Metodologia de Superfícies de Resposta (RSM): Fundamentos e Procedimentos

Metodologia de superfícies de resposta Response Surface Methodology RSM A metodologia de superfícies de resposta ou RSM de Response Surface Methodology é uma técnica de otimização baseada em planejamentos fatoriais que foi introduzida por G E P Box nos anos cinqüenta e que desde então tem sido usada com grande sucesso na modelagem de diversos processos industriais Metodologia de superfícies de resposta Response Surface Methodology RSM A metodologia de superfícies de resposta tem duas etapas distintas modelagem e deslocamento que são repetidas tantas vezes quantas forem necessárias com o objetivo de atingir uma região ótima da superfície investigada A modelagem normalmente é feita ajustando se modelos simples em geral lineares ou quadráticos a respostas obtidas com planejamentos fatoriais ou com planejamentos fatoriais ampliados O deslocamento se dá sempre ao longo do caminho de máxima inclinação de um determinado modelo que é a trajetória na qual a resposta varia de forma mais pronunciada RSM em resumo O que é É um conjunto de técnicas estatísticas úteis para explorar através de experimentos uma superfície de resposta desconhecida Como fazer Otimização baseada em planejamentos fatoriais Etapas Modelagem Deslocamento Modelagem Deslocamento RSM procedimento Escolher os fatores Modelando e deslocando para encontrar a região ótima O deslocamento se dá sempre ao longo do caminho de máxima inclinação Condições iniciais de operação Região na vizinhança das condições ótimas de operação Curvatura pequena Modelo linear Curvatura maior Modelo quadrático RSM Primeiro Exemplo Suponhamos que um químico esteja investigando o efeito de dois fatores concentração de um reagente e velocidade de agitação no rendimento de uma determinada reação Ele já sabe que o processo vem funcionando há algum tempo com os valores desses fatores fixados em 50 e 100 rpm respectivamente e que os rendimentos médios obtidos têm ficado em torno de 68 Agora ele gostaria de saber se não seria possível melhorar o rendimento escolhendo outros níveis para os fatores RSM Modelagem inicial O primeiro passo do químico para atacar o problema é investigar a superfície de resposta em torno das condições habituais de funcionamento do processo usando o planejamento fatorial mostrado na Figura 1 Note que o planejamento contém um ponto central e por isso varre três níveis de cada fator e não apenas dois Isto nos permitirá verificar se há ou não falta de ajuste para um modelo linear o que seria impossível se tivéssemos usado apenas dois níveis A Tabela 1 mostra a matriz de planejamento e os rendimentos observados experimentalmente em cada combinação de níveis Ao todo foram realizados sete ensaios sendo três deles repetições no ponto central Figura 1 Planejamento fatorial de dois níveis com ponto central RSM Modelagem inicial Tabela 1 Resultados de um planejamento 22 com ponto central x1 e x2 representam os valores dos dois fatores codificados pelas equações e 5 50 1 x c 10 100 2 v x Ensaios C vrpm x1 x2 y 1 45 90 1 1 69 2 55 90 1 1 59 3 45 110 1 1 78 4 55 110 1 1 67 5 50 100 0 0 68 6 50 100 0 0 66 7 50 100 0 0 69 RSM Modelagem inicial modelo linear Começaremos nossa análise admitindo que a superfície de resposta na região investigada é uma função linear dos fatores e que portanto a resposta pode ser estimada pela equação onde bo b1 e b2 são estimadores dos parâmetros do modelo e x1 e x2 representam os fatores codificados 2 2 1 1 0 ˆ b x b x b y Eq 1 RSM Modelagem inicial modelo linear O tamanho relativamente pequeno dos erros indica que este modelo é significativo A análise da variância encontrase na Tabela 2 Como o valor de MQfaj MQep não é estatisticamente significativo 042234 018 não há evidência de falta de ajuste Na região investigada a superfície de resposta é descrita satisfatoriamente pela Eq 2 que define o plano representado em perspectiva na Figura 2 058 076 076 Eq 2 2 1 4 25 5 25 68 ˆ x x y Tabela 2 Análise da variância para o ajuste do modelo 2 aos dados da Tab 1 2 1 1 0 ˆ b x b x b y de variação explicada 9707 da variância explicável 9752 Figura 2 Plano descrito