ 2 NBC l ,B ,B B v v ∆ + = 2 1 l Eq. em NBC 3 10,164 10 N 10,164 kN = ⋅ = NBC 25/06/2019 18 35 Elásticas de alguns casos elementares: 3 3 z P x 4 x v(x) (0 x / ) 16 E I 3   ⋅     = ⋅ − ⋅ ≤ ≤       ⋅ ⋅         2 l l l l 3 4 4 z p x x x v(x) 2 24 E I   ⋅       = ⋅ − ⋅ +         ⋅ ⋅           l l l l (0 x ) ≤ ≤ l 2 3 2 e z M x x x v(x) 2 3 6 E I   ⋅       = ⋅ ⋅ − +         ⋅ ⋅           l l l l (0 x ) ≤ ≤ l 3 3 z P x x v(x) 2 3 6 E I   ⋅     = ⋅ − ⋅ +       ⋅ ⋅         l l l (0 x ) ≤ ≤ l 36 4 4 z p x x v(x) 3 4 24 E I   ⋅     = ⋅ − ⋅ +       ⋅ ⋅         l l l (0 x ) ≤ ≤ l 2 2 e z M x x v(x) 1 2 2 E I   ⋅     = ⋅ − ⋅ +       ⋅ ⋅         l l l (0 x ) ≤ ≤ l 25/06/2019 19 37 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. 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T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. e CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. e LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C; BEER, F. P. e JOHNSTON Jr, E. R. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 8 – Transformação de Tensão christoforoal@yahoo.com.br 02 Componentes de tensão dependentes do plano de corte: * 0 lim * * A F F A A ρ ∆ → ∆ = = ∆ * cos( ) A A θ = F cos( ) A ρ θ = ⋅ ( ) ; ??? máx f σθ θ σ = = ( ) ; ??? máx g τθ θ τ = = 2 cos( ) F cos ( ) A θ ρ σ θ θ = ⋅ = ⋅ ( ) ( ) cos( ) F sen sen A θ ρ θ θ τ θ = ⋅ = ⋅ ⋅ tensão normal tensão cisalhante estado uniaxial de tensões 25/06/2019 2 03 Estado plano de tensões: 0 τxy > 0 σx > 0 σ y > convenção positiva concorda com x concorda com y concorda com y face de ref. 0 θ > anti-horário x y 0 τ > ' ' 0 σx > ' y 0 σ > ' concorda com x’ concorda com y’ concorda com y’ ( ) x f θ σ ' = ??? ( ) y f θ σ ' = ??? ( ) x y f θ τ ' ' = ??? Determinação das componentes de tensão para uma direção qualquer: 04 tensões forças Equilíbrio de forças na direção x’: x ' θ 0 x ' 0 y' 0 0 0 F 0 σ A σ A cos θ cos θ σ A sen θ sen θ τ A sen θ cos θ τ A cos θ sen θ 0 = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ x θ 2 2 x y σ σ σ cos σ sen 2 τ s θ en co θ s θ θ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ' Equilíbrio de forças na direção y’: y' θ 0 x 0 y 0 0 0 F 0 τ A σ A cos θ sen θ σ A sen θ cos θ τ A cos θ cos θ τ A sen θ cos θ 0 = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ ( ) x θ 2 2 x y y θ θ τ τ σ cos sen σ sen θ cos θ τ cos sen θ θ = = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ' ' 25/06/2019 3 01 05 Considerando as seguintes relações trigonométricas: 2 1 cos 2θ cos θ 2 + = 2 1 cos 2θ sen θ 2 = − sen 2θ = 2 sen θ cos θ ⋅ ⋅ 2 2 x x y σ σ cos θ σ sen θ 2 τ sen θ cos θ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ' x y x y x θ σ σ σ σ σ σ cos τ sen 2 θ 2θ 2 2 + −     = = + ⋅ + ⋅         ' ( ) 2 2 x y x y τ σ cos θ sen θ σ sen θ cos θ τ cos θ sen θ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ' ' x y θ x y τ τ σ σ sen τ cos 2 θ 2θ 2 −   = = − ⋅ + ⋅     ' ' Se a tensão normal que atua na direção do eixo y’ for requerida: x θ x y y σ σ σ σ σ cos τ se 2 n 2θ 2 2 θ + −     = + ⋅ + ⋅         o θ θ 90 = + 90 x y x θ y y σ σ σ σ σ cos τ sen 2 2 2 2 σ θ θ ° + + − = − ⋅ − ⋅     =         ' Propriedades: ( ) [ ] 2 θ 90 cos cos 2θ + ° = − ( ) [ ] 2 θ 90 sen sen 2θ + ° = − θ θ 90 σ σ σ σ constante + ° = + + y = x θ 0 θ 9 τ τ + ° − = Cauchy 06 Tensões principais e tensões de cisalhamento máxima: x θ x y y σ σ σ σ σ cos τ se 2 n 2θ 2 2 θ + −     = + ⋅ + ⋅         dσθ dθ = 0 (condição para determinação das direções de ocorrência das tensões extremas) x y θ σ σ dσ 2 sen 2θ 2 τ cos 2θ 0 dθ 2 −   = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =     1 y x 1 2 τ θ tg σ 2 σ −   ⋅ = ⋅     −  +  p1 o θ θ 90 = + p p 2 1 o θ θ 2 18 2 0 ⋅ = ⋅ + p p 2 1 2 raízes 2∙θp1 e 2∙θp2 conduzem ao mesmo valor da tangente teor. de Pitágoras x y τ tg σ σ 2θ 2 = + − x y Me (σ σ /2 d ) = + De 2∙θp1 tem-se que: Designando: x y Di (σ σ / 2 f ) = − 2 2 p xy xy sen 2θ τ / Dif τ = + 1 2 2 p xy cos 2θ Dif / Dif τ = + 2 De 2∙θp2 tem-se que: 2 2 p xy xy sen 2θ τ / Dif + τ 2 = − 2 2 p xy cos 2θ Dif / Dif τ = + − 2 Subst. os pares de relações sen e cos em σθ: Tensões principais ou normais