Aplicações da Conservação da Energia Mecânica em Física

UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Física 201 Trabalho e Energia Parte 3 Daniel HT Franco Departamento de Física UFV Grupo de FísicaMatemática e Teoria Quântica dos Campos 1 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 7 Aplicações da Conservação da Energia Mecânica A seguir vamos aplicar o teorema da conservação da energia mecânica analisando alguns exemplos Exemplo 8 Exemplo 8 da Aula 8 Revisitado Uma pequena bola de massa m inicialmente em A desliza do repouso sobre uma superfície circular ADB sem rolar e sem atrito veja a figura abaixo Determine a velocidade angular e a força exercida pela superfície sobre a bola quando ela se encontrar no ponto C 2 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Solução Sabemos que do ponto A a bola é solta do repouso Sendo assim sua energia mecânica neste ponto é simplesmente EA m EpG mgr Já no ponto C a energia mecânica da bola é EC m 1 2mv2 mgr 1 cosα π 2 1 2mv2 mgr 1 sinα 3 38 UFV tess 20222 Como ndo existem forgas ndoconservativas no problema Em se conserva PANT kp e portanto ao igualarmos as duas expressées acima obtemos que a mgr amv merlsina ou seja segue que v 2grsina Como a trajetéria seguida pela bola é circular sabemos que v wr Dessa forma obtemos que wr 2grsina w 2 8 sina r 438 Para determinar a forca exercida pela superficie sobre a bola quando ela tess ee se encontrar no ponto C vamos considerar o diagrama de corpo livre representado na figura abaixo para uma situagdéo em que 0 y a com Pats a N apontando na diregao radial A 0 B Looe Y ee WNL jo Y iC m WA J Vi Logo para direcao radial temos que T mg COS 2 Y N Feentr 538 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Ou seja segue que mg sinϕ N mω2r Portanto a força exercida pela superfície sobre a bola quando ela se encon trar no ponto C é obtida substituindose na expressão acima ϕ por α e o valor de ω encontrado anteriormente Assim N 3mg sinα Note que como 0 sinα 1 a força exercida pela superfície sobre a bola será máxima quando α π2 ou seja quando a bola se encontrar no ponto D representado na figura 6 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Exemplo 9 Exemplo 9 da Aula 8 Revisitado Um menino de massa m está sentado sobre um monte de gelo de forma hemisférica conforme a figura abaixo Se ele começa a deslizar a partir do repouso considere o gelo sem atrito em que ponto P perderá contato com o monte 7 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Solução Como o menino começa a deslizar partindo do repouso sua energia mecânica neste ponto que denotaremos por A é simplesmente EA m EpG mgR Já no ponto P sua energia mecânica é EP m 1 2mv2 mgR sinθ 8 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 A figura abaixo mostra o menino numa posição angular intermediária com π2 ϕ θ e as forças que atuam sobre ele durante seu deslocamento 9 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Assim na direção radial temos que mg cosπ 2 ϕ N Fcentr isto é mg sinϕ N mω2R 1 No instante que o menino perde contato com o monte de gelo N 0 e ϕ θ Logo segue que ω2 g R sinθ 10 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Dessa forma pela conservação da energia mecânica obtemos que usando o fato que v ωR mgR 1 2mv2 mgR sinθ 1 2mω2R2 mgR sinθ ou seja substituindose o valor de ω2 neste expressão obtemos que 1 1 2 sinθ sinθ 11 38 UFV Nites 20222 FIS 201 we Va Logo segue que 2 3sind2 arcsin 2 42 Em termos de altura em relacdo a base do monte temos que 2 hRsinR 3 1238 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Exemplo 10 Determine a altura mínima da qual uma bola deve ser solta de forma que ela possa concluir com êxito o loop mostrado na figura abaixo Suponha que a bola deslize sem rolar e sem atrito 13 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Solução Antes de apresentarmos a solução um comentário neste ponto é importante Este é um exemplo interessante que deixa claro toda a poten cialidade do uso do ferramental desenvolvido neste capítulo Ao contrário dos dois exemplos anteriores que foram solucionados primeiro no Cap3 usandose as leis de Newton pois eram conhecidas as trajetórias segui das pelos corpos e agora resolvidos usandose a conservação da energia mecânica no presente exemplo a trajetória seguida pela bola não é com pletamente conhecida 14 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Sabemos que uma parte da trajetória é um círculo para o qual conhecemos a função mas em relação ao restante do caminho nada foi informado Não sabemos se as curvas restantes são parte de uma parábola ou mesmo parte de uma outra função