pela Eq 2 2 1 4 25 5 25 68 ˆ x x y Figura 2 Plano descrito pela Eq 2 2 1 4 25 5 25 68 ˆ x x y Figura 2 Plano descrito pela Eq 2 2 1 4 25 5 25 68 ˆ x x y Como a coisa toda aparece no R Studio Coeficientes da regressão Tabela da análise da variância ANOVA Direção de máxima inclinação Para elevar em 1 o rendimento da reação y devemos reduzir em 389 unidades a concentração e aumentar em 629 rpm a velocidade de agitação O que significa o caminho de máxima inclinação Curvas de nível e direção de máxima inclinação Podemos obter uma representação bidimensional da superfície modelada desenhando suas curvas de nível que são linhas em que a resposta é constante As curvas de nível de um plano são segmentos de retas Por exemplo se fizermos ŷ 70 na Eq 2 chegaremos à expressão que descreve uma reta sobre a qual o valor de ŷ deve ser igual a 70 de acordo com o modelo ajustado Fazendo o mesmo para outros valores de ŷ obteremos outras curvas de nível que em conjunto darão uma imagem da superfície de resposta na região investigada Fig 3 0 47 124 1 2 x x Figura 3 Curvas de nível do plano descrito pela Eq 2 A linha tracejada é a trajetória de máxima inclinação partindo do ponto central do planejamento Os valores entre parênteses são as respostas determinadas experimentalmente Como determinar o caminho de máxima inclinação O progresso será mais rápido se o deslocamento for realizado ao longo de uma trajetória perpendicular às curvas de nível isto é se seguirmos um caminho de máxima inclinação da superfície ajustada Como determinar o caminho de máxima inclinação O caminho de máxima inclinação saindo do ponto central do planejamento está indicado pela linha tracejada na Fig 3 Ele pode ser determinado algebricamente a partir dos coeficientes do modelo Para termos a máxima inclinação devemos fazer deslocamentos ao longo dos eixos x1 e x2 na proporção b2 b1 Da Eq 2 temos b2b1 425525 081 o que significa que para cada unidade recuada no eixo x1 devemos avançar 081 unidades ao longo do eixo x2 As coordenadas de vários pontos ao longo dessa trajetória estão na Tabela 3 tanto nas variáveis codificadas quanto nas unidades reais de concentração e velocidade de agitação Tabela 3 Caminho de máxima inclinação para o modelo das Figs 2 e 3 Rendimentos obtidos nas novas condições experimentais ditadas pelo planejamento Inicialmente os rendimentos aumentam mas depois do terceiro ensaio começam a diminuir Podemos interpretar esses resultados imaginando que a superfície de resposta é como um morro Pelos valores iniciais começamos a nos deslocar ladeira acima mas depois do terceiro ensaio já estamos começando a descer o morro pelo lado oposto É hora portanto de parar com os deslocamentos e examinar a região que apresentou melhores rendimentos Para isso fazemos um novo planejamento idêntico ao primeiro porém centrado em torno do melhor ensaio que é o terceiro 35 e cerca de 125 rpm A nova matriz de planejamento é apresentada na Tabela 4 juntamente com as novas respostas observadas O que mostram os resultados da Tabela 3 Como determinar o caminho de máxima inclinação Tabela 4 Resultados de um novo planejamento 22 com ponto central x1 e x2 agorara epresentam valores das variáveis codificadas pelas equações Ensaios C vrpm x1 x2 y 1 30 115 1 1 86 2 40 115 1 1 85 3 30 135 1 1 78 4 40 135 1 1 84 5 35 125 0 0 90 6 35 125 0 0 88 7 35 125 0 0 89 Call rsmformula y FOx1 x2 data Dados Estimate Std Error t value Prt Intercept 857143 15916 538455 7117e07 x1 12500 21055 05937 05847 x2 22500 21055 1086 03454 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Multiple Rsquared 0272 Adjusted Rsquared 009201 Fstatistic 07472 on 2 and 4 DF pvalue 053 Analysis of Variance Table Response y DF Sum Sq Mean Sq F value PrF FOx1 x2 2 26500 13250 07472 05300 Residuals 4 70929 17732 Lack of fit 2 68929 34464 344643 00282 Pure error 2 2000 1000 Direction of steepest ascent at radius 1 x1 x2 0486429 08741573 Corresponding increment in original units C Vrpm 2428215 8741573 Tabela 5 Resultados de um novo planejamento 22 com ponto central x1 e x2 agorar epresentam valores das variáveis codificadas pelas equações de variação explicada 2720 da variância explicável 