extremas: tensões normais extremas ou principais 2 x y x y 2 xy σ σ σ σ σ τ 2 2 + −     = ± +         1 2 25/06/2019 4 07 Determinação da direção (θp1 ou θp2) associada a máxima (σ1) ou a mínima (σ2) tensão normal: 1 y x 1 2 τ θ tg σ 2 σ −   ⋅ = ⋅     −  +  p1 o θ θ 90 = + p p 2 1 2 direções 2 x y x y 2 xy σ σ σ σ σ τ 2 2 + −     = ± +         1 2 2 tensões normais extremas Usando θp1 ou θp2 na expressão σθ: Nas direções (θp1 ou θp2) associadas a máxima (σ1) ou a mínima (σ2) tensão normal, a tensão de cisalhamento é nula: 1 y x 1 2 τ θ tg σ 2 σ −   ⋅ = ⋅     −  +  p1 o θ θ 90 = + p p 2 1 x y θ x y τ τ σ σ sen τ cos 2 θ 2θ 2 −   = = − ⋅ + ⋅     ' ' Usando θp1 ou θp2 na expressão τθ: p p θ θ τ τ 0 = = 1 2 x θ x y y σ σ σ σ σ cos τ se 2 n 2θ 2 2 θ + −     = + ⋅ + ⋅         σ σ 1 2 ou resulta Da propriedade , constata-se que o ângulo entre as tensões principais é de 90o. θ θ 90 σ σ σ σ cte + ° = + + y = x 08 Tensões de cisalhamento extremas: dτθ dθ = 0 θ x y τ 2 2 σ σ sen τ cos θ θ 2 −   = − ⋅ + ⋅     x y θ σ σ dτ 2 cos 2θ 2 τ sen 2θ 0 dθ 2 −   = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =     x y 1 (σ σ )/2 1 θ tg τ 2 − −   =  − ⋅    1 c o θ θ 90 = + c c 2 1 o θ θ 2 18 2 0 ⋅ = ⋅ + c c 2 1 2 raízes x y (σ σ )/2 tg θ 2 τ − − = Utilizando θc1 ou θc2 na expressão τθ: x y θ x y τ τ σ σ sen τ cos 2 θ 2θ 2 −   = = − ⋅ + ⋅     ' ' τ τ 1 2 ou Repetindo o procedimento realizado na determinação das tensões principais: 2 x y 2 σ σ τ τ 2 −   = ± +     1 2 tensões cisalhantes extremas 25/06/2019 5 09 Observação: Substituindo os pares de valores de sen(2∙θc) e cos(2∙θc) na expressão da tensão normal σθ, conclui-se a existência de uma tensão normal (σméd) nos planos de ocorrência das tensões de cisalhamento extremas. sen(2∙θc1) e cos(2∙θc1) x θ x y y σ σ σ σ σ cos τ se 2 n 2θ 2 2 θ + −     = + ⋅ + ⋅         sen(2∙θc2) e cos(2∙θc2) x méd y σ σ σ 2 + = x méd y σ σ σ 2 + = 10 Círculo de Mohr: A combinação das equações para transformação de tensão (σθ e τθ) resulta uma solução gráfica. y θ x y x σ σ σ cos τ sen 2 θ 2 2 θ σ σ 2 −     = + ⋅ + ⋅        +  y θ x y x σ σ σ cos τ sen 2 σ σ 2 2 θ 2 θ −     = + ⋅ + ⋅  +      −   ( ) 2 = ( ) 2 θ x y τ 2 2 σ σ sen τ cos θ θ 2 −   = − ⋅ + ⋅     ( ) 2 = ( ) 2 2 2 x y x y θ σ σ σ σ σ cos 2θ τ sen 2θ 2 2     + −     − = ⋅ + ⋅                     (I) 2 x y 2 θ σ σ τ sen 2θ τ cos 2θ 2   −   = − ⋅ + ⋅           (II) Somando as Equações (I) e (II) e operando as devidas simplificações chega-se a: 2 2 x y x y 2 2 θ θ σ σ σ σ σ τ τ 2 2   + −     − + = +               ou ( )2 θ 2 2 méd θ σ τ R − σ + = equação de um círculo no sistema (σθ, τθ), com centro sobre o eixo das abcissas (σθ) forma simplificada θ σ θ τ méd σ R 2 x y 2 σ σ τ 2 R −   = +     x méd y σ σ σ 2 + = 25/06/2019 6 11 Procedimentos para a construção do Círculo de Mohr: 2 x y 2 σ σ τ 2 2 R −   = +     x y σ σ 2 −       x méd y σ σ σ 2 +   =     positivo o θ θ 90 = + p p 2 1 o θ θ 90 = + c c 2 1 Nesse exemplo: 0 τxy > 0 σ x > 0 σ y > a) det. do centro do círculo (σméd); b) det. do ponto A (σx, τxy); = o θ 0 c) det. do raio R ou o segmento CA por trigonometria; d) uma vez det. R, traça-se o círculo; e) det. as comp. σθ e τθ (ponto P); f) tensões principais , cisalhantes extremas e respectivas direções; Em uma escala arbitrada: 12 1 1 2 2 3 3 tensões σx e τxy: tensões σ1 e σ2: 4 4 5 5 tração compressão Trajetórias de tensão: cada curva indica a direção de uma tensão principal que tem valor constante. (distribuição de τ) (distribuição de σ) ( )i z xy z V S b I τ ⋅ = ⋅ z x z M y I σ = ⋅ Variações da tensão ao longo de uma viga prismática: 25/06/2019 7 13 Exemplo 8.1: Para o EPT da Figura abaixo, determinar as tensões nas direções normal e paralela ao plano I, indicando os devidos valores e os respectivos sentidos. 200 x MPa σ − = 100 y MPa σ + = 50 xy MPa τ − = x’ y’ x y 60o I θ = + ( anti-horá rio) 120o I θ = − (horário) ou x y x y x θ σ σ σ σ σ σ cos τ sen 18,30 MPa 2 2 2θ θ 2 + −     = = + ⋅ + ⋅ =        −  ' Para θI = +60º ou -120º : θ x y τx y τ σ σ sen 2 τ cos 154,90 2 θ 2θ MPa = −   = − ⋅ + ⋅ = +     ' ' 90 y x y θ x y σ σ σ σ σ cos τ sen 2 2 2 σ 2 81,70 MP θ θ a ° + + − = − ⋅ − ⋅     =         = − ' 18,30 MPa 81,70 MPa 154,90 MPa x x’ 60o + x y’ 150o + 14 Exemplo 8.2: Para o estado de tensão da Figura abaixo, determinar e indicar as tensões principais e as tensões de cisalhamento máximas, com os respectivos planos. 