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Resumos de Funções\n(0) Relações e funções\nUma relação R entre conjuntos A e B é um subconjunto do produto cartesiano AxB. Assim, se x \\u2208 A e y \\u2208 B estão relacionados (por R) se (x,y) \\u2208 R. Temos R \\u2286 (A\\u00d7B), e podemos ter R=\\u03c1 (ninguém se relaciona) ou R=A\\u00d7B (todos se relacionam) em qualquer R \\u2286 AxB.\nExemplo:\nLos ligamentos se liman os próprios en R.\nUma função f: D \\u2192 C corresponde a uma relação entre D e C tal que cada x \\u2208 D relaciona-se com exatamente um y \\u2208 C. (f(x) pode ser dado como uma regra (expressão) usando x.)\nExemplos:\nÉ função (por quê?)\nNão é função (por quê?)\n\nÉ preciso sempre especificar D (domínio) e C (contradomínio); em geral, trabalhamos com D \\u2286 A e C \\u2286 R.\nExemplo: Determinar o maior subconjunto D de R que serve como domínio da função:\nf(x)=\\u215b\\u215b3x-6\\u21920; logo, D=\\u2212\\u221e,2\\u222a2,\\u221e[. f(x)=\\u2216\\u221a8-2x precisa 8-2x>0; logo, D=[\\u2212\\u221e,4].\nA imagem da função é o conjunto dos valores obtidos calculando-se f em cada ponto de D.\nExemplo: para as funções acima:\n\\u215b(1)\\u2192u=2 para qualquer x \\u2260 0; logo, Im f=\\u2115\\u2210.\n\\u215b(2)\\u2192u=\\u2216\\u221a8-2x=1 para qualquer x>0; logo, Im f=\\u2115\\u2218. \n\n(1) Gráficos\no plano cartesiano representa o produto R×R, mais geralmente, pode representar AxB.\nO gráfico de um relfó (por exemplo, uma equação em duas variáveis) é o conjunto de todos os pares relacionados pela relação (por exemplo, soluções de tal equação).\nExemplos:\nO gráfico de uma função f: D \\u2192 R é o gráfico da equação y=f(x).\nRevisão - teste dos vetores verticais\nExemplos:\nÉ função (por quê?)\npara qual domínio isso é função?\nNão é função (por quê?) O gráfico de f(x)=\\u2216\\u221a8-2x cujo domínio é ]\\u2212\\u221e,4],\no gráfico de f(x)=\\u215b1/3x-6 cujo domínio é R\\u2212{2}.\nRevisar aqueles que são não-racionais – funções lineares e constantes → coeficiente angular.\n(Como achar o coef. angular do novo reto? Como escrever equações de um reto sabendo coef. angular e um ponto dado? Chamado coef. angular e intercepto com eixo y? Quais são os pontos dados?)\n\nExercício: Dada uma equação do reto passando por (5;3) e perpendicular a y=6-3x. (Qual é a relação entre os coeficientes angulares?)\n\n2) Injecção, sobrejecção e bijecção\nf: D\\u2192C é sobrejectiva se Im f=C.\nf: D\\u2192C é bijetiva se é injetora e sobrejectiva.\nExemplos: \nÉ injetora (por quê?)\nNão é injetora (por quê?)\nÉ sobrejectora (por quê?)\nNão é sobrejectora (por quê?)\nRevisar os testes dos retas tangenciais.\nExemplos:\nNão é injetora (por quê?)\nÉ injetora (por quê?)\nNão é sobrejectora (por quê?)\nÉ sobrejectora (por quê?) Função inversa\nQuando f:D→C é bijetora, podemos definir\n f^{-1}:C→D, f^{-1}(u) = x tal que f(x) = u.\n(f^{-1} é função? Sim, x existe porque f' é sobrejetora e é único porque f' é injetora, dado que c.)\n\n D ⇌ C\n ← ↓\n f f^{-1}\n\nCuidado: f^{-1}(x) ≠ f(x), a não ser (f(x))^{-1} = f^{-1}(x).