Modelagem Numerica - Analise de Producao Industrial com Metodo de Gauss-Seidel

2022226150 MODELAGEM NUMÉRICA A economia de uma região é constituída por três indústrias ou setores serviços eletricidade e produção de petróleo Por simplicidade assumimos que cada indústria produz um único produto bens ou serviços em um determinado ano e que a receita saída é gerada a partir da venda deste produto Cada indústria compra produtos das outras indústrias inclusive de si mesma a fim de gerar rendimento A tabela abaixo resume quanto da produção de cada indústria é consumida por cada indústria Vemos que da produção da indústria de serviços 20 são consumidos pela própria indústria de serviços 40 pela indústria de eletricidade e 10 pela indústria de petróleo Assim somente 70 da produção da indústria de serviços é consumida por esta economia Esses cálculos implicam que há um excesso de saída receita em relação à entrada despesas para a indústria de serviços Dizemos que a indústria de serviços é produtiva Analogamente temse que a indústria de petróleo também é produtiva Mas a indústria de eletricidade é não produtiva Isto está refletido no fato de que as somas dos elementos das primeira e terceira colunas são menores do que 1 e a soma dos elementos da segunda coluna é igual a 1 Esta produção em excesso pode ser usada para satisfazer a uma demanda externa Suponha que haja uma demanda externa anual em milhões de dólares de 10 10 e 30 das indústrias de serviços eletricidade e petróleo respectivamente Denotando por x1 x2 e x3 a produção anual receita das indústrias de serviços eletricidade e petróleo respectivamente em milhões de dólares e igualando as despesas formada pela soma das demandas internas e externas com as receitas isto é receita demanda interna demanda externa escreva a equação para cada indústria Resolvendo o sistema de equações lineares pelo emprego do Método de GaussSeidel com precisão de 000001 e expressando os resultados finais com duas casas após a vírgula usando arredondamento vêse que as indústrias de serviços eletricidade e petróleo devem ter uma produção anual de US US e US milhões respectivamente de modo a atender a ambas as demandas interna e externa de seus produtos 2022226150 MODELAGEM NUMÉRICA O desenho abaixo mostra cinco recipientes de mistura conectados por tubos É bombeada água através dos tubos a uma taxa fixa conforme registrado na figura A água injetada no sistema contém um produto químico cuja quantidade é especificada por sua concentração c mgm3 Aplicando o princípio de conservação de massa para cada recipiente é possível escrever equações para as concentrações ci i 1 2 3 4 5 no interior dos recipientes Considerando que a taxa do fluxo de massa do produto químico é obtida pela multiplicação da taxa do fluxo de volume pela concentração escreva as equações mencionadas no parágrafo anterior Resolvendo o sistema de equações lineares pelo emprego do Método de GaussSeidel com precisão de 000001 e expressando os resultados finais com duas casas após a vírgula usando arredondamento vêse que c1 mgm3 c2 mgm3 c3 mgm3 c4 mgm3 e c5 mgm3 Uma placa triangular de metal maciço de catetos 5m x 5m considere que sua espessura é muito menor do que essas dimensões faz parte de um maquinário Cada borda dessa placa é submetida a uma temperatura constante conforme mostra a figura abaixo Numa situação de equilíbrio termostático querse saber como a temperatura T se distribuirá em função da posição x y que localiza um ponto da placa Esse problema é modelado pela equação de Laplace dada por ²Tx² ²Ty² 0 Devemos portanto encontrar uma função contínua Txy que satisfaz as condições de fronteira impostas pelo problema e que em cada ponto xy do interior