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Tensões de Cisalhamento devidas ao Esforço Cortante Jorge Carvalho Costa 29 de janeiro de 2021 Figuras adaptadas de BEER JOHNSTON DeWOLF MAZUREK Mechanics of Materials 6th ed HIBBELER Mechanics of Materials 9th ed No caso geral uma seção apresenta 4 esforços solicitantes 𝑁 𝑉 𝑀 𝑇 O normal 𝑁 e o torçor 𝑇 tem direção definida não precisam ser decompostos O cortante 𝑉 e o fletor 𝑀 atuam no plano da seção transversal logo podem ser decompostos em 2 componentes cada No total uma seção transversal é solicitada por 6 componentes de esforços 𝑁 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝑇 Esforços Solicitantes Esforços solicitantes 𝑁 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝑇 Em cada ponto da seção surgem duas tensões sendo que a tangencial cisalhante pode ser decomposta Tensões na Seção Transversal 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 Foi visto que o esforço normal e os momentos fletores geram tensão normal na seção Dois esforços serão responsáveis pelas tensões cisalhantes O cortante e o torçor 𝑁 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝜎𝑥 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑇 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 Tensões na ST Interpretação inversa As tensões normais 𝜎𝑥 combinadas no centroide 𝐶 resultam em uma força na direção 𝑥 e momentos em torno dos eixos 𝑦 𝑧 𝜎𝑥 𝑁 𝑀𝑦 𝑀𝑧 As tensões cisalhantes 𝜏𝑥𝑦 combinadas no centroide 𝐶 resultam em uma força na direção 𝑧 uma força na direção 𝑦 e um momento em torno do eixo 𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑇 Tensões na ST 𝑁 𝐴 𝜎𝑥 𝑑𝐴 𝑀𝑧 𝐴 𝜎𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑀𝑦 𝐴 𝜎𝑥 𝑧 𝑑𝐴 𝑇 𝐴 𝜏𝑥𝑧 𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝑧 𝑑𝐴 𝑉𝑦 𝐴 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝑉𝑧 𝐴 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝐴 A presença de esforço cortante vai gerar tensões cisalhantes Equilíbrio da seção Caso particular viga sob carregamento transversal A carga atua em um plano de simetria da barra e na direção perpendicular à mesma Não há normal Não há torçor O cortante só tem componente na vertical sinal conforme convenção O eixo do fletor só tem componente na horizontal Tensão normal já visto Tensão cisalhante horizontal 𝑉𝑧 𝐴 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝐴 0 𝜏𝑥𝑧𝑚é𝑑 0 Tensão cisalhante vertical 𝑉𝑦 𝐴 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝑉 𝜏𝑥𝑦𝑚𝑒𝑑 𝑉 𝐴 A distribuição não é uniforme Caso particular Tomando um cubo infinitesimal em um ponto da seção 𝜏𝑥𝑦 cisalhamento na seção transversal 𝜏𝑦𝑥 cisalhamento em um plano longitudinal Para o cubo ficar equilibrado quando há tensões na ST 𝜏𝑥𝑦 deve haver tensões iguais no plano longitudinal 𝜏𝑦𝑥 Se a peça não resistir a essas tensões longitudinais formada por chapas descoladas deslizam entre si Cisalhamento longitudinal Cisalhamento longitudinal Primeiro cortase a viga em uma fatia de espessura 𝑑𝑥 Cada face terá um fletor diferente Nesta fatia fazse outro corte horizontal a uma altura 𝑦 do centroide da seção A área dessa parte da seção que fica acima de 𝑦 é 𝐴 Cisalhamento longitudinal Neste pedaço de viga surgem 𝜎 e 𝜎 tensões normais