200 x MPa σ + = 100 y MPa σ + = 50 xy MPa τ + = Tensões principais: 1 o y x 1 2 τ θ tg 22,5 σ σ 2 −   ⋅ = ⋅ =     −   + 1 p o o θ θ 90 112,5 = + = 2 1 p p 2 x y x y xy2 σ σ σ σ σ 220,7 MPa σ τ σ 79,3 MPa 2 2 + − =      = ± + =      =      1 1 2 2 σ x y x y θ σ σ σ σ σ cos 2θ τ sen 2θ 220,7 MPa 2 2 + −     = + ⋅ + ⋅ =         1 64748 o θ 22,5 = Tensões de cisalhamento máximas: 2 x y 2 σ σ τ 70,7 MPa τ τ τ 70,7 MPa 2 − =    = ± + =     −  =  1 1 2 2 y 1 o (σx σ )/ 2 1 θ tg 22,5 τ 2 − −   = ⋅ = −     − c1 o o θ θ 90 67,5 = + = c 2 1 c máx θ τ x y τ σ σ sen τ cos 70,7 MPa 2 2θ 2θ −   = − ⋅ + ⋅ =     + 64748 o θ = −22,5 ⇒ o θ 1 = −22,5 c o θ 1 = 22,5 p 45o (o ângulo entre θp e θc é de 45o) x méd y σ σ σ 150 MPa 2 +   = =  +    tração 112,5o → σ 2 ∴ o mín 67,5 → τ ∴ 25/06/2019 8 15 Representação das tensões principais: Representação das tensões cisalhantes extremas: σ1 220,7 MPa = σ2 79,3 MPa = x x' 22,5o + x x' 112,5o + τ MPa = 0 x x' 22,5o − τmáx 70,7 MPa = σméd 150 MPa = σ MPa ≠ 0 16 Exemplo 8.3: Para o estado de tensão da Figura abaixo, determinar as tensões principais, as tensões cisalhantes extremas e as respectivas direções de ocorrência. 120 x MPa σ + = 120 y MPa σ + = 60 xy MPa τ − = Tensões principais: 2 x y x y xy2 σ σ σ σ σ 180 MPa σ τ σ 160 MPa 2 2 + − =      = ± + =      =      1 1 2 2 Tensões de cisalhamento máximas: 2 x y 2 σ σ τ 60 MPa τ τ τ 60 MPa 2 − =    = ± + =  = −      1 1 2 2 x 1 o y (σ σ )/2 1 θ tg 0 τ ( 6 ) 2 0 − −     = ⋅ = =     −  − −    c1 0 o o θ θ 90 90 = + = c1 2 c 1 o o y 1 x 1 2 τ 1 120 1 θ tg tg ( 90 ) 45 σ 2 2 σ 2 − −   ⋅   = ⋅ = ⋅ − − = ⋅ =       −     − p1 0 o o θ θ 90 +45 = + = 2 p1 p σ x y x y θ σ σ σ σ σ cos 2θ τ sen 2θ 180 MPa 2 2 + −     = + ⋅ + ⋅ =         1 64748 o θ 45 = − 45o σ + → 2 ∴ mín θ τ x y τ σ σ sen τ cos 60 MP θ θ 2 a 2 2 −   = − ⋅ + ⋅ = −     64748 x méd y σ σ σ 0 MPa 2 +   = =     o máx 90 → τ ∴ o θ = 0 ⇒ 25/06/2019 9 17 Exemplo 8.4: Determinar o elemento de tensão com base nas informações dos planos I, II e III: σI = 30 kN/cm2, σII = −20 kN/cm2 e σIII = 40 kN/cm2. OU Plano I: Plano II: OU Plano III: OU x x y x y θ y xy σ σ σ σ σ σ cos 2θ τ sen 2θ σ 2 2 τ  =  + −      = + ⋅ + ⋅ =           =  ? ? ? I x y x y I θ θ I I σ σ σ σ σ σ cos 2θ τ sen 2θ 30 kN/cm² 2 2 = + − = = + ⋅ + ⋅ =             II x y x y II θ θ II II σ σ σ σ σ σ cos 2θ τ sen 2θ 20 kN/cm² 2 2 = + − = = + ⋅ ⋅ = − +             III x y x y III θ θ III III σ σ σ σ σ σ cos 2θ τ sen 2θ 40 kN/cm² 2 2 = + − = = + ⋅ + ⋅ =             (sistema 3 x 3) 2 x 2 y 2 xy - σ 20 - kN/cm σ 90 kN/cm τ 37,53 kN/cm  =  =   =  solução 18 Exemplo 8.5: Determinar os valores da tensão p sabendo que a cola não suporta tensões de cisalhamento superiores a 90 MPa e nem tensões de tração. 4 x p σ = + ⋅ y p σ = + 100 xy MPa τ = + OU Determinação da direção: x y θ σ σ τ sen 2θ τ cos 2θ 2 −   = − ⋅ + ⋅     I θ 1,299p 50 90 MPa τ τ = + ≤ = = -30° I 1,299p 50 90 MPa τ + ≤ = ( ) Iτ 0: 1,299p 50 90 MPa p 30,79 MPa + ≤ ⇒ > + ≤ ( ) Iτ 0: 1,299p 50 90 MPa p 107,78 MPa + ≤ ⇒ ≥ − < − x y x y θ σ σ σ σ σ cos 2θ τ sen 2θ 2 2 + −     = + ⋅ + ⋅         σθ 3,25 p 86,60 0 = = ⋅ − ≤ o -30 não suporta tensões de tração p 26,65 MPa ≤ Sol.: 107,78 MPa 26, MPa p 65 − ≤ ≤ 25/06/2019 10 19 Exemplo 8.6: Determinar os valores da tensão p respeitando os sentidos indicados e considerando que em qualquer direção, as tensões normais não devem ser superiores a 140 MPa e nem inferiores a − 45 MPa. Utilizando o círculo de Mohr: x y méd σ σ σ 2 +   =     centro do círculo 2 x y 2 σ σ R τ 2 −   = +     raio do círculo méd σ 7 σ σ R σ 3 p p = ⋅  = ± =  = − ⋅  1 2 1 2 6 x p σ = + ⋅ 2 y p σ = − ⋅ 3 xy p τ = + ⋅ σ1 7 140 MPa p 20 a p MP = ⋅ ≤ ⇒ ≤ σ2 3 45 MPa p 15 MP p a = − ⋅ ≥ − ⇒ ≤ respeitando os sentidos p 0 MPa 15 MPa ≤ ≤ 20 Exemplo 8.7: Determinar as tensões principais nos pontos A e B da viga da Figura abaixo. Esforços solicitantes: 21,65 kN 12,5 kN 