\nNote que (∀x∈D) f^{-1}(f(x)) = x ∈ (∀u∈C) f(f^{-1}(u)) = u.\n\nComo achar a inversa:\nf:R^{2}→R, f(x) = 1/3x-6.\nEscrevemos y = 1/3x-6.\nAssim, f^{-1}(y) = 1/3y+2. Depois de feitos os cálculos, podemos usar qualquer letra:\nf^{−1}:R^{1}→R^{2}, f^{-1}(x) = 1/3x + 2.\n\nExercícios: Mostre que é bijetora e inverso:\ng:R^{1}→R^{2}, g(x) = √(8-2x).\n\nh: R^{1} → R^{1}, h(x) = 2(x²).\n\nVigie: gráfico de f em certos pontos (a,b) ⇔\n\n ⇔ f(a) = b ⇔ ⇔ f^{-1}(b) = a \n ⇔ gráfico de f^{−1} entre pontos (b,a).\n\nMas, se a reta y=x é um espelho, (a,b) é reflexo de (b,a): Sobrição depois do contra domínio:\n2^{*} R→R não é sobrejetora\n2^{*} R→R² é sobrejetora\n\n(Alguns livros e cursos tiram formas de sobrejeções!)\n\nComo mostrar que uma função é sobrejetora?\nf: R^{2} → R^{1}, f(x) = 1/3x-6.\n\nDado y e R^{*}≠0, queremos x ∈ R^{2} com f(x) = y. (Note que é atributo, isso tem que ser feito com letras!)\n\nResolve-se 1/3x-6 = 1/y e então x = 1/3y + 2.\n\nVamos que x ∈ R^{2} porque 1/3y ≠ 0 (além de y≠0).\nComo mostrar que uma função é injetora?\nf: R^{2}→R, f(x) = 1/3x-6.\n\nDesenvolvemos f(a) = f(b). (Isso também tem que ser feito com letras!)\n\nSimplificamos 1/3a-6 = 1/3b-6 ⇒ 3a-6=3b-6 ⇒ 3a=3b ⇒ a=b.\n\nObtemos a b. (Dessa modo, se x=y então f(x)=f(y) e funções iguais assumem o mesmo valor duas vezes!)\n\ng:R→R, g(x) = cos x, não é injetora. Apresentamos um \"contra-exemplo\" explicitamente: g(0)=1 g(2π)=1. (Isso tem que ser feito com números!)\n\nPortanto, podemos restringir a função:\nh:E→π, h(x)=cos x, é injetora (coração - escasso).\nh(a)=h(b) e olhe as b assumindo ≈ <a,b<π. Assim, todo o gráfico de f^{-1} é reflexo do de f nesse espelho:\nExemplo:\n\n g:R^{4}→R^{0},\n g(x) = √(8-2x).\n\ng^{-1}:R^{0}→R^{4},\n\ng^{-1}(y) = 4-y/2.\n\nNote: Dom g = R^{4}; Im g^{1} = R^{0}.\n\nExercício: Desenhe os gráficos de h:R^{k}→R^{2}, h(x) = (x²) e h^{-1}.\n\n(4) Composição de funções\nManipular composições será utilíssimo no tópico de Regra de Cadeia (uma ferramenta de derivadas).\n\nPara definir gof, precisamos Im f ⊂ Dom g, ou seja, g(f(x)) estão definidos quando (1) x está no domínio de f e (2) f(x) está no domínio de g.\n\nExercício: O que precisamos para definir fog?\n\nExemplo: f(x) = 3-x² e g(y) = √(8-2x).\nf definido em todos os reais: Dom f=R.\n\nx < 0 → 3-x < 3 → Im f < 3 e g: R^{4} = Dom g.\n\nLogo, podemos formar g(f) com domínio IR:\ng(f(1)) = √(8-2(3-1)) = √(2(6+1)); Im(gof) = R^{2/6}.\n\nPor outro lado, g é definida quando 8-2x>0: Dom g = \\mathbb{R}^{4}\n\nf: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}^{m} \\subset \\mathbb{R}^{4}\\text{.} Logo, pode-se formar f\\circ g com domínio \\mathbb{R}^{4}.\n\nf(g(x)) = 3 - \\sqrt{8-2x} \\text{ e } 3 - (8-2x) = 6x - 5.\n\nImportante: sabemos que 6x-5 tem domínio todo \\mathbb{R}, mas esse não é o caso de f\\circ g! Para calcular f(g(x)), é preciso que g(x) pertença a \\text{Dom } f. Isso distingue-se relevanta para qualquer decomposição de funções, por exemplo para usar a Regra da Cadeia.\n\nExercício: Repita o procedimento acima (ambos as compostas)\npara f(x) = 1/x e g(x) = 1/(x^2-3).