causadas pelo fletor 𝜎 𝜎 porque o fletor varia com 𝑑𝑥 Também surge uma força horizontal 𝑑𝐻 agindo no plano longitudinal que vai dar origem ao cisalhamento longitudinal Do equilíbrio horizontal 𝐴 𝜎 𝑑𝐴 𝑑𝐻 𝐴 𝜎𝑑𝐴 Cisalhamento longitudinal dH 𝐴 𝜎 𝑑𝐴 𝑑𝐻 𝐴 𝜎𝑑𝐴 As tensões 𝜎 e 𝜎 são tensões devidas ao fletor e podem ser escritas como 𝜎 𝑀𝑦 𝐼 𝐴 𝑀𝑦 𝐼 𝑑𝐴 𝑑𝐻 𝐴 𝑀𝑑𝑀 𝑦 𝐼 𝑑𝐻 𝑑𝑀 𝐼 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 Cisalhamento longitudinal dH 𝑑𝐻 𝑑𝑀 𝐼 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 A integral que aparece representa o momento de 1ª ordem da área 𝐴 em relação ao centroide 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 𝑄 A variação do momento fletor em 𝑑𝑥 pode ser expressa por 𝑑𝑀 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝐻 𝑑𝑀 𝐼 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 𝑑𝐻 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑄 𝐼 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄 𝐼 Cisalhamento longitudinal dH 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄 𝐼 A variação do momento fletor ao longo da viga é dada pelo cortante 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑉𝑄 𝐼 𝑑𝐻 𝑑𝑥 é um carga horizontal distribuída no comprimento da viga Cisalhamento longitudinal dH A viga mostrada é feita de duas placas de madeira pregadas a cada 10 𝑐𝑚 A força que atua em cada prego Hibbeler 9 en example 71 Esforço cortante máximo 𝑉𝑚𝑎𝑥 195 𝑘𝑁 Centroide da seção ത𝑦 0120 𝑚 Momento de inércia da seção completa 𝐼 270 106𝑚4 Momento de 1ª ordem da mesa 𝑄 𝐴𝑦 0150 0030 0145 0120 02025 103 𝑚3 Força longitudinal 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑉𝑄 𝐼 1950002025103 27106 146 250 Τ 𝑁 𝑚 14625 𝑘𝑁𝑚 Hibbeler 9 en example 71 1m 14625 kN 01m 1 prego x 14625 kN é a força que cada prego deve transmitir Hibbeler 9 en example 71 E se for usada uma cola para juntar as duas peças de madeira Supondo que a tensão seja uniforme a força longitudinal 𝑑𝐻 𝑑𝑥 14625 𝑘𝑁𝑚 deve ser transmitida por 30 𝑚𝑚 𝜏 146 250 0030 4875 𝑀𝑃𝑎 Hibbeler 9 en example 71 A tensão de cisalhamento longitudinal pode ser obtida assumindo que a força 𝑑𝐻 se distribui uniformemente na área 𝑑𝑥 𝑡 onde 𝑡 é a largura da seção no ponto onde estamos considerando 𝜏 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑡 𝜏 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 𝑉 cortante 𝑄 momento de 1ª ordem da área acima do ponto considerado 𝐼 momento de inércia da seção completa 𝑡 largura da seção no ponto considerado Cisalhamento longitudinal 𝜏 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Esta tensão foi encontrada assumindo que é constante em uma dada linha de corte da seção Na verdade ela varia mas aproximação é boa para vigas estreitas 𝜏 𝜏𝑚 A tensão cisalhante em cada ponto da seção transversal por equilíbrio será igual à cisalhante longitudinal naquela altura Tensão de cisalhamento 𝜏 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Nas extremidades da seção topo e fundo da viga não há tensão cisalhante longitudinal aplicada logo não haverá tensão cisalhante na seção transversal Tensão de cisalhamento Determine a tensão de cisalhamento na seção aa No ponto B Máxima Hibbeler9 722 e 723 Cortante em aa 𝑉𝑎 6 𝑘𝑁 Propriedades da seção 𝑦𝐶𝐺 3625 𝑚𝑚 003625 𝑚 𝐼 117863 106𝑚𝑚4 117863 106𝑚4 Determine a tensão de cisalhamento na seção aa No ponto B Máxima Hibbeler9 722 e 723 Cortante em aa 𝑉𝑎 6 𝑘𝑁 Propriedades da seção 𝑦𝐶𝐺 3625 𝑚𝑚 003625 𝑚 𝐼 117863 106𝑚𝑚4 117863 106𝑚4 Momento de 1a ordem da área verde 𝑄𝐵 20 70 55 3625 26250𝑚𝑚3 2625 106 𝑚3 𝜏𝐵 𝑉𝑄 𝐼𝑡 61032625106 1178631060020 6681 𝑀𝑃𝑎 Determine a tensão de cisalhamento na seção aa No ponto B Máxima Hibbeler9 722 e 723 Cortante em aa 𝑉𝑎 6 𝑘𝑁 Propriedades da seção 𝑦𝐶𝐺 3625 𝑚𝑚 003625 𝑚 𝐼 117863 106𝑚𝑚4 117863 106𝑚4 Cisalhamento máximo Na Linha Neutra 𝑄𝑚𝑎𝑥 20 90 3625 903625 2 2889 103𝑚𝑚3 2889 106 𝑚3 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑄 𝐼𝑡 61032889106 1178631060020 7353 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Caso específico seção retangular 𝑏 ℎ Queremos a tensão cisalhante no ponto 𝑃 situado a uma distância 𝑦 do centroide da seção 𝐼 𝑏ℎ3 12 𝑏 2𝑐 3 12 2 3 𝑏𝑐3 𝐴 é a área da seção acima do ponto 𝑃 𝐴 𝑐 𝑦 𝑏 Seu centroide 𝐶 está a 𝑦 𝑦 𝑐 2 1 2 𝑐 𝑦 Do centroide da seção CUIDADO não confundir a área da seção completa a área acima de 𝑃 nem os centroides de cada área Tensão de cisalhamento corrigido 𝜏𝑥𝑦 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Caso específico seção retangular 𝑏 ℎ 𝐼 2 3 𝑏𝑐3 𝐴 𝑐 𝑦 𝑏 ത𝑦 1 2 𝑐 𝑦 O momento de primeira ordem de 𝐴 em relação ao eixo 𝑧 é 𝑄 𝐴 ത𝑦 𝑐 𝑦 𝑏 1 2 𝑐 𝑦 1 2 𝑐2 𝑦2 𝑏 E a largura da seção no ponto 𝑃 é 𝑏 𝑡 𝜏𝑥𝑦 𝑉1 2 𝑐2𝑦2 𝑏 2 3𝑏𝑐3𝑏 3 4 𝑉 𝑏𝑐3 𝑐2 𝑦2 3 4 𝑉 𝑏𝑐3 𝑐2 1 𝑦2 𝑐2 3 2 𝑉 2𝑏𝑐 1 𝑦2 𝑐2 3 2 𝑉 𝐴 1 𝑦2 𝑐2 Tensão de cisalhamento corrigido Em uma seção retangular a tensão de cisalhamento tem uma distribuição parabólica 𝜏𝑥𝑦 3 2 𝑉 𝐴 1 𝑦2 𝑐2 A tensão cisalhante máxima ocorrerá no eixo centroidal da seção 𝑦 0 𝜏𝑚𝑎𝑥 3 2 𝑉 𝐴 Tensão de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Caso particular Seção I Na mesa a linha 𝑎𝑎 tem grande espessura O cortante tem espaço para se distribuir Na alma linha 𝑏𝑏 a espessura é bem menor O momento de 1a ordem 𝑄 cresce pouco conforme 𝑏𝑏 desce sendo praticamente equivalente ao momento estático da mesa Dizse que a mesa não contribui para a distribuição do cortante e que a tensão cisalhante pouco varia na alma Podese tomar aproximadamente 𝜏𝑥𝑦 𝑉 𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎 Tensão de cisalhamento A dedução feita para acharse a força cisalhante longitudinal 𝑑𝐻 em uma seção horizontal também é válida para encontrar a uma força que atue em paredes verticais da seção 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑉𝑄 𝐼 Cisalhamento longitudinal A viga de madeira mostrada na figura está submetida a uma força cortante vertical de 534 𝑘𝑁 Sabendo que a força cortante admissível nos pregos é 3336 𝑁 determine o maior espaçamento possível 𝑠 dos pregos 𝐼 02070 103𝑚4 Beer5 629 1524 mm A viga de madeira mostrada na figura está submetida a uma força cortante vertical de 534 𝑘𝑁 Sabendo que a força cortante admissível nos pregos é 3336 𝑁 determine o maior espaçamento possível 𝑠 dos pregos 𝐼 019313 103𝑚4 𝑄 508 508 1016 2622 103𝑚𝑚3 02622 103𝑚3 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑉𝑄 𝐼 53410302622103 019313103 7250 𝑘𝑁𝑚 1m 7250 N s 3336 N 𝑠 0046𝑚 46 𝑐𝑚 Beer5 629 1524 mm Na seção transversal a tensão de cisalhamento tem duas componentes 𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑥𝑧 