Introdução aos Experimentos Fatoriais: Conceitos, Vantagens e Desvantagens

Experimentos Fatoriais 108 EXPERIMENTOS FATORIAIS 1 Introdução Experimentos fatoriais são aqueles em que se estudam simultaneamente dois ou mais fatores cada um deles com dois ou mais níveis O fatorial é um tipo de esquema ou seja uma das maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento que representa a maneira pela qual os tratamentos são distribuídos às unidades experimentais Na verdade os experimentos fatoriais são montados segundo um tipo de delineamento experimental como por exemplo o DIC e o DBC Nos experimentos fatoriais os tratamentos são obtidos pelas combinações dos níveis dos fatores Num experimento fatorial completo cada nível de um fator combina com todos os níveis dos outros fatores A principal aplicação de experimentos fatoriais é quando se quer saber sobre o efeito de diversos fatores que influenciam na variável em estudo e o relacionamento entre eles A simbologia comumente utilizada para experimentos fatoriais é indicar o produto dos níveis dos fatores em teste Por exemplo Experimento Fatorial 2 x 4 x 6 O produto 2 x 4 x 6 informa que no experimento foram testados simultaneamente 3 fatores O primeiro possui 2 níveis o segundo 4 níveis e o terceiro 6 níveis Quando o número de níveis é igual para todos os fatores podese utilizar a seguinte simbologia nF em que F é o número de fatores n é o número de níveis de cada fator Por exemplo Experimento Fatorial 43 A potência 43 informa que o experimento tem 3 fatores com 4 níveis cada um 2 Vantagens e Desvantagens Vantagens a Permite o estudo dos efeitos principais e o efeito da interação entre os fatores b O nº de grau de liberdade associado ao resíduo é alto quando comparado com os experimentos simples dos mesmos fatores o que contribui para diminuir a variância residual aumentando a precisão do experimento Desvantagem a Requer maior nº de unidades experimentais em relação ao experimento simples CRP 194 Estatística Experimental 109 3 Tipos de efeitos avaliados em um experimento fatorial Nos experimentos fatoriais podem ser estudados os seguintes efeitos Efeito Principal é o efeito de cada fator independente do efeito dos outros fatores Efeito de Interação é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo Dizemos que ocorre interação entre os fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados pelos níveis do outro fator O efeito da interação pode ser mais facilmente compreendido por meio de gráficos Para ilustrar o efeito da interação considere um experimento fatorial 3x2 em que os fatores em testes são Variedade V e Espaçamento E Os tratamentos para este experimento são os seguintes V1E1 V2E1 V3E1 V1E2 V2E2 V3E2 Suponha os seguintes resultados fictícios para a variável altura de plantas cm deste experimento nas seguintes situações 1 Não há interação Quando não há interação as diferenças entre os resultados dos níveis de um fator são estatisticamente iguais para todos os níveis do outro fator Experimentos Fatoriais 110 2 Há interação Quando há interação as diferenças entre os níveis de um fator dependem dos níveis do outro fator 4 Quadro de tabulação de dados Uma maneira de tabular os dados de um experimento fatorial com dois fatores A e B com I e J níveis respectivamente instalados segundo o DIC com K repetições é fornecida a seguir Deste quadro podese tirar algumas informações que posteriormente serão úteis na análise de variância CRP 194 Estatística Experimental 111 Podese montar um quadro auxiliar contendo os totais de tratamentos cujos valores são obtidos pela soma de todas as repetições para o tratamento em questão Este quadro facilita o cálculo das somas de quadrados devido aos fatores A e B e da interação entre eles Para a situação citada o quadro de totais de tratamentos é do seguinte tipo 5 Modelo estatístico Considere um experimento fatorial com dois fatores o fator A com I níveis e o fator B com J níveis instalados segundo o DIC com K repetições O modelo estatístico para um experimento como este é Yijk m αi βj αβij eijk em que Yijk é o valor observado para a variável em estudo referente a késima repetição da combinação do iésimo nível do fator A com o jésimo nível do fator B m é a média de todas as unidades experimentais para a variável em estudo αi é o efeito do iésimo nível do fator A no valor observado Yijk βj é o efeito do jésimo nível do fator B no valor observado Yijk Experimentos Fatoriais 112 αβij é o efeito da interação do iésimo nível do fator A com o jésimo nível do fator B eijk é o erro associado a observação Yijk Para um experimento fatorial instalado segundo o DBC com K blocos o modelo estatístico seria Yijk m αi βj