24 kN 1,5 m 1,5 m s N V M s s s N 21,65 kN V 36,50 kN M 73,50 kN m = − = = ⋅ Propriedades geométricas: 3 3 2 5 4 z 0,01 0,2 0,2 0,01 I (0,105) 0,01 0,2 5,08 10 m 12 12 2 −     ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅             3 2 A 0,2 0,01 (0,2 0,01) 6,0 1 2 0 0 − m = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ B ( ) ( ) 4 3 z A Sz S 0,105 (0,01 0,2) 2,10 10 − m = = ⋅ ⋅ = ⋅ Tensões de cisalhamento: 4 ( ) ( A ) 5 B 36500 2,10 10 τ τ 15,09 MPa 0,01 5,08 10 − − ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ z z V S τ b I ⋅ = ⋅ Tensões normais: N z z M M N σ σ σ y I A = + = ⋅ + ( ) 5 3 A 73500 21650 σ ( 0,10) 148,29 MPa 5,08 10 6,0 10 − − = ⋅ − + = ⋅ ⋅ − ( ) 5 3 B 73500 21650 σ ( 0,10) 141,08 MPa 5,08 10 6,0 10 − − = ⋅ + = ⋅ ⋅ − + − z y 25/06/2019 11 21 21,65 kN 12,5 kN 24 kN 1,5 m 1,5 m s N V M 148,9 MPa 15,09 MPa A 15,09 MPa 141,08 MPa B x y xy σ 148,9 MPa σ 0 MPa τ 15,09 MPa  =  =  + −  =  x y xy σ 141,08 MPa σ 0 MPa τ 15,09 MPa  =  =  − −  =  2 x y x y xy2 σ σ σ σ σ 149,81 MPa σ τ σ 1,52 MPa 2 2 + − =      = ± + =      =     −  1 2 1 2 2 x y x y xy2 σ σ σ σ σ 1,60 MPa σ τ σ 142,68 MPa 2 2 + − =      = ± + =     −  =      1 2 2 1 Tensões principais nos pontos A e B da seção transversal: 22 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. 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WILLEMS, N.; EASLEY, J. T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. e CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. e LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C; BEER, F. P. e JOHNSTON Jr, E. R. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 9 – Transformação da Deformação christoforoal@yahoo.com.br 02 Transformação da Deformação: ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 ≤ 0 ≥ 0 x x dx dx dx dx ε ε = ∆ ⇒ ∆ = ⋅ x y dy dy dy dy ε ε = ∆ ⇒ ∆ = ⋅ xy dy dx dx dy γ ∆ ∆ = + 25/06/2019 2 03 ´ ( ) ( ) 2 2 x y x y xy x + cos 2 sen 2 θ ε ε ε ε γ ε ε θ θ + −   = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅     2 ´ ( ) ( ) 2 2 x y x y xy o y 90 cos 2 sen 2 θ ε ε ε ε γ ε ε θ θ + + −   = = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅     2 ( ) ( ) x y xy sen 2 cos 2 2 2 θ ε ε γ γ θ θ +   = − ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅     2 2 1 o p p 90 θ =θ + 1 2 2 2 x y x y xy 2 2 ε ε ε ε γ ε + −     = ± +         2 1 1 xy xy 1 p p x y x y d 1 0 tg(2 )= tg d 2 θ γ γ ε θ θ θ ε ε ε ε −   = ⇒ ⋅ ⇒ = ⋅     − −   2 1 o c c 90 θ =θ + 1 2 2 2 x y xy 2 ε ε γ γ −     = ± +         2 1 ( ) ( ) x y x y 1 c c xy xy d 1 0 tg(2 )= tg d 2 θ ε ε ε ε γ θ θ θ γ γ −   − − − − = ⇒ ⋅ ⇒ = ⋅       Deformações para direções quaisquer: Deformações principais: Deformações angulares extremas: 04 Círculo de Mohr: 25/06/2019 3 01 05 Rosetas de Deformação : Acoplamento de 3 extensômetros associados as Equações do EPD permitem calcular deformações extremas, e com a lei de Hooke, também as tensões extremas roseta a 60o roseta a 45o 06 roseta a 45o roseta a 60o ( ) ( ) 2 2 2 x y y a x x a a y + cos 2 sen 2 θ ε ε ε ε γ ε θ θ + −   = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅     ( ) ( ) 2 2 2 x y y b x x b b y + cos 2 sen 2 θ ε ε ε ε γ ε θ θ + −   = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅     ( ) ( ) 2 2 2 x y y c x x c c y + cos 2 sen 2 θ ε ε ε ε γ ε θ θ + −   = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅     2 ( ) x a y c xy b a c ε ε ε ε γ ε ε ε  =  =   = ⋅ − +  1 (2 2 ) 3 2 ( ) 3 x a y b c a xy b c ε ε ε ε ε ε γ ε ε   =  = ⋅ ⋅ + ⋅ −    = ⋅ −  25/06/2019 4 07 Relações Constitutivas em Materiais Isotópicos: - pequenos deslocamentos - material de comportamento elástico e linear superposição de efeitos x L L ε ∆ = x x E σ ε = ⋅ x x E σ ε = y x ε ν ε = − ⋅ x y E σ ε ν = − ⋅ z x ε ν ε = − ⋅ x z E σ ε ν = − ⋅ y h h ε = ∆ z b b ε ∆ = Deformações Específicas 08 As deformações totais específicas nas direções dos eixos x, y e z são: Para o corpo com face fixada no plano xz e com a força F aplicada na face oposta e com a direção do eixo y: y y E σ ε = ⋅ y y E σ ε = x y ε ν ε = − ⋅ y x E σ ε ν = − ⋅ z y ε ν ε = − ⋅ y z E σ ε ν = − ⋅ Para o corpo com face fixada no plano