A direção do corte longitudinal feito para obter a tensão é que determinará qual tensão está sendo calculada Direção do cisalhamento Um corte longitudinal horizontal 𝐴𝐵 perpendicular a 𝑦 mostrará tensões em na face 𝑦 e direção 𝑥 𝜏𝑦𝑥 Na seção transversal essas tensões aparecem na direção vertical 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑥 Na seção transversal a tensão de cisalhamento tem duas componentes 𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑥𝑧 A direção do corte longitudinal feito para obter a tensão é que determinará qual tensão está sendo calculada Direção do cisalhamento Um corte longitudinal vertical 𝐴𝐵 perpendicular a 𝑧 mostrará tensões em na face 𝑧 e direção 𝑥 𝜏𝑧𝑥 Na seção transversal essas tensões aparecem na direção horizontal 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑧𝑥 Direção do cisalhamento Corte longitudinal horizontal Tensões verticais 𝜏𝑥𝑦 Corte longitudinal vertical Tensões horizontais 𝜏𝑥𝑧 As tensões cisalhantes na seção terão principalmente direção concordante com a espessura Direção do cisalhamento 61 Introdução 62 Força cortante na face horizontal de um elemento de viga 63 Determinação das tensões de cisalhamento em uma viga 64 Tensões de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 em tipos comuns de vigas 65 Discussões adicionais sobre distribuição de tensões em uma viga retangular estreita 66 Cisalhamento longitudinal em um elemento de viga de modo arbitrário 67 Tensões de cisalhamento em barras de paredes finas 68 Deformações plásticas 69 Carregamento assimétrico em barras de paredes finas centro de cisalhamento Assuntos cisalhamento Retirar Paredes finas 647 a 659 Plasticidade 660 Paredes finas 661 a 688 Revisão 6100 Exercícios cisalhamento Beer 5 pt P610 Beer 6 en P610 Para a viga e o carregamento mostrados considere a seção 𝑛 𝑛 e determine A maior tensão de cisalhamento naquela seção A tensão de cisalhamento no ponto 𝑎 Exemplo Beer 5 pt P621 e 23 Beer 6 en P621 e 23 Para a viga e o carregamento mostrados considere a seção 𝑛 𝑛 e determine A tensão de cisalhamento no ponto 𝑎 A tensão de cisalhamento no ponto 𝑏 A maior tensão de cisalhamento naquela seção Exemplo 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑎 20 80 40 65 40 000 𝑚𝑚3 40 106 𝑚3 𝜏𝑎 𝑉𝑄 𝐼𝑡 9010340106 58131060020 3097 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑏 20 30 65 15 30 000𝑚𝑚3 30 106𝑚3 𝜏𝑏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 9010330106 58131060020 2322 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑐 20 65 65 2 42 250 𝑚𝑚3 4225 106𝑚3 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑄 𝐼𝑡 901034225106 58131060020 3271 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑑 30 20 90 65 15 000𝑚𝑚3 15 106 𝑚3 𝜏𝑑 𝑉𝑄 𝐼𝑡 9010315106 58131060020 1161 𝑀𝑃𝑎 Exemplo d e 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑒 30 20 90 65 20 100 50 65 15 000𝑚𝑚3 30 000 𝑚𝑚3 15 000 𝑚𝑚3 15 106 𝑚3 𝜏𝑒 𝑉𝑄 𝐼𝑡 90103 15106 58131060020 1161 𝑀𝑃𝑎 Exemplo d e 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑒 30 20 90 65 20 100 50 65 15 000𝑚𝑚3 30 000 𝑚𝑚3 15 000 𝑚𝑚3 15 106 𝑚3 𝜏𝑒 𝑉𝑄 𝐼𝑡 90103 15106 58131060020 1161 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 𝑑𝐻 𝑑𝑥 ȁ𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 𝑑𝐻 𝑑𝑥 ȁ𝑎𝑧𝑢𝑙 𝑉𝑄 𝐼