αβij ωk eijk em que ωk é o efeito do késimo bloco na observação Yijk 6 Análise de Variância A análise de variância de um experimento fatorial é feita desdobrandose a soma de quadrados de tratamentos nas partes devido aos efeitos principais de cada fator e na parte devido à interação entre os fatores O quadro a seguir apresenta como seria a análise de um experimento fatorial com 2 fatores A e B com I e J níveis respectivamente e K repetições instalado segundo o DIC As fórmulas para a obtenção das somas de quadrados são as seguintes CRP 194 Estatística Experimental 113 O quadro abaixo apresenta como seria a análise de um experimento fatorial com 2 fatores A e B com I e J níveis respectivamente e K repetições ou blocos instalado segundo o DBC Nesta situação em que Conforme apresentado nas duas tabelas anteriores na análise dos dados oriundos de um experimento fatorial para os dois tipos de delineamentos devese inicialmente proceder ao teste F para a interação entre os fatores As hipóteses para o teste F da interação são H0 Os fatores A e B atuam independentemente sobre a variável resposta em estudo Devem se estudar os fatores isoladamente Ha Os fatores A e B não atuam independentemente sobre a variável resposta em estudo Devese proceder ao desdobramento estudando por um teste de média o fator dentro de um nível do outro fator Experimentos Fatoriais 114 O resultado deste teste F para a interação indica como as comparações dos níveis de um fator devem ser realizadas Temos dois resultados possíveis para o teste F da interação os quais serão apresentados a seguir 61 Interação nãosignificativa Este caso ocorre quando a hipótese H0 para a interação entre os fatores não é rejeitada Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma independente Portanto recomendase que as comparações dos níveis de um fator sejam feitas de forma geral em relação ao outro fator ou seja independente dos níveis outro fator O passo seguinte na análise estatística dos dados experimentais é proceder ao teste F para cada fator como ilustrado na tabela apresentada a seguir para o caso do DBC As hipóteses para realizar o teste F para os efeitos principais são Fator A H0 mA1 mA2 mAI ou seja todos os possíveis contrastes entre as médias dos níveis do fator A são estatisticamente nulos ao nível de probabilidade em que foi executado o teste Ha não H0 ou seja existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do fator A que é estatisticamente diferente de zero ao nível de probabilidade em que foi executado o teste Fator B CRP 194 Estatística Experimental 115 H0 mB1 mB2 mBJ ou seja todos os possíveis contrastes entre as médias dos níveis do fator B são estatisticamente nulos ao nível de probabilidade em que foi executado o teste Ha não H0 ou seja existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do fator B que é estatisticamente diferente de zero ao nível de probabilidade em que foi executado o teste Se os fatores A e B forem qualitativos e o teste F para A eou B for não significativo a aplicação do teste de médias é desnecessária Se o teste F for significativo para A eou B aplicase um teste de médias para comparar os níveis do fator As estimativas das médias dos níveis dos fatores são obtidas por Para realizar o teste de Tukey para comparar as medias dos níveis dos fatores em teste temos que usar Para o teste de Duncan temos que usar Em que nA e nB são os números de médias ordenadas abrangidas pelo contraste sendo testados As hipóteses para os testes Tukey e Duncan para comparar as médias dos níveis dos fatores são Fator A H0 mAi mAu versus Ha mAi mAu para i u 1 2 3 I Experimentos Fatoriais 116 Fator B H0 mBj mBu versus Ha mBj mBu para j u 1 2 3 J Para a aplicação do teste t temos que usar Em que CA a1mA1 a2mA2 aImAI e CB b1mB1 b2mB2 bImBJ Para a aplicação do teste Scheffé para testar os contrastes YA e YB temos que usar As hipóteses para os testes de Scheffé e t para testar os contrastes são Fator A H0 CA 0 versus Ha CA 0 Fator B H0 CB 0 versus Ha CB 0 Exemplo Analizar os dados do fatorial 2 x 3 decorrente de 6 repetições resumidos no quadro de interações e ANOVA aplicar teste de Duncan se for necessário para α 1 A B Totais de Ai B1 B2 B3 A1 203 6 214 209 626 18 A2 214 6 223 356 793 18 Totais de Bj 417 12 437 565 1419 36 CRP 194 Estatística Experimental 117 81456 y2 ijk Analizar os dados do fatorial 3 x 4 com 3 repetições resumidos no quadro de ANOVA ANOVA FV GL SQ QM F Fator R Fator E Interação R x E Tratamento Bloco Resíduo 36278 Total yijk 314 Totais de tratamentos R E 1 2 3 4 1 254 278 296 314 2 231 250 272 296 3 205 228 248 268 Caso seja necessário proceder a comparação de médias pelo teste de Tukey ao nível de 5 de