yx e com a força F aplicada na face oposta e com a direção do eixo z: z z E σ ε = ⋅ z z E σ ε = x z ε ν ε = − ⋅ z x E σ ε ν = − ⋅ y z ε ν ε = − ⋅ z y E σ ε ν = − ⋅ ( ) x x y z 1 E ε σ ν σ σ   = ⋅ − ⋅ +   ( ) y y x z 1 E ε σ ν σ σ   = ⋅ − ⋅ +   ( ) z z x y 1 E ε σ ν σ σ   = ⋅ − ⋅ +   G τ γ = ⋅ xy xy G τ γ = ⋅ xz xz G τ γ = ⋅ yz yz G τ γ = ⋅ Deformação angular ( ) E G 2 1 ν = ⋅ + 25/06/2019 5 09 / / / / / / / / / / / / x x y y z z xy xy xz xz yz yz 1 E - E - E 0 0 0 - E 1 E - E 0 0 0 - E - E 1 E 0 0 0 0 0 0 1 G 0 0 0 0 0 0 1 G 0 0 0 0 0 0 1 G ε σ ν ν ε σ ν ν ε σ ν ν γ τ γ τ γ τ                             = ⋅                                   representação matricial = i ε σ C 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 1 ( 1) / 1 1 ( 1) 1 1 1 x x y y z z xy xy xz xz yz yz E E E 0 0 0 2 2 2 E E - E 0 0 0 2 2 E E E 0 0 0 2 2 2 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G ν ν ν ν ν ν ν ν ν σ ε ν ν σ ε ν ν ν ν ν σ ε ν ν ν τ γ ν ν ν ν ν ν τ γ τ γ − − −     + + + + + +     − −         + + + +       − − − = ⋅       + + + + + +                                           = i σ ε D representação matricial ESTADO TRIPLO de TENSÕES e de DEFORMAÇÕES x x y y z z xy xy xz xz yz yz e ε σ ε σ ε σ γ τ γ τ γ τ                                             C = tensor constitutivo de flexibilidade D = tensor constitutivo de rigidez material isotrópico é definido por 2 constates elásticas 10 Para materiais ortotrópicos (3 eixos de simetria): / / / / / / x x xy y xz z x y xy x y yz z y z xz x yz y z z xy xy xy xz xz xz yz yz yz 1/E E E 0 0 0 E 1/E E 0 0 0 E E 1/E 0 0 0 0 0 0 1/G 0 0 0 0 0 0 1/G 0 0 0 0 0 0 1/G ε ν ν σ ε ν ν σ ε ν ν σ γ τ γ τ γ τ − −             − −         − −        = ⋅                                     Longitudinal Radial Tangencial material ortotrópico é definido por 9 constates elásticas 25/06/2019 6 11 Estado Plano de Tensões (EPT): ( ) x x z y 1 E ε σ ν σ σ   = ⋅ − ⋅ +   ( ) y y z x 1 E ε σ ν σ σ   = ⋅ − ⋅ +   ( ) z z x y 1 E σ ε ν σ σ   = ⋅ − ⋅ +   0 σz = 0 xz G γ xz τ = = ⋅ 0 yz G γ yz τ = = ⋅ xy xy G τ γ = ⋅ 0 zx zy τ =τ = 2 1 0 1 0 1 0 0 (1 )/ 2 x x y y xy xy E σ ν ε σ ν ε ν ν τ γ             = ⋅ ⋅       −     −         ou 1/ 0 1/ 0 0 0 1/ x x y y xy xy E E G ε ν σ ε ν σ γ τ     −         = − ⋅                   ( ) x x y 1 E ε σ ν σ = ⋅ − ⋅ ( ) y x y 1 E ε ν σ σ = ⋅ − ⋅ + xy xy G τ γ = ⋅ + ( ) x x y 1 E ε σ ν σ = ⋅ − ⋅ ( ) y x y 1 E ε ν σ σ = ⋅ − ⋅ + ( ) 0 x z y E ν σ ε σ = − ⋅ + ≠ EPT não implica em EPD 12 Estado Plano de Deformações (EPD): ( ) x x z y 1 E ε σ ν σ σ   = ⋅ − ⋅ +   ( ) y y z x 1 E ε σ ν σ σ   = ⋅ − ⋅ +   0 xz xz G τ γ = ⋅ = 0 yz yz G τ γ = ⋅ = xy xy G τ γ = ⋅ 2 2 2 2 ( 1) 0 1 2 1 2 ( 1) 0 1 2 1 2 0 0 2 (1 ) x x y y xy xy E E E E E ν ν ν ν ν ν σ ε ν ν σ ε ν ν ν ν τ γ ν   ⋅ − − ⋅   − + + ⋅ − + + ⋅           − ⋅ ⋅ −   = ⋅       − + + ⋅ − + + ⋅               ⋅ +   2 2 (1 )/ (1 )/ 0 (1 )/ (1 )/ 0 0 0 1/ x x y y xy xy E E E E G ν ν ν ε σ ε ν ν ν σ γ τ       − − ⋅ +       = − ⋅ + − ⋅                     ou ( ) 0 z z x y 1 E ε ν σ σ σ   = = ⋅ − ⋅ +   ( ) x z y ν σ σ σ = ⋅ + EPT não implica em EPD ( ) ( ) 2 1 1 x x y 1 E ε ν σ ν ν σ   = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅     ( ) ( ) 2 1 1 y x y 1 E ε ν ν σ ν σ   = ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅     xy xy G τ γ = ⋅ + 2 (1 ) E G ν = ⋅ + fatia de espessura unitária 0 zx zy γ = γ = 0 z ε = 25/06/2019 7 13 Exemplo 9.1: As deformações obtidas na roseta a 60o no ponto A da estrutura da Figura abaixo são: εa = 60∙10-6, εb = 135∙106 e εc = 264∙106. Determine: (a) as deformações principais e as direções de ocorrência, (b) considerando que o material da estrutura é feito de uma certa liga de aço, com Eaço = 200 GPa e ν = 0,30, determine as tensões principais e as respectivas direções de ocorrência. roseta a 60o 1 (2 2 ) 3 2 ( ) 3 x a y b c a xy b c ε ε ε ε ε ε γ ε ε   =  = ⋅ ⋅ + ⋅ −    = ⋅ −  60 10 6 εa − = ⋅ 135 10 6 εb − = ⋅ 264 10 6 εc − = ⋅ 6 6 6 60 10 246 10 149 10 x y xy ε ε γ − − −  = ⋅  = ⋅  = ⋅ −   6 1 6 2 272 10 33,9 10 2 2 x y x y xy 2 2 ε ε ε ε ε γ ε ε − −  = ⋅ + −      = ± + =      = ⋅      1 2 2 19,35 xy 1 o x y 1 tg 2 γ θ ε ε −   = ⋅ =     −   1 p 9 19,35 0 109,35 o o o θ = + = p2 (a) deformações principais: 14 (a) tensões principais: 6 6 6 60 10 246 10 149 10 x y xy ε ε γ − − −  = ⋅  = ⋅  = ⋅ −   ( ) x x y 1 E ε σ ν σ = ⋅ − ⋅ ( ) y y x 1 E ε σ ν σ = ⋅ − ⋅ 2 (1 ) 11,46 xy xy xy E MP G a ν τ γ γ ⋅ + = ⋅ = − = ⋅ 200 Eaço GPa = 0,30 ν = 29,41 x MPa σ = 58,02 y MPa σ = 1,20 107 0,30 x y σ σ ⇒ ⋅ = − ⋅ 4,92 107 0,30 y x σ σ ⇒ ⋅ = − ⋅ sistema 2 x 2 29,41 58,02 11,46 x y xy MPa MPa MPa σ σ τ  =  =  = −    ∴ 2 x y x y xy2 σ σ σ σ σ 62,04 MPa σ τ σ 25,39 MPa 2 2 + − =      = ± + =      =      2 2 1 1 1 o y x 1 2 τ θ tg 19,35 σ σ 2 −   ⋅ = ⋅ =     −   + 1 p 9 19,35 0 109,35 o o o θ = + = p2 Como esperado, as direções das deformações principais são as mesmas das tensões principais. As tensões principais poderiam ser calculadas diretamente da seguinte forma: 6 1 6 2 272 10 33,9 10 ε ε − −  = ⋅  = ⋅  ( ) 1 1 2 1 E ε σ ν σ = ⋅ − ⋅ ( ) 2 2 1 1 E ε σ ν σ = ⋅ − ⋅ 1 62,04 MPa σ = 2 25,39 MPa σ = 25/06/2019 8 15 Exemplo 9.2: A barra de cobre ( E = 120 GPa e ν = 0,34 ) em EPT é tensionada como ilustrado na Figura abaixo. Determinar as novas dimensões (comprimento, largura e espessura) após a aplicação das referidas tensões. ( ) x x y 1 E ε σ ν σ = ⋅ − ⋅ ( ) y y x 1 E ε σ ν σ = ⋅ − ⋅ ( ) z y x E ν ε σ σ = − ⋅ + 800 x MPa σ + = 500 y MPa σ − = 0 z MPa σ = 0 xy MPa τ = 0,00808 x ε = 0,00643 ε y − = 0,000850 z ε = − 0 0 300 0,00808 300 302,4 f x mm ε ∆ = + ⋅ = + ⋅ = l l l l 123 { 0 0 50 ( 0,00643) 50 49,68 f y h h h h mm ε ∆ + ⋅ ⋅ = − = = + { 0 0 20 ( 0,000850) 20 19,98 f z b b b b mm ε ∆ − = + ⋅ = + ⋅ = x y z 16 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, v.1 e 2, 1971. NASH, W. A. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973. POPOV, E. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1984. 25/06/2019 9 17 SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harper & Row do Brasil Ltda., 1984. SHAMES, I. H. Introdução à mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro; Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1983. TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint Gráfica S. A., v.1 e 2, 1976. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., v.1 e 2, 1984 TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da elasticidade. Editora Guanabara Dois, 3a edição, 1980. WILLEMS, N.; EASLEY, J. T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. e CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. e LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C; BEER, F. P. e JOHNSTON Jr, E. R. 25/06/2019 1 André 01 Prof. André Luis Christoforo MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA CIVIL 1 Cap. 10 – Critérios de Resistência christoforoal@yahoo.com.br 02 Critérios de Resistência: σmáx ≤ σt,lim estado uniaxial de tensões Critério de análise: Critério de análise:???? 1 2 3 σ σ σ ≥ ≥ 25/06/2019 2 03 2 1 2 2 x y x y xy 2 2 σ σ σ σ σ τ + −   = ± +     1424 3 144424443 C r 04 1 0 2 0 e σ σ > > 1 0 2 0 e σ σ < < 1 0 2 0 e σ σ > < 2 1 2 2 x y x y xy 2 2 σ σ σ σ σ τ + −   = ± +     1424 3 144424443 C r EPT 3 0 σ = 3 possibilidades 25/06/2019 3 01 05 Materiais frágeis: ,lim ,lim σ ≠ σ t c , , c c r r F A σ = , , t t r r F A σ = Materiais dúcteis: ,lim ,lim σ ≅ σ t c 06 1 2 3 m σ σ σ σ 3 + + = materiais dúcteis ,lim ,lim σ ≅ σ t c também é conhecido como critério da energia de distorção máxima Critério de Von Mises: 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 ( ) ( ) ( ) 3 d σ σ σ σ σ σ   = − + − + −   r h h t t d d t t = + ⇒ = − r r r r r r 1 1 2 2 3 3 t e e e σ σ σ = ⋅ + ⋅ + ⋅ r r r r 1 2 3 h m m m t e e e σ σ σ = ⋅ + ⋅ + ⋅ r r r r 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) m m m d e e e σ σ σ σ σ σ = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ r r r r 25/06/2019 4 07 EPT: 3 0 σ = 2 2 1 1 2 2 lim σ σ σ σ σ − ⋅ + ≤ 2 2 1 1 2 2 2 lim lim lim σ σ σ σ 1 σ σ σ     ⋅ − + ≤         2 2 2 2 1 2 lim li 1 3 2 3 m 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 3 d σ σ σ σ σ σ σ   = − + − + − = ⋅   r lim σ l 1 im σ = σ 2 0 σ = 3 0 σ = Critério de análise: lim d ≤ d ⇒ r r ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 