9795 o ajuste de um modelo linear aos dados da Tabela 4 resulta na equação Em comparação com os valores dos coeficientes os erros são bem mais importantes do que no caso da Eq 2 e a dependência linear da resposta em relação a x1 e x2 já não parece segura A análise da variância Tab 5 mostra que a situação agora é bem diferente A percentagem de variação explicada é apenas 2720 e o valor de MQfaj MQep subiu para 3446 que é maior que F22 190 no nível de 95 de confiança Isto quer dizer que na região onde o caminho de máxima inclinação nos levou o modelo linear já não descrevesatisfatoriamente a superfície de resposta Eq 3 2 1 2 25 125 8571 ˆ x x y 0159 210 210 Como o modelo linear não serve mais devemos partir para um modelo quadrático cuja expressão geral para duas variáveis é Este modelo tem seis parâmetros e o nosso planejamento tem apenas cinco níveisisto é cinco diferentes combinações de valores da concentração e da velocidade de agitação Como não é possível determinar as estimativas quando há mais parâmetros do que níveis precisamos ampliar o planejamento A ampliação pode ser feita de várias maneiras sendo a mais comum a construção do chamado planejamento em estrela Localização do ponto ótimo 2 1 12 2 2 22 2 11 1 2 2 1 1 0 ˆ b x x b x b x b x b x b y Eq 4 Para fazer um planejamento em estrela simplesmente acrescentamos ao planejamento inicial um planejamento idêntico porém girado de 45 graus em relação à orientação de partida O resultado é uma distribuição octogonal como mostra a Figura 4 Um argumento geométrico simples nos permite concluir que os novos pontos assim como os primeiros estão a uma distância de unidades codificadas do ponto central Todos eles estão portanto sobre uma circunferência de raio As coordenadas dos pontos em estrela são dadas nas quatro últimas linhas da Tabela 5 Planejamento em estrela 2 2 Figura 4 Planejamento em estrela para duas variáveis codificadas correspondente à tabela 5 Tabela 6 Resultados do planejamento em estrela obtido com a ampliação do planejamento da Tab 3 x1 e x2 representam os valores das variáveis codificadas de acordo com as expressões da Tab 4 Ensaio C v rpm x1 x2 y 1 30 115 1 1 86 2 40 115 1 1 85 3 30 135 1 1 78 4 40 135 1 1 84 5 35 125 0 0 90 6 35 125 0 0 88 7 35 125 0 0 89 8 28 125 1414 0 81 9 35 139 0 1414 80 10 42 125 1414 0 86 11 35 111 0 1414 87 2 1 414 Estimate Std Error t value Prt Intercept 8900086 042792 2079852 4876e11 x1 151074 026244 57565 0002203 x2 236579 026244 90146 0000205 x1x2 175000 037059 47222 0005235 x12 282149 031316 90098 0000812 x22 282149 031316 90098 0000812 Signif codes 0 001 001 005 01 1 Multiple Rsquared 09813 Adjusted Rsquared 09626 Fstatistic 5248 on 5 and 5 DF pvalue 00002545 Analysis of Variance Table Response y DF Sum Sq Mean Sq F value PrF FOx1 x2 2 62847 31423 572004 00003588 TWIx1 x2 1 12250 12250 222988 00052325 PQx1 x2 2 69065 34533 628602 00002861 Residuals 5 2747 05494 Lack of fit 3 0747 02498 0858236 Pure error 2 2000 1000 Stationary point of response surface x1 x2 01523580 03719958 Stationary point in original units C Vrpm 3576179 12128004 Tabela 7 Análise da varlancia para o ajuste do modelo aos dados da Tabela 6 de variação explicada 9812 da variância explicável 9864 2 1 12 2 2 22 2 11 1 2 2 1 1 0 ˆ b x x b x b x b x b x b y A nova análise da variância está na Tabela 68 O valor de MQfaj MQep agora é apenas 025 não havendo evidência de falta de ajuste do modelo quadrático Isto quer dizer que o valor de 055 para a média quadrática residual total MQr também poderia ser usado como uma estimativa da variância com cinco graus de liberdade Resultados A superfície de resposta e as curvas de nível correspondentes ao modelo ajustado são mostradas na Figura 5 A região contém um ponto de máximo situado aproximadamente em x1 015 e x2 037 isto é numa concentração de 36 e numa velocidade de agitação de 121 rpm Com estes valores de acordo com a Eq 4 o rendimento da reação deve ser cerca de 896 o que representa uma melhora de 32 em relação ao valor de partida que era 68 Resultados Figura 6 a Superfície quadrática descrita pela Equação 4 Figura 6 b Suas curvas de nível O rendimento máximo 896 ocorre em Xl 015 e x2 037