da placa satisfaça a equação de Laplace Para obter uma solução numérica para esse problema o plano xy é discretizado em uma malha de maneira que a distância horizontal entre os vértices desse reticulado seja sempre igual a h e a a distância vertical entre os vértices seja sempre igual a k Nesse esquema as derivadas segundas são aproximadas por diferenças de segunda ordem de modo que a equação de Laplace fica escrita como Tx hy 2Txy Tx hyh² Tx y k 2Txy Tx y kk² 0 Considerando uma malha com h k 1 nosso problema fica como mostrado na figura abaixo Considerando uma malha com h k 1 nosso problema fica como mostrado na figura abaixo e da versão discretizada da equação de Laplace temse que Tx1y Tx1y Txy1 Txy1 4Txy 0 Partindo desta última equação e considerando as condições de contorno envolvidas no problema escreva a equação satisfeita pela temperatura Txy em cada vértice xy da malha isto é a equação satisfeita por t1 t2 t3 t4 t5 e t6 Resolvendo o sistema de equações lineares pelo emprego do Método de GaussSeidel com precisão de 000001 e expressando os resultados finais com duas casas após a vírgula usando arredondamento vêse que t1 C t2 C t3 C t4 C t5 C e t6 C Observação Note que da última equação vêse que Txy 14 Tx1y Tx1y Txy1 Txy1 ou seja a versão discretizada da equação de Laplace diz que nos vértices xy em que a temperatura não foi fixada o valor da temperatura é dado pela média dos valores de temperaturas dos quatro vértices mais próximos Seis molas com diferentes constantes elásticas ki e comprimentos Li na condição de repouso são amarradas em série O ponto final B é então deslocado de tal forma que a distância entre os pontos A e B seja de L 16 m A força F em uma mola é dada por Lei de Hooke F kδ em que k é a constante da mola e δ é sua extensão além de seu comprimento na condição de repouso Partindo dessa lei e levandose em conta que se trata de uma situação de equilíbrio é possível escrever cinco equações igualando a força em cada duas molas adjacentes isto é é possível obter equações para as posições x1 x2 x5 dos pontos finais das molas As constantes das molas e os seus comprimentos em repouso são dados na tabela abaixo Resolvendo o sistema de equações lineares pelo emprego do Método de GaussSeidel com precisão de 000001 e expressando os resultados finais com duas casas após a vírgula usando arredondamento vêse que x1 m x2 m x3 m x4 m e x5 m k x1k x2k x3k Var x1k Var x2k Var x3k Vark 0 0 0 0 1 1250 1875 5268 100E00 100E00 100E00 100E00 2 3080 4107 6486 594E01 543E01 188E01 594E01 3 4628 5185 7169 334E01 208E01 953E02 334E01 4 5387 5736 7513 141E01 960E02 458E02 141E01 5 5774 6015 7689 670E02 465E02 228E02 670E02 6 5971 6157 7778 329E02 231E02 114E02 329E02 7 6071 6230 7823 165E02 116E02 578E03 165E02 8 6121 6266 7846 830E03 586E03 293E03 830E03 9 6147 6285 7857 420E03 297E03 149E03 420E03 10 6160 6295 7863 213E03 151E03 755E04 213E03 11 6167 6299 7866 108E03 765E04 384E04 108E03 12 6170 6302 7868 549E04 389E04 195E04 549E04 13 6172 6303 7869 279E04 197E04 990E05 279E04 14 6173 6304 7869 142E04 100E04 503E05 142E04 15 6173 6304 7869 720E05 510E05 256E05 720E05 16 6174 6304 7869 366E05 259E05 130E05 366E05 17 6174 6304 7870 186E05 132E05 661E06 186E05 18 6174 6304 7870 945E06 669E06 336E06 945E06 x1k 6174 x2k 6304 x3k 7870 08x1 05x2 01x3 10 01x1 08x2 02x3 10 01x1 03x2 07x3 30 Pelo método de GaussSeidel x1k 108 10 05x2k1 01x3k1 x2k 108 10 05x1k 02x3k1 x3k 107 30 01x1k 03x2k Iniciando por x0 000 Para facilitar os cálculos precisamos os próximos equacionamentos t5 14 5 t1 t5 t6 4t5 t3 t5 t6 5 t6 14 80 10 5 t5 t6 t5 85 tilibra t5k 14 80 t2k1 t6k 14 85 1t5k t2k 14 t1k t5k t4k1 t3k 14 80 t2k t5k t4k 14 t2k t5k1 t5k 14 5 t3k t4k t6k1 tilibra