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Tensões de Cisalhamento devidas ao Esforço Cortante Jorge Carvalho Costa 29 de janeiro de 2021 Figuras adaptadas de BEER JOHNSTON DeWOLF MAZUREK Mechanics of Materials 6th ed HIBBELER Mechanics of Materials 9th ed No caso geral uma seção apresenta 4 esforços solicitantes 𝑁 𝑉 𝑀 𝑇 O normal 𝑁 e o torçor 𝑇 tem direção definida não precisam ser decompostos O cortante 𝑉 e o fletor 𝑀 atuam no plano da seção transversal logo podem ser decompostos em 2 componentes cada No total uma seção transversal é solicitada por 6 componentes de esforços 𝑁 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝑇 Esforços Solicitantes Esforços solicitantes 𝑁 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝑇 Em cada ponto da seção surgem duas tensões sendo que a tangencial cisalhante pode ser decomposta Tensões na Seção Transversal 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 Foi visto que o esforço normal e os momentos fletores geram tensão normal na seção Dois esforços serão responsáveis pelas tensões cisalhantes O cortante e o torçor 𝑁 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝜎𝑥 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑇 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 Tensões na ST Interpretação inversa As tensões normais 𝜎𝑥 combinadas no centroide 𝐶 resultam em uma força na direção 𝑥 e momentos em torno dos eixos 𝑦 𝑧 𝜎𝑥 𝑁 𝑀𝑦 𝑀𝑧 As tensões cisalhantes 𝜏𝑥𝑦 combinadas no centroide 𝐶 resultam em uma força na direção 𝑧 uma força na direção 𝑦 e um momento em torno do eixo 𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑇 Tensões na ST 𝑁 𝐴 𝜎𝑥 𝑑𝐴 𝑀𝑧 𝐴 𝜎𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑀𝑦 𝐴 𝜎𝑥 𝑧 𝑑𝐴 𝑇 𝐴 𝜏𝑥𝑧 𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝑧 𝑑𝐴 𝑉𝑦 𝐴 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝑉𝑧 𝐴 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝐴 A presença de esforço cortante vai gerar tensões cisalhantes Equilíbrio da seção Caso particular viga sob carregamento transversal A carga atua em um plano de simetria da barra e na direção perpendicular à mesma Não há normal Não há torçor O cortante só tem componente na vertical sinal conforme convenção O eixo do fletor só tem componente na horizontal Tensão normal já visto Tensão cisalhante horizontal 𝑉𝑧 𝐴 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝐴 0 𝜏𝑥𝑧𝑚é𝑑 0 Tensão cisalhante vertical 𝑉𝑦 𝐴 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝑉 𝜏𝑥𝑦𝑚𝑒𝑑 𝑉 𝐴 A distribuição não é uniforme Caso particular Tomando um cubo infinitesimal em um ponto da seção 𝜏𝑥𝑦 cisalhamento na seção transversal 𝜏𝑦𝑥 cisalhamento em um plano longitudinal Para o cubo ficar equilibrado quando há tensões na ST 𝜏𝑥𝑦 deve haver tensões iguais no plano longitudinal 𝜏𝑦𝑥 Se a peça não resistir a essas tensões longitudinais formada por chapas descoladas deslizam entre si Cisalhamento longitudinal Cisalhamento longitudinal Primeiro cortase a viga em uma fatia de espessura 𝑑𝑥 Cada face terá um fletor diferente Nesta fatia fazse outro corte horizontal a uma altura 𝑦 do centroide da seção A área dessa parte da seção que fica acima de 𝑦 é 𝐴 Cisalhamento longitudinal Neste pedaço de viga surgem 