\n\n(5) Tópicos de funções importantes para Cálculo. O texto abaixo indica conhecimentos essenciais para acompanhar qualquer curso de Cálculo. É aconselhável revisar, brevemente em 'Bases Mid', mas não com detalhes a partir do zero, se você nos o viu no Ensino Médio, procure vê-los agora!!\n\n- determinar zeros de polinômios e funções racionais (p(a)=0 ⇔ a é divisor de p(x)), associados de funções racionais; divisão polinomial.\n- funções trigonométricas (sen, cos, tg): ciclos, propriedades, gráficos.\n- funções exponenciais e logarítmicas: idem. Etapa 1: Composições de funções\n\nExistem 2\\text{ }\\mathbb{R} relações entre A e B. Compara as 4 caixas:\n\na\\rightarrow R \\quad a\\rightarrow S\n\na \\rightarrow R \\quad a \\rightarrow T\n\nResp: S+R=T. Por quê?\n\nExistem C\\text{ }\\mathbb{R} funções de D = C. Portanto você não pode dizer que f=g somente porque f(a): D\\rightarrow C. (Ambos a Architeta e a Imigrantes vão de São Paulo a São Bernardo. Por acaso só a mesma rodovia?) Compare as linhas abaixo:\n\nResp: f \\neq g. Por quê?\n\nPelo mesmo motivo, você não pode dizer que g\\circ f^{-1} somente porque f:D\\rightarrow C e g:\\mathbb{C}\\rightarrow D. (Podemos ir de SP a SBC pela Architeta e voltar pelos imigrantes. Por acaso uma rodovia é inversa da outra?) Abaixo, qual é a inversa da f acima?\n\nResp: f^{-1} = \\theta. Por quê?\n\nConclusão: Escrever y = f(x) e y = g(x) NÃO mostra que f=g. Escrever f(x)-y = g(y)-x NÃO mostra g=f^{-1}. Esses x,y são apenas convenções!
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Resumos de Funções\n(0) Relações e funções\nUma relação R entre conjuntos A e B é um subconjunto do produto cartesiano AxB. Assim, se x \\u2208 A e y \\u2208 B estão relacionados (por R) se (x,y) \\u2208 R. Temos R \\u2286 (A\\u00d7B), e podemos ter R=\\u03c1 (ninguém se relaciona) ou R=A\\u00d7B (todos se relacionam) em qualquer R \\u2286 AxB.\nExemplo:\nLos ligamentos se liman os próprios en R.\nUma função f: D \\u2192 C corresponde a uma relação entre D e C tal que cada x \\u2208 D relaciona-se com exatamente um y \\u2208 C. (f(x) pode ser dado como uma regra (expressão) usando x.)\nExemplos:\nÉ função (por quê?)\nNão é função (por quê?)\n\nÉ preciso sempre especificar D (domínio) e C (contradomínio); em geral, trabalhamos com D \\u2286 A e C \\u2286 R.\nExemplo: Determinar o maior subconjunto D de R que serve como domínio da função:\nf(x)=\\u215b\\u215b3x-6\\u21920; logo, D=\\u2212\\u221e,2\\u222a2,\\u221e[. f(x)=\\u2216\\u221a8-2x precisa 8-2x>0; logo, D=[\\u2212\\u221e,4].\nA imagem da função é o conjunto dos valores obtidos calculando-se f em cada ponto de D.\nExemplo: para as funções acima:\n\\u215b(1)\\u2192u=2 para qualquer x \\u2260 0; logo, Im f=\\u2115\\u2210.\n\\u215b(2)\\u2192u=\\u2216\\u221a8-2x=1 para qualquer x>0; logo, Im f=\\u2115\\u2218. \n\n(1) Gráficos\no plano cartesiano representa o produto R×R, mais geralmente, pode representar AxB.\nO gráfico de um relfó (por exemplo, uma equação em duas variáveis) é o conjunto de todos os pares relacionados pela relação (por exemplo, soluções de tal equação).