k c1k c2k c3k c4k c5k Var c1k Var c2k Var c3k Var c4k Var c5k Vark 0 0 0 0 0 0 1 10000 8000 4364 1870 8435 100E00 100E00 100E00 100E00 100E00 100E00 2 14000 12073 7435 8007 11503 286E01 337E01 413E01 766E01 267E01 766E01 3 16036 14316 11448 11480 13240 127E01 157E01 351E01 303E01 131E01 351E01 4 17158 16016 13954 13546 14273 654E02 106E01 180E01 153E01 724E02 180E01 5 18008 17197 15538 14815 14907 472E02 687E02 102E01 857E02 426E02 102E01 6 18599 17986 16545 15609 15305 318E02 439E02 609E02 509E02 259E02 609E02 7 18993 18504 17188 16112 15556 208E02 279E02 374E02 312E02 162E02 374E02 8 19252 18839 17599 16432 15716 134E02 178E02 234E02 195E02 102E02 234E02 9 19419 19055 17863 16636 15818 864E03 114E02 148E02 123E02 646E03 148E02 10 19528 19195 18032 16767 15883 554E03 726E03 936E03 780E03 412E03 936E03 11 19597 19284 18140 16850 15925 355E03 464E03 597E03 497E03 263E03 597E03 12 19642 19342 18209 16904 15952 228E03 297E03 381E03 317E03 168E03 381E03 13 19671 19379 18254 16939 15969 146E03 190E03 244E03 203E03 108E03 244E03 14 19689 19402 18282 16961 15980 936E04 122E03 156E03 130E03 690E04 156E03 15 19701 19417 18301 16975 15987 600E04 781E04 100E03 833E04 442E04 100E03 16 19709 19427 18312 16984 15992 385E04 501E04 641E04 534E04 284E04 641E04 17 19714 19433 18320 16990 15995 247E04 321E04 411E04 342E04 182E04 411E04 18 19717 19437 18325 16993 15997 158E04 206E04 263E04 219E04 117E04 263E04 19 19719 19440 18328 16996 15998 101E04 132E04 169E04 141E04 748E05 169E04 20 19720 19442 18330 16997 15999 650E05 846E05 108E04 902E05 479E05 108E04 21 19721 19443 18331 16998 15999 417E05 543E05 694E05 579E05 307E05 694E05 22 19721 19443 18332 16999 15999 267E05 348E05 445E05 371E05 197E05 445E05 23 19722 19444 18332 16999 16000 171E05 223E05 285E05 238E05 126E05 285E05 24 19722 19444 18333 17000 16000 110E05 143E05 183E05 153E05 811E06 183E05 25 19722 19444 18333 17000 16000 705E06 917E06 117E05 979E06 520E06 117E05 26 1972 1944 1833 1700 1600 452E06 588E06 753E06 628E06 333E06 753E06 c1k 1972 c2k 1944 c3k 1833 c4k 1700 c5k 1600 k t1k t2k t3k t4k t5k t6k Var t1k Var t2k Var t3k Var t4k Var t5k Var t6k Vark 0 0 0 0 0 0 0 1 20000 5000 21250 1250 6875 22969 100E00 100E00 100E00 100E00 100E00 100E00 100E00 2 21250 10938 24453 4453 14219 24805 588E02 543E01 131E01 719E01 516E01 740E02 719E01 3 22734 12910 26782 6782 15842 25211 653E02 153E01 870E02 343E01 102E01 161E02 343E01 4 23228 14198 27510 7510 16308 25327 212E02 907E02 265E02 969E02 285E02 459E03 969E02 5 23549 14642 27738 7738 16450 25363 137E02 304E02 820E03 294E02 868E03 141E03 304E02 6 23661 14784 27809 7809 16495 25374 470E03 957E03 256E03 910E03 270E03 438E04 957E03 7 23696 14828 27831 7831 16509 25377 149E03 299E03 798E04 284E03 841E04 137E04 299E03 8 23707 14842 27838 7838 16513 25378 468E04 935E04 249E04 886E04 263E04 427E05 935E04 9 23711 14847 27840 7840 16515 25379 146E04 292E04 779E05 277E04 821E05 134E05 292E04 10 23712 14848 27841 7841 16515 25379 457E05 913E05 243E05 865E05 257E05 417E06 913E05 11 23712 14848 27841 7841 16515 25379 143E05 285E05 761E06 270E05 802E06 130E06 285E05 12 2371 1485 2784 784 1652 2538 447E06 892E06 238E06 844E06 251E06 408E07 892E06 t1k 2371 t2k 1485 t3k 2784 t4k 784 t5k 1652 t6k 2538 20x4 122x3 228 10x5 10x4 15 20x4 12x3 10x5 978 F3 F6 16 10x6 10x5 15 18x6 18x5 51 28x3 10x5 2519 tilibra k x5k x4k x3k x2k x1k Var x5k Var x4k Var x3k Var x2k Var x1k Vark 0 0 0 0 0 0 1 0889 0484 0275 0092 0017 100E00 100E00 100E00 100E00 100E00 100E00 2 1062 0735 0438 0200 0074 163E01 342E01 372E01 540E01 772E01 772E01 3 1152 0877 0561 0298 0126 779E02 162E01 220E01 330E01 413E01 413E01 4 1203 0977 0660 0380 0169 423E02 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