𝜎 e 𝜎 tensões normais causadas pelo fletor 𝜎 𝜎 porque o fletor varia com 𝑑𝑥 Também surge uma força horizontal 𝑑𝐻 agindo no plano longitudinal que vai dar origem ao cisalhamento longitudinal Do equilíbrio horizontal 𝐴 𝜎 𝑑𝐴 𝑑𝐻 𝐴 𝜎𝑑𝐴 Cisalhamento longitudinal dH 𝐴 𝜎 𝑑𝐴 𝑑𝐻 𝐴 𝜎𝑑𝐴 As tensões 𝜎 e 𝜎 são tensões devidas ao fletor e podem ser escritas como 𝜎 𝑀𝑦 𝐼 𝐴 𝑀𝑦 𝐼 𝑑𝐴 𝑑𝐻 𝐴 𝑀𝑑𝑀 𝑦 𝐼 𝑑𝐻 𝑑𝑀 𝐼 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 Cisalhamento longitudinal dH 𝑑𝐻 𝑑𝑀 𝐼 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 A integral que aparece representa o momento de 1ª ordem da área 𝐴 em relação ao centroide 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 𝑄 A variação do momento fletor em 𝑑𝑥 pode ser expressa por 𝑑𝑀 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝐻 𝑑𝑀 𝐼 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 𝑑𝐻 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑄 𝐼 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄 𝐼 Cisalhamento longitudinal dH 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄 𝐼 A variação do momento fletor ao longo da viga é dada pelo cortante 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑉𝑄 𝐼 𝑑𝐻 𝑑𝑥 é um carga horizontal distribuída no comprimento da viga Cisalhamento longitudinal dH A viga mostrada é feita de duas placas de madeira pregadas a cada 10 𝑐𝑚 A força que atua em cada prego Hibbeler 9 en example 71 Esforço cortante máximo 𝑉𝑚𝑎𝑥 195 𝑘𝑁 Centroide da seção ത𝑦 0120 𝑚 Momento de inércia da seção completa 𝐼 270 106𝑚4 Momento de 1ª ordem da mesa 𝑄 𝐴𝑦 0150 0030 0145 0120 02025 103 𝑚3 Força longitudinal 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑉𝑄 𝐼 1950002025103 27106 146 250 Τ 𝑁 𝑚 14625 𝑘𝑁𝑚 Hibbeler 9 en example 71 1m 14625 kN 01m 1 prego x 14625 kN é a força que cada prego deve transmitir Hibbeler 9 en example 71 E se for usada uma cola para juntar as duas peças de madeira Supondo que a tensão seja uniforme a força longitudinal 𝑑𝐻 𝑑𝑥 14625 𝑘𝑁𝑚 deve ser transmitida por 30 𝑚𝑚 𝜏 146 250 0030 4875 𝑀𝑃𝑎 Hibbeler 9 en example 71 A tensão de cisalhamento longitudinal pode ser obtida assumindo que a força 𝑑𝐻 se distribui uniformemente na área 𝑑𝑥 𝑡 onde 𝑡 é a largura da seção no ponto onde estamos considerando 𝜏 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑡 𝜏 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 𝑉 cortante 𝑄 momento de 1ª ordem da área acima do ponto considerado 𝐼 momento de inércia da seção completa 𝑡 largura da seção no ponto considerado Cisalhamento longitudinal 𝜏 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Esta tensão foi encontrada assumindo que é constante em uma dada linha de corte da seção Na verdade ela varia mas aproximação é boa para vigas estreitas 𝜏 𝜏𝑚 A tensão cisalhante em cada ponto da seção transversal por equilíbrio será igual à cisalhante longitudinal naquela altura Tensão de cisalhamento 𝜏 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Nas extremidades da seção topo e fundo da viga não há tensão cisalhante longitudinal aplicada logo não haverá tensão cisalhante na seção transversal Tensão de cisalhamento Determine a tensão de cisalhamento na seção aa No ponto B Máxima Hibbeler9 722 e 723 Cortante em aa 𝑉𝑎 6 𝑘𝑁 Propriedades da seção 𝑦𝐶𝐺 3625 