\nExemplos:\nO gráfico de uma função f: D \\u2192 R é o gráfico da equação y=f(x).\nRevisão - teste dos vetores verticais\nExemplos:\nÉ função (por quê?)\npara qual domínio isso é função?\nNão é função (por quê?) O gráfico de f(x)=\\u2216\\u221a8-2x cujo domínio é ]\\u2212\\u221e,4],\no gráfico de f(x)=\\u215b1/3x-6 cujo domínio é R\\u2212{2}.\nRevisar aqueles que são não-racionais – funções lineares e constantes → coeficiente angular.\n(Como achar o coef. angular do novo reto? Como escrever equações de um reto sabendo coef. angular e um ponto dado? Chamado coef. angular e intercepto com eixo y? Quais são os pontos dados?)\n\nExercício: Dada uma equação do reto passando por (5;3) e perpendicular a y=6-3x. (Qual é a relação entre os coeficientes angulares?)\n\n2) Injecção, sobrejecção e bijecção\nf: D\\u2192C é sobrejectiva se Im f=C.\nf: D\\u2192C é bijetiva se é injetora e sobrejectiva.\nExemplos: \nÉ injetora (por quê?)\nNão é injetora (por quê?)\nÉ sobrejectora (por quê?)\nNão é sobrejectora (por quê?)\nRevisar os testes dos retas tangenciais.\nExemplos:\nNão é injetora (por quê?)\nÉ injetora (por quê?)\nNão é sobrejectora (por quê?)\nÉ sobrejectora (por quê?) Função inversa\nQuando f:D→C é bijetora, podemos definir\n f^{-1}:C→D, f^{-1}(u) = x tal que f(x) = u.\n(f^{-1} é função? Sim, x existe porque f' é sobrejetora e é único porque f' é injetora, dado que c.)\n\n D ⇌ C\n ← ↓\n f f^{-1}\n\nCuidado: f^{-1}(x) ≠ f(x), a não ser (f(x))^{-1} = f^{-1}(x).\nNote que (∀x∈D) f^{-1}(f(x)) = x ∈ (∀u∈C) f(f^{-1}(u)) = u.\n\nComo achar a inversa:\nf:R^{2}→R, f(x) = 1/3x-6.\nEscrevemos y = 1/3x-6.\nAssim, f^{-1}(y) = 1/3y+2. Depois de feitos os cálculos, podemos usar qualquer letra:\nf^{−1}:R^{1}→R^{2}, f^{-1}(x) = 1/3x + 2.\n\nExercícios: Mostre que é bijetora e inverso:\ng:R^{1}→R^{2}, g(x) = √(8-2x).\n\nh: R^{1} → R^{1}, h(x) = 2(x²).\n\nVigie: gráfico de f em certos pontos (a,b) ⇔\n\n ⇔ f(a) = b ⇔ ⇔ f^{-1}(b) = a \n ⇔ gráfico de f^{−1} entre pontos (b,a).\n\nMas, se a reta y=x é um espelho, (a,b) é reflexo de (b,a): Sobrição depois do contra domínio:\n2^{*} R→R não é sobrejetora\n2^{*} R→R² é sobrejetora\n\n(Alguns livros e cursos tiram formas de sobrejeções!)\n\nComo mostrar que uma função é sobrejetora?\nf: R^{2} → R^{1}, f(x) = 1/3x-6.\n\nDado y e R^{*}≠0, queremos x ∈ R^{2} com f(x) = y. (Note que é atributo, isso tem que ser feito com letras!)\n\nResolve-se 1/3x-6 = 1/y e então x = 1/3y + 2.\n\nVamos que x ∈ R^{2} porque 1/3y ≠ 0 (além de y≠0).\nComo mostrar que uma função é injetora?\nf: R^{2}→R, f(x) = 1/3x-6.\n\nDesenvolvemos f(a) = f(b). (Isso também tem que ser feito com letras!)\n\nSimplificamos 1/3a-6 = 1/3b-6 ⇒ 3a-6=3b-6 ⇒ 3a=3b ⇒ a=b.\n\nObtemos a b. (Dessa modo, se x=y então f(x)=f(y) e funções iguais assumem o mesmo valor duas vezes!)\n\ng:R→R, g(x) = cos x, não é injetora. Apresentamos um \"contra-exemplo\" explicitamente: g(0)=1 g(2π)=1. (Isso tem que ser feito com números!)\n\nPortanto, podemos restringir a função:\nh:E→π, h(x)=cos x, é injetora (coração - escasso).