3 2 3 lim 1 σ σ σ σ σ σ σ 2   − + − + − ≤   Envoltória de Von Mises 08 Critério de Tresca: 1 0 2 0 e σ σ > > 1 0 2 0 e σ σ < < 1 0 2 0 e σ σ > < critério da tensão de cisalhamento máxima Envoltória de Tresca materiais dúcteis 25/06/2019 5 09 Critério de Rankine: ,lim ,lim σ ≠ σ t c materiais frágeis Envoltória de Rankine 10 Critério de Coulomb: ,lim ,lim σ ≠ σ t c materiais frágeis 25/06/2019 6 11 ( ) 2 2 2 θ θ σ a τ b − + = θ θ τ α σ β = ⋅ + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 θ θ 1 α σ 2α β 2a σ a b β 0 + ⋅ + ⋅ − ⋅ + − + = Δ 0 Δ 0 Δ 0 <   =   >  reta limite Envoltória de Coulomb 12 Envoltória de Drucker-Prager 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1- 3 3 1- 3 1- 3 α β σ τ α β β α α ⋅ ⋅   +   ⋅   + ≤     ⋅       ⋅   ⋅   ( ) C T C T 3 σ σ α σ σ − = ⋅ + ( ) C T C T 2 3 σ σ β σ σ ⋅ ⋅ = ⋅ + Critério de Drucker-Prager: ,lim ,lim σ ≠ σ t c concreto 25/06/2019 7 13 Exemplo 10.1: Verificar se o estado de tensão da figura abaixo excede os limites admissíveis pelos seguintes critérios de resistência: a) von Mises b) Tresca Dado: tensão normal admissível σadm = 130 MPa. c) Rankine d) Coulomb Dados: tensão normal de tração admissível σt,adm = 150 MPa; tensão normal de compressão admissível σc,adm = 600 MPa. Determinação das tensões principais: 2 12 / x kN cm σ + = 2 6 / y kN cm σ + = 2 4 / xy kN cm τ = − 2 2 x y x y 2 xy 2 σ σ σ σ σ 14 kN/cm σ τ 2 2 σ 4 kN /cm  + − =      = ± + =      =      2 1 1 2 σ1>0, σ2>0 e σ3=0 14 a) von Mises: t,lim c,lim adm σ σ σ 130 MPa =13 kN/cm² ≅ = = σ1>0, σ2>0 e σ3=0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 3 2 3 lim adm 1 σ σ σ σ σ σ σ 12,48 kN/cm² σ 13 kN/cm² 2   − + − + − ≤ ⇒ < =     OK !!!! b) Tresca: t,lim c,lim adm σ σ σ 130 MPa =13 kN/cm² ≅ = = i max min lim σ σ σ σ = − ≤ i adm σ 14 0 14 kN/cm² σ 13 kN/cm² = − = > = excede !!! máxima tensão de cisalhamento 25/06/2019 8 15 c) Rankine: d) Coulomb: t,lim t,adm σ σ 150 MPa =15 kN/cm² = = c,lim c,adm σ σ 600 MPa =60 kN/cm² = = 2 ,adm σ 14 kN/cm σ 15 kN/cm² = = < 1 t OK !!!! σ1>0, σ2>0 e σ3=0 2 2 σ 14 kN/cm σ 4 kN/cm  =  =  2 1 t,lim t,adm σ σ 150 MPa =15 kN/cm² = = c,lim c,adm σ σ 600 MPa =60 kN/cm² = = 2 ,adm σ 14 kN/cm σ 15 kN/cm² = = < 1 t OK !!!! 16 Exemplo 10.2: Determinar os valores da tensão p, de modo que o estado de tensão da Figura abaixo não exceda os limites admissíveis. O material segue o critério da energia de distorção máxima (von Mises). Dado: tensão normal admissível σadm = 120 MPa. Determinação das tensões principais: 2 10 / x kN cm σ + = 2 10 / y kN cm σ + = 2 / xy kN cm τ = + p ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 3 2 3 lim 1 σ σ σ σ σ σ σ 2   − + − + − ≤     2 x y x y xy2 σ σ σ σ σ 10 σ τ σ 10 2 2 + − = +      = ± + =      = −      1 2 2 1 p p σ = 0 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 adm 1 10 p 10 p 10 p 10 p σ 12 kN/cm² 2   + − − + + + − ≤ =     6 p2 88 0 ⋅ − ≤ p 3,83 kN/cm² 3,83 kN/cm² − ≤ ≤ (para não exceder os limites admissíveis, os valores da tensão p podem variar nesse intervalo) Se o problema exigisse respeitar os sentidos indicados do EPT em análise: kN/cm² 3,83 kN p m² 0 /c ≤ ≤ 25/06/2019 9 17 Exemplo 10.3: Sabendo que o material segue o critério de Coulomb, determinar os valores da tensão p, de modo que o estado de tensão da Figura abaixo não exceda os limites admissíveis. Dados: tensão normal de tração admissível σt,adm = 100 MPa; tensão normal de compressão admissível σc,adm = 400 MPa. Tensões principais: 2 2 x y x y 2 xy 2 σ σ σ σ σ 30 100 σ τ 2 2 σ 30 100 +  + − = +      = ± + =           = + −  2 2 1 1 p p σ = 0 3 1 0 σ > 2 2 0 0 σ σ < > ou Portanto, são duas condições a serem analisadas: critério de Coulomb Como σ1 >σ2, basta garantir que: σ1≤ σt,adm 2 1 t,adm σ 30 100 p σ 100 MPa = + + ≤ = p 69,28 MPa 69,28 MPa − ≤ ≤ 1 2 1 2 0 0 ( ) 0 0 ( ) σ σ σ σ > > > <    a b e e 1o quadrante 4o quadrante 1 2 ( ) 0 0 σ σ > > a e ,adm ,a 1 dm 2 σ σ 100 MPa σ σ 100 MPa ≤ =   ≤ =  t t 1o quadrante 40 x MPa σ = + 20 y MPa σ = + xy MPa τ = + p 18 critério de Coulomb σ 10 σ 10 = +   = −  2 1 p p p 69,28 MPa 69,28 MPa − ≤ ≤ 1 2 ( ) 0 0 σ σ > > a e 1o quadrante 1 2 ( ) 0 0 σ σ > < b e 4o quadrante 2 1 t,lim c,lim σ σ 1 σ + σ ≤ 2 2 30 100 p 30 100 p 1 100 400     − +     + +     + ≤ − 2 5 100 p 310 ⋅ + ≤ p 61,19 MPa 61,19 MPa − ≤ ≤ ∴ valores admissíveis de p 25/06/2019 10 19 Exemplo 10.4: Para o estado de tensão da Figura abaixo, verificar se ocorre ruptura, sabendo que o material segue o critério de Coulomb. Dados: tensão de coesão τc = 0,3 MPa; ângulo de atrito interno φ = 30º . 