𝑚𝑚 003625 𝑚 𝐼 117863 106𝑚𝑚4 117863 106𝑚4 Determine a tensão de cisalhamento na seção aa No ponto B Máxima Hibbeler9 722 e 723 Cortante em aa 𝑉𝑎 6 𝑘𝑁 Propriedades da seção 𝑦𝐶𝐺 3625 𝑚𝑚 003625 𝑚 𝐼 117863 106𝑚𝑚4 117863 106𝑚4 Momento de 1a ordem da área verde 𝑄𝐵 20 70 55 3625 26250𝑚𝑚3 2625 106 𝑚3 𝜏𝐵 𝑉𝑄 𝐼𝑡 61032625106 1178631060020 6681 𝑀𝑃𝑎 Determine a tensão de cisalhamento na seção aa No ponto B Máxima Hibbeler9 722 e 723 Cortante em aa 𝑉𝑎 6 𝑘𝑁 Propriedades da seção 𝑦𝐶𝐺 3625 𝑚𝑚 003625 𝑚 𝐼 117863 106𝑚𝑚4 117863 106𝑚4 Cisalhamento máximo Na Linha Neutra 𝑄𝑚𝑎𝑥 20 90 3625 903625 2 2889 103𝑚𝑚3 2889 106 𝑚3 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑄 𝐼𝑡 61032889106 1178631060020 7353 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Caso específico seção retangular 𝑏 ℎ Queremos a tensão cisalhante no ponto 𝑃 situado a uma distância 𝑦 do centroide da seção 𝐼 𝑏ℎ3 12 𝑏 2𝑐 3 12 2 3 𝑏𝑐3 𝐴 é a área da seção acima do ponto 𝑃 𝐴 𝑐 𝑦 𝑏 Seu centroide 𝐶 está a 𝑦 𝑦 𝑐 2 1 2 𝑐 𝑦 Do centroide da seção CUIDADO não confundir a área da seção completa a área acima de 𝑃 nem os centroides de cada área Tensão de cisalhamento corrigido 𝜏𝑥𝑦 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Caso específico seção retangular 𝑏 ℎ 𝐼 2 3 𝑏𝑐3 𝐴 𝑐 𝑦 𝑏 ത𝑦 1 2 𝑐 𝑦 O momento de primeira ordem de 𝐴 em relação ao eixo 𝑧 é 𝑄 𝐴 ത𝑦 𝑐 𝑦 𝑏 1 2 𝑐 𝑦 1 2 𝑐2 𝑦2 𝑏 E a largura da seção no ponto 𝑃 é 𝑏 𝑡 𝜏𝑥𝑦 𝑉1 2 𝑐2𝑦2 𝑏 2 3𝑏𝑐3𝑏 3 4 𝑉 𝑏𝑐3 𝑐2 𝑦2 3 4 𝑉 𝑏𝑐3 𝑐2 1 𝑦2 𝑐2 3 2 𝑉 2𝑏𝑐 1 𝑦2 𝑐2 3 2 𝑉 𝐴 1 𝑦2 𝑐2 Tensão de cisalhamento corrigido Em uma seção retangular a tensão de cisalhamento tem uma distribuição parabólica 𝜏𝑥𝑦 3 2 𝑉 𝐴 1 𝑦2 𝑐2 A tensão cisalhante máxima ocorrerá no eixo centroidal da seção 𝑦 0 𝜏𝑚𝑎𝑥 3 2 𝑉 𝐴 Tensão de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 𝑉 𝑄 𝐼 𝑡 Caso particular Seção I Na mesa a linha 𝑎𝑎 tem grande espessura O cortante tem espaço para se distribuir Na alma linha 𝑏𝑏 a espessura é bem menor O momento de 1a ordem 𝑄 cresce pouco conforme 𝑏𝑏 desce sendo praticamente equivalente ao momento estático da mesa Dizse que a mesa não contribui para a distribuição do cortante e que a tensão cisalhante pouco varia na alma Podese tomar aproximadamente 𝜏𝑥𝑦 𝑉 𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎 Tensão de cisalhamento A dedução feita para acharse a força cisalhante longitudinal 𝑑𝐻 em uma seção horizontal também é válida para encontrar a uma força que atue em paredes verticais da seção 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑉𝑄 𝐼 Cisalhamento longitudinal A viga de madeira mostrada na figura está submetida a uma força cortante vertical de 534 𝑘𝑁 Sabendo que a força cortante admissível nos pregos é 3336 𝑁 determine o maior espaçamento possível 𝑠 dos pregos 𝐼 02070 103𝑚4 Beer5 629 1524 mm A viga de madeira mostrada na figura está submetida a uma força cortante vertical de 534 𝑘𝑁 Sabendo que a força cortante admissível nos pregos é 3336 𝑁 determine o maior espaçamento possível 𝑠 dos pregos 𝐼 019313 103𝑚4 𝑄 508 508 1016 2622 103𝑚𝑚3 02622 103𝑚3 𝑑𝐻 𝑑𝑥 𝑉𝑄 𝐼 53410302622103 019313103 7250 𝑘𝑁𝑚 1m 7250 N s 3336 N 𝑠 0046𝑚 46 𝑐𝑚 Beer5 629 1524 mm Na seção transversal a tensão de cisalhamento tem duas componentes 𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑥𝑧 A direção do corte