probabilidade 62 Interação significativa Este caso ocorre quando a hipótese H0 para a interação entre os fatores é rejeitada Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma dependente Neste caso as comparações entre os níveis de um fator levam em consideração o nível do outro fator pois o resultado significativo para a interação indica que o efeito de um fator depende do nível do outro fator Portanto não é recomendado realizar o teste F para cada fator isoladamente tal como foi apresentado para o caso da interação nãosignificativa O procedimento recomendado é realizar o desdobramento do efeito da interação Para realizar este desdobramento devese fazer uma nova análise de variância em que os níveis de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator tal como apresentado nas tabelas a seguir Experimentos Fatoriais 118 Desdobramento para comparar os níveis de A dentro de cada nível de B ou seja estudar AB As hipóteses para testar as fontes de variação da tabela acima para j1 2 3 J são H0 mA1Bj mA2Bj mAIBj Ha não H0 Desdobramento para comparar os níveis de B dentro de cada nível de A ou seja estudar BA As hipóteses para testar as fontes de variação da tabela acima para i1 2 3 I são H0 mB1Ai mB2Ai mBJAi Ha não H0 Em que as SQABj e SQBAi podem ser obtidas usando a fórmula geral para a soma de quadrados dada por CRP 194 Estatística Experimental 119 Se os fatores forem qualitativos procedese ao teste F para cada fonte de variação do desdobramento Nas fontes de variação em que o teste F foi significativo e o fator tem mais de dois níveis recomendase a aplicação de um teste de médias As estimativas das médias dos níveis dos fatores são obtidas por Para realizar o teste de Tukey para comparar as médias dos níveis dos fatores em teste temos que usar Para o teste de Duncan temos que usar Em que nA e nB são os números de médias ordenadas abrangidas pelo contraste sendo testados As hipóteses para os testes Tukey e Duncan para comparar as médias dos níveis dos fatores são Fator A H0 mAiBj mAuBj versus Ha mAiBj mAuBj para i u 1 2 3 I e j 1 2 J Fator B H0 mBjAi mBuAi versus Ha mBjAi mBuAi para j u 1 2 3 J e i 1 2 I Experimentos Fatoriais 120 Para a aplicação do teste t temos que usar Em que CA a1mA1Bj a2mA2Bj aImAIBj para j 1 2 J e CB b1mB1Ai b2mB2Ai bJmBJAi para i 1 2 I Para a aplicação do teste Scheffé para testar os contrastes CA e CB temos que usar As hipóteses para os testes de Scheffé e t para testar os contrastes são Fator A H0 CA 0 versus Ha CA 0 Fator B H0 CB 0 versus Ha CB 0 Exemplo Vamos considerar os dados de um experimento inteiramente casualizado com 4 repetições no esquema fatorial 3 x 2 para testar os efeitos de 3 recipientes R1 R2 e R3 para produção de mudas de 2 espécies de eucaliptos E1 e E2 quanto ao desenvolvimento das mudas Os recipientes foram saco plástico pequeno R1 saco plástico grande R2 e laminado R3 As espécies de eucalipto testadas foram Eucalyptus citriodora E1 e Eucalyptus grandis E2 Os totais de altura das mudas em cm aos 80 dias de idade são apresentados no quadro Espécies Recipientes Totais de Ei CRP 194 Estatística Experimental 121 R1 R2 R3 E1 1026 1035 802 2863 E2 1013 783 853 2649 Totais de Rj 2039 1818 1655 5512 ANOVA FV GL SQ QM F Recipientes R Espécies E Interação R x E Tratamento Resíduo 2309 Total 19879 Caso seja necessário proceda ao desdobramento da interação e compare os níveis de cada fator dentro do outro fator por um teste de comparação de médias 7 Exercícios 71 Seja um experimento fatorial instalado no DIC com dois fatores Irrigação A e Calagem B cada um deles com dois níveis presença A1 e B1 ausência A0 e B0 Os dados obtidos kg de plantaparcela para cada tratamento são fornecidos abaixo Pedese realizar a ANOVA e obter as conclusões sobre os fatores Use α 5 72 Em um experimento fatorial no DIC em que foram combinadas duas doses de N e duas doses de fósforo com 5 repetições são dados Considerando o nível de significância de 5 concluir sobre os efeitos dos fatores 73 Foi realizada uma pesquisa para testar dois tipos de ambiente com luz artificial e sem luz artificial no período da noite e dois tipos de ração com cálcio e sem cálcio Experimentos Fatoriais 122 Para tanto foram utilizadas 24 poedeiras similares escolhidas aleatoriamente Ao final da avaliação foram obtidos os seguintes resultados ovospoedeira Ao nível de 1 de probabilidade e admitindo que se trata de um experimento instalado segundo o DIC pedese a Podese afirmar que o tipo de Ração e o tipo de Ambiente atuam independentemente na produção de ovos b Qual seria o tipo de Ração recomendada Use o teste Tukey se necessário c Qual seria o tipo de Ambiente recomendado Use o teste Tukey se necessário