0,70 x MPa σ = − 1,20 y MPa σ = − 0 xy MPa τ = Equação do círculo de Mohr: Equação da reta de ruptura: { { θ θ τ α σ β = ⋅ + ?? ?? 2 2 x y x y 2 θ θ 2 xy σ σ σ σ σ τ τ 2 2 + −     − + = +         ( )2 θ 2 θ σ 0,6 τ 0,36 + + = (A) σθ = 0 → τθ = τc = 0,30 MPa θ 0,30 0 β σ = ⋅ + 3 β 0, 0 ∴ = c o τ tg σ φ = c o τ 0,3 σ 0,52 MPa tg = tg30º = φ = σθ = σo = 0,52 MPa→ τθ = 0 α 0,577 = − θ θ τ 0,577 σ 0,3 = − ⋅ + (B) ∴ Subst. (B) em (A): θ θ 2 2 σ 0,64 σ 6,754 10 0 − + ⋅ + ⋅ = 0,14 0 ∆ = > eq. do 2o grau discriminante círculo intercepta a reta (ruptura do material) 20 Exemplo 10.5: Verificar se o carregamento da viga da Figura abaixo excede os limites admissíveis sabendo que o material segue o critério de Coulomb. Dados: σt,adm = 70 MPa e σc,adm = 170 MPa. Prop. geométricas: ( ) ( ) 3 z z S 1 S 4 0 cm = = ( ) 3 Sz 2 529 cm = ( ) 3 Sz 3 480 cm = 4 zI 12200 cm = Como o esforço momento fletor máximo [+90kN∙cm] (positivo em toda a viga) ocorre no ponto B e os esforço cortante máximo [180 kN] ocorre nas vizinhanças à esquerda do ponto B, a seção B é a única seção que deve ser avaliada. Definida a seção de análise, deve-se construir os elementos em EPT para as fibras de (1) a (4) para posterior uso do critério de falha. M (kN∙cm) V (kN) (esforços solicitantes) 25/06/2019 11 21 Tensões principais: 2 x y x y 1 2 2 σ σ σ σ σ τ σ 2 2 + −      = ± +           2 1 2 σ σ σ τ 0 2 2   = + +   >  2 2 2 σ σ σ τ 0 2 2   = − +   <  4o quadrante σx σ = + 0 σ y = τxy τ = + envoltória de Coulomb 0 16,97 0,998 1 7 17 + = < 3,90 3,90 0,33 1 7 17 + − = < 6,96 1,80 1,1 1 7 + 17 = > 6,64 0 0,948 1 7 + 17 = < Fib. (1): Fib. (2): Fib. (3): Fib. (4): (excede os limites de resistência) x z M σ y = I ⋅ z xy z V S τ b I ⋅ = ⋅ 22 Referências BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Mcgraw-Hill Interamericana, 4a ed., 2006. CHRISTOFORO, A. L.; LIBARDE, W. Mecânica dos sólidos e introdução aos métodos numéricos para engenharia civil. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2019. FÉODOSIEV, V. Resistência dos materiais. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Cengage Learning, São Paulo, 7a ed., 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7ª ed. 2010. HIGDON, A.; OLSEN, E. H.; STILES, W. B.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecânica dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1981. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos 1: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. KOMATSU, J. S.; CHRISTOFORO, A. L. Mecânica dos sólidos elementar: teoria e exercícios ilustrativos. Editora da universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar), São Carlos, SP, Brasil, 2017. LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, v.1 e 2, 1971. NASH, W. A. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973. POPOV, E. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1984. 25/06/2019 12 23 SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harper & Row do Brasil Ltda., 1984. SHAMES, I. H. Introdução à mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro; Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1983. TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint Gráfica S. A., v.1 e 2, 1976. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., v.1 e 2, 1984 TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da elasticidade. Editora Guanabara Dois, 3a edição, 1980. WILLEMS, N.; EASLEY, J. T.; ROLFE, S. T. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1983. Esse material foi elaborado (adaptado / modificado) com base nos livros de KOMATSU, J. S. e CHRISTOFORO, A. L. (2 livros); CHRISTOFORO, A. L. e LIBARDI, W.; HIBBELER, R. C; BEER, F. P. e JOHNSTON Jr, E. R.