\nh(a)=h(b) e olhe as b assumindo ≈ <a,b<π. Assim, todo o gráfico de f^{-1} é reflexo do de f nesse espelho:\nExemplo:\n\n g:R^{4}→R^{0},\n g(x) = √(8-2x).\n\ng^{-1}:R^{0}→R^{4},\n\ng^{-1}(y) = 4-y/2.\n\nNote: Dom g = R^{4}; Im g^{1} = R^{0}.\n\nExercício: Desenhe os gráficos de h:R^{k}→R^{2}, h(x) = (x²) e h^{-1}.\n\n(4) Composição de funções\nManipular composições será utilíssimo no tópico de Regra de Cadeia (uma ferramenta de derivadas).\n\nPara definir gof, precisamos Im f ⊂ Dom g, ou seja, g(f(x)) estão definidos quando (1) x está no domínio de f e (2) f(x) está no domínio de g.\n\nExercício: O que precisamos para definir fog?\n\nExemplo: f(x) = 3-x² e g(y) = √(8-2x).\nf definido em todos os reais: Dom f=R.\n\nx < 0 → 3-x < 3 → Im f < 3 e g: R^{4} = Dom g.\n\nLogo, podemos formar g(f) com domínio IR:\ng(f(1)) = √(8-2(3-1)) = √(2(6+1)); Im(gof) = R^{2/6}.\n\nPor outro lado, g é definida quando 8-2x>0: Dom g = \\mathbb{R}^{4}\n\nf: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}^{m} \\subset \\mathbb{R}^{4}\\text{.} Logo, pode-se formar f\\circ g com domínio \\mathbb{R}^{4}.\n\nf(g(x)) = 3 - \\sqrt{8-2x} \\text{ e } 3 - (8-2x) = 6x - 5.\n\nImportante: sabemos que 6x-5 tem domínio todo \\mathbb{R}, mas esse não é o caso de f\\circ g! Para calcular f(g(x)), é preciso que g(x) pertença a \\text{Dom } f. Isso distingue-se relevanta para qualquer decomposição de funções, por exemplo para usar a Regra da Cadeia.\n\nExercício: Repita o procedimento acima (ambos as compostas)\npara f(x) = 1/x e g(x) = 1/(x^2-3).\n\n(5) Tópicos de funções importantes para Cálculo. O texto abaixo indica conhecimentos essenciais para acompanhar qualquer curso de Cálculo. É aconselhável revisar, brevemente em 'Bases Mid', mas não com detalhes a partir do zero, se você nos o viu no Ensino Médio, procure vê-los agora!!\n\n- determinar zeros de polinômios e funções racionais (p(a)=0 ⇔ a é divisor de p(x)), associados de funções racionais; divisão polinomial.\n- funções trigonométricas (sen, cos, tg): ciclos, propriedades, gráficos.\n- funções exponenciais e logarítmicas: idem. Etapa 1: Composições de funções\n\nExistem 2\\text{ }\\mathbb{R} relações entre A e B. Compara as 4 caixas:\n\na\\rightarrow R \\quad a\\rightarrow S\n\na \\rightarrow R \\quad a \\rightarrow T\n\nResp: S+R=T. Por quê?\n\nExistem C\\text{ }\\mathbb{R} funções de D = C. Portanto você não pode dizer que f=g somente porque f(a): D\\rightarrow C. (Ambos a Architeta e a Imigrantes vão de São Paulo a São Bernardo. Por acaso só a mesma rodovia?) Compare as linhas abaixo:\n\nResp: f \\neq g. Por quê?\n\nPelo mesmo motivo, você não pode dizer que g\\circ f^{-1} somente porque f:D\\rightarrow C e g:\\mathbb{C}\\rightarrow D. (Podemos ir de SP a SBC pela Architeta e voltar pelos imigrantes. Por acaso uma rodovia é inversa da outra?) Abaixo, qual é a inversa da f acima?\n\nResp: f^{-1} = \\theta. Por quê?\n\nConclusão: Escrever y = f(x) e y = g(x) NÃO mostra que f=g. Escrever f(x)-y = g(y)-x NÃO mostra g=f^{-1}. Esses x,y são apenas convenções!