longitudinal feito para obter a tensão é que determinará qual tensão está sendo calculada Direção do cisalhamento Um corte longitudinal horizontal 𝐴𝐵 perpendicular a 𝑦 mostrará tensões em na face 𝑦 e direção 𝑥 𝜏𝑦𝑥 Na seção transversal essas tensões aparecem na direção vertical 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑥 Na seção transversal a tensão de cisalhamento tem duas componentes 𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑥𝑧 A direção do corte longitudinal feito para obter a tensão é que determinará qual tensão está sendo calculada Direção do cisalhamento Um corte longitudinal vertical 𝐴𝐵 perpendicular a 𝑧 mostrará tensões em na face 𝑧 e direção 𝑥 𝜏𝑧𝑥 Na seção transversal essas tensões aparecem na direção horizontal 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑧𝑥 Direção do cisalhamento Corte longitudinal horizontal Tensões verticais 𝜏𝑥𝑦 Corte longitudinal vertical Tensões horizontais 𝜏𝑥𝑧 As tensões cisalhantes na seção terão principalmente direção concordante com a espessura Direção do cisalhamento 61 Introdução 62 Força cortante na face horizontal de um elemento de viga 63 Determinação das tensões de cisalhamento em uma viga 64 Tensões de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 em tipos comuns de vigas 65 Discussões adicionais sobre distribuição de tensões em uma viga retangular estreita 66 Cisalhamento longitudinal em um elemento de viga de modo arbitrário 67 Tensões de cisalhamento em barras de paredes finas 68 Deformações plásticas 69 Carregamento assimétrico em barras de paredes finas centro de cisalhamento Assuntos cisalhamento Retirar Paredes finas 647 a 659 Plasticidade 660 Paredes finas 661 a 688 Revisão 6100 Exercícios cisalhamento Beer 5 pt P610 Beer 6 en P610 Para a viga e o carregamento mostrados considere a seção 𝑛 𝑛 e determine A maior tensão de cisalhamento naquela seção A tensão de cisalhamento no ponto 𝑎 Exemplo Beer 5 pt P621 e 23 Beer 6 en P621 e 23 Para a viga e o carregamento mostrados considere a seção 𝑛 𝑛 e determine A tensão de cisalhamento no ponto 𝑎 A tensão de cisalhamento no ponto 𝑏 A maior tensão de cisalhamento naquela seção Exemplo 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑎 20 80 40 65 40 000 𝑚𝑚3 40 106 𝑚3 𝜏𝑎 𝑉𝑄 𝐼𝑡 9010340106 58131060020 3097 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑏 20 30 65 15 30 000𝑚𝑚3 30 106𝑚3 𝜏𝑏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 9010330106 58131060020 2322 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑐 20 65 65 2 42 250 𝑚𝑚3 4225 106𝑚3 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑄 𝐼𝑡 901034225106 58131060020 3271 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑑 30 20 90 65 15 000𝑚𝑚3 15 106 𝑚3 𝜏𝑑 𝑉𝑄 𝐼𝑡 9010315106 58131060020 1161 𝑀𝑃𝑎 Exemplo d e 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑒 30 20 90 65 20 100 50 65 15 000𝑚𝑚3 30 000 𝑚𝑚3 15 000 𝑚𝑚3 15 106 𝑚3 𝜏𝑒 𝑉𝑄 𝐼𝑡 90103 15106 58131060020 1161 𝑀𝑃𝑎 Exemplo d e 𝑉𝑛𝑛 90 𝑘𝑁 𝑦𝐶𝐺 65 𝑚𝑚 𝐼 5 813 333 𝑚𝑚4 5813 106𝑚4 𝑄𝑒 30 20 90 65 20 100 50 65 15 000𝑚𝑚3 30 000 𝑚𝑚3 15 000 𝑚𝑚3 15 106 𝑚3 𝜏𝑒 𝑉𝑄 𝐼𝑡 90103 15106 58131060020 1161 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 𝑑𝐻 𝑑𝑥 ȁ𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 𝑑𝐻 𝑑𝑥 ȁ𝑎𝑧𝑢𝑙 𝑉𝑄 𝐼