por exemplo do tipoexponencial Portanto não é possível aplicar só as leis de Newton sem conhecermos a real trajetória seguida pela bola 15 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Retornando à solução do exercício observe que no ponto A a energia me cânica da bola é toda ela expressa pela sua energia potencial gravitacional ou seja EA m EpG mgh Já no ponto B sua energia mecânica é EB m 1 2mv2 mg2R 16 38 UFV tess 20222 SSN Alki Logo pela conservacaéo da energia mecanica segue que 1 2 mgh mv mg2R 2 A fim de determinamos a altura minima da qual a bola deve ser solta para completar o loop com sucesso devemos observar que de acordo com as leis de Newton no ponto B temos que m N F centr 1738 UFV lfiora 20222 Seay Portanto a minima velocidade que a bola deve ter neste ponto para que eae ela possa completar o loop com sucesso sera quando N 0 ja que ndo podemos anular a forca peso Assim obtemos que 2 vo min 2 mg m vin BR Usando este resultado na equacéo da conservagdo da energia mecdanica obtemos que 1 5 mglmin 5 mer mg2R hnin 5k 1838 8 Forgas naoConservativas UFV tess 20222 on A primeira vista encontramos algumas forcas na Natureza que nado sao Pats a conservativas Um exemplo é a forca atrito O atrito por deslizamento sempre se opde ao deslocamento Da mesma forma 0 atrito viscoso se opée ao deslocamento e depende da velocidade mas nao da posigao O trabalho realizado por uma fora de atrito dependeré do caminho percorrido e embora o caminho possa ser fechado o trabalho ndo é zero de modo que a equacao We Fd 0 nao se mantém valida 1938 UFV tess 20222 SSN Pats a Uma particula pode portanto estar sujeita a forcas e ao mesmo tempo Vamos analisar esta situacdo considerando uma particula que se desloca do ponto P até o ponto P sob a agao de diver Fc Fc sas forcas de natureza F 1 F door e simultaneamente sob a acéo de diversas forcas de natureza FO F ne Lee 2038 UFV Miter 20222 PN Neste caso o trabalho total realizado sobre a particula por este conjunto de we Va forcas é Pry Pr Cc ne Wotal f F d f Fe d Pp A Ww Whe com Fe ye FE ne SF ne Fre D Fj e FR F J J 2138 UFV tess 20222 SCPE fii De acordo com a Nota I independentemente da natureza da forca o tra balho total Wtal pode ser escrito como sendo igual a variacdo da energia cinética AF calculada no ponto final e no ponto inicial da trajetéria se guida pela particula Por outro lado de acordo com a Nota 3 W pode ser expresso pela variagdo da energia potencial isto é W AE Dessa forma podemos escrever AE AE Wie AEn ACE E Whe Logo a energia mecdnica ndo é conservadal 2238 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Portanto a variação da energia mecânica total da partícula é igual ao tra balho sobre ela realizado pelas forças nãoconservativas Em outras palavras a quantidade Ec Ep não permanece constante mas decresce ou aumenta dependendo se Wnc é negativo ou positivo Portanto o conceito de conser vação da energia mecânica de uma partícula tem significado apenas quando todas as forças são conservativas 23 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Consequentemente a relação Em Wnc 2 é útil quando desejamos fazer uma comparação entre o caso em que apenas as forças conservativas atuam de modo que Ec Ep é a energia mecânica e o caso em que existem forças nãoconservativas adicionais Dizemos que a Eq2 fornece o ganho ou a perda de energia devido às forças não conservativas 24 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Na verdade a conservação da energia mecânica é um caso particular de uma lei de conservação mais geral denominado princípio de conservação da energia total de um sistema isolado Este princípio afirma que a energia total se conserva mas ela inclui além da energia mecânica muitas outras formas possíveis de energia entre as quais está a energia dissipada pelo atrito na forma de calor 25 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Nesse sentido mais amplo da conservação da energia total podemos dizer que não foi descoberto até hoje nenhum fenômeno em que seja violado o princípio de conservação da energia total de um sistema isolado Mas atenção o termo isolado aqui exige uma definição muito cuidadosa e mesmo que aparentemente óbvio tem que ser justificado 26 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Exemplo 11 Um corpo de massa m é solto do repouso do alto de um plano inclinado por um ângulo θ de altura h e comprimento d veja a figura abaixo Depois de solto ele desliza até o ponto mais baixo do plano Sabendose que o coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o plano é µc determine a taxa da energia mecânica que é dissipada durante o processo 27 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Solução A força de atrito é um exemplo de uma força dissipativa Desse modo o trabalho realizado por esta força é negativo Logo sendo h a altura do plano e d o seu comprimento teremos que Em Wnc µcmgd cosθ A taxa de energia dissipada é calculada através da razão Em Eminc sendo Eminc a energia mecânica inicial 28 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Logo temos que µcmgd cosθ mgh Mas h d sinθ Portanto Em Eminc µc cotθ 29 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Exercícios Exercício 1 Uma partícula está confinada a moverse no semiespaço z 0 sob a ação de forças conservativas de energia potencial Epxyz F0z 1 2kx2 y2 em que F0 e k são constantes positivas Determine a as componentes da força que atua sobre a partícula b que tipo de força atua ao longo do eixoz c que tipo de forças atuam no planoxy d a forma das superfícies equipotenciais1 1Superfícies equipotenciais são superfícies de potencial escalar constante 30 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Exercício 2 Um garoto que atirar uma pedra de massa igual a 50g numa lata colocada num galho de uma árvore 5m a sua frente e a 2m acima do seu braço Para isso ele utiliza um estilingue em que cada elástico se estica de 1cm para uma força aplicada de 1N O garoto aponta numa direção a 30 da horizontal De que distância ele deve puxar os elásticos para acertar a lata Exercício 3 Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo 30 e solto em repouso Para que ângulo com a vertical sua velocidade será metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo 31 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Exercício 4 Suponha que um elétron se move em um órbita circular de torno de um próton a uma distância R Considere que o próton está em repouso Obtenha a velocidade do elétron Qual é a energia cinética e a energia potencial do elétron Qual a energia necessária para ionizar o sistema isto é a energia para levar o elétron a uma distância infinita do próton 32 38 UFV Waren O anel m de massa de 5 kg desliza sobre um arco metialico liso atte em forma de um arco de circulo com raio de 4 metros veja a figura baixo aPANE lh Oo a fnihe Agindo sobre o corpo existem duas forgas F e F cujas magnitudes sdo respectivamente 40 N e 150N A forca F esta atuando em uma direcdo constante formando um Angulo de 30 com a horizontal Determine o trabalho total realizado pelo sistema de forcgas que atua no corpo quando ele se move de A para B e de A para C r O AQ479 KA F Bi m 3338 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Exercício 6 Exemplo 11 da Aula 9 Revisitado Uma corrente flexível de comprimento L e peso P é colocada inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito ABC veja a figura baixo Inicialmente a distância de B a D é L a Usando a conservação da energia mecânica determine a velocidade da corrente quando a extremidade D atingir o ponto B 34 38 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Exercício 7 Um corpo de massa m 4kg movese para cima em um plano inclinado 20 com a horizontal As seguintes forças estão atuando sobre o corpo uma força horizontal de 80N uma força de 100N paralela ao plano em favor do movimento e uma força de atrito constante de 10N que se opõe ao movimento O corpo desliza 20m sobre o plano Determine o trabalho total feito pelo sistema de forças sobre o corpo Exercício 8 Um trenó com uma massa de 20kg desliza sobre uma colina começando a uma altitude de 20m O trenó parte do repouso e tem uma velocidade de 16ms quando atinge a parte mais baixa da colina Calcule a perda de energia devido ao atrito 35 38 UFV tess 20222 PANN Denne Uma particula esta submetida 4 uma forga A A F xy y 2it 8xyj Determine o trabalho feito pela forca quando a particula moverse do ponto 00 até a ponto 24 ao longo dos seguintes caminhos a ao longo do eixox de 00 até 20 e paralelo ao eixoy de 20 até 24 b ao longo do eixoy de 00 até 02 e paralelo ao eixox de 04 até 24 c ao longo da reta passando pelos pontos 00 e 24 d ao longo da parabola y x A forca é conservativa 3638 UFV Viçosa 20222 FIS 201 Aula 12 Exercício 10 Uma pequena esfera de aço de massa m é solta do repouso de uma altura h e desliza sem rolar e sem atrito dentro de um parabo lóide cujo um corte no planoxy dá a curva y 1 2Cx2 sendo C uma cons tante Determine a energia mecânica da esfera em cada instante 37 38 UFV tess 20222 SSN Pats a Mostre que se a forca aplicada a um corpo é Fkuxv sendo w um vetor unitario arbitrario sua energia cinética permanece cons tante Qual é 0 trabalho realizado